FUNDAMENTOS DE LÓGICA UIA 4 DEMONSTRAÇÃO E INDUÇÃO

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1 VERSÃO PARA IMPRESSÃO FUNDAMENTOS DE LÓGICA UIA 4 DEMONSTRAÇÃO E INDUÇÃO

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3 3 SUMÁRIO Aula 13 Demonstração Conceitos Raciocínio Dedutivo X Indutivo... 6 Aula 14 Técnica I Demonstração por Contraposição Demonstração Exaustiva... 9 Aula 15 Técnica II Demonstração Direta Demonstração por Absurdo Aula 16 Indução Conceitos Princípios Indução Matemática... 15

4 4 Aula 13 DEMONSTRAÇÃO n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), assista à videoaula e tenha uma breve introdução dos principais tópicos que serão abordados na UIA3. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Desde o inicio de nosso curso, Fundamentos da Lógica, temos tratado de afirmações cuja valoração pode ser apena ou verdadeira (V) ou falsa (F). Nesta última unidade abordaremos sobre dois modos de se verificar a veracidade de uma proposição, uma que utilizada um método mais forte chamada de dedução e outra que trata de um método um tanto mais fraco, mas que não deixa de ser importante chamada de indução. Trataremos inicialmente nesta aula e nas duas seguintes sobre a dedução por demonstração iluminados por alguns métodos bastante utilizados para se demonstrar a veracidade de algo e na ultima aula desta unidade trataremos da indução e de como utilizá-la CONCEITOS Chamamos de demonstração a um raciocínio que torna evidente o caráter verídico de uma premissa, idéia ou teoria. Demonstração, portanto, é uma dedução destinada a provar a verdade de uma conclusão apoiando-se sobre premissas reconhecidas ou admitidas como verdadeiras. Na demonstração utilizam-se letras e outros sinais que constituem uma linguagem abstrata e simbólica, fazendo da linguagem demonstrativa uma linguagem perfeita, inequívoca em que cada signo corresponde a um só significado. Por se fundamentar na precisão, exatidão, eficácia e simplicidade a linguagem demonstrativa é utilizada em várias áreas do conhecimento humano tais como: nas ciências lógicas dedutivas (matemática e lógica), informática, robótica, etc. A demonstração, que por vezes é chamada de prova esta estreitamente ligada à Lógica, que possui um ramo que a tem por objeto de estudo. Quando tratamos de demonstrações alguns termos tem especial relevância em nosso estudo, são eles: as definições, os axiomas, os teoremas e as conjecturas Definições: Chamamos de definição um enunciado que descreve o significado de um termo de forma imutável e incontestável. Se no mundo das palavras os termos podem ser unívocos (um só significado), equívocos (ter dois ou mais significados diferentes) e análogos (termos com significados semelhantes), no estudo da lógica matemática prima-se pela clareza e precisão dos termos, uma vez que essa clareza e precisão será a base para se realizar uma demonstração irrefutável.

5 5 Exemplos: a. Significado de linha, segundo Euclides: Linha é o que tem comprimento e não tem largura. b. Significado de átomo: Unidade básica da matéria. c. Significado de número: Objeto matemático que representa uma quantidade. Axiomas: Chamamos de axioma, também chamado de postulado a uma sentença que é assumida como verdadeira e universalmente inquestionável sem que haja necessidade de se provar sua veracidade, já que um axioma é uma proposição tida por óbvia. Os postulados são muitas vezes utilizados na construção de uma teoria ou como o ponto de partida para deduções e inferências. Exemplos: a. Pode-se traçar uma única linha reta entre dois pontos distintos. b. Todos os ângulos retos são iguais. c. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio d. Para todo natural x, x = x. e. Para todos os números naturais x, y, e z, se x = y e y = z, então x = z. Teoremas: Chamamos de teorema a uma afirmação que não é obvia, mas que precisa ser provada, utilizando-se para isso outros teoremas já provados, bem como alguns axiomas. Esse termo foi elaborado por Euclides, filósofo grego que viveu no século III a.c, e significa exatamente afirmação que pode ser provada. Exemplos: a. Teorema de Pitágoras. (a 2 = b 2 + c 2 ) Conheça um método de se provar o teorema de Pitágoras assistindo ao vídeo a seguir. b. Teorema fundamental da Álgebra (Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n 1, admite pelo menos uma raiz complexa) Para saber mais sobre teorema fundamental da álgebra assista ao vídeo: c. Teorema de Tales. (Quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados nas transversais são proporcionais) d. Teorema Fundamental da Trigonometria (sen 2 (x) + cos 2 (x) = 1)

6 6 Conjecturas: Chamamos de conjecturas a uma proposição que não foi provada nem refutada, por isso toda conjectura é uma hipótese que se assume verdadeira, mas que precisa de demonstração. Exemplos: 1. Conjectura dos primos gêmeos. (Esta conjectura diz que existem infinitos números primos gêmeos.) Um par de primos é chamado de primos gêmeos se eles são dois números primos p e q tais que q = p + 2. (Exemplos: 5 e 7, 17 e 19). 2. Conjectura de Goldbach (Essa conjectura diz que todo numero par maior ou igual a 4 é resultado da soma de dois números primos como nos casos: 4 = 2 + 2, 10 = 5 + 5, 21 = , etc.) Um número primo é aquele que no conjunto dos números naturais admite apenas dois divisores, o número 1 e ele mesmo. O esquema abaixo resume o que fico dito acima a cerca das demonstrações RACIOCÍNIO DEDUTIVO X INDUTIVO Das várias formas de se desenvolver um raciocínio correto podemos destacar dois métodos: o método indutivo e o método dedutivo. O método indutivo é um tipo de raciocínio que assume o futuro como repetição de algo que ocorreu no passado. Esse método descreve em geral um tipo de raciocínio que tem em comum o fato de não garantirem a veracidade das conclusões obtidas.

7 7 Exemplo. a. P 1: O pato branco faz qua, qua. P 2: O pato preto também faz qua, qua. C: Logo, todos os patos fazem qua, qua O raciocínio indutivo pode levar a erros graves ou no mínimo situações de graves perigos. Veja a situação: Meu amigo sempre nada naquele rio infestado de piranhas, mas nunca foi atacado por elas. Então, eu vou nadar nesse rio e não serei atacado. O raciocínio acima é indutivo, pois parte de uma particularidade e se conclui algo geral, por mais temerário e pouco prudente que seja a conclusão. Já o método dedutivo, é um modo de raciocinar cuja seqüência de premissas conduz de forma segura a uma verdade pura, assim partindo de algumas verdades anteriores temos a certeza de chegar a uma conclusão verdadeira. Dos vários métodos dedutivos que conduzem a uma demonstração incontestável. Apresentaremos e discutiremos quatro técnicas de demonstração muito utilizadas, a saber: A demonstração por contraposição A demonstração exaustiva A demonstração direta A demonstração por absurdo Mas isso fica para as próximas aulas. Aula 14 TÉCNICA I DEMONSTRAÇÃO POR CONTRAPOSIÇÃO Ao estudarmos equivalência entre proposições compostas vimos que duas proposições P e Q são equivalentes quanto P Q for uma tautologia, ou seja, quando as tabelas-verdade de P e Q forem iguais. Um caso que foi tratado em nosso estudo e que retomaremos agora é a equivalência por contraposição. (p q) (~q ~p) Assim se não q implica em não p (~q ~p) for verdadeira, então p q também será verdadeira. Desta forma para provarmos que a conjectura: se p, então q, basta provarmos que se não q, então não p. A técnica da demonstração por contraposição será uma possibilidade quando para se provar uma conjectura do tipo P Q a mesma não for atingida por uma demonstração direta. Vejamos alguns exemplos de demonstração por contraposição. a. Demonstre que, se n 2 é par, então n é par.

8 8 Importante: Um número inteiro n é dito par se 2 divide n, ou seja, se existe número inteiro k tal que n = 2k, portanto, n é múltiplo de 2 e número inteiro b é dito ímpar se 2 não divide b, nesse caso pode-se provar que existe um número inteiro k tal que b = 2k + 1. Para conhecer mais sobre a paridade numérica assista ao vídeo: Passo 1: Escreva a proposição em linguagem simbólica. p: n 2 é par q: n é par Se n 2 é par n é par: (p q) Passo 2: Escrever a contrapositiva. Contrapositiva: n é ímpar n 2 é ímpar. Hipótese (conjectura): n é ímpar. Tese (conclusão): n 2 é ímpar. Passo 3: Demonstração Demonstração: Como n é ímpar, n = 2k + 1 para algum inteiro k. Logo, n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 Colocando 2 em evidencia ficamos com: n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 Chamando (2k 2 + 2k) de w, com z, temos que n 2 = 2w + 1 Portanto, n 2 é ímpar. b. Sejam n e m números inteiros para os quais n + m é par demonstre, então que n e m tem a mesma paridade. Passo 1: Escreva a proposição em linguagem simbólica. p: n + m é par q: n e m tem a mesma paridade Se n + m é par n e m tem a mesma paridade: (p q) Passo 2: Escrever a contrapositiva. Contrapositiva: n e m tem a paridade diferentes n + m é ímpar.

9 9 Hipótese (conjectura): n e m tem a paridade diferentes. Tese (conclusão): n + m é ímpar. Passo 3: Demonstração Importante: A soma de dois números pares ou de dois números ímpares resulta num número par. Mais a frente provaremos essa afirmação. Demonstração: Pela hipótese, um dos números é par, e o outro é ímpar. Apenas por motivo de simplicidade e sem prejuízo para a demonstração escolhemos n = 2k e m = 2w + 1, para k e w inteiros. Logo, n + m = 2k + 2 w + 1 Colocando 2 em evidencia ficamos com: n + m = 2(k + w) + 1 Chamando (k + w) de h, com h z, temos que: n + m = 2 h + 1 Portanto n + m é ímpar DEMONSTRAÇÃO EXAUSTIVA Chama-se de demonstração por exaustão aquela que testa todas as possibilidades (finitas) da conjectura verificando a validade de todos os elementos da coleção. Para provar a falsidade da conjectura, basta achar um contra-exemplo. Veja os exemplos abaixo: a. Prove que se n é um número inteiro e 0 n 20, então n! n 2 (O fatorial de n é menor ou igual ao quadrado de n) Importante: Chamamos fatorial de um número natural n, representado por n! o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. vale destacar que por definição 0! = 1 e 1! = 1. Exemplo: 5! ( Lê-se cinco fatorial ou fatorial de cinco) = = 120 Conheça mais sobre o fatorial de um número natural assistindo ao vídeo no link a seguir. A demonstração exige que todos os elementos do conjunto n sejam averiguados, então: Para n = 0, temos 0! 0 2 (verdadeiro)

10 10 Para n = 1, temos 1! 1 2 (verdadeiro) Para n = 2, temos 2! 2 2 (verdadeiro), pois Para n = 3, temos 3! 3 2 (verdadeiro), pois Para n = 4, temos 4! 4 2 (falso), pois Conclusão: a conjectura é falsa b. Prove que se um inteiro entre 1 e 20 é divisível por 6, então também é divisível por 3. Demonstração: Como existe um número finito de casos, a conjectura pode ser provada simplesmente mostrando-se que é verdadeira para todos os inteiros entre 1 e 20. Números Divisível por 6 Divisível por 3 1 Não Não 2 Não Não 3 Não Sim, pois 3/3 = 1 4 Não Não 5 Não Não 6 Sim, pois 6/6 = 1 Sim, pois 6/3 = 2 7 Não Não 8 Não Não 9 Não Sim, pois 9/3 = 3 10 Não Não 11 Não Não 12 Sim, pois 12/6 = 2 Sim, pois 12/3 = 4 13 Não Não 14 Não Não 15 Não Sim, pois 15/3 = 5 16 Não Não 17 Não Não

11 11 18 Sim, pois 18/6 = 3 Sim, pois 18/3 = 6 19 Não Não 20 Não Não Dessa forma, esgotado todas as possibilidades, temos que os números 6, 12 e 18 são divisíveis por 6 e também é divisível por 3. Logo todos os números inteiros entre 1 e 20 que são divisíveis por 6 são também divisíveis por 3. Conclusão: A conjectura é verdadeira. Aula 15 TÉCNICA II DEMONSTRAÇÃO DIRETA Dos modos de se realizar uma demonstração a chamada, demonstração direta, é a forma mais simples de se realizar uma prova e a mais obvia. Para esta demonstração mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese P também satisfazem a tese Q. uma vez feito isso temos que a sentença se P, então Q é verdadeira, pois ela não possui contra exemplos. Resumidamente, para demonstrar que P Q assumimos que P é verdadeiro, e através de uma série de etapas, cada uma seguinte das anteriores podemos concluir Q. Vejamos alguns exemplos que se aplica a demonstração direta. a. Provemos que, se n e m são números pares, então n + m também é par, ou seja, a soma de dois números pares resulta num numero par. Passo 1: Escrever a proposição composta em linguagem simbólica. p: n e m são números pares. q: n + m também é par. p q Conjectura: n e m são números pares. (Dado assumido como sendo verdade) Tese: n + m também é par. Passo 2: Realizar a demonstração. Como n e m são pares, então 3, n = 2k e m = 2w, onde k e w são números inteiros. Logo, n + m = 2k + 2 w = 2(k + w) Assim como n + m é múltiplo de 2, então n + m é par. b. Provemos que, se n e m são números ímpares, então n + m também é par, ou seja, a soma de dois números impares resulta num numero par.

12 12 Passo 1: Escrever a proposição composta em linguagem simbólica. p: n e m são números ímpares. q: n + m também é par. p q Conjectura: n e m são números ímpares. (Dado assumido como sendo verdade) Tese: n + m também é par. Passo 2: Realizar a demonstração. Como n e m são pares, então 3, n = 2k + 1 e m = 2w + 1, onde k e w são números inteiros. Logo, n + m = 2k w + 1 = 2(k + w + 1) Assim como n + m é múltiplo de 2, então n + m é par. c. Demonstre que o quadrado de um número ímpar é um número ímpar. Passo 1: Escrever a proposição composta em linguagem simbólica. (Observe que a proposição acima está implicitamente indicando uma condicional cujo sentido é: Se n é ímpar, então n 2 é um número ímpar) p: n é ímpar. q: n 2 é ímpar. p q Conjectura: n é ímpar. (Dado assumido como sendo verdade) Tese: n 2 é ímpar. Passo 2: Realizar a demonstração. Como n é ímpar, então temos que n = 2k + 1 para qualquer k pertencente ao conjunto dos números inteiros. Assim, n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 Colocando 2 em evidencia ficamos com: n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 Chamando (2k 2 + 2k) de w ficamos com n 2 = 2 w + 1 Portanto, n 2 é ímpar.

13 13 Acesse o link a seguir e aprenda mais sobre o método da demonstração direta DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO Uma demonstração por absurdo consiste em se demonstrar que a falsidade da afirmação produziria um absurdo. Mais precisamente, no caso de uma implicação H T, uma demonstração por absurdo consiste em, supondo a validade de H, mostrar que a não validade de T produz um resultado contraditório ou absurdo. Dizendo de outro modo: o objetivo é mostrar que a combinação da validade da hipótese H com a não validade da tese T produz um resultado absurdo. Um exemplo clássico do uso desse método foi realizado por Aristóteles para prova que 2 era um número irracional. Analisemos essa demonstração. Seja a = 2 prove que a é irracional. Passo 1: Escrever a proposição composta em linguagem simbólica. P: s = 2 Q: é irracional P Q Passo 2: Demonstração Suponha, por absurdo, que 2 é racional. Portanto, seria possível encontrar números inteiros a, b, com b 0, tais que 2 poderia ser representado como uma fração irredutível. /. A partir disto, podemos afirmar que: 2 =., / Elevando esta igualdade ao quadrado temos ( 2) 2 =. / 0 2 =.1 / 1 Daí 2b 2 = a 2 Já demonstramos que o quadrado de um número par é um numero par, logo a 2 é par. Como a é par, a = 2k, para algum k inteiro, daí temos que: 2b 2 = (2k) 2 = 4k 2 ( 2) b 2 = 2k 2

14 14 Disto concluímos que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a fração irredutível. / poderia ser reduzida, um absurdo, pois. / já era uma fração irredutível. Exemplo 2: Demonstre que existem infinitos números primos. Vamos supor que Hipótese: existe uma quantidade finita de números primos seja verdadeira. Vejamos até onde ela nos leva. Por esta hipótese, há apenas n números primos, onde n é inteiro. Podemos colocar os primos em ordem ordem, de tal forma que: p1, p2,..., pn em p 1 < p 2 <... < p n. Com isto, teríamos que p n é o maior primo de todos. Considere o número p 1 p 2... p n + 1. Ele não é divisível por nenhum dos primos p 1, p 2,..., p n, portanto ele também é primo e, além disso, é maior do que todos os demais números primos, incluindo p n. Mas isto contradiz a afirmação de que p n é o maior primo de todos, o que é um absurdo! Portanto, existem infinitos números primos. Aprofunde seus conhecimentos sobre o método da demonstração por absurdo pelo vídeo a seguir. Aula 16 INDUÇÃO CONCEITOS O termo indução é utilizado para designar qualquer processo de raciocínio que nos conduza de premissas empíricas a conclusões empíricas, que, apesar de apoiadas pelas premissas, não são dedutivamente deriváveis delas. Desta forma induzir é passar de algum conjunto de hipóteses para uma conclusão que é compatível com essas hipóteses mas não podem ser deduzidas delas. Por exemplo, seria natural induzir do estudo dos mamíferos que não há mamíferos que nasçam em ovos e que em todos eles as fêmeas amamentam seus filhotes. Contudo apenas a segunda das conclusões é verdadeira, pois os ornitorrincos e os equidnas são ovíparos PRINCÍPIOS Dado um subconjunto S do conjunto dos números naturais N, tal que 1 pertence a S e sempre que uma numero n pertence a S, o número n + 1 também pertence a S, assim temos que S = N. Esta simples propriedade fornece uma das mais poderosas técnicas de demonstração em matemática, assim chamada de demonstração por indução.

15 15 Usando a notação P(n) para dizer que o inteiro positivo n tem a propriedade P precisamos provar as seguintes proposições: 1. P(1) - (1 tem a propriedade P) 2. Para qualquer inteiro positivo k, P(k) P(k+1) Se qualquer número tem a propriedade P, o próximo também tem. Se pudermos provar ambas as proposições 1 e 2, então P(n) é válida para qualquer inteiro positivo n. O fundamento para argumentos desse tipo é o primeiro princípio de indução matemática. Primeiro Princípio de Indução 1. P(1) 2. ( k) [P(k) verdade P(k+1) verdade O primeiro princípio de indução matemática é um condicional, com uma conclusão na forma P(n) é verdade para todo inteiro positivo n INDUÇÃO MATEMÁTICA Nas ciências naturais, utiliza-se a indução empírica. Ou seja, a partir de um grande número de observações particulares selecionadas adequadamente, formulam-se leis que devem reger determinados fenômenos. Foi desse modo que por volta do século XVII, o físico Galileu Galilei, ao introduzir o método experimental, chegou à conclusão de que quando dois corpos de massas diferentes, desprezando a resistência do ar, são abandonados da mesma altura, ambos alcançam o solo no mesmo instante. A validade de um teorema matemático, no entanto, se estabelece de forma completamente diferente. Verificar que certa afirmação vale para um grande número de casos particulares (como se faz nas ciências naturais) não permitirá concluir que esta afirmação é válida. O princípio da indução completa (ou método da recorrência) é utilizado para provar que a proposição vale para todos os casos (ou seja, na verdade há uma proposição para cada caso, freqüentemente um número infinito de casos). Para entendermos como devemos proceder para realizar uma demonstração indução válida retomemos ao primeiro principio da indução: 1. P(1) 2. ( k) [P(k) verdade P(k+1) verdade Para mostrar que a conclusão dessa condicional é verdadeira, precisamos provar que as hipóteses 1 e 2 também o são. Para provar a proposição 1, basta mostrar que o número 1 tem a propriedade P, o que pode ser trivial. Esse primeiro passo é chamado de base da Indução. A proposição 2 é um condicional que tem que ser válido para todo k (Passo da Indução). Para provar essa condicional, suponha que P(k) (Hipótese da Indução) é verdade para um inteiro positivo k e mostre que, baseado nesta hipótese, que p(k+1) é verdade.

16 16 Resumo 1. Passo 1 Prove a base da indução P(1) (ou o menor inteiro positivo em questão. 2. Passo 2 Suponha P(k) 3. Passo 3 Prove P(k+1) Observe os exemplos de demonstrações por indução nos casos abaixo: a. Demonstre que, para qualquer n N, 2 n > n. Passo 1. Base da indução: Para n = 1 temos que P(1) = 2 1 =2, então 2>1 (verdadeira) Passo 2. Hipótese da indução: Supondo que para algum k inteiro positivo, P(k): 2 k > k é verdadeira. Passo 3. Passo da indução: Provar que para P(k+1): 2 k+1 > k+1 é verdadeira. Demonstração: Como P(k): 2 k > k e P(k+1): 2 k+1 > k+1, então, à esquerda da desigualdade temos que: 2 k+1 = 2 k.2 1 Pela hipótese de indução 2k > k. Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por 2, temos que: 2 k.2 1 > k.2 Agora como k.2=k+k, e k+k k+1, Concluímos que: 2 k+1 > k+1 Tire suas dúvidas sobre este exemplo assistindo ao vídeo no link a seguir. Importante: O primeiro passo de uma demonstração por indução não é necessariamente obrigado ser P(1). Podemos começar por P(0) ou por outro valor. b. Prove que n 2 > 3n, para n 4. Nesse caso, é melhor começar a base da indução em P(4).

17 17 Passo 1. Base da indução P(4): 4 2 > 3(4) é verdadeira Passo 2. Hipótese da indução k 2 >3k, para k 4 Passo 3. Queremos mostrar que: (k+1) 2 > 3(k+1) Como (k+1) 2 = k 2 + 2k + 1 > 3k + 2k +1 (pela hipótese da indução) 3k (pois k 4) > 3k + 3 = 3(k+1) Portanto P(k+1): (k+1) 2 > 3(k+1) Em algumas situações, ao tentarmos fazer uma demonstração por indução, na passagem de n para n + 1, sentimos necessidade de admitir que a proposição valha não apenas para n e sim para todos os números naturais menores do que ou iguais a n. A justificativa de um raciocínio desse tipo se encontra no: Segundo Princípio da Indução ou Princípio da Indução Forte. Seja P(n) uma proposição sobre A={n ϵ IN; n a, a nϵ IN}, o princípio da indução forte pode ser definido como segue: a. P(a) é verdadeira. b. Para todo n tal que a n k vale P(n) P(k+1). c. Então para qualquer n ϵ A, P(n) é verdadeira. Para provar que todo número natural n, pertencente ao conjunto A, tem determinada propriedade, usando a indução forte em n, devemos: Mostrar que P(a) é verdadeira (base de indução). Supor que para todo n tal que a n k vale P(n) (hipótese de indução). Mostrar que P(k+1) usando o fato de que para todo n tal que a n k vale P(n) (passo de indução). Exemplo: Prove que: Todo número natural maior ou igual a 2 pode ser decomposto num produto de números primos. Prova (por indução forte em n): Seja n 2. Base de indução: Para n=2 existe uma decomposição trivial em números primos já que 2 é, ele próprio um número primo. Hipótese de indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para n=2,3,4,...,k Passo de indução: Seja n=k+1. Se k+1 é um número primo a decomposição é trivial já que k+1 é, ele próprio um número primo.

18 18 Suponha que k+1 não é primo, então existem a e b ϵ IN tal que k+1=a.b Como: a < k + 1 e b k + 1. Pela hipótese de indução a e b podem ser decompostos num produto de números primos e como k + 1 = a.b então k+1 pode ser decomposto num produto de números primos. Conclusão: Portanto todo número n ϵ IN, n 2 pode ser decomposto num produto de números primos. Aprenda mais sobre este assunto assistindo ao vídeo do link a seguir. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e aprenda mais sobre as questões de indução. Assista à videoaula. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Você terminou o estudo desta unidade. Chegou o momento de verificar sua aprendizagem. Ficou com alguma dúvida? Retome a leitura. Quando se sentir preparado, acesse a Verificação de Aprendizagem da unidade no menu lateral das aulas ou na sala de aula da disciplina. Fique atento, essas questões valem nota! Você terá uma única tentativa antes de receber o feedback das suas respostas, com comentários das questões que você acertou e errou. Vamos lá?!

19 19 REFERÊNCIAS ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um Tratamento Moderno de Matemática Discreta. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, SILVA, Flávio Soares Corrêa da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana Cristina Vieira de. Lógica para Computação. São Paulo: Thomson Learning, Complementar ABE, Jair Minoro e SCALZITTI, Alexandre e SILVA FILHO, João Inácio da. Introdução a lógica para a ciência da computação. 2. ed. São Paulo: Arte & Ciência, HUTH, Michael e RYAN, Mark. Lógica em Ciência da Computação: modelagem e argumentação sobre sistemas, 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, KELLER, Vicente e BASTOS, Cleverson Leite. Aprendendo lógica. 18. ed. Petrópolis,RJ: Vozes, SMULLYAN, Raymond M. Lógica de Primeira Ordem. São Paulo: [s.n.]; [S.l.]: UNESP: Discurso Editorial; [S.l.: s.n.], 2002, SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação: fundamentos de linguagem, semântica e sistemas de dedução. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, GLOSSÁRIO Empírica: É um fato que se apoia somente em experiências e observações Múltiplo: Diz-se do número que é exatamente divisível por outro sem deixar resto, ou daquele que contém outro uma porção exata de vezes. Números primos: No conjunto dos números reais número primo é aquele divisível por 1 e por ele mesmo. Ovíparos: Ovíparos são aqueles cujo embrião se desenvolve dentro de um ovo em ambiente externo sem ligação com o corpo da mãe. Paridade: Refere-se aos números pares e impares Premissas: Equivalente à proposição