MOVIMENTO PERIÓDICO NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO

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2 NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO MOVIMENTO PERIÓDICO 1 INTRODUÇÃO A vibração de um cristal de quartzo em um relógio, a oscilação do pêndulo de um relógio de carrilhão, as vibrações sonoras produzidas por um clarinete ou pelo tubo de um órgão e as oscilações produzidas pelos pistões no motor de um automóvel são exemplos de movimentos que se repetem indefinidamente. Esse tipo de movimento, chamado de movimento periódico ou oscilação, é o assunto deste capítulo. O entendimento do movimento periódico será essencial para os estudos que faremos sobre as ondas e o som. Um corpo que executa movimento periódico encontra-se sempre em uma posição de equilíbrio estável. Quando ele é deslocado dessa posição e libertado, surge uma força ou um torque que o faz retornar à sua posição de equilíbrio. Quando ele atinge esse ponto, entretanto, pelo fato de haver acumulado energia cinética, ele o ultrapassa, parando em algum ponto do outro lado e sendo novamente puxado para sua posição de equilíbrio. Imagine uma bola rolando para a frente e para trás no interior de um recipiente côncavo, ou um pêndulo que oscila de um lado para o outro passando por sua posição de equilíbrio na vertical. Neste capítulo concentraremos nossa atenção em dois exemplos simples de sistemas que executam movimentos periódicos: o sistema massa-mola e o pêndulo. Também estudaremos por que as oscilações diminuem de intensidade com o tempo e por que algumas oscilações podem se superpor e construir deslocamentos cada vez maiores quando forças periódicas atuam sobre o sistema. CAUSAS DA OSCILAÇÃO Na figura 1 vemos um dos sistemas mais simples que podem executar um movimento periódico. Um corpo de massa m está em repouso sobre um trilho horizontal sem atrito, tal como no caso de um trilho de ar linear, de modo que ele pode se mover apenas ao longo do eixo Ox. A mola presa ao corpo possui massa desprezível e pode ser comprimida ou esticada. A extremidade esquerda da mola é mantida fixa e sua extremidade direita está presa ao corpo. A força da mola é a única força horizontal que atua sobre o corpo; a força vertical normal sempre anula a força gravitacional. FIGURA 1 Um sistema que pode ter movimento periódico. É mais simples definir o sistema de coordenadas com a origem O na posição de equilíbrio para a qual a mola não está esticada nem comprimida. Então x fornece o componente x do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio e também indica a variação de comprimento da mola. O componente x da aceleração a x é dado por a x = F/m. A figura mostra diagramas do corpo livre para as três diferentes posições da mola. Quando o corpo é deslocado da posição de equilíbrio da mola, a força da mola tende a fazer o corpo voltar para a posição de equilíbrio. Chamamos essa força de força restauradora. Uma oscilação ocorre somente quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar para a sua posição de equilíbrio. 1

3 FIGURA Exemplo de um movimento periódico. Quando o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio em x = O, a mola exerce uma força restauradora que o leva de volta à posição de equilíbrio. Vamos analisar como as oscilações ocorrem nesse sistema. Quando deslocamos o corpo para a direita até a posição x = A e a seguir o libertamos, a força resultante e a aceleração são orientadas para a esquerda (figura a). A velocidade aumenta até o corpo atingir a posição de equilíbrio O. Quando o corpo está no ponto O, a força resultante que atua sobre ele é igual a zero; mas devido ao seu movimento, ele ultrapassa a posição de equilíbrio. No outro lado da posição de equilíbrio, a velocidade do corpo está orientada para a esquerda, porém sua aceleração está orientada para a direita (figura c); consequentemente, a velocidade diminui até o corpo parar. Mostraremos mais adiante que, no caso da mola ideal, o corpo para no ponto x = -A. A seguir o corpo acelera para a direita, ultrapassa novamente a posição de equilíbrio e para no ponto x = A, pronto para repetir todo o processo. O corpo está oscilando! Caso não existisse atrito nem outra força capaz de remover a energia mecânica do sistema, esse movimento se repetiria eternamente; a força restauradora obrigaria sempre o corpo a voltar para a sua posição de equilíbrio e todas as vezes ele ultrapassaria essa posição. Em cada caso, a força pode depender do deslocamento x de diferentes modos. Entretanto, as oscilações sempre ocorrem quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar para a sua posição de equilíbrio. PERÍODO, FREQUÊNCIA E FREQUÊNCIA ANGULAR A seguir definimos alguns termos que serão usados na discussão de todos os tipos de movimentos periódicos. A amplitude do movimento, designada por A, é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio; isto é, o valor máximo de lxl. Ela é sempre positiva. Quando a mola da figura for ideal, a amplitude total do movimento será A. A unidade SI de A é o metro. O ciclo é uma oscilação completa, digamos de A até -A e retornando ao ponto A, ou de O até A, de volta a O, seguindo até -A e retornando a O. Note que o movimento de uma extremidade a outra (digamos, de A até -A) constitui um hemiciclo e não um ciclo completo. O período, T, é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo. A unidade SI é o segundo. A frequência, f, é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela é sempre positiva. A unidade SI de frequência é o hertz: 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo/s = 1 s -1 Essa unidade foi assim designada em homenagem ao físico alemão Heinrich Hertz ( ), um pioneiro nas investigações das ondas eletro1llagnéticas. A frequência angular, ω, é π vezes a frequência: ω = πf. Em breve veremos porque ω é uma grandeza útil. Ela representa uma taxa de variação de uma grandeza angular (não necessariamente relacionada ao movimento de rotação) que é sempre medida em radianos, portanto ela possui unidades de rad/s. Uma vez que f é em ciclo/s, podemos interpretar o fator π como se tivesse unidade de rad/ciclo. Pelas definições do período T e da frequência f, vemos que cada uma dessas grandezas é o inverso da outra: 1 f [1] T Além disso, da definição de ω, f [] T 3 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES O tipo mais simples de oscilação ocorre quando a força restauradora F x é diretamente proporcional ao deslocamento x da posição de equilíbrio. Isso ocorre quando a mola das figuras 1 e é ideal, ou seja, quando ela obedece à lei de Hooke. A constante de proporcionalidade k entre F x e x é a constante da força ou constante elástica da mola. Nos dois lados da posição de equilíbrio, F x e x possuem sempre sinais opostos. Na mecânica representamos a força que atua sobre a mola por F x = kx. O componente x da força que a mola exerce sobre o corpo possui esse mesmo módulo, porém com sinal contrário, logo o componente x da força F x que a mola exerce sobre o corpo é F x = kx (força restauradora exercida pela mola ideal) [3] Essa relação fornece corretamente o módulo e o sinal da força, independentemente do valor de x ser positivo, negativo ou nulo. O gráfico de F x em função de x é uma linha reta como mostra a figura 3. A constante elástica da mola k é sempre positiva e suas unidades são N/m ou kg/s. Supondo que não exista atrito, a equação (3) fornece a força resultante sobre o corpo. Quando a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio, conforme indicado na equação (3), a oscilação denomina-se movimento harmônico simples, abreviado por MHS. A aceleração a x = d x/dt = F x /m de um corpo que executa um MHS é dada por

4 d x k a x x dt m [4] O sinal negativo indica que a aceleração possui sempre sentido contrário ao do deslocamento. Essa aceleração não é constante, portanto nem pense em usar as fórmulas deduzidas no capítulo de cinemática para o movimento com aceleração constante. Brevemente mostraremos como resolver essa equação para encontrar o deslocamento x em função do tempo. Um corpo que executa um movimento harmônico simples constitui um oscilador harmônico. FIGURA 3 Uma mola ideal exerce uma força restauradora que obedece à lei de Hooke, F x = -kx. Uma oscilação com uma força restauradora desse tipo é chamada de movimento harmônico simples. Por que o movimento harmônico simples é tão importante? Não se esqueça de que nem todos os movimentos periódicos constituem um movimento harmônico simples; em movimentos periódicos em geral, a força restauradora depende do deslocamento de modo mais complicado do que o indicado na equação (3). Contudo, em muitos sistemas a força restauradora é aproximadamente proporcional ao deslocamento no caso de ele ser suficientemente pequeno (figura 4). Ou seja, no caso de uma amplitude suficientemente pequena, as oscilações do sistema constituem aproximadamente um movimento harmônico simples que pode ser descrito pela equação (4). Logo, podemos notar que o MHS é um modelo simples para descrever diversos tipos de movimentos periódicos, tais como a vibração de um cristal de quartzo em um relógio, o movimento de um diapasão, a corrente elétrica em um circuito de corrente alternada e as vibrações dos átomos nas moléculas e nos sólidos. FIGURA 4 Em muitas oscilações reais, a lei de Hooke se aplica desde que o corpo não se afaste muito da posição de equilíbrio. Em tal caso, as oscilações de pequena amplitude podem ser consideradas aproximadamente como harmônicas simples. MOVIMENTO CIRCULAR E AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Para explorar as propriedades do movimento harmônico simples, devemos representar a distância x do corpo que oscila em função do tempo, x(t). A segunda derivada dessa função, d x/dt, deve ser igual a ( k/m) multiplicada pela própria função, conforme exigido pela equação (4). Como já dissemos, as fórmulas deduzidas na cinemática não servem para este caso, porque a aceleração varia constantemente à medida que x varia. Em vez disso, deduziremos uma expressão para x(t) usando uma impressionante semelhança entre o MHS e um outro movimento que já estudamos em detalhe. A figura 5a mostra a vista do topo de um disco horizontal de raio A com uma bola presa em sua periferia no ponto Q. O disco gira com velocidade angular ω constante (dada em rad/s), de modo que a bola gira com movimento circular uniforme. Um feixe de luz horizontal ilumina o disco que gira e projeta sua sombra sobre uma tela. A sombra do ponto P oscila para a frente e para trás enquanto a bola percorre a circunferência. Agora colocamos um corpo na extremidade de uma mola ideal, como indicado nas figuras 1 e, de modo que o corpo oscile paralelamente à direção 3

5 do deslocamento da sombra. Mostraremos que o movimento desse corpo e o movimento da sombra são idênticos quando a amplitude do movimento do corpo é igual ao raio A do disco, e que a frequência angular πf do corpo oscilante é igual à velocidade angular ω do disco que gira. Ou seja, o movimento harmônico simples é a projeção de um movimento circular uniforme sobre um diâmetro do círculo. FIGURA 5 (a) Relacionando o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples. (b) A sombra da bola se move exatamente como um corpo oscilando em uma mola ideal. Podemos verificar essa importante conclusão determinando a aceleração da sombra no ponto P e comparando o resultado com a aceleração de um corpo que executa um MHS, dada a equação (4). O círculo, ao longo do qual a bola se move de modo que sua projeção se superpõe à do movimento oscilatório do corpo, denomina-se círculo de referência; chamaremos o ponto Q de ponto de referência. Consideramos o círculo de referência contido em um plano xy, com a origem O no centro do círculo (figura 5b). No instante t, o vetor OQ que liga a origem ao ponto Q faz um ângulo θ com o sentido positivo do eixo Ox. À medida que o ponto Q percorre o círculo de referência com velocidade angular ω constante, o vetor OQ gira com a mesma velocidade angular. Esse vetor girante denomina-se fasor. O componente x do fasor no instante t nada mais é do que a coordenada x do ponto Q: x = A cos θ [5] Essa relação também fornece a coordenada x da sombra P, que é a projeção do ponto Q sobre o eixo Ox. Portanto, a velocidade da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor velocidade do ponto de referência Q (figura 6a) e a aceleração da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor aceleração do ponto de referência Q (figura 6b). FIGURA 6 A (a) velocidade e (b) a aceleração da sombra da bola P (veja a figura 5) são os componentes x respectivamente dos vetores velocidade e aceleração da bola Q. Visto que o ponto Q possui movimento circular uniforme, o vetor aceleração a Q está sempre orientado para o ponto O. Além disso, o módulo de a Q é constante e dado pelo quadrado da velocidade angular multiplicado pelo raio do círculo: a Q = ω A [6] A figura 6b mostra que o componente x de a é dado por a x = a Q cosθ. Combinando esse resultado com as Q equações (5) e (6), obtemos a aceleração do ponto P na forma a x = - a Q cos θ = - ω A cos θ [7] a x = -ω x [8] A aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao deslocamento x e possui sempre sentido contrário a ele. Essas são precisamente as características básicas do movimento harmônico simples. 4

6 A equação (8) é exatamente igual à equação (4), que fornece a aceleração de um movimento harmônico simples, desde que a velocidade angular ω do ponto de referência Q esteja relacionada à constante da mola k e à massa m do corpo que oscila por k k ou m m [9] Temos usado o mesmo símbolo ω para a velocidade angular do ponto de referência Q e para a frequência angular do ponto oscilante P. Isso é feito porque essas grandezas são iguais! Se o ponto Q executa uma revolução completa no tempo T, então o ponto P realiza o ciclo completo da oscilação no mesmo intervalo de tempo; portanto, T é o período da oscilação. Durante o tempo T, o ponto Q se move π radianos, logo sua velocidade angular é ω = π/t. Porém, esse resultado é exatamente igual à equação (), que fornece a frequência angular do ponto P, confirmando nossa afirmação acerca da interpretação de ω. Essa foi a razão pela qual introduzimos o conceito de frequência angular, essa é a grandeza que estabelece a conexão entre a oscilação e o movimento circular uniforme. Logo, podemos interpretar novamente a equação (9) como uma relação para a frequência angular de um corpo de massa m que executa um movimento harmônico simples sobre o qual atua uma força restauradora com uma constante da mola k: k [10] m Quando você inicia um corpo oscilando em MHS, não é você quem escolhe o valor de ω; ele é predeterminado pelos valores de k e de m. As unidades de k são N/m ou kg/s, logo k/m possui unidades de (kg/s )/kg = s. Quando extraímos a raiz quadrada da equação (10), obtemos s 1 ou, mais apropriadamente, rad/s, porque se trata de uma frequência angular (lembre-se de que radiano não é uma unidade verdadeira). De acordo com as equações (1) e (), a frequência f e o período T são 1 k f m [11] 1 m T [1] f k Com a equação (1) notamos que para um corpo de massa m maior, com maior inércia, a aceleração é menor; ele se move mais lentamente e leva um tempo maior para completar um ciclo (figura 7). Em contraste, quando a mola é mais dura (possuindo um valor elevado da constante da mola k), a força exercida é maior para a mesma deformação x, produzindo aceleração mais elevada, velocidade maior e um tempo T menor por ciclo. FIGURA 7 Quanto maior a massa m de cada dente do garfo do diapasão, menor será a frequência da oscilação, 1 k f. m PERÍODO E AMPLITUDE NO MHS As equações (11) e (1) mostram que o período e a frequência do movimento harmônico simples são completamente determinados pela massa m e pela constante da mola k. No movimento harmônico simples, o período e a frequência não dependem da amplitude A. Para dados valores de k e de m, o tempo de uma oscilação completa não depende do fato de a amplitude ser pequena ou grande. A equação (3) mostra por que essa conclusão deveria ser esperada. Um valor maior de A implica também uma força restauradora maior, porque x é maior. Isso faz aumentar a velocidade média ao longo de um ciclo completo, compensando a distância maior a ser percorrida e resultando no mesmo tempo total. As vibrações de um diapasão constituem aproximadamente um movimento harmônico simples, o que significa que sua frequência não depende de sua amplitude. Essa é a razão pela qual o diapasão é usado como padrão para identificar a altura de um som musical. Se não fosse por essa característica do movimento harmônico simples, seria 5

7 impossível fazer os relógios mecânicos e eletrônicos que conhecemos funcionarem com precisão, ou tocar a maior parte dos instrumentos musicais de modo afinado. Quando você encontrar um corpo oscilando com um período que dependa da amplitude, a oscilação não corresponderá a um movimento harmônico simples. DESLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO NO MHS Precisamos achar o deslocamento x em função do tempo para um oscilador harmônico. A equação (4) para um corpo que descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo Ox é idêntica à equação (8) para a coordenada x de um ponto de referência que descreve um movimento circular uniforme com uma velocidade angular constante dada por k /m. Da equação (5), vemos que x = A cos θ descreve a coordenada x em ambas as situações. Se em t = 0 o fator OQ faz um ângulo φ com o sentido positivo do eixo Ox, então para qualquer outro instante posterior t esse ângulo é dado por θ = ωt + φ. Substituindo na equação (5), obtemos x = A cos (ωt + φ) (deslocamento no MHS) [13] onde k /m. A figura 8 mostra um gráfico da equação (13) para o caso particular φ = 0. O deslocamento x é uma função periódica do tempo, conforme seria de se esperar em um MHS. FIGURA 8 Gráfico de x em função de t [ver equação (13)] em um movimento harmônico simples. No caso mostrado, φ = 0. Mediante a relação cos α = sen (α + π/), poderíamos também ter escrito a equação (13) em termos de uma função senoidal em vez de usar o co-seno. No movimento harmônico simples, o deslocamento é uma função do tempo senoidal periódica. Existem muitas funções periódicas, contudo nenhuma delas é tão simples quanto uma função seno ou co-seno. O valor da função co-seno está sempre compreendido entre -1 e +1. Assim, na equação (13), o valor de x está sempre entre -A e +A, o que confirma que A é a amplitude do movimento. O período T corresponde ao tempo de um ciclo completo da oscilação. A função co-seno se repete todas as vezes que a quantidade entre parênteses na equação (13) aumenta de π radianos. Logo, se começamos no instante t = 0, o tempo T necessário para completar um ciclo é dado por k m T T ou T m k que é exatamente a equação (1). Fazendo-se variar m ou k, o período da oscilação varia, conforme indicado nas figuras 9a e 9b. FIGURA 9 Variações em um movimento harmônico simples. Todos os casos indicados são para φ = 0. A constante φ indicada na equação (13) denomina-se ângulo de fase. Ela nos informa em que ponto do ciclo o movimento se encontrava em t = 0 (equivalente a dizer em que ponto da circunferência estava o ponto Q em t = 0). Vamos designar por x 0 a posição em t = 0. Substituindo t = 0 e x = x 0 na equação (13), obtemos x 0 = A cos φ [14] Se φ = 0, então x 0 = A cos0 = A, e o corpo começa em seu deslocamento positivo máximo. Se φ = π, então x 0 = A cosπ = -A, e o corpo começa em seu deslocamento negativo máximo. Se φ = π/, então x 0 = A cos (π/) = 0, e o corpo está inicialmente na origem. A figura 10 mostra o deslocamento x em função do tempo para diferentes ângulos de fase. 6

8 FIGURA 10 Variações do MHS: deslocamento em função do tempo para o mesmo oscilador harmônico com diferentes ângulos φ de fase. Achamos a velocidade v x e a aceleração a x em função do tempo para um movimento harmônico simples derivando a equação (13) em relação ao tempo: dx vx Asen( t ) [15] dt dvx d x a x Acos( t ) dt dt [16] A velocidade v x oscila entre os valores v máx = +ωa e -v máx = -ωa, e a aceleração a, oscila entre os valore a máx = +ω A e -a máx = -ω A (figura 11). Comparando a equação (16) com a equação (13) é lembrando da equação (9) em que ω = k/m, vemos que k ax x x m que é exatamente a equação (4) do movimento harmônico simples. Isso confirma a validade da equação (13) para x em função do tempo. Na realidade, já havíamos deduzido a equação (16) de forma geométrica considerando o componente x do vetor aceleração do ponto de referência Q. Isso foi feito na figura 6b e na equação (7) (lembre-se de que θ = ωt + φ). Do mesmo modo, poderíamos ter deduzido a equação (15) tomando o componente x do vetor velocidade de Q, conforme indicado na figura 6a. Note que o gráfico senoidal do deslocamento em função do tempo (figura 11a) está deslocado em um quarto de período em relação ao gráfico da velocidade em função do tempo (figura 11b) e em meio período do gráfico da aceleração em função do tempo (figura 11c). A figura mostra por que isso acontece. Quando o corpo está passando pela posição de equilíbrio, de modo que seu deslocamento é igual a zero, sua velocidade será v máx ou v máx (dependendo do sentido do movimento do corpo) e sua aceleração é igual a zero. Quando o corpo está no seu ponto de deslocamento máximo, x = +A, ou no seu ponto de deslocamento negativo máximo, x = -A, sua velocidade é nula, e o corpo fica momentaneamente em repouso. Nesses pontos, a força restauradora F x = -kx e a aceleração do corpo possuem os módulos máximos. Em x = +A, a aceleração é negativa e igual -a máx Em x = -A, a aceleração é positiva: a x = a máx FIGURA 11 Gráficos de (a) x em função de t, (b) v x em função de t e (c) a x em função de t para um corpo em MHS. Para o movimento descrito nestes gráficos, φ = π/3. Conhecendo-se a posição inicial x 0 e a velocidade inicial v 0x de um corpo oscilante, podemos determinar a amplitude A e a fase φ. Vejamos como fazer isso. A velocidade inicial v 0x é a velocidade no tempo t = 0; substituindo v x = v 0x e t = 0 na equação (15), temos v0x Asen [17] Para achar φ, divida a equação (17) pela equação (14). Essa divisão elimina A, e a seguir podemos explicitar φ: v0x Asen tg x Acos 0 7

9 v 0x arctg [18] x0 Também é fácil achar A quando conhecemos x 0 e v 0x. Vamos esquematizar a dedução e você acrescentará os detalhes. Eleve ao quadrado a equação (14); divida a equação (17) por ω, eleve o resultado ao quadrado e some com o quadrado da equação (14). O membro direito será igual a A (sen φ + cos φ ), que é igual a A. O resultado final é v A x [19] 0x 0 Note que, quando o corpo apresenta tanto uma posição inicial x 0 quanto uma velocidade inicial v 0x diferente de zero, a amplitude A não é igual ao deslocamento inicial. Isso é razoável; se o corpo está na posição inicial positiva x 0 e você fornece a ele uma velocidade inicial v 0x positiva, ele deverá ir além do ponto x 0 antes de parar e retornar. 4 ENERGIA NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Podemos aprender ainda mais sobre o movimento harmônico simples levando em conta aspectos relacionados à energia. Observe novamente o corpo oscilando na extremidade da mola nas figuras e 1. Já dissemos que a força da mola é a única força horizontal que atua sobre o corpo. A força que a mola ideal exerce sobre um corpo é uma força conservativa, e as forças verticais não realizam trabalho, de modo que a energia mecânica total do sistema é conservada. Vamos também supor que a massa da mola seja desprezível. FIGURA 1 Como a velocidade v x e a aceleração a x ao longo do eixo Ox variam durante um ciclo de MHS. A energia cinética do corpo é dada por K = ½ mv, e a energia potencial da mola é U = ½ kx, tal como visto em Mecânica. (Seria útil fazer uma revisão.) Não existe nenhuma força dissipativa realizando trabalho, logo a energia mecânica total E = K + U é conservada: 1 1 E mv kx Cons tante [0] x A energia mecânica total E é também relacionada diretamente com a amplitude A do movimento. Quando o corpo atinge o ponto x = A, seu deslocamento máximo a partir do ponto de equilíbrio, ele para momentaneamente e depois retoma ao seu ponto de equilíbrio. Ou seja, quando x = A (ou x = -A), v x = 0. Nesse ponto a energia é inteiramente potencial, e E = ½ ka. Como E é constante, ela permanece sempre igual a ½ ka em qualquer outro ponto. Combinando essa expressão com a equação (0), obtemos E mv x kx ka Cons tante [1] Podemos verificar essa equação substituindo x e v x fornecidos pelas equações (13) e (15), e usando a relação ω = k/m da equação (9): 8

10 E mv x kx m[ Asen( t )] k[a cos( t )] 1 1 E ka sen ( t ) ka cos ( t ) 1 E ka (Lembre que sen α + cos α = 1.) Portanto, as nossas expressões para o deslocamento e para a velocidade no movimento harmônico simples são consistentes com a conservação da energia, como era de se esperar. Podemos usar a equação (1) para explicitar a velocidade v x do corpo em função do deslocamento x: k vx A x [] m O sinal ± significa que, em um dado ponto x, o corpo pode estar se deslocando em qualquer um dos dois sentidos. Por exemplo, quando x = ±A/, temos k A 3 k vx A A m 4 m A equação () também mostra que a velocidade máxima v máx ocorre em x = 0. Usando a equação (10), k / m verificamos que k vmáx A A [3] m Esse resultado concorda com a equação (15), a qual indica que v x oscila entre -ωa e +ωa. INTERPRETANDO E, K E U EM MHS A figura 13 mostra as energias E, K e U para os pontos x = 0, x = ± A/ e x = ± A. A figura 14 é uma representação gráfica da equação (1); o eixo vertical indica a energia (cinética, potencial e total) e a posição x é indicada no eixo horizontal. A curva parabólica mostrada na figura 14a representa a energia potencial U = ½ kx. A linha horizontal representa a energia mecânica total E que permanece constante e não varia com a posição x. Essa linha corta a curva da energia potencial nos pontos x = -A e x = A, nos quais a energia é totalmente potencial, a energia cinética é nula e o corpo entra momentaneamente em repouso antes de inverter o sentido. Enquanto o corpo oscila entre -A e A, a energia é continuamente transformada de potencial em cinética e vice-versa. FIGURA 13 Gráficos de E, K e U em função do deslocamento em MHS. A velocidade do corpo não é constante, portanto essas imagens do corpo em posições com intervalos espaciais iguais entre si não estão colocadas em intervalos iguais no tempo. A figura 14a mostra a conexão entre a amplitude A e a correspondente energia mecânica total E = ½ ka. Se tentássemos fazer x maior do que A (ou menor do que - A), U seria maior do que E, e K seria negativa. Porém, K nunca pode ser negativa, logo x não pode ser maior do que A nem menor do que -A. 9

11 FIGURA 14 Energia cinética K, energia potencial U e energia mecânica total E em função da posição no MHS. Em cada ponto x a soma dos valores de K e de U é sempre igual ao valor constante E. 5 APLICAÇÕES DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Até o momento, analisamos muitos exemplos de uma única situação em que ocorre o movimento harmônico simples (MHS): o caso da mola horizontal ideal ligada a um corpo. Porém, o MHS pode ocorrer em qualquer sistema no qual exista uma força restauradora diretamente proporcional ao deslocamento a partir da posição de equilíbrio, como na equação (3), F x = -kx. A força restauradora pode surgir de diferentes modos em situações variadas, então a constante elástica k deve ser achada mediante o conhecimento da força resultante que atua sobre o sistema. Depois dessa determinação, toma-se fácil achar a frequência angular ω, a frequência f e o período T: basta substituir o valor obtido para k nas equações (10), (11) e (1). Vamos usar esse procedimento para examinar diversos exemplos de movimento harmônico simples. MHS NA DIREÇÃO VERTICAL Suponha que penduremos um corpo de massa m em uma mola suspensa verticalmente de constante elástica k (figura 15a). As oscilações agora ocorrem na direção vertical; elas ainda constituem um MHS? Na figura 15b o corpo está suspenso na mola em equilíbrio. Nessa posição, a mola está esticada de um valor Δl suficiente para que a força vertical da mola sobre o corpo k Δl equilibre o peso do corpo mg: k Δl = mg FIGURA 15 Um corpo suspenso na extremidade de uma mola. Considere x = 0 a posição de equilíbrio e oriente o sentido positivo do eixo Ox de baixo para cima. Quando o corpo está a uma distância x acima da posição de equilíbrio (figura 15c), a deformação da mola é Δl - x. Logo, a força de baixo para cima exercida pela mola sobre o corpo é k(δl - x), e o componente x da força total resultante sobre o corpo é F x = k(δl - x) + (-mg) = -kx ou seja, uma força resultante orientada de cima para baixo de módulo igual a kx. Analogamente, quando o corpo está abaixo da posição de equilíbrio, existe uma força resultante orientada de baixo para cima de módulo igual a kx. Em 10

12 qualquer dos casos, existe uma força restauradora de módulo igual a kx. Quando o corpo se move verticalmente, ele oscila em MHS com a mesma frequência angular que teria caso estivesse oscilando na horizontal, k / m. Portanto, o MHS vertical é essencialmente análogo ao MHS horizontal. A única diferença real é que a posição de equilíbrio (ponto x = 0) não corresponde mais ao ponto em que a mola não está deformada. O raciocínio anterior também vale quando um corpo com peso mg é colocado verticalmente sobre uma mola (figura 16) e a comprime até uma distância Δl. FIGURA 16 Quando o peso mg comprime a mola até uma distância Δl, a constante da mola é dada por, k = mg/δl e a frequência angular do MHS vertical é dada por k /m - a mesma que o corpo apresentaria se estivesse suspenso na mola (veja a figura 15). ASSOCIAÇÃO DE MOLAS Agora discutiremos teoricamente as associações de molas em série e em paralelo. Calcularemos a constante elástica resultante para cada associação. 1) Associação em Série Consideremos duas molas como indicado na figura 17: uma mola 1 com constante elástica k 1 e uma mola com constante elástica k. FIGURA 17 Duas molas de constante elástica k 1 e k. Assim, aplicando-se uma força F à mola 1 ela sofrerá uma elongação Δx 1 tal que: F = k 1 Δx 1 e Δx 1 = F/k 1 Se aplicarmos esta mesma força à mola teremos: F = k Δx e Δx = F/k Associando-se estas duas molas em série, como figura 18, e aplicando-se a mesma força F, referida anteriormente, ao conjunto, teremos que o mesmo se comportará como uma mola equivalente de constante elástica k e e sofrerá uma elongação Δx e. FIGURA 18 Associação de duas molas em série. Acontece que uma força F, aplicada à mola inferior da associação em série, se transmite para a outra mola de tal modo que cada mola individualmente estará sujeita a uma mesma força F. Assim, a associação sofrerá uma elongação dada por: Δx e = Δx 1 + Δx Para a associação, temos: F = k e Δx e e Δx e = F/k e Assim, como Δx e = Δx 1 + Δx, teremos: F/k e = = F/k 1 + F/k após dividirmos ambos os lados por F, fica: k k k e 1 11

13 que é a equação que nos dá a constante elástica equivalente da associação em série de duas molas. b) Associação em paralelo Considere o sistema da figura 19 onde um peso P foi suspendido por duas molas. Note que elas serão forçadas a sofrer deformações iguais. FIGURA 19 Associação de duas molas em paralelo. Aplicando a Lei de Hooke para cada mola, temos: F 1 = k 1 Δx e F = k Δx As duas forças somadas são iguais a uma força equivalente F e que é igual ao peso P. Aplicando a Lei de Hooke ao sistema equivalente, temos: F e = k e Δx Mas F e = F 1 + F Com isso teremos: k e Δx = k 1 Δx + k Δx obtendo k e = k 1 + k A equação acima fornece a constante elástica equivalente para uma associação em paralelo de duas molas. Por exemplo, ao cortarmos uma mola de constante elástica k, em duas partes iguais, cada parte terá constante elástica k. De fato, sejam k 1 e k as constantes elásticas das partes. Como são idênticas, temos k 1 = k. Associando as partes em série, recompomos a mola inicial de constante elástica k. Portanto: k k k k 1 = k k k1 k1 Associando-se as partes em paralelo, a mola equivalente tem constante elástica 4k. MHS ANGULAR A figura 0 mostra a roda de balanço de um relógio mecânico. A roda possui um momento de inércia I em torno de seu eixo. Uma mola helicoidal (chamada de mola cabelo) exerce um torque restaurador τ z proporcional ao deslocamento angular θ a partir da posição de equilíbrio. FIGURA 0 A roda de balanço de um relógio mecânico. A mola helicoidal exerce um torque restaurador proporcional ao deslocamento angular θ a partir da posição de equilíbrio. Logo, o movimento é um MHS. Escrevemos τ z =-κθ, onde κ (letra grega 'capa') é uma constante denominada constante de torção. Usando o análogo rotacional da segunda lei de Newton para um corpo rígido, τ z =I.α z = I.d θ /dt, a equação do movimento é d I ou dt I Essa equação possui forma exatamente igual à da equação (4), que fornece a aceleração de um movimento harmônico simples, se substituirmos x por θ e k/m por κ/i. Logo, trata-se da forma angular do movimento harmônico simples. A frequência angular ω e a frequência f são dadas, respectivamente, pelas equações (10) e (11), fazendo-se as mesmas substituições mencionadas: 1 e f [4] I I 1

14 O movimento é descrito pela função θ = Ɵ cos (ωt+ φ) onde Ɵ desempenha o papel de uma amplitude angular. É vantajoso que a oscilação de uma roda de balanço seja um movimento harmônico simples. Caso não fosse, a frequência dependeria da amplitude, e o relógio poderia adiantar ou atrasar quando a mola se desgastasse. 6 O PÊNDULO SIMPLES Um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído por um corpo puntiforme suspenso por um fio inextensível de massa desprezível. Quando o corpo puntiforme é puxado lateralmente a partir da sua posição de equilíbrio e a seguir libertado, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. Algumas situações familiares, como uma bola de demolição presa ao cabo de um guindaste ou uma criança sentada em um balanço (figura 1a), podem ser consideradas pêndulos simples. A trajetória do corpo puntiforme (algumas vezes chamado de peso) não é uma linha reta, mas um arco de circunferência de raio L igual ao comprimento do fio (figura 1b). Usaremos como coordenada a distância x medida ao longo do arco. Para que a oscilação seja um movimento harmônico simples é necessário que a força restauradora seja diretamente proporcional à distância x ou a θ (porque x = Lθ). Será que isso está correto? Na figura 1b, representamos a força sobre o peso em termos do componente radial e do componente tangencial. FIGURA 1 A dinâmica de um pêndulo simples. A força restauradora F é o componente tangencial da força resultante: F θ = -mg senθ [5] A força restauradora é fornecida pela gravidade; a tensão T atua meramente para fazer o peso puntiforme se deslocar ao longo de um arco. A força restauradora não é proporcional a θ, mas sim a senθ; logo, o movimento não é harmônico simples. Contudo, quando o ângulo θ é pequeno, senθ é aproximadamente igual ao ângulo θ em radianos (figura ). FIGURA Em deslocamentos angulares pequenos θ, a força restauradora F θ = -mg senθ sobre um pêndulo simples é aproximadamente igual a -mgθ, isto é, é aproximadamente proporcional ao deslocamento θ. Assim, para ângulos pequenos, as oscilações são movimentos harmônicos simples. Por exemplo, quando θ = 0,1 rad (aproximadamente igual a 6 ), sen θ = 0,0998, uma diferença de apenas 0,%. Com essa aproximação, podemos escrever a equação (5) na forma 13

15 x mg F mg mg ou F x [6] L L A força restauradora é então proporcional à coordenada para pequenos deslocamentos, e, então a constante elástica é representada por k = mg/l. Pela equação (10), a frequência angular ω de um pêndulo simples com amplitude pequena é dada por k mg / L g [7] m m L A frequência e o período correspondentes são dados por 1 g f L [8] 1 L T f g [9] Note que as relações anteriores não envolvem a massa da partícula. Isso ocorre porque a força restauradora, que é um componente do peso da partícula é proporcional a m. Logo, a massa é cancelada porque aparece em ambos os membros da equação F ma (Esse raciocínio físico é o mesmo usado para mostrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração no vácuo.) Em pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples para um dado valor de g é determinado exclusivamente pelo seu comprimento. A dependência de L e g indicada nas equações (7), (8) e (9) é exatamente o que era esperado. Um pêndulo comprido possui um período maior do que um pêndulo curto. Quando g aumenta, a força restauradora toma-se maior, fazendo aumentar a frequência e diminuir o período. Enfatizamos, mais uma vez, que o movimento do pêndulo simples é aproximadamente harmônico simples. Quando a amplitude não é pequena, o desvio do comportamento harmônico simples pode ser significativo. Porém, como estabelecer o limite para 'pequeno'? O período pode ser desenvolvido em uma série infinita; quando o deslocamento angular máximo é θ, o período T é dado por L T 1 sen sen... [30] g.4 Podemos calcular o período com a precisão desejada se tomarmos na série o número de termos necessários. Convidamos você a mostrar que quando θ = 15 (para cada lado da direção vertical central), o período real é cerca de 0,5% maior do que o período aproximado indicado pela equação (9). A utilidade de um pêndulo para medir o tempo depende do fato de o período ser aproximadamente independente da amplitude, desde que a amplitude seja pequena. Portanto, quando um relógio de pêndulo envelhece e a amplitude das oscilações diminui um pouco, o relógio continua a medir o tempo de modo aproximadamente correto. 7 O PÊNDULO FÍSICO Um pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo com volume finito, em contraste com o modelo idealizado do pêndulo simples, que usa um corpo cuja massa está concentrada em um único ponto. Para oscilações pequenas, analisar o movimento de um pêndulo físico é quase tão fácil quanto analisar o movimento de um pêndulo simples. A figura 3 mostra um corpo de forma irregular suspenso por um pivô e girando sem atrito ao redor de um eixo que passa pelo ponto O. FIGURA 3 Dinâmica de um pêndulo físico. 14

16 Na posição de equilíbrio, o centro de gravidade está diretamente abaixo do pivô; na posição indicada na figura, o corpo está deslocado de um ângulo θ, que nós usaremos como a coordenada do sistema. A distância entre o ponto O e o centro de gravidade é d; o momento de inércia do corpo em torno do eixo de rotação passando pelo ponto O é I e a massa total é igual a m. Quando o corpo é deslocado conforme indicado, o peso mg produz um torque restaurador τ z = - (mg) (d senθ) [31] O sinal negativo mostra que o torque restaurador possui sentido anti-horário quando o deslocamento possui sentido horário, e vice-versa. Quando o corpo é liberado, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. O movimento não é harmônico simples, porque o torque restaurador não é proporcional a θ, mas sim a sen θ. Contudo, quando o ângulo θ é pequeno, podemos novamente aproximar sen θ por θ em radianos, como fizemos ao analisar o pêndulo simples. Dessa forma, o movimento é aproximadamente harmônico simples. Com essa aproximação, τ z = -(mgd)θ A equação do movimento é τ z = Iα z, logo d (mgd) I I dt z d mgd [3] dt I Comparando esse resultado com a equação (4), vemos que o termo (k/m) do sistema massa-mola é análogo ao termo (mgd/l). Portanto, a frequência angular é dada por mgd [33] I A frequência f é ω/π, e o período T é dado por I T [34] mgd A equação (34) é a base para a determinação do momento de inércia de um corpo com forma complicada. Inicialmente, localizamos o centro de gravidade do corpo efetuando testes de equilíbrio. A seguir, o corpo é suspenso de modo que possa girar livremente em torno de um eixo, e medimos o período T das oscilações com amplitude pequena. Usando-se a equação (34), o momento de inércia I em torno desse eixo pode ser calculado a partir de T, da massa m e da distância dentre o eixo e o centro de gravidade. Pesquisadores de biomecânica usam esse método para calcular o momento de inércia das pernas de animais. Essa informação é importante para analisar como um animal caminha. 8 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS Os sistemas oscilantes ideais que foram discutidos até o momento não possuíam atrito. Nesses sistemas as forças são conservativas, a energia mecânica total é constante e, quando o sistema começa a oscilar, ele continua oscilando eternamente sem nenhuma diminuição da amplitude. Os sistemas reais sempre possuem alguma força não conservativa e a amplitude das oscilações vai diminuindo com o tempo, a menos que seja fornecida alguma energia para suprir a dissipação da energia mecânica. Um relógio de pêndulo mecânico continua a oscilar porque a energia potencial acumulada em uma mola ou em sistema de pesos suspensos é usada para suprir a dissipação da energia mecânica no pivô e nas engrenagens. Porém, a mola acaba se desgastando, ou os pesos acabam atingindo o final de seus percursos. Então não existe mais energia disponível, e a amplitude das oscilações diminui até o pêndulo parar. A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa denomina-se amortecimento e o movimento correspondente denomina-se oscilação amortecida. O caso mais simples a ser examinado em detalhe é um oscilador harmônico simples com uma força de atrito amortecedora diretamente proporcional à velocidade do corpo que oscila. Esse comportamento ocorre no escoamento de um fluido viscoso, tal como em um amortecedor ou no caso do atrito entre superfícies lubrificadas com óleo. Nesse caso, existe uma força de atrito adicional que atua sobre o corpo, dada por F x = -bv x, onde v x = dx/dt é a velocidade e b é uma constante que descreve a intensidade da força de amortecimento. O sinal negativo indica que a força possui sempre um sentido contrário ao da velocidade. Portanto, a força resultante sobre o corpo é dada por F x = -kx - bv x [35] e a segunda lei de Newton para o sistema é dx d x kx bv x max ou kx b m dt dt [36] 15

17 A equação (36) é uma equação diferencial para x; a única diferença entre ela e a equação (4) que fornece a aceleração no MHS é que ela possui um termo adicional -bdx/dt. Essa equação pode ser resolvida facilmente pela teoria das equações diferenciais, porém não daremos os detalhes dessa solução aqui. Quando a força de amortecimento é relativamente pequena, o movimento é descrito por (b/m)t x Ae cos( 't ) [37] A frequência angular ω' é dada por k b ' m 4m [38] Podemos verificar que a equação (37) é uma solução da equação (36) calculando a primeira e a segunda derivadas de x, substituindo o resultado na equação (36) e conferindo se o membro esquerdo é igual ao membro direito. Esse procedimento é muito simples, porém trabalhoso. O movimento descrito pela equação (37) difere do caso sem amortecimento de dois modos. Primeiro, a amplitude Ae -(b/m)t não é constante e diminui com o tempo por causa do fator decrescente e -(b/m)t. A figura 4 é um gráfico da equação (37) para um ângulo de fase φ = 0; ela mostra que, quanto maior for o valor de b, mais rapidamente diminuirá a amplitude. Segundo, a frequência angular ω', dada pela equação (38), não é mais igual k / m e sim ligeiramente menor. Ela tende a zero quando b é tão grande que k b 0 ou b km [39] m 4m Quando a equação (39) é satisfeita, ocorre o chamado amortecimento crítico. O sistema não oscila mais e, ao ser deslocado e libertado, retoma para sua posição de equilíbrio sem oscilar. FIGURA 4 Gráfico do deslocamento em função do tempo de um oscilador com leve amortecimento e com um ângulo de fase φ = 0. As curvas mostram dois valores da constante de amortecimento b. A condição b maior do que km corresponde ao superamortecimento. Novamente o sistema não oscila, porém retoma para sua posição de equilíbrio mais lentamente do que no caso do amortecimento crítico. Para o caso do superamortecimento, as soluções da equação (36) possuem a seguinte forma: a1 t a t x C1e Ce onde C 1 e C são constantes que dependem das condições iniciais, e a 1 e a são constantes determinadas por m, k e b. Para b menor do que o valor crítico, quando a equação (37) é satisfeita, a condição denomina-se subamortecimento. O sistema oscila com uma amplitude que diminui continuamente. Em um diapasão vibrando ou na corda de um violão, geralmente deseja-se o menor amortecimento possível. Em contraste, o amortecimento tem um efeito benéfico no sistema de suspensão de um automóvel. As forças de amortecimento de um carro dependem da velocidade e impedem que ele oscile eternamente ao passar por alguma saliência em seu caminho (figura 5). Para o maior conforto do passageiro, o sistema deve ser criticamente amortecido ou ligeiramente subamortecido. Amortecimento demais produzirá um resultado oposto ao esperado; se a suspensão estiver superamortecida e o carro passar por outra saliência logo após a primeira, as molas da suspensão ainda estarão comprimidas devido ao primeiro solavanco e não conseguirão absorver completamente o impacto. 16

18 FIGURA 5 Amortecedor de um carro. O fluido viscoso produz uma força de amortecimento que depende da velocidade relativa entre as duas extremidades da unidade. ENERGIA EM OSCILAÇÕES AMORTECIDAS Nas oscilações amortecidas, a força do amortecimento não é conservativa; a energia mecânica do sistema não é constante e diminui continuamente, tendendo a zero depois de um tempo longo. A fim de deduzir uma expressão para a taxa de variação da energia, inicialmente escrevemos uma expressão para a energia mecânica total E em qualquer instante: 1 1 E mvx kx A derivada da equação anterior em relação ao tempo é dada por: de dvx dx mv x kx dt dt dt Porém, dv x /dt = a x e logo, dx/dt = v x, então de v x(ma x kx) dt Pela equação (36), ma x + kx = - bdx/dt,= -bv x, logo de v x( bv x) bvx dt [40] O membro direito da equação (40) é sempre negativo, independentemente de v x ser positivo ou negativo. Isso mostra que, quando o corpo se move, a energia diminui continuamente, embora com uma taxa não uniforme. O termo bv x = (-bv x ) v x (força vezes velocidade) é a taxa com a qual a força do amortecimento realiza trabalho (negativo) sobre o sistema (ou seja, é a potência do amortecimento). Ela é igual à taxa de variação da energia mecânica total do sistema. Um comportamento semelhante ocorre em circuitos elétricos contendo indutores, capacitares e resistores. Existe uma frequência natural da oscilação, e a resistência desempenha o papel da constante de amortecimento b. Em tais circuitos é desejável a minimização do amortecimento, mas o amortecimento não pode ser eliminado completamente. 9 OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Quando um oscilador amortecido é deixado livre, suas oscilações tendem a parar. Porém, podemos manter constante a amplitude das oscilações aplicando uma força que varia periodicamente, com dado período e uma frequência fixa. Como exemplo, considere uma criança oscilando no balanço de um playground. Você pode manter constante a amplitude das oscilações se fornecer à criança um pequeno empurrão ao final de cada ciclo. Essa força adicional é chamada de força propulsora. OSCILAÇÕES AMORTECIDAS COM UMA FORÇA PROPULSORA PERIÓDICA Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente com uma frequência angular ω d a um oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é uma oscilação forçada ou uma oscilação com força propulsora. Trata-se de um movimento diferente do ocorrido quando simplesmente deslocamos o sistema da sua posição de equilíbrio e o deixamos livre; nesse caso, o sistema oscila com uma frequência angular natural ω' determinada por m, k e b, como na equação (38). Contudo, no caso de uma oscilação forçada, a frequência angular da oscilação da massa é igual à frequência angular da força propulsora ω d. Essa frequência não é igual à frequência angular 17

19 ω com a qual o sistema oscilaria caso não estivesse submetido à ação da força. Quando você segura as cordas do balanço da criança, pode forçá-la a oscilar com qualquer frequência que desejar. Suponha que você force o oscilador a vibrar com uma frequência angular ω d igual à frequência angular ω' com a qual ele oscilaria sem a ação de nenhuma força. O que ocorreria? O oscilador teria uma tendência natural a oscilar com uma frequência angular ω = ω', então é de se esperar que a amplitude da oscilação seja maior do que a amplitude existente quando as frequências são muito diferentes. Uma análise detalhada e dados experimentais mostram que isso é exatamente o que ocorre. O caso mais simples a ser analisado é o de uma força que varia senoidalmente, com a forma F(t) = F máx.cos ω d t. Quando variamos a frequência angular ω d da força propulsora, a amplitude da oscilação forçada resultante varia de modo interessante (figura 6). Quando existe um amortecimento muito pequeno (b pequeno), a amplitude tende a crescer fortemente até atingir um pico agudo, quando a frequência angular ω d da força propulsora torna-se igual à frequência angular natural ω'. Quando o amortecimento é aumentado (b maior), o pico se torna mais largo, a amplitude se torna menor e se desloca para frequências menores. FIGURA 6 Gráfico da amplitude A da oscilação forçada de um oscilador harmônico amortecido em função da frequência angular ω d da força propulsora. O eixo horizontal indica a razão entre a frequência angular ω d e a frequência angular k /m amortecimento b. da oscilação natural não amortecida. Cada curva apresenta um valor diferente da constante de Podemos deduzir uma expressão que mostra como a amplitude A da oscilação forçada depende da frequência angular de uma força propulsora senoidal, que possui um valor máximo F máx. Isso exige a solução de equações diferenciais que você ainda não está preparado para resolver, porém o resultado obtido é: Fmáx A [41] (k m ) b d d Quando k mω d = 0 (o primeiro termo sob o sinal da raiz quadrada for igual a zero), o valor de A torna-se máximo para ' k /m. A altura da curva nesse ponto é proporcional a 1/b; quanto menor for o amortecimento, mais elevado se torna o pico. No caso extremo de baixas frequências, quando ω d = 0, obtemos A = F máx /k. Esse resultado era de se esperar, porque ele corresponde a uma força constante F máx e a um deslocamento constante A = F máx /k. A RESSONÂNCIA E SUAS CONSEQUÊNCIAS A ressonância é o fenômeno que ocorre quando existe um pico de amplitude provocado por uma força cuja frequência está próxima da frequência da oscilação natural do sistema. A física está repleta de exemplos de ressonância; um desses exemplos é criar oscilações com grande amplitude empurrando uma criança em um balanço com uma frequência igual à frequência da oscilação natural do balanço. As fortes vibrações que ocorrem em um carro quando o motor gira em determinadas rotações, ou quando a velocidade das rodas atinge determinados valores, são exemplos familiares de ressonâncias. Um alto-falante barato geralmente produz um ruído desagradável quando uma nota musical coincide com a frequência da oscilação natural da caixa ou do cone do alto-falante. Em capítulos posteriores estudaremos outros exemplos de ressonância que envolvem som. Circuitos elétricos também apresentam ressonância: os circuitos de sintonia do rádio ou da televisão respondem fortemente a ondas que possuam uma frequência próxima 18

20 da frequência de ressonância do respectivo circuito, e esse fato é usado para selecionar uma emissora e rejeitar as outras. A ressonância de um sistema mecânico pode ser destrutiva. Uma tropa de soldados, em certa ocasião, destruiu uma ponte porque a atravessou em passo de marcha; a frequência da marcha era próxima da frequência da vibração natural da ponte, e o crescimento das amplitudes da oscilação resultante foi suficiente para quebrá-la. Desde que ocorreu esse desastre, os soldados são orientados a não marcharem de modo cadenciado ao atravessar uma ponte. Há alguns anos, as vibrações do motor de um avião atingiram uma frequência próxima da frequência de ressonância das asas do avião. As oscilações se somaram e as asas se partiram. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Um transdutor ultrassônico (uma espécie de alto-falante), usado para diagnóstico médico, oscila com uma frequência igual a 6,7 MHz = 6, Hz. Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular? Usando as equações (1) e (), obtemos T 1,5.10 s 6 f 6, f.(6,7.10 ) 4,.10 rad / s Trata-se de uma vibração muito rápida, com valores elevados de f e ω e um valor pequeno para T. Em uma vibração lenta, f e ω são pequenos, e T é elevado. 0 Uma partícula move-se ao longo de um eixo Ox, obedecendo à função x = cos π t (SI), em que x é a elongação e t é o tempo. Obtenha: a) a amplitude, a pulsação, o período, a frequência e a fase inicial do movimento; b) os valores máximos da velocidade escalar e da aceleração escalar da partícula; c) o gráfico da elongação em função do tempo, no intervalo de t = 0 a t = s. a) Temos: x = cos π t e x = A cos (ω t + ϕ 0 ). Comparando essas expressões, termo a termo, vem: A = m (amplitude) ω = π rad/s (pulsação) T s T T 1 1 f f f 0,5 Hz T 0 0 b) Temos: v máx = ω A e a máx = ω A, então: v máx = π v máx = π m/s a máx = π a máx = π m/s c) Vamos calcular a elongação nos instantes t = 0, t = 0,5 s, t = 1 s, t = 1,5 s e t = s: t = 0 x = cos (π 0) x = m t = 0,5 s x = cos (π 0,5) x = 0 t = 1 s x = cos (π 1) x = m t = 1,5 s x = cos (π 1,5) x = 0 t = s x = cos (π ) x = m Agora, vamos construir o gráfico pedido: 19

21 03 Uma partícula realiza um MHS (movimento harmônico simples) segundo a equação x = 0, cos (π/ + π/ t), no SI. A partir da posição de elongação máxima, o professor Gomes pede que se determine o menor tempo que esta partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio. Δt = T/4 ω = π/t π/ = π/t T = 4s Portanto: Δt = T/4 = 4/4 Δt = 1 s 04 Uma partícula move-se obedecendo à função horária x = cos (4π t + π/), com x em metros e t em segundos. Determine: a) o período do movimento; b) a velocidade escalar da partícula em t = 1 s; c) a aceleração escalar da partícula em t = 5 s. a) ω = π/t 4 π = π/t T = 0,5 s b) v = ω A sen (ω t + ϕ 0 ) v = 4 π sen (4 π 1 + π/) v = 8 π m/s c) a = ω A cos (ω t + ϕ 0 ) a = 16 π cos (4 π 5 + π/) = 16 π 0 a = 0 05 A figura abaixo representa um corpo mantido em repouso, preso a uma mola ideal e apoiado em uma superfície plana e horizontal. A mola está comprimida de 10 cm. No instante t = 0, o corpo é abandonado e passa a realizar um movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio O, que é a origem do eixo Ox, completando duas oscilações por segundo. Determine a função horária da velocidade escalar (v) desse corpo. v = ω A sen(ωt + ϕ 0 ) A = 10 cm = 0,1 m f = Hz ω = πf = π. ω = 4 π rad/s x = A cos(ωt + ϕ 0 ) Em t = 0, x = A: A = A cos ϕ 0 cos ϕ o = 1 ϕ 0 = π rad Portanto: v = 4 π 0,1 sen(4 π t + π) 06 Duas partículas executam movimentos harmônicos simples com uma mesma amplitude e período ao longo da mesma linha. Qual é a diferença de fase entre elas, se elas cruzam quando o seu alongamento é metade da amplitude? No instante t em que as partículas passam uma pela outra, x 1 = x = x m /, em que x 1 = x m cos(ωt +φ 1 ) e x = x m cos(ωt +φ ). A conclusão é que cos(ωt + φ 1 ) = cos(ωt + φ ) = 1/ e, portanto, as fases (os argumentos dos cossenos) são iguais a π/3 ou π/3. Sabemos também que no instante t as partículas estão se movendo em sentidos opostos. Como as velocidades das partículas no instante t são v 1 = x m ω sen(ωt +φ 1 ) e v = x m ω sen(ωt +φ ) devemos ter sen(ωt + φ 1 ) = sen(ωt + φ ). Para isso, as fases devem ter sinais opostos. Assim, uma das fases é π/3 e a outra é π/3 e a diferença de fase é π/3 ( π/3) = π/3. 07 Qual é a equação do MHS representado no gráfico a seguir? 0

22 Do gráfico, temos que: A = 4 cm, T = 8 s α 0 = -π/ e ω = π/4 rad/s, então, a equação x = A sen (ωt + α 0 ) pode ser escrita como: x 4sen t 4 cm 08 A extremidade esquerda de uma mola horizontal é mantida fixa. Ligamos um dinamômetro na extremidade livre da mola e puxamos para a direita (figura a); verificamos que a força que estica a mola é proporcional ao deslocamento e que uma força de 6,0 N produz um deslocamento igual a 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e amarramos a extremidade livre a um corpo de 0,50 kg, puxamos o corpo até uma distância de 0,00 m, o libertamos e observamos o MHS resultante (figura b). a) Calcule a constante da mola. b) Calcule a frequência, a frequência angular e o período da oscilação. a) Quando x = 0,030 m, a força que a mola exerce sobre o dinamômetro é F = 6,0 N. Usando a equação (3), Fx 6,0 k 00N / m x 0,030 b) Substituindo m = 0,50 kg na equação (10), encontramos k 00 0 rad / s m 0,50 A frequência f é 0 f 3,ciclos / s 3,Hz O período T é o inverso da frequência f: 1 1 T 0,31s f 3, 09 Vamos retornar à mola horizontal discutida no exercício anterior. A constante da mola é k = 00 N/m, e a mola está ligada a um corpo de massa m = 0,50 kg. Desta vez, forneceremos ao corpo um deslocamento inicial de +0,015 m e uma velocidade inicial de +0,40 m/s. a) Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. b) Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo. a) O período é exatamente igual ao obtido no exercício anterior, T = 0,31 s. Em um movimento harmônico simples o período não depende da amplitude, somente dos valores de k e de m. No exercício anterior, descobrimos que ω = 0 rad/s. Logo, conforme a equação (19), v 0x (0,40) A x 0 (0,015) 0,05m (0) 1

23 Para achar o ângulo de fase φ, usamos a equação (18): v 0x 0,40 arctg arctg 53 0,93rad x 0 (0).(0,015) b) O deslocamento, a velocidade e a aceleração em qualquer instante são dados pelas equações (13), (15) e (16), respectivamente. Substituindo os valores, obtemos x = (0,05 m) cos [(0 rad/s)t - 0,93 rad] v x = - (0,50 m/s) sen [(0 rad/s)t - 0,93 rad] a x = - ( 10 m/s ) cos [(0 rad/s)t - 0,93 rad] A velocidade varia senoidalmente entre -0,50 m/s e +0,50 m/s, e a aceleração varia senoidalmente entre -10 m/s e +10 m/s. 10 Deixa-se o quilograma-padrão (1,0 kg) oscilar livremente na extremidade de uma mola ideal, sendo que ele o faz com frequência igual a 1,0 Hz. Em seguida, retira-se o quilograma-padrão e coloca-se, em seu lugar, um corpo de massa desconhecida m, que oscila com frequência igual a 0,50 Hz. Determine a massa m. 1 k 1 1 k 1 m f m 4kg m 1 k 1 0,5 m 11 Um corpo está preso a uma mola, como mostra a figura abaixo: Se o corpo é deslocado para x = 10,0 m e liberado a partir do repouso no tempo t = 0, ele irá oscilar com amplitude A = 0,10m e ângulo de fase φ = 0. a) Suponha agora que em t = 0 o corpo esteja em x = 0,10 m e movendo-se para a direita, conforme a figura. Nessas condições, a amplitude é maior, menor ou igual, se comparada ao valor anterior de 0,10 m? E o ângulo de fase é maior do que zero, menor do que zero ou igual a zero? b) Suponha, desta vez, que em t = 0 o corpo esteja em x = 0,10 m e movendo-se para a esquerda, conforme a figura. Nessas condições, a amplitude é maior, menor ou igual, se comparada ao valor anterior de 0,10 m? E o ângulo de fase é maior do que zero, menor do que zero ou igual a zero? a) A > 0,10 m, φ < 0; b) A > 0,10 m, φ > 0. Em ambas as situações, a velocidade inicial v 0x no eixo Ox em t = 0 não é nula. Portanto, pela equação (19), a amplitude A x v / é maior do que a coordenada inicial no eixo Ox x 0 = 0,10 m. Pela equação x (18), o ângulo de fase é dado por φ = arc tg ( v 0x /ωx 0 ), sendo positivo se a grandeza v 0x /ωx 0 (o argumento da função arco tangente) for positivo, e negativo se v 0x /ωx 0 for negativo. Na parte (a) x 0 e v 0 são ambos positivos, portanto v 0x /ωx 0 < 0 e φ < 0. Na parte (b), x 0 é positivo e v 0x é negativo, portanto v 0x /ωx 0 > 0 e φ > 0. 1 a) Para dobrar a energia total em um sistema massa-mola que oscila em MHS, de que fator deve a amplitude aumentar? b) De que fator irá variar a frequência devido a esse aumento na amplitude? a) Para aumentar a energia total E= ½ ka de um fator, a amplitude A deve ser aumentada de um fator. b) Não se altera. Como se trata de um MHS, a variação da amplitude não exerce nenhum efeito sobre a frequência. 13 Um corpo de massa M está preso à extremidade de uma mola e oscila na vertical. Despreze a resistência do ar. Determine o período das oscilações em função da constante da mola k, de M e de m(massa da mola). Tudo se passa como se tivéssemos uma mola ideal de massa desprezível, ligada a um corpo de massa M mais um corpo de massa m' equivalente à massa da mola considerada. Contudo, m' não é igual a m, porque a velocidade de vibração das espiras da mola de massa m não é constante. Vamos resolver este problema com o chamado método da massa efetiva, que é um método muito usado em diversas partes da Física. O método consiste em determinar a energia

24 cinética total do sistema que está sendo estudado, e associar a esta energia cinética o valor (m'v /), onde m' é a massa equivalente do sistema. Para determinar a massa equivalente devemos, portanto, calcular a energia cinética da mola. Seja L o comprimento da mola e dz o comprimento de um elemento da mola de massa infinitesimal dm. A energia cinética infinitesimal deste elemento de massa será: m v dec dm (i) onde v m, é a velocidade do elemento de massa dm. A densidade linear da mola é dada pela relação entre a massa da mola e o comprimento L da mola. Deste modo, o elemento de massa dm pode ser escrito na forma: m dm dy (ii) L Por outro lado, a velocidade v m do elemento de massa dm varia linearmente, desde zero na extremidade superior da mola até a velocidade v na extremidade inferior da mola. Donde se conclui que a velocidade de cada elemento é dada por: y vm v (iii) L Substituindo-se as relações (ii) e (iii) na equação (i), tem-se: E L mv c 3 L 0 y dy Integrando-se esta equação, obtém-se: 1 m 1 Ec v m'v 3 Da equação anterior, vimos que a energia cinética da mola é igual a energia cinética de um corpo de massa m = m/3 preso na extremidade da mola e se deslocando com uma velocidade v. Podemos, então, substituir o sistema considerado por um sistema constituído por uma mola de massa desprezível, sustentando uma massa efetiva dada por: m ef = m' + M onde m' = m/3 é a massa equivalente da mola. Este raciocínio também pode ser estendido para o sistema massa-mola oscilando sobre um plano horizontal. O período das oscilações do sistema considerado, oscilando na vertical, será, portanto, dado pela expressão: m M (m / 3) k k ef T 14 Um bloco com 4 kg de massa está em repouso apoiado num plano horizontal sem atrito, preso a uma mola ideal de constante elástica 400 N/m (figura a). Quando o bloco é afastado 0,5 m de sua posição inicial e abandonado, ele oscila em movimento harmônico simples (figura b). Determine: a) o período do movimento do bloco; b) a energia mecânica do sistema massa-mola; c) a representação gráfica do valor algébrico da força resultante, em função da elongação; d) a representação gráfica da energia potencial e da energia cinética, em função da elongação. a) O período é dado por: m T k Sendo m = 4 kg e K = 400 N/m, temos: 4 T T 0, s 400 3

25 b) A energia mecânica do sistema é dada por: ka Em Sendo K = 400 N/m e a amplitude A = 0,5 m, temos: 400.0,5 Em Em 50J c) O valor algébrico da força resultante é dado por: F = K x F = 400x (SI) d) A energia potencial é dada por: kx EP EP 00x A energia cinética é dada por: E c = E m E p E c = 50 00x (SI) Representando graficamente, obtemos: 15 Uma caixa de massa M está sobre um piso horizontal. O coeficiente de atrito entre a caixa e o piso é igual a μ. Dentro da caixa encontra-se um corpo de massa "m" que pode mover-se sem atrito na parte inferior da caixa. Este corpo é fixado à parede por meio de uma mola cuja constante elástica é k. Determine a amplitude de oscilação do corpo para a caixa começar a mover-se sobre o piso? Na figura abaixo representamos as forças envolvidas: Na iminência de movimento temos: F = f at(máx) com F = ka e f at(máx) = μn com N = (m + M)g, logo: ka = μ(m + M)g, logo A = μ(m + M)g/k 4

26 16 Um corpo de massa m 1 está ligado a uma das extremidades da mola (de constante elástica K) indicada na figura abaixo. Na outra extremidade da mola existe um corpo de massa m. Despreze o atrito. Determine a frequência do movimento harmônico simples resultante quando o sistema é posto a oscilar. Seja I o comprimento normal da mola, isto é, o comprimento da mola quando ela não está sob tensão. A partir desta posição de equilíbrio, suponha que a massa m 1 seja deslocada de uma distância x; de acordo com a figura abaixo podemos escrever: x = x 1 x l (i) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao bloco de massa m 1 e usando-se da lei de Hooke, tem-se: d x 1 m1 kx (ii) dt De acordo com a terceira lei de Newton, a mola exerce sobre m 1 uma força igual e contrária à força exercida sobre m. Aplicando-se a segunda lei de Newton sobre o corpo de massa m, obtém-se: d x m kx (iii) dt Multiplicando-se a relação (ii) por m e a relação (iii) por m 1 e subtraindo-se membro a membro as equações resultantes, encontra-se: d m1m x 1 x kx(m 1 m ) (iv) dt De acordo com a relação (i), tem-se: d x d (x x ) 1 dt dt Usando a relação anterior vemos que a equação (iv) se reduz a: d x k x (v) dt Mr onde M r, é a massa reduzida dada por: M m 1.m r (vi) m m 1 Examinando a equação (v), vemos que o problema das oscilações de um oscilador harmônico com duas massas em suas extremidades é análogo ao problema do oscilador com somente uma massa igual a M r. Então vemos facilmente que a frequência das oscilações deste sistema é dada por: 1 k f M r onde a massa M r é dada pela equação (vi). Em muitos problemas da Física Molecular e de Física Nuclear o conceito da massa reduzida é muito importante para estudar sistemas de duas partículas. Por exemplo, considere uma molécula diatômica; podemos estudar as oscilações desta molécula com o modelo deste problema em função da massa reduzida dada pela equação (vi). 17 Duas molas de comprimento natural 0, m cada uma e de constante elástica k 1 = 1 N/m e k = 3 N/m, respectivamente, estão ligadas por um de seus extremos a um bloco de massa 1 kg que pode se mover, sem atrito, sobre uma superfície horizontal. As outras extremidades das molas se unem a dois postes fixos localizados a 0,1 m dos extremos das molas, como mostrado na figura abaixo. 5

27 a) Encontre a posição de equilíbrio do bloco quando as molas forem presas aos postes fixos. b) Mostre que a constante elástica do conjunto de molas é de 4 N/m. c) Se deslocarmos ligeiramente o bloco de sua posição de equilíbrio e deixá-lo oscilar, qual será seu período de oscilação? a) Ao ligar seus extremos livres aos postes fixos, as forças elásticas sobre o bloco são iguais, logo: k 1 x 1 = k x x 1 = 3x Porém x 1 + x = 0,1 + 0,1 = 0,, portanto, x 1 = 0,15 m e x = 0,05 m O bloco, então, se encontrará situado a uma distância do poste da esquerda de d = 0,15 + 0, = 0,35 m e do poste da direita de d = 0,05 + 0, = 0,5 m. b) Ao movermos o bloco de uma distância x para a direita da posição de equilíbrio achada anteriormente, teremos: F = F 1 F = k 1 (0,15 + x) k (0,05 x) = kx k 1.0,15 + k 1.x k.0,05 + k.x = kx como k 1.0,15 = k.0,05, teremos finalmente que: k 1.x + k.x = kx logo k = k 1 + k = 4 N/m c) O período de oscilação do sistema será: m 1 T T T s k 4 18 O corpo de massa m é deslocado de uma distância x para baixo no plano inclinado a partir de sua posição de equilíbrio e, então, é solto em repouso (ver figura abaixo). Considere a mola, os cabos e a roldana como ideais. Encontre a frequência de vibração do corpo. Observe a figura abaixo: Dela, temos que: T/ = K(Δx) T = 4KΔx mgsenθ T = ma No equilíbrio: mgsenθ = 4K(x eq l 0 ) x eq l 0 = mgsenθ / 4K Portanto: - 4Kx = ma a = - (4K/m)x ω = 4K/m Logo: f = (1/π)(K/m) 1/ 6

28 19 Uma corda vertical de comprimento L = 1 m é tensionada devido a uma massa de 0 kg ligada ao seu extremo como mostra a figura abaixo. No centro da corda há uma pequena massa de 1 g. Movemos a pequena massa de sua posição de equilíbrio por uma pequena distância x e a deixamos ir livremente. a) Mostre que a pequena massa se move em M.H.S.; b) Determine sua frequência angular de vibração. a) Como a massa de 0 kg é muito maior do que a massa de 1 g, podemos desprezar o efeito do seu peso, e teremos o diagrama de corpo livre mostrado na figura abaixo. Aplicando a segunda lei de Newton às componentes horizontais: ma = -T senα onde, por geometria: senα = x/l/ = x/l Onde obtemos: F = -4Tx/L Então precisamos determinar a tensão T da corda. Para determinar isolamos o corpo de 0 kg ao qual está ligado à corda. Se a pequena massa sofre uma pequena oscilação, podemos assumir que esse corpo quase não se move, então: F y = 0 Tcosα Mg = 0 Além disso, se a oscilação é muito pequena, o ângulo também é muito pequeno, por isso podemos aproximar: cos α = 1 Então: Tcosα - Mg = 0 T - Mg = 0 T = Mg Se substituirmos esta expressão, teremos o movimento da pequena massa: F = -4(Mg/L) x Como podemos ver, temos a expressão de um movimento harmônico simples, como queríamos provar. b) Na equação da frequência angular teremos: k m com k = 4Mg/L, então 4Mg ml. Substituindo os valores obtemos: ω = 885,4 rad/s 7

29 0 Os dois planos da figura abaixo não tem atrito. Mostrar que, se um corpo sem velocidade inicial é liberado de uma 4 h altura h, o movimento resultante é periódico, mas não harmônico e o período é dado por T. sen g Sugestão: (Mostre que a força que age sobre o corpo é constante. O período é de 4 vezes o tempo de queda). A figura abaixo representa a força que atua na esfera em todo o instante: A força resultante que atua sobre o corpo tem direção do plano inclinado e aponta para o ponto de equilíbrio. Seu módulo é dado por F r = mgsenα. Esta força em todo o momento é constante e não depende da distância do ponto de equilíbrio, em consequência este movimento oscilatório não é harmônico simples. Da figura, a aceleração com que a esfera se move é: Fr mgsen a gsen m m Também da figura, a distância percorrida entre A e B é: h d sen Por outro lado, o tempo entre A e B é: 1 d v0t at h 1 0 (gsen )t sen h 1 t g sen Logo, o período do movimento oscilatório que o corpo realiza é: 4 h T 4t sen g 1 Considere um sistema composto por uma massa m e uma mola de constante elástica k. Se a mola é cortada ao meio, e a mesma massa m é posta a oscilar na metade da mola, determine: a) A nova constante da mola k'. b) O novo período de oscilação. a) Suponhamos que a mola original seja formada por duas molas iguais de constante k cada uma e cujo equivalente seja k. Pela relação da associação de molas, temos que (ver figura a abaixo): 8

30 1/k = 1/k + 1k k = k b) Então para o esquema mostrado na figura b teremos: m T T k ' m k Na figura abaixo é mostrada uma massa m = 4 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito, preso entre duas molas de constante elástica k = 00 N/m. As molas estão fixadas nos pinos A e B, e tem um comprimento natural L 0 = 15 cm. Determine a) A força restauradora para um pequeno deslocamento x. b) A frequência angular do movimento para pequenos valores de x. a) Da decomposição das forças como na figura abaixo, encontramos que: ΣF y = Fsenθ = k(l L 0 )senθ Para pequenos deslocamentos θ << 5 temos que: senθ = tgθ = x/l de onde obtemos: (L L 0) F k x L b) Do resultado anterior encontramos a constante elástica equivalente do sistema e como consequência, a frequência angular: (L L ) keq 100 e então 5 rad / s L m 4 0 keq k keq 100 N / m 3 Um pêndulo simples de comprimento l = 3 m tem uma massa de m = 3 kg, que por sua vez está ligado a uma mola, cuja constante elástica K = 47π N/m, ao qual sem deformação permite que o pêndulo permaneça na sua posição de equilíbrio como na figura abaixo. Calcule o período das pequenas oscilações para esse sistema de pêndulo-mola. Considere g = π m/s. 9

31 Para pequenas oscilações o movimento é harmônico simples. Para isso ocorrer a massa sofrerá uma força do tipo F = k x sendo k a constante elástica do sistema e x a deformação ou deslocamento. Pela figura abaixo vemos que F = ΣF k'x = kx + mgsenθ No entanto para pequenas oscilações, teremos: senθ = tgθ = θ = x/l logo k'x = kx + mg(x/l) k' = k + mg/l Finalmente podemos encontrar a fórmula da frequência do oscilador da seguinte expressão: 4 Na figura, a polia móvel tem massa desprezível e sem atrito. 1 k' f m 1 k g f m l Substituindo os valores, encontramos: f = 5 Hz O Professor Gomes pede que se determine a) A constante elástica da mola equivalente do sistema. b) O período de oscilação do sistema. Analisando cinematicamente, se a polia móvel desce uma distância x (deformação da mola), então um ponto A da corda desce de uma distância x. A tensão na mola é F = kx e a tensão na corda é equivalente a T = k e x e, onde k e é a constante equivalente e x e é a deformação equivalente (ver figura abaixo). Como F y = 0 T = F k e x e = kx No entanto, sabemos que x e = x, logo k e (x) = kx k e = k/4 Com isso, o período de oscilação da massa m é: m m m T 4 k k / 4 k e 5 Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K, executa um movimento harmônico simples ao longo de um eixo horizontal Ox. As elongações do corpo variam de x = A até x = A. Determine a elongação quando a energia cinética do bloco iguala-se à energia potencial elástica, indicando o resultado num gráfico dessas energias em função da posição. 30

32 E E E m P C ka kx kx pois E E x P A x A C 6 Se a massa do oscilador é m = 4 kg, e a sua energia cinética varia com a posição x, de acordo com o gráfico abaixo, determine o período de oscilação da massa. O período de oscilação é dado por: m T k Do gráfico, a amplitude é A = 1 m. Pela conservação da energia mecânica, temos: E MP = E MN E C(máx) = E P(máx) 00 = ka / 00 = k(1) / k = 400 N/m Então: T T s Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele se abaixa,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um obstáculo, o carro oscila verticalmente com MHS. Considerando o carro e a pessoa uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação. Quando a força aumenta de 980 N, a mola sofre uma compressão adicional de 0,08 m e a coordenada x do carro varia em -0,08 m. Portanto, a constante da mola efetiva (incluindo o efeito da suspensão toda) é Fx k 3,5.10 N / m x 0,08 A massa da pessoa é p/g = (980 N)/(9,8 m/s ) = 100 kg. A massa total que oscila é m = 1000 kg kg = 1100 kg. O período T é m 1100 T 1,11s 4 k 3,5.10 e a frequência é 31

33 1 1 f 0,90Hz T 1,11 8 Calcule o período de oscilação de um pêndulo simples com 1,6 m de comprimento, que executa pequenas oscilações num local onde g = 10 m/s. Despreze influências do ar e considere π igual a 3. O período pedido é calculado pela expressão: T Temos: π = 3, l = 1,6 m e g = 10 m/s. 1,6 Então: T.3. T,4s 10 g 9 Um pêndulo simples realiza oscilações de pequena amplitude na superfície da Terra, com período igual a,0 s. a) Se esse pêndulo realizasse oscilações de pequena amplitude na superfície da Lua, qual seria o seu período? Considere g Lua = 1/6 g Terra. b) Esse pêndulo oscilaria se estivesse preso ao teto de um elevador em queda livre? a) TT gt TT gl 1 TL gt 6 TL g L TL 6TT 6. TL 4,9s b) Não, porque, no interior de um elevador em queda livre, a gravidade aparente é nula. 30 A figura representa um pêndulo simples, de período igual a T. Colocando-se um prego (P) na posição indicada, o pêndulo, na máxima elongação para a esquerda, fica com a configuração indicada pela linha pontilhada, voltando depois à sua configuração inicial. Qual é o período de oscilação desse sistema? Quando o pêndulo não está encostado no prego, seu comprimento é: l = 40,0 cm (período T). Quando o fio encosta no prego, passamos a ter um pêndulo de comprimento l = 10,0 cm (período T ). Como l = l/4, então T = T/. O período de oscilação do sistema é T S : T S = T/ + T / = T/ + T/4 T S = 3T/4 31 Determine o período de oscilação de um pêndulo simples quando o ponto de suspensão se move: a) verticalmente para cima com a aceleração de módulo igual a a; b) verticalmente para baixo, com a aceleração a; c) horizontalmente, com aceleração a. Para pequenas oscilações de um pêndulo simples, o período é dado por: ml T (i) p onde p é o peso, ou seja, é a soma das forças inerciais que atuam sobre o objeto. No caso do pêndulo simples com o ponto de suspensão fixo, temos: p = mg. a) Quando o ponto de suspensão se move verticalmente para cima, com aceleração a, o peso é dado por: 3

34 p = m(g +a) Substituindo-se a equação (ii) na relação (i), tem-se: T (ii) l (g a) b) Quando o ponto de suspensão se move verticalmente para baixo, com aceleração a, temos: p = m(g a) (iii) Substituindo-se a equação (iii) na relação (i), obtém-se: T l (g a) Neste caso, o período do pêndulo é maior do que o período do mesmo pêndulo quando o ponto de suspensão está fixo. c) Neste caso, a aceleração a é perpendicular a g, e a aceleração resultante possui módulo dado por: (a + g ) 1/. Logo: p m a g (iv) Substituindo-se a relação (iv) na equação (i), tem-se: T Neste caso o período do pêndulo simples é menor do que o período do pêndulo simples em que o ponto de suspensão permanece em repouso. 3 Determine a frequência de oscilação de um pêndulo simples com comprimento L = 0,5 m, que se encontra preso ao teto de um carro e que acelera horizontalmente com a = 7,5 m/s, como visto na figura abaixo. Adote g = 10m/s. g l a A frequência de oscilação é dada por: g ef 1 f L Pela figura a baixo calculamos a gravidade efetiva como: ef g g a 1,5 m / s 1 1,5 5 Com isso, teremos: f f Hz 0,5 33 Um pêndulo simples de comprimento L é preso a um carrinho que escorrega sem atrito para baixo, em um plano inclinado de um ângulo α com a horizontal, como mostra a figura. Determine o período de oscilação do pêndulo sobre o carrinho. Teremos que fazer uma mudança de referência de g, veja a imagem: 33

35 A aceleração da gravidade pode ser decomposta em: 1) Componente paralelo ao plano inclinado = g.senα ) Componente na direção do fio do pêndulo (perpendicular ao plano inclinado) = g.cosα Esta componente na direção do fio é a responsável pelo período do mesmo. Assim a aceleração da gravidade responsável pelo período vale g' = g.cosα. Logo L T g' L g.cos 34 Suponha que o corpo da figura 3 seja uma barra uniforme de comprimento L suspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento. O momento de inércia de uma barra uniforme em relação a um eixo passando em sua extremidade é I = 1/3 ML. A distância entre o pivô e o centro de gravidade é d = L/. Pela equação (34), temos: 1 ML 3 L T L Mg 3g 35 Na figura abaixo, uma régua de um metro oscila em torno de um ponto fixo em uma das extremidades, a uma distância h do centro de massa da régua. a) Qual é o período de oscilação T? b) Qual é a distância L 0 entre o ponto fixo O da régua e o centro de oscilação? A régua não é um pêndulo simples, porque a massa não está concentrada na extremidade oposta ao ponto fixo; a régua é, portanto, um pêndulo físico. O período de um pêndulo físico é dado pela equação T I, que exige o mgh conhecimento do momento de inércia da régua em relação ao ponto fixo. Vamos tratar a régua como uma barra uniforme de comprimento L e massa m. Nesse caso, I = I CM + mh = 1/1 ml + m(1/ L) = 1/3 ml, l = 1/3 ml a distância h da equação T I é L/. Substituindo esses valores, obtemos mgh 1 ml I 3 L (100) T 1,64 s mgh 1 mg( L) 3g 3(9,8) Observe que este resultado não depende da massa m do pêndulo. 34

36 b) Estamos interessados em determinar o comprimento L 0 do pêndulo simples (desenhado na figura b), que possui o mesmo período que o pêndulo físico (a régua) da figura a. Igualando as equações 1 ml L I T e 3 L L0 L 0 T, obtemos T g mgh 1 mg( L) 3g g 3g Podemos ver, por inspeção, que L 0 = /3 L = /3(100 cm) = 66,7cm. Na figura a o ponto P está a essa distância do ponto fixo O. Assim, o ponto P é o centro de oscilação da barra para o ponto fixo dado. 36 Um avião está voando em linha reta a uma altitude constante. Se uma rajada de vento soprar e erguer o nariz do avião, o nariz oscilará para cima e para baixo até que o avião volte à sua posição original. Essas oscilações são de que tipo? a) não amortecidas b) subamortecidas c) criticamente amortecidas d) superamortecidas As oscilações são subamortecidas com uma amplitude decrescente em cada ciclo de oscilação, como mostrado na figura 4. Se as oscilações não fossem amortecidas, elas continuariam indefinidamente com a mesma amplitude. Se elas fossem amortecidas criticamente ou superamortecidas, o nariz não oscilaria para cima e para baixo, e sim retornaria suavemente à posição de equilíbrio original, sem ultrapassá-la. 37 Quando submetido a uma força propulsora com uma frequência próxima à sua frequência natural, um oscilador com amortecimento muito fraco apresenta uma resposta muito maior do que o mesmo oscilador com amortecimento mais forte. Quando submetido a uma força propulsora com uma frequência muito maior ou muito menor do que sua frequência natural, qual oscilador apresentará uma resposta maior: a) aquele com amortecimento muito fraco ou b) aquele com amortecimento mais forte? a) A figura 6 mostra que a curva da amplitude em função da frequência angular da força propulsora é ascendente em todas as frequências à medida que a constante de amortecimento b diminui. Logo, para valores fixos de k e m, o oscilador com o menor amortecimento (menor valor de b) apresentará a maior resposta diante de qualquer frequência da força propulsora. 38 Para o oscilador amortecido da figura abaixo, m = 50 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s. a) Qual é o período do movimento? b) Qual é o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza à metade do valor inicial? c) Quanto tempo é necessário para que a energia mecânica se reduza à metade do valor inicial? a) Como b << km = 4,6 kg/s, o período é aproximadamente o de um oscilador não-amortecido. De acordo com a equação T m, temos: k 35

37 m 0,5 T 0,34 s k 85 b) A amplitude num instante t é dada na equação x(t) = x m e - bt/m cos(ω t + ) como x m e - bt/m. A amplitude é x m no instante t = 0; assim, devemos encontrar o valor de t para o qual x m e - bt/m = ½ x m. Cancelando x m e tomando o logaritmo natural da equação restante, temos ln(1/) do lado direito e ln(e - bt/m ) = -bt/m do lado esquerdo. Assim, 1 1 mln (0,5)ln t 5 s b 0,070 Como T = 0,34 s, isso corresponde a cerca de 15 períodos de oscilação. 1 bt/m 1 bt/m c) De acordo com a equação E(t) kxme, a energia mecânica no instante t é kx m e. A energia mecânica é ½ kx 1 bt/m 1 1 m no instante t = 0; assim, devemos encontrar o valor de t para o qual kxme kx m. Dividindo ambos os membros dessa equação por ½ kx m e explicitando t como no item anterior, obtemos 1 1 mln (0,5)ln t,5 s b 0,070 Este valor é exatamente metade do tempo calculado no item (b), ou cerca de 7,5 períodos de oscilação. A figura abaixo foi desenhada para ilustrar esse exemplo. EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 01 Forneça diversos exemplos da vida cotidiana de movimentos que possam ser aproximadamente considerados harmônicos simples. Em que aspectos eles diferem do MHS? 0 Que condições devem ser atendidas para um movimento oscilatório seja harmônico simples? 03 Você pode escrever a equação da posição de oscilador harmônico em função seno ou cosseno indistintamente? Em que se diferem ambas as formas? Quando usar uma ou outra? 04 Por que dizemos que a frequência angular do oscilador harmônico é uma característica das propriedades físicas do sistema? 05 A corda de um piano emite um lá médio vibrando com uma frequência primária igual a 0 Hz. a) Calcule o período e a frequência angular. b) Calcule a frequência angular de uma soprano emitindo um lá uma oitava acima, que é igual a duas vezes a frequência da corda do piano. 06 Se um objeto sobre uma superfície horizontal, sem atrito, é preso a uma mola, deslocado e depois libertado, ele irá oscilar. Se ele for deslocado 0,10 m da sua posição de equilíbrio e libertado com velocidade inicial igual a zero, depois de 0,800 s verifica-se que o seu deslocamento é de 0,10 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de equilíbrio durante esse intervalo. Ache a) a amplitude, b) o período, c) a frequência. 36

38 07 A extremidade de um diapasão executa 440 vibrações completas em 0,500 s. Calcule a frequência angular e o período do movimento. 08 O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na figura abaixo. Quais são a) a frequência; b) a amplitude; c) o período; d) a frequência angular desse movimento? 09 A peça de uma máquina está se movendo em MHS com uma frequência igual a 5,0 Hz e amplitude igual a 1,80 cm. Quanto tempo leva para a peça ir de x = 0 até x = 1,80 cm? 10 Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a 10 N/m, verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a 6,0 Hz. Ache a) o período, b) a frequência angular, c) a massa do corpo. 11 Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a 140 N/m. Determine a) o período, b) a frequência, c) a frequência angular das oscilações. 1 Um bloco de,0 kg sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 300 N/m. Em t = 0 a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com 1,0 m/s. Determine a) a amplitude, b) o ângulo de fase. c) Escreva uma equação para a posição em função do tempo. 13 A ponta da agulha de uma máquina de costura se move com MHS ao longo de um eixo Ox com uma frequência igual a,5 Hz. Em t = 0 os componentes da posição e da velocidade são, respectivamente, +1,1 cm e 15 cm/s. a) Ache o componente da aceleração da agulha para t = 0. b) Escreva equações para os componentes da posição, da velocidade e da aceleração do ponto considerado em função do tempo. 14 Um objeto de 0,400 kg em MHS possui uma aceleração a x =,70 m/s quando x = 0,300 m. Qual é a duração de uma oscilação? 15 Uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por v x (t) = (3,60 cm/s) sen [(4,71 s 1 )t π/]. Qual é a) o período; b) a amplitude; c) a aceleração máxima da massa; d) a constante da mola? 16 Uma massa de 1,50 kg oscilando em uma mola tem o deslocamento em função do tempo dado pela equação x (t) = (7,40 cm) cos [(4,16 s 1 )t,4]. Encontre a) o tempo de uma vibração completa; 37

39 b) a constante elástica da mola; c) a velocidade máxima da massa; d) a força máxima sobre a massa; e) a posição, velocidade e aceleração da massa em t = 1,00 s; 17 Um bloco de 0,10 kg oscila para frente e para trás, ao longo de uma linha reta, numa superfície horizontal sem atrito. Seu deslocamento a partir da origem é dado por x = (10 cm) cos[(10 rad/s)t + (π/ rad)] a) Qual a frequência de oscilação? b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de x isto acontece? c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de x isto ocorre? d) Que força, aplicada no bloco, resulta nesta dada oscilação? 18 Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A. a) Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual à energia cinética? (Suponha que U = 0 no equilíbrio.) b) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas? c) No momento em que o deslocamento é igual a A/, qual é a fração da energia total do sistema referente à energia cinética e a qual fração corresponde à energia potencial? 19 Um corpo de 0,500 kg, ligado à extremidade de uma mola ideal de constante k = 450 N/m, executa um movimento harmônico simples com amplitude igual a 0,040 m. Calcule: a) a velocidade máxima do corpo; b) a velocidade do corpo quando ele está no ponto x = 0,015 m; c) o módulo da aceleração máxima do corpo; d) a aceleração do corpo quando ele está no ponto x = 0,015 m; e) a energia mecânica total do corpo quando ele está em qualquer ponto. 0 O Professor Gomes observa um objeto movendo-se em MHS. Quando o objeto é deslocado até 0,600 m à direita de sua posição de equilíbrio, sua velocidade é igual a,0 m/s para a direita, e sua aceleração é igual a 8,40 m/s para a esquerda. A que distância máxima desse ponto irá o objeto se mover antes de parar momentaneamente e depois recomeçar a se mover para a esquerda? 1 Em uma mesa horizontal, sem atrito, uma caixa com o lado superior aberto de massa igual a 5,0 kg é suspensa em uma mola ideal horizontal de constante igual a 375 N/m. Dentro da caixa há uma pedra de 3,44 kg. O sistema está oscilando com uma amplitude de 7,50 cm. Quando a caixa alcança sua velocidade máxima, a pedra é subitamente içada na vertical da caixa sem tocar nela. Encontre a) o período do movimento resultante da caixa; b) a amplitude do movimento resultante da caixa. c) Sem fazer nenhum cálculo, diga se o novo período é maior ou menor do que o inicial. Como você sabe disso? Uma caixa contendo uma pedrinha é presa a uma mola ideal horizontal e está oscilando em uma mesa de ar sem atrito. Quando a caixa atinge a sua distância máxima do ponto de equilíbrio, a pedrinha é subitamente içada na vertical sem que a caixa seja movida. Diga quais das seguintes grandezas aumentarão, diminuirão ou permanecerão inalteradas no movimento subsequente da caixa: a) frequência; b) período; c) amplitude; d) a energia cinética máxima da caixa; e) a velocidade máxima da caixa. Justifique cada resposta. 3 A figura abaixo representa um sistema conservativo. 38

40 O corpo é deslocado até a posição A e, em seguida, liberado, passando a oscilar entre as posições A e A. Complete a tabela abaixo com os valores das energias cinética e potencial do corpo nas posições dadas. Utilizando esses valores, esboce um gráfico das curvas das energias cinética e potencial em função da posição. Trace as duas curvas em um mesmo sistema de eixos coordenados. 4 Uma partícula de massa m realiza um movimento harmônico simples de amplitude A, em torno da posição de equilíbrio, O. Considerando nula a energia potencial para a partícula em O, calcular a elongação para a qual a energia cinética é igual ao dobro da energia potencial. 5 Quando a massa m 1 é suspensa por uma determinada mola A e a massa menor m é suspensa pela mola B, as molas são distendidas da mesma distância. Se os sistemas forem colocados em movimento harmônico simples vertical com a mesma amplitude, qual deles terá mais energia? 6 Uma caixa conectada a uma mola encontra-se inicialmente em equilíbrio na posição a quando é deslocada em uma distância D até a nova posição b, de onde é abandonada a partir do repouso. Sabendo que a caixa demora um tempo t para mover-se de b até a, determine sua velocidade ao passar novamente pelo ponto a. 7 Uma partícula em movimento harmônico simples oscila com frequência de 10 Hz entre os pontos L e -L de uma reta. No instante t 1 a partícula está no ponto 3 L/ caminhando em direção a valores inferiores, e atinge o ponto - L/ no instante t. Determine o tempo gasto nesse deslocamento. 8 A equação x = 1,0sen (,0t) expressa a posição de uma partícula em unidades do sistema internacional. Qual seria a forma do gráfico v (velocidade) versus x (posição) desta partícula? 9 Um rapaz tem duas namoradas - que descarado! Para visitar uma delas ele pega o trem Norte-Sul (NS) e para visitar a outra, pega o trem Sul-Norte (SN). Ele sabe que a frequência dos dois trens é a mesma: cada um passa de hora em hora. Daí, como gosta igualmente das duas gatas, decide chegar todo dia na estação em um horário totalmente ao acaso e pegar o primeiro trem que surgir (NS ou SN). Dessa forma acha que visitará cada namorada o mesmo número de vezes. No entanto, depois de alguns dias verifica que está visitando uma delas cinco vezes mais que a outra! Como isso é possível, se os trens passam com a mesma frequência? 30 Uma mola de constante k = 40 N/m e massa m = 300 g possui uma de suas extremidades presa ao teto. Na outra extremidade existe um corpo de massa M = 1 kg. Calcule: a) a massa efetiva deste oscilador harmônico; b) o período das oscilações. 31 No problema anterior, qual seria o período das oscilações se a massa da mola fosse desprezada? 3 A figura 1 mostra um cilindro de raio R = 0,0 m em repouso e um bloco de massa m = 0,10 kg, suspenso por uma mola de constante elástica k. Junto ao bloco existe um dispositivo que permite registrar sua posição no cilindro. Em um determinado instante, o bloco e puxado para baixo e solto. Nesse mesmo instante, o cilindro começa a girar com aceleração angular constante α = 0,80 rad/s de tal maneira que a posição do bloco é registrada no cilindro, conforme a figura. Determine a) o período T de oscilação do bloco em segundos; b) o valor da constante elástica k da mola em N/m; c) a deformação da mola em metros antes de o bloco ter sido puxado; 39

41 d) a amplitude total em metros do movimento de oscilação, apresentado no gráfico da figura, sabendo-se que a energia potencial elástica máxima do conjunto bloco-mola é de,0 J. Dados: Módulo da aceleração da gravidade (g) = 10 m/s ; Na situação esquematizada na figura, as molas A e B são idênticas e têm massas desprezíveis e constantes elásticas k 16 N/ m. Um pequeno bloco rígido de massa igual a 4,0 kg é comprimido contra o aparador da mola A, que sofre uma deformação de 50 cm. O bloco não está preso à mola mas apenas encostado. Este bloco é abandonado do repouso, passando a oscilar em trajetória retilínea sobre o plano horizontal perfeitamente liso sem sofrer os efeilos do ar. Considere como período o tempo total gasto pelo bloco desde que parte do repouso em contato com a mola A até o instante em que volta ao repouso novamente em contato com a mola A. Admita que não haja perda de energia mecânica na interação do bloco com as duas molas. Supondo-se que a distância entre os aparadores na situação de relaxamento das molas é igual a π m, o Professor Gomes pede: a) calcular a máxima velocidade escalar atingida pelo bloco; b) determinar o período de oscilação do bloco; c) traçar o gráfico da velocidade escalar do bloco em função do tempo, abrangendo, pelo menos, um ciclo das oscilações. 34 Uma bola de massa m = 9 kg, sujeitos a uma mola de constante elástica é k = 16kπ N/m executa oscilações harmônicas de amplitude A = 40 cm. A uma distância A/ da posição de equilíbrio se coloca uma placa de aço de grande massa em que a bola colide elasticamente. Determine o período das oscilações, neste caso. 35 Uma bola de massa m é ligada a duas faixas elásticas de comprimento L, cada uma sob tensão T, como mostrado na figura abaixo. A bola é deslocada de uma pequena distância na perpendicular ao comprimento das faixas. Suponha que a tensão não muda. Demonstre que 40

42 a) A força restauradora é dada por -(T/L)y. b) O sistema apresenta movimento harmônico simples com uma frequência angular T. ml 36 Um pêndulo simples de massa m é suspenso verticalmente a partir de O por uma haste rígida sem massa de comprimento L (ver figura abaixo). A haste é conectada a uma mola de constante elástica k a uma distância h de O. A mola tem seu comprimento relaxado quando o pêndulo está na vertical. Escreva a equação diferencial de movimento e determine a frequência angular para pequenas oscilações deste pêndulo. 37 Um pêndulo simples é suspenso por um pino em uma parede vertical. O pêndulo é afastado da parede para uma posição horizontal (figura abaixo) e liberado. A bola atinge a parede. Sendo o coeficiente de restituição / 5, qual é o número mínimo de colisões após as quais a amplitude de oscilação se torna menor que 60? 38 Na figura, a polia móvel tem massa desprezível e não há atrito. Determine a) A constante elástica da mola equivalente. b) O período de oscilação do sistema. 39 Determinar a frequência natural do sistema de polias mostrado na figura abaixo. Assumir que não há atrito entre cabo e polias e as massas das polias e do cabo são desprezíveis. 41

43 40 Dois blocos (m = 1, kg e M = 18,73 kg) e uma determinada mola (k = 344 N/m) estão arranjados numa superfície horizontal, sem atrito, como mostra a figura. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é de 0,4. Determine a amplitude máxima possível do movimento harmônico simples para que não haja deslizamento entre os blocos? 41 Que alterações você pode fazer num oscilador harmônico para dobrar a velocidade máxima da massa oscilante? 4 Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um movimento harmônico simples horizontal com uma amplitude A. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco. a) Calcule a nova amplitude e o período, b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua trajetória. 43 Uma caixa de massa M está sobre uma mesa horizontal. No teto da caixa, por meio de uma mola de rigidez k, está suspenso um bloco de massa "m". Com que amplitude de oscilação do bloco a caixa vai começar a saltar sobre a mesa? 44 Os sistemas (A) e (B) mostrados abaixo estão oscilando em movimento harmônico simples. O Professor Gomes pede que se determine a razão dos períodos T A /T B dos sistemas (A) e (B). 4

44 45 Uma mola de constante k possui n espiras iguais e seu comprimento total é L. Partimos a mola em duas, sendo os comprimentos das partes tais que L 1 = nl, onde n é um número qualquer. a) Determine a relação entre a constante k 1 da mola de comprimento L 1 e a constante k da mola de comprimento L. b) Determine k 1 e k em função de n e de k. c) Calcule k 1 e k, para n = 1. Sugestão: considere a associação da mola de constante k 1 com a outra mola de constante k. 46 Um corpo de massa M está preso à extremidade de uma mola de constante k e oscila na vertical com uma frequência f 1. A mola é cortada pela metade e o mesmo corpo é suspenso numa das metades; a nova frequência das oscilações é igual a f. Calcule f em função de f 1 nos seguintes casos: a) a massa da mola é desprezível; b) a massa da mola antes de ser partida era igual a m e não pode ser desprezada. 47 A figura mostra uma instalação de um sistema de molas onde a constante de mola é k = 400 N/m. Determine o período de oscilação da plataforma de massa m = 11 kg. 48 Duas partículas oscilam, com movimento harmônico simples, ao longo de um mesmo segmento de reta, de comprimento L. Elas têm o mesmo período de 1,50 s e fases que diferem de 30,0. a) Qual será a distância entre elas (em termos de L)? b) Qual será a distância entre elas, 0,500 s depois que a partícula atrasada deixar um dos extremos da trajetória? c) Elas estão se movendo no mesmo sentido, uma se aproximando da outra, ou estão se afastando neste instante? 49 Dentro de um veículo de testes da Nasa, uma bola de 3,50 kg é puxada por uma mola horizontal ideal fixa a uma mesa livre de atrito. A constante da mola é 5 N/m. O veículo tem uma aceleração constante igual a 5,0 m/s, e a bola não está oscilando. De repente, quando a velocidade do veículo chegou a 45,0 m/s, seus motores são desligados, o que elimina a sua aceleração, mas não a sua velocidade. Calcule a) a amplitude b) a frequência das oscilações resultantes da bola. c) Qual será a velocidade máxima da bola em relação ao veículo? 50 A escala de uma balança de mola que indica de zero até 00 N possui comprimento igual a 1,5 cm. Um peixe pendurado na extremidade inferior da mola oscila verticalmente com,60 Hz. Qual é a massa do peixe? Despreze a massa da mola. 43

45 51 Um pêndulo simples possui na Terra um período igual a 1,60 s. Qual é o período na superfície de Marte onde g = 3,71 m/s? 5 Quando um corpo que oscila preso a uma mola horizontal passa por sua posição de equilíbrio, sua aceleração é igual a zero. Quando o peso de um pêndulo simples oscilando passa pela posição de equilíbrio, sua aceleração é igual a zero? 53 Um pêndulo simples, constituído de uma barra e um disco, está fixado em um quadro de madeira, que pode cair livremente ao longo de dois arames que o dirigem. O pêndulo foi inclinado, em relação à posição de equilíbrio, num ângulo α e liberado. No momento, em que o pêndulo passa pela posição mais baixa, soltam o quadro, que, então, cai livremente. Como se movimentará o pêndulo relativamente ao quadro? O atrito e a resistência do ar podem ser desprezados. 54 Um pêndulo simples está suspenso no teto de um elevador parado e seu período é determinado. Descreva as mudanças, se houver, do período quando o elevador a) acelera para cima; b) acelera para baixo; c) move-se com velocidade constante; d) cai livremente. 55 Na figura abaixo, o carrinho desloca-se com uma aceleração de a = 4 m/s por o plano inclinado formando um ângulo de α = 30 em relação à horizontal. Determine o período do pêndulo de comprimento L = 50 cm para pequenas oscilações (g = 10 m/s ). 56 Na figura a seguir, os blocos de massa m 1 = 9 kg e m = 16 kg estão ligados através de uma mola de constante elástica k = 576 N/m. A mola é comprimida por um fio. Determinar o período de oscilação dos blocos, ao queimar o fio. 44

46 57 O corpo de massa m é deslocado uma distância x para baixo no plano inclinado a partir de sua posição de equilíbrio e, então, é solto em repouso. Considere a mola, os cabos e a roldana ideais. Determine a função horária que descreve o movimento do corpo se ele parte da posição de equilíbrio subindo o plano. 58 Determine o período de oscilação de uma bola que desliza sem atrito por meio do sistema formado por dois planos inclinados de ângulos de 30 e 60, como mostra a figura abaixo. A altura, h, a partir do qual o movimento é iniciado é de 5 m e g = 10 m/s. 59 Por que um cão com pernas curtas (como o da raça Chihuahuas) caminha dando passos mais frequentes do que um cão com pernas altas (como o cão dinamarquês)? 60 Uma barra de conexão de 1,80 kg de um motor de automóvel é suspensa por um eixo horizontal mediante um pivô em forma de cunha como indicado na figura abaixo. O centro de gravidade da barra determinado por equilíbrio está a uma distância de 0,00 m do pivô. Quando ela executa oscilações com amplitudes pequenas, a barra faz 100 oscilações completas em 10 s. Calcule o momento de inércia da barra em relação a um eixo passando pelo pivô. 61 Um pêndulo é formado prendendo-se uma haste longa e fina de comprimento L e massa m em um dado ponto, que está a uma distância d acima do centro da haste. a) Ache o período deste pêndulo em termos de d, m, L e g, considerando-se que oscile com uma pequena amplitude. O que acontece ao período, se b) d é reduzido? c) L é aumentado? d) m é aumentada? 6 O Professor Gomes deseja suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilação completa com ângulo pequeno a cada,0 s. Qual deve ser o valor do raio do aro? 45