Estudo da Tendência na Intensidade de Falhas em Sistemas Reparáveis

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1 Estudo da Tendência na Intensidade de Falhas em Sistemas Reparáveis Marta Afonso Freitas Depto de Engenharia de Produção Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Neander Ferreira Almeira Mestrando do Programa de Pós Graduação em Estatística Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) RESUMO Um aspecto importante da análise de dados de falhas para sistemas reparáveis é a investigação da existência de tendência nos tempos entre as ocorrências de falhas. A escolha de uma política de manutenção adequada depende do conhecimento do padrão de comportamento desta tendência. Este artigo apresenta alguns métodos existentes para verificação de existência de tendências em dados de falhas de sistemas reparáveis quando vários sistemas independentes são observados. Os métodos são aplicados em uma situação real, na análise de dados de falhas de um equipamento de uma empresa produtora de Ferro (Fe), Magnésio e Silício (Si). O objetivo era avaliar se a política de manutenção utilizada estava sendo efetiva. PALAVRAS CHAVE. Função Intensidade de Falhas.Manutenção Preventiva. Sistemas Reparáveis. Área de classificação principal: ESTATÍSTICA (CONFIABILIDAE). ABSTRACT A key point in the analysis of failure data for repairable systems is the investigation of the existence of a trend in successive times between failures. Different trend patterns will lead to different maintenance policies for those systems. This paper reviews some important methods for trend testing for failure data of repairable systems when several independent systems are observed. The methods are applied to a real situation, in the analysis of failure data from a especific equipment, used by a company whose main production products are Iron (Fe), Magnesium, and Sillicium (Si). The purpose was the evaluation of the effectiveness of the current maintenance policy. KEYWORDS: Intensity Function. Preventive Maintenance. Repairable Systems. Main area: Statistics (Reliability) [845]

2 . Introdução Um fator importante para a formulação das políticas de manutenção é, por exemplo, a detecção de possíveis mudanças no padrão de ocorrência das falhas ou, em outras palavras, a existência ou não de uma tendência no padrão de ocorrência das falhas. Se for constatado (através de testes estatísticos) que o padrão de ocorrência de falhas do sistema é estável, isto é, o tempo entre as ocorrências de falhas se mantém constante ao longo do tempo, então o sistema está estável e, a rigor, manutenções preventivas não são necessárias. Por outro lado se uma tendência for detectada e, em particular, for do tipo decrescente no tempo, isto indica que o sistema está em deterioração e intervenções são necessárias. A questão passa a ser então com que periodicidade se deve intervir. A literatura para eventos recorrentes (falhas) em sistemas reparáveis é vasta. Ascher e Feingold (984) apresentam uma boa lista de referências e exemplos. Para exemplos adicionais, veja Crow (974, 982), Lee e Lee (978), Bain e Engelhardt (98), Lee (98), Rigdon e Basu (2). Muito da discussão na literatura gira em torno de modelagem, em particular, do uso de processos de Poisson (Homogêneo PPH e Não Homogêneo- PPNH) e de renovação como modelos para sistemas reparáveis. Um outro tópico bastante discutido é a adequação ou não destes modelos para descrição do comportamento das falhas nestes sistemas (ver, por exemplo, Ascher e Feingold, 984; Capítulos 2 e 8). Dentro deste contexto, algumas propostas mais gerais foram feitas, tais como no trabalho de Thiagarajah e Lawless (996). Estes autores propuseram uma família de modelos um pouco mais geral, que incorpora tanto o comportamento de processos de Poisson como de renovação. Entretanto, o modelo mais difundido e utilizado para sistemas reparáveis é sem dúvida o modelo de Poisson Não Homogêneo (PPNH), pelo fato de ser um modelo flexível e matematicamente tratável e também ter uma justificativa teórica em muitas aplicações (a suposição de reparo mínimo ver conceito mais adiante). Um outro aspecto também atrelado à modelagem são as diversas propostas para a forma da função intensidade de falhas. A função intensidade tem um papel importante na seleção de um modelo adequado para sistemas reparáveis visto que ela contém informação sobre a verossimilhança de uma falha no tempo t ou na vizinhança deste tempo. Neste quesito, um bom número de trabalhos tem abordado a escolha da forma desta função a estimação de seus parâmetros. Crow (974) propôs o processo com função intensidade do tipo Lei de Potência (power law process), que é uma forma especial do processo de Poisson Não Homogêneo. Uma outra forma muito utilizada é a log-linear. Posteriormente, Pulcini (2), baseando-se na idéia original de Engelhardt e Bain (986) propôs o uso de um processo de Poisson Não Homogêneo com uma função intensidade limitada. Grande parte das abordagens teóricas citadas leva em conta que um único sistema está sendo analisado. Entretanto, em situações práticas, tais como as encontradas em Baracho (2) e Motta e Colosimo (22), o comum é estarmos diante de vários sistemas e algumas questões que surgem são: os sistemas são idênticos? O processo de Poisson Homogêneo é adequado para descrever cada sistema? Se os sistemas não são idênticos (no que diz respeito ao comportamento das recorrências), eles são distintos o suficiente para justificar uma análise separada para cada um e a estimação dos parâmetros do processo deve ser feita separadamente cada um? Invariavelmente, algumas suposições acabam sendo feitas para que a análise possa ser realizada. Neste aspecto, Rigdon e Basu (2, Cap 5) apresentam uma boa discussão a respeito dos métodos existentes para verificação da similaridade de sistemas e possíveis abordagens para sistemas distintos. Neste mesmo contexto, Kvalφy e Lindqvist (998) apresentam uma revisão de [846]

3 alguns métodos gráficos e testes para verificação de tendências no contexto do processo de Poisson Não Homogêneo e generalizam algum deles para o caso de k sistemas. O presente trabalho foi motivado pela necessidade de avaliar o sistema de manutenção de uma empresa produtora de Ferro, Silício e Magnésio, em particular por meio do histórico de manutenções dos equipamentos da pá carregadeira. O objetivo é, portanto, apresentar uma revisão de alguns modelos existentes para a análise dos dados de falhas em sistemas reparáveis como o da situação real, em particular, testes de hipóteses formais bem como procedimentos gráficos para a análise simultânea de vários sistemas. O foco está em testes de hipóteses e métodos gráficos para identificação de tendências na intensidade de falhas e avaliação da similaridade dos sistemas observados. O artigo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2 são apresentadas algumas definições de tipos de manutenção; suposições que podem ser feitas em relação à cada uma e o efeito destas suposições na análise do padrão de falhas de um sistema. O modelo baseado no processo de Poisson também é apresentado, visto que este é o contexto no qual os procedimentos (testes de hipóteses) que serão apresentados foram desenvolvidos e sua apresentação aqui é importante para que se uniformize a notação. Na Seção 3 é apresentado um teste de hipóteses para avaliação da similaridade dos sistemas avaliados. Na última seção conceitual (Seção 4) é apresentado um overview de procedimentos gráficos e testes formais para a avaliação da existência de tendências na intensidade das falhas, quando se está observando k sistemas (a referência básica é o trabalho de Kvalφy e Lindqvist, 998). Finalmente, na última seção é apresentada uma aplicação dos procedimentos em um banco de dados real. 2. Manutenções Corretiva, Preventiva e Suposições Associadas. No decorrer deste trabalho serão utilizados os termos manutenção corretiva e preventiva, por isto, será apresentada abaixo uma descrição sucinta de tais conceitos. A manutenção é dita do tipo corretiva (MC) quando envolve a execução de tarefas de manutenção não planejadas para restaurar as capacidades funcionais de equipamentos ou sistemas que tenham apresentado algum tipo de falha.. Por outro lado, o termo manutenção preventiva (MP) refere-se à execução de tarefas de manutenção previamente planejadas. É implementada para manter um item em condições satisfatórias de operação através de inspeções sistemáticas, detecção e prevenção de falhas incipientes. Pode ser baseada no tempo ou na condição. Será baseada no tempo quando as atividades para reter as capacidades funcionais dos equipamentos ou sistemas foram planejadas para serem realizadas em pontos específicos no tempo. Será baseada na condição, quando as tarefas são programadas devido a anormalidades detectadas nos equipamentos em operação, neste caso, ela é conhecida como manutenção preventiva não sistemática. Se as tarefas originam-se do acompanhamento de parâmetros de condição ou desempenho, tem-se o tipo mais refinado de manutenção preventiva, também conhecida como manutenção preditiva. Do ponto de vista da modelagem dos dados, um modelo probabilístico ou estatístico para sistemas reparáveis deve descrever a ocorrência dos eventos no tempo. Em geral, a suposição de tempos entre falhas independentes e identicamente distribuídos não é válida para sistemas reparáveis. Portanto é preciso considerar modelos para os quais a suposição de independência ou de distribuição idêntica (ou ambas) não seja válida. Tipicamente, as suposições que forem feitas relacionadas a como o sistema se deteriora e como é afetado por falhas e reparos levará à escolha de um modelo para o sistema. Neste sentido, existe a condição de reparo mínimo e reparo perfeito (ou renovação). Um reparo mínimo significa que o reparo efetuado no sistema o deixa exatamente na mesma condição em que ele estava no momento anterior à falha (Barlow e Hunter,96). Esses reparos não alteram a probabilidade de falha do equipamento, ou seja, ele volta a funcionar, mas a probabilidade de ocorrência de uma falha é a mesma do instante imediatamente anterior à falha. Nesse caso diz-se que ele permaneceu na condição tão ruim quanto velho (bad as old). A suposição de que as atividades executadas em uma manutenção tiveram o efeito de um reparo mínimo, leva ao processo de Poisson Não Homogêneo (PPNH). Este modelo é, em geral, um [847]

4 bom modelo para sistemas reparáveis pois consegue agregar as situações de sistemas que estão se deteriorando ou melhorando com o tempo. Um reparo perfeito (ou renovação) significa que a intervenção efetuada no sistema o deixa, após o reparo, na mesma condição que estava quando novo ( tão bom quanto novo - as good as new). A suposição de que todas as manutenções envolvem atividades de reparo perfeito implica em que os tempos entre falhas são independentes e identicamente distribuídos. Neste caso, os processos de renovação (o processo de Poisson Homogêneo é um caso particular) são apropriados para a modelagem de tais sistemas. Neste trabalho estamos supondo que a manutenção preventiva é do tipo MPP (Manutenção Preventiva Perfeita), então ela renova o equipamento, ou seja, faz com que ele volte à condição de tão bom quanto novo. Portanto, apesar de existir somente um equipamento em observação, um novo sistema é gerado a cada manutenção preventiva. Também estamos supondo que as falhas ocorridas entre as manutenções preventivas do equipamento (as MPP s) são removidas por meio de manutenções corretivas do tipo reparo mínimo (MCRM). As conseqüências diretas destas suposições em relação ao efeito das manutenções são: () que ao final de um determinado período de observação, o número de sistemas a serem analisados será igual ao número de manutenções preventivas realizadas e (2) considerar essas manutenções preventivas como perfeitas é equivalente a dizer que os vários sistemas são independentes. De uma maneira geral, as técnicas utilizadas para análise dos tempos de falha de vários sistemas, sejam eles realmente vários sistemas semelhantes que estão sendo observados ou sistemas semelhantes gerados artificialmente devido à suposição de MPP, são exatamente as mesmas. Ressaltamos que em uma situação onde as manutenções preventivas não puderem ser consideradas como perfeitas, essas técnicas serão diferentes, uma vez que no segundo caso, a estrutura de dependência entre os sistemas deverá ser estudada. Assim, o primeiro passo para análise é a detecção de mudanças na intensidade com que as falhas desses sistemas ocorrem ao longo do tempo. Conforme já mencionado anteriormente, isso é de fundamental importância para a tomada de decisões relacionadas à manutenção do(s) equipamento(s). Neste artigo, restringimos nossa atenção aos modelos de Processos de Poisson Não Homogêneos. Portanto, dentro deste escopo, ausência de tendência corresponde à suposição de que o processo de ocorrência de falhas segue um PPH. Na prática, entretanto, ausência de tendência pode significar que as falhas seguem um processo de renovação. Para a hipótese nula de que o processo é de renovação existem os testes de Mann e Lewis-Robson (Ascher e Feingold, 984). 2. Processo de Poisson Estamos assumindo que m sistemas foram observados e que o i-ésimo sistema foi observado no intervalo (a i,b i ], com n i falhas ocorridas nos tempos T ij, j =,2,...,n i, i =,...,m. De acordo com o esquema de censura utilizado, o ponto final do intervalo do intervalo (a i,b i ] pode ter diferentes interpretações (Kvalφy e Lindqvist, 998). Dois esquemas de censura comuns são o truncamento por tempo e o truncamento por falha, ambos descritos a seguir. Definindo-se b i = T i, se os sistemas foram observados até um tempo pré-definido, então, nesse caso o número de falhas é uma variável aleatória. Nessas situações o valor de b i não é necessariamente o tempo de ocorrência de uma falha e sim o tempo em que o i-ésimo sistema deixou de ser observado (b i = T i T i,ni ). Este esquema de censura é chamado truncamento por tempo. Por outro lado se foi estabelecido que os sistemas seriam observados até que um determinado número de falhas ocorresse, o comprimento do intervalo de observação é aleatório. Nesse caso, o valor de b i é o tempo em que a última falha ocorreu (b i = T i = T i,ni ). Este esquema de censura é chamado truncamento por falha. Para uma análise simultânea dos sistemas a informação sobre o esquema de censura utilizado será dada a partir da seguinte definição: [848]

5 ni, se houve truncamento por tempo n ˆi = ni, se houve truncamento por falha Seja N i (t) o número de falhas ocorridas no i-ésimo sistema no intervalo de tempo (,t], t b i,. Então se este processo de contagem é um Processo de Poisson então: θ t t ( ) exp ( ) [ ( ) ] λi u du = = λi u du P N θ i t, θ =,,2,... () θ! ou seja, a variável aleatória N i (t) tem distribuição de Poisson com média t Λ i ( t) = λ i ( u) du. A função Λi(t) é uma função de intensidade acumulada até o tempo t. Um processo de Poisson é especificado pela função λi(t), denominada função de intensidade de falhas. Duas formas paramétricas bastante utilizadas na literatura para λi(t) são : Lei de Potência, cuja expressão é dada por βi β i t λ i ( t) =, α i, β i >, t ; α i α i αi + βit Log-linear, cuja expressão pode ser escrita como λ ( t) = e, - < α i, β i <, t. Nas expressões acima α i e β i são chamados de parâmetros de escala e forma respectivamente (β i também é chamado de parâmetro de crescimento de confiabilidade reliability growth parameter). Na expressão da Lei de Potência, quando β i >, a função de intensidade é crescente e indica, portanto que o i-ésimo sistema está se degradando. Por outro lado, quando β i < tem-se uma função de intensidade decrescente, o que indica que o sistema está melhorando. Em ambos os casos o Processo de Poisson é chamado de Não Homogêneo (PPNH). Por outro lado, se β i = pode-se observar que a intensidade das falhas não depende do tempo. Nesse caso o processo de Poisson é chamado de Homogêneo (PPH). Na expressão Loglinear, quando β i = a intensidade de falhas é constante e dessa forma tem-se um PPH. Quando se tem um PPH com intensidade λ i (t) = λ i, os tempos entre a ocorrência de falhas, denotados por X ij, para cada sistema são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, de acordo com uma distribuição exponencial com média /λ i. Conduzir uma análise para vários sistemas independentes considerando que o mecanismo de falhas de cada um deles pode ser modelado por um Processo de Poisson, significa então, trabalhar com vários Processos de Poisson independentes. 3. Avaliação da Similaridade dos Sistemas Independente da expressão utilizada para a função de intensidade de falhas dos sistemas (Lei de Potência ou Log-linear), é fácil perceber que o valor assumido pelo parâmetro de crescimento (β) é que refletirá a melhoria, degradação ou estabilidade do sistema considerado. Como mencionado anteriormente, uma análise simultânea tem sentido somente quando os sistemas apresentam um comportamento similar, ou seja, quando eles são idênticos. Numa situação onde alguns sistemas apresentam função de intensidade de falhas crescente, outros decrescente e outros constante, uma análise simultânea não faria sentido. Dessa forma, o primeiro passo para analisar os sistemas simultaneamente consiste em verificar se o comportamento deles é similar. Assumindo que o mecanismo de falha de cada sistema pode ser modelado por um Processo de Poisson (PP) com função de intensidade de falhas dada pela Lei de Potência, isso é equivalente a testar a igualdade dos parâmetros de crescimento. Para isto utiliza-se o teste da razão de verossimilhança com uma correção proposta por Bartlett (937). As hipóteses testadas são: H : os parâmetros de forma de todos os sistemas são iguais. H : pelo menos um deles é diferente dos demais. i [849]

6 O teste é construído sob a hipótese de que os sistemas são idênticos, ou seja, mesmo parâmetro de crescimento e escala. A expressão para cálculo da estatística de teste pode ser escrita como: 2LR B = (2) a em que LR é a razão de verossimilhança dada por: LR = m i= m * ~ nˆ i log β nˆ i log β i (3) j= onde ~ * β i é o estimador de máxima verossimilhança condicional para o i -ésimo sistema; β é a ~ média harmônica ponderada dos β i s ; m m a = + nˆ i 6( m ) nˆ (4) i= i i= Sob a hipótese de que os parâmetros de forma são iguais para todos os sistemas a estatística B tem distribuição assintótica 2 χ com m- graus de liberdade. Sendo assim Ho será rejeitada ao nível de significância α se B > 2 α; ( m ) χ. 4. Avaliação da Tendência da Intensidade das Falhas 4. Técnicas Gráficas Com o intuito de verificar se o tempo entre a ocorrência de falhas nos sistemas observados apresentam algum tipo de tendência, os seguintes gráficos podem ser construídos: Gráfico da Função Média Acumulada (MCF Mean Cumulative Function Plot); Gráfico do Tempo Total em Teste (TTT Plot Total Time on Test). Esses gráficos podem ser construídos tanto numa situação em que se tenha interesse em analisar cada sistema separadamente quanto numa situação onde uma análise simultânea esteja sendo feita. Apresentaremos aqui somente o Gráfico MCF. Detalhes do TTT Plot podem ser encontrados em (Ridgon e Basu, 2). 4.. Gráfico da Função Média Acumulada (MCF Mean Cumulative Function Plot) Esse gráfico é baseado na estimativa não paramétrica da função de intensidade t acumulada Λ( t) = λ ( u) du. Esta estimativa é dada por: i Λ ˆ ( t) = Y ( T ), (5) T t ij ij onde Y(T ij ) é o número de sistemas que estavam em observação imediatamente antes do tempo de falha T ij e Λ ˆ ( t ) = para t < min Tij. O gráfico da Função Média Acumulada consiste na representação de Λ ˆ ( t ) versus t. Sua forma é de uma função escada com degraus nos tempos de falhas observados. Na interpretação do gráfico, um padrão semelhante a uma linha reta indica ausência de tendência, ou seja, os sistemas apresentam um comportamento estável onde as falhas são aleatórias. Porém se for observado um padrão semelhante a uma curva côncava ou convexa a indicação é de que existe uma tendência crescente ou decrescente na ocorrência de falhas respectivamente. No primeiro caso os sistemas estão deteriorando e no segundo caso eles estão melhorando.quando a análise estiver sendo conduzida para cada sistema separadamente, este gráfico corresponderá à [85]

7 representação do número acumulado de falhas contra o tempo, ou seja, N(t) x t para cada sistema. Maiores detalhes podem ser obtidos em Meeker e Escobar (998). 4.2 Testes de Hipóteses Os testes Militar e de Laplace (Ridgon e Basu, 2) são utilizados para avaliação da tendência de falhas e foram desenvolvidos inicialmente para um único sistema, assumindo que o mecanismo de falhas pode ser modelado por um PP. Estes são construídos para uma hipótese nula de um PPH contra uma hipótese alternativa de tendência crescente ou decrescente na intensidade de falhas ou seja, PPNH. Em uma situação onde mais de um sistema foi observado e o interesse é conduzir uma análise simultânea para avaliação da tendência, generalizações destes testes podem ser obtidas na literatura (Kvalφy e Lindqvist, 998). Sob a suposição de que as falhas dos sistemas podem ser modeladas por um PP onde a função de intensidade é dada pela Lei de Potência com parâmetros de crescimento iguais para os diversos sistemas (hipótese nula não rejeitada no teste da Razão de Verossimilhança), avaliar a tendência na intensidade de falhas é equivalente a testar se β = ou β. De maneira análoga, considerando a Log-linear a avaliação da tendência na intensidade de falhas consiste em testar se β = ou β. Esse é o objetivo dos testes de tendência, construídos sob a hipótese de igualdade dos parâmetros de forma. Se essa hipótese for rejeitada no teste da Razão de Verossimilhança, a análise da tendência deve ser feita individualmente para cada sistema. Os testes descritos a seguir foram apresentados por Kvalφy e Lindqvist (998) Teste de Laplace Nesta seção são apresentadas duas versões do teste de Laplace. Ambas consideram uma hipótese nula de que o mecanismo de falhas dos sistemas pode ser modelado por um PPH contra uma hipótese alternativa de que esse mecanismo pode ser modelado por um PPNH. A diferença básica está relacionada à possibilidade de se admitir ou não na hipótese nula, parâmetros de escala diferentes. Apresentaremos aqui com detalhe o Teste Combinado de Laplace. Detalhes do teste de Laplace baseado no Tempo Total em Teste (TTT) podem ser encontrados em Kvaφy e Lindqvist (998) Teste Combinado de Laplace (Laplace s Pooled) Esse teste considera as hipóteses: H : a intensidade de falhas de cada sistema pode ser modelada por um PPH com parâmetros de escala possivelmente diferentes; H : a intensidade de falhas de cada sistema pode ser modelada por um PPNH. A idéia do teste é que sob a hipótese nula, Ti,...,Tinj, são as estatísticas de ordem de m ni uma distribuição uniforme no intervalo (a i, b i ]. Então S L = Tij, tem E m 2 ( ni ( bi + ai ). 2 2 i= A estatística de teste é calculada de acordo com a seguinte expressão: SL E( SL) LC =, (6) Var( S ) ( S L ) = ni ( bi + ai ) e Var SL) = i= m L i= j= Sob a hipótese nula essa estatística tem distribuição assintótica Normal (,). Dessa maneira H será rejeitada ao nível de significância α se L C < -z α/2 ou L C > z α/2. Caso haja tendência na intensidade com que as falhas dos sistemas ocorrem, (H rejeitada), o valor da estatística L C indicará a direção dessa tendência. Se L C <, a intensidade com que as falhas dos sistemas ocorrem estará diminuindo, ou seja, os sistemas estarão melhorando. Por outro lado, se L C > essa intensidade estará aumentando, ou seja, os sistemas estarão degradando. Este teste de Laplace é ótimo para a hipótese nula de que a intensidade de falhas de cada sistema pode [85]

8 ser modelado por um PPH com parâmetros de escala possivelmente diferentes, contra uma hipótese alternativa de que a intensidade de falhas de cada sistema pode ser modelado por um αi + βt PPNH com função de intensidade λ ( t) = e, onde o parâmetro β é comum para todos os i sistemas e o parâmetro α i é específico para cada um deles (Cox e Lewis, 966). É importante ressaltar que a hipótese nula do teste e Laplace baseado no TTT é mais restrita do que a hipótese nula do Teste Combinado de Laplace, que admite a possibilidade dos sistemas serem modelados por um PPH com parâmetros de escala diferentes (Kvalφy e Lindqvist, 998) Teste Militar Assim como o teste de Laplace, o teste Militar possui duas versões (Teste Militar Combinado e Testes Militar baseado no Tempo Total sob Teste) que se diferem basicamente pela hipótese nula, que ora considera a possibilidade dos parâmetros de escala serem diferentes, ora não. Detalhes das duas abordagens podem ser encontrados em Kvaφy e Lindqvist (998) Teste de Anderson Darling É também um teste baseando no Tempo Total em Teste (TTT) e portanto considera as mesmas hipóteses que o Militar e o Laplace baseados no TTT. Uma característica interessante é que este teste pode ser utilizado para detectar funções de intensidade de falhas do tipo curva da banheira, ou outras funções não monótonas. Foi visto que ao construir o gráfico do Tempo Total sob Teste (TTT) a existência de uma configuração onde os pontos estivessem alinhados próximos à diagonal do quadrado unitário indicava ausência de tendência na intensidade das falhas. Desvios deste comportamento, por exemplo, quando o gráfico exibe uma configuração dos pontos semelhantes a uma curva côncava ou convexa, levarão a um aumento da área entre a função do Tempo Total sob Teste e a diagonal do quadrado unitário. Isso sugere que um teste para identificação da tendência pode ser baseado no cálculo dessa área. Desta forma, a estatística de teste proposta por Anderson Darling é calculada como: = 2 AN C N ( v) dv, (7) v( v) em que, CN(v) é uma medida da distância entre a função do Tempo Total sob Teste e a diagonal do quadrado unitário. O cálculo dessa medida leva em consideração a distribuição empírica de I( S k ) I( S), k =,..., Nˆ, que conforme já apresentado, têm a mesma distribuição das estatísticas de ordem de N variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de acordo com uma distribuição Uniforme (,). A distribuição assintótica da estatística de teste AN foi obtida por Anderson Darling (952). A rejeição da hipótese nula de que a intensidade de falhas de cada sistema pode ser modelada por um PPH com parâmetros de escala iguais ocorre quando AN Aα. 5. Aplicação O banco de dados utilizado na análise refere-se às manutenções preventivas e corretivas realizadas a partir de //2 até 2/8/24 nos componentes da pá carregadeira. A pá carregadeira é uma espécie de trator que transporta os resíduos da produção para fora da área da empresa, colocando-os em caminhões (ver desenho na Figura ). [852]

9 Figura Desenho esquemático da Pá Carregadeira As manutenções corretivas foram tratadas como reparo mínimo, e as manutenções preventivas como perfeitas, assim, foi montada uma estrutura para análise dos dados onde à cada manutenção preventiva um novo sistema, ou uma nova pá carregadeira passava a ser observada. O fato de se considerar as manutenções preventivas perfeitas implica em recomeçar a contagem do tempo após uma manutenção desse tipo. Portanto para construção da coluna Tempos das Falhas (Dias), o tempo entre a ocorrência das falhas foi acumulado até que uma manutenção preventiva fosse dada. Por último foi criada uma coluna para identificação dos respectivos sistemas. Esse procedimento resultou em 64 sistemas observados. Toda análise foi feita utilizando o Software Minitab, versão 4 e assumindo que o mecanismo de falhas dos sistemas podia ser modelado segundo a Lei de Potência. A Figura 2 apresenta uma visualização das falhas ocorridas em todos os sistemas. Event Plot for Tempos System Column in Sistema Sistema Tempos Figura 2: Visualização das falhas ocorridas em cada sistema 5. Avaliação da Similaridade dos Sistemas A avaliação da similaridade dos sistemas foi feita por meio do Teste da Razão de Verossimilhança com correção proposta por Bartlett. As estimativas dos parâmetros e o resultado do teste são apresentados na Tabela. [853]

10 Tabela : Avaliação da similaridade dos sistemas. Parâmetro Estimativa Erro Padrão Intervalo de Confiança (95%) Forma,3625,6 [,9946 ;,533 ] Escala 2,9862,3 [ 2,37693 ; 3,59552 ] Teste da Razão de Verossimilhança para Igualdade dos Parâmetros de Forma Estatística de Teste 26,4 p-valor, Graus de Liberdade 63 Considerando um valor α =,5, e observando o p-valor do teste da razão de verossimilhança não se rejeita a hipótese nula de que os parâmetros de forma são iguais. Isso indica que uma análise simultânea da tendência na intensidade de falhas destes sistemas pode ser então conduzida. 5.2.Análise Simultânea da Tendência na Intensidade de Falhas dos Sistemas. O primeiro passo é observar a estimativa pontual do parâmetro de forma. Note que o intervalo de confiança para o parâmetro de forma contém o valor. Isso indica que o mecanismo de falhas de praticamente todos os sistemas pode ser modelado por um PPH, ou seja, a intensidade das falhas não depende do tempo. Isso pode ser confirmado por meio da construção dos gráficos da Função Média Acumulada (MCF) e Tempo Total sob Teste (TTT). Esses gráficos são apresentados nas Figuras 3 e 4 respectivamente. Figura 3 Gráfico da Funçaõ Média Acumulada. Figura 4 Gráfico do Tempo Total em Teste. MCF Mean Cumulative Function for Tempos 95% CI System Column in Sistema P arameter, M LE Shape Scale,3625 2,98623 Scaled Total Time on Test,,8,6,4,2 Total Time on Test Plot for Tempos System Column in Sistema Parameter, MLE Shape Scale,3625 2,98623, Tempos 5 6 7,,2,4,6 Scaled Failure Number,8, Os resultados dos testes de tendência propostos para análise simultânea de vários sistemas são apresentados na Tabela 2. [854]

11 Tabela 2 Avaliação da tendência na Intensidade de Falhas. Teste Estatística de Teste p-valor Graus de Liberdade Militar TTT 372,2, Militar Combinado 267,53,77 3 Laplace TTT -,42,677 - Laplace Combinado -,8,238 - Anderson-Darling 4,92,3 - Observando o p-valor de cada teste percebe-se que ao nível de significância de,5 a hipótese nula de um PPH não deve ser rejeitada, não há nenhuma indicação de tendência., ou seja, os sistemas apresentam um comportamento estável onde as falhas são aleatórias. Considerando, portanto o parâmetro de forma igual a na expressão da Lei de Potência, o tempo médio entre falhas é aproximadamente 3 dias com intervalo de 95% de confiança [2,3; 3,6] dias. A partir das análises desenvolvidas, pode ser observado que as falhas que ocasionaram as paradas da pá carregadeira ocorrem de forma aleatória, ou seja, não havia nenhuma indicação de tendência. As manutenções preventivas, portanto não têm efeito quando este é o padrão de falhas observado. 6.Conclusões / Considerações Neste trabalho, foram apresentados alguns métodos existentes para análise simultânea de vários sistemas reparáveis. O foco foi em testes de hipóteses e métodos gráficos para identificação de tendências na intensidade de falhas e avaliação da similaridade dos sistemas observados. A aplicação dos métodos no histórico de manutenções para a pá carregadeira mostrou que para aquela situação, as manutenções preventivas eram desnecessárias visto que o padrão das inter-recorrências era estável ao longo do tempo, ou seja, não foram identificadas tendências no padrão destas inter-recorrências. É importante aqui ressaltar que em qualquer análise estatística de dados, o que se busca é responder a questões de interesse, utilizando para isso modelos que de alguma forma representem a situação real estudada. Em alguns casos, os modelos já existentes na literatura representam de maneira adequada a situação real, em outros casos não. A partir dessa necessidade são gerados então os temas de pesquisa. Entretanto, qualquer que seja a situação, em geral a utilização de algum modelo para solução de um problema real leva à formulação de suposições sem as quais a análise seria dificultada ou até mesmo impossibilitada. É preciso, portanto estar ciente destas suposições e entender seu impacto nos resultados obtidos. Nesta aplicação prática, assumimos que as manutenções preventivas (MP) realizadas foram do tipo reparo perfeito (MPP). A conseqüências imediatas desta suposição foram que () à cada manutenção preventiva executada, um novo sistema era gerado artificialmente; (2) estes vários sistemas gerados foram considerados independentes para efeitos da análise estatística dos dados. Se esta suposição não for de fato verdadeira, a estrutura de dependência entre os sistemas deveria ter ser estudada e incorporada na análise. Isto certamente terá impacto nos resultados finais. Alguns trabalhos têm tentado propor modelagens para casos onde esta suposição não é verdadeira (Nakagawa, 979; Pham e Wang, 996 e mais recentemente, Pascual e Ortega, 26), mas ainda não há propostas de como testar a veracidade desta suposição. Também restringimos nossa atenção aos modelos de Processos de Poisson Não Homogêneos. Portanto, dentro deste escopo, ausência de tendência corresponde à suposição de que o processo de ocorrência de falhas segue um Processo de Poisson Homogêneo. Na prática, entretanto, ausência de tendência pode significar que as falhas seguem um processo de [855]

12 renovação. Finalmente, os testes existentes para a verificação da similaridade dos sistemas são baseados em formas específicas para a função intensidade de falhas (log-linear, lei de potência) e o desempenho de cada um pode ser ruim caso essa não seja a situação. Apesar de suas limitações, análises deste tipo devem ser implementadas para que as políticas de manutenção sejam definidas com critério. Além disso, é preciso que haja um trabalho intenso de conscientização das empresas no sentido de investirem na criação e manutenção de um banco de dados com histórico detalhado das falhas dos equipamentos, com informações à respeito dos modos de falha, datas das manutenções corretivas e preventivas, ações corretivas tomadas e seus custos associados. Somente desta forma será possível implementar métodos de análise mais refinados que possam nortear a escolha da política de manutenção mais adequada. Referências Anderson, T.W. e Darling, D.A. Asymptotic Theory of Certain Goodness of Fit criteria based on Stochastic Process. Ann. Math. Statist., 23, pp 93-22, 952. Ascher, H.e Feingold, H. Repairable Systems Reliability: Modelling, Inference, Misconceptions and Their Causes. New York: Marcel Dekker, 984. Bain, L.J. e Engelhardt, M. Inferences on the Parameters and Current System Reliability for a Time Truncated Weibull Process. Technometrics, 22, pp , 98. Baracho, W. Determinação de Periodicidade Ótima de Equipamentos Reparáveis. Belo Horizonte: Instituto de Ciências Exatas da UFMG, 2. (Dissertação, Mestrado em Estatística). Barlow, R.E. e Hunter, L. Optimum Preventive Maintenance Policies. Operations Research, 8, pp. 9-, 96. Bartlett, M.S. Properties of Sufficiency and Statistical Tests, Proceedings of the Royal Society of London A, 6, pp , 937. Cox, D.R., Lewis, P.A.W., The Statistical Analysis of Series of Events. Methuen, London,966. Crow, L.H. Reliability Analysis for Complex, Repairable Systems. Reliability and Biometry, editors: F.Proschan and R.J.Serfling, Philadelphia: SIAM, pp , 974. Confidence Interval Procedures for the Weibull Process With Applications to Reliability Growth. Technometrics, 24, pp , 982. Kvalφy, J.T., Lindqvist, B.H.. TTT-based tests for trend in repairable systems data. Reliability Engineering and System Safety, 6, pp. 3-28, 998. Lawless, J.F., Thiagarajah, K. A Point Process Model Incorporating Renewals and Time Trends, With Application to Repairable Systems. Technometrics, 38, no.2, 996. Lee, L. Testing Adequacy of the Weibull and Log Linear Rate Models for a Poisson Process. Technometrics, 22, pp , 98). Lee, L., Lee, K. Some Results on Inference for the Weibull Process. Technometrics, 2, pp.4-45, 978. Meeker, W.Q., Escobar, L.A. Statistical Methods for Reliability Data. New York: Wiley, 998. Motta, S.B., Colosimo, E.A. Determination of Preventive Maintenance Periodicities of Standby Devices by Using Reliability Techniques. Reliability Engineering and System Safety 76, no.2, pp.49-54, 22. Nakagawa, T. Optimal Policies When Preventive Maintenance is Imperfect. IEEE Transactions on Reliabiilty, R-28, pp , 979. Pascual, R., Ortega,J.H. Optimal Replacement and Overhaul Decisions with Imperfect Maintenance and Warranty Contracts. Reliability Engineering and System Safety, 9, pp , 26. Pham, H., Wang, H. Imperfect Maintenance. European Journal of Oper. Research, 94, pp , 996. Pulcini, G. A Bounded Intensity Process for the Reliability of Repairable Equipament. Journal of Quality Technology, 33, pp October, 2. Rigdon, S.E., Basu, A.P. Statistical Methods for the Reliability of Repairable Systems. New York: John Wiley & Sons, 2. [856]