ANÁLISE DE TAREFAS E O DESENVOLVIMENTO DO CONHECIMENTO ESTATÍSTICO: A REFLEXÃO COMPARTILHADA COMO ESPAÇO DE FORMAÇÃO

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1 ANÁLISE DE TAREFAS E O DESENVOLVIMENTO DO CONHECIMENTO ESTATÍSTICO: A REFLEXÃO COMPARTILHADA COMO ESPAÇO DE FORMAÇÃO Everton José Goldoni Estevam Universidade Estadual do Paraná UNESPAR Universidade Estadual de Londrina UEL evertonjgestevam@gmail.com Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino Universidade Estadual de Londrina UEL marciacyrino@uel.br Resumo: Pesquisas revelam a necessidade de ações que oportunizem experiências e reflexões com vistas a (res)significação do conhecimento profissional de professores relacionado à Educação Estatística. Assumindo que a seleção de tarefas constituiu uma ação substancial da prática letiva do professor, no presente trabalho estudamos a prática de um grupo de oito professores/pesquisadores ao analisar uma tarefa estatística, envolvendo particularmente o conceito de média, nas busca por compreender e explicitar que aspectos relacionados à tarefa e ao conhecimento profissional são considerados e valorizados por esse grupo. Foram constituídos três eixos de análise: (i) Perspectivas de Ensino; (ii) Estratégias de Resolução; e (iii) Significado de Média. Os resultados revelam perspectivas de ensino que se ajustam muito mais ao ensino direto do que ao ensino exploratório, estratégias e procedimentos de resolução inicialmente pautados apenas na Álgebra e na Aritmética e com pouca menção às propriedades, situações e significados do conceito de média. Contudo, as discussões e reflexões realizadas pareceram proporcionar avanços significativos nessas percepções, constituindo uma experiência interessante para o desenvolvimento do conhecimento profissional dos professores. Palavras-chave: Conhecimento Profissional. Formação de Professores. Educação Estatística. Tarefas Matemáticas. Introdução Em virtude de sua própria natureza, há diversas dimensões que necessitam ser levadas em conta para compreensão/discussão do conhecimento profissional do professor. Nele estão envolvidos conhecimentos teóricos e práticos, ou seja, é de certa

2 forma orientado pela teoria (ELBAZ, 1983) e tem como base as diferentes práticas dos professores e as reflexões propiciadas por suas experiências. Cabe salientar que essas práticas podem ser vistas como as atividades que eles realizam regularmente, tomando em consideração o seu contexto de trabalho e as suas interpretações e intenções (PONTE; CHAPMAN, 2006, p. 481). Ponte e Oliveira (2002) afirmam que o conhecimento profissional do professor de Matemática desdobra-se por diversas vertentes: o conhecimento na ação relativo à prática letiva, à prática não letiva e à profissão e ao desenvolvimento profissional. Eles designam por conhecimento didático a dimensão do conhecimento profissional chamado a intervir diretamente na prática letiva. O conhecimento didático envolve quatro domínios: conhecimento do currículo; conhecimento da Matemática; conhecimento dos alunos e dos seus processos de aprendizagem; e conhecimento dos processos de trabalho em sala de aula (PONTE; OLIVEIRA, 2002). Contudo, esses domínios não esgotam a abrangência do conhecimento didático, que também inclui o conhecimento do contexto (escola, comunidade, entre outros) e o conhecimento de si mesmo como professor (PONTE, 2012). Assumimos, portanto, que as experiências que compõem a prática do professor devem constituir espaços de reflexão e desenvolvimento de seu conhecimento profissional. Especificamente no que concerne aos conhecimentos estatísticos, pesquisas em âmbito internacional revelam que muitos professores inconscientemente compartilham uma variedade de dificuldades e equívocos com seus alunos relacionados a ideias estatísticas fundamentais (BATANERO; BURRIL; READING, 2011, p. 409). No Brasil, a situação é bastante semelhante (ESTEVAM; CYRINO, no prelo), o que sugere a necessidade de ações que oportunizem experiências e reflexões com vistas a (res)significação de tais conhecimentos e o desenvolvimento do conhecimento profissional relacionado a esse campo. Embora o professor não seja o único agente dos processos de ensino e de aprendizagem, entendemos que é seu papel conduzir as situações de sala de aula. Para isso, o professor precisa estar preparado teoricamente de modo que possa tomar decisões relacionadas à sua prática, em especial no que concerne à seleção de tarefas, elementos que podem constituir uma aula e que estão diretamente ligados à aprendizagem dos alunos (STEIN; SMITH, 1998; CYRINO; JESUS, no prelo). Segundo Menezes e Ponte (2006, p. 21) as tarefas que os professores valorizam e

3 selecionam para suas aulas e a maneira como as trabalham impõem o desempenho de novos papéis, tanto a eles como aos alunos. Dessa forma, no presente trabalho estudamos a prática de um grupo de professores/pesquisadores ao analisar uma tarefa estatística, envolvendo particularmente o conceito de média, nas busca por compreender e explicitar que aspectos relacionados à tarefa e ao conhecimento profissional são considerados e valorizados por esse grupo. Tarefas Matemáticas: significado e importância A expressão tarefa matemática é frequentemente utilizada com significados diferentes pode corresponder a questões, atividades, problemas, práticas, novas aprendizagens, lições, exemplos, experiências de aprendizagem, programas de trabalho, projetos, investigações, ou propostas de trabalho de casa (WALLS, 2005, p. 752). Na perspectiva de Walls (2005), as tarefas assumem diversas formas, em termos da duração e complexidade e são usadas pelos professores com diferentes propósitos. Numa tentativa de abarcar as diversas formas e propósitos das tarefas, este autor considera que as tarefas matemáticas correspondem a propostas de trabalho a partir das quais os alunos desenvolvem diferentes atividades matemáticas. Stein e Smith (1998) definem tarefa matemática como uma proposta de trabalho para os alunos. Especificamente, descrevem tarefa como um segmento da atividade da sala de aula dedicado ao desenvolvimento de uma ideia matemática particular (p. 269). Este é também o entendimento de tarefa matemática assumido neste estudo. Vários estudos indicam a existência de relação entre os tipos de tarefas matemáticas e o pensamento dos alunos (CHRISTIANSEN; WALTHER, 1986; STEIN; SMITH, 1998; BISPO; RAMALHO; HENRIQUES, 2008). Em particular, Stein e Smith (1998) referem que o modo como os alunos aprendem a pensar matematicamente é influenciado pelo tipo de tarefas matemáticas que lhes são propostas. Concretizando esta ideia, as autoras mencionam que as tarefas que recorrem à memorização de procedimentos de forma rotineira constituem oportunidades que suscitam um determinado tipo de pensamento dos alunos, diferentes das que os levam a pensar sobre conceitos e estabelecer conexões. Bispo, Ramalho e Henriques (2008) afirmam que as tarefas são pretextos de interação e colaboração entre alunos e professor, funcionando,

4 por isso, como motores que promovem a aprendizagem e o desenvolvimento do conhecimento matemático. Além das tarefas influenciarem o modo como os alunos pensam matematicamente, elas podem também limitar ou ampliar o modo como eles veem os tópicos de ensino e sua compreensão acerca do que é a Matemática e sobre o que envolve fazer Matemática (CHRISTIANSEN; WALTHER, 1986; STEIN; SMITH, 1998). Ponte (2011) afirma que a aprendizagem depende, em grande parte, da atividade que os alunos realizam em sala de aula e tal atividade depende, em grande medida, das tarefas propostas pelo professor. Portanto, as tarefas são elementos essenciais para sustentar as práticas dos professores. O exercício é a tarefa mais comum em muitas outras disciplinas, incluindo a matemática (CHRISTIANSEN; WALTHER, 1986) e, também, a estatística (PONTE, 2011). Mas, além de exercícios, os alunos precisam se envolver e fazer outros tipos de tarefas, tais como investigações, explorações e projetos. Stein e Smith (1998) e Ponte (2011) salientam que é impossível classificar uma tarefa em termos absolutos, uma vez que a sua natureza é sempre relativa à pessoa que a faz. Contexto da Pesquisa O presente trabalho está sustentado na análise de uma tarefa estatística realizada no contexto de um grupo composto por oito professores/pesquisadores, vinculados a um programa de pós-graduação na área de Educação Matemática. O quadro 2 caracteriza a formação, a experiência profissional na docência e a atuação de cada um dos componentes do grupo, sendo que, para fins de preservação de sua identidade, eles são identificados por pseudônimos. Nome Formação Experiência Profissional Pesquisador Licenciado em Matemática, Mestre em Educação e Doutorando Maria Licenciada em Matemática, Mestre em Educação Matemática e Doutoranda Ana Licenciada em Matemática, Mestre em Educação Matemática e Doutoranda 21 anos José Licenciado em Matemática, Mestre e Doutor em Educação Matemática Licenciada em Ciências com habilitação em Laura Matemática, Mestre em Educação 9 anos Matemática e Doutoranda Adriana Licenciada em Matemática e Mestranda - Bolsista Joana Licenciada em Matemática e Mestranda - Bolsista Rodrigo Licenciado em Matemática e Mestrando - Bolsista Atuação Profissional 3 anos Professor de nível superior 26 anos Professor de nível superior Professor da Educação Básica e de nível superior 3 anos Professor de nível superior Professor da Educação Básica

5 Quadro 1 Caracterização do grupo investigado. A dinâmica do grupo se deu na perspectiva cooperativa (FIORENTINI, 2004), sob a coordenação do primeiro autor desse trabalho. De acordo com as características do contexto e abordagem, situamos a pesquisa no paradigma qualitativo (FIORENTINI, 2004) de cunho interpretativo (ERICKSON, 1986). A tarefa foi resolvida inicialmente pelo grupo em duplas ou trios, os quais são denominados de pequenos grupos (PG). Foi solicitado, além da resolução, que pensassem e analisassem o enunciado da tarefa, o ano/série para a qual ela poderia ser aplicada, suas finalidades, possíveis estratégias de resolução e dificuldades dos alunos. Em um segundo momento, essas análises foram socializadas no grande grupo (GG), as reflexões compartilhadas e os significados (re)negociados. Para a coleta de dados foram utilizados os registros escritos produzidos nos PG, gravações em áudio do GG e registros no caderno de campo do pesquisador durante as interações. A partir desses registros foi possível constituir três eixos de análise, nomeadamente: (i) Perspectivas de Ensino: discutimos aspectos referentes às percepções e impressões do grupo quanto às características da tarefa, sua adequabilidade e possibilidades/necessidades de encaminhamento na prática letiva; (ii) Estratégias de Resolução: abordamos aspectos relativos às diferentes estratégias que emergiram na resolução da tarefa, bem como as suas potencialidades; (iii) Significado de Média: discutimos os elementos relacionados aos significados de média que surgiram nas análises e interações do grupo. A tarefa A tarefa (Figura 1) foi estruturada na perspectiva do ensino exploratório (inquirybased teaching) (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). Ponte (2005) considera que existem quatro elementos que permitem diferenciar as tarefas: o grau de desafio matemático, o grau de estrutura, o contexto e a duração. Cruzando os dois primeiros elementos, este autor considera que existem quatro tipos básicos de tarefas: exercícios, problemas, investigações e tarefas de exploração. Assim, de acordo com as

6 características iniciais da tarefa, as quais podem ser alteradas de acordo com o encaminhamento dado pelo professor ou com o engajamento dos alunos na atividade (STEIN; SMITH, 1998; CYRINO; JESUS, no prelo), a tarefa analisada constitui uma exploração, já que está estruturada, mas a escolha do método para resolver as situações propostas, os resultados e as (possíveis) generalizações ficam a critério dos alunos. Figura 1 Tarefa analisada no grupo. Cabe salientar que na estruturação da tarefa e planejamento de seu encaminhamento no grupo foram considerados os cinco elementos relacionados à significação do conceito matemático discutidos por Batanero (2000), quais sejam: (i) Elementos Extensivos: refere-se ao campo de problemas de onde surge o objeto; (ii) Elementos de Atuação: refere-se às práticas empregadas na solução de problemas; (iii) Elementos Intensivos: refere-se às definições e propriedades características e suas relações com outros conceitos; (iv) Elementos Ostensivos: refere-se às notações, gráficos, palavras e, em geral, todas as representações do objeto abstrato que podemos usar para nos referirmos ao conceito; e (v) Elementos Validativos: refere-se às demonstrações que empregamos para provar as propriedades do conceito e os argumentos que empregamos para mostrar a outras pessoas a solução do problema. Reflexões Compartilhadas por Professores/Pesquisadores Perspectivas de Ensino

7 As primeiras impressões do grupo quanto à tarefa revelam certa surpresa quanto a suas características. Rodrigo: Laura: Rodrigo: Laura: Muito diferente da estatística [que estudei]. Diferente. É igual o Rodrigo falou. Nada de tabela, de dados. Eu achei que seria um conjunto de dados. Não é um exercício comum que a gente faz de estatística no dia a dia. É uma tarefa para a gente pensar. Porque [nas que estamos acostumados] você faz tudo no automático. E não pensa sobre... O episódio anterior revela que as tarefas estatísticas parecem assumir um padrão de conjunto de dados apresentados em tabelas (ainda que às vezes coletados pelos próprios alunos), dos quais seguem elaborações de gráficos e cálculos de medidas. Talvez em decorrência dessa situação (e das possíveis experiências relacionadas com o ensino e aprendizagem de Estatística), o grupo parece revelar certa dificuldade em relacionar a tarefa exploratória com a própria natureza das questões estatísticas tradicionalmente propostas em sala de aula, uma vez que, via de regra, a profundidade de investigação estatística pode ser obtida por meio de questões abertas e mal estruturadas, de modo a possibilitar uma investigação e negociação entre os alunos (MAKAR; FIELDING-WELLS, 2011). Relacionado ao item (iii) da tarefa, que envolve a propriedade da média de que a soma dos desvios entre o valor de cada um dos elementos e a média é sempre nula (STRAUSS; BICHLER, 1988), o grupo entendeu (em um primeiro momento) ser uma questão muito complexa, sobretudo pela dificuldade em lidar com os números negativos. Rodrigo: Laura: [Está envolvida] a ideia da soma das diferenças ser igual a zero. [...] Mas você não vai conseguir atingir o objetivo da questão que é que ele [o aluno] perceba que a soma das diferenças é igual a zero. Ele [o aluno] não tem conhecimento matemático suficiente para poder lidar com isso. Se você nunca trabalhou com os números negativos, você não consegue entender a soma dos números negativos. É, realmente. E a questão das diferenças, da forma como está posto aqui no enunciado da questão... Está pedindo para somar as diferenças entre as quantidades de brigadeiros levadas por cada um e o valor da quantidade média de brigadeiros. Bem, a minha soma deu Você poderia talvez trabalhar com isso usando uma régua. Pensei agora aqui. De repente, com uma visualização geométrica para perceber que, se um está aqui e o outro ali e ambos temos que chegar aqui [um ponto entre os dois], então um tem que aumentar e o outro diminuir. Daí perceber que esse aumentou, esse diminuiu, e assim por diante. Mas vocês acham que deve retirar este item? Eu tiraria.

8 Grupo: XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática (Parece concordar) O grupo parece buscar um padrão de resposta (tem que dar zero, mas deu dez), de finalidade (precisa saber os números inteiros) e de estratégia de resolução (usar a régua), o que os leva a sugerir a retirada do item (iii). Parecem estar condicionados ao ensino direto e, embora se interessem pela tarefa e vislumbrem nela potencialidades, remetem à necessidade de se trabalhar exercícios de modo a possibilitar uma compreensão mais aprofundada para os alunos e a retirada de conclusões, conforme segue. Joana: Só que não vai levar o aluno a concluir isso. Talvez você teria que trabalhar uns dois ou três exercícios e lá na frente você poderia pedir que ele concluísse alguma coisa. Embora apresentem argumentos que evidenciam a possibilidade do estabelecimento de conjecturas, e revelam algumas contradições com as considerações anteriores (Maria), o grupo não parece vislumbrar essa capacidade nos alunos. Assumindo os elementos relacionados com o significado de média (e de medidas de tendência central) discutidos por Batanero (2000), tais considerações sugerem que o conhecimento dos professores/pesquisadores investigados remete muito mais a elementos relacionados aos cálculos e representações (elementos ostensivos), do que com situações que envolvam significados dos conceitos, propriedades e relações com outros entes matemáticos (elementos intensivos e extensivos), o que revela certa limitação quanto ao conhecimento dos professores relacionado ao conceito de média. Estratégias de Resolução Quando arguidos inicialmente sobre as possíveis estratégias para resolução da tarefa, o que remete a elementos de atuação (BATANERO, 2000), o grupo apresentou a seguinte resposta: Ana: Nos itens 1, 2, 3 e 4 nós colocamos a aritmética. E no 5, ele [o aluno] pode usar algébrica e aritmética. Laura: Na última [último item] não é só algébrica? José: Ele pode fazer por tentativa. Ir fazendo 1, 2, 3,4 até chegar no valor que procura. Laura: É verdade. Grupo: (concorda) O grupo parece não vislumbrar possibilidades que não envolvam a Aritmética e a Álgebra para lidar com os itens da tarefa, o que justifica, por exemplo, a sugestão inicial de exploração da tarefa a partir do sétimo ano do Ensino Fundamental. No entanto,

9 observando os processos de resolução no PG, Maria e Joana haviam feito uma representação pictórica para resolver o último item da tarefa (Figura 2). Então elas foram provocadas a socializarem o que haviam pensado. Figura 2 Estratégia pictórica de Maria e Joana (PG). Maria, vocês haviam feito algo diferente. A gente colocou a representação aritmética e por desenho, como você pediu para pensar em possíveis [representações]. Como seria essa por desenhos? Nós colocamos o nome de cada um e na frente a quantidade de brigadeiros que ele levou. Em seguida, representamos aqueles [brigadeiros] que faltavam para atingir a média. E aí nós fomos tirando daqueles [meninos/meninas] que levaram a mais que a média e preenchendo aqueles que tinham menos[que a média]. Quando a gente fez isso, a Aline passou 2 para Juliana. O Rodrigo já tinha levado 5, já estava certo. E o André só tinha 4, então faltava 1. O Jonas teria que levar os 5 dele e mais 1 para completar os 5 do André. José: O legal é que esse esquema que ela utilizou ajuda na compreensão do item 2. Porque a gente colocou todos os brigadeiros num pacote só e foi distribuindo um a um para todo mundo. Só que a gente não pensou nessa comparação, nesse princípio de compensação que ela fez. Então esse tipo de registro que ela fez foi interessante. A estratégia utilizada é relativamente simples e leva à essência do conceito de média como uma medida que torna a distribuição equitativa ou uniforme (BATANERO, 2000). No entanto, inicialmente o grupo pareceu limitado a justificar as possíveis resoluções por meio da Álgebra e da Aritmética, talvez em decorrência dos condicionantes de suas experiências, seja enquanto alunos ou enquanto professores. Contudo, depois disso, José explicita que também havia pensado em algo semelhante. Em outros momentos da discussão surgem outras possibilidades de estratégia. Se o aluno resolver por um desenho que fiz aqui ele responde o item 1 e o item 3 no mesmo desenho. Pelo menos dá a ideia. Ele pode até não dizer que a soma das diferenças vai ser igual a zero. Mas ele pode trabalhar essa questão de que um vai compensar o que o outro tem a menos.

10 Grupo: Joana: José: Rodrigo: José: XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática... Então o registro utilizado interfere nesse aspecto. Interfere. Esse registro daria para trabalhar um pouco disso. E acho que uma representação em tabela também, porque você pode numa tabela colocar numa coluna diferenças para mais e outra diferenças para menos. E daí você pode perceber que o que passa da média é igual ao que falta para a média. Então uma coisa anula a outra. E se ele for direto para o [registro] algébrico ou o aritmético, no caso? Aí você vai ter que discutir um pouco a questão da diferença. Não sei se você consegue dar conta disso no enunciado. Explicitar que você quer que essas diferenças sejam calculadas para mais e para menos. Dependendo do nível [de ensino] você pode falar some as diferenças para quem levou menos que a média. Depois some para quem levou mais que a média. Compare os dois resultados. Também acho. Induzir mesmo. Fazer diretiva a questão. Isso se você quiser muito chegar nessa questão. Eu acho que se você incluir um registro por tabela você já resolve. O que vocês acham? Acho que a ideia da tabela para que eles percebam que um vai compensar o outro é interessante. Porque de fato, da maneira como está, precisaria de mais coisas, porque exige reconhecimento de regularidades. E esse é particular. Mas a ideia é interessante. O processo de socialização e reflexão coletiva possibilitou ao grupo vislumbrar estratégias mais interessantes e ricas em termos de significados conceituais relacionados com a média, superando em parte a impressão inicial que limitava a compreensão e abordagem da média a cálculos e algoritmo. As discussões e reflexões possibilitaram a relação entre elementos extensivos, ostensivos, intensivos e de atuação relacionados ao conceito de média. Significado de Média No decorrer das discussões o grupo sugeriu a mudança do termo equitativa para mesma quantidade, o que originou uma discussão. Grupo: Ana: Joana: Mas minha pergunta é a seguinte: é a mesma coisa eu perguntar Como repartir os brigadeiros de forma equitativa? e Como repartir os brigadeiros de forma que todos recebam a mesma quantidade? O significado é o mesmo? Não. Equitativo remete a justo. E mesma quantidade? Por isso nós colocamos as duas coisas. Se você vai para o justo é uma coisa, se vai para mesma quantidade é outra. Para mim é diferente. Posso pensar que quem não levou nada não vai receber nada. Vai dividir entre os outros.

11 É o mesmo significado ou não é o mesmo significado? Grupo: Não. José: Pensando assim, não. Então, muda o significado. Porque existe o que é justo, o que é equitativo e o que é igual, a mesma quantidade.... Ana: Porque a média não é justa, não é? A média nunca vai ser justa? Não, ela é mais justa quanto mais representativa ela for dos dados. Mas então não dá para explorar o conceito a partir disso que vocês estão falando? Dá. Se seu objetivo é discutir o conceito de média, você pode pegar diferentes ideias que vão surgir, porque pode ter um grupo que vai achar que todos devem receber a mesma quantidade de brigadeiro, outro que não. E assim por diante. E você pode juntar todas essas ideias na sistematização discutindo que existem diferentes interpretações para essa questão de repartição, mas que do ponto de vista da Estatística, quando a gente trata de média, é a gente traçar uma linha equilibrando a situação. A sugestão do grupo remete a uma ideia inicial de que distribuição equitativa e mesma quantidade teriam o mesmo significado. Contudo, as discussões fazem emergir opiniões divergentes, as quais constituem um campo fértil para discussão da representatividade da média, enquanto medida que torna a distribuição equitativa, cuja sua representatividade para a distribuição está substancialmente relacionada com a forma como os dados estão distribuídos. Isto é, numa distribuição uniforme a média provavelmente será uma medida bem representativa enquanto que com dados muito heterogêneos sua representatividade ficará comprometida em decorrência das grandes amplitudes dos desvios. O item (ii) envolve a ideia da influência da frequência nula no cálculo/valor da média (STRAUSS; BICHLER, 1988). Ana: José: Ana: Joana: Joana: José: Joana: [...] a intenção é discutir o que o elemento neutro provoca no cálculo da média. A gente também ficou pensando nisso. Mas na verdade você inclui o Jonas, mesmo sendo zero a quantidade que ele levou. E aqui você o exclui. E isso altera o denominador. E você pode trabalhar isso. Você está comparando ao anterior. Nós colocamos que é só para identificar os elementos que interferem no cálculo da média. E quais elementos interferem no cálculo da média? A quantidade total de elementos. Por exemplo, a saída do Jonas não altera a quantidade, mas altera o número de pessoas. Não altera a quantidade de brigadeiros, no caso?... Mas, só fechando. A pergunta é: haveria alteração na média de brigadeiros do grupo? Por quê? Qual é a resposta, mesmo? E aí, pessoal? Haveria ou não haveria? A resposta é haveria. Pode até ler a justificativa do porquê. Nós teríamos a mesma quantidade de brigadeiros dividida por um número

12 José: XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática menor de pessoas. Legal a resposta. Porque relaciona os brigadeiros e as pessoas. O fragmento revela que o grupo parece ter percebido a função do item (ii) da tarefa, chamando atenção para aspectos muito interessantes referentes à exploração no ensino de Estatística (elementos intensivos), com vistas a compreensão do conceito. Contudo, a fala de José revela que, apesar de toda discussão e de ele mesmo inicialmente ter apresentado considerações interessantes sobre a questão, a ideia final não estava clara. Maria e Joana, ao sistematizar a propriedade da média, parecem esclarecer as possíveis dúvidas. O item (iv) explora a propriedade de que a média deve estar entre os extremos (limites) da distribuição (STRAUSS; BICHELER, 1988). Inicialmente, o grupo achou a questão simples, mas as discussões mostraram que o raciocínio inicial não estava pautado na distribuição dada, mas em uma cuja frequência total deveria ser 40. No entanto, o questionamento sobre como determinar esse valor originou um valor 8, o que os levou a pensar no significado do 8 para a distribuição em questão. Joana: Se for para uma turma de nível [de ensino] mais alto, essa questão é muito simples. Eles resolvem de cara. Por quê? Joana: Seria necessária a quantidade 40 brigadeiros para se atingir essa média. Mas a média é maior que 8, e continuam sendo as mesmas pessoas. Então tem que ter mais brigadeiros. Então pelo que vocês estão falando, a intenção desse item é a mesma do 2? Grupo: Não. Você pode usar também para discutir o que precisa para que a média seja 8. Rodrigo: Mas não é com relação à interpretação do resultado? Explique melhor, Rodrigo. Rodrigo: Bem, observando a média 8, o que a gente pode concluir? Com relação aos elementos para o cálculo. Acho que é mais com relação a interpretar esse resultado da média ser 8 ou maior que 8. Está mais relacionado com interpretar a média 8 ou interpretar a média do conjunto de dados e comparar com 8? Grupo: (silêncio) José: Eu não poderia também olhar e dizer assim: comparar o valor que aparece aqui com o 8, então todos são menores que 8. Rodrigo: Ah, é. É a comparação do 8 com o conjunto de dados. Que conclusão que a gente tira, então, José? Grupo: (silêncio) Tem diferença ou não tem diferença do item 2? Grupo: Tem diferença. (silêncio) É uma outra propriedade. Eu não havia pensado nisso que o José falou. Vocês pegaram a média 8 e foram explorar o que ela diz sobre o conjunto de dados e o José vêm e pega o conjunto de dados, calcula a média e busca o que o 8 diz sobre a média do conjunto de dados. Por fim, o último item da tarefa exige um raciocínio inverso.

13 Ana: Rodrigo: XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática A última é legal. Por que a última é legal? Dá para por o x... (risos) Muda o ponto de vista. Nos outros você tem os dados e vai discutir a média. Nesse você estabelece uma média e vai avaliar a situação em que isso pode ocorrer. O grupo parece perceber que, enquanto os demais itens envolviam a determinação da média a partir de um conjunto de dados, este último envolvia um raciocínio inverso de pensar o algoritmo da média e a partir dele determinar qual o valor necessário, o que remete a elementos ostensivos do conceito, isto é, a demonstração da compreensão conceitual do processo de cálculo e da ideia de média. Considerações Finais As análises que apresentamos nesse relato revelaram que inicialmente os conhecimentos mobilizados pelos professores/pesquisadores referentes ao conceito de média estavam limitados a elementos extensivos relacionados ao seu significado, ou seja, aos aspectos representacionais e de cálculo. No entanto, na resolução e na discussão da tarefa eles mobilizaram e relacionaram estes elementos com situações problema envolvendo o conceito de média, seu significado e suas propriedades, ou seja, fizeram emergir elementos intensivos e ostensivos relacionados ao significado do conceito, elementos os quais, nas próprias palavras dos professores do grupo, eles nunca haviam pensado. As categorias de análise explicitaram perspectivas de ensino que se ajustam muito mais ao ensino direto do que ao ensino exploratório (PONTE, 2011), estratégias de resolução inicialmente pautadas apenas na Álgebra e na Aritmética e que faziam pouca menção às propriedades, situações e significados do conceito de média. Contudo, as discussões realizadas pareceram apontar avanços significativos nessas percepções, constituindo uma experiência interessante para o desenvolvimento do conhecimento profissional (PONTE; OLIVEIRA, 2002). Esse trabalho aponta para alguns aspectos relativos à análise de tarefas que apoiam a formação de professores e o desenvolvimento do conhecimento estatístico: (i) o potencial do compartilhamento de ideias em um grupo cooperativo com ações colaborativas (FIORENTINI, 2004) e reflexões compartilhadas; (ii) a importância de se elaborar e adaptar tarefas com diferentes características, com vistas a esclarecer suas

14 potencialidades e limitações no que concerne ao desenvolvimento do conhecimento (STEIN; SMITH, 1998), PONTE; CHAPMAN, 2006); PONTE, 2011; CYRINO; JESUS, no prelo); (iii) as contribuições das discussões de tarefas que relacionem elementos extensivos, intensivos e ostensivos para a atribuição de significados aos conceitos matemáticos, particularmente, ao de média. Esses aspectos se configuram como uma possibilidade viável para propostas de formação continuada e desenvolvimento do conhecimento profissional de professores. Como forma de continuidade das pesquisas, pretendemos implementar essas ações com um grupo de professores atuantes na rede de educação básica. Referências BATANERO, C. Significado y comprensión de las medidas de posición central. UNO, n. 25, p , BATANERO, C.; BURRILL, G.; READING, C. Overview: challenges for teaching statistics in school mathematics and preparing mathematics teachers. In: BATANERO, C.; BURRILL, G.; READING, C. (Eds.). Teaching Statistics in School Mathematics - Challenges for Teaching and Teacher Education: A Joint ICMI/IASE Study. London: Springer, p BISPO, R.; RAMALHO, G.; HENRIQUES, N. Tarefas matemáticas e desenvolvimento do conhecimento matemático no 5.º ano de escolaridade. Análise Psicológica, v. 26, n. 1, p CHRISTIANSEN, B.; WALTHER, G. Task and activity. In: Christiansen, B.; Howson, A. G.; Otte, M. (Eds.). Perspectives on mathematics education. Dordrecht: D. Reidel, p CYRINO, M. C. C. T.; JESUS, C. C. Análise de tarefas matemáticas em uma proposta de formação continuada de professoras que ensinam matemática. Ciência & Educação. Bauru (no prelo). ELBAZ, F. Teacher thinking: A study of practical knowledge. London: Croom Helm, ERICKSON, F. Qualitative methods in research on teaching. In: WITTROCK, M. C. (Ed.). Handbook of research on teaching. Nova Iorque: MacMillan, p ESTEVAM, E. J. G; CYRINO, M. C. C. T. Educação Estatística e a Formação de Professores de Matemática: cenário de pesquisas brasileiras. Zetetiké Revista de Educação Matemática. Campinas (no prelo).

15 FIORENTINI, D. Pesquisar Práticas Colaborativas ou Pesquisar Colaborativamente? In: FIORENTINI, D.; GARNICA, A. V. M.; BICUDO, M. A. V. Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, p MAKAR, K.; FIELDING-WELLS, J. Teaching Teachers to Teach Statistical Investigations. In: BATANERO, C.; BURRILL, G.; READING, C. (Eds.). Teaching Statistics in School Mathematics - Challenges for Teaching and Teacher Education: A Joint ICMI/IASE Study. London: Springer, p MENEZES, L.; PONTE, J. P. Da reflexão à investigação: Percursos de desenvolvimento profissional de professores do 1.º ciclo na área de Matemática. Quadrante, n. 15, v. 1-2, p. 3-32, OLIVEIRA, H.; MENEZES, L.; CANAVARRO, A. P. Conceptualizando o ensino exploratório da Matemática: Contributos da prática de uma professora do 3.º ciclo para a elaboração de um quadro de referência. Quadrante, v. 22, n. 2, p PONTE, J. P. Estudando o conhecimento e o desenvolvimento profissional do professor de matemática. In: PLANAS, N. (Ed.). Educación matemáticas: teoría, critica y práctica. Barcelona: Graó, p Gestão Curricular em matemática. In: GTI (Ed.). O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: Associação de Professores de Matemática, p Preparing Teachers to Meet the Challenges of Statistics Education. In: BATANERO, C.; BURRILL, G.; READING, C. (Eds.). Teaching Statistics in School Mathematics - Challenges for Teaching and Teacher Education: A Joint ICMI/IASE Study. London: Springer, p PONTE, J. P.; CHAPMAN, O. Mathematics teachers' knowledge and practices. In: GUTIÉRREZ, A.; BOENO, P. (Eds.). Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present, and future. Roterdham: Sense, p PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H. Remar contra a maré: A construção do conhecimento e da identidade profissional na formação inicial. Revista de Educação, v. 11, n. 2, p , STEIN, M. K.; SMITH, M. S. Mathematical tasks as a framework for reflection: From research to practice. Mathematics Teaching in the Middle School, v. 3, n. 4, p , STRAUSS, S.; BICHLER, E. The development of children s concepts of the arithmetic average. Journal for Research in Mathematics Education, v. 19, 64-80, WALLS, F. Challenging task-driven pedagogies of mathematics. In: CLARKSON, P. et al (Eds.). Proceedings of the 28th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. Melbourne, Sydney: Merga, p