APLICABILIDADE DE TEORIA DE FILAS E SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO EM UMA LOJA DE DEPARTAMENTOS EM CASTANHAL/PARÁ.

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1 João Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016 APLICABILIDADE DE TEORIA DE FILAS E SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO EM UMA LOJA DE DEPARTAMENTOS EM CASTANHAL/PARÁ Gabriel Rodrigues de Oliveira Gadelha ((UEPA) ) gabrielrogep@hotmailcom Jessica Kalene Palheta Moraes ((UEPA) ) jessicakalene17@gmailcom Larissa Moraes Dantas ((UEPA) ) lariissadantas@hotmailcom Luis Claudio Figueira Mendes Junior ((UEPA) ) Lcjunior_engprod@hotmailcom MARIO ANDRADE CORREA NETO ((UEPA) ) mario-correa-andrade@hotmailcom Neste estudo foi aplicada a teoria de filas para analisar um problema de congestão em caixas de uma loja de departamento O trabalho foi voltado a analisar o número de atendentes em relação à demanda do estabelecimento, qual a taxa de ocupaação dos atendentes e qual o tempo médio de espera na fila, que foram tomadas como fatores importantes do nível de serviço ao consumidor, em função da capacidade do sistema Foram explorados os modelos: (i) o sistema por meio de m modelos M/M/1 paralelos e independentes, (ii) a notação de Kendall que segue a seguinte ordem: A / B / m / K / n/ D, que possibilita determinar o modelo de fila E foi utilizada a simulação de monte Carlos capaz de projetar cenários futuros de operação do sistema em análise Para avaliar o desempenho destes modelos e desta ferramenta, realizamos um estudo de caso em uma loja de departamento, localizada na cidade de Castanhal-Pa Os resultados permitiram comparar os resultados da aplicação da teoria das filas com os resultados obtidos do uso da simulação de Monte Carlo, no qual a simulação de Monte Carlo apresentou um resultado mais aceitável Palavras-chave: Loja de Departamento, Teoria de Filas, Simulação de Monte Carlo

2 1 Introdução As filas são elementos muito presentes no cotidiano das pessoas, e são vistas de forma desagradável pelas mesmas Com a globalização, a competitividade aumentou e a disponibilidade de instituições do mesmo ramo no mercado também cresceu, e devido a esse leque de possibilidades os consumidores têm ficado cada vez mais exigentes Tal fato preocupa os gerentes, visto que a formação de filas muito extensas pode ser vista como uma desvantagem competitiva para a instituição A Teoria de Filas é um setor da Pesquisa Operacional que utiliza conceitos básicos de processos estocásticos e de matemática aplicada para analisar o fenômeno de formação de filas e suas características (Novaes, 1975) Essa teoria foi desenvolvida com a finalidade de prever o comportamento das filas de modo a permitir o melhor dimensionamento de instalações, número de equipamentos e servidores adequados, para assim atender de forma satisfatória os clientes, e ao mesmo tempo evitar desperdícios para a empresa Uma fila é caracterizada por um processo de chegadas de clientes (unidades de chegadas, as quais requerem atendimento, podendo ser máquinas, pessoas, veículos, trens) de uma determinada população a um sistema de atendimento formado por uma ou mais unidades de serviço (boxes de pedágio, caixas, berços de atracação de navios, etc) (SCHEIN,2010) Quando acontece a espera do cliente e/ou da estação de serviço (atendimento), há um processo chamado fila de espera Assim, para tentar solucionar o problema da fila, pode-se programar corretamente as chegadas ou proporcionar número suficiente de estações de serviço, de modo a diminuir o tempo de espera (SHIMIZU, 1984) Alguns exemplos de problemas de filas: quantificar o número de caixas necessários em alguns estabelecimentos, como supermercados ou lojas de departamentos; dimensionar o espaço reservado para a construção de um pátio de estacionamento, ou um armazém; o número de especialistas a serem contratados para a realização de um determinado serviço (mecânicos de manutenção, médicos de plantão, etc) O estudo foi realizado em uma loja de departamentos localizada na cidade de Castanhal-Pa Esta faz parte de uma rede que está espalhada por todo o Brasil Foi observada a taxa de chegada dos clientes, o tempo de atendimento dos servidores, e a partir dessas informações, foi possível determinar se o número de atendentes está adequado para a demanda do estabelecimento, qual a taxa de ocupação dos atendentes e qual o tempo de espera na fila E, desta forma, gerar satisfação para os clientes, e ao mesmo tempo economia para a empresa, de forma a evitar desperdícios Para a obtenção de resultados mais próximos da realidade, foi realizado no mesmo estudo a aplicação da simulação através do método de Monte Carlo, que segundo Prado (2014), é uma técnica de recriar o funcionamento de um sistema real dentro de um modelo teórico A garantia de que o método de Monte Carlo nos dá é que, quando esse processo é realizado com uma grande massa de dados, os valores obtidos da simulação guardam uma estreita semelhança com os valores reais no que se refere a variáveis randômicas (NF, TF, etc) (Prado, 2014), deste modo, o processo permite realmente simular o funcionamento de um sistema real O presente trabalho tem como objetivo aplicar a teoria de filas e a simulação através do método de Monte Carlo em uma empresa de departamentos e analisar os resultados obtidos, 2

3 comparando possíveis disparidades entre esses resultados, de modo a encontrar o método mais eficiente para esta situação Na seção 2 está disposto o referencial teórico, com uma abordagem dos temas necessários para a realização desse estudo Na seção 3 encontra-se a metodologia usada na pesquisa, incluindo a coleta de dados, tratamento desses dados para a obtenção dos resultados, que estarão dispostos na seção 4, juntamente com alguns comentários Na seção 5 encontram-se as considerações finais sobre o trabalho, e por fim estão as referências bibliográficas usadas para a fundamentação teórica desse trabalho 2 Referencial Teórico Esta seção contêm os conceitos necessários para a realização da pesquisa, que foram usados como embasamento teórico para o estudo 21 Teoria das Filas A teoria das filas foi desenvolvida por A Kendall Erlang como uma tentativa de solucionar o problema de redimensionamento de centrais telefônicas no início do século passado (JÚNIOR, 2010) A teoria das filas estuda as relações de espera entre um sistema e seus usuários (BATALHA, 2008) a mesma ajuda a balancear os custos de oferecer o serviço e os custos de atrasos do sistema Bem como, auxilia no desenvolvimento de um sistema mais eficiente e tem um papel importante além de melhorar o relacionamento entre uma empresa e seus consumidores Pode ser usada também na otimização dos processos A teoria das filas tem diversas aplicações, seja em uma fila de banco, seja em caminhões e navios esperando para serem carregados (HILLIER, 2006) Uma fila é composta por (Figura 1): uma população, que são possíveis clientes; os clientes, indivíduos da população que decidem entrar na fila; a fila em si; o serviço, o motivo pelo qual o cliente entrou na fila; e tem-se o atendimento que é formado por um ou mais servidores Figura 1 Elementos de uma fila Fonte: Júnior (2010) As filas são caracterizadas em 4 grupos: Sistemas de fila única e um único servidor; Sistemas de fila única e múltiplos servidores em paralelo; Sistemas de múltiplas filas e múltiplos servidores em paralelo; e Sistemas de fila única e múltiplos servidores em série (BATALHA, 2008) Uma fila é caracterizada pelos seguintes elementos: processo de chegada, processo de 3

4 atendimento, número de servidores, disciplina da fila, tamanho médio da fila, tempo médio na fila e tamanho máximo da fila 211 Processos de chegada Os processos de chegada são valores de tempo médio em que um cliente entra na fila Neste processo é possível determinar, por meio da coleta de dados, duas variáveis randômicas, ritmo de chegada, representado pela letra grega λ e o intervalo de chegadas, IC Expressos pela fórmula 1: 212 Processos de atendimento O processo de atendimento é o tempo médio de atendimento, também apresenta duas variáveis randômicas, o ritmo de atendimento (µ) e o tempo de atendimento (TA) O primeiro representa quantos clientes são atendidos por uma unidade de tempo e o segundo indica qual o tempo médio de atendimento de um cliente por um servidor O número de servidores indica a qual a quantidade média de atendentes necessária para atender a demanda de uma determinada fila Expressos pela fórmula 2: 213 Disciplina da fila A disciplina da fila representa qual a prioridade de atendimento Algumas disciplinas são: First come first served, ie por ordem de chegada; last come first served, ie último a chegar primeiro a ser servido; serviço por ordem de prioridade, serviço randômico, etc (RESING, 2015) Para o cálculo do Número médio de clientes na Fila (NF), usa-se a fórmula 3: 214 Tamanho médio da fila Outra importante característica de uma fila é o tamanho médio de uma fila, sendo prioridade para os consumidores O tamanho da fila está diretamente ligado com a possibilidade do cliente consumir ou não o produto ou serviço, filas grandes geram insatisfações tanto para o cliente quanto para a empresa Para o cálculo do Número médio de clientes no Sistema(NS), usa-se a fórmula 4: 4

5 Por conseguinte, o tamanho da fila implica no tempo médio da fila, uma outra característica importante na visão do consumidor E é relevante conhecer o tamanho máximo que uma fila pode assumir, para se planejar a área destinada a espera, bem como a capacidade do serviço Para o cálculo do Tempo médio de clientes na fila (TF), usa-se a fórmula 5: A fórmula para o cálculo do Tempo médio de clientes no Sistema (TS), expresso por meio da expressão 6: 215 Notação de Kendall Para determinar um modelo de fila foi desenvolvido uma notação que facilitasse a identificação das mesmas Essa notação é conhecida por Notação de Kendall, pois foi introduzida por A Kendall Erlang Esta notação segue a seguinte ordem: A / B / m / K / n/ D Onde: A indica a distribuição do processo de chegada; B, a distribuição do processo de atendimento; m, o número de servidores, k, o número máximo de clientes no sistema; n o tamanho da população; e D indica a disciplina da fila (RESING, 2015) 216 Modelo M/M/1 Segundo Schein, (2010) o modelo M/M/1 mostra que tanto as chegadas quanto o atendimento são marcovianos ie seguem uma distribuição de Poisson ou exponencial negativa De acordo com Hilier & Lieberman (2006), o modelo M/M/1 caracteriza-se como um sistema constituído por uma única fila sendo atendida por um servidor, sem limite na capacidade do sistema e uma disciplina do tipo FIFO; onde o número de usuários de chegam na fila por minuto é descrito por uma distribuição de Poisson de parâmetro λ, e o tempo de atendimento exponencialmente distribuído, com parâmetro μ 22 Simulação de Monte Carlo A simulação pode ser entendida segundo Prado (1999, p 93) como a técnica de solução de um problema pela análise de um modelo que descreve o comportamento do sistema usando um computador digital O MMC é uma maneira de transformar um conjunto de números aleatórios em outro conjunto de números (variáveis aleatórias), com a mesma distribuição da variável considerada (PRADO, 2004) Hillier e Liberman (1995) indicam que a realização de uma simulação inicia-se com o desenvolvimento de um modelo que represente o sistema a ser investigado, modelo este que, no entendimento de Pidd (1996), consiste em uma representação explícita e externa de um extrato parcial da realidade vista pela pessoa que deseja usar um modelo para entender, mudar, gerenciar, indicar políticas e controlar parte daquela realidade A simulação tem sido utilizada na engenharia para tratar situações em que se tenta compreender características de um sistema pelo conhecimento de outro que lhe é similar 5

6 (PRADO, 2004), sendo especialmente útil em situações que envolvem análise de riscos (LUSTOSA; PONTE; DOMINAS, 2004) Os modelos de simulação probabilísticos tiveram sua origem no método de Monte Carlo e têm como foco simulações de fenômenos aleatórios, introduzindo a análise de riscos, incorporando as variáveis ambientais e, consequentemente, os elementos de incerteza inerentes (NASCIMENTO; ZUCCHI, 1997) No entendimento de Lustosa, Ponte e Dominas (2004, p 251), a simulação de Monte Carlo consiste em um método que [] utiliza a geração de números aleatórios para atribuir valores às variáveis do sistema que se deseja investigar Os números são obtidos de artifícios aleatórios (por exemplo: tabelas, roletas, sorteios) ou diretamente de softwares, através de funções específicas Conforme Corrar et al (2004) a técnica de Monte Carlo compreende as seguintes etapas: Identificação das distribuições de probabilidades das variáveis aleatórias relevantes para o estudo; Construção das distribuições de probabilidades acumuladas para cada uma das variáveis definidas no item (a) anterior, quando cabíveis; Definição dos intervalos de números randômicos (números aleatórios), para cada variável; geração dos números aleatórios; Simulação dos experimentos A cada iteração, o resultado é armazenado e, ao final de todas as repetições, a sequência de resultados gerados é transformada em uma distribuição de frequência que possibilita calcular estatísticas descritivas, como média (valor esperado), valor mínimo, valor máximo e desviopadrão, cabendo ainda ao executor das simulações a prerrogativa de projetar cenários futuros de operação do sistema em análise O método de simulação de Monte Carlo pode ser aplicado em problemas de tomada de decisão a qual envolva risco e incerteza, ou seja, situações nas quais o comportamento das variáveis envolvidas com o problema não é de natureza determinística (MOORE; WEATHERFORD, 2001; LUSTOSA; PONTE; DOMINAS, 2004) Para operacionalizar a SMC, alguns passos básicos devem ser seguidos Para uma correta operacionalização da SMC, Lustosa, Ponte e Dominas (2004) indicam que a simulação deve ser replicada mais de cem vezes para que se obtenha uma amostra representativa 3 Metodologia A pesquisa foi do tipo exploratória e a caracterização quanto à abordagem do problema, segundo Ganga (2012), foi prioritariamente quantitativa, uma vez que se utilizou, apenas, linguagem matemática e estatística para o atingimento do objetivo deste estudo Quanto à caracterização conforme os procedimentos técnicos em Engenharia de Produção, este estudo se caracteriza como Estudo de Caso, pois é um verificação, baseada na experiência, que averigua um certo fenômeno dentro de seu contexto na vida real, ou seja, é uma confirmação teórica do tema delimitado em um contexto real, sem mudança do ambiente, para a criação do conhecimento (MARTINS, MELLO e TURRIONI, 2014) O levantamento de dados foi feito por cronometragem em uma empresa de Departamentos, onde foram coletados os intervalos de chegada dos clientes (IC) e o ritmo de atendimento ( ) A amostra coletado foi igual a 50 dados coletados 6

7 a) Pesquisa bibliográfica: Primeiramente, foi realizada uma pesquisa bibliográfica pertinente a conceitos sobre Teoria de Filas e Simulação Monte Carlo, para refinar o estudo, mas também para dar embasamento teórico ao desenvolvimento do mesmo; b) Coleta de dados: os dados foram coletados por meio de observação e cronometragem, referentes a duas variáveis: ritmo de chegada e tempo de atendimento A coleta de dados se deu durante um dia pelo turno da manhã e da tarde para diminuir as incertezas que poderiam surgir se apenas um turno fosse observado; c) Análise dos dados: o tratamento estatístico dos dados levantados foi feitos por meio dos softwares Microsoft Excel e uma extensão do mesmo, Crystal Ball Os softwares foram utilizados para a determinação da distribuição estatística que se encaixava melhor aos dados e para a identificação dos parâmetros de λ (taxa média de chegada) e µ (ritmo médio de atendimento) d) Resultados e Discussões: Com o modelo determinado, e de posse das equações próprias, pôde-se calcular parâmetros para avaliação do uso atual do sistema Para efetuar os cálculos, os autores dispuseram do software Microsoft Excel e seu suplemento Crystal Ball, utilizando os conceitos de teoria das filas e simulação Monte Carlo As variáveis estudadas, NF (número de clientes na fila), NS (número de pessoas no sistema), TF (tempo de espera na fila), e TS (tempo no sistema), foram calculadas tanto pelo método da Teoria de Filas, quanto pela Simulação Monte Carlo objetivando a comparação dos resultados obtidos para identificar as disparidades entre os mesmos 4 Resultados e Discussões Os resultados dispostos nesta seção são referentes aos dados coletados para análise feita a partir da aplicação da teoria de filas e do método de Monte Carlo 41 Chegadas dos clientes A coleta de dados para este estudo foi realizada durante um dia Foram observados os intervalos de chegadas dos clientes ao caixa (Tabela 1) O tratamento desses dados foi feito por meio do software Microsoft Excel, e os mesmos foram agrupados em dez classes com amplitude igual a 15, conforme o cálculo estatístico para encontrar a amplitude do intervalo (Quadro 1),bem como o histograma do intervalo de chegadas dos clientes na loja Tabela 1 Intervalos de Chegada (Segundos) 23,12 38,81 32,19 1,75 21,24 129,07 87,44 43,43 14,65 6,03 23,62 18,61 35,98 18,63 21,24 44,72 19,64 55,84 92,09 36,11 21,24 23,24 45,78 32,91 9,87 36,69 31,73 16,09 18,99 5,63 57,86 91,85 67,17 144,55 24,74 2,68 8,42 0,85 4,73 102,05 69,96 12,95 66,36 20,1 80,67 3,13 19,54 15,58 6,08 0,53 Quadro 1 Delimitação da amplitude dos intervalos 7

8 Maior Entrada (Max) 144,55 Menor Entrada (Mín) 0,53 Amplitude Total (Ht = Max Mín) 144,02 N de Classes (n) 10 Amplitude dos intervalos (Ht/n) 14,402 Gráfico 1 Histograma com os intervalos de chegadas É necessário identificar qual distribuição mais se adequa aos dados coletado para se obter os parâmetros: o ritmo médio de chegada e o ritmo médio de atendimento; e definição das equações objetivando a aplicação dos conceitos referentes à Teoria das Filas e Simulação Monte Carlo Para tanto foi utilizado o software, extensão para Excel, Crystal Ball No tratamento dos dados usando o Crystal Ball, foi identificado que a distribuição Exponencial (Gráfico 2) era a que mais se enquadrava aos dados coletados O parâmetro para esta distribuição é igual a 0,3 No contexto deste estudo, o parâmetro encontrado equivale-se ao ritmo de chegada (λ), ou seja, de acordo com o Crystal Ball, o ritmo de chegada para o objeto de estudo foi de 0,03 clientes/segundo (Gráfico 3) Gráfico 2 Comparação entre os dados obtidos e a distribuição exponencial 8

9 Gráfico 3 Distribuição exponencial para o intervalo de chegada 42 Ritmo de Atendimento (µ) Para análise do ritmo de atendimento, os dados coletados foram referentes aos números de clientes atendidos no intervalo de cinco minutos (Tabela 2) E, novamente, foi utilizado o software Crystal Ball para determinação da distribuição que mais se adequava aos dados coletados (Gráfico 4) Conforme a análise dos dados, a distribuição mais adequada foi a distribuição Poisson O parâmetro obtido para tal distribuição foi igual a 6,65 Conforme a Teoria das Filas, isto, equivale-se a dizer que se tem 6,65 clientes atendidos a cada cinco minutos Dividindo-se o resultado por 5, obtém-se o ritmo de atendimento por minuto, para tanto, µ = 1,33 clientes/min Tabela 2 Ritmo de Atendimento 9

10 Ritmo de Atendimento (5 min) Gráfico 4 Distribuição de Poisson para o ritmo de atendimento Fonte: Os Autores (2015) Com os valores de λ (taxa média de chegada) e µ (ritmo médio de atendimento) encontrados, calcula-se o NF (número de clientes na fila), NS (número de pessoas no sistema), TF (tempo de espera na fila), e TS (tempo no sistema), por meio da aplicação das fórmulas citadas anteriormente no referencial teórico Assim, através da teoria das filas, temos que: NF 0,00052 clientes; NS 0,02308 clientes; TF 0,01735 min; TS 0,76923 min 10

11 Aplicando a simulação de Monte Carlo e comparando com os resultados obtidos pela aplicação das fórmulas de teoria de filas os valores de NF e TF dos mesmos apresentam disparidades A tabela 3 mostra a diferença de ambos, o número de clientes na Fila de acordo com a simulação de monte Carlo é cerca de 6519 % maior do que a apresentada pela teoria de filas assim como o Tempo na fila que segundo Monte Carlo apresenta um valor cerca de 164% maior do que a teoria de filas trouxe Mostrando assim que a Teoria de filas apresenta disparidades significantes dos valores quando comparada com simulação de Monte Carlo, podendo assim trazer um valor mais próximo da realidade dessa empresa de departamentos, uma vez que a Teoria das Filas adequa uma distribuição as variáveis encontradas, a simulação de Monte Carlo adequa as variáveis a uma distribuição Portanto, a simulação de Monte Carlo pode ser considerada como mais precisa, uma vez que usa números aleatórios em seus cálculos 5 Conclusão Tabela 3 Diferença entre valores obtidos Simulação Teoria de filas de Monte Carlo NF 0,00052 cliente 3,39 clientes TF 0,017 min 2,78 min Este artigo teve como objetivo comparar os resultados da aplicação da teoria das filas com os resultados obtidos do uso da simulação de Monte Carlo em uma loja de Departamento da cidade de Castanhal Por meio da coleta de dados e o refinamento dos dados feito, tanto pelo software Microsoft Excel, como o Crystall Ball, foi possível alcançar o objetivo do estudo Foram coletados dados referentes ao Intervalo de Chegada (IC) e ao Ritmo de Atendimento (µ) O estudo mostrou que a simulação de Monte Carlo apresenta um resultado mais aceitável, já que a teoria das filas é calculada com base em médias, a mesma superestima os resultados Em contrapartida, a simulação gera resultados muito mais parecidos com a realidade Isto, justifica o seu uso para se fazer um estudo de filas em relação a teoria das filas O trabalho foi limitado pelo software usado O Crystal Ball se apresenta no mercado como uma alternativa viável, frente a outros softwares com custos de aquisição muito altos No entanto, o mesmo apresenta algumas restrições que geram desperdício de tempo Sendo que muitas vezes alguns cálculos têm de ser feito manualmente (Excel) Outra limitação encontrada foi o fato dos dados referentes ao Ritmo de Atendimento, não se ajustarem muito bem a uma distribuição, segundo o Crystal Ball Sendo que a distribuição usada para se fazer os cálculos foi a segunda melhor encontrada Porém, não representava os dados muito bem Baseado nas limitações sugere-se o uso de um software mais avançado, ou se o mesmo não for viável, a quantidade de dados coletados deve aumentar, pois quanto maior o tamanho da amostra mais perto dos dados reais o modelo estará O uso de técnicas como as que foram aplicadas neste estudo, bem como seus resultados, evidenciam que o estudo cada vez mais minucioso das filas, só tem a gerar eficiência para as empresas Uma vez que fila é um conceito negativo na concepção dos consumidores Este 11

12 artigo serve também para demonstrar conceitos por trás de uma fila, muitas vezes desprezados, bem como evidenciar problemas que podem passar despercebidos a olho nu REFERÊNCIAS ADAN, I, RESING, J Queueing Systems Department of Mathematics and Computing Science 2015 BATALHA, M O et al Introdução à engenharia de produção Rio de Janeiro: Elsevier, 2008 BORSCHIVER, S SAMPAIO, J G Analysis of Patent Examination Effort Distribution based on the Queuing Theory Journal of Technology Management & Innovation 2008 GANGA, G M D Trabalho de conclusão de curso (TCC) na Engenharia de Produção: um guia prático de conteúdo e forma São Paulo: Atlas, 2012 HILLIER, F S; LIEBERMAN, G J Introduction to operations research New York: McGraw Hill, 1995 LUSTOSA, P R B; PONTE, V M R; DOMINAS, W R Simulação In: CORRAR, L J; THEÒPHILO, C R (Orgs) Pesquisa Operacional para decisão em contabilidade e administração São Paulo: Atlas, 2004 MARTINS, RA; MELLO, C H P; TURRIONI, J B Guia para Elaboração de Monografia e TCC em Engenharia de Produção São Paulo: Atlas, 2014 METROPOLIS, N; ULAM, SThe Monte Carlo method Journal of the American Statistical Association, v 44, n 247, p , 1987 NASCIMENTO, A M; ZUCCHi, A l Modelos de simulação São Paulo, Universidade de São Paulo, p Monografia Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade, Universidade de São Paulo, São Paulo, 1997 NOVAES, Antônio Galvão Naclério Pesquisa operacional e transportes: modelos probabilísticos São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, E da Universidade de São Paulo, 1975 PRADO, D, 2004, Teoria das Filas e da Simulação 2 ed Belo Horizonte, Editora de Desenvolvimento Gerencial (Série Pesquisa Operacional, Vol 2) RCO Revista de Contabilidade e Organizações FEA-RP/USP, v 4, n 10, p , set-dez 2010 SHIMIZU, Tamio Pesquisa Operacional em engenharia, Economia e Administração: Modelos básicos e métodos computacionais Rio de Janeiro: Guanabara dois,