TRABALHO INDIVIDUAL I do Curso de Mestrado em Ciência da Computação. Estudo Comparativo de Técnicas de Modelagem em Redes de Autômatos Estocásticos

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE INFORMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO TRABALHO INDIVIDUAL I do Curso de Mestrado em Ciência da Computação Prof. Dr. Paulo Henrique Lemelle Fernandes Estudo Comparativo de Técnicas de Modelagem em Redes de Autômatos Estocásticos por Thais Christina Webber dos Santos Porto Alegre, agosto de 2002.

2 SUMÁRIO LISTA DE ABREVIATURAS... 4 LISTA DE FIGURAS... 5 LISTA DE TABELAS... 6 RESUMO INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO OBJETIVOS DO TRABALHO METODOLOGIA APLICADA ESTRUTURA DO VOLUME FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA TÉCNICAS DE AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO Monitoração Simulação Métodos Analíticos O FORMALISMO DE REDES DE AUTÔMATOS ESTOCÁSTICOS (SAN) Autômatos Estocásticos Estados Locais e Globais Tipos de Transições entre os Estados Taxas e Probabilidades Funcionais Descrição textual das SAN MODELAGEM DE EXEMPLOS REDES DE FILAS DE ESPERA Modelo Básico Utilizando apenas Constantes Utilizando Probabilidades Funcionais Utilizando somente Eventos Sincronizantes Considerações sobre as Três Alternativas de Modelagem COMPARTILHAMENTO DE RECURSOS Utilizando Eventos Sincronizantes

3 3.2.2 Utilizando apenas Funções Considerações sobre as Duas Alternativas de Modelagem O JANTAR DOS FILÓSOFOS Modelo Básico Utilizando Eventos Sincronizantes Modelo Básico Utilizando Funções Considerações sobre as Duas Alternativas de Modelagem Básica JANTAR DOS FILÓSOFOS COM BEBIDAS Modelo com Bebidas Utilizando Eventos Sincronizantes Extensão do Modelo Utilizando Funções Considerações sobre as duas Modelagens com as Bebidas CONCLUSÕES ANEXOS

4 LISTA DE ABREVIATURAS CPTS PEPS PPGCC QN SAN TI 1 Centro de Pesquisa em Teste de Software Performance Evaluation in Parallel Systems Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação Queueing Networks (Redes de Filas de Espera) Stochastic Automata Networks (Redes de Autômatos Estocásticos) Trabalho Individual I 4

5 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Exemplo de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN)...16 Figura 2 Autômato equivalente à rede da Figura Figura 3 Modelo SAN com transições funcionais...19 Figura 4 Modelo exemplo de QN...22 Figura 5 Modelo SAN para rede de filas de espera aberta...24 Figura 6 Redes de Filas de Espera com probabilidades funcionais...26 Figura 7 - Redes de filas de espera com eventos sincronizantes...29 Figura 8 - Compartilhamento de Recursos com Eventos Sincronizantes...32 Figura 9 - Modelo SAN com funções para compartilhamento de recursos...34 Figura 10 Análise dos Resultados da Modelagem com Eventos Sincronizantes...37 Figura 11 - Análise dos Resultados da Modelagem com Funções...37 Figura 12 Problema do Jantar dos Filósofos...38 Figura 13 Modelo SAN para o problema do Jantar dos Filósofos...40 Figura 14 Função de Atingibilidade para o Jantar dos Filósofos...41 Figura 15 Modelagem Alternativa para o Jantar dos Filósofos...42 Figura 16 Funções para as transições de requisição dos garfos...43 Figura 17 - Análise dos Resultados da Modelagem com Eventos Sincronizantes...46 Figura 18 - Análise dos Resultados da Modelagem com Funções...46 Figura 19 O Jantar dos Filósofos com Bebidas...47 Figura 20 Modelo com Bebidas e Eventos Sincronizantes...49 Figura 21 Função de atingibilidade para o modelo com eventos sincronizantes...50 Figura 22 Modelo com Bebidas e Taxas Funcionais...51 Figura 23 Funções definidas para as transições dos autômatos dos filósofos...52 Figura 24 Função de Atingibilidade do modelo com Taxas Funcionais

6 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Parâmetros da QN estabelecidos para a modelagem textual...22 Tabela 2 Resultados para uma QN com uso de constantes...24 Tabela 3 Resultados da modelagem utilizando Funções...26 Tabela 4 Probabilidades de Rotação para Filas 2 e Tabela 5 Resultados para rede de filas de espera com sincronizantes...29 Tabela 6 Quadro comparativo para QN Abertas...30 Tabela 7 Taxas utilizadas para Compartilhamento de Recursos...33 Tabela 8 Características do modelo com eventos sincronizantes...33 Tabela 9 Características do modelo utilizando funções...35 Tabela 10 Compartilhamento de Recursos variando a quantidade de recursos...36 Tabela 11 Resultados do Jantar dos Filósofos com Eventos Sincronizantes...41 Tabela 12 - Resultados do Jantar dos Filósofos com Funções...44 Tabela 13 Jantar dos Filósofos variando o número de filósofos...45 Tabela 14 Resultados do Modelo com Bebidas e Eventos Sincronizantes...50 Tabela 15 Resultados para o modelo com Bebidas utilizando funções...53 Tabela 16 Análise comparativa dos modelos com Bebidas

7 RESUMO Este trabalho apresenta uma visão geral do formalismo de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN) através da modelagem de exemplos e análise de diferentes formas de descrição para os mesmos. Este formalismo permite a descrição de modelos onde autômatos interagem uns com os outros através de primitivas de sincronismo e paralelismo, como é o caso dos eventos sincronizantes e das taxas funcionais. O objetivo deste trabalho é estabelecer uma análise comparativa destas duas formas de descrição dos modelos, ressaltando suas vantagens e desvantagens. A modelagem de problemas da realidade nos faz observar, dentre as alternativas de representação, as diversas características particulares para modelar e solucionar estes problemas. As conclusões nos permitem vislumbrar os benefícios e a aplicabilidade destas abordagens na busca de desempenho e confiabilidade de sistemas complexos. 7

8 1 INTRODUÇÃO A complexidade inerente às aplicações computacionais atuais tem tornado essencial a utilização de técnicas de avaliação de desempenho. A escolha da técnica mais adequada em uma determinada situação é um aspecto chave em qualquer projeto ligado a esta área, e deve considerar alguns critérios como o estágio atual de desenvolvimento do sistema, disponibilidade de tempo e de ferramentas para realizar a avaliação, mas sobretudo o nível de precisão requerido nos resultados [10]. Um dos aspectos relevantes do uso destas técnicas é que, muitas vezes, pode ser fundamental a avaliação dos resultados esperados de um projeto através de simulações e estimativas de desempenho em situações de aplicação real, principalmente no âmbito do desenvolvimento de sistemas paralelos e distribuídos. Esta perspectiva pode reduzir substancialmente o tempo de projeto e desenvolvimento dos sistemas, avaliando o desempenho de um sistema antes mesmo de implementá-lo [1,6]. 1.1 Motivação Existe uma grande variedade de técnicas de avaliação de desempenho atualmente, porém para cada situação específica pode ser mais vantajoso utilizar uma ou outra abordagem. Ou ainda, pode ser interessante utilizar-se de combinações entre estas técnicas, buscando resultados mais efetivos em termos de avaliação de desempenho. Contudo, dentre as muitas técnicas conhecidas, recentemente sobressaiu-se um formalismo chamado Redes de Autômatos Estocásticos (SAN - Stochastic Automata Networks) [2, 3, 4, 6], que vem com soluções numéricas mais eficientes do que as alcançadas até agora com outros métodos analíticos. O estudo deste formalismo e a experimentação com problemas reais tornam-se essenciais para atestar sua aplicabilidade.

9 1.2 Objetivos do Trabalho O formalismo SAN utiliza-se das noções de estado e de transições entre estados para representação dos eventos. Estes eventos podem estar relacionados a um único autômato, ou a vários ao mesmo tempo, ocorrendo de acordo com taxas específicas. Para este segundo caso, existem duas possibilidades de representar eventos que são disparados em mais de um autômato ao mesmo tempo, ou que dependem do estado de outros autômatos para realizar uma determinada transição: taxas funcionais; eventos sincronizantes. Dentro deste contexto optou-se, neste Trabalho Individual I, pelo estudo aprofundado deste método analítico de avaliação de desempenho, o formalismo SAN, modelando alguns estudos de caso selecionados. O objetivo desta pesquisa é fornecer subsídios teóricos para futuros trabalhos, tanto na área de avaliação de desempenho, quanto em projetos ligados ao PPGCC na área de teste e validação, como o projeto CPTS (HP Brasil/PUCRS) Centro de Pesquisa em Teste de Software. 1.3 Metodologia Aplicada O método de pesquisa utilizado neste TI1 baseou-se na coleta de material relativo à área de avaliação de desempenho de sistemas, enfatizando um dos métodos analíticos (formalismo SAN). Posteriormente, este formalismo foi utilizado como base para modelar alguns exemplos, e estes foram escolhidos e modelados diferentemente, tendo por objetivo mostrar uma utilização mais prática do mesmo, explorando suas características para a obtenção de soluções eficientes através da ferramenta PEPS2002 [9]. Os exemplos escolhidos foram: Uma Rede de Filas de Espera Aberta; Compartilhamento de Recursos; Problema do Jantar dos Filósofos. 9

10 Todos estes exemplos serão abordados de forma a sugerir alternativas de modelagem para os mesmos, ressaltando as vantagens e desvantagens das opções escolhidas em relação ao tamanho do modelo e outras características que afetam o desempenho. 1.4 Estrutura do Volume Este trabalho foi dividido em dois grandes capítulos (2 e 3). O Capítulo 2 aborda uma visão geral sobre a área de avaliação de desempenho descrevendo alguns tipos de técnicas utilizadas atualmente, com ênfase no formalismo SAN que é o foco deste trabalho. Basicamente será feita uma conceituação do formalismo, explicitando suas características para modelagem de problemas da realidade e formas de representação utilizando noções de sincronismo e paralelismo. No Capítulo 3, os exemplos selecionados serão especificados e, posteriormente, modelados utilizando o formalismo SAN. Nesta segunda parte, os eventos modelados e os valores relacionados às suas taxas de ocorrência, serão discutidos e apresentados de formas diferentes, demonstrando a versatilidade do formalismo. Finalmente, nas conclusões serão colocadas as considerações finais deste trabalho ressaltando a sua contribuição positiva em relação à divulgação do formalismo SAN para a modelagem de realidades complexas. As conclusões englobam aspectos relevantes das modelagens de exemplos realizadas no Capítulo 3 em relação às alternativas de uso das características do formalismo. Em anexo, a este trabalho, encontra-se o material relativo à modelagem completa dos exemplos apresentados, bem como os resultados obtidos através da ferramenta PEPS

11 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Nas próximas seções teremos uma breve descrição de algumas técnicas de avaliação de desempenho de sistemas, destacando algumas de suas vantagens e desvantagens. Será dada uma atenção especial ao formalismo SAN, pois este é o foco de estudo deste trabalho. 2.1 Técnicas de Avaliação de Desempenho As técnicas de avaliação de desempenho são consideradas essenciais atualmente, principalmente devido ao grande número de aplicações implementarem características como paralelismo e sincronismo. Para exemplificar, pode-se citar problemas clássicos como o de comunicação entre processos concorrentes, distribuição de recursos disponíveis, entre outros. O fato é que estes tipos de problemas têm ocasionado a ampliação do uso de métodos de análise e avaliação de desempenho, no intuito de melhor realizarem seus propósitos [2, 10]. O uso de técnicas de avaliação de desempenho pode, como citado anteriormente, reduzir consideravelmente o tempo gasto com o desenvolvimento de sistemas, visto que possibilitam uma avaliação prévia do desempenho dos mesmos. As técnicas existentes podem ser divididas em três abordagens distintas: monitoração, simulação e métodos analíticos. Segue uma visão geral de cada uma destas abordagens, fazendo-se uma comparação entre as vantagens e aspectos negativos que cada uma delas apresenta Monitoração A técnica de monitoração, também chamada de experimentação direta, baseia-se na simples observação de um sistema real em funcionamento. Apesar de apresentar maior confiabilidade nos dados obtidos, pois não há abstração quanto ao funcionamento 11

12 do modelo, esta abordagem apresenta algumas desvantagens como alto custo e tempo excessivo para uma aplicação confiável da técnica [1, 6, 10]. Além disto, este tipo de abordagem supõe a existência física do sistema para que este possa ser avaliado. Outro problema é que o sistema construído para obtenção das medidas pode apresentar uma certa instabilidade visto que podem ocorrer influências externas não esperadas. Além disto, com esta técnica é muito difícil replicar um experimento específico, pois há uma imensa dificuldade em manter o controle das variáveis envolvidas no experimento [1]. As amostras de funcionamento obtidas através da utilização desta abordagem, só serão consideradas significativas se com técnicas estatísticas, devidamente utilizadas, comprovar-se a representatividade das amostras obtidas [1, 6]. Esta desvantagem não é exclusiva desta abordagem como será visto a seguir Simulação A técnica de simulação consiste no desenvolvimento de um modelo que, como o próprio nome caracteriza, simula o funcionamento do sistema real levando em consideração as características funcionais do mesmo em uma escala de tempo adequada à realidade. Nesta abordagem deverá ser considerado um certo nível de abstração pois o modelo não conterá a totalidade das características do sistema, somente as mais relevantes [1, 6, 10]. Devido a este fato, os atributos devem ser cuidadosamente selecionados e representados, para que não ocorram certos tipos de erros, normalmente considerados como de modelagem. Da mesma forma, é necessário avaliar também, se algumas características relevantes do sistema real foram desconsideradas indevidamente. Comparando-a com a primeira abordagem citada, esta tem o custo minimizado, geralmente consome menos tempo para obter resultados similarmente significativos, mas 12

13 principalmente permite repetições de experimentos quantas vezes forem necessárias, mantendo-se bastante estável, pois evita influências externas não previstas. Nestas duas abordagens apresentadas até o momento, a quantidade e a representatividade das amostras consideradas são relevantes para a obtenção de resultados precisos através da aplicação de técnicas estatísticas sobre esta amostragem [1, 6] Métodos Analíticos A técnica de análises ou métodos analíticos consiste em modelar um sistema real, através das relações matemáticas existentes no funcionamento do sistema, ou seja, é necessário um nível mais alto de abstração se comparada à abordagem anterior. Através de relações matemáticas pode-se descrever o sistema como um conjunto de estados possíveis e definir transições entre estes estados [1, 6]. Esta abordagem é considerada bem mais complexa do que as anteriores, entretanto não é necessário que se obtenha um conjunto específico de amostras de funcionamento do sistema modelado, como se observa nas técnicas citadas anteriormente. O princípio básico desta técnica é obter uma visão simplificada do sistema a ser avaliado, o qual será denominado modelo. Para isto, utiliza-se de abstrações de alto nível que fornecem o comportamento real do sistema, contendo características funcionais suficientes para realizar uma avaliação segura, apesar de considerar um certo nível de tolerância [1]. Existem diferentes métodos analíticos, mas os mais utilizados baseiam-se em Cadeias de Markov [11] por se tratar de um formalismo matematicamente não tão complexo e de modelagem rápida. Ou seja, o tempo para construção dos modelos baseados em Cadeias de Markov é relativamente reduzido em relação às outras técnicas, e a confiabilidade, em termos de ausência de erros de modelagem, é maior do que em outros formalismos considerados mais complexos do que este [1, 11]. 13

14 As Cadeias de Markov descrevem o funcionamento de um sistema através de um conjunto de estados possíveis e de transições entre estes estados, seguindo taxas definidas por leis exponenciais. Porém, um de seus aspectos negativos é que pode ocorrer uma explosão do espaço de estados, o que torna intratável o modelo em particular e, conseqüentemente, a matriz de transição correspondente [1, 11]. Outro formalismo, as Redes de Filas de Espera (QN Queueing Networks) [1, 8], surgiu no final dos anos 50, e é provavelmente o mais popular dos formalismos para avaliação de desempenho via métodos analíticos, principalmente pela idéia de clientes e filas (estações de serviço) que este formalismo introduz. QN são fáceis de modelar, e além disto podem ser facilmente traduzidas para uma representação em Cadeias de Markov. A desvantagem é que as duas técnicas sofrem limitações referentes ao espaço total de estados gerado, pois quanto maior este for, mais difícil se torna a sua representação [1]. Na década de 80, as Redes de Autômatos Estocásticos (SAN) introduzem um formalismo com grande poder de resolução quando comparado às QN, além de apresentar mecanismos de sincronismo e paralelismo. Uma das suas principais características é prover soluções numéricas eficientes, evitando também os prejuízos da explosão do espaço de estados das Cadeias de Markov, o que já representa uma grande vantagem ao optar-se por sua utilização [2, 6]. Na próxima Seção serão abordados aspectos do formalismo SAN, para que posteriormente sejam modelados alguns exemplos de problemas da realidade, verificando a flexibilidade e a modularidade de representação através deste formalismo. 14

15 2.2 O Formalismo de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN) O formalismo de Redes de Autômatos Estocásticos, ou simplesmente SAN, é baseado em Cadeias de Markov com grandes espaços de estados, e propicia uma forma compacta e modular para descrever realidades complexas, contribuindo para a busca de soluções numéricas mais eficazes. Logo, este formalismo mantém o poder de modelagem que se tinha com as Cadeias de Markov, porém tem a vantagem de eliminar problemas como o da explosão do espaço de estados [1, 4] Autômatos Estocásticos O princípio do formalismo SAN é descrever um sistema complexo dividindo-o em subsistemas quase independentes, pois estes interagirão ocasionalmente [4, 6]. Neste sistema, cada subsistema é modelado por um autômato [7]. Um autômato é um modelo matemático com entradas e saídas discretas, ou seja, o sistema pode se encontrar em qualquer estado dentro de um número finito de estados que compõem este sistema [2]. Nas SAN as interações entre os autômatos são modeladas através de regras de transição específicas como veremos mais adiante. A denominação de estocásticos atribuída aos autômatos, neste formalismo, deve-se ao fato de que o tempo é tratado como uma variável aleatória com distribuição exponencial [1]. Nas próximas seções serão expostos alguns conceitos relacionados às SAN onde poderemos observar como esta abordagem, dita modular, permite descrever primitivas de paralelismo e sincronismo Estados Locais e Globais O estado de um autômato resume toda a informação referente a seu passado, pois as entradas passadas são necessárias para determinar qual será o próximo comportamento adotado pelo autômato mediante novas entradas. Ou seja, para um 15

16 determinado conjunto de estados, um sistema poderá assumir somente um estado a cada momento, e este estado irá variar de acordo com a nova entrada recebida [1, 2]. O estado individual de cada autômato é chamado de estado local. O estado global de uma SAN é definido como a combinação de todos os estados locais de cada autômato componente da SAN. A seguir veremos um exemplo em que estas definições poderão ser entendidas Tipos de Transições entre os Estados A Figura 1 modela um sistema através de dois autômatos estocásticos: o autômato A (1) com três estados e o autômato A (2) com dois estados. Figura 1 Exemplo de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN) A cada unidade de tempo t transcorrida é possível verificar o estado em que cada autômato modelado se encontra. Este estado é denominado estado local, sendo que no autômato A (1) há a possibilidade de estarmos em apenas três estados (D, A ou S) e no autômato A (2) em apenas dois estados (no estado I ou no estado O). Ainda observando o exemplo acima, pode-se notar diferentes tipos de transições entre os estados. Estas transições existentes em cada autômato podem ser divididas em transições locais e transições sincronizadas. No exemplo, as transições locais recebem o nome l i e as transições sincronizadas e i. 16

17 As transições locais alteram o estado global pela mudança de um estado em apenas um autômato, enquanto as transições sincronizadas alteram o estado global pela mudança de estado em dois ou mais autômatos simultaneamente [1, 2, 6]. A vantagem das transições locais é permitir que os autômatos tenham comportamentos paralelos através de eventos locais, ou seja, elas mudam somente o estado local do autômato em que ocorreram e não têm interferências por parte dos estados dos outros autômatos. Apesar de os eventos serem ditos independentes, eles são disparados um de cada vez, pois em uma escala de tempo contínua não ocorrem dois ou mais eventos ao mesmo tempo [6]. As transições sincronizadas permitem que seja representado um certo sincronismo no disparo de transições entre os autômatos, constituindo eventos sincronizantes entre os mesmos [1]. Sua ocorrência se dá simultaneamente em todos os autômatos envolvidos, pressupondo a existência de um autômato mestre, que coordenará a sincronização. Temse então um ou mais autômatos escravos, estes disparados pelo mestre correspondente. Para cada evento sincronizante têm-se a definição de um único autômato mestre, sendo as transições, nos demais autômatos, do tipo escravo. Cabe salientar, que um autômato pode ser mestre de um determinado evento sincronizante e, ao mesmo tempo, escravo em relação a outro [1]. Vejamos a seguir o autômato global equivalente à SAN visualizada anteriormente: Figura 2 Autômato equivalente à rede da Figura 1 17

18 O autômato representado na Figura 2, tem cada um dos seus estados como uma dupla de estados locais de cada autômato da Figura 1. A configuração deste sistema a cada instante definirá seu estado global. Da mesma forma, levando em consideração a SAN da Figura 1, o estado global é dado pela combinação de todos os estados locais de cada um dos dois autômatos constituintes da mesma Taxas e Probabilidades Funcionais Os eventos sincronizantes representam as possíveis interações existentes entre os autômatos, cujas taxas de ocorrência são, muitas vezes, constantes. Porém, existe outra forma de representar estas interações: utilizando taxas e probabilidades funcionais. Um outro tipo de denominação para as transições locais e sincronizadas é que ambas podem ser chamadas de transições funcionais. Isto ocorrerá quando suas taxas não forem constantes, ou seja, tem-se uma função do estado local de outros autômatos da SAN, avaliada conforme os estados atuais do modelo. Logo, as taxas funcionais podem ser colocadas tanto em transições locais como em transições sincronizadas (no autômato mestre), e estas podem ser definidas por funções que refletem a avaliação dos estados atuais da rede de autômatos estocásticos em questão. Por exemplo, se no autômato A (2) quiséssemos representar uma transição local funcional (dependente do estado interno do autômato A (1) ), teríamos, por exemplo, a definição de uma função f como segue abaixo: λ 1 se A f = 0 se A (1) (1) está no estado A não está no estado A Temos então duas taxas de transição distintas dependendo do estado em que se encontra o modelo. Vejamos a Figura 3: 18

19 Figura 3 Modelo SAN com transições funcionais Outra possibilidade dentro do formalismo é que para cada modelo pode-se definir uma função de atingibilidade, que em poucas palavras, é uma função booleana que determina os estados atingíveis do modelo dentro do espaço total de estados. Esta função definirá, então, o espaço de estados atingível do modelo SAN. Quando esta for igual a 1, significa que todos os estados do modelo são atingíveis. Normalmente, isto não é o que acontece na prática, pois em exemplos da realidade facilmente identificamos condições para que determinados eventos ocorram ou não, dentre estas o estado de outros autômatos. Isto quer dizer que provavelmente quando estas condições não forem cumpridas alguns estados globais terão probabilidade nula ou quase nula de ocorrerem. Para o exemplo mostrado na Figura 1 podemos supor que quando o A (1) estiver no estado A, o autômato A (2) deve estar no estado I, ou se o A (1) estiver no estado S, o autômato A (2) deve estar no estado O, por exemplo. Para isto é definida a seguinte função de atingibilidade: reachability = ( st ( A ( st ( A (1) (1) == A) ( st A == S ) ( st A (2) (2) == I)) & == O)); Como se pode notar, o uso de transições funcionais é uma primitiva poderosa do formalismo SAN, permitindo a representação de comportamentos complexos de forma bem mais compacta [2]. A demonstração desta característica do formalismo SAN será 19

20 realizada no Capítulo 3 através da modelagem dos exemplos, e posteriormente discutida na conclusão deste trabalho Descrição textual das SAN É possível que se faça uma descrição textual de cada SAN modelada graficamente. Esta abordagem considera cada autômato como um grafo, onde seus nodos são os estados e os arcos representam a ocorrência de eventos. A descrição textual é muito simples, flexível, e permite a inserção rápida de novos módulos (autômatos) ou mesmo a variação das características da rede. Também apresenta estruturas para replicação de autômatos idênticos ou de blocos com mesmo comportamento, otimizando ainda mais a representação do modelo. O software que auxilia na modelagem deste formalismo é conhecido como PEPS2002, e esta é a ferramenta que permite a avaliação de desempenho das realidades modeladas através da descrição das SAN textualmente. Formalmente, as SAN são descritas através de álgebra tensorial. Maiores informações a respeito podem ser encontradas em [6]. A modelagem dos exemplos deste TI1 será realizada de forma gráfica e textual, onde as descrições no formato para a gramática do software PEPS2002 encontram-se em anexos ao final deste documento, bem como os arquivos de resultados gerados através destes modelos. 20

21 3 MODELAGEM DE EXEMPLOS Nesta Seção serão discutidos alguns exemplos modelados através de diferentes perspectivas, demonstrando a flexibilidade do formalismo SAN. Cada exemplo modelado apresenta pelo menos duas abordagens distintas de representação, permitindo a realização de uma análise comparativa de seus aspectos relevantes e dos resultados obtidos através da ferramenta PEPS2002. O método de solução utilizado para os exemplos foi o da Potência [3], uma das opções oferecidas pela ferramenta. Nas representações gráficas dos modelos ficaram implícitas as probabilidades de ocorrência dos eventos quando estas eram iguais a 1, facilitando a visualização dos parâmetros envolvidos em cada um dos exemplos. As representações completas dos modelos no formato SAN, e os seus respectivos arquivos de resultados, encontram-se nos anexos ao final deste documento. 3.1 Redes de Filas de Espera As Redes de Filas de Espera (QN Queueing Networks) são bastante utilizadas por sua facilidade de modelagem. No entanto, os seus usuários sofrem com suas limitações (QN à forma-produto) [11] que podem ser superadas representando-se este modelo através do formalismo SAN, menos limitado em termos de poder de resolução [5]. O exemplo que será modelado consta de uma rede de filas de espera aberta, com três estações de serviço, capacidade limitada e perda de clientes. A idéia básica é transformar cada fila do modelo QN em um autômato estocástico no modelo SAN equivalente. Vejamos na Figura 4, o modelo QN que será transformado em SAN: 21

22 Figura 4 Modelo exemplo de QN Neste exemplo temos três filas, onde todos os clientes entram através da fila 1 e dividem-se posteriormente entre a fila 2 e a fila 3, com probabilidades π 1 e π 2, respectivamente. Logo, apresenta: σ i como tempo médio de atendimento na fila i K i é o número máximo de clientes na fila i C i é o número de servidores na fila i Segue abaixo uma tabela com os valores declarados nas modelagens textuais dos exemplos da próxima Seção (Tabela 1): Fila i Σ i Ki Ci Li Tabela 1 Parâmetros da QN estabelecidos para a modelagem textual Tem-se então três autômatos sendo o primeiro com 11 estados, estes referentes ao total de clientes da fila 1 (10 clientes) mais o estado 0, correspondente a nenhum cliente na fila. Este autômato será chamado de F (1). O segundo autômato representa a fila 2, e tem seis estados possíveis (5 clientes mais o estado 0) e é denominado F (2). O terceiro autômato, assim como o anterior, apresenta também seis estados, pois também representa uma fila de capacidade 5, ou seja, que comporta cinco clientes, chamado de F (3). 22

23 A taxa de saída da fila 1 para a fila 2 será denominada de f 12, e para a fila 3 de f 13, sendo definidas da seguinte maneira: f 12 = min (C i, st F ( i ) ) * π 1 f 13 = min (C i, st F ( i ) ) * π 2 No caso de f 12 é extremamente necessária a utilização desta fórmula, pois é a única fila que apresenta dois servidores, logo conforme o número de clientes presentes na fila, a taxa pode sofrer variações. Nas outras situações, como o número de servidores é igual a 1, a taxa permanece constante para todas as transições. Maiores informações a respeito de QN podem ser encontradas em [1, 6 ]. Na próxima Seção abordaremos três opções de modelagem para este problema, podendo visualizar a versatilidade do formalismo SAN em relação às diferentes formas de declaração dos modelos e de suas taxas. As modelagens textuais destes exemplos encontram-se em anexo no final deste documento. Para todos estes modelos será definida a função de atingibilidade igual a um, pois nas QN abertas todos os estados são atingíveis [1, 6], não havendo possibilidade de que algum estado não ocorra Modelo Básico Utilizando apenas Constantes O modelo SAN correspondente a este exemplo possui um autômato para cada fila e um evento sincronizante para cada passagem possível de clientes entre as filas. Esta sincronização entre dois autômatos em uma QN modela a saída de um cliente de uma fila, e a chegada deste mesmo em outra fila. Neste exemplo não foram utilizadas taxas funcionais, somente eventos sincronizantes. Adotou-se também as seguintes probabilidades constantes: π 1 =60% e π 2 =40%. Note que as chegadas de clientes na primeira fila e as saídas de clientes da última fila são representadas por eventos locais, pois são independentes dos estados dos 23

24 demais autômatos. A saída de clientes da fila 2 ocorre a uma taxa µ 2, e a saída de clientes da fila 3 ocorre a uma taxa µ 3. Vejamos abaixo na Figura 5: Figura 5 Modelo SAN para rede de filas de espera aberta O autômato F (1) coordena a saída de clientes da fila 1 e a chegada de clientes nas filas 2 e 3, ou seja, ele é o mestre desta sincronização na medida em que saem clientes, sendo as outras duas filas, escravos nas transições que representam a chegada de clientes em cada uma delas. Observemos agora os resultados obtidos com este modelo (Tabela 2): Total de Autômatos 3 autômatos Espaço de Estados 396 estados Total de Estados Atingíveis 396 estados Tamanho do Descritor Normalizado 5 Kbytes Número de Iterações Realizadas 1049 iterações Média de tempo de CPU por Iteração segundos Tabela 2 Resultados para uma QN com uso de constantes 24

25 Definindo a função de atingibilidade igual a 1, temos o tamanho do espaço de estados igual ao total de estados atingíveis no modelo. Na próxima Seção, modelaremos as mesmas filas, porém utilizaremos funções para definir as probabilidades de passagem de clientes para as filas 2 e 3 ao invés de utilizarmos constantes para π 1 e π Utilizando Probabilidades Funcionais No modelo anterior utilizamos probabilidades constantes de os clientes da fila 1 migrarem para as filas 2 e 3. Porém é possível estabelecermos uma probabilidade funcional nestas transições, e esta será variável conforme o fluxo destas duas filas destino, balanceando a carga das mesmas. Vejamos a definição de π 1 e π 2 para esta alternativa: π 1 = ( st Fila3+ 1) ( st Fila2+ st Fila3+ 1); π 2= 1 π 1; Estas funções definem que quanto mais clientes tivermos na fila 3 maior a probabilidade dos clientes que saem da fila 1 irem para a fila 2 e vice-versa. Neste modelo os eventos sincronizantes são representados por s i e os eventos locais por e i. Todas transições ocorrem através de eventos locais que obedecem a taxas de ocorrência específicas (f 12 e f 13) e probabilidades funcionais (π 1 e π 2 ). Observemos a representação gráfica desta alternativa de modelagem (Figura 6): 25

26 Figura 6 Redes de Filas de Espera com probabilidades funcionais Após realizar a descrição textual deste modelo, obteve-se os seguintes resultados no PEPS2002 (Tabela 3): Total de Autômatos 3 autômatos Espaço de Estados 396 estados Total de Estados Atingíveis 396 estados Tamanho do Descritor Normalizado 5 Kbytes Número de Iterações Realizadas 1328 iterações Média de tempo de CPU por Iteração segundos Tabela 3 Resultados da modelagem utilizando Funções Observou-se um aumento significativo do tempo por iteração nesta modelagem em relação à anterior. Entretanto em termos de utilização da memória, o tamanho do descritor da SAN não teve variações. 26

27 3.1.3 Utilizando somente Eventos Sincronizantes Neste modelo utilizaremos apenas eventos sincronizantes entre os autômatos, e estes definirão o fluxo de clientes que irão para a fila 2 e para a fila 3. O objetivo era distribuir a carga entre as filas de forma a não sobrecarregar uma determinada fila. Como o número total de transições e eventos sincronizantes para esta abordagem é muito grande utilizou-se uma tabela de combinações de estados das filas 2 e 3 para facilitar a representação gráfica posteriormente (Tabela 4): i Fila 2 Fila 3 π 1 π Não ocorre Não ocorre Não ocorre

28 Não ocorre Não ocorre Não ocorre Não ocorre Não ocorre Não ocorre Não ocorre Não ocorre Não ocorre Tabela 4 Probabilidades de Rotação para Filas 2 e 3 Os eventos locais são representados por l ( i ). A nomenclatura estabelecida para os eventos sincronizantes que ocorrem entre a fila 1 e a fila 2 é a seguinte: (e i, π 1 ), onde i é o número correspondente ao evento correspondente na tabela construída (Tabela 1). Para os eventos sincronizantes que ocorrem entre a fila 1 e a fila 3, temos: (s i, π 2 ), onde i é o número correspondente ao evento correspondente na tabela construída (Tabela 1). Para facilitar a implementação visto que temos muitas probabilidades a considerar, assim como no modelo anterior, utilizamos as funções que representam π 1 e π 2. Segue então a representação gráfica deste modelo (Figura 7): 28

29 Figura 7 - Redes de filas de espera com eventos sincronizantes Os resultados obtidos com esta modelagem foram os seguintes (Tabela 5): Total de Autômatos 3 autômatos Espaço de Estados 396 estados Total de Estados Atingíveis 396 estados Tamanho do Descritor Normalizado 42 Kbytes Número de Iterações Realizadas 1328 iterações Média de tempo de CPU por Iteração segundos Tabela 5 Resultados para rede de filas de espera com sincronizantes Na próxima Seção será feita uma análise comparativa destes três modelos, abordando os resultados obtidos nas três estratégias de descrição do problema. 29

30 3.1.4 Considerações sobre as Três Alternativas de Modelagem As três abordagens implementam de diferentes maneiras a mesma QN Aberta, e sobre estas podemos agora realizar uma análise dos resultados avaliando as vantagens e desvantagens de cada alternativa de modelagem proposta através do quadro comparativo abaixo (Tabela 6): Resultados Obtidos Aproximadamente para Com Constantes Com Taxas Funcionais Com Eventos Sincronizantes Redes De Filas de Espera Dados (100%) Dados (%) Dados (%) 938,27 Tempo Médio Gasto por Iteração (segundos) (10x) Tamanho do Descritor Armazenado (Kbytes) ,63 (150x) 840 (8x) Tabela 6 Quadro comparativo para QN Abertas Como a função de atingibilidade em todos os modelos não é diferente de um, pois estamos tratando de QN abertas onde todos os estados são atingíveis, não faz sentido tecermos considerações a respeito deste dado. Porém, quanto a outros pontos avaliados, é notável o ganho em termos de espaço de memória utilizado para armazenar o descritor normalizado das SAN que não utilizam eventos sincronizantes. Tivemos o mesmo resultado com as modelagens com constantes e com taxas funcionais em relação a este parâmetro, e estes foram significativamente melhores do que com eventos sincronizantes, com tamanho relativamente oito vezes menor. Quanto ao tempo médio por iteração observou-se que com taxas funcionais a resolução foi dez vezes mais lenta do que com constantes, e a com eventos sincronizantes cento e cinqüenta vezes mais lenta aproximadamente. Nos próximos exemplos a serem modelados veremos como estes parâmetros podem variar e como a complexidade do problema deve ser considerada no momento em que se adota uma destas estratégias. 30

31 3.2 Compartilhamento de Recursos O primeiro exemplo de modelagem escolhido é o clássico problema de compartilhamento de recursos entre processos. Tem-se, então, N diferentes processos compartilhando a utilização de R recursos idênticos entre si, onde qualquer processo pode utilizar qualquer recurso, mas cada recurso só é utilizado por um único processo de cada vez. Os processos podem refletir somente duas situações possíveis neste exemplo: estar ou não usando algum recurso. A representação dos processos foi realizada através da modelagem de autômatos estocásticos um para cada processo, totalizando N autômatos no modelo. Estes autômatos foram modelados com dois estados cada um: o estado S (sleep) e o estado U (using). Além disto, cada estado contém apenas um arco de saída, ou seja, existe uma única transição (que sai do estado S e vai para o estado U) modelada para representar a situação de requisição de um recurso, e uma transição que tem origem no estado U e termina no estado S representando a liberação do recurso. A partir de agora serão apresentadas duas alternativas para a modelagem deste exemplo através do formalismo SAN: uma utiliza apenas eventos sincronizantes entre os autômatos e, a outra utiliza somente eventos locais e funções. Considerou-se também que os processos têm diferentes taxas de requisição (λ N ) e liberação (µ N ) dos recursos no intuito de prover uma representação mais fiel da realidade proposta para análise Utilizando Eventos Sincronizantes Como uma primeira alternativa de modelagem para este problema, teremos, além dos N autômatos P que representam os processos, um autômato representando a quantidade de recursos em utilização. Este autômato, que chamaremos de Recs (1), terá o número de estados compatível com a quantidade de recursos disponíveis estabelecidos para este exemplo. Porém torna-se necessária a adição de um estado para a situação 31

32 referente a nenhum recurso em utilização, isto porque não necessariamente teremos sempre algum recurso sendo utilizado. Portanto, tem-se R+1 estados possíveis para este autômato. Para representar a interação entre os autômatos modelados, são utilizados apenas eventos sincronizantes entre os autômatos P ( i ) e o autômato Recs (1). Vejamos a Figura 8: Figura 8 - Compartilhamento de Recursos com Eventos Sincronizantes Na modelagem textual, estabeleceu-se um total de doze processos (N=12) compartilhando os recursos (a princípio, R=4), ou seja, o modelo representa doze autômatos com dois estados cada um, e mais um autômato com cinco estados. Os autômatos que representam os processos foram declarados mestres da sincronização com os recursos, sendo estabelecidas as seguintes taxas de ocorrência para as transições entre os estados destes autômatos (Tabela 7): 32

33 Autômatos P (N) P (1) P (2) P (3) P (4) P (5) P (6) P (7) P (8) P (9) P (10) P (11) P (12) Taxas de Requisição (λ N ) Taxas de Liberação (µ N ) Tabela 7 Taxas utilizadas para Compartilhamento de Recursos Como podemos observar na descrição do modelo no Anexo I, uma função de atingibilidade também é definida no intuito de manter a coerência entre os estados dos autômatos P e o estado do autômato Recs, respeitando as limitações do modelo em termos de quantidade de recursos disponíveis. Tem-se então que o somatório dos autômatos P que estão no estado U deve ser coerente com o estado onde o autômato Recs se encontra. Logo, a função de atingibilidade para este modelo pode ser: f N = ( ( ( st P i= 1 ( i) == U )) == ( st Recs) ) O espaço de estados atingíveis neste modelo é obtido através da função de atingibilidade. Se neste exemplo a função de atingibilidade fosse f =1, significaria que todos os estados seriam atingíveis. O espaço de estados total é obtido através do produtório do total de estados de cada autômato. Segue abaixo uma tabela com algumas das características deste modelo, obtidas através da ferramenta PEPS2002 (Tabela 8): Total de Autômatos 13 autômatos Espaço de Estados estados Total de Estados Atingíveis 794 estados Tamanho do Descritor Normalizado 250 Kbytes Número de Iterações Realizadas 136 iterações Média de tempo de CPU poriteração segundos Tabela 8 Características do modelo com eventos sincronizantes Contudo, existe a possibilidade de modelarmos este exemplo sem a utilização de eventos sincronizantes entre os autômatos podendo reduzir o espaço de estados total. 33

34 3.2.2 Utilizando apenas Funções Neste exemplo será ilustrada a utilização de elementos funcionais em um modelo sem eventos sincronizantes. O número de autômatos P que contêm estes dois estados representará o número total de processos do modelo. Figura 9 - Modelo SAN com funções para compartilhamento de recursos eventos locais Observando a Figura 9 nota-se que a liberação de um recurso é representada por l ( N ) 1 que ocorrem, por exemplo, a uma taxa µ N, e representam a transição existente entre o estado U e o estado S em cada um dos autômatos. Já a requisição de um recurso é modelada pelos eventos locais l, onde além da taxa de ocorrência λ N, tem-se também uma probabilidade funcional associada a este evento. Esta probabilidade funcional é definida por: ( N ) 2 f N = ( ( st P i= 1 ( i) == U ) < R ) Esta função retorna True (1) caso exista pelo menos um recurso disponível (número de autômatos utilizando algum recurso é menor do que o total de recursos R), ou retorna False (0) no caso contrário. As taxas de requisição e liberação dos recursos, respectivamente λ N e µ N, são estabelecidas como constantes assim como na primeira abordagem apresentada. Além disto, a função de atingibilidade deve ser redefinida de forma a continuar mantendo a 34

35 coerência entre os estados dos autômatos P e a quantidade de recursos disponíveis a cada momento. A função de atingibilidade declarada avaliará os autômatos de modo a garantir que o número máximo de processos que estão utilizando os recursos seja equivalente à R (número de recursos disponíveis). Logo a definição da função de atingibilidade para este modelo é a que segue: f N = ( ( st P i= 1 ( i) == U ) < = R ) Assim sendo, este modelo descreve toda a interação entre os autômatos através do uso de probabilidades funcionais, sem a necessidade de utilização de eventos sincronizantes, mesmo assim tendo os mesmos resultados obtidos anteriormente. Vejamos a Tabela 9: Total de Autômatos 12 autômatos Espaço de Estados 4096 estados Total de Estados Atingíveis 794 estados Tamanho do Descritor Normalizado 38 Kbytes Número de Iterações Realizadas 136 iterações Média de tempo de CPU por Iteração segundos Tabela 9 Características do modelo utilizando funções Como podemos observar o espaço de estados total reduziu consideravelmente ao excluirmos o autômato correspondente aos recursos. Nota-se que vários aspectos devem ser considerados ao optarmos por uma ou outra alternativa de modelagem Considerações sobre as Duas Alternativas de Modelagem Na primeira alternativa, o modelo representa 2 N * (R+1) estados globais, sendo N processos compartilhando R recursos. Porém nem todos estes são atingíveis devido à definição de uma função de atingibilidade diferente de 1. Assim como, na segunda abordagem, tem-se 2 N estados globais. 35

36 O número de estados atingíveis para estes modelos com N processos compartilhando R recursos será o mesmo independente da modelagem adotada, considerando que as funções de atingibilidade definidas são semanticamente idênticas. Tem-se então o número de estados atingíveis igual a: N N C i i= 0 N C i, onde representa o número de combinações não ordenadas de i elementos retirados de um conjunto contendo um total de N elementos. Uma diferença notável entre estas abordagens é o espaço de estados total, visto que na modelagem com eventos sincronizantes tem-se um autômato a mais a ser considerado. Apesar do número de iterações realizado para solucionar os modelos seja o mesmo nas duas alternativas, o tempo médio gasto por iteração foi reduzido no modelo em que utilizamos funções, convergindo mais rapidamente para a solução do problema. Alternativamente, foram modeladas algumas variações nestes exemplos utilizando-se outras quantidades de recursos disponíveis para N processos (N=12), podendo então realizar mais análises comparativas. Vejamos os resultados obtidos na tabela abaixo (Tabela 10): Resultados Obtidos N processos (12) - R recursos Com Eventos Sincronizantes Com Funções R=1 R=4 R=8 R=11 R=1 R=4 R=8 R=11 Espaço de Estados Total (estados) Espaço de Estados Atingíveis (estados) Número de Iterações realizadas Tempo Médio Gasto por Iteração (segundos) Tamanho do Descritor Armazenado (Kbytes) Tabela 10 Compartilhamento de Recursos variando a quantidade de recursos O número de iterações a serem realizadas não depende das escolhas de modelagem, tanto com a utilização de eventos sincronizantes quanto com a utilização de funções deve-se esperar o mesmo número de iterações. O que varia, na realidade, é o tempo médio despendido em cada iteração. No caso da modelagem com eventos sincronizantes com somente um único recurso disponível obtivemos um tempo melhor do 36

37 que o obtido em outras alternativas. Em todos os outros casos, a modelagem utilizando funções mostrou um ganho significativo em termos de tempo de processamento. Considerando o espaço de memória utilizado para armazenar o descritor dos modelos, sem dúvida este tem relação direta com a quantidade de autômatos modelados e seus respectivos conjuntos de estados, bem como com o tipo de evento escolhido para cada transição. Observemos na Figura 10 um gráfico que mostra a variação dos valores referentes ao espaço de estados total em relação aos estados atingíveis, para o modelo com eventos sincronizantes: Resultados Obtidos - Eventos Sincronizantes Total de Recursos Espaço de Estados Total Total de Estados Atingíveis Figura 10 Análise dos Resultados da Modelagem com Eventos Sincronizantes funções: Comparativamente, a Figura 11 apresenta os valores referentes à modelagem com Resultados Obtidos - Taxas Funcionais Total de Recursos Espaço de Estados Total Total de Estados Atingíveis Figura 11 - Análise dos Resultados da Modelagem com Funções 37

38 Analisando os modelos pode-se concluir que para valores pequenos de R, temos o espaço de estados atingíveis minimizado em relação ao número total de estados. Na modelagem com funções o espaço total de estados não se altera, ou seja, é independente do número de recursos utilizados, porém a quantidade de estados atingíveis varia assim como no outro modelo. Logo, estes modelos são mais eficientes nos casos em que R não é muito menor do que N. Note que a representação completa destes autômatos e suas transições no formato da gramática para a ferramenta PEPS2002 pode ser observada nos anexos ao final deste documento. Cabe salientar, que a quantidade de recursos disponíveis e a quantidade de processos existentes, podem ser ambas redefinidas alterando-se alguns parâmetros de descrição nos arquivos SAN correspondentes. 3.3 O Jantar dos Filósofos Este exemplo descreve o Jantar dos Filósofos, um problema clássico de sincronização entre processos simultâneos. Supõe-se que existem cinco filósofos em torno de uma mesa. Nesta mesa encontram-se apenas cinco garfos e cinco pratos cheios de macarrão. A vida de um filósofo consiste em pensar e comer. Porém, para comer, cada filósofo necessita de dois garfos, pois o macarrão é muito difícil de comer com um único garfo. Assim, se um filósofo está comendo, seus dois vizinhos não podem comer. A disposição dos filósofos e dos garfos na mesa ficará como segue (Figura 12): Figura 12 Problema do Jantar dos Filósofos 38

39 Neste problema são cinco filósofos, e estes serão representados por cinco autômatos chamados de F, contendo três estados cada um: pensar (P), segurar o garfo direito (D) e segurar o garfo esquerdo (E). A modelagem supõe que para comer, um filósofo necessita efetivamente estar com dois garfos em mãos e, logo depois, voltar a pensar liberando os dois garfos. As alternativas de modelagens que serão mostradas, a seguir, sugerem diferentes soluções para garantir esta sincronização. Ressalta-se que a escolha dos estados de cada autômato pode variar dependendo do nível de detalhe que se deseja aplicar ao modelo, por exemplo, um quarto estado (C) representando o filósofo comendo poderia ter sido incluído no modelo. Contudo considerou-se que quando um filósofo estiver com os dois garfos em mãos, o tempo que o mesmo leva para libera-los já pressupõe o tempo gasto comendo, não necessitando então modelar mais um estado. O problema ocorre exatamente quando dois filósofos vizinhos ficam com fome e tentam pegar o mesmo garfo para comer. Esta situação remonta o que ocorreria com dois processos concorrentes que querem utilizar um mesmo recurso; se a sincronização não for resolvida, estes processos poderão ficar em espera infinita, um pelo outro, situação conhecida como deadlock. Para solucionar este problema, na modelagem dos autômatos dos filósofos estabelece-se um filósofo canhoto que, ao contrário dos outros, segura primeiro o garfo à sua esquerda e após o da direita. As taxas que descrevem o tempo gasto pelos filósofos em cada um de seus possíveis estados são as seguintes: cada filósofo demora 2 u.t. (unidades de tempo) para segurar cada um dos garfos que necessita, respectivamente; um filósofo passa 4 u.t. comendo e, logo depois, solta os garfos e volta a pensar. Nas próximas seções, serão modeladas duas alternativas para o problema em questão, uma utilizando eventos sincronizantes e outra com taxas funcionais. 39