IMPLEMENTAÇÃO DA FFT PARA PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS USADAS NA CONSTRUÇÃO DE FANTOMAS DE VOXELS

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1 IMPLEMENTAÇÃO DA FFT PARA PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS USADAS NA CONSTRUÇÃO DE FANTOMAS DE VOXELS Alex Cristóvão Holanda de OLIVEIRA (1); José Wilson VIEIRA (2); Fernando Roberto de Andrade LIMA (3); (1) CEFET-PE, UFPE, CNEN/CRCN-NE; Endereço: R. Castanhola, 35, Vila da Fábrica, Camaragibe PE. Fone: ; (2) CEFET-PE, UPE, CNEN/CRCN-NE, (3) CNEN/CRCN-NE, RESUMO Os modelos antropomórficos usados em dosimetria computacional são predominantemente construídos a partir de pilhas de imagens CT (Computed Tomography) ou MRI (Magnetic Resonance Imaging) obtidas da varredura de pacientes ou voluntários. A construção destas pilhas (usualmente chamadas fantomas de voxels ou tomográficos) requer processamentos computacionais para que possam ser utilizados em um modelo computacional de exposição. Isso motivou o desenvolvimento do software DIP (Digital Image Processing) para processamento de imagens digitais. Este trabalho traz uma nova metodologia para uma implementação eficiente em linguagem C++ gerenciada (Visual Studio.NET) da transformada rápida de Fourier (FFT fast Fourier transform) de imagens digitais 2D e 3D, apresentadas no seu espectro de Fourier. Essa transformada é particularmente importante para filtragem de artefatos periódicos e realce de imagens digitais no domínio de freqüências. Os códigos foram acoplados ao software DIP, resultando na sua terceira versão. O trabalho traz também uma breve descrição do software DIP e revisão bibliográfica da transformada discreta de Fourier aplicada a imagens 2D. Padrões interessantes foram encontrados concentrados na imagem 3D do espectro de Fourier. Em princípio é possível inferir que estes padrões guardem informações periódicas sobre os objetos presentes na cena representada ou sobre ruídos periódicos advindos do aparelho. Palavras-chave: Transformada rápida de Fourier (FFT); processamento de imagens digitais; fantomas de voxel; programação C++.

2 1. INTRODUÇÃO III Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte Nordeste de Educação Tecnológica A dosimetria numérica utiliza modelos de exposição para simular a geometria de um corpo humano exposto a radiações ionizantes internas ou externas, com o propósito de calcular a dose equivalente em órgãos e tecidos para fins ocupacionais, médicos ou ambientais. Alguns modelos computacionais de exposição foram desenvolvidos pelo Grupo de Pesquisa em Dosimetria Numérica (GDN/CNPq) para aplicações em proteção radiológica [10; 11; 12; 19], acidentes [17], radiodiagnóstico [3;13 ] e medicina nuclear [14]. Os modelos antropomórficos utilizados nestes e em diversos outros trabalhos foram desenvolvidos a partir de imagens CT que passaram por diversas transformações até constituírem matrizes 3D representando corpos humanos virtuais com as massas dos órgãos e tecidos radiossensíveis recomendadas pela ICRP [9]. Muitas destas transformações foram editadas utilizando-se o software FANTOMAS [22; 23] e versões anteriores do DIP [20; 21]. O software DIP foi desenvolvido em C++ gerenciado, utilizando o tipo de projeto Windows Form do Microsoft Visual Studio.NET 2003 [18], para ler, editar e escrever arquivos binários contendo a matriz 3D correspondente a uma pilha de imagens transversais de uma dada geometria que pode ser um corpo humano ou outro volume de interesse. Sua janela principal é mostrada na Figura 1. O software também pode ler qualquer tipo de imagem computacional (BMP, JPEG, TIF, etc.) e fazer conversões para os tipos padrões usados em tarefas nele implementadas (item de menu Fundamentos Conversões). Quando a tarefa envolve apenas uma imagem de saída, esta é salva no formato JPEG; quando envolve uma pilha de imagens, o arquivo binário é denominado SGI (Simulações Gráficas Interativas). Às pilhas de imagens se convencionou chamar fantoma de voxels ou fantoma SGI. Fig.1 - A janela principal do DIP, exibindo o item de menu Espectro de Fourier. As imagens CT do corpo humano contêm um fundo que, para o desenvolvimento de modelos antropomórficos, deve ser preenchido por um único tom de cinza. Os artefatos que aparecem no fundo podem ser eliminados analisando o histograma da imagem (Visualizações Uma Histograma) e estabelecendo um intervalo de valores de tons de cinza para o fundo como um pré-processamento (Fundamentos Trocas Intervalo de Tons de Cinza por um Único Tom em uma Imagem...). Quase todos os algoritmos de realce e restauração de imagens digitais no domínio espacial descritos em [6] foram implementados no DIP e concentrados no menu Domínio Espacial. Como exemplo, os filtros de mediana, que são muito populares porque fornecem excelente capacidade de redução de alguns tipos de ruídos aleatórios, com borramento consideravelmente menor do que os resultados para filtros lineares com as mesmas dimensões [20]. No menu Segmentações há algumas técnicas de segmentação como a de fusão de regiões. A segmentação de matrizes 3D é uma operação de análise de imagem que visa congregar voxels em regiões 3D que representem entidades físicas significantes. Há várias outras técnicas de realce e/ou restauração de imagens digitais implementadas no DIP. Para mais detalhes, o usuário deve consultar os artigos das versões anteriores do DIP [20; 21] ou entrar em contato com os autores. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Para processamento de imagens digitais 2D e 3D no domínio de freqüências a transformada de Fourier é a ferramenta matemática fundamental que permite a mudança do domínio espacial (x) para o de freqüência (u), e vice-versa. Como imagens são sinais discretos, faz-se essa mudança através da forma discreta da transformada de Fourier (DFT Discrete Fourier Transform). A DFT de N pontos de uma seqüência de N pontos f(x) é

3 N = 1 x= 0 ux F ( u) f ( x) (Eq.1) j / N onde W N = e 2π, para u = 0, 1,..., N 1. A DFT inversa muda muito pouco W N f ( x) = 1 N N 1 u= 0 F( u) xu W N (Eq.2) j2π / N onde W N = e, para x = 0, 1,..., N 1. O fator de normalização 1/N na Eq.2 às vezes é colocado na Eq.1. Outras vezes ambas as equações são multiplicadas por 1/N ½. A localização do multiplicador não é relevante, se dois multiplicadores são usados, o único requerimento é que o produto deles seja igual a 1/N [6]. O conceito do domínio de freqüências é derivado diretamente da fórmula de Euler: θ e j cosθ + j sinθ = (Eq.3) Utilizando esta expressão e a Eq.1, usando também a paridade das funções seno e cosseno, define-se a DFT de uma função f(x,y) de dimensão M x N como F( u, v) = N 1 M 1 x= 0 y= 0 2πux 2πvy f ( x, y) cos + N M 2πux 2πvy j sin + N M (Eq.4) onde u = 0, 1,..., N 1 e v = 0, 1,..., M 1. A forma inversa pode ser obtida da mesma forma, utilizando a Eq.2. Analisando a Eq.4 percebe-se que a DFT e sua inversa são periódicas; isto é, F(u,v) = F(u+N,v+M). Se f(x,y) for real (como as imagens), a transformada de Fourier também apresenta simetria conjugada; isto é, F(u,v) = F*(-u,-v), em que este último é o conjugado complexo de F(u,v). Assim a origem da DFT é no ponto (0,0) do intervalo [(-N/2,-M/2), (N/2,M/2)] que tem o valor igual ao tom de cinza médio da imagem. O ponto (0,0) é às vezes é chamada de componente DC do espectro, onde DC significa corrente contínua (direct current, i. e., corrente sem freqüência), já que todas as freqüências são nulas na origem [6]. Assim, vê-se que cada termo da transformada de Fourier, i. e., o valor de F(u,v) para cada valor de (u,v), é composto pela soma de todos os valores da função f(x,y) multiplicados por senos e cossenos de várias freqüências. Como a freqüência está diretamente relacionada com a taxa de variação, pode-se intuitivamente associar as freqüências na transformada de Fourier (u,v) com padrões de variações de intensidade em uma imagem f(x,y). Para visualizar os detalhes desses padrões a imagem é exibida no seu espectro de Fourier [6], definida por 2 2 F ( u, v) = R ( u, v) + I ( u, v) (Eq.5) onde R(v,u) e I(v,u) são as partes real e imaginária de F(u,v), respectivamente. No cálculo da DFT através de métodos diretos é necessário um número proporcional a N 2 de multiplicações e adições complexas. A decomposição adequada dessas equações pode tornar o número de operações proporcional a Nlog 2 N. O procedimento de decomposição é feito por algoritmos conhecidos genericamente como transformadas rápidas de Fourier (FFT fast Fourier transform). A redução em proporcionalidade de N 2 para Nlog 2 N operações representa uma economia significativa no esforço computacional [7]. Esses algoritmos atingem essa notável eficiência graças ao uso da simetria e da periodicidade das potências de W N (fator entre cochetes na Eq.4) que são convenientemente exploradas quando N é uma potência de 2, construindo, assim, algoritmos particularmente simples e eficientes [24]. Uma das conseqüências disso é que só é preciso calcular os valores de W N em função dos índices de freqüência (u) variando de 0 à N/2 1, que são os chamados fatores de rotação. Esse procedimento foi usado para desenvolver a FFT de raiz 2,

4 publicado por Cooley e Tukey em 1965, que pode ser com decimação no tempo ou com decimação em freqüência [7]. Neste trabalho foi usada a FFT de raiz 2 e decimação em freqüência. 3. METODOLOGIA Observando Eq.4 percebe-se que as operações na DFT são entre números complexos. Então é preciso criar tipos de valores para números complexos e para vetores e matrizes de números complexos. Isso é obtido através do uso de estruturas (struct), onde, essencialmente, sobrecarregam-se os operadores de soma, multiplicação, etc. A estrutura para números complexos tem dois membros de dados de ponto flutuante para representar o número real e o imaginário. As estruturas para vetores e matrizes têm, como membro de dado, uma matriz de números complexos. Para armazenamentos práticos, essa matriz pode ser unidimensional (vetor), bi ou tridimensional. Essas estruturas foram reunidas em um único arquivo de cabeçalho. Para realizar a DFT de imagens digitais 2D e 3D foram implementadas as funções FFT2D e FFT3D. Estes algoritmos utilizam a função FFT1D, que calcula a DFT de um vetor. Assim a FFT1D será apresentada primeiro. Foram implementadas as formas inversas de cada uma dessas funções através da definição da IFFT (inverse fast Fourier transform), que é o algoritmo que calcula a DFT inversa (Eq.2). Por fim, foram implementadas funções que calculam o espectro de Fourier de imagens 2D e 3D, para visualizá-las no domínio de freqüências. 3.1 A Função FFT1D A implementação da função FFT1D foi baseada no código em C++ padrão contido em Embree e Danielli (1999). Então o código foi convertido para C++ gerenciado (.NET) e foram feitas algumas modificações para aumentar a sua eficiência [8; 16; 18], a principal delas consiste em calcular os fatores de rotação e armazená-los em um vetor antes de chamar a função FFT1D. Outras medidas para aumentar a eficiência: declarar todos os indexadores de laços necessários para as implementações das funções antes; todas as divisões ou multiplicações de inteiros por dois devem ser feitos pelos operadores de deslocamento bit-a-bit (>> 1, para dividir por dois e para multiplicar, << 1) [18]. A eficiência dessas modificações seram mais evidente na implementação da função FFT3D. A função FFT1D recebe, então, um vetor com os valores da seqüência a ser transformada e um vetor com os valores dos fatores de rotação, retornando um vetor de com os valores transformados. Todos os três vetores são de números complexos. Eis os passos da sua implementação: 1. Verifica se o comprimento do vetor com os valores da seqüência a ser transformada é potência de dois. 2. Calcula-se a DFT do vetor de entrada, dividido-o por 2 em seqüências sucessivamente menores, através de operações com pares de valores utilizando a unidade computacional básica da FFT, chamada de borboleta (Fig.2), onde só há uma multiplicação e duas somas. Fig.2 - Borboleta DIF (Decimation in frequency) Assim, para N = 2 t, há log 2 N = t estágios de cálculo. Utilizando a borboleta, cada estágio requer N/2 multiplicações complexas por fatores de rotação e N somas complexas, chega-se a um total de ½Nlog 2 N multiplicações complexas e Nlog 2 N somas complexas. Na verdade o número de multiplicações é um pouco menor porque alguns dos fatores de rotação são iguais a 1. A função toma vantagem desse fato. Depois que uma operação tenha sido aplicada a um par, não há necessidade de preservá-lo. Portanto, o par resultante pode ser armazenado nos mesmos locais dos valores tomados. Diz-se que os cálculos podem ser feitos no próprio lugar ou in place [7].

5 3. Para realizar as computações no próprio lugar, os valores da seqüência devem ser armazenados de forma não seqüencial, ocorrendo um embaralhamento da seqüência. O ordenamento resultante corresponde a uma indexação com a ordem invertida dos bits dos índices do vetor original [7]. A função IFFT1D é implementada essencialmente da mesma forma que a função FFT1D, exceto o sinal dos coeficientes que são usados nos fatores de rotação e a normalização por 1/N que é executado no final da rotina (veja as Equações 1 e 2). 3.2 A Função FFT2D A implementação da FFT2D foi baseada no método chamado de Linha-Coluna [16], que consiste em calcular a FFT1D em todas as linhas e depois em todas as colunas (ou vice-versa) da matriz de números complexos, que contém os valores a serem transformados. Esse método é comprovado pela propriedade da separabilidade da DFT bidimensional (Eq. 4), que é demonstrada em [6]. Antes de chamar a função FFT1D precisa-se criar o vetor com os fatores de rotação para as linhas e outro vetor para as colunas, se seus comprimentos forem diferentes. Por fim, os valores da matriz transformada são deslocados para que a origem da transformada de Fourier esteja no centro, na próxima seção se mostra como isso é feito. Para transformar uma imagem através da FFT2D é preciso antes convertê-la em uma matriz de números complexos, isso é obtido tomando-se a média das componentes RGB de cada pixel da imagem e atribuindoos para as componentes reais da matriz complexa, ficando as suas componentes imaginárias iguais a zero. Se dimensões da imagem não forem potências de dois, a mesma deve ser preenchida com zeros até o próximo comprimento com potência de dois (128, 256, 512, 1024,...) [15], pois, como a DFT é definida por um somatório, os zeros não interferem na imagem no domínio de freqüências. Na IFFT2D, os valores da matriz complexa de entrada são, primeiramente, descentralizados e então é realizado o método Linha-Coluna com a função IFFT1D. A matriz de retorno dessa função é complexa, porém como as imagens são reais, os componentes imaginários da matriz deverão ser nulos. Na prática, há componentes imaginários parasitas por causa dos erros de arredondamentos computacionais [6], sendo, assim, ignorados. Para exibir a matriz de retorno da IFFT2D ela precisa ser convertida em um Bitmap, isso é realizado através de uma transformação linear, onde os valores da matriz são escalonados para o intervalo de 0 à 255, convertendo-os para naturais. Cada valor é, então, atribuído as três componentes RGB para formar a imagem. Através dessas duas funções são aplicadas grande parte das ferramentas de filtragem e realce de imagens digitais 2D no domínio de freqüências. 3.3 O Espectro de Fourier Para visualizar uma imagem no domínio de freqüências calcula-se o seu espectro de Fourier. Para obtê-lo realiza-se, primeiramente, o mesmo procedimento implementado na função FFT2D, depois os valores da matriz complexa resultante são usados na Eq.5 para produzir uma matriz real. A escala dinâmica do espectro de Fourier é usualmente muito mais alta do que aquela reproduzível com fidelidade por um dispositivo típico de exibição, e em tais casos apenas as partes mais brilhantes da imagem serão visíveis na tela de exibição [6]. Uma técnica útil que compensa essa dificuldade consiste na utilização de uma transformação log, representada pela equação [ F( u, )] D ( u, v) = c.log1+ v (Eq.6) onde que c é uma constante de escala e a função logaritmo desempenha a compressão desejada. A constante c foi calculada através da equação utilizada em [16]: 255 c = (Eq.7) log 1 ( + max) onde max é o valor máximo da escala dinâmica do espectro de Fourier. No exemplo mostrado na Fig.3 esse valor é

6 O método Linha-Coluna, descrito em 3.2, não exige que a matriz a ser transformada seja quadrada, mas o espectro de Fourier apresenta uma melhor visualização das suas características quando é quadrada. Caso a imagem de entrada não seja quadrada pode-se preenchê-la com zeros, enquanto é convertida para uma matriz real. Assim, na prática, as imagens do espectro de Fourier são tipicamente quadradas. (a) (b) (c) Fig.3 (a) Fatia 90 do arquivo head256.raw, disponível em [5]. (b) Imagem do espectro de Fourier de (a). (c) Resultado da centralização e o aumento do contraste de (b) através do método das três funções lineares, usando os pontos (70, 25) e (155, 225). Como a DFT bidimensional (Eq.4) foi formulada para valores de u e v no intervalo [(0,0), (N,M)] e levandose em conta a sua periodicidade e simetria da DFT bidimensional (2), o espectro de Fourier resulta em quatro períodos, com os centros nos vértices (Fig.3(b)), opostos em relação ao centro da imagem (N/2,M/2), chamado de ponto-médio ou Nyquist point do espectro [4]. Assim, os quadrantes superior direito e inferior esquerdo são simétricos conjugados, como também os quadrantes superior esquerdo e inferior direito. Para exibir um período inteiro, basta mover-se os quadrantes de modo que a origem da transformada (componente DC) esteja no ponto (N/2,M/2) como mostra a Fig.3 (c). Isso é obtido copiando os valores (ponto a ponto), através de laços for, do quadrante superior direito para o inferior esquerdo de uma outra matriz e do quadrante inferior esquerdo para o superior direito. Procedimento semelhante é feito para os outros dois quadrantes [16]. 3.4 A Função FFT3D e o Espectro de Fourier 3D de uma Pilha de Imagens Na função FFT2D (3.2), os valores da imagem são atribuídos aos componentes reais da matriz complexa que será transformada e valores nulos (zeros) aos componentes imaginários. Esse método é ineficiente, pois ainda são realizadas multiplicações envolvendo os valores imaginários, mesmo eles sendo iguais a zero [2]. Para aumentar a eficiencia da FFT de seqüências de números reais, foram desenvolvidos alguns métodos. Entre eles há a recombinação trigonométrica que aceita qualquer seqüência unidimensional real e a transforma usando uma FFT com metade do tamanho normalmente requerido para uma seqüência complexa. Este resultado acelera por um fator de quase dois a computação [4]. O método foi utilizado no desenvolvimento da função FFT3D para transformação de pilhas de imagens digitais para o domínio de freqüências. Para visualizar a pilha de imagens no domínio de freqüência também é preciso calcular seu espectro de Fourier. Então o procedimento feito na seção anterior pode ser adotado para o caso tridimensional, após a função FFT3D ter sido realizada. Para realizar a função FFT3D a pilha de imagens é convertida para uma matriz real 3D (N x M x F), MtEntrada, onde F representa o número de imagens (fatias) da pilha. As três dimensões devem ser potências de dois e as linhas e colunas devem ter o mesmo comprimento (N = M), preenchendo-as com zeros caso contrário. Depois os valores pares de cada linha (ou coluna ou fatia) de MtEntrada são atribuídos aos componentes reais de um vetor complexo (N/2), VetorLinha, e aos componentes imaginários os valores ímpares (Fig.4).

7 for( k = 0; k < F; k++ ) { for( j = 0; j < C; j++ ) for( i = 0; i < L2; i++ ) { VetorLinha.VtC[i].Real = MtEntrada.MtR[i<<1, j, k]; VetorLinha.VtC[i].Imag = MtEntrada.MtR[(i<<1)+1, j, k]; } Fig.4 Laços para transformações de vetores. Cada VetorLinha é transformado pela função FFT1D e depois é realizada a técnica da recombinação trigonométrica, adotada e otimizada da que foi desenvolvida em C++ para o caso unidimensional em Embree e Danielli (1999). A demonstração matemática dessa técnica é encontrada em [2]. Depois os valores de cada VetorLinha são passados para uma matriz complexa 3D (N/2 x M x F), MtComplexa. A DFT de uma pilha de imagens f(x,y,z) também possui simetria conjugada, isto é, F(u,v,w) = F * (-u,-v,-w), em relação ao Nyquist point (N/2, M/2, F/2). Assim, o comprimento das linhas deve ser um pouco maior (N/2+1) para que os valores de MtComplexa sejam transformados até a matriz (M x F) que contém o Nyquist point, MtNp2D. A Fig.5 mostra como os valores das colunas de MtNp2D são calculados. MtComplexa.MtC[N/2,j,k].Imag = VetorLinha.VtC[0].Real VetorLinha.VtC[0].Imag; MtComplexa.MtC[N/2,j,k].Real = 0; Fig.5 Cálculo das colunas da matriz que contém o Nyquist point. Baseado no método Linha-Coluna (3.2), realizou-se o método chamado de Linha-Coluna-Fatia, que consiste em calcular a FFT1D não só nas linhas e colunas, mas também nas fatias, transformando cada vetor-fatia. Se colunas e fatias tiverem comprimentos iguais o vetor com os fatores de rotação pode ser criado para as duas dimensões. Após transformar as colunas e fatias, calcula-se o espectro de Fourier de MtComplexa que tem metade do tamanho da pilha de imagens de entrada. Precisa-se, então, completá-la e centralizá-la. A Fig.6a mostra a construção 3D do arquivo head256.raw, disponível em [5], que contém 225 imagens (256 x 256) transversais do crânio de um adulto masculino obtida por tomografia computadorizada (CT). As Figuras 6b e 6c mostram a metade o seu espectro de Fourier de (a). As construções 3D foram feitas no software ImageJ. (a) (b) (c) Fig.6 (a) Construção 3D do arquivo head256.raw. (b) Metade do espectro de Fourier de (a). (c) Metade do espectro de Fourier de (a), centralizado. A face destacada em vermelho é matriz MtNp2D. Tendo em vista a propriedade da simetria conjugada, são realizadas duas etapas para obter a matriz 3D de saída, MtSaida, com o mesmo tamanho de MtEntrada, contendo os valores transformados centralizados, obtidos a partir de MtComplexa: 1. Passam-se os valores de cada quadrante de MtComplexa para o quadrante simétrico conjugado de MtSaida, procedimento que foi feito nas Figuras 6b e 6c de acordo com a numeração.

8 2. Valores de MtNp2D são copiados e centralizados para MtSaida nos índices de linha igual a zero, [0, j, k], que é mostrada na Fig.6c como uma face com o contorno em vermelho. Enquanto a MtSaida é completada copiando os valores da metade centralizada para o restante da outra metade, obedecendo a simetria conjugada. Isso é feito através do código mostrado na Figura 7. for(k = 1; k < F; k++) for(j = 1; j < M; j++) for(i = 1; i < N/2; i++) { MtSaida.MtC[i, M-j, F-k].Real = MtSaida.MtC[N-i,j,k].Real; MtSaida.MtC[i, M-j, F-k].Imag = - MtSaida.MtC[N-i,j,k].Imag; MtSaida.MtC[i,0,F-k].Real = MtSaida.MtC[N-i,0,k].Real; MtSaida.MtC[i,0,F-k].Imag = - MtSaida.MtC[N-i,0,k].Imag; MtSaida.MtC[i,M-j,0].Real = MtSaida.MtC[N-i,j,0].Real; MtSaida.MtC[i,M-j,0].Imag = - MtSaida.MtC[N-i,j,0].Imag; MtSaida.MtC[i,0,0].Real = MtSaida.MtC[N-i,0,0].Real; MtSaida.MtC[i,0,0].Imag = - MtSaida.MtC[N-i,0,0].Imag; } Fig.7 Código para completar a matriz de saída. 3. RESULTADOS Em princípio, a análise do espectro de Fourier 3D de uma pilha de imagens com artefatos (ou ruídos) que se repetem na maioria das fatias (periódicos), sugere que as fatias mais centrais do espectro, principalmente a F/2, que contém o componente DC, guardem informações sobre esses artefatos ou ruídos. Por exemplo, na CT de crânio mostrada nas Figuras 3a e 6a, identifica-se nos cortes axiais a estrutura da mesa do paciente (patient table ou couch), logo atrás da cabeça, comum nas imagens de CT (depedendo do ajuste do aparelho) [1]; no seu espectro de Fourier, a imagem da fatia 129 (F/2, onde F varia de 0 à 255) muda drasticamente em relação ao padrão das imagens anteriores, como mostrado na Figura 8(a d). Outro exemplo, é uma MRI de crânio (256 x 256 x 256), disponível em [5], convertida para uma pilha (128 x 128 x 128) através dos itens Cortes e Reamostragem no menu Fundamentos do DIP; nas imagens dessa pilha foram simulados dois ruídos periódicos (Figuras 8g e 8i); a comparação entre as fatias 65 (F/2, onde F varia de 0 à 127) dos espectros de Fourier das imagens 3D ruidosas e da normal, reforça o que foi dito acima. (a) (c) (e) (g) (i) (b) (d) (f) (h) (j)

9 Fig.8 Fatias do espectro de Fourier da Fig.6(a): (a) fatia 126; (b) fatia 127; (c) fatia 128; (d) fatia 129, que muda drasticamente em relação ao padrão das imagens anteriores. Percebe-se uma mudança drástica da fatia 129 em relação às anteriores. (e) MRI de crânio (128x128x128). (f) fatia 65 de (e). (g) MRI de crânio (128x128x128) com um ruído pontual artificial. (h) fatia 65 de (g). (i) MRI de crânio (128x128x128) com um ruído linear artificial. (j) fatia 65 de (i). O método Linha-Coluna-Fatia foi implementado diretamente em uma função de controle para medir a eficiência computacional e os resultados da função FFT3D, que utiliza a recombinação trigonométrica e outras técnicas utilizadas para aumentar sua eficiência, como as descritas na seção 3.1. Essas medidas de eficiência foram feitas em função do tempo de transformação da pilha de imagens no seu espectro de Fourier e do uso da memória (número de matrizes, vetores e variáveis criadas para a execução do código) em um computador com o processador Intel Celeron de 1,73 GHz e memória RAM de 512 MB. O tempo médio para a obtenção do espectro de Fourier através da função de controle do arquivo head256.raw, sem nenhuma das técnicas para aumentar a eficiência descritas da seção 3.1 implementadas, foi de 1 minuto e 30 segundos. Após a implementação das técnicas o tempo médio foi de 1 minuto e 15 segundos. O tempo médio para a obtenção do espectro de Forier através da função FFT3D foi de 40 segundos, reduzindo o consumo de memória em até 40%, em relação à função de controle. Para comprovar as funções implementadas, as funções inversas (IFFT2D e IFFT3D) podem ser utilizadas, pois elas recebem as matrizes de retorno das funções diretas (FFT2D e FFT3D). As matrizes de entrada das funções diretas contêm os valoes das imagens. As imagens resultantes das funções inversas foram iguais as imagens antes das transformações, o que confirma a funcionalidade correta das funções. 4. CONCLUSÕES A DFT é uma importante ferramenta para filtragem de artefatos periódicos e realce de imagens digitais no domínio de freqüências. Assim, é importante que a FFT, como um algoritmo para calcular a DFT, seja bastante eficiente, principalmente no caso de imagens 3D onde há uma grande quantidade de valores (pixels). O código impletado para realizar a FFT nesses casos foi considerado bastante satisfatório, tendo em vista a complexidade dos cálculos envolvidos. Os padrões encontrados no espectro de Fourier 3D de pilhas de imagem com artefatos (ou ruídos) periódicos, sugerem, em princípio, uma técnica específica de filtragem no domínio de freqüências. Aprimorar essas hipotéticas e potenciais técnicas é uma das perspectivas para trabalhos do GDN, além implementar as já conhecidas na literatura para imagens digitais 2D. REFERÊNCIAS [1] BONTRAGER, K. L. Tratado de Técnica Radiológica e Base Anatômica. 5ª ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, [2] BRIGHAM, E. O. The Fast Fourier Transform. New Jersey, EUA: Prentice Hall, [3] COSTA, R. K. F. Radiografias Digitais Sintéticas Utilizando Modelos Computacionais de Exposição do Tipo FANTOMAS DE VOXELS/EGS4. Dissertação de Mestrado, DEN-UFPE, Recife-PE, Brasil, (2008). [4] EMBREE, P. M.; DANIELI, D. C++ Algorithms for Digital Signal Processing. 2.ed. New Jersey: Prentice Hall PTR, [5] ENGEL, K., Pre-Integrated Volume Rendering, Última atualização em 20/04/2001. Acesso em agosto de [6] GONZALEZ, R. C.; WOODS, R. E. Digital Image Processing. 2 nd ed. New Jersey, USA: Prentice Hall, [7] HAYES, M. H. Teoria e Proplemas de Processamento Digital de Sinais. Tradução de Anatólio Laschuk. Porto Alegre: Bookman, 2006.

10 [8] HUBBARD, J. R. Teoria e Problemas de Programação em C++. Tradução de Edson Furmankiewicz. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, [9] International Commission on Radiological Protection, ICRP 89, Basic Anatomical and Physiological Data for Use in Radiological Protection: Reference Values, Pergamon Press, Oxford, (2003). [10] KRAMER, R., KHOURY, H. J., VIEIRA, J. W., LIMA, V. J. M. MAX06 and FAX06: Update of Two Human Phantoms for Radiation Protection Dosimetry. Phys. Med. Biol., 51, , (2006). [11] KRAMER, R., VIEIRA, J. W., KHOURY, H. J., LIMA, F. R. A., FUELLE, D. All about MAX: A Male Adult Voxel Phantom for Monte Carlo Calculations in the Area of Radiation Protection Dosimetry. Phys. Med. Biol., 48, , (2003). [12] KRAMER, R., VIEIRA, J. W., KHOURY, H. J., LIMA, F. R. A., LOUREIRO, E. C. M, LIMA, V. J. M., HOFF, G., All about FAX: a Female Adult Voxel Phantom for Monte Carlo Calculation in Radiation Protection Dosimetry. Phys. Med. Biol., 49, , (2004). [13] LEAL NETO, V. Desenvolvimento de uma Interface Gráfica de Usuário para Modelos Computacionais de Exposição Externa. Dissertação de Mestrado, DEN-UFPE, Recife-PE, Brasil, (2007). [14] LOPES FILHO, F. J. Avaliações Dosimétricas em Pacientes Submetidos à Radioiodoterapia com Base em Fantomas de Voxels e em Imagens de Medicina Nuclear. Tese de Doutorado, DEN-UFPE, Recife-PE, Brasil, (2007). [15] MYLER, H. R.; WEEKS, A. R. Computer Imaging Recipes in C. New Jersey, EUA: Prentice Hall, [16] PITAS, I. Digital Image Processing Algorithms and Applications. EUA: Wiley-Interscience Publication, [17] SANTOS, A. M. Desenvolvimento de um Modelo Computacional para Cálculos de Dose Absorvida em Órgãos e Tecidos do Corpo Humano em Situações de Exposições Acidentais. Tese de Doutorado, DEN-UFPE, Recife-PE, Brasil, (2006). [18] TEMPLEMAN, Julian; OLSEN, Andy. Microsoft Visual C++.NET Step by Step, version USA: Microsoft Press, [19] VIEIRA, J. W. Construção de um Modelo Computacional de Exposição para Cálculos Dosimétricos Utilizando o Código Monte Carlo EGS4 e Fantomas de Voxels. Tese de Doutorado, DEN- UFPE, Recife-PE, Brasil, (2004). [20] VIEIRA J. W., LIMA F. R. A. Um Software para Processamento de Imagens Digitais Usadas na Construção de Fantomas de Voxels, I Simpósio de Dosimetria Interna Aplicada à Medicina Nuclear, CRCN-NE/CNEN, Recife-PE, Brasil, [21] VIEIRA J. W., LIMA F. R. A., SANTOS A. M., LEAL NETO V., LIMA V. J. M. DIP - Um Software para Processamento de Imagens Digitais. II Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte Nordeste de Educação Tecnológica II CONNEPI, João Pessoa-PB, Brasil, 27 a 29 de novembro de [22] VIEIRA, J. W., SANTOS, A. M., LIMA, F. R. A. Tratamento de Imagens Tomográficas para Uso em Dosimetria Numérica. Primeiro Congresso Americano do IRPA, Acapulco, México, 03 a 08 de setembro de [23] VIEIRA, J. W., STOSIC, B., LIMA, F. R. A., KRAMER, R., SANTOS, A. M., LIMA, V. J. M. Um Software para Editar Fantomas de Voxels e Calcular Coeficientes de Conversão para a Proteção Radiológica. Primeiro Congresso Brasileiro de Proteção Radiológica, Rio de Janeiro, 02 a 05 de novembro de [24] WALDMAN, H. Processamento de Sinais Digitais. Edição preliminar. Buenos Aires, Argentina: Escola Brasileira-Argentina de Informática (EBAI), 1987.