14/05/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 12. Conteúdo Propagação de Incertezas. Incerteza Propagação de incertezas de primeira ordem

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1 Tratamento de Incertezas TIC Aula 2 Conteúdo Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em Tópicos da Aula Incerteza Propagação de incertezas de primeira ordem Aproximação para incertezas não correlacionadas Aproximação para incertezas correlacionadas Forma matricial Propagação de incerteza Gaussiana Leitura Vuolo, 2ª ed., 996, Capítulo 8 e Apêndice E TIC Tratamento de Incertezas 2 Introdução TIC Tratamento de Incertezas 3

2 Incerteza Em teoria de erros, incerteza é usualmente definida como o erro absoluto, ou como erro relativo / Incerteza padrão: Incerteza expandida com confiança : O valor de uma quantidade e seu erro usualmente são expressos como um intervalo é o desvio padrão experimental de um conjunto de medições. TIC Tratamento de Incertezas 4 Revisão de Estatística Valor Médio Verdadeiro vs. Experimental Valor médio verdadeiro lim Valor médio experimental TIC Tratamento de Incertezas 5 Revisão de Estatística Variância Verdadeira vs. Experimental Variância verdadeira lim Variância experimental TIC Tratamento de Incertezas 6 2

3 Revisão de Estatística Dedução da Variância Experimental 2 TIC Tratamento de Incertezas 7 Incerteza em Valores Experimentais e em suas Funções Todo valor experimental contém incerteza! Consequência natural da precisão dos instrumentos utilizados A incerteza de uma grandeza calculada em função dos valores experimentais,,,, i.e.,,,, é consequência da propagação das incertezas associada a,,, e de como esses valores são combinados pela função TIC Tratamento de Incertezas 8 Propagação Considerando Incertezas Não Correlacionadas TIC Tratamento de Incertezas 9 3

4 Associadas a Variáveis Não Correlacionadas Sejam,,, valores experimentais com variâncias,,,, e uma grandeza obtida por,,, a propagação de primeira ordem é definida por TIC Tratamento de Incertezas 0 Exemplo A área de um retângulo é dada por, onde e são, respectivamente, os comprimentos da base e da altura. Em um belo dia, e foram medidos experimentalmente, obtendo-se 50 2 e Assumindo independência entre as medições, qual o valor de? TIC Tratamento de Incertezas Dedução da Propagação de Primeira Ordem Valor Médio Experimental de lim,,, TIC Tratamento de Incertezas 2 4

5 Dedução da Propagação de Primeira Ordem Valor Médio Experimental de lim,,,,,, TIC Tratamento de Incertezas 3 Dedução da Propagação de Primeira Ordem Variância Experimental de lim TIC Tratamento de Incertezas 4 Dedução da Propagação de Primeira Ordem Variância Experimental de lim TIC Tratamento de Incertezas 5 5

6 Propagação de Incerteza Propagação Considerando Incertezas Correlacionadas TIC Tratamento de Incertezas 6 Fórmula Geral para Propagação de Incerteza de Primeira Ordem Ao considerar incertezas correlacionadas em,,,, a variância de também deve levar em conta a covariância das entradas 2, 2, 2, TIC Tratamento de Incertezas 7 Representação Matricial da Expressão Propagação de incerteza de primeira ordem pode ser escrita na forma matricial Σ J Σ J J Σ,,,,,, é uma variável aleatória vetorial. TIC Tratamento de Incertezas 8 6

7 Propagação para Incertezas Gaussianas TIC Tratamento de Incertezas 9 Incertezas Gaussianas Propagação de incerteza de primeira ordem pode resultar em uma boa aproximação, ou na solução exata, quando três condições são atendidas: A incerteza nas entradas é gaussiana A incerteza na saída é gaussiana A função que transforma as entradas é quase linear Com propagação de quarta ordem, a soluções exata é garantida! TIC Tratamento de Incertezas 20 Gaussianas Exemplo Círculos construídos a partir de pontos com incerteza Adaptado de C. Perwass. Geometric Algebra with Applications in Engineering. Springer Publishing Company, TIC Tratamento de Incertezas 2 7

8 Gaussianas Exemplo 2 Reflexão de uma reta com incerteza em uma esfera exata. Adaptado de C. Perwass. Geometric Algebra with Applications in Engineering. Springer Publishing Company, TIC Tratamento de Incertezas 22 Gaussianas Exemplo 3 Reflexão de um raio exato em um plano com incerteza. Adaptado de C. Perwass. Geometric Algebra with Applications in Engineering. Springer Publishing Company, TIC Tratamento de Incertezas 23 Gaussianas Exemplo 4 Adaptado de L.A.F. Fernandes et al. Uncertainty propagation: Avoiding the expensive sampling process for real-time image-based measurements. Computational Statistics and Data Analysis, 52(7), 2008, pp TIC Tratamento de Incertezas 24 8

9 Validade da Propagação de Incerteza Uma função de incertezas Gaussianas não gera, necessariamente, incerteza Gaussiana É preciso atestar a validade da aplicação de propagação de primeira ordem antes de reportar resultados Propagação de incerteza de primeira ordem é uma aproximação, mesmo para distribuições Gaussianas É preciso verificar o quão boa é essa aproximação TIC Tratamento de Incertezas 25 Como Validar o uso de Propagação de Incertezas de Primeira Ordem Gere dados por meio de amostragem Crie amostras aleatórias dos dados de entrada Calcula os valores resultantes a partir das amostras Use o teste de Mardia para skewness e curtose Atesta a normalidade da distribuição resultante Use a função de Bogner para medir a qualidade da aproximação Mede a similaridade entre a distribuição aproximada por propagação de primeira ordem e a distribuição obtida por amostragem TIC Tratamento de Incertezas 26 Como Validar o uso de Propagação de Incertezas de Primeira Ordem Teste de Mardia K. V. MARDIA. Measures of multivariate skewness and kurtosis with applications. Biometrika, Oxford, England, v.57, n.3, p , 970 Função de Bogner R. E. BOGNER, Pattern recognition via observation correlations. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., v.pami-3, n.2, p.28 33, March 98 TIC Tratamento de Incertezas 27 9