Aula 01. Sem saber que era impossível, ele foi lá e fez! ÍNDICE VETORES 1. GRANDEZAS FÍSICAS: 2. VETORES: V = V(sem flecha) v = OP = P - O PROFESSOR

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1 PROFESSOR DISCIPLINA UM ÍNDICE Aula Conteúdo Página 1 etores Introdução à Cineática e Moviento Unifore (M.U.) Moviento Uniforeente ariado (M.U..) Queda Livre e Lançaento ertical Coposição de Movientos, Lançaento Horizontal e Oblíquo Se saber que era ipossível, ele foi lá e fez! 6 Moviento Circular 5 ETORES 1. GRANDEZAS FÍSICAS: Aula 1 vetor A indicação algébrica é feita da seguinte fora: Basicaente, Grandeza é aquilo que podeos edir. Ua bola é u objeto, poré o seu volue é ua grandeza. As grandezas Físicas classifica-se e Escalares e etoriais. Escalares: são aquelas que fica perfeitaente deterinadas por u núero real, que exprie a sua edida, seguido da unidade epregada. Exeplos: copriento, área, volue, tepo, assa, trabalho ecânico, energia, pressão etc. etoriais: são aquelas que exige ao lado do seu valor nuérico e da unidade epregada edida, que se indique a direção e o sentido e que ela atua. Exeplos: velocidade, aceleração, força, ipulso de ua força, quantidade de oviento etc. v = OP = P - O.1. Intensidade (ou ódulo): É o núero que indica quantas vezes a grandeza vetorial considerada conté deterinada unidade. Graficaente, a intensidade da grandeza vetorial é representada pelo copriento da flecha que a representa. Quando quiseros nos referir ao ódulo usareos as seguintes convenções:.. Direção e Sentido: = (se flecha). ETORES: Na Cineática vetorial, vetor é o síbolo ateático utilizado para representar o ódulo, a direção e o sentido de ua grandeza física vetorial. O vetor é representado por eio de ua seta co ua orige O e ua extreidade P. A direção de u vetor é o ângulo que ele fora co u eixo de referência. As palavras, horizontal e vertical, indica a direção do vetor. O sentido de u vetor é a orientação que ele possui sobre o seu suporte. 51 Atendiento ao aluno: (85)

2 Para cada direção considerada teos conseqüenteente, dois sentidos. Podeos, se útil, estabelecer ua convenção de sinais. E alguns casos é côodo indicar o sentido do vetor, precedendo-se do sinal positivo ou negativo: (ver figura). previaente escolhido, coloca-se u dos vetores e, a partir da extreidade deste, coloca-se a orige de outro vetor, assi por diante até colaros o últio vetor. O vetor soa ou resultante será aquele que te orige na orige do prieiro vetor e extreidade na extreidade do últio vetor. Dois vetores não-nulos são iguais se, e soente se, tivere o eso ódulo, a esa direção e o eso sentido. Para que dois vetores seja diferentes basta que difira e u dos seguintes eleentos: ódulo, direção ou sentido. Escrita vetorial: R = a + b + c + d 3. OPERAÇÕES COM ETORES: 3.1. Adição de dois vetores: Quando dois vetores AO = a e OB = b, que possue a esa extreidade, fora u ângulo qualquer entre si, o vetor soa ( S ) ou resultante ( R ), é obtido graficaente, traçando, a partir da extreidade de cada u deles ua reta paralela ao outro. 4. DECOMPOSIÇÃO DE UM ETOR EM COMPONENTES ORTOGONAIS: São dados u vetor a e u sistea de dois eixos ortogonais x e y. Coo a figura forada é u paralelograo, este étodo é denoinado étodo do paralelograo. A intensidade do vetor soa ou resultante é dada por: R = a + b + abcos α Para o caso particular de dois vetores ortogonais entre si, basta aplicar o teorea de Pitágoras. Projetando ortogonalente as extreidades do vetor a nos eixos x e y, obteos suas coponentes retangulares a x e a y. Co base no gráfico obteos ateaticaente as seguintes expressões: a x = a. cos α a y = a. sen α Observação: SENO OU COSSENO R = a + b 3.. Adição de ais de dois vetores (étodo do polígono): A função trigonoétrica depende do ângulo, ou seja: cateto adjacente cos α = = hipotenusa cateto oposto sen α = = hipotenusa a y a ax a Este étodo consiste e se forar u polígono co os vetores que se deseja soar, obedecendo ao seguinte critério: a partir de u ponto, 5 Atendiento ao aluno: (85)

3 U vagão ove-se sobre trilhos retilíneos e horizontais, co velocidade constante. A velocidade da gota de chuva e relação ao vagão, estaria elhor representada e: a) 1. IFCE 5.1 U garoto, portando u cata-vento, cainha co velocidade constante e u plano horizontal. Pela ação do vento, o cata-vento gira co velocidade angular constante. O ponto P do cata-vento, e relação à Terra, te trajetória: a) Circular. b) Parabólica. c) Retilínea. d) Helicoidal. e) Hiperbólica. b) c) d) 4. UECE Na figura abaixo u, v e w representa deslocaentos sucessivos de u óvel. O ódulo do deslocaento resultante é: a) 1k. b) 8k. c) 6k. d) 5k.. UFC 6 Analisando a disposição dos vetores,,, e, confore figura abaixo, assinale a alternativa que conté a relação vetorial correta. a) b) c) d) e) Os sucessivos deslocaentos efetuados por u carro, quando se ovientou de u ponto P para outro Q, são: 4k para o norte, 4k para o leste e 1k para o sul. Para retornar de Q para P, a enor distância a ser percorrida é: a) 7k. b) 9k. c) 4k. d) 5k. 5. UECE a) b) c) d) U ventilador acaba de ser desligado e está parando vagarosaente, girando no sentido horário, confore a figura ao lado. O vetor aceleração da pá do ventilador no ponto P é elhor representado na opção: 3. UECE E u dia chuvoso e se vento, as gotas de chuva cae verticalente, co velocidade constante confore a figura ao lado. 6. UECE ocê sabia que u barco a vela pode navegar contra o vento? No esquea ao lado, o barco está orientado para o norte e o vento sopra do noroeste. A força noral do vento sobre a vela é F, a qual adite duas coponentes: a força otora F 1, para o norte e a força de arraste F dirigida para o leste. 53 Atendiento ao aluno: (85)

4 No diagraa abaixo, o lado da quadrícula representa, e ódulo, ua força de 1 3 N. 8. UFC 1999 Na figura abaixo, onde o reticulado fora quadrados de lados l =,5c, estão desenhados 1 vetores, contidos no plano xy. O ódulo da soa de todos esses vetores é, e centíetros: É correto afirar que o ódulo da força F do vento sobre a vela, e newtons, é: a) b) c) d) UFC 3 M e N são vetores de ódulos iguais ( M = N = M). O vetor M é fixo e o vetor N pode girar e torno do ponto O (veja figura) no plano forado por M e N. Sendo R = M + N, indique, entre os gráficos abaixo, aquele que pode representar a variação de R coo função do ângulo entre M e N. a),. b),5. c) 1,. d) 1,5. e),. 9. UFC 3 A figura ao lado ostra o apa de ua cidade e que as ruas retilíneas se cruza perpendicularente e cada quarteirão ede 1. ocê cainha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A enor distância que você cainha e a distância e linha reta entre sua casa e a escola são, respectivaente: a) 18 e 14. b) 16 e 1. c) 14 e 1. d) 1 e 8. e) 1 e 6. Gabarito D D C D D A B E C 54 Atendiento ao aluno: (85)

5 Aula INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA E MOIMENTO UNIFORME (M.U.) Onde: Δs = s - s S posição final (instante t) S posição inicial (instante t ). ELOCIDADE ESCALAR MÉDIA: Considereos a trajetória da figura abaixo: Suponhaos que, para percorrer a variação de espaço s = s s, o carro leve o tepo t = t t. Define-se coo velocidade escalar édia do carro, entre o instante t e t, a grandeza v dada por: Δs s - s v = = Δt t - t A unidade de velocidade no Sistea Internacional é o etro por segundo e se indica por (/s). Podeos, tabé, utilizar o quilôetro por hora, que se indica por (k/h). 1. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA CONCEITOS BÁSICOS: 1.1. Introdução: No estudo da Cineática não existe a preocupação e explicar o oviento, as soente e descrevê-lo no sentido estritaente geoétrico. Este estudo restringe-se à escolha de u referencial e ao registro, e teros ateáticos, das sucessivas posições ocupadas por u corpo no decorrer do tepo. Portanto, partindo da posição atual do corpo, nu deterinado referencial, pode-se deterinar a sua posição futura no eso referencial. Assi, dados o aqui e o agora do corpo posição e instantes iniciais para u dado observador, podeos prever o ali e o depois do corpo e relação ao eso observador. 1.. Conceitos Básicos: Ponto aterial: é todo corpo cujas diensões não interfere no estudo de u deterinado fenôeno. Corpo extenso: é todo corpo cujas diensões não pode ser desprezadas no estudo de u deterinado fenôeno. Referencial: é todo ponto ou corpo e relação ao qual u oviento é avaliado. Repouso: u corpo está e repouso quando a distância entre este corpo e o referencial não varia co o tepo. Moviento: u corpo está e oviento quando a distância entre este corpo e o referencial varia co o tepo. Trajetória: é a linha deterinada pelas diversas posições que u corpo ocupa no decorrer do tepo. Posição escalar: é a edida da distância do corpo até a orige das posições, acopanhada de u sinal positivo ou negativo. Deslocaento: é a edida entre a posição inicial do corpo e a sua posição final. Observação: ELOCIDADE ESCALAR MÉDIA Quando quereos transforar a velocidade de /s para k/h, deveos utilizar a seguinte regra:.1. Classificação do Moviento e Função da elocidade: Dependendo do sinal da velocidade escalar instantânea, podeos ter os seguintes tipos de oviento: Moviento progressivo: é quando as posições escalares do corpo auenta durante o percurso, ou seja, no sentido positivo da trajetória. > Moviento retrógrado: é quando as posições escalares do corpo diinue durante o percurso, ou seja, no sentido contrário ao positivo. < 3. ELOCIDADE MÉDIA ETORIAL ( ): Deveos antes de definir vetor posição e o vetor deslocaento., conheceros o O vetor posição de ua partícula é u vetor cuja orige encontra-se nu ponto O(referencial adotado) e a extreidade, no ponto onde está a partícula nu dado instante. Observe atentaente a figura: 55 Atendiento ao aluno: (85)

6 Observação: ELOCIDADE ETORIAL INSTANTÂNEA A velocidade vetorial instantânea pelo fato de ser definida e intervalos de tepo que tende a zero, é tangente à trajetória e cada ponto e orienta no sentido do oviento. d 1 vetor posição no instante t 1. d vetor posição no instante t. Δd vetor deslocaento. Conclui-se, facilente, que: Δd = d - d 1 Portanto, define-se a velocidade édia vetorial édia escalar. Observação: Δd = Δt ELOCIDADE ETORIAL MÉDIA As unidades são as esas citadas na velocidade édia escalar. 6. MOIMENTO RETILÍNEO UNIFORME MRU: 6.1. Introdução: Suponha que você esteja dirigindo u carro de tal fora que o ponteiro do velocíetro fique sepre na esa posição, por exeplo, 5k/h, no decorrer do tepo. Nessa condição você irá percorrer 5k a cada hora, isto é, se e 1 hora você percorre 5k, e horas percorrerá 1k, e assi por diante. Para que isso ocorra, a velocidade escalar instantânea deve ser igual á velocidade escalar édia e qualquer intervalo de tepo. Observe a figura abaixo: O vetor do vetor Δd. terá sepre a esa direção e sentido O ódulo do vetor que se segue: será calculado da aneira Δd = Δt 4. ELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA: Encontra-se a partir da velocidade édia fazendo co que o intervalo de tepo tenda a zero e assi alcançaros o ponto desejado. Δs = li Δt Δt 5. ELOCIDADE ETORIAL INSTANTÂNEA: O procediento é análogo ao feito na velocidade escalar. Faz-se o (Δt) tender a zero. Δd = li Δt Δt No oviento descrito acia, o carro percorre u deterinado espaço s, e u terinado tepo t, co a velocidade constante. Sepre que esse fenôeno ocorre, dizeos que o corpo está e Moviento Retilíneo Unifore. 6.. Funções Horárias: Espaço e função do tepo: s = f(t) A posição do óvel pode variar no decorrer do tepo segundo a equação. A velocidade do óvel no intervalo do tepo t = t t = t é: Δs s - s v = = Δt t - t s - s v = t, onde v = v = cte. s - s = vt Função horária das posições do MU. E que: s = s + vt s = posição ou espaço inicial; v = velocidade; t = tepo. A função horária das posições de u óvel e oviento unifore é do 1. grau e relação ao tepo. 56 Atendiento ao aluno: (85)

7 elocidade e função do tepo: v = f(t) A velocidade no oviento unifore sepre será constante e diferente de zero. Aceleração e função do tepo: a = f(t) Coo a velocidade é constante, a aceleração no oviento unifore é sepre igual a zero Gráficos: v = cte a = O estudo do gráfico de u oviento pode ser feito tanto co o auxílio das funções que o descreve, co por eio dos gráficos correspondentes. As funções perite u trataento ateático ais siplificado enquanto os gráficos perite a elhor visualização da fora coo varia as grandezas que descreve o oviento. Espaço e função do tepo: s = f(t) Observação: GRÁFICOS O valor da ordenada e que a reta corta o eixo s representa o valor de s ; Quando o corpo não estiver e oviento, isto é, v =, a posição do óvel é sepre a esa; No gráfico s = f(t), a tg é nuericaente igual a velocidade: elocidade e função do tepo: v = f(t) Sendo a velocidade constante e não-nula, no oviento unifore, o gráfico é representado por ua reta paralela ao eixo dos tepos. Teos os seguintes casos: N Δs tg α = = v Δt 1. CASO: velocidade positiva (v > ): A função horária das posições para o oviento unifore é s = s + vt. Esta função é do 1 grau e relação ao tepo, portanto, o gráfico da função é ua reta. aos distinguir dois casos: 1. CASO: velocidade positiva (v > ): Quando a velocidade é positiva, o óvel cainha no sentido positivo da trajetória, isto é, as posições cresce algebricaente no decorrer do tepo. O gráfico representativo é o de ua reta inclinada para a direita.. CASO: velocidade negativa (v < ): Observação: GRÁFICOS. CASO: velocidade negativa (v < ): Se a velocidade é negativa, o óvel cainha no sentido contrário do positivo da trajetória, isto é, as posições decresce algebricaente no decorrer do tepo. O gráfico representativo é o de u reta inclinada para a esquerda. No gráfico da velocidade e função do tepo, a área (A) entre a reta e o eixo das abscissas da figura representa nuericaente o espaço percorrido pelo óvel entre os instantes t e t. N A = v. t = Δs Aceleração e função do tepo: a = f(t) No oviento unifore a aceleração é nula; portanto, o gráfico a = f(t) te a fora a seguir. 57 Atendiento ao aluno: (85)

8 eso sentido, estão representadas nos gráficos ao lado. O cainhão X alcança o cainhão Y ao cabo de: 7. ELOCIDADE RELATIA: Considere os corpos A e B da figura. Nu deterinado instante suas velocidades vale A e B. Suponha que desejaos encontrar a velocidade de (B) e relação a (A) representada por ( B,A). a) 1,h. b),h. c) 3,h. d) 4,h. 3. UECE É dado u vaso de fora esférica, de raio R. Ua torneira, co vazão constante, jorra água dentro do vaso, inicialente vazio, confore a figura. Sendo y a altura da superfície livre da água, e relação ao fundo do vaso, e t o tepo, o gráfico que elhor representa a variação de y e função de t, é: Apliqueos e (A) o vetor pontilhado de ódulo ( A), anulando a velocidade do óvel (A). O eso vetor deverá ser aplicado e (B). Portanto ( B,A das velocidades. Logo: ) é representada pela diferença B,A = B - A Na figura abaixo, procedendo da esa aneira tereos que ( B,A ) valerá: a) B,A = B + A b) c) 1. URCA 8.1 U indivíduo dispara u projétil co velocidade de /s sobre u alvo. Ele ouve o ipacto do projétil no alvo,, s depois do disparo. Sabendo-se que a velocidade do so no ar é de 34 /s, qual a distância do indivíduo ao alvo? a) 89 b) 34 c) 77 d) 34 e) 199. UECE As posições, e função do tepo, de dois cainhões, X e Y, que percorre a esa estrada reta, no d) 4. UECE Dois carros A e B corre e ua pista retilínea e a velocidade de cada u, e função do tepo, é dada no gráfico abaixo: 58 Atendiento ao aluno: (85)

9 O tepo, e segundos, para que carro B ultrapasse A é igual a: a) 5. c) 7. b) 55. d) UECE O gráfico abaixo relaciona a posição x de u óvel e função do tepo t. A partir do gráfico, pode-se concluir corretaente que: I. Foi elhor nos prieiros 6k percorridos; II. Entre 6k e 19k percorridos foi de 7k/litro; III. Foi superior a 9k/litro no percurso representado pelos 19k ostrados no gráfico; I. No percurso total é a édia aritética dos desepenhos édios encionados acia, nos itens 1 e. Marque a alternativa correta: a) Apenas I é verdadeiro. b) Apenas I e II são verdadeiros. c) Apenas III e I são verdadeiros. d) I, II e III são verdadeiros. 8. UFC 1997 Dois veículos, A e B, se ove ao longo de ua estrada horizontal e reta e suas posições varia co o tepo confore o gráfico ostrado abaixo. a) o óvel inverte o sentido do oviento e t = 5s. b) a velocidade é nula e t = 5s. c) o deslocaento é nulo no intervalo t = a t = 1s. d) a velocidade é constante, igual a /s. 6. UECE. U aterial uito antigo, sedientado no fundo do ar, é extraído de ua ontanha subarina e dela se afasta co velocidade escalar aproxiadaente unifore. A relação entre a idade do sediento e a distância à ontanha está ostrada na figura. A opção que representa a velocidade escalar desse aterial é: Sobre o oviento de A e B podeos afirar: a) no instante de tepo t = t as velocidades dos dois veículos são iguais; b) A e B percorre ua esa distância entre os instantes t = e t = t ; c) no instante de tepo t = t A e B encontrase igualente afastados da posição x = d) no instante de tepo t = t a aceleração de A é aior do que a aceleração de B; e) e qualquer instante de tepo a velocidade de B é aior do que a velocidade de A. a) 8 c/ano. b) 6 c/ano. c) 4 c/ano. d) c/ano. 7. UFC U otorista lançou, no gráfico ostrado abaixo, a distância por ele percorrida (edida e k), e função do consuo de cobustível (edido e litros) de seu veículo. Sobre o desepenho édio do veículo (definido pela razão distância percorrida/litro consuido) podeos afirar: Gabarito * B A D D D D C 59 Atendiento ao aluno: (85)

10 Aula 3 MOIMENTO UNIFORMEMENTE ARIADO (M.U..) 1. ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA: Seja u óvel percorrendo a trajetória da figura: Neste ite vaos encontrar as funções que perite a descrição ateática de u oviento uniforeente variado. elocidade e função do tepo: v = f(t) A função da velocidade e relação ao tepo do ponto aterial e MU é a expressão ateática que fornece a velocidade v desse ponto aterial e qualquer instante t. Observe: Δt = t - t = t Δ - e a = =, onde a = a = cte. Δt t - t Teos: Defini-se coo aceleração escalar édia, entre os instantes t e t, a grandeza a dada por: Δ - a = = Δt t - t As unidades ais couns de aceleração são: /s, c/s, k/h Classificação do Moviento e Função da Aceleração: Moviento acelerado: o oviento é denoinado de acelerado quando o ódulo da velocidade auenta no decorrer do tepo. v. a > Moviento retardado: o oviento é denoinado retardado quando o ódulo da velocidade diinui no decorrer do tepo. v. a <. MOIMENTO UNIFORMEMENTE ARIADO (M.U..):.1. Introdução: Suponha, por exeplo, u carro partindo do repouso de u deterinado ponto e subetido a ua aceleração escalar constante e diferente de zero. Nesse oviento a velocidade variou uniforeente co o tepo, porque a aceleração foi constante. Observe a figura abaixo: - a = t E que: - = at = + at = velocidade inicial; a = aceleração; t = tepo Observação: ELOCIDADE ESCALAR MÉDIA Observe que nu oviento uniforeente variado, a velocidade escalar édia ( ), para u dado intervalo de tepo (t 1; t ) é igual a: 1 + = Espaço e função do tepo: s = f(t) A função da posição e relação ao tepo do ponto aterial MU possibilita a deterinação da sua posição x e qualquer instante t. Observe: + Δt = t - t e Δs =. t v = v + at e Δs = s - s Teos: + at + s - s =. t t at s - s = + t + at s - s = at s - s = vt + 1 s = s + t + at Moviento Uniforeente ariado é aquele e que a velocidade escalar é variável e a aceleração escalar é constante e não-nula... Funções Horárias: E que: s = posição inicial; = velocidade inicial; a = aceleração; t = tepo. 51 Atendiento ao aluno: (85)

11 Aceleração e função do tepo: a = f(t) A aceleração sepre será constante e diferente de zero. a = f(t) = cte. Observação: CONCAIDADE No gráfico do espaço e função do tepo do MU, podeos identificar dois tipos de oviento, dependentes dos sinais da velocidade e aceleração ao eso tepo. Portanto, a aceleração (variação da velocidade) e todo o percurso é o eso do início dele. a > e v > a > e v < oviento acelerado progressivo. oviento retardado retrógrado..3. Equação de Torricelli: Teos até agora duas funções que nos perite saber a posição do óvel e a sua velocidade e relação ao tepo. Torna-se útil encontrar ua equação que possibilite conhecer a velocidade de u óvel se saber o tepo. A Equação de Torricelli relaciona a velocidade co o espaço percorrido pelo óvel. É obtida eliinando-se o tepo entre as funções horárias da posição e da velocidade. Observe: 1 s = s + t + at e = + at Teos: t = s = s + + a a a a a < e v > a < e v < oviento retardado progressivo. oviento acelerado retrógrado. elocidade e função do tepo: v = f(t) Sendo a função horária da velocidade do oviento uniforeente variado é ua função do 1. grau, o seu gráfico é ua reta. Pode ocorrer dois casos, que são: 1. CASO:. CASO: a velocidade é positiva (v > ); a velocidade é negativa (v < ): - 1 ( - + ) s - s = + a. a a s - s = + 1 a a Reduzindo-se ao eso denoinador: a(s - s ) = a(s - s ) = - + = + a(s - s ) Observação: ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA No gráfico da velocidade e função do tepo do MU, a tg é nuericaente igual a aceleração édia do corpo. as: s = s s.4. Gráficos: = + aδs N Δ tg α = = a Δt Espaço e função do tepo: s = f(t) Sendo a função horária das posições do MU, ua função do. grau, o seu gráfico é ua parábola. Para esse tipo de gráfico pode ocorrer dois tipos de casos, que serão apresentados a seguir: No gráfico da velocidade e função do tepo do MU, a área forada pelo gráfico é nuericaente igual ao s do corpo. 1. CASO:. CASO: a aceleração é positiva (a > ): a aceleração é negativa (a < ): N A = Δs Aceleração e função do tepo: A = f(t) No oviento uniforeente variado a aceleração é constante e diferente de zero; portanto o gráfico te as foras: 511 Atendiento ao aluno: (85)

12 3. IFCE 1. Dois autoóveis A e B percorre ua esa estrada e suas velocidades escalares, e função do tepo, são ostradas no diagraa a seguir. No instante t =, os óveis encontra-se lado a lado. O instante t, e segundos, no qual os autoóveis voltarão a se eparelhar, vale: (/s) 3 A B Observação: ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA No gráfico a = f(t) a área A, copreendida entre os instantes t e t, ede a variação da velocidade entre estes instantes. N A = Δ 1 B a). b) 4. c) 5. d) 6. e) 8. A t (s) 4. IFCE. Dois blocos, A e B, se ove para a direita, o bloco A, e oviento acelerado, e o bloco B, e oviento unifore. As posições dos blocos, após sucessivos e iguais intervalos de tepo, são representadas pelos quadrados nuerados na figura abaixo. É correto afirar que os blocos A e B tê a esa velocidade: 1. IFCE 1999 Sobre o oviento dos corpos, é correto afirar que: a) o ódulo da velocidade escalar pode crescer, estando o ódulo da aceleração escalar decrescendo. b) u corpo é lançado verticalente para cia. No ponto de altura áxia, o corpo possui velocidade e aceleração nulas. c) e u satélite que está e órbita da Terra, atua duas forças: a força de atração gravitacional da Terra sobre o satélite (peso do satélite) e a força centrípeta. d) no oviento relativo entre dois corpos A e B, o ódulo da velocidade relativa de B, e relação a A, não pode ser igual à soa dos ódulos das velocidades de A e de B.. IFCE. O gráfico abaixo representa a velocidade e função do tepo de oviento retilíneo de u autoóvel. Sobre este trecho do oviento, é incorreto afirar que: v a) e nenhu instante. b) soente no instante. c) nos instantes e 5. d) e algu oento entre os instantes 3 e 4. e) e algu oento entre os instantes 4 e UECE U autoóvel corre e estrada reta co velocidade de /s. O otorista vê u cainhão parado 5 à sua frente. A ínia aceleração de retardaento que deve ser dada ao carro, para evitar a colisão é, e ódulo: a),/s. b) 3,/s. c) C) 4,/s. d) D) 1,/s. a) co o decorrer do tepo, o autoóvel percorre distâncias cada vez aiores e iguais intervalos de tepo. b) co o decorrer do tepo, as variações de velocidade são cada vez aiores para iguais intervalos de tepo. c) o eixo de coordenadas das posições foi escolhido co o eso sentido do oviento. d) a aceleração está decrescendo. t 51 Atendiento ao aluno: (85)

13 6. UECE. Três partículas A, B e C tê seus ovientos representados por suas posições (x) e função do tepo (t) confore o gráfico. a) 8s, 16 b) 65s, 16 c) 8s, 15 d) 65s, 15 e) 9s, UECE 7. FASE A figura abaixo representa o oviento de ua partícula que, a partir do repouso, ove-se ao longo do eixo x, co aceleração constante. O gráfico da partícula A é ua reta, o da B é ua parábola e o da C é ua senóide. Marque a opção que elhor representa a velocidade de cada partícula e /s, no instante t = 3,s. Partícula A Partícula B Partícula C a) 1,3 4, 9,4 b) 4, 9,4 1,3 c) 9,4 1,3 4, d) 1,3 9,4 4, 7. UECE 4. O gráfico ilustra o oviento de u corredor e u trecho da corrida de São Silvestre. v (/s) 8 4 Os valores da posição e da velocidade da partícula, para t = 5 s são, respectivaente: a) 5 e 1 /s b) 48 e /s c) e 8 /s d) 15 e 1 /s 1. UFC 7 No instante t =, o otorista de u carro que percorre ua estrada retilínea, co velocidade constante de /s, avista u obstáculo 1 a sua frente. O otorista te u tepo de reação t = 1s, após o qual aciona os freios do veículo, parando junto ao obstáculo. Supondo-se que o autoóvel tenha ua desaceleração constante, deterine qual dos gráficos abaixo elhor representa a velocidade do autoóvel desde o instante e que o otorista avista o obstáculo até o instante e que o autoóvel pára tepo (s) 6 a) A distância, e etros, percorrida pelo atleta, no intervalo de tepo [,16], é igual a: a) 86. b) 94. c) 1. d) UFC 8 U tre, após parar e ua estação, sofre ua aceleração, de acordo co o gráfico da figura ao lado, até parar novaente na próxia estação. b) c) d) e) Assinale a alternativa que apresenta os valores corretos de t f, o tepo de viage entre as duas estações, e da distância entre as estações. 11.UECE A velocidade de u óvel, e oviento retilíneo, varia co o tepo segundo o gráfico ao lado. O diagraa que elhor representa o espaço percorrido e função do tepo, é: 513 Atendiento ao aluno: (85)

14 Aula 4 QUEDA LIRE E LANÇAMENTO ERTICAL 1. INTRODUÇÃO: 1.UFC 1997 U objeto se ove ao longo de ua reta. Sua velocidade varia linearente co o tepo, coo ostra o gráfico abaixo. A velocidade édia do objeto, no intervalo de tepo copreendido entre t = 4s e t = 8s, é: E torno da Terra há ua região denoinada capo gravitacional, na qual todos os corpos sofre sua influência e que se apresenta sob a fora de ua força. A força que a Terra exerce sobre os corpos colocados e seu capo gravitacional é denoinada força-peso. Essa força, que é sepre dirigida para o centro da Terra, faz os corpos caíre sobre ela. Galileu Galilei realizou ua série de experiências sobre queda livre dos corpos e chegou às seguintes conclusões: Todos os corpos, independenteente de sua assa, fora ou taanho, cae co a esa aceleração. A distância percorrida por u corpo e queda livre é proporcional ao quadrado do tepo gasto e percorrê-la, isto é, a função horária das posições s = f(t) é do.º grau. a) 6 /s. b) 8 /s. c) 1 /s. d) 1 /s. e) 14 /s. A aceleração constante que age sobre u corpo e queda livre é denoinada aceleração da gravidade, sendo representada pela letra g. O valor da aceleração da gravidade ao nível do ar é igual a 9,8 /s. Apesar disso, costua-se, para efeito de cálculos, considerar g = 1 /s. Observação: ACELERAÇÃO DA GRAIDADE Gabarito A B D D C A C A B D B 1 C Se a aceleração da gravidade é constante e a função horária das posições é do. grau, decorre que a queda livre é u MU e, portanto, vale todas as funções e conceitos desse oviento. Os valores da aceleração e do tepo de aplicação pode produzir efeitos prejudicais ao corpo huano. A seguir, apresentaos alguns desses efeitos. Acelerações nulas, ou seja, velocidades constantes, não produze efeitos no corpo huano. Acelerações no intervalo < a < 4g (g é a aceleração da gravidade) são suportáveis, eso quando aplicadas durante uito tepo. Acelerações aiores do que 4g são suportáveis durante pouco tepo. Quando a aceleração ocorre na direção cabeça pé: 514 Atendiento ao aluno: (85)

15 - se o sentido é o da cabeça, ocorre ua sensação visual de escuro (efeito black-out); - se o sentido é o dos pés, ocorre ua sensação visual de verelho, provocada por ua grande quantidade de sangue na cabeça e e particular na retina (efeito red-out); - se tiver o valor de cerca de 1g, a coluna vertebral parte-se. CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS/Física UM Se a aceleração se verifica no sentido ânteroposterior: - é suportável se tiver até 1g nu intervalo de tepo uito pequeno; - o liite de tolerância é de cerca de 3g.. QUEDA LIRE: Quando u corpo é abandonado de ua deterinada altura e cai se nenhua resistência, ou seja, no vácuo nas proxiidades da Terra, denoinaos este oviento de queda livre. No Lançaento ertical para Baixo, o corpo está e MU, as sua velocidade inicial é diferente de zero Funções horárias: Coo e queda livre, u corpo quando é lançado para baixo, está e MU, poré possui velocidade inicial diferente de zero. Espaço e função do tepo: S = f(t). 1 h = t + gt elocidade e função do tepo: = f(t). = + gt Lebrando que quando u corpo está e queda livre, sua velocidade inicial é zero e, seu oviento é uniforeente variado, se realizado no vácuo..1. Funções horárias de u corpo e queda livre: Espaço e função do tepo: S = f(t). Equação de Torricelli: = + gh 4. LANÇAMENTO ERTICAL PARA CIMA: No Lançaento ertical para Cia, o corpo é inicialente arreessado para cia co velocidade inicial diferente de zero e, ao chegar al altura áxia ele irá retornar a sua posição inicial e queda livre. Coo o corpo está e M.U.., e o deslocaento do corpo é igual a altura de onde ele foi abandonado, teos a seguinte expressão: 1 h = gt elocidade e função do tepo: = f(t). Para a função horária da velocidade, teos a seguinte expressão: = gt Há casos e que o tepo não será usado nos probleas, portanto, devereos utilizar a Equação de Torricelli, co a seguinte expressão: = gh ou = gh 3. LANÇAMENTO ERTICAL PARA BAIXO: Quando u corpo é abandonado de ua certa altura, dizeos que ele está e queda livre, as se ele for arreessado para baixo co velocidade inicial diferente de zero, dizeos que ele descreve u Lançaento ertical para Baixo. Lebraos que no Lançaento ertical para Cia, o corpo ao chegar a altura áxia possui velocidade final igual a zero e, o corpo possui u oviento retardado, pois está contra o sentido da gravidade Funções horárias: No Lançaento ertical para Cia, o corpo possui u oviento retardado, pois está contra o sentido da gravidade, então ireos considerar a gravidade negativa. Espaço e função do tepo: S = f(t). 1 H ax = t - gt elocidade e função do tepo: = f(t). = - gt Equação de Torricelli: = - gh ax 515 Atendiento ao aluno: (85)

16 Observação: LANÇAMENTO ERTICAL PARA CIMA Quando o corpo está subindo, ele possui u tepo de subida até atingir a altura áxia: t s = g O tepo total que o corpo leva e oviento é igual ao dobro do tepo de subida t = t total 1. IFCE 1999 Duas bolas de assas 1 e são lançadas verticalente, no espaço, ao eso tepo e de ua esa altura e relação ao solo, ua para cia, co velocidade de ódulo v, e outra para baixo, co velocidade de eso ódulo, confore a figura. BOLA 1 BOLA h s 1, v, v Desprezando-se a resistência do ar, a respeito das velocidades co que as bolas chegarão ao solo, podeos afirar que: a) se 1, as bolas chegarão ao solo co velocidades diferentes. b) a bola chegará ao solo co ua velocidade aior do que a da bola 1. c) a bola de enor assa chega ao solo co enor velocidade. d) independenteente das assas, abas chegarão ao solo co a esa velocidade.. IFCE.1 U corpo, ao cair e queda livre a partir do repouso, percorreu ua fração da altura total de queda durante o últio segundo. O tepo total de queda é n dado por: a) b) c) d) n n - n - 1 n - n n - n - n n n UECE Considere as afirações: I. Corpos de assas diferentes, deixados cair de u eso ponto no vácuo, cae co a esa aceleração; II. Corpos de volues diferentes, deixados cair de u eso ponto no vácuo, cae co a esa aceleração; III. A aceleração da gravidade é enor no Equador que nos Pólos da Terra. Assinale a alternativa verdadeira: a) apenas I e II são corretas. b) apenas I é correta. c) apenas III é correta. d) I,II e III são corretas. 4. UECE Ua pedra cai de ua altura H, a partir do repouso. No eso instante ua segunda pedra é lançada, do chão, verticalente para cia co velocidade. Desprezando a resistência do ar e supondo constante a aceleração da gravidade no local da experiência, o valor de, para que ua pedra passe pela outra a ua altura, para que ua pedra passe pela outra a ua altura H, é igual a: a) 1 gh. b) gh. c) 1 gh. d) gh. 5. UECE Esta questão apresenta duas afirações, podendo a segunda ser ua razão para justificar a prieira. 1ª AFIRMAÇÃO: No ponto ais alto da trajetória, a aceleração de ua pedra, lançada verticalente para cia, é nula. ª AFIRMAÇÃO: No ponto ais alto da trajetória, a velocidade da parte é nula. Marque a opção: a) se as duas afirações fore ERDADEIRAS e a segunda FOR ua justificativa da prieira. b) se as duas afirações fore ERDADEIRAS e a segunda NÃO FOR ua justificativa da prieira. c) se a prieira for ERDADEIRA e a segunda for FALSA. d) se a prieira afiração for FALSA e a segunda afiração for ERDADEIRA. 6. UECE.1 U objeto é lançado verticalente para cia, de tal fora que ele alcança etade de sua altura áxia co velocidade v. Desprezando a resistência do ar e sendo g a aceleração da gravidade, suposta constante, a altura áxia será: v a). g b) c) d) v. g v. g v. 4g 7. UFC Atendiento ao aluno: (85)

17 U corpo é lançado do solo verticalente para cia co velocidade inicial tal que ele atinge ua altura áxia de k. Use g = 1/s e considere a resistência do ar desprezível. Passados 15s do seu lançaento, o ódulo da velocidade do projétil será de: a) 3/s. b) 45/s. c) 5/s. d) 6/s. e) 75/s. 8. UFC Ua aneira de deterinar o valor g da aceleração da gravidade e u certo local baseia-se no lançaento vertical de u corpo dentro de u tubo se ar. O corpo é lançado da base do tubo nu instante t = e u equipaento apropriado, colocado e u certo ponto a ua altura h acia de base do tubo, ede co precisão os instantes t 1 e t e que o corpo passa por ele, na subida e na descida, respectivaente. E teros dos parâetros h, t 1 e t o valor de g será deterinado por: h a). tt 1 h b). (t + t ) 1 h. (t + t ) c) 1 h d). (t - t ) 1 h. (t - t ) e) 1 CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS/Física UM Aula 5 COMPOSIÇÃO DE MOIMENTOS, LANÇAMENTO HORIZONTAL E OBLÍQUO 1. COMPOSIÇÃO DE MOIMENTOS: Quando u óvel descreve ua trajetória qualquer, o seu oviento resultante é, uitas vezes, coposto por ais de u oviento. Por exeplo, a velocidade de u barco ao atravessar u rio é forada, geralente, por duas outras velocidades: - ua delas, transversal ao rio, ipriida pelo otor do barco; - a outra, na direção do rio, co velocidade de escoaento das águas. Para exeplificar o exposto acia, observe o esquea: 9. UFC 1999 U chuveiro, situado a ua altura de 1,8 do solo, indevidaente fechado, deixa cair pingos de água a ua razão constante de 4 pingos/segundo. No instante de tepo e que u dado pingo toca o solo, o núero de pingos, atrás dele, que já estão a cainho é (use o valor da aceleração da gravidade, g = 1 /s ): a). b) 1. c). d) 3. e) UFC 4 Partindo do repouso, duas pequenas esferas de aço coeça a cair, siultaneaente, de pontos diferentes localizados na esa vertical, próxios da superfície da Terra. Desprezando a resistência do ar, a distância entre as esferas durante a queda irá: a) auentar. b) diinuir. c) peranecer a esa. d) auentar, inicialente, e diinuir, posteriorente. e) diinuir, inicialente, e auentar, posteriorente. Gabarito D A D B D A C A C C Na figura, teos ua partícula (P) que te velocidade ( Pr ) e relação ao referencial (r): este, por sua vez, te velocidade ( referencial (R). Portanto, a velocidade ( e relação a (R) será: PR = Pr + rr rr ) e relação ao PR ) de (P) Esta equação vetorial, graficaente, é ostrada abaixo: A coposição de ovientos pode ser ais facilente copreendida através do conheciento do Princípio da Independência dos Movientos, de Galileu, que diz que: Quando dois ou ais ovientos ocorre siultaneaente, cada u deles se processa coo se os deais não existisse. Isso que dizer que, para se conhecer o oviento resultante de u corpo, pode-se estudar separadaente os ovientos que o copõe. 517 Atendiento ao aluno: (85)

18 . LANÇAMENTO HORIZONTAL: Seja u corpo lançado horizontalente, no vácuo, co velocidade inicial v. A velocidade inicial no oviento vertical é zero, pois o corpo foi lançado horizontalente (v y = ); A aceleração g é positiva (no sentido do oviento); 3. LANÇAMENTO OBLÍQUO: Seja u corpo lançado obliquaente no vácuo, co velocidade inicial v, forando u ângulo co o eixo x. Após o lançaento, a única força que age sobre o corpo é o seu peso P, havendo então a aceleração da gravidade g na direção vertical. Neste caso, o corpo descreve tabé ua trajetória parabólica, resultante da coposição de dois ovientos: u M.U.. na direção vertical e o outro M.U. na direção horizontal. constante. Portanto, na direção horizontal peranece Logo: x =. t (1) Na direção vertical é ua queda livre. Portanto: 1 y = g. t () Se tiraros (t) da equação (1) e substituiros na equação () tereos: 1 x 1 g y = g =.. x g y =. x y = k. x k Portanto, a trajetória do óvel é parabólica. A velocidade do óvel no instante (t), ostrada, encontra-se no triângulo assinalado. Após o lançaento, a única força que age sobre o corpo é o seu peso P, e decorrência da aceleração da gravidade g, na direção vertical. Neste caso o corpo descreve ua trajetória parabólica. Observe que: - as coordenadas do corpo na posição P 1 são x 1 e y 1; - as coordenadas do corpo na posição P são x e y ; - as coordenadas do corpo na posição P 3 são x 3 e y 3. Portanto, para localizar o corpo no plano, precisaos conhecer suas coordenadas x e y. Estas coordenadas são deterinadas iaginado-se o lançaento oblíquo coo sendo resultante da coposição de dois ovientos: - o prieiro sobre o eixo x, o corpo se ovienta sobre o eixo e MU co velocidade igual a v x; - o segundo sobre o eixo y, o corpo se ovienta sobre o eixo e MU co velocidade inicial v y (a aceleração igual a da gravidade). Adotando coo ângulo de lançaento forado coo o eixo x (θ), as coponentes da velocidade de lançaento são: x =. cos θ y =. sen θ Usando o teorea de Pitágoras. = + x y = + x y Coo, na direção vertical, o oviento é de queda livre, então: y = g. t Observação: LANÇAMENTO HORIZONTAL (t): Deterinação da posição do óvel no instante Na direção (x): x = x. t Na direção (y): x =. cos θ. t Lançaento vertical para cia: 1 y = y. t - g. t 518 Atendiento ao aluno: (85)

19 1 y =. sen θ. t - g. t A = g. sen (θ) Deterinação da velocidade ( y) do óvel no instante (t): Na direção (y): y = oy gt Então: y =. sen θ - g. t No triângulo assinalado na figura encontraos a velocidade ( ) do óvel no instante (t) utilizando o teorea de Pitágoras: = + x y = + x y No ponto da trajetória que corresponde à altura áxia, teos y =. Portanto: = + x = O tepo necessário para o óvel atingir a altura áxia é o tepo de subida. Na altura áxia, y =. Portanto: =. sen θ - g. t s x Observação: ALCANCE MÁXIMO Considere a expressão: A = g. sen (θ) Mantendo fixo o valor de ( ) e variando o ângulo de tiro (θ), o alcance será áxio quando sen (θ) for áxio. sen (θ) = 1 A x = g Acontece quando: θ = 9. θ = 45 t = s. sen θ g O tepo de subida é igual ao de descida:. sen θ t s = t d = g Portanto, o tepo total de oviento será: t = t s + t d. sen θ t = g 3.1. Deterinação da Altura Máxia (H x): 1. UECE O goleiro Taffarel, da seleção brasileira, ao bater o "tiro de eta", dá u/pontapé na bola, inicialente e repouso sobre o graado. A bola parte co velocidade de, confore ilustra a figura, descreve ua parábola, e 3 segundos depois do chute volta a tocar o solo; despreza-se a resistência do ar e g = 1 /s. Se o alcance horizontal foi de 6, a velocidade inicial da bola, ao abandonar o pé do jogador, te ódulo: Utilizando a equação de Torricelli na direção vertical durante a subida teos: = = oy =. sen θ a = - g Δs = Hx x = + a Δs =. sen θ - gh H = x. sen θ g 3.. Deterinação do Alcance Horizontal (A): Na direção horizontal o oviento é unifore. Logo: Δs =. Δt Δs = A =. cos θ. sen θ Δt = t t =. g.. sen θ A =. cos θ. A =.. sen θ. cos θ g g sen (θ) A) 1 /s. B) 15 /s. C) /s. D) 5 /s.. UECE Ua bola de futebol colide co a trave, nu ponto situado a,5 acia do solo, co u velocidade horizontal v. Após o choque, a bola retrocede indo tocar o solo nu ponto situado a 5, da trave, confore ilustra a figura. Adita g = 9,8 /s. Supondo u choque perfeitaente elástico, a velocidade da bola ao colidir co a trave é, e /s: 519 Atendiento ao aluno: (85)

20 a) 7,. b) 5,. c) 3,5 d),5. 6. UECE A figura ostra a trajetória da bola lançada pelo goleiro Dida, no tiro de eta. Desprezando o efeito do ar, u estudante afirou: 3. UECE U hoe, de assa 8kg, tendo nas ãos u objeto de assa 1kg, está e queda livre. Quando falta 1 segundos para atingir o solo, o hoe lança o objeto co velocidade horizontal de 4,/s. Ao tocar o solo, o hoe terá sofrido u deslocaento horizontal X igual, e etros: a),5. b) 5,. c) 7,5. d) UECE Ua bola é lançada verticalente para cia, co velocidade de 18/s, por u rapaz situado e u carrinho que avança segundo ua reta horizontal, a 5,/s. Depois de atravessar u pequeno túnel, o rapaz volta a recolher a bola, a qual acaba de escrever ua parábola, confore a figura. Despreza-se a resistência do ar g = 1 /s. A altura áxia h alcançada pela bola e o deslocaento horizontal x do carrinho, vale, respectivaente: I. A aceleração vetorial da bola é constante. II. A coponente horizontal de velocidade da bola é constante. III. A velocidade da bola no ponto ais alto de sua trajetória é nula. Destas, afirativas, é(são) correta(s) soente: a) I. b) II. c) C) I e II. d) II e III. 7. UFC Ua platafora circular perfeitaente lisa está girando co velocidade angular constante ω. Fixas na platafora estão, frente a frente, Carla no centro e Ana na borda, separadas por ua distância R. Ana lança, deslizando sobre a platafora u objeto para Carla, co velocidade v. Para que o objeto chegue até Carla nu tepo finito, o ódulo de v deverá ser, necessariaente. a) igual a ω R. b) aior que zero, poré enor que ω R. c) aior que ω R. d) aior que ω R, poré enor que ω R. e) aior que ω R. 8. UFC Qual dos gráficos abaixo elhor representa as energias potencial e cinética, coo função do deslocaento na direção horizontal x, para u projétil lançado de superfície da Terra, sendo o ângulo de lançaento enor que e diferente de? 4 (Despreze a resistência do ar). a) a) h = 16,; x = 18,. b) h = 16,; x = 9,. c) h = 8,1; x = 9,. d) h = 1,; x = 18,. 5. UECE Ua enina chaada Clara vai nadando, ao longo de u rio, co velocidade constante de 1,5/s, e relação à arge, do ponto M ao ponto N, sendo,5/s, a velocidade constante da corrente. Se Clara copleta o percurso e 1 inuto, a distância MN vale: a) 1. b) 9. c) C) 3. d). b) c) d) 5 Atendiento ao aluno: (85)

21 e) 9. UFC Dois corpos são lançados siultaneaente, u (I) verticalente para cia e outro (II) tabé para cia, as ao longo de u plano inclinado de 3 co a horizontal. As velocidades de lançaento são tais que os corpos atinge a posição de áxia altura, nu eso instante t. Desprezando qualquer atrito, indique entre os diagraas abaixo aquele que pode representar corretaente as coponentes verticais das acelerações dos dois corpos durante os tepos de subida e descida. 1. UFC 7 Ua partícula de assa é lançada a partir do solo, co velocidade v, nua direção que fora u ângulo θ co a horizontal. Considere que a aceleração da gravidade te intensidade g e que y é a altura edida a partir do solo. A energia cinética da partícula e função da altura y é dada por: a) b) c) d) 1 v sen θ - gy. 1 v - gy. 1 v + gy. 1 v sen θ + gy. e) 1 v cos θ + gy. a) b) c) d) e) Gabarito D A B A A C C D D B 51 Atendiento ao aluno: (85)

22 Aula 6 MOIMENTO CIRCULAR e ódulo, onde se repete periodicaente os estados do oviento (posição, velocidade e aceleração). 1. ÂNGULO HORÁRIO OU FASE (): Seja u óvel percorrendo ua trajetória circular de raio R e centro C. A orige das posições é O, e P, a posição do óvel nu instante t qualquer. Define-se coo ângulo horário ou fase o ângulo que corresponde ao arco de trajetória OP abaixo. s = R Aceleração centrípeta: a cp = R Onde: = é edido e radianos s = arco descrito. ELOCIDADE ANGULAR MÉDIA (): Considere u óvel percorrendo ua trajetória circular de raio R e os ângulos 1 e quando o óvel se encontra nos instantes t 1 e t, respectivaente. Define-se coo velocidade angular édia o quociente entre o ângulo descrito,, e o tepo, t, gasto e descrevê-lo. Coo o oviento circular unifore é u oviento periódico, cada volta é copletada e intervalos de tepo sepre iguais. Ao tepo gasto pelo óvel para realizar ua volta copleta chaaos de período T do oviento. Para se obter a freqüência f do oviento deveos calcular quantas voltas o óvel realiza na unidade de tepo, que podeos representar pela expressão: f = 1 ou T = 1 T f Observação: FREQÜÊNCIA Δα - ω = = Δt t - t 1 Observação: ELOCIDADE ANGULAR No M.C.U. a velocidade angular é constante. Portanto, a velocidade angular édia coincide co a velocidade angular instantânea. A edida da freqüência no S.I. será: 1 s - 1 U(f) = = s (Hertz-Hz) E alguas situações de u M.C.U. é expressa e rotações por inuto (rp) ou e ciclos por segundo (cps) e verifica-se que: 1 Hz = 1 cps 1 Hz = 6 rp 3. ACELERAÇÃO ANGULAR MÉDIA (): Define-se coo aceleração angular édia o quociente entre a variação angular descrita,, e o tepo, t, gasto e descrevê-la Função horária: Para se obter a posição escalar de u óvel e oviento circular unifore, sobre ua circunferência de raio R, utilizareos a função: ω - ω = Δω = 1 Δt t - t s = s + vt = + ωt Observação: ELOCIDADE ANGULAR Para obteros ua relação entre a velocidade angular e a linear, vaos usar a seguinte expressão: = ω. R 4. MOIMENTO CIRCULAR UNIFORME: É o oviento de u óvel que percorre ua trajetória circular, co velocidade escalar constante 4.. Fórulas iportantes: elocidade angular elocidade linear ω ou ω f T ω. R ou fr 5 Atendiento ao aluno: (85)

23 5. MOIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ARIADO: Seja duas polias associadas confore a figura. U óvel realiza MCU quando descreve ua trajetória circular e a sua aceleração tangencial é constante e não-nula Funções horárias: Ângulo e função do tepo: = f(t) 1 = + ωt + t elocidade angular e função do tepo: = f(t) ω = ω + t A velocidade angular de u ponto periférico da polia A é igual à velocidade angular de u ponto periférico da polia B, isto é: Coo: ω = R ω = ω A B Aceleração angular a R Teos: R A A = R B B 6. ACOPLAMENTO DE POLIAS: Duas polias pode ser acopladas das seguintes foras: Acoplaento por correia Seja duas polias acopladas confore indica a figura. Aditindo-se que a correia seja inextensível, todos os seus pontos possue a esa velocidade escalar. Aditindo-se que não haja escorregaento, os pontos periféricos de cada polia possue a esa velocidade escalar, que é igual à velocidade da correia, isto é: Sendo: = ω. R Teos que: = A B ω A. R A = ω B. R B No caso dos ovientos unifores: ω = = f T Logo: f A. R A = f B. R B 1. UECE Duas polias, de raios r = 5c e R = c, respectivaente, estão ligadas por ua correia flexível e inelástica, se deslizaento. A velocidade angular da enor é 1rd/s. Neste caso, a velocidade escalar de u ponto da periferia da polia aior é, e c/s: a) 6. b) 7. c) 9. d) 1.. UECE U disco, de c de raio, gira co ua velocidade angular constante de rd/s, no plano horizontal. Ua foriga, inicialente e repouso a c do centro do disco, coeça a over-se para a borda do disco, segundo ua direção radial e co ua velocidade constante de 3c/s. O núero de voltas que ela dará, até chegar na borda do disco, é: a). b) 3. c) 4. d) UECE A figura ostra u disco que gira e torno do centro O. A velocidade do ponto X é 5c/s e a do ponto Y é de 1c/s. A distância XY que o valor da velocidade angular do disco, e radianos por segundo, é: f A. R A = f B. R B Acoplaento co eso eixo a),. 53 Atendiento ao aluno: (85)

24 b) 5,. c) 1,. d),. 4. UECE Clara de Assis se encontra sentada nu banquinho de roda-gigante (brinquedo de parque infantil) de 5 etros de raio, que dá volta copleta e segundos. A velocidade escalar dessa enina é, e /s: a) b). c) d) UECE. O ângulo, e graus, que u autoóvel descreve ao percorrer 6 de copriento nua curva circular de 1 de raio, é ais aproxiadaente igual a: a) 33. b) 34. c) 35. d) UECE 1.1 U étodo antigo para edir a velocidade da luz utiliza ua roda dentada girando co velocidade angular constante e torno do seu eixo de rotação. U feixe de luz incidindo perpendicularente à roda passa por ua ferida entre dois dentes consecutivos de sua borda e atinge u espelho plano distante, tabé perpendicular ao feixe. O feixe reflete no espelho e retorna à roda nu intervalo de tepo exato para passar através da fenda seguinte. Medidas toadas co ua destas rodas contendo 5 dentes e distando 5 etros do espelho indicara ua velocidade de 3, x 1 8 /s para a luz. A velocidade angular da roda, e radianos por segundo, era: a) 3,8 x 1 5. b) 3,8 x 1 3. c) 7,6 x 1 5. d) 7,6 x UECE 5.1 Ua roda co 45c de raio rola se escorregar nu piso horizontal, confore a figura. P é u ponto pintado na borda da roda. No tepo t 1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso. Nu tepo posterior t, a roda descreveu eia rotação. O ódulo do vetor deslocaento de P entre os tepos t 1 e t é, aproxiadaente: (t 1 ) (t ) P u deles registra ua freqüência de 84rp. A velocidade do autoóvel é de: a) 3 /s. b) 4 /s. c) 5 /s. d) 6 /s. e) 7 /s. 9. UFC A figura ostra u arranjo para a edida experiental da velocidade de ua bala atirada por ua ara. Nele, os dois discos, paralelos, são solidários, separados por ua distância d = 1,75 e gira co freqüência cou de 4rp. A bala fura o prieiro disco e depois de u tepo Δt os discos gira de u ângulo = rad 3. A partir desses dados deterine, e /s, a velocidade da bala. Considere que a bala ove-se e linha reta. a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) UFC Considere u relógio de pulso e que o ponteiro dos segundos te u copriento, r s = 7, e o ponteiro dos inutos te u copriento, r = 5 (abos edidos a partir do eixo central do relógio). Seja, v s a velocidade da extreidade do ponteiro dos segundos, e v, a velocidade da extreidade do ponteiro dos inutos. A razão v s/v é igual a: a) 35. b) 4. c) 7. d) 84. e) ENEM 1998 As bicicletas possue ua corrente que liga ua coroa dentada dianteira, ovientada pelos pedais, a ua coroa localizada no eixo da roda traseira, coo ostra a figura. P a) 168c. b) 67c. c) 31c. d) 8c. 8. UFC U autoóvel se desloca e ua estrada horizontal co velocidade constante de odo tal que seus pneus rola se qualquer deslizaento na pista. Cada pneu te diâetro D =,5 e u edidor colocado e O núero de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do taanho relativo destas coroas. E que opção abaixo a roda traseira dá o aior núero de voltas por pedalada? 54 Atendiento ao aluno: (85)

25 1. ENEM 1998 Quando se dá ua pedalada na bicicleta ao lado (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá ua volta copleta), qual é a distância aproxiada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o copriento de u círculo de raio R é igual a pr, onde p» 3? As energias I e II, representadas no esquea acia, pode ser identificadas, respectivaente, coo a) cinética e elétrica. b) térica e cinética. c) térica e elétrica. d) sonora e térica. e) radiante e elétrica. 14. ENEM 6 Na preparação da adeira e ua indústria de óveis, utiliza-se ua lixadeira constituída de quatro grupos de polias, coo ilustra o esquea ao lado. (A) 1, (B),4 (C) 7, (D) 14,4 (E) 48, 13. ENEM 7 Co o projeto de ochila ilustrado acia, pretende-se aproveitar, na geração de energia elétrica para acionar dispositivos eletrônicos portáteis, parte da energia desperdiçada no ato de cainhar. As transforações de energia envolvidas na produção de eletricidade enquanto ua pessoa cainha co essa ochila pode ser assi esqueatizadas: E cada grupo, duas polias de taanhos diferentes sao interligadas por ua correia provida de lixa. Ua prancha de adeira e epurrada pelas polias, no sentido A B (coo indicado no esquea), ao eso tepo e que u sistea e acionado para frear seu oviento, de odo que a velocidade da prancha seja inferior a da lixa. O equipaento acia descrito funciona co os grupos de polias girando da seguinte fora: a) 1 e no sentido horario; 3 e 4 no sentido anti-horario. b) 1 e 3 no sentido horario; e 4 no sentido anti-horario. c) 1 e no sentido anti-horario; 3 e 4 no sentido horario. 55 Atendiento ao aluno: (85)

26 d) 1 e 4 no sentido horario; e 3 no sentido anti-horario. e) 1,, 3 e 4 no sentido anti-horario. 15. UECE U carro percorre ua pista circular, no sentido indicado, co velocidade tangencial de ódulo constante, confore indica a figura. No oento e que ele passa pela posição P, a aceleração do carro é dirigida para o: a) Norte. b) Sul. c) Leste. d) Oeste. Gabarito A B A B B B A E E D A C A C D 56 Atendiento ao aluno: (85)