PREFÁCIO CURSO PROGRESSÃO. Prof. Ivan Mendes

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1 PREFÁCIO Ao longo dos séculos, a convivência em sociedade provocou na humanidade a necessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais. Existem indicações de que os sistemas de numeração surgiram para registrar objetos, que inicialmente eram pedaços de pau e ossos talhados, peças de barro e cordas com nós. Com o passar do tempo, teve início o agrupamento de determinados números de unidades. Primeiro os grupos eram relacionados às mãos e aos pés: cinco em cinco, dez em dez, vinte em vinte. Contudo, em se tratando de quantidades maiores, era difícil juntar paus e ossos ou identificar o número de traços facilmente. As civilizações antigas começaram, então, a criar símbolos que representavam esses agrupamentos de objetos. Surgiram assim os sistemas numéricos destas civilizações, como é o caso do sistema egípcio, o sistema romano, o sistema chinês. E desde o surgimento das primeiras contagens até o aparecimento do nosso sistema numérico decorreram milhares de anos. A origem do nosso sistema de numeração posicional, assim como hoje nós usamos, remonta do século V, e chama-se Indo-Arábico devido aos méritos de duas grandes civilizações: Indiana e Arábica. Neste livro, o procura abordar de maneira ampla o sistema de numeração decimal posicional, abrangendo conhecimentos obtidos através de pesquisas realizadas em livros didáticos de outros países, graduando as dificuldades através de níveis, e esgotando os temas através de exercícios exaustivos de fixação cuidadosamente selecionados, que auxiliam o leitor a fixar os conceitos e a materializar sua aplicação prática, enriquecendo assim a formação obtida pela leitura. O leitor também terá a oportunidade de acompanhar o crescimento das dificuldades entre os seus diversos níveis, participando da construção do conhecimento pelo preenchimento de lacunas com a teoria, que direcionam a leitura. Quem, como eu, conhece o, sabe da sua satisfação pessoal em transmitir conhecimentos adquiridos ao longo de sua carreira como professor, estabelecendo de forma didática uma relação entre o assunto e a História das Civilizações. É uma carreira coroada de êxitos e de aprovações, que agora culminam na publicação da sua terceira obra, que ora tenho o prazer e a honra de prefaciar. Aos leitores, meus parabéns por estarem adquirindo uma obra de qualidade, que com certeza vai transformar, em quem a lê, a visão tradicional do sistema de numeração posicional, o que irá contribuir significativamente para a desmistificação deste tópico da aritmética, apontando também o caminho a seguir para que os conhecimentos sejam utilizados no cotidiano com maior segurança pelo conhecimento pleno do conteúdo. 1 Profª Sonia Santos

2 APRESENTAÇÃO A Apostila ARITMÉTICA EM TRÊS PARTES foi criada para apoiar os candidatos que concorrerão as vagas dos concursos do COLÉGIO NAVAL e da EPCAR. Registramos que este material é a primeira de uma coleção de três partes da Aritmética que serão publicados futuramente. Agradecemos desde já as críticas e as sugestões dos nossos leitores no ivan.mendes@oi.com.br. AGRADECIMENTOS Esta obra é dedicada, em memória, aos meus pais, Walter Larsen Mendes e Izabel Figueira Mendes por sempre terem lutado pelo meu aprendizado, dando-me a liberdade de escolher uma profissão sem restrições. A minha esposa Martha e aos nossos filhos, Marcelo e Gabriel, pela compreensão aos meus estudos, que por algumas vezes, retirou-me do cenário familiar. Aos meus alunos, que são minha fonte de aprendizado, em especial, Thiago Severgnini, Thiago Silva e Iury Kersnowsky por revelarem a sua gratidão de forma singular. 2

3 ARITMÉTICA EM TRÊS PARTES PRIMEIRA PARTE ÍNDICE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS NÚMEROS FRACIONÁRIOS NÚMEROS DECIMAIS DÍZIMAS EXTRAÇÃO DE RAIZ QUADRADA E CÚBICA 3

4 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO É constituído por um conjunto de regras e símbolos por meio dos quais pode-se ler, falar e escrever os números. BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO É o número de unidades necessárias de uma certa ordem, para que possa formar uma unidade de ordem imediatamente superior, ou seja, é o número de elementos do conjunto tomado como padrão. REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO Número 23 na Base 10: 23 ou 23(10) ou 23[10] ou 2310 Número 23 na Base 7: 23(7) ou 23[7] ou 237 ou (23)7 VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO VALOR ABSOLUTO: Não depende da sua posição no numeral. Ex.: O valor absoluto do algarismo 4 no número 346 é 4. VALOR RELATIVO: Depende da sua posição no numeral. Ex.: O valor relativo do algarismo 4 no número 346 é 40. SUCESSÃO DOS NÚMEROS É um conceito dos números naturais ou inteiros pelo acréscimo de mais uma unidade. Ex1.: O sucessor(consecutivo) do nº 4 é o nº 5; Ex2.: O antecessor do nº 4 é o nº 3. 4

5 QUANTIDADE DE NÚMEROS EM UMA SUCESSÃO DE NATURAIS É igual ao último número menos o primeiro mais um. Ex1.: De 5 até = 8 números Nota1: A utilização das palavras inclusive (não altera a sucessão) e exclusive (exclui-se o número designado). Ex2.: De 5 exclusive a 12 inclusive = Ex3.: De 5 a 12 exclusive = Ex4.: De 5 a 12, ambos exclusives = Nota2: Cuidado com a palavra entre, pois excluímos o primeiro e o último número. Ex5.: Quantos números há entre 5 e 12? Resposta: números SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS Ex1: Base 5 {0, 1, 2, 3, 4} Ex2: Base 8 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS Em função do aumento da base, criam-se símbolos (algarismos) em ordem crescente. Ex1: Base 12 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B} Ex2: Base 13 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,?, $, #} 5

6 NOMENCLATURA DE ALGUMAS BASES DE NUMERAÇÃO Base 2 : Binária Base 10 : Decimal Base 3: Ternária Base 12 : Duodecimal Base 4: Quaternária Base 16 : Hexadecimal Base 5: Quinária Base 20 : Vigesimal Base 8: Octal Base 60 : Sexagesimal TRANSPOSIÇÃO DE SISTEMAS DE NUMERAÇÕES COM BASES DIFERENTES MUDANÇAS DE BASES Base 10 para base qualquer Base qualquer para base 10 Base qualquer para outra base qualquer GERAL Divisões sucessivas Forma Polinomial Resolução Indireta 1ª) BASE 10 PARA OUTRA BASE QUALQUER (Divisões Sucessivas) Consiste em transpor um número que esteja na base 10 para outra que você queira. Esta transposição é feita pela simples divisão do número que está na base 10 pela base desejada, sendo o quociente novamente dividido pela base desejada e assim sucessivamente, até a impossibilidade da divisão. 6

7 Desta forma, o número transposto para outra base será composto do último quociente com os restos das divisões anteriores. Veja o exemplo: Ex.: 45 da base 10 para a base (231) 4 2ª) BASE QUALQUER PARA BASE 10 (Forma Polinomial) Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para a base dez. Esta transposição é feita pelo somatório das multiplicações da base pelos algarismos, obedecendo à ordem destes algarismos. Veja o exemplo: Ex.: 21 da base 5 para a base 10. (2 1) x x ª) BASE QUALQUER PARA OUTRA BASE QUALQUER (Resolução Indireta) Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para outra também diferente de dez. Observe: Ex.: 432 da base 5 para a base 6. Consiste em transpor, primeiramente, para a base dez. (4 3 2) x x x Depois transpor para a base desejada, neste caso, base (313) 6

8 EXERCÍCIOS I 01) Comparando os sistemas de numeração Nosso e Romano, podemos afirmar que: I- A base é dez em ambos; II- São posicionais; III- Possuem um símbolo para o nada. São verdadeiras: a) Todas b) Nenhuma c) I e II somente d) I e III somente e) II e III somente 02) A menor base possível de um sistema de numeração é: a) Base 0 b) Base 1 c) Base 2 d) Base 3 e) Base 10 03) Assinale o numeral escrito incorretamente: a) (1342)6 b) (1342)4 c) (1010)5 d) (1)8 e) (13)13 04) Transpor da base dez para outra base qualquer menor que dez: a) 5105 para a base 5 (quinária): b) 740 para a base 4 (quaternária): c) 7 para a base 8 (octal): 8

9 d) 2 5 para a base 2 (binária): e) 3 5 para a base 3 (ternária): f) 9 3 para a base 3: g) 2 6 para a base 8: h) 3 4 para a base 7: 05) Transpor da base dez para outra base qualquer maior que dez, adotando, quando necessário, os seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,...} a) 2210 para a base 11: b) para a base 12: c) 9 para a base 15: d) 12 para a base 14: e) 13 6 para a base 13: 06) Transpor de uma base qualquer menor que 10 para a base dez: a) (2101)3 para a base dez: b) (10012)5 para a base dez: 9

10 c) 79 para a base dez: d) (35) 4 para a base dez: e) [12(3)] 2 para a base dez: 07) Transpor de uma base qualquer maior que 10 para a base 10, adotando, quando necessário, os seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, θ, Ω,,,, α,...}: a) (107)13 para a base 10: b) ( 3)17 para a base 10: c) (4 )14 para a base 10: d) 5(15) para base 10: e) ( )12 para a base 10: f) ( )16 para a base 10: 08) Transpor de uma base qualquer maior que 10 para outra base qualquer, adotando, quando necessário, os seguintes símbolos, em função do aumento da base: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e,...}: a) (234)5 para a base 8: b) (1301)6 para a base 4: 10

11 c) (512) para a base 8: d) (511) para a base 13: e) (1b4)13 para a base 6: f) (ca2)15 para a base 16: g) (ca2)15 para a base 11: h) (10000)3 para a base 9: i) ( )3 para a base 9: 30 algarismos zeros 09) Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever na base 4 de três algarismos é o: 10) Qual é o número, no nosso sistema de numeração, que transposto para dois outros sistemas de numeração consecutivos se apresentam como 443 e 333? 11

12 QUESTÃO DUELO 01) Criou-se um sistema de numeração posicional vertical com cinco símbolos em ordem crescente 0, a, b, c e d com aumento das ordens de baixo para cima, pois cada 5 unidades de uma ordem forma uma unidade de ordem imediatamente superior. Por exemplo: b 3ª ordem a 2ª ordem c 1ª ordem Desta forma, passando o numeral do exemplo acima para a nossa base decimal, teremos: EXERCÍCIOS II 01) (CN/62) Escrever, na base 8, o número que na base 10 se escreve 378: 02) A tabela abaixo está escrito no sistema binário. Determine o último elemento que satisfaça à sequência: ? 03) Escreva o numeral 745 no sistema de base 16, sabendo que, neste sistema, os dígitos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 04) Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever com dois algarismos na base 5 é: 12

13 05) O número!$? representa o número 91 escrito na base 6, então o número 51 escrito nesta base ficará representado por: 06) O setor público registra déficit de R$ 33,091 bilhões em Se x é igual ao número de zeros dessa quantia, desprezados os zeros dos centavos, então o número x escrito no sistema binário é: 07) Usando lâmpadas elétricas, de modo que as que estiverem acesas ( ) representem o dígito binário 1, e as apagadas o dígito binário 0. (Veja a figura abaixo) Determine o número correspondente na base 5: 08) No País da Matemática, todos os números são escritos numa determinada base b. Sérgio, um de seus habitantes, compra um produto anunciado por 440 unidades monetárias, paga com uma nota de unidades monetárias e recebe de troco 340 unidades monetárias. Determine a base b do País da Matemática: 09) (CN/89) O cubo de 12b é 1750b. A base de numeração é: a) primo b) ímpar e não primo c) par menor que 5 d) par entre 5 e 17 e) par maior que 17 13

14 10) (CN/99) Considere um sistema de numeração, que usa os algarismos indo-arábicos e o valor posicional do algarismo no numeral, mas numera as ordens da esquerda para a direita. Por exemplo: no número 3452 tem-se: 1ª ordem: 3 2ª ordem: 4 3ª ordem: 5 4ª ordem: 2 Além disso, cada 7 unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem registrada imediatamente à direita. Com base nesse sistema, coloque (E) quando a operação for efetuada erradamente e (C) quando efetuada corretamente. Lendo o resultado final da esquerda para a direita, encontramos: a) E, E, E b) E, C, C c) C, E, C d) C, C, E e) C, C, C X ( ) ( ) ( ) 11) Transpor o numeral da base 10 para a base 12, sendo que os símbolos?e $ representam, em ordem crescente, os novos algarismos decorrentes do aumento da base: 12) O professor Sérgio Lins, para trabalhar sistema de numeração na sala de aula, simula um motor de empacotamento de uma fábrica de lápis. Para isso, pede aos alunos que adotem o seguinte procedimento. Juntar todos os lápis que possuem, colocar cada conjunto de cinco lápis em um estojo, reunir cada conjunto de cinco estojos em um pacote e acondicionar cada conjunto de cinco pacotes em uma caixa. Num certo dia, ao final do exercício de simulação, estavam formados uma caixa, três estojos, dois pacotes e ainda sobraram quatro lápis. O total de lápis embalados pelos alunos, nesse dia, é igual a: 14

15 13) No país do triângulo, os números 14 e 123 são escritos como indicados nas figuras A e B, respectivamente. Encontre o número representado pela figura C: Figura A Figura B Figura C 14) Um sistema de numeração consiste dos símbolos, e com regras: 1ª- Não podemos ter três ou mais símbolos repetidos; 2ª- Cada vale, cada vale. Se tivéssemos a quantidade de 23 unidades de contagem ( ), a escrita desse sistema seria: 15) Um ourives dispõe de peças de ouro pesando 1g, 5g, 25g, 125g e 625g. Para confeccionar uma joia de 919g de ouro, quantas peças inteiras de cada tipo, no mínimo, ele deve utilizar? 16) Determine o valor de x, sabendo-se que (xxxx)3= 80 : 17) Um conjunto de lápis está sendo numerado da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23,... O trecentésimo lápis receberá a representação numeral: 15