Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Física Física Experimental 1 1 Semestre 2011

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1 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Física Física Experimental 1 1 Semestre 2011 Capítulo 2 Medidas e incertezas II Índice 2.1 Introdução 2.2 Erros sistemáticos e erros aleatórios 2.3 Acurácia e precisão 2.4 Média e desvio padrão 2.5 Distribuição gaussiana de probabilidades 2.6 Incerteza instrumental x Incerteza da média 2.7 Propagação de incertezas em medidas indiretas com incertezas aleatórias 2.8 Confecção de gráficos e histogramas 2.9 Bibliografia 2.1 Introdução Segundo os preceitos do método científico, um resultado experimental é tanto melhor quanto puder ser repetido e confirmado várias vezes, de preferência por experimentadores diferentes. Uma das razões por trás deste preceito é a impossibilidade de se conhecer, a priori, os tipos de erros experimentais, assim como suas magnitudes, que estão associados à realização de uma determinada experiência. Nos experimentos realizados na prática 1, o procedimento de medida era bem controlado. Por exemplo, medir os lados de uma mesa é um procedimento simples e reprodutível. Dessa forma, a incerteza na medida realizada torna-se realmente aquela dada pela resolução do instrumento usado sendo assim suficiente uma única medida para aferir os dados corretamente. Todavia, existem casos em que a maneira de realizar o experimento introduz erros que não estão associados à incerteza do equipamento. Os erros experimentais podem ser classificados em três categorias: erros grosseiros, erros sistemáticos e erros aleatórios. Algumas categorias de erros ainda apresentam subcategorias. Eles são decorrentes de falhas humanas, como leitura errada de um instrumento de medida, erro de cálculo, utilização inadequada de um dado instrumento ou técnica de medição e até mesmo da total falta de noção a respeito daquilo de que se necessita medir. Afortunadamente, as fontes destes erros podem ser facilmente identificadas, pois os resultados decorrentes destoam dos demais, o que leva à possibilidade de correção do erro. Os erros grosseiros, também denominados ilegítimos, podem ser corrigidos refazendo-se os experimentos e/ou as operações erradas, agora de forma correta. As outras duas categorias de erro são as mais freqüentes e requerem um estudo cuidadoso das condições sobre as quais o experimento é realizado, para que possam ser detectados e corrigidos. 1

2 2.2 Erros sistemáticos e erros aleatórios Erros sistemáticos Os erros sistemáticos estão associados a um determinado instrumento e/ou técnica de medida empregados. Eles são difíceis de ser detectados, e a melhor forma de investigar se ocorreu erro sistemático em um dado experimento é procurar obter este mesmo resultado usando outros equipamentos e técnicas de medida, ou até mesmo outros experimentadores. Conforme a idéia que o nome nos dá, estes erros aparecem sistematicamente e, por conseguinte, não podem ser postos em evidência através da simples repetição de uma medida. Alguns erros sistemáticos são extremamente comuns, sendo praxe adotarem-se alguns procedimentos antes de iniciar um experimento. Por exemplo, não zerar um instrumento antes de iniciar o experimento levará a erros sistemáticos ao longo das medidas. Consideremos a medida da massa de um corpo, com uma balança digital. Se a indicação da balança, quando nenhum corpo estiver sobre ela, não for zero, digamos 3,7 g, o valor medido para a massa do corpo será acrescido de 3,7 g. Se esta mesma balança for utilizada para a medida da massa de outros corpos, usando a mesma técnica de medida, todos os valores obtidos estarão sistematicamente acrescidos de um erro de 3,7 g. A maneira de se eliminar este tipo de erro sistemático é, então, sempre zerar a balança antes de qualquer processo de medida. Outro tipo de erro sistemático, muito comum, provém da descalibração do instrumento de medida. Se estivermos interessados na medida das temperaturas do ponto de fusão e de ebulição da água, nas CNTP (Condições Normais de Temperatura e Pressão), e o termômetro usado nos indicasse 0 C e 110 C respectivamente, é sinal de que ele está descalibrado. Se este termômetro for utilizado em outros experimentos para medida de temperaturas, todos os valores obtidos estarão sistematicamente, errados. A maneira de eliminar este erro seria definir uma curva de calibração, que leva em consideração que, ao se ler 110 C, na verdade lê-se 100 C. Os erros sistemáticos em trabalhos experimentais são frequentemente mais relevantes do que os erros aleatórios. Não há um princípio geral que nos diga como evitá-los, e somente a vivência do experimentador pode levá-lo a desconfiar da ocorrência deste tipo de erros Erros aleatórios Os erros aleatórios são produzidos por variações imprevisíveis e incontroláveis na situação experimental. Estas podem ser causadas apenas pelo observador, que pode introduzir um erro na leitura do instrumento de medida ou na sua manipulação, ou por causas externas, como vibrações mecânicas, oscilações na amplitude da tensão da rede elétrica ou a própria oscilação do parâmetro a ser medido. Contrariamente ao que ocorre com os erros sistemáticos, os erros aleatórios não são reprodutíveis, apresentando igual probabilidade de aumentar ou reduzir o valor da grandeza física medida. Observa-se que estes erros são distribuídos segundo uma lei empírica relativamente simples, desse modo torna-se possível o uso de métodos estatísticos para tratá-los e minimizá-los. Um exemplo simples de erro aleatório decorre do reflexo humano. Ao tentar-se medir o intervalo de tempo em que ocorre um dado fenômeno com um cronômetro acionado manualmente, uma pessoa introduz um erro aleatório ao ligar e desligar o cronômetro. Este erro é ora para mais, ora para menos. A maneira de eliminar este erro seria repetir o experimento várias vezes e aplicar o tratamento estatístico adequado aos resultados, o que estudaremos mais adiante, neste capítulo. 2

3 2.3 Acurácia e precisão A diferença entre os termos acurácia e precisão serve para caracterizar uma medida no que diz respeito a erros sistemáticos e erros aleatórios. Se uma medida apresenta pequenos erros sistemáticos, ela é dita de grande acurácia ou exatidão, ou seja, o valor medido ou a média dos valores medidos está próxima do valor adotado ou ideal. A medida da acurácia de um experimento só é possível através da comparação entre medidas provenientes de experimentos realizados de forma independente, assim como, preferencialmente, utilizando outros observadores e métodos. Por outro lado, se os erros aleatórios são pequenos, a medida é considerada de grande precisão ou reproducibilidade, ou ainda, pequena incerteza. É necessário considerarmos simultaneamente acurácia e precisão quando analisamos nossos resultados experimentais. Não há valor científico em um resultado muito preciso, se este não é acurado. Por outro lado, um resultado não pode ser considerado acurado se a precisão não (A) (C) (B) (D) Fig.1. Distribuição de dardos (pontos) em torno do alvo (menor círculo central representando o valor ideal adotado) para um conjunto de lançamentos nas seguintes condições: (A) baixa precisão e acurácia; (B) alta precisão e acurácia; (C) alta precisão e baixa acurácia; (D) baixa precisão e boa acurácia para o valor médio. for boa. Na figura 1, mostramos um exemplo considerando o experimento de lançamento de dardos em um alvo. Consideramos o alvo (menor círculo central) como sendo o valor adotado ou ideal de uma certa medida e cada um dos dardos como sendo o resultado de uma dada medida. O grau de acurácia e precisão na maioria dos casos só são estabelecidos após um número razoável de realizações do experimento. Vamos agora ver um exemplo de representação dos conceitos de precisão e acurácia para uma dada grandeza. Considere que a medida da velocidade da luz no vácuo resultou no valor c = (3,0 ± 0,2) 10 5 km/s. Assim, podemos concluir que a medida é acurada, todavia a precisão do experimento é pequena causando variações muito grandes no valor de c, especificamente, entre 2, km/s e 3, km/s. Da mesma forma, se a velocidade for medida como sendo c = (2,99776 ± 0,00004) 10 5 km/s, apesar da grande precisão alcançada, o valor adotado para a velocidade da luz difere de 16 km/s em relação ao valor medido estando inclusive fora do intervalo de precisão. 2.4 Média e desvio padrão Ao trabalharmos com resultados de várias medições em condições de repetitividade, dispomos de procedimentos estatísticos para resumir e consolidar as informações obtidas. No caso de erros aleatórios já mencionados acima, esse tipo de tratamento mostra-se eficaz para identificar e/ou reduzir as incertezas associadas ao processo de medida. Por exemplo, quando medimos várias vezes o tempo de queda para um objeto de uma mesma altura, obtemos um conjunto de medidas cujos valores normalmente diferem entre si. Nestas condições, qual é o melhor valor que representa o tempo de queda do corpo? Qual a incerteza associada a este valor? Para responder estas perguntas, poderíamos fazer como em nossa primeira prática e, em princípio, usar apenas uma medida e associar a esta medida a menor divisão da escala, ou seja, a resolução do instrumento de medida, caso estejamos utilizando um cronômetro. Porém, a incerteza associada ao instrumento cronômetro não cobre as incertezas ou erros associados a sua operação 3

4 (reação ou reflexo do operador etc). Como então incluir fatores de natureza aleatória no processo de medida? Média ou valor esperado Considerando uma determinada grandeza física X: se o resultado de uma medida dessa grandeza possuir uma incerteza proveniente do processo de medida, na qual existe a chance de se obter em uma dada medida um valor acima do valor ideal da mesmas forma que pode-se obter um valor menor ambos dentro de um certo intervalo finito de possibilidades, a essa variável de incerteza na medida damos o nome de variável aleatória. A variável aleatória é aquela cujo valor está associado uma certa probabilidade de ocorrência. Apesar da variável aleatória ser um conceito probabilístico, reforçamos que o valor ideal da medida pode em alguns casos ser obtido através de equações determinísticas. Por exemplo, a partir das leis de Newton podemos determinar que o tempo de queda, t, de um corpo sob o efeito da gravidade, g, para uma altura conhecida H,. Contudo, apesar da possibilidade de calcular o tempo de queda através dessa equação, geralmente o processo de medida dessa grandeza tem associado uma incerteza intrínseca, e está introduz o caráter probabilístico. Existem vários tipos de distribuições de probabilidades para variáveis aleatórias, porém estaremos, neste curso, concentrando esforços nas distribuições do tipo gaussiana. Para iniciar nossos estudos, consideremos a situação na qual realizamos a média de uma série de medidas do tipo descrito no início desta seção, ou seja, ao somarmos todos os valores medidos e dividí-los pelo número total, N, de medidas, seremos capazes de reduzir a contribuição das variações, restando-nos um resultado bem próximo de. Se forem realizadas N medidas de X, designadas por x, x, 1 2, xn, o valor médio, ou valor esperado (VE), deste conjunto de medidas é por definição N 1 x1 x2 x3... xn VE( x) x xi. N i 1 N ( 2.1) A partir daqui consideraremos o valor ideal ou adotado para uma grandeza física qualquer. Este valor ideal será o resultado da eq. (2.1) quando N, ou seja. Dessa forma, nossa primeira conclusão é: a distribuição de probabilidades para nosso conjunto de medidas deve garantir que a expressão (2.1) seja finita para o regime. Existem inúmeros casos em que o valor médio ou esperado de uma grandeza não existe, mas estes não serão tratados aqui. Podemos utilizar a definição dada na eq. (2.1) para obter algumas propriedades importantes do cálculo de VE. Considerando agora x e y um conjunto de N medidas cada de uma mesma grandeza física Considerando k uma constante qualquer temos que Variância e desvio-padrão. Dado um conjunto de medidas e considerando as variações destas como sendo aleatórias, espera-se que o resultado livre dessas incertezas, o valor esperado, seja aquele obtido do cálculo da (2.2) (2.3) 4

5 média de muitas dessas medidas. Gostaríamos de saber quão próximo uma nova medida realizada estará do seu valor ideal ( O valor ideal é aquele obtido da eq. (2.1) para N ). Esta estimativa é dada pelo desvio padrão,. Considerando que a média, x, ou valor esperado, VE, é uma medida de localização, o desvio padrão, é o parâmetro que caracteriza a dispersão das medidas em torno do valor médio. Essa grandeza expressa a qualidade das medições. Podemos, por exemplo, ter conjuntos de medidas que possuem o mesmo valor médio, mas com desvios padrões diferentes. Considere, como exemplo, a utilização da distribuição de renda ou de alimentos em alguns países como parâmetros para avaliar a qualidade de vida. Nestes casos, valores médios podem gerar avaliações equivocadas. 2 A variância, ou desvio quadrático médio,, é definido por N ( x) x i x. 1 N i 1 (2.4) Essa definição é estabelecida na verdade para o caso N e suporemos que a eq. (2.4) seja finita nesse limite. Podemos desenvolver esta expressão e obter um formato mais simples que será útil para os cálculos com dados experimentais. Expandindo o termo quadrático na eq. (2.4), temos (2.5) na qual utilizamos a definição de média, eq. (2.1), no segundo termo e a relação terceiro termo. Finalmente, no Na eq. (2.6) somamos todos os quadrados dos valores medidos e realizamos uma única subtração do quadrado pelo valor médio calculado via eq. (2.1). Isso é certamente mais simples que subtrair os elementos termo a termo como na eq. (2.4). Certamente, os dados experimentais não contêm um número infinito de medidas e estaremos considerando aqui que N seja um número grande o suficiente para obter-se um bom valor aproximado tanto para a média quanto para a variância. Agora, através da definição da variância, dada pela eq. (2.4), podemos obter as seguintes propriedades importantes: considerando dois conjuntos de variáveis aleatórias, x e y, da mesma grandeza física e sendo estes conjuntos independentes, ou seja, cujas medidas feitas no conjunto da variável x não afetam a distribuição de probabilidades das incertezas para as medidas feitas no conjunto da variável y, podemos escrever Esses resultados são mais simples de verificar utilizando a eq. (2.6) e aplicando a condição de que as variáveis aleatórias sejam independentes. Senão vejamos (2.6) (2.7) (2.8) = ( ) (2.9) (2.10) 5

6 O último termo da eq. (2.9) foi batizado na eq. (2.10) com o nome de covariância. Pode-se verificar experimentalmente que para o caso de variáveis aleatórias independentes a covariância será nula. Neste caso particular teremos O desvio padrão,, é finalmente definido pela raiz quadrada da variância: (2.11) 2 (2.12) O desvio padrão quantifica a dispersão do resultado de uma medida com respeito ao valor médio de todas as medidas realizadas. Definimos então que o valor de uma dada medida deve estar próximo do valor ideal ou adotado dentro do intervalo, ou seja, a representação de uma medida da grandeza X é dada por Desvio padrão da média (2.13) No item anterior definimos que, para um experimento no qual as váriaveis medidas são independentes e aleatórias, o resultado de uma única medida está próximo do valor ideal dentro do intervalo. Porém, falta avaliar quão próximo do valor ideal está o resultado da média de um conjunto N de medidas. Digamos agora que N medidas foram feitas para uma dada grandeza, e dessas medidas, calculou-se a média. Quão próximo está a média do valor ideal, ou seja, qual é o desvio padrão da média? O erro introduzido em x provém dos desvios aleatórios de cada uma das medidas x i, que se propagaram no cálculo do valor médio. A incerteza da média associado ao valor médio de um conjunto de N medidas, vale, (2.14) na qual consideramos todas as medidas como sendo independentes. Além disso, os desvios padrões para cada uma das variáveis é o mesmo, logo. (2.15) O desvio padrão da média será. (2.16) Sendo assim, o valor médio de um conjunto de N medidas estará próximo do valor ideal dentro do intervalo. A representação de uma medida utilizando o valor da média é dada por. (2.17) 6

7 Fica claro a partir da eq. (2.17) que quando temos, que é o valor ideal por definição na ausência de qualquer incerteza. Este resultado não é um resultado geral. O mesmo é válido somente para distribuições de probabilidades cujas medidas sejam independentes e, além disso, possuam média e desvio padrão bem definidos. Um exemplo desse tipo de distribuição será visto a seguir. 2.5 Distribuição Gaussiana A distribuição Gaussiana ou distribuição normal de incertezas descreve de forma bem razoável resultados experimentais nos quais as grandezas medidas são dispostas de forma aleatória e independente dentro de um intervalo finito de resultados possíveis. Se cada medida em um dado experimento possuir uma incerteza do tipo variável aleatória, ou seja, uma incerteza que possui uma distribuição de probabilidade associada, e essa distribuição, além de independente da distribuição de incertezas da medida anterior ou seguinte, possuir média e desvio-padrão bem definidos: podemos representar o resultado do conjunto de medidas, ou sua frequência de ocorrências, de uma forma analítica extremamente simples dada por 1 2 x 2 P G ( x,, ) e (2.18) 2 que será tão próxima da distribuição real de ocorrências quanto maior for o número N de medidas. A distribuição de probabilidades de Gauss, P G ( x,, ), que é descrita pela função contínua dada pela eq. (2.18), tem como valor médio e desvio padrão ( é na verdade o valor médio para N infinito e, no caso da distribuição Gaussiana, é também o valor mais provável da distribuição). Como a distribuição é contínua e, em consequência das imposições geradas pelas limitações experimentais, os valores medidos são discretos, é necessário definir o intervalo correspondente a um dado valor discreto x. A probabilidade para que uma dada medida, feita aleatoriamente, pertença a um intervalo de x 2 em torno de x é P x x 2 x, x P x,, dx. x x 2 G (2.19) Para x pequeno, podemos fazer a aproximação P x, x PG x,, x. Como a probabilidade de se obter qualquer valor de x, i.e. x ϵ (- ; + ), é 1, a área total sob a curva definida pela função Gaussiana é dada por 2 lim x PG x x 2 ( 2.20) x,, dx 1. A probabilidade de a medida x i ocorrer no intervalo x será igual a 1 (100% de chance) quando x tender a infinito. Entretanto, se aceitarmos uma probabilidade menor do que 100%, é possível definir uma largura da distribuição para a qual a probabilidade de ocorrência da medida x seja bastante significativa. Um valor comumente adotado é o próprio desvio padrão. A probabilidade integral para x é de cerca de 68%, o que significa que aproximadamente 2/3 de todas as medidas ocorrem Fig. 2 Densidade de probabilidade P G de um dado conjunto de medidas em função de seus respectivos valores para o caso de uma distribuição gaussiana. X 0 denota o valor médio definido na eq. (2.1). O valor da largura da distribuição a meia-altura é de 2. 7

8 no intervalo de mais ou menos um desvio padrão em torno da média (valor adotado). Assim, se for atribuída à medida x uma incerteza de, há uma probabilidade de 68% de que o valor mais provável esteja dentro deste intervalo. A largura pode ser usada para caracterizar a curva Gaussiana. Outros valores possíveis são 2, que inclui 95% das medidas, ou a largura plena à meia altura (às vezes denotada pela sigla FWHM, do inglês full width at half maximum), que é um dos parâmetros que caracterizam uma distribuição. No caso da distribuição Gaussiana, 2 1,177 e o intervalo 2, 2 abrange cerca de 76% das medidas. Neste curso, adotaremos o desvio padrão para caracterizar a incerteza de uma única medida e no caso da média de um conjunto N de medidas, o valor procurado tem uma probabilidade de 68% de estar no intervalo x m. Finalmente frisamos que a distribuição gaussiana é uma distribuição especial, bem definida, com apenas dois parâmetros: a média e o desvio-padrão. Desse modo, qualquer grandeza física cujo processo de medida possa ser reconhecido como uma distribuição gaussiana está completamente caracterizada por esses dois parâmetros. Existem claro grandezas cuja distribuição de incertezas na medida não é gaussiana e por conseguinte necessitam de mais parâmetros, além dos dois citados acima, para serem completamente caracterizadas. Esse tipo de distribuição não será discutido no curso de Física experimental Incerteza instrumental incerteza da média Suponhamos que queremos medir a largura de uma placa de metal com uma trena milimetrada, como as que estão à disposição no laboratório. A medida é repetida, digamos, 20 vezes, e a cada vez encontra-se o mesmo resultado: L = 12,7 cm. Assim, o valor médio deste conjunto de medidas vale x 12,7 cm. O desvio padrão é nulo e a incerteza da média média 0 cm. Estatisticamente, isto nos diz que a largura da placa é exatamente 12, cm, sem haver possibilidade alguma de erro! Pega-se agora este mesmo corpo e mede-se a sua largura com um instrumento de maior resolução, tal qual um paquímetro, obtendo-se o resultado L = 12,739 cm. Repete-se então esta medida por 20 vezes e o valor lido no instrumento é L = 12,751 cm. Chega-se então a uma distribuição de valores em torno do valor médio x = 12,746 cm, com = 0,036 cm e média = 0,008 cm. Por que observa-se uma distribuição de largura não-nula com um instrumento de maior resolução e, consequentemente, uma incerteza da média diferente de zero, enquanto que, com a trena milimetrada, não se observa dispersão alguma? Parece claro que a dispersão, decorrente de irregularidades na largura da placa, é pequena demais para ser observada com a trena. Isto invalida qualquer processo estatístico para análise dos dados, já que a dispersão não pode ser observada. Assim, se a incerteza no processo de medida for dada por e a largura de uma distribuição de medidas for caracterizada por, tem-se que a) Se incerteza da medida = média b) Se incerteza da medida =. Muitas vezes é aconselhável introduzir propositalmente uma fonte de erros aleatórios no experimento para produzir uma dispersão maior do que a incerteza instrumental. Com este artifício, pode-se obter um valor médio mais próximo do valor esperado x e uma incerteza estatística média tão pequena quanto se desejar, bastando, para isto, repetir o experimento um número muito grande de vezes. Entretanto, embora não pareça, não é fácil produzir uma fonte verdadeiramente aleatória de ruído, devendo-se ter muito cuidado em relação a este ponto. Existe ainda um problema: se a incerteza da medida,, decorrer do processo de calibração do instrumento (o que significa erro sistemático), não é possível reduzir o erro no valor esperado 8

9 para algo inferior a, já que, como vimos, nenhum processo estatístico é capaz de remover um erro sistemático. Por isto, é importante conhecer a origem da incerteza instrumental, o que, na maioria dos casos, não é algo evidente. Parte desta incerteza decorre de erros aleatórios do instrumento. Por exemplo, seja uma régua de 1 m com irregularidades nas marcações dos traços milimetrados. Alterando-se, cada vez, o zero da medida (o ponto na régua a partir do qual iniciamos a comparação do comprimento do objeto a ser medido com o número de traços da régua), este erro assume caráter aleatório, podendo, como vimos, ser corrigido por uma análise estatística. Se, no entanto, o tamanho da régua não corresponder ao padrão de comprimento, por exemplo, a distância entre a marca de 0 m e 1 m medir 1,01 m, há um erro sistemático de 1% que está embutido em todas as medidas. Este erro não será corrigido por nenhum processo de medida, a menos que seja conhecido. O procedimento recomendado em qualquer processo de medida é primeiro calibrar o equipamento. A incerteza S (erro sistemático) que existir, neste processo, é o erro limite, o qual não pode ser eliminado estatisticamente. Em seguida, inicia-se a tomada de medidas. É possível que o procedimento experimental, incluindo-se o uso do equipamento e o método de medida, introduza novos erros como, por exemplo, erro na leitura da escala de uma régua, no acionamento do cronômetro etc. Estes erros de natureza aleatória ( A ) aumentam as incertezas nas medidas, mas podem ser tratados estatisticamente. Se a incerteza, na leitura do instrumento, for maior do que estes dois tipos de erros ( S e A ), todas as medidas serão idênticas e não será possível reduzir a incerteza a um valor inferior a. Contudo, aumentando os erros aleatórios, de forma que, pode-se estimar o valor da grandeza medida com uma incerteza inferior a, A S 2 2 bastando, para isto, realizar um grande número de medidas (lembrar: n ). 2.7 Propagação de incertezas em medidas indiretas com incertezas aleatórias Vimos no capítulo 1 que para cálculos envolvendo medidas cujas incertezas dependem somente da resolução do instrumento de medida temos a seguinte expressão média, (2.21) na qual conhecida a função e as incertezas dos instrumentos de medida, temos a incerteza propagada. Porém, neste capítulo introduzimos um novo tipo de incerteza associado ao processo de medida: as incertezas aleatórias. Vamos agora tratar o caso de propagação de incertezas sob condições nas quais supomos a incerteza proveniente dos erros aleatórios sendo maior que a do instrumento de medida. Como aprendemos ao longo das seções anteriores, devemos realizar médias sobre os valores obtidos para uma certa grandeza de interesse buscando minimizar o efeito da aleatoriedade na medida. Levando esse efeito em consideração devemos utilizar a média de cada incerteza, por exemplo, e substituí-la no valor da incerteza. Porém é fácil notar que as médias das incertezas para um número muito grande de medidas são nulas. Consequentemente a eq. (2.21) também se anula. Dessa forma, vamos procurar variações para o próximo termo não nulo da variação da função, no caso Para ser mais conciso, mas sem perda de generalidade, vamos considerar apenas duas variáveis nesta função. Assim elevando a eq. (2.21) ao quadrado temos (2.22) 9

10 Agora faremos a operação de média nessa grandeza utilizando a condição de que as médias em cada uma das variáveis x e y são nulas como já considerado e, além disso, essas variáveis são independentes. Assim teremos. (2.23) A relação de covariância (ver eq. 2.9 e 2.10) implica o que garante a eliminação do último termo na eq. (2.22). Além disso a definição de variância da média (ver eq. 2.15) também foi usada, pois o termo incluindo a média é nulo. Finalmente a nova incerteza propagada para o caso de duas ou mais grandezas físicas X e Y cuja medida é feita de forma a introduzir incertezas aleatórias é dada pela expressão da eq. (2.23) composta das derivadas parciais da função com relação aos parâmetros medidos e suas respectivas variâncias da média. 2.8 Confecção de gráficos e histogramas O objetivo do gráfico é transmitir informação de forma simples e direta. Abaixo seguem algumas regras para a confecção dos gráficos experimentais. Atenção: a correta observação de todas essas regras é de grande importância para garantir a clareza dos dados apresentados e será levada em consideração na correção de todos os gráficos confeccionados por você e sua equipe nas provas e relatórios. a) Em um espaço livre, na parte superior da folha, escreva o título do gráfico de forma clara e completa; b) No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente, isto é, a variável cujo os valores são escolhidos pelo experimentador; no eixo vertical (ordenada) é lançada a variável dependente, isto é, aquela obtida em função da primeira; c) Escreva o nome (letra maiúscula) ou inicial da grandeza em cada eixo e, entre parênteses, coloque a unidade correspondente; d) Deve se colocar convenientemente os pontos experimentais dentro do espaço disponível para o gráfico, mediante escolha de uma escala adequada; e) A escala deve ser simples e de fácil leitura dos pontos. Adotam-se múltiplos ou submúltiplos de números inteiros (0,1; 0,2; 0,3;.;1; 2; 3..; 10, 20, 30...). Quando se trabalha com números muito grandes ou pequenos, use notação científica. A escala pode ser simplificada lançando as potências de 10 juntamente com a unidade sobre os eixos; f) A escala pode ser escolhida por razões teóricas. Por exemplo, se os dados experimentais precisam ser comparados com uma teoria governada por uma equação do tipo y= kx, esta prevê a passagem pela origem, logo o gráfico deve apresentar esse ponto mesmo que os dados experimentais sejam inacessíveis; g) Os pontos experimentais devem ser marcados no gráfico usando símbolos ; h) Após a colocação dos pontos no gráfico, não escreva nos eixos os valores relativos a cada ponto, a não ser que estes coincidam com os da divisão adotada na escala; 10

11 i) Para o caso de grafar uma curva para ajuste dos pontos experimentais, esta deve ser suave e contínua. A curva de ajuste não precisa tocar nenhum ponto experimental especificamente e sim ajustar o conjunto inteiro. Ela deve ter a forma especificada pela lei física, quando houver, adotada para o ajuste Histograma Neste tipo de gráfico representaremos a grandeza medida no eixo x dividido em intervalos de igual comprimento que chamaremos de celas. No eixo y, representaremos frequência absoluta, fa, ou seja, o número de medidas que ocorreram no intervalo definido pela cela. O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde à cela e a sua altura à respectiva freqüência. Quando o número de dados aumenta indefinidamente e a cela tende a zero, a distribuição de freqüência se torna uma distribuição de densidade de probabilidades. A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da distribuição de dados. Fig. 3 Exemplo de um histograma no qual o eixo vertical indica a frequência de ocorrências de uma dada grandeza e no eixo horizontal a faixa de valores dessa mesma grandeza. O Histograma é uma forma de indicar se uma dada sequência de medidas aproxima-se de uma função normal ou gaussiana. Uma vez que o histograma apresenta-se com a forma próxima de uma função gaussiana, isto é, com um único máximo e com largura da distribuição finita, as técnicas discutidas para erros aleatórios em termos do cálculo da média e do desvio padrão podem ser usadas. A figura 4 mostra o ajuste de um histograma utilizando uma função gaussiana. Essa qualidade do ajuste é a assinatura do caráter aleatório do conjunto de medidas. 11

12 Fig. 4 Ajuste de um histograma (conjunto discreto de medidas) utilizando uma função gaussiana (função contínua). Na figura, SD (standard deviation) significa desvio padrão. Para a construção do histograma, divida os resultados obtidos em N grupos com intervalos,, iguais à diferença entre o maior e o menor valor obtido dividido por N. O valor de N é limitado pelo instrumento de medida. Conveciona-se escolher um intervalo que não seja menor do que duas vezes a precisão do instrumento utilizado. Em seguida, conta-se quantos resultados pertencem a cada intervalo, tomando o cuidado de não incluir na contagem, para um dado grupo os resultados, iguais ao limite superior do intervalo. O resultado dessa contagem é denominado Frequência Absoluta dos valores obtidos. Constrói-se então o gráfico de barras da freqüência absoluta em função dos limites superior e inferior dos intervalos, acrescentando dois intervalos com freqüência nula, um antes do limite inferior e outro após o limite superior. O gráfico assim obtido é o que denominamos de Histograma. Exemplo: Suponha as seguintes notas de relatórios Tabela de notas de relatórios 2,65 2,55 1,70 1,70 1,75 1,45 0,45 2,30 1,08 1,39 2,30 1,70 1,38 2,13 1,73 1,23 2,00 2,13 1,53 1,40 1,70 A precisão é δ = 0,01 Devemos ter então = 2δ 0,02. Por haver poucas notas na tabela, deve-se escolher um bem maior que 0,02. Dessa forma evita-se os buracos no histograma. Por outro lado, deve-se também tomar cuidado para não reduzir demais o acesso aos detalhes da distribuição caso um muito grande seja utilizado. Para a quantidade de medidas que temos, um histograma com 5 a 6 faixas (celas) está razoável. Para um histograma com 6 celas temos = 0,4. 12

13 Visto que N, nº de celas, = 6 Intervalos Frequência absoluta 0,05 0,45 0 0,45 0,85 1 0,85 1,25 2 1,25 1,65 5 1,65 2,05 7 2,05 2,45 4 2,45 2,85 2 2,85 3,25 0 Obs: O símbolo indica que o intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita. Queremos agora saber se o nosso histograma obedece, pelo menos aproximadamente, uma distribuição gaussiana. Temos que: = 1, (média) = 0, (desvio padrão da medida) = 0,5 = 0,5 > 0,01 = (incerteza do instrumento) Logo: X = ± x (desvio padrão da média) x = x = 0, x = 0,1 Com isso temos: X = 1,7 ± 0,1 13

14 Para que a distribuição seja gaussiana, devemos ter 68% das notas dentro de uma faixa limitada por ± em torno da média, ou seja, 68% das notas entre 1,2 e 2,2. No exemplo acima, temos aproximadamente 71% das medidas dentro do intervalo, o que caracteriza uma distribuição aproximadamente Normal ou Gaussiana Uso do papel milimetrado Determinação das escalas e da posição do papel. Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no eixo vertical, e 180 mm no eixo horizontal, então, podemos usá-la nesta posição ( retrato ) ou em outra posição, invertendo os eixos ( paisagem ). Deve ser escolhida uma destas duas possibilidades: retrato ou paisagem, de modo a otimizar a construção do gráfico visando ocupar o melhor possível a folha. Entretanto, ocupar o melhor possível a folha não significa necessariamente que se deve usar a escala que preenche todo o papel. Na prática, deve-se escolher uma escala que facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro ponto representado no gráfico. 14