DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES ELASTICAS DE MOLAS E ESTUDO DEOSCILAÇÕES HARMÓNICAS

Transcrição

1 Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra Departamento de Física DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES ELASTICAS DE MOLAS E ESTUDO DEOSCILAÇÕES HARMÓNICAS Mestrado Integrado em Engenharia Física Laboratórios de Física TP1 Emanuel Duarte João Alves /2014

2 Introdução A suspensão de um corpo de massa m na extremidade de uma mola em hélice em que a outra extremidade está fixa, origina uma distensão até ficar na nova posição de equilíbrio. Se o corpo for deslocado através de uma força F e se o atrito puder ser desprezado, o movimento originado é periódico que não sofre amortecimento. A força responsável tem sentido oposto ao movimento e, por isso, é designada de força restauradora e a sua intensidade é dado por, em que k é a constante elástica da mola e x a elongação da mola. O sistema corpo-mola referido anteriormente é um exemplo de um oscilador harmónico simples e a aceleração em função do tempo, a(t), do movimento é dado por ( ) ( ) ( ) As posições no eixo vertical registadas ao longo do tempo desenham uma sinusóide em que a equação tem a forma ( ) ( ), sendo A a amplitude do movimento, a frequência angular e a fase na origem. Relacionando a aceleração e a força restaurador, usando a lei fundamental da dinâmica, conseguimos a seguinte relação: ( ) ( ) A frequência angular do movimento relaciona-se com o período através da expressão e com isto encontra-se uma nova relação:. Nas deduções anteriores desprezou-se a massa da mola (M). No entanto, se esta for levada em conta e através de cálculos matemáticos complexos, conclui-se que a massa responsável pela oscilação da mola, sem qualquer corpo suspenso, é de apenas. Por isso, se a massa da mola não for desprezável, o período do sistema massa-mola é dado por:. A associação de duas molas com constantes elásticas diferentes ligadas em série tem a seguinte relação para o período: ( ) ( ) ( ) A associação de duas molas em paralelo em que na extremidade livre coloca-se uma barra (de peso desprezável) e onde é suspenso um corpo de massa m tem a seguinte relação para o período: ( ) ( ) No caso de existir atrito no sistema atuam a força elástica e a força atrito, (desprezada nos casos anteriores). Neste caso a equação do movimento é Onde parâmetro parâmetro chama-se constante de amortecimento. e caracteriza a rapidez com que decresce a amplitude, a este Página1

3 Procedimento experimental O material necessário para a realização desta actividade experimental foram: duas molas em hélice, massas marcadas, um suporte para molas, uma régua graduada, um cronómetro, um disco de plástico e uma balança. Na primeira parte da actividade tínhamos como objectivo a determinação da constante elástica de cada uma das molas através de dois processos: o método estático e o método dinâmico. No primeiro, começámos por medir a massa da mola, M, e depois dependurámo-la no suporte e medimos a posição inicial do extremo inferior da mola (l 0 ). Para finalizar, suspendemos na extremidade livre da mola uma massa m i e medimos a nova posição do extremo inferior (l i ). Repetimos este processo mais 4 vezes para massas diferentes, até um máximo de 150 gramas. Realizámos isto para as duas molas. No segundo, determinámos a massa M só de uma mola, dependurámo-la no respectivo suporte e aplicámos no extremo inferior uma massa m i. Depois imprimimos um movimento vibratório simples de pequena amplitude e medimos o período deste movimento. Para tal registámos 5 vezes o tempo de 10 oscilações completas. Este procedimento foi repetido para outras 4 massas. Na segunda parte, o intuito foi a determinação da constante elástica de duas molas associadas em série. Para isto, aplicou-se somente o método estático e iniciou-se novamente pelo cálculo da massa M de ambas as molas. Posteriormente, dependurámo-las no respectivo suporte e medimos a posição inicial do extremo inferior da segunda mola (l 0 ). Suspendemos na extremidade livre uma massa m i e registámos a posição do extremo inferior da mola (l i ). Repetiu-se este procedimento para mais 4 massas até um máximo de 150 gramas. De seguida, o objectivo foi determinar a constante elástica de duas molas associadas em paralelo através do método estático. Primeiro registou-se a massa das molas e depois colocou-se as molas em paralelo no suporte de modo a que o extremo inferior destas ficasse à mesma altura para que a barra horizontal colocada nestes extremos inferiores ficasse na horizontal. Quando isto foi conseguido, mediu-se a posição inicial da barra (l 0 ) e só depois se suspendeu uma massa m i. Anotou-se a nova posição do extremo inferior da mola, l i, e repetiuse o processo para outras 4 massas até um máximo de 150 gramas. Por fim, teve-se como objectivo determinar a constante de amortecimento do sistema oscilatório. Para isso, pendurou-se as molas em série e pendurámos nestas uma massa m. Registámos a posição de equilíbrio do sistema e escolhemos como ponto de referência a face inferior da massa. Puxámos a massa 15 cm relativamente à posição de equilíbrio e anotámos a posição extrema a que chega a massa com um intervalo de tempo de 1 minuto e adquirimos 15 valores. Por último aplicamos um disco de plástico na parte superior da massa e repetimos o procedimento anterior com um intervalo de tempo de 30 segundos. Página2

4 F=Mi*g Tratamento de resultados experimentais Determinação da constante elástica de cada uma das molas Método estático mola 1 l 0 (cm) 20,9 ± 0,05 M (g) 16,4 ± 0,1 Posição da extremidade li (cm) 25,7 ± 0,05 28,7 ± 0,05 31,9 ± 0,05 34,0 ± 0,05 37,1 ± 0,05 Δl = li - l0 (m) 0,048 ± 0,001 0,078 ± 0,001 0,110 ± 0,001 0,131 ± 0,001 0,162 ± 0,001 Massa suspensa mi (g) 50,2 ± 0,1 78,4 ± 0,1 101,8 ± 0,1 120,5 ± 0,1 144,8 ± 0,1 Mi = mi + (M/3) (g) 55,67 ± 1,33E-04 83,87 ± 1,33E ,27 ± 1,33E ,17 ±1,33E ,27± 1,33E-04 F = Mi*g (N) 0,546 ± 0,001 0,822 ± 0,001 1,051 ± 0,001 1,236 ± 0,001 1,473 ± 0,001 ki (N/m) 11,38 ± 10,54 ± 9,55 ± 9,44 ± 9,09 ± ki médio (N/m) 9,66 ± 1,6 1,4 y = 7,8113x + 0,2062 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, ,05 0,1 0,15 0,2 Δl = li - l0 ki (N/m) 7,8113 Nota: Para o cálculo da média e para a execução do gráfico, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g, uma vez que esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes. Página3

5 F=Mi*g Método estático mola 2 l 0 (cm) 20,6 ± 0,05 M (g) 16,5 ± 0,1 Posição da extremidade li (cm) 24,4 ± 0,05 28,1 ± 0,05 30,8 ± 0,05 33,5 ± 0,05 36,3 ± 0,05 Δl = li - l0 (m) 0,038 ± 0,001 0,075 ± 0,001 0,102 ± 0,001 0,129 ± 0,001 0,157 ± 0,001 Massa suspensa mi (g) 50,2 ± 0,1 78,4 ± 0,1 101,8 ± 0,1 120,5 ± 0,1 144,8 ± 0,1 Mi = mi + (M/3) (g) 55,7 ± 1,33E-04 83,9 ±1,33E ,3 ± 1,33E ,0 ± 1,33E ,3 ± 1,33E-04 F = Mi*g (N) 0,546 ± 0,001 0,822 ± 0,001 1,052 ± 0,001 1,235 ± 0,001 1,473 ± 0,001 ki (N/m) 14,36 10,96 10,31 9,57 9,38 ki médio (N/m) 10,06 1,6 1,4 1,2 y = 7,8255x + 0, ,8 0,6 0,4 0, ,05 0,1 0,15 0,2 Δl = li - l0 ki (N/m) 7,8255 Nota: Para o cálculo da média e para a execução do gráfico, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g, uma vez que esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes. Página4

6 Método dinâmico M (g) 16,5 ± 0,1 Massa suspensa mi (g) 50,2 ± 0,1 78,4 ± 0,1 101,8 ± 0,1 120,5 ± 0,1 144,8 ± 0,1 Mi = mi + (M/3) (g) 55,7 ± 83,9 ± 107,3 ± 126,0 ± 0, ,3 ± Tempo de 10 oscilações 4,71 ± 0,01 6,44 ± 0,01 7,29 ± 0,01 7,9 ± 0,01 8,59 ± 0,01 média (s) Ti (s) 0,471 ± 0,001 0,644 ±0,001 0,729 ±0,001 0,790 ±0,001 0,859 ±0,001 Ti 2 0,222 ± 1,0E-6 0,415 ± 1,0E-6 0,527 ± 1,0E-6 0,624 ± 1,0E-6 0,738 ± 1,0E-6 ki (N/m) 9,90 7,98 8,04 7,97 8,04 ki médio (N/m) 8,01 Nota: Para o cálculo da média, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g, uma vez que esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes. Página5

7 Determinação da constante elástica de duas molas associadas em série l 0 (cm) 42,0 ± 0,05 M (g) 32,9 ± 0,1 Posição da extremidade li (cm) 52,7 ± 0,05 59,9 ± 0,05 64,7 ± 0,05 70,1 ± 0,05 75,5 ± 0,05 Δl = li - l0 (m) 0,107 ± 0,001 0,179 ± 0,001 0,227 ± 0,001 0,281 ± 0,001 0,335 ± 0,001 Massa suspensa mi (g) 50,2 ± 0,1 78,4 ± 0,1 101,8 ± 0,1 120,5 ± 0,1 144,8 ± 0,1 Mi = mi + (M/3) (g) 61,17 ± 1,33E-04 89,37 ± 1,33E ,77 ± 1,33E ,47 ± 1,33E ,77 ± 1,33E-04 F = Mi*g (N) 0,599 ± ,876 ± 0,001 1,105 ± 0,001 1,288 ± 0,001 1,527 ± 0,001 ki (N/m) 5,60 ± 4,89 4,86 4,58 4,56 Ks médio (N/m) 4,72 Ks calculado (N/m) 4,37 Nota: Para o cálculo da média, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g, uma vez que esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes. Determinação da constante elástica de duas molas associadas em paralelo l 0 (cm) 23,9 ± 0,05 M (g) 32,9 ± 0,1 Posição da extremidade li (cm) 27,0 ± 0,05 28,8 ± 0,05 29,5 ± 0,05 31,5 ± 0,05 32,9 ± 0,05 Δl = li - l0 (m) 0,031 ± 0,001 0,049 ± 0,001 0,056 ± 0,001 0,076 ± 0,001 0,090 ± 0,001 Massa suspensa mi (g) 50,2 ± 0,1 78,4 ± 0,1 101,8 ± 0,1 120,5 ± 0,1 144,8 ± 0,1 Mi = mi + (M/3) (g) 61,17 ± 1,33E-04 89,37 ± 1,33E ,77 ± 1,33E ,47 ± 1,33E ,77 ± 1,33E-04 F = Mi*g (N) 0,599 ± 0,001 0,876 ± 0,001 1,105 ± 0,001 1,288 ± 0,001 1,527 ± 0,001 ki (N/m) 19,32 17,87 19,73 16,94 16,97 Kp médio (N/m) 17,26 Kp calculado (N/m) 17,30 Nota: Para o cálculo da média, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g e de 101,8 g, uma vez que estas apresentavam um desvio relativamente aos valores restantes. Página6

8 Determinação da constante de amortecimento do sistema oscilatório Sem disco X 0 (cm) 15,1 ± 0,05 Ln (X 0 ) 2,71 Tempo, t (s) 0 ± 0,01 60 ± 0, ± 0, ± 0, ± 0,01 Desvio máximo X m (cm) 30,0 ± 0,05 24,5 ± 0,05 21,8 ± 0,05 20,4 ± 0,05 18,6 ± 0,05 Amplitude A= X m -X 0 14,9 ± 1,0E-04 9,4 ± 1,0E-04 6,7 ± 1,0E-04 5,3 ± 1,0E-04 3,5 ± 1,0E-04 Ln (A) -1,9038-2,3645-2,7031-2,9375-3,3524 Tempo, t (s) 300 ± 0, ± 0, ± 0, ± 0, ± 0,01 Desvio máximo X m (cm) 17,7 ± 0,05 17,2 ± 0,05 16,7 ± 0,05 16,3 ± 0,05 16,0 ± 0,05 Amplitude A= X m -X 0 2,6 ± 1,0E-04 2,1 ± 1,0E-04 1,6 ± 1,0E-04 1,2 ± 1,0E-04 0,9 ± 1,0E-04 Ln (A) -3,6497-3,8632-4,1352-4,4228-4,7105 Tempo, t (s) 600 ± 0, ± 0, ± 0, ± 0, ± 0,01 Desvio máximo X m (cm) 15,8 ± 0,05 15,6 ± 0,05 15,5 ± 0,05 15,4 ± 0,05 15,3 ± 0,05 Amplitude A= X m -X 0 0,7 ± 1,0E-04 0,5 ± 1,0E-04 0,4 ± 1,0E-04 0,3 ± 1,0E-04 0,2 ± 1,0E-04 Ln (A) -4,9618-5,2983-5,5215-5,8091-6, Amplitude da oscilação em função do tempo y = -4,88E-03x - 2,07E λ (s -1 ) 4,88E-03 Página7

9 Com disco X 0 (cm) 14,9 ± 0,05 Ln (X 0 ) 2,70 Tempo, t (s) 0 ± 0,01 30 ± 0,01 60 ± 0,01 90 ± 0, ± 0,01 Desvio máximo X m (cm) 29,5 ± 0,05 24,5 ± 0,05 19,5 ± 0,05 18,3 ± 0,05 17,1 ± 0,05 Amplitude A= X m -X 0 14,6 ± 1,0E-04 9,6 ± 1,0E-04 4,6 ± 1,0E-04 3,4 ± 1,0E-04 2,2 ± 1,0E-04 Ln (A) -1,9241-2,3434-3,0791-3,3814-3,8167 Tempo, t (s) 150 ± 0, ± 0, ± 0, ± 0, ± 0,01 Desvio máximo X m (cm) 16,5 ± 0,05 15,8 ± 0,05 15,7 ± 0,05 15,5 ± 0,05 15,4 ± 0,05 Amplitude A= X m -X 0 1,6 ± 1,0E-04 0,9 ± 1,0E-04 0,8 ± 1,0E-04 0,6 ± 1,0E-04 0,5 ± 1,0E-04 Ln (A) -4,1352-4,7105-4,8283-5,1160-5,2983 Tempo, t (s) 300 ± 0, ± 0, ± 0, ± 0, ± 0,01 Desvio máximo X m (cm) 15,3 ± 0,05 15,2 ± 0,05 15,1 ± 0,05 15,0 ± 0,05 15,0 ± 0,05 Amplitude A= X m -X 0 0,4 ± 1,0E-04 0,3 ± 1,0E-04 0,2 ± 1,0E-04 0,1 ± 1,0E-04 0,1 ± 1,0E-04 Ln (A) -5,5215-5,8091-6,2146-6,9078-6, Amplitude da oscilação em função do tempo y = -1,14E-02x - 2,28E λ (s -1 ) -1,14E-02 Página8

10 Conclusão Uma vez concluída a actividade experimental e serem registados e tratados os dados verificamos que a primeira os valores relativos a primeira massa não deveriam ser considerados nos gráficos e nas conclusões finais, uma vez que o valor da massa era demasiado pequeno, deste modo, não era exercida força suficiente sobre a mole sendo que esta não tivesse elongação suficiente, dando valores incorrectos. Verificámos, também, na parte da determinação da constante elástica de duas molas associadas em paralelo que ocorreram erros de medidas relativamente á massa de 101,8 g, uma vez o valor da constante elástica, k, sérum valor incompatível com o esperado, decidimos, então, descartar estes dados, de modo a não influenciar as conclusões finais. O restante tratamento dos resultados experimentais foi realizado como consta no protocolo fornecido. Primeiramente, com o objetivo de determinar o valor da constante elástica de cada uma das molas, utilizou-se o método estático. Neste método, para a mola 1, calculámos o valor da constante através da média da constante elástica de cada uma das massas, sendo este valor de 9,66 N/m, e através de um gráfico de F em função de Δl, obtendo o valor de 7,8113 N/m. Para a mola 2, foram utilizados o método estático e o método dinâmico. No método dinâmico obtivemos, através da média, o valor de 10,06 N/m e, com recurso ao gráfico, o valor de 7,8255 N/m para a constante elástica. Para a mesma mola, usando o método dinâmico obtivemos um valor de 8,01 N/m com um maior erro, uma vez que tem de ser tido em consideração o erro associado á incerteza de cada medição do tempo. Verificamos que, pela análise dos dados, no método estático o valor mais correto será o obtido por análise do gráfico, tendo em conta a comparação dos erros associados. Na segunda parte da actividade, com o objetivo de determinar a constante elástica de duas molas associadas em série, através do método estático, obtivemos um valor de 4,72 N/m para a constante elástica. Obtivemos ainda, com recurso á equação da associação de molas em série e os valores da constante elástica obtidos anteriormente, obtivemos um valor de 4,37 N/m para a constante. Uma vez os valores serem relativamente próximos, pode concluir-se que a equação apresentada se verifica. Na terceira parte da actividade experimental, com o objetivo de determinar a constante elástica de duas molas associadas em paralelo utilizando o método estático obtivemos como valor da constante elástica 17,26 N/m. e, utilizando a equação de associação de molas em paralelo e os valores da constante elástica calculados anteriormente, obtivemos um valor de 17,30 N/m. Assim, concluímos que a equação de associação de molas em paralelo também se verifica. No término da actividade experimental, com o objetivo de determinar a constante de amortecimento de um sistema oscilatório. Para um peso sem disco, com menor resistência do ar, o seu valor é de 4,88E-03 s -1 e para um peso com disco, com uma maior resistência do ar, o valor da constant de amortecimento é de 1,14E-02 s -1. Concluímos então que a colocação do disco de plástico fará com que a constante de amortecimento aumente levando á diminuição da amplitude de oscilação do peso, que ocorrerá mais rápida. Diminuindo o tempo em que entra em equilíbrio. Durante o tratamento dos dados experimentais, os erros considerados são provenientes das incertezas das réguas e dos instrumentos de medida, como a balança. Vimos, também, que foram cometidos erros de leitura pelos alunos, nomeadamente na parte de determinação da constante elástica de duas molas associadas em paralelo. Página9