Idraulica e Idraulica 1 con Laboratorio

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1 Politecnico di Milano ipartimento di Ingegneria Idraulica, mbientale, Infrastrutture iarie, Rilevamento (IIR) Sezione Ingegneria Idraulica Insegnamento di: Idraulica e Idraulica 1 con aboratorio Proff.. E. Orsi, E. arcan,, S. Franzetti Esercitazioni cura di:. azzarin 1

2 Esercizio 1 Noti: γ = 885 N/m 3, γ m = N/m 3, M = 18,000 m, = 13,000 m. eterminare l indicazione del manometro semplice e l indicazione n del manometro metallico. isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. M γ M n γ m ( = 0,860 m n = 1,589 bar) Esercizio Noti: γ = 9806 N/m 3, γ m1 = N/m 3, γ m = 600 N/m 3, δ = 5,000 m. eterminare le indicazioni 1 e dei manometri differenziali e disegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. δ γ γ m γ 1 γ m1 ( 1 = 0,397 m, = 5,36 m)

3 Esercizio 3 Noti: γ 1 = 9806 N/m 3, γ = 885 N/m 3, γ m = N/m 3, = 0,15 m, a = 0,080 m, b = 0,170 m, c = 0,500 m, = 0,500 m. eterminare le quote dei P..I. dei fluidi γ 1 e γ, la pressione sul fondo e sulla superficie superiore del serbatoio. isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. γ γ 1 c b a γ m Pressione sommità serbatoio = 9904 Pa Pressione superficie superiore serbatoio = 0887 Pa Esercizio 4 Noti: Z -Z E = 0,300 m, Z -Z = 0,50 m, Z -Z = 0,350 m, γ = 9806 N/m 3, γ m = N/m 3. eterminare l affondamento del punto E rispetto al piano dei carici idrostatici del fluido contenuto nel serbatoio S. isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. S γ Z E E Z γ Z Z γ m ( E = 8,590 m) γ m Z = 0,000 m 3

4 Esercizio 5 Noti: γ = 9806 N/m 3, = 0,600 m, = 0,500 m. Tracciare il diagramma di distribuzione delle pressioni; determinare in modulo, direzione e verso la spinta sulla superficie piana di traccia RR e la posizione del relativo centro di spinta R γ R Z = 0,000 m N: - Momento statico = x premuta - per superfici rettangolari, il momento d inerzia rispetto ad un asse passante per il baricentro e xparallelo alla retta di sponda vale: I = (1/1) base altezza 3 R P..I. arctg(γ) p /γ γ R z Z = 0,000 m 4

5 R retta di sponda P..I. ξ RR x RR RR RR γ ξ 0RR SRR R Z = 0,000 m (S = 883 N ξ RR = 0,400 m) Esercizio 6 Noti: γ = 9806 N/m 3, = 1,000 m (dimensione del serbatoio in direzione ortogonale al piano del disegno), = 1,500 m, H =,000 m, n 1 = 0,1 bar, n = -0,1 bar. eterminare, tramite le indicazioni del manometro: la quota del P..I., la spinta, in modulo, direzione e verso, sulla superficie piana verticale di traccia P e la posizione del corrispondente centro di spinta. isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. n 1, n P gas γ H 5

6 P..I.(γ) n 1 I γ P x γ gas S gas ξ γ γ H S P b g b S P γ S γ b γ ξ 0γ S gas = 5000 N, applicata in [H - ]/ S γ = 603 N ξ γ = 1,876 m S = S gas + S γ = 3103 N b S P = 0,88 m n P gas S gas S P b g I H γ b S P S - γ b γ- γ - γ - x γ - ξ 0γ ξ γ P..I.(γ) S + γ γ + x + + γ γ ξ + 0γ ξ γ + b γ+ S gas = N, applicata in [H-]/ S γ + = 1131 N ξ γ + = 0,30 m S γ = N ξ γ = -0,680 m S = S γ + - S gas - S γ =-8968 N b S P = 1,615 m 6

7 Esercizio 7 Noti: = 0,500 m, = 1,000 m, γ 1 = 8335 N/m 3, γ = 9806 N/m 3, α = 60. Tracciare il diagramma di distribuzione delle pressioni. eterminare la spinta sulla superficie piana, circolare, di traccia (in modulo, direzione e verso) e la distanza ξ del corrispondente centro di spinta dalla retta di sponda del fluido γ. γ α γ 1 N: per superfici circolari I = (1/64) π 4 (S = 1468 N, ξ = 1,535 m ) Esercizio 8 Noti: β = 60, γ = 5000 N/m 3, = 4,000 m, a =,500 m, = 6,000 m. isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. eterminare la reazione R necessaria per mantenere in equilibrio la paratoia piana, rettangolare, incernierata lungo il lato di traccia, supposta priva di peso. γ R a β (R = 0417 N) 7

8 Esercizio 9 Noti: γ = 6670 N/m 3, γ m = N/m 3, α = 30, = 0,00 m, = 0,600 m, = 4,000 m, a = 0,050 m. Tracciare il diagramma di distribuzione delle pressioni a ridosso dell otturatore incernierato in ; determinare la coppia Γ ce è necessario applicare all otturatore affincé esso non ruoti intorno all asse orizzontale di traccia. / gas γ α a γ m gas / S gas / cosα S γ ξ 0 γ α Γ / senα a γ m ξ P..I. x R..S S γ = - γ [ + a + / senα + / cosα] π /4 = N ξ = - {[[ + a + / senα + / cosα]/cosα + cosα/ [16 ([ +a+/ senα+/ cosα)]} = -6,134 m Γ = S γ ξ 0 = 37 Nm (orario) 8

9 Esercizio 10 Noti: γ 1 = 6670 N/m 3, γ = 885 N/m 3, 1 = 0,100 m, γ m = N/m 3, a = 0,800 m, b = 0,600 m, c = 0,450 m, d = 0,090 m, e = 0,100 m, (profondità del serbatoio) =,000 m. isegnare, per le due sezioni del recipiente, il diagramma di distribuzione delle pressioni. eterminare l indicazione del manometro differenziale, la spinta totale (in modulo, direzione e verso) sulla superficie di traccia con sepessore trascurabile e la distanza r della sua retta d azione rispetto alla superficie superiore del recipiente. T γ m gas c b d γ 1 γ N 1 e γ m a ( = 0,05 m, S tot = 1011 N, r = 0,11 m ) P..I. (γ ) arctg(γ ) arctg(γ 1 ) P..I. (γ 1 ) T γ m gas c d b γ 1 a γ N e γ m Sul tratto alto e le forze orizzontali dirette verso destra e quelle dirette vesro sinista si autoelidono: il tratto e è scarico. 9

10 P..I. (γ 1 ) P..I. (γ ) x 1 = 1 b x = gas c S ξ 0 T γ m b g S g S g 1 d r ξ 0 1 S 1 b γ 1 b 1 N γ m a γ Esercizio 11 Noti: γ = 8875 N/m 3, F = N, a = 3,000 m, b = 1,500 m, = 1,600 m, 1 = 0,00 m, = 0,600 m. opo aver determinato la posizione del P..I., disegnare per i due recipienti i diagrammi di distribuzione delle pressioni. eterminare il peso P affincé il sistema (torcio idraulico) sia in equilibrio come riportato in figura. F a b P (P = N) 1 γ 10

11 Esercizio 13 Noti: γ = 9806 N/m 3, = 1,00 m, =,000 m, β = 45. eterminare la quota del P..I.; determinare in modulo, direzione e verso la spinta sulla superficie di fondo piana e circolare - e la posizione del corrispondente centro di spinta. Risolvere l esercizio ance tramite il metodo delle componenti. z I =1/64 π 4 x γ Z = 0,000 m β P..I. S z γ β cosβ S x senβ S = γ [-(/) cosβ] π /4 = N S x = γ [ -(/) cosβ] π (/) ( cosβ/) = 1357 N S z = γπ(/) (senβ/) [ -(/) cosβ] = 1357 N ξ =[/cosβ -(/)]+1/16 /[/cosβ -(/)] =,69 m 11

12 Esercizio 14 (Tema d esame del uglio 003) Noti: n = 0,900 bar, = 8,000 m, 1 = (5,000+N/0) m, = 1,300 m, a = 1,000 m, γ m = N/m 3, γ = ( ) N/m 3, l = 4,000 m, recipiente di forma prismatica con profondità = 10,000 m. eterminare il verso ed il modulo della forza F necessaria a garantire l equilibrio del setto di traccia RR nella posizione indicata in figura e l indicazione del manometro differenziale. isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni lungo una verticale ce interessi i tre fluidi. Si descrivano in modo esaustivo le grandezze in gioco ed i passaggi occorrenti alla soluzione. eterminare la pressione sul fondo e sulla sommità del serbatoio. isegnare il P. aria R γ 1 / gas 1 R F n a l E F H I J K M N O P R S T U W X Y Z N = prima lettera del nome = prima lettera del cognome ognome: S Nome: R 1

13 P..I. ξ γ γ = x γ aria b gas, vert. = b aria H b γ b gas, orizz. ξ 0 ξ 0γ S γ γ γ R S aria gas R S gas, vert. S gas, orizz. 1 / F 1 n γ m a l (F = N = 0,538 m) 13

14 Esercizio 15 (Tema d esame del 13 uglio 004) Noti: recipiente di forma prismatica con profondità = 5,000 m, l = (,000 + N/30) m, 1 =,000 m, =,000 m, γ 1 = ( ) N/m 3, γ = 9806 N/m 3, γ m = N/m 3, = 0,500 m, β = 60. eterminare il modulo ed il verso della forza F affincé la parete di traccia, incernierata in e non vincolata in, si trovi nelle condizioni di equilibrio mostrate in figura (con ciuso ). isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni lungo la verticale NN. N gas l F =? 1 γ 1 γ β γ m N E F H I J K M N O P R S T U W X Y Z N = prima lettera del nome = ultima lettera del cognome ognome: Nome: 14

15 N N l gas b g M S 1 S g F =? T 1 γ 1 β γ m arctg(γ ) R Δ H 1 H γ N x ξ ξ 0 b S1 P..I. (γ ) arctg(γ 1 ) P..I. (γ 1 ) N R..S. (F = N ) 16

16 Esercizio 16 Noti: γ = 775 N/m 3, = 7,500 m, = 11,000 m. isegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. eterminare la pressione del gas intrappolato all interno della calotta semisferica di traccia, il modulo e le componenti della spinta (secondo l assegnato sistema si riferimento x, z) da esso esercitata sulla medesima. z gas x γ (p gas = Pa S x = 0 N S z = N S = N) Esercizio 17 Noti: γ = 6750 N/m 3, γ m = N/m 3, 1 = 1,000 m, =,500 m, d =,100 m, = 0,00 m, = 0,500 m, serbatoio prismatico di profondità =,000 m. eterminare i moduli e le componenti (secondo l assegnato sistema si riferimento x, z) delle spinte sulle due calotte cilindrice. z x d 1 1 S 1 x = 1947 N S 1 z = 135 N S 1 = 1993 N S x = 937 N S z = 135 N S = 940 N γ m γ 16

17 Esercizio 18 Noti: γ = 6750 N/m 3, γ m = N/m 3, 1 = 1,000 m, =,500 m, d =,100 m, = 0,00 m, = 0,500 m, serbatoio prismatico di profondità =,000 m. eterminare i moduli e le componenti (secondo l assegnato sistema si riferimento x, z) delle spinte sulle due calotte cilindrice. z x d 1 1 S 1 x = N S 1 z = 135 N S 1 = 3413 N γ m γ S x = -397 N S z = 135 N S = 4009 N Esercizio 19 Noti: γ = 8000 N/m 3, α = 45, = 3,100 m, =1,00 m. eterminare il modulo e le componenti (secondo l assegnato sistema di riferimento x, z) della spinta sulla superficie semisferica di traccia. z x S x = N S z = 0738 N γ α S = 6891 N 17

18 Esercizio 0 Noti: γ = 7354 N/m 3, γ m = N/m 3, = 1,800 m, = 0,500 m, α = 30, = 5,000 m, = 1,00 m. eterminare le componenti (in modulo direzione e verso) della spinta sulla calotta semisferica di traccia secondo i sistemi di riferimento indicati. γ / / / τ α z α x σ α γ m S x = N S z = N S = N S σ = N α S τ = 974 N α S = N Esercizio 1 Noti: γ = 7354 N/m 3, γ m = N/m 3, = 1,800 m, = 0,500 m, α = 30, = 5,000 m, = 1,00 m. eterminare le componenti (in modulo direzione e verso) della spinta sulla calotta semisferica di traccia secondo i sistemi di riferimento indicati. γ m γ α / / / τ α z α S x = N S z = N S = N S σ = N S τ = 974 N S = N x σ α α 18

19 Esercizio Noti: γ 1 = 8000 N/m 3, γ = 9806 N/m 3, γ m = N/m 3, = 0,50 m, = 1,000 m, = 1,500 m. eterminare le quote dei P..I. di entrambi i fluidi; determinare, tramite il metodo dell equilibrio globale, in modulo, direzione e verso, la spinta sulla sfera solida di peso specifico γ S. z x γ 1 γ m γ S γ P..I.(γ 1 ) P..I.(γ ) 1 I γ 1 γ 1 γ m z 1 1 Π 0 Π 1 Π γ x γ 19

20 P..I.(γ 1 ) P..I.(γ ) z 1 1 γ 1 /3 /π /3 /π x γ Π 1 + Π + Π 0 = 0 S = Π 0 S x = Π 1 + Π = N S z = 1 + = 331 N S = N Esercizio 3 Noti: γ 1 = 7354 N/m 3, γ = 90 N/m 3, γ 3 = 1356 N/m 3, γ m = N/m 3, 1 = 0,50 m, = 0,100 m, = 1,600 m, 1 =,600 m, = 5,000 m, 3 = 0,700 m, 4 = 1,500 m, = 7,000 m. eterminare le componenti della spinta netta (in modulo, direzione e verso secondo l assegnato sistema di riferimento x, z) sulla calotta cilindrica di traccia RR. γ m z 1 anidride carbonica γ 1 R metano 4 / 3 γ m 1 x γ R / / γ 3 S x = N S z = 9331 N S = 4604 N 0

21 Esercizio 4 Noti: γ 1 = 9806 N/m 3, γ = 7000 N/m 3, n = 1,300 bar, 1 = 1,000 m, = 0,00 m, n = 1,000 m. eterminare la forza F necessaria affincé il sistema sia in equilibrio nella configurazione indicata (i pistoni scorrono senza attrito e quello di diametro termina con una calotta semisferica). Indicare qualitativamente i livelli raggiunti nei piezometri. z x n F 1 γ 1 n γ ( F = N) Esercizio 5 Noti: γ 1 = 9806 N/m 3, γ = 7000 N/m 3, γ s = 0000 N/m 3, n = 1,300 bar, d 1 =,00 m, d = 0,400 m, d 3 = 0,600 m, d 4 = 0,500 m, α = 30, =,500 m, 1 = 1,000 m, = 0,00 m, n = 1,000 m. eterminare la forza F necessaria affincé il sistema sia in equilibrio nella configurazione indicata (i pistoni scorrono senza attrito ed il pistone di diametro termina con una calotta semisferica). F d 4 d 3 z α τ γ s 1 γ 1 d γ s n α x σ α d 1 σ n ( F = N) γ 1

22 P..I.(γ 1 ) F d 4 d 3 (1) calotta P..I.(γ ) z α τ P( 1 ) senα ( 1 ) γ s 1 S σ ( 1 ) S σ ( ) γ 1 d γ s n α x σ ( F = N) α d 1 P( ) senα γ z( ) σ n Π 0 γ 1 d calotta Π 1 Esercizio 6 Noti: γ 1, γ, γ S, γ m,, geometria. Si ipotizzi ce non esistano attriti tra la valvola a pistone e le pareti su cui scorre (traccia HK). eterminare, tramite il metodo dell equilibrio globale, in modulo, direzione e verso la forza F necessaria a garantire l equilibrio della valvola nella posizione indicata in figura. γ 1 γ m γ S γ H K F

23 P..I.(γ 1 ) P..I.(γ ) 1R R γ 1 γ m R γ S γ H K F P..I.(γ 1 ) P..I.(γ ) Π + Π 0 (γ 1, γ ) = 0 S(γ 1, γ ) = Π 0 (γ 1, γ ) 1 γ 1 γ Π 0 (γ 1, γ ) H K Π 3

24 ξ γ S S(γ 1, γ ) S Sη + S η (γ 1, γ )+ F = 0 F = - Sη -S η (γ 1, γ ) F η Esercizio 7 Noti: γ = N/m 3, γ s = 6000 N/m 3, = 1,500 m, H = 1,500 m, = 0,750 m, n = 0,00 m. eterminare l indicazione n registrata dal manometro metallico per le condizioni di equilibrio rappresentate in figura (incipiente sollevamento del tappo cilindrico ce scivola senza attrito sulle pareti inclinate). n γs H n γ (n = 0,471 bar) 4

25 Esercizio 8 Noti: γ = N/m 3, γ s = 6000 N/m 3, = 1,500 m, H = 1,500 m, n = 0,471 bar, n = 0,00 m. eterminare l affondamento nelle condizioni di equilibrio rappresentate in figura (incipiente sollevamento del tappo cilindrico ce scivola senza attrito sulle pareti inclinate). n γs H n γ ( = 0,750 m) Esercizio 9 Noti: γ = 6000 N/m 3, γ m = N/m 3, γ s = N/m 3, d = 1,00 m, = 0,500 m, 1 =,500 m, = 6,000 m, = 0,150 m; il tappo cilindrico scorre senza attrito sulle guide laterali (pattini). eterminare l indicazione del manometro differenziale e disegnare il diagramma di distribuzione delle pressioni. d γs γ 1 γ ( = 0,34 m) γ m 5

26 Esercizio 30 Noti: γ = 6000 N/m 3, γ m = N/m 3, d = 1,00 m, = 0,34 m, = 0,500 m, 1 =,500 m, = 6,000 m, = 0,150 m; il tappo cilindrico scorre senza attrito sulle guide laterali (pattini). eterminare il peso specifico γ s del tappo cilindrico e disegnare il il diagramma di distribuzione delle pressioni. d γs γ 1 γ (γ s = N/m 3 ) γ m Esercizio 31 Noti: γ, geometria del sistema. eterminare, tramite il metodo dell equilibrio globale, in modulo direzione e verso la spinta sulla superficie curva di traccia. Risolvere l esercizio ance tramite il metodo delle componenti. gas γ 6

27 P..I. R..S.() Π Π 1 + Π 0 = 0 Π 0 S = - Π 0 S = {[(γ W + Π 1 z) + Π 1 x ]} 1/ P..I. Π Π Π 0 + Π + Π 3 + Π 0 = 0 S = - Π 0 S = {[(γ W + 3 ) + ( ) ]} 1/ 7

28 Π 3 Π Π 1 - Π 1 + Π + Π 3 = 0 Π + Π 3 = - +Π 1 S = + Π + Π 3 = - + Π 1 = + Π 1 (c.v.d.) S z P..I. z S z x S z = S z + S z = + Π 3 S z =γ W S z = γ W 8

29 P..I. S x x SX x X S = {γ [W + W ] + [ ( x X - x SX )] } 1/ S = S z + S x = + Π + Π 3 (c.v.d.) Esercizio 3 Noti: γ = 9806 N/m 3, γ m = N/m 3, = 1,000 m, = 0,400 m, R =,100 m, =,000 m. Tracciare il diagramma di distribuzione delle pressioni; determinare, tramite il metodo dell equilibrio globale, in modulo, direzione e verso le spinte sulle superfici curve di traccia e. Risolvere l esercizio ance tramite il metodo delle componenti. R aria γ m γ R 9

30 R S a aria γ m P..I.(γ m ) I γ S γ R P..I.(γ) z Π 1 a aria Π 0a x a a + Π 1a + Π 0a = 0 S = Π 0a S x = γ I R = 4048 N S z = γ I R = 4048 N 30

31 Π 1 γ 1 γ Π 0 γ γ + Π 1 γ + Π 0 γ = 0 S =-Π 0 γ 1 γ P..I.(γ) S x = γ 1 R = N S z = γ 1 R - γ [1/4 π R - 1/ R ] = N Π 3 γ Π γ 3 z γ Π 0 γ x 3 γ γ + Π γ + Π 3 γ + Π 0 γ = 0 S = -Π 0 γ P..I.(γ) S x = Π γ = γ R = N S z = Π 3γ γ = γ 3 R - γ [1/4 π R ] = N 31

32 R S x aria I S z γ S x R γ m x = P..I.(γ) - γ = S z S x = γ I R = 4048 N S x = γ R = N S z = γ I R = 4048 N S z = γ = γ 3 R -1/4 π R = N 3

33 Esercizio 33 Noti: Z = 18,000 m, Z 0 = 16,000 m, = 0,300 m, γ = 885 N/m 3, g = 9,806 m/s, fluido ideale. eterminare la portata circolante. Tracciare la linea dei carici totali (..T.) e la linea piezometrica (.P.). Z Z 0 γ Z = 0,000 m Z..T..P. p /γ p /γ v /(g) v /(g) p /γ γ Z Z Z = 0,000 m Z Z 0 ( = π /4 [ g (Z - Z 0 )] 1/ = 0,443 m 3 /s) 33

34 Esercizio 34 Noti: Z = 50,000 m, Z = 45,000 m, = 0,600 m, γ = 775 N/m 3, α = 45, g = 9,806 m/s, fluido ideale. eterminare la portata transitante, la quota Z raggiungibile dal getto in atmosfera e la massima quota Z al variare dell angolo α. Tracciare la linea dei carici totali (..T.) e la linea piezometrica (.P.). Z γ capacità infinita α Z Z Z = 0,000 m p 1 /γ..t. v /(g) v /(g) Z γ 1.P. Z 1 capacità infinita α Z Z Z = 0,000 m = π /4 [ g (Z - Z )] 1/ =,800 m 3 /s Z (α = 90 ) = Z MX = Z = 50,000 m Z (α) =Z -[v /( g)] [cosα] = 47,500 m 34

35 Esercizio 35 Noti: Z = 1,000 m, 1 = 0,00 m, = 0,100 m, = 0,150 m, γ = 9806 N/m 3, γ m = N/m 3, g = 9,806 m/s, fluido ideale. eterminare la portata transitante ed il livello Z del serbatoio di valle. Tracciare la linea dei carici totali (..T.) e la linea piezometrica (.P.). Z γ 1 Z capacità infinita γ m Z = 0,000 m capacità infinita..t. γ capacità infinita Z v 1 /(g) v /(g) δ.p. p 1 /γ p /γ 1 1 Z 1 Z γ m Z = 0,000 m 3 Z 3 v 3 /(g) p 3 /γ Z capacità infinita = [ 1 ]/[ 1 - ] ½ [ g (γ m - γ)/γ] 1/ = 0,049 m 3 /s Z = Z - /( g ) = 9,984 m 35

36 Esercizio 36 Noti: Z = 16,000 m, Z = 15,000 m, 1 = 0,500 m, = 0,400 m, γ = N/m 3, γ m = 600 N/m 3, g = 9,806 m/s, fluido ideale. eterminare la portata transitante ed il dislivello manometrico Δ. Tracciare la linea dei carici totali (..T.) e la linea piezometrica (.P.). Z γ m γ Δ Z capacità infinita 1 Z = 0,000 m capacità infinita..t. γ Z p E /γ v E /(g) γ m Δ δ v v /(g) F /(g).p. p F /γ p /γ Z E F capacità infinita 1 Z E Z = 0,000 m Z F 1 Z capacità infinita = π 1 /4 [ g (Z - Z )] 1/ = 0,870 m 3 /s Δ = γ/(γ - γ m ) /( g) [ 1 - ]/ [ 1 ] = 1,501 m 36

37 Esercizio 37 Noti: Z = 1,000 m, Δ = 0,050 m, = 0,50 m, 3 = 0,00 m, 4 = 0,300 m, γ = 7800 N/m 3, γ m = N/m 3, g = 9,806 m/s, fluido ideale. eterminare le portate transitanti, INF e SUP, ed il livello Z del serbatoio di valle. Tracciare la linea dei carici totali (..T.) e la linea piezometrica (.P.). Z γ 1 SUP Z INF 4 capacità infinita Δ 3 capacità infinita γ m Z = 0,000 m γ Z δ.p.( SUP )..T. v v F /(g) /(g).p.( INF ) p F /γ p /γ 1 SUP p F /γ F v E /(g) p E /γ Z E INF 4 capacità infinita Δ Z 3 capacità infinita γ m Z = 0,000 m Z F Z E INF = 3 [ g Δ (γ m - γ)/γ] 1/ = 0,15 m 3 /s SUP = [ g (Z - Z )] 1/ = 0,087 m 3 /s Z = Z - INF /( g 4 ) = 0,841 m 37

38 Esercizio 38 Noti: Z = 1,000 m, 1 = 0,00 m, = 0,100 m, = 0,150 m, γ = 9806 N/m 3, γ m = N/m 3, g = 9,806 m/s, ν =, m /s, 1 = 6,000 m, = 8,000 m, ε 1 = 0,0005 m, ε = 0,000 m (liscio), α = 1. eterminare la portata transitante ed il livello Z del serbatoio di valle. Tracciare la..t. e la.p.. Z γ, ν Z 1, 1, ε 1 capacità infinita γ m Z = 0,000 m,, ε capacità infinita α 1 /(g) J 1 1 γ, ν Z p 1 /γ δ p /γ α /(g).p...t. J α /(g) 1, 1, ε 1 1 Z capacità infinita Z 1 Z γ m,, ε Z = 0,000 m capacità infinita = [ 1 ]/[ 1 - ] 1/ [ g (γ m - γ)/γ] 1/ = 0,049 m 3 /s Z = Z - λ 1 / 1 /( g 1 ) 1 - λ / /( g ) - α /( g ) = 7,85 m 38

39 Esercizio 39 Noti: Z = 11,000 m, Z = 9,000 m, 1 = 10,000 m, = 3,000 m, 1 = 0,00 m, = 0,150 m, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, = 0,100 m 3 /s, = 0,61, ε 1 = ε = 0,000 m (primo caso); ε 1 = 8, m, ε (*) = 7, m (secondo caso), g = 9,806 m/s, α = 1. eterminare il livello Z del serbatoio di monte. Tracciare la..t. e la.p.. erificare il valore della pressione all imbocco. Z 1, 1, ε 1,, ε γ, ν Z Z = 0,000 m 0,5 1 /(g) 0,1 1 /(g) α 1 /(g) α /(g) p /γ J 1 1..T. α /(g) J Z γ, ν.p (*). 1, 1, ε 1,, ε α /(g) Z Z Z = 0,000 m Z = Z + α /( g) + 0,5 1 /( g) + J J = 11,75 m p /γ = -0,715 m (tubi lisci) Z = Z + α /( g) + 0,5 1 /( g) + J J = 1,614 m p /γ = 0,174 m (tubi scabri) 39

40 Esercizio 40 Noti: n = 0,5 bar, Z = 10,000 m, Z(d) = 3,000 m, Z( ) = 5,000 m, 1 = 100,000 m, 1 = 0,600 m, ε 1 = 0,00 m, = 0,00 m, d = 0,150 m, γ = 6668 N/m 3, ν =4, m /s, g = 9,806 m/s, µ( ) = 0,98, µ(d) = 0,6, α = 1. eterminare le portate effluenti, e 3, e quella circolante 1 ; determinare il livello Z M del serbatoio di monte. Tracciare la..t. e la.p.. Z M gas n γ, ν 1 1, 1, ε 1 Z 1 d Z( ) Z = 0,000 m Z(d) 3 α 1 /(g) Z M..T..P. J 1 1 α 1 /(g) gas p /γ n γ, ν 1 1, 1, ε 1 H Z (d) ( ) 1 Z = 0,000 m Z(d) 3 Z( ) = µ( ) ( )[g ( )] 1/ = 0,403 m 3 /s 3 = µ(d) (d) [g (d)] 1/ = 0,154 m 3 /s 1 = + 3 = 0,557 m 3 /s Z M = α 1 /( g) +J H = 14,838 m d 40

41 Esercizio 41 Noti: Z = 30,000 m, 1 = 10,000 m, = 16,000 m, 1 = 0,300 m, = 0,400 m, γ = 1366 N/m 3, α = 1, ν = 6, m /s, = 0,300 m 3 /s, g = 9,806 m/s, ε 1.1 = 0,000 m (primo caso), ε 1. = 0,005 m (secondo caso), ε = 0,005 m. eterminare il livello Z M del serbatoio di monte. Tracciare la..t. e la.p.. γ, ν capacità infinita 1, 1, ε 1,, ε capacità infinita Z M Z = 0,000 m Z 1,16 1 /(g) ( 1 ) /(g) J α /(g) α 1 /(g) J 1 1 γ, ν α /(g) capacità infinita 1, 1, ε 1,, ε capacità infinita Z M Z = 0,000 m Z Z M = 1,16 1 /( g) + J ( 1 - ) + J + α /( g) + Z = 3,837 m Z M = 1,16 1 /( g) + J ( 1 - ) + J + α /( g) + Z = 33,498 m 41

42 Esercizio 4 Noti: Z = 30,000 m, 1 = 10,000 m, = 16,000 m, 1 = 0,300 m, = 0,400 m, γ = 1366 N/m 3, α = 1, ν = 6, m /s, = 0,300 m 3 /s, m(β) = 0,3, ε 1.1 = 0,000 m (primo caso), ε 1. = 0,005 m (secondo caso), ε = 0,005 m, g = 9,806 m/s. eterminare il livello Z M del serbatoio di monte. Tracciare la..t. e la.p.. capacità infinita γ, ν 1, 1, ε 1 β,, ε capacità infinita Z M Z = 0,000 m Z 1,16 1 /(g) m(β)( 1 ) /(g) α 1 /(g) J 1 1 J α /(g) capacità infinita γ, ν 1, 1, ε 1 β,, ε α /(g) capacità infinita Z M Z = 0,000 m Z Z M = 1,16 1 /( g) + J m(β) ( 1 - ) + J + α /( g) + Z = 3,713 m Z M = 1,16 1 /( g) + J m(β) ( 1 - ) + J + α /( g) + Z = 33,375 m 4

43 Esercizio 43 Noti: Z 1 = 45,000 m, Z = 15,000 m, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, p 1 = Pa, p = Pa, = 0,50 m, = 150,000 m, ε = 0,0005 m, α = 1, g = 9,806 m/s. eterminare la portata transitante. Tracciare la..t. e la.p.. α 1 /(g)..t. p 1 /γ.p. α /(g) 1 p /γ,, ε Z 1 Z Z = 0,000 m ( = π /4 [ g J/λ] 1/ = 0,131 m 3 /s) 43

44 Esercizio 44 Noti: = 0,8 m, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, γ m = N/m 3, = 0,50 m, = 150,000 m, ε = 0,0005 m, α = 1, g = 9,806 m/s. eterminare la portata transitante. Tracciare la..t. e la.p.. α 1 /(g)..t. p 1 /γ.p.,, ε δ α /(g) 1 p /γ Z 1 Z γ m Z = 0,000 m ( = π /4 [ g J/λ] 1/ = 0,131 m 3 /s) 44

45 Esercizio 45 Noti: Z M = 50,000 m, Z,000 m, Z = 35,000 m, = 100,000 m, = 0,100 m, ε = 1, m, γ = 9806 N/m 3, ν =1, m /s, α = 1, g = 9,806 m/s. eterminare la portata circolante e verificare la pressione all imbocco Tracciare la..t. e la.p.. Z M Z γ, ν,, ε Z Z = 0,000 m α /(g) Z M p /γ 0,5 /(g) α /(g)..t..p. J α /(g) γ, ν Z,, ε Z Z = 0,000 m (I) = {[ g (Z M - Z )]/[0,5 + λ (III) / +1]} 1/ = 0,0409 m 3 /s p = γ {Z M -[Z + α /( g) +0,1 /( g)]} = Pa 45

46 Esercizio 46 Noti: Z m = 50,000 m, Z = 40,000 m, 1 = 300,000 m, = 150,000 m, 3 = 150,000 m, 1 = 0,500 m, = 0,300 m, 3 = 0,600 m, ε 1 = 0,005 m, ε = 0,009 m, ε 3 = 0,009 m, γ = 9806 N/m 3, ν = 1, m /s, γ m = N/m 3, = 0,300 m, l = 30,000 m, = 0,61, g = 9,806 m/s, α = 1. eterminare le portate circolanti 1 e ed il livello Z del serbatoio di valle. erificare il valore della pressione all imbocco. Tracciare le..t. e le.p.. Z m l 1 Z γ, ν γ m 1, 1, ε 1 capacità infinita Z,, ε 3, 3, ε 3 Z = 0,000 m capacità infinita 0,5 1 /(g)..t.( 1 ) J 1 1 α 1 /(g) α /(g) p /γ α 1 /(g).p.( 1 ) Z m l 1 γ, ν γ m 1, 1, ε 1 Z capacità infinita Z,, ε 3, 3, ε 3 Z = 0,000 m capacità infinita 46

47 ..T.( ) J ( - 3 ) /(g) J 3 3 α 3 /(g) α /(g).p.( ) α3 /(g) Z m l 1 γ, ν γ m 1, 1, ε 1 Z capacità infinita Z,, ε 3, 3, ε 3 Z = 0,000 m capacità infinita 1 = 1 [ g 1 J 1 /λ 1 ] 1/ = 1,11 m 3 /s Z = Z M [0,5 1 /( g 1 )+J /( g 1 )] = 9,706 m p /γ = Z M [Z + α /( g) +0,1 1 /( g)] = 5,365 m = {(Z M Z )/[(λ )/( g ) + 1/( g) (1/ -1/ 3 ) + (λ 3 3 )/( g 3 3 )+1/( g 3 )]} ½ = = 0,364 m 3 /s 47

48 Esercizio 47 Noti: Z M = 3,000 m, Z = 6,500 m, 1 = 55,000 m, = 40,000 m, a = 0,040 m, b = 0,750 m, α = 1, 1 = 0,300 m, = 0,00 m, ξ brusco restr. = 0,3, η P = 0,75, = 0,61, µ = 0,6, ε 1 = ε = 6, m, = 0,300 m, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, γ m = N/m 3, g = 9, 806 m/s. eterminare la portata circolante, il carico H del serbatoio di valle, la pressione dell aria e la potenza W P assorbita dalla pompa. Tracciare la..t. e la.p.. aria Z M γ, ν 1, 1, ε 1 P,, ε Z b a Z = 0,000 m γ m a J 1 1 ξ /(g) α 1 /(g) aria 0,5 1 /(g) H P α /(g) J α /(g) Z M α 1 /(g) γ, ν Z = 0,000 m 1, P 1, ε 1 γ m,, ε Z a H = {[ g (γ m - γ)/γ]/[(1 + ξ)/ - 1/ 1 ]} 1/ = 0,88 m 3 /s H = a + /[(µ a b) g] = 13,050 m H P = H +0,5 /( g 1 )+(λ 1 / 1 ) /( g 1 ) 1 +(λ / ) /( g ) + ξ /( g )+ W P = γ H P /η P = 1793 W + α /( g )-Z M = 4,99 m p aria = γ [H Z ] = Pa 48

49 Esercizio 48 Noti: Z M = 5,000 m, Z = 9,000 m, Z a = 0,000 m, 1 = 30,000 m, = 60,000 m, a = 0,150 m (luce circolare), 1 = 0,00 m, = 0,400 m, η T = 0,8, µ = 0,6, ε 1 = ε =, m, α = 1, = 0,030 m, γ = 6668 N/m 3, ν =4, m /s, γ m = N/m 3, g = 9, 806 m/s. eterminare la portata circolante, il carico H del serbatoio di valle, la pressione del gas e la potenza W T ritraibile dalla turbina. Tracciare la..t. e la.p.. Z M gas γ, ν 1, 1, ε 1 capacità infinita γ m T,, ε Z = 0,000 m a Z Z a α 1 /(g) J 1 1 ( 1 - ) /(g) J Z M γ, ν capacità infinita = {[ g (γ m - γ)/γ]/[1/ 1-1/ - (1/ 1-1/ ) ]} 1/ = 0,10 m 3 /s H = /[µ (π a /4) g] = 6,551 m H T = Z M -(λ 1 / 1 ) /( g 1 ) 1 - /( g) (1/ 1-1/ ) -(λ / ) /( g ) - - α /( g ) - H = 6,551 m W T = η T γ H T = 400 W 1, 1, ε 1 γ m α /(g) H T T,, ε Z = 0,000 m α /(g) gas α /(g) p gas = γ [H Z ] = Pa a Z H Z a 49

50 Esercizio 49 Noti: Z S = 9,000 m, Z = 11,500 m, Z M = 13,000 m, α = 1, 1 = 11,000 m, 1 = 0,50 m, ε 1 = 1, m, = 0,000 m, = 0,00 m, ε = 5, m, U = 0,150 m, = 0,8, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, η P = 0,78, φ = 0,78, g = 9, 806 m/s si consideri trascurabile la distanza tra la pompa e la flangia di traccia ed ideale il comportamento del liquido nell atmosfera. eterminare la portata transitante, la potenza W P assorbita dalla pompa. Tracciare la..t. e la.p.. M γ, ν Z S 1, 1, ε 1 P φ,, ε U Z = 0,000 m Z Z M α /(g) J α /(g) αm /(g) M H P γ, ν α 1 /(g) J 1 1 Z S P 1, 1, ε 1 φ U,, ε Z = 0,000 m Z Z M = U [ g (Z M - Z )/(senφ) ] 1/ = 0,108 m 3 /s H P = Z + α /( g) + J - Z S + J 1 1 = 7,358 m W P = γ H P /η P = 804 W 50

51 Esercizio 50 (Tema d esame del 15 uglio 00) Noti: Z = 35,000 m, Z U = 31,000 m, W P = ( ) W, 1 = 0,400 m, = 0,350 m, 3 = 0,300 m, 1 = 8,000 m, = (6,000+N/0) m, 3 = 9,000 m, ε 1 = ε = ε 3 = m, U = 0,00 m, v = 0,98, α = 1, η P = 0,75, γ = 9806 N/m 3, ν = m /s, ξ brusco restr. = 0,3, g = 9, 806 m/s. eterminare la portata circolante nell impianto, la prevalenza H P superata dalla pompa, la quota Z M del serbatoio di monte. Tracciare la T e la P. luce ben raccordata imbocco ben raccordato 3, 3, ε 3 Z U U capacità Z P γ, ν M infinita 1, 1,,, ε ε 1 Z = 0,000 m Z E 5 F 6 7 H 8 I 9 J 10 K M 13 N 14 O 15 P R 18 S 19 T 0 U 1 W 3 X 4 Y 5 Z 6 N = prima lettera del nome = 6 = prima lettera del cognome = 6 J ξ 3 /(g) J 3 3 H P α /(g) α 3 /(g) α 3 /(g) J 1 1 α 1 /(g) 3, 3, ε 3 U Z U capacità infinita γ, ν Z M P 1, 1, ε 1,, ε Z = 0,000 m Z = U [ g (Z Z U ] 1/ = 0,73 m 3 /s H P = η P W P /(γ ) = 1,765 m Z M = (λ 1 / 1 ) /( g 1 ) 1 - H P +(λ / ) /( g ) + ξ /( g 3 )+ + (λ 3 / 3 ) /( g 3 ) + α /( g 3 )+Z = 15,151 m 51

52 Esercizio 51 (Tema d esame del 13 uglio 004) Noti: Z = 450,000 m, ZM = 500,000 m, Z0,000 m, Z = 490,000 m, Z 3 = 494,000 m, moto permanente, 1 = 0,500 m 3 /s, 4 = 0,00 m 3 /s, 1 = (00,000 + N/10) m, = (500,000 + /10) m, 1 = 0,400 m, = 0,500 m, d = d3 = 0,100 m, ε 1 = 0,00 m, ε =, m, α = 1, γ = 9806 N/m 3, ν = 1, m /s (viscosità cinematica), g = 9,806 m/s, v = 0,98, µ = 0,6, η T = 0,8, η P = 0,7. eterminare la potenza W P assorbita dalla pompa, le portate effluenti e 3, quella circolante e la potenza W T ottenibile dalla turbina. Tracciare.P. e..t.. Si descrivano in modo esaustivo le grandezze in gioco ed i passaggi occorrenti alla soluzione. 4 =? Z W T =? T,, ε Z = 0,000 m Z M d 3 d =? 3 =? Z 3 Z W P =? P 1, 1, ε 1 Z 1 E F H I J K M N O P R S T U W X Y Z N = prima lettera del nome = 1 = prima lettera del cognome = 1 α 1 /(g) J 1 1 J α /(g) 4 α 1 /(g) α 1 /(g) Z M 3 H P 0,5 1 /(g) H T α /(g) d 3 P α /(g) Z T,, ε Z = 0,000 m d 3 Z Z 3 1, 1, ε 1 Z 1 (W P = W = 0,066 m 3 /s = 0,083 m 3 /s = 0,551 m 3 /s W T = W) 5

53 Esercizio 5 Noti: Z n = 6,000 m, Z,000 m, α = 1, 1 = 15,000 m, = 3 = 1,000 m, 4 = 13,000 m, 1 = 0,500 m, = 3 = 4 = 0,300 m, ε 1 = ε = ε 3 = ε 4 = 1, m, ξ (brusco restr.) =0,3,η P = 0,75, γ m = N/m 3, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, 1 = 0,900 m, = 0, 00 m, g = 9, 806 m/s. eterminare la portata circolante, la potenza W P assorbita dalla pompa, il livello Z M del serbatoio di monte e la pressione n rilevata dal manometro metallico. Fare attenzione, l esercizio può essere risolto ance senza adoperare il manometro differenziale di valle. Tracciare la..t. e la.p.. n Z M Z = 0,000 m Z n Z γ, ν 1 γ aria capacità infinità 1, 1, ε 1,, ε 3, 3, ε 3 P 4, 4, ε 4 capacità infinità γ m Z M Z = 0,000 m α /(g) J 1 α /(g) 1 J 3 3 0,5 ξ /(g) 1 /(g) α 3 /(g) J α n 4 /(g) α 1 /(g) Z n H P J 4 4 α 4 /(g) Z γ, ν capacità infinità 1 γ aria H n P, 1, 1, ε 1, ε 3, 3, ε 3 γ m 4, 4, ε 4 capacità infinità = {[ g 1 /[(1 + ξ)/ -1/ 1 ]} 1/ = 0,75 m 3 /s H P = (γ m - γ)/γ = 3,00 m W P = γ H P /η P = 9188 W H n = (λ 3 / 3 ) /( g 3 ) 3 H P + (λ 4 / 4 ) /( g 4 ) 4 + α /( g 4 ) + Z = -0,689 m n = γ [H n Z n ] = Pa Z M = 0,5 /( g 1 ) + (λ 1 / 1 ) /( g 1 ) 1 + ξ /( g ) + (λ / ) /( g ) + + α /( g ) + H n = 1,69 m 53

54 Esercizio 53 Noti: Z M = 65,000 m, Z 1 = Z = 0,000 m, = 0,50 m 3 /s, 1 = 10,000 m, = 1,000 m, 3 = 15,000 m, = 0,00 m, ε = 7, m, γ = 6668 N/m 3, g = 9,806 m/s, ν = 4, m /s, θ = 10, α = 1, β = 1. eterminare le componenti della spinta sulla superficie curva di lungezza secondo l assegnato sistema di riferimento. z x Z M α /(g) J ( ) α /(g) γ, ν 1,, ε Z 1 1,, ε θ θ 3,, ε Z Z = 0,000 m α /(g) α /(g) α /(g) 1 Π 0 1 M 1 -M Z 1 Π 1 θ θ Π Z Z = 0,000 m + Π 1 + Π + Π 0 + M 1 - M = 0 S = - Π 0 = + Π 1 + Π + M 1 - M 54

55 γ applicato nel baricentro del volume di controllo Π 1 = γ 1 θ applicata nel centro di spinta della superficie di baricentro 1, posto più in basso di quest ultimo. 1 = Z M - J 1 - α /( g) Z 1 Π = γ θ applicata nel centro di spinta della superficie di baricentro, posto più in basso di quest ultimo. = Z M - J ( 1 + ) - α /( g) Z M 1 = βρ θ applicato nel baricentro 1 M = βρ θ applicato nel baricentro Sx =(Π 1 + M 1 - Π - M ) cosθ = (Π 1 - Π ) cosθ = γ J cosθ = 90 N Sz =(Π 1 + M 1 + Π + M ) senθ = 1678 N S = [Sx +Sz ] 1/ = 1703 N 55

56 Esercizio 54 Noti: Z = 45,000 m, Z 1 = 0,000 m, = 0,300 m 3 /s, 1 = 10,000 m, = 1,000 m, 3 = 15,000 m, 4 = 15,000 m, 1 = 0,350 m, = 0,300 m, ε 1 = 1, m, ε = 5, m, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, g = 9,806 m/s, θ = 0, α = 1, β = 1. eterminare le componenti della spinta sulla superficie curva di lungezza 3 secondo un conveniente sistema di riferimento. J ( ) α /(g) 0,5 1 /(g) H P α /(g) α 1 /(g) J 1 1 Z γ, ν 1, 1, ε 1 Z = 0,000 m P,, ε Z 1 1 3,, ε 4,, ε θ α /(g) α /(g) α /(g) η 1 Π 0 M 1 1 Π 1 Z 1 Z = 0,000 m Π -M θ Z ξ + Π 1 + Π + Π 0 + M 1 - M = 0 S = - Π 0 = + Π 1 + Π + M 1 - M S ξ =(Π 1 + M 1 - Π - M )+senθ = (Π 1 - Π )+senθ = 70 Ν θ θθ S η = - cosθ = 3648 Ν S = [S ξ +S η ] 1/ = 3658 Ν 56

57 Esercizio 55 Noti: Z M = 100,000 m, Z 1 = Z = 15,000 m, W T = W, = 0,300 m 3 /s, m(β * ) = 0,7, α = 1, β = 1, 1 = 100,000 m, 1 = 0,300 m, ε 1 = 5, m, = 10,000 m, = 0,500 m, ε = 9, m, 3 = 0,700 m, l 1 = l = 0,951 m, γ = 9806 N/m 3, ν = 1, m /s, g = 9,806 m/s, η T = 0,8. eterminare le componenti della spinta sul tronco divergente+convergente secondo l assegnato sistema. di riferimento. 0,5 1 /(g) J J 1 m(β * )( - 3 ) /(g) z 1 α H 3 /(g) Z T M α α 1 /(g) /(g) J 3 x γ, ν 1, 1, ε 1 Z = 0,000 m α /(g) T,, ε β * 1 3 Z 1 l 1 l 3,, ε α /(g) Z m(β * )( - 3 ) /(g) z α /(g) α 3 /(g) α /(g) x Π 0 1 β * + Π 1 + Π + Π 0 + M 1 - M = 0 M M S = - Π 0 = + Π 1 + Π + M 1 - M Z 1 Z Π 1 Π l 1 l Z = 0,000 m S x =(Π 1 + M 1 Π M ) = (Π 1 Π ) =γ m(β * )( 3 ) /( g) = 38 N S z = = γ 1/3 π (l 1 +l )[( /) +( 3 /) + ( / 3 /)] = -535 N S = [S x + S z ] 1/ = 535 N 57

58 Esercizio 56 Noti: Z = 5,000 m, Z 3 = 16,000 m, n = 0,6 bar, α = 1, 1 = 1,000 m, = 9,000 m, l = 7,000 m, 1 = 0,00 m, = 0,400 m, ε 1 = 6, m, ε = 7, m, = 0,150 m β 1 = 30, φ = 33, β = 1, m(β 1 ) = 0,38, γ = 8139 N/m 3, ν = 1, 10-5 m /s, ρ = 830 kg/m 3, γ m = N/m 3, g = 9,806 m/s. eterminare la portata circolante, il livello H del serbatoio di valle e la spinta S sul divergente troncoconico. Tracciare la..t. e la.p.. aria n Z 1, 1, ε 1 l φ β γ, ν γ m,, ε H Z 3 Z = 0,000 m α 1 /(g) η m(β 1 )( 1 - ) /(g) α /(g) + Π 3 + Π 4 + Π 0 + M 3 + M 4 = 0 S = -Π 0 M 3 3 Π 0 4 Π 3 3 φ β 1 S ξ = M 3 + Π 3 - Π 4 - M 4 + senφ = -901 N φ 4 S η = - cosφ = -87 N 90 -φ -M 4 ξ Z 3 Π 4 Z = 0,000 m Z 4 S = 90 N 58

59 Esercizio 57 Noti: Z S = 9,000 m, Z = 4,000 m, Z = 11,500 m, Z M = 13,000 m, α = 1, 1 = 11,000 m, 1 = 0,50 m, ε 1 = 1, m, = 0,000 m, = 0,00 m, ε = 5, m, l = 0,86 m, U = 0,150 m, = 0,80, γ = 7845 N/m 3, ν =, m /s, g = 9,806 m/s, η P = 0,78, φ = 0,78, β = 1 si consideri trascurabile la distanza tra la pompa e la flangia di traccia ed ideale il comportamento del liquido nell atmosfera. eterminare la portata transitante, la potenza W P assorbita dalla pompa e le componenti della spinta sul tronco di tubazione compreso tra la flangia di traccia e l ugello. Tracciare la..t. e la.p.. M l φ U Z M γ, ν Z S 1, 1, ε 1 P Z,, ε Z = 0,000 m Z α /(g) J α /(g) α M /(g) M H P l α 1 /(g) J 1 1 φ U Z M γ, ν Z S 1, 1, ε 1 P Z,, ε Z = 0,000 m Z 59

60 α /(g) J α /(g) -M z l Π φ M 1 x 1 1 Π 0 φ U,, ε Z Π 1 Z Z = 0,000 m + Π 1 + Π + Π 0 + M 1 - M = 0 S = - Π 0 = U [ g (Z M -Z )/(senφ) ] 1/ = 0,108 m 3 /s W P = γ H P /η P = 804 W S x = 647 N S = [S x + S z ] 1/ = 6185 N S z = N 60

61 Esercizio 58 (Tema d esame del 15 uglio 00) Noti: ZM = 15,000 m, ZS = 55,000 m, Z = Z = 35,000 m, n = 0,500 bar, Δ = 0,050 m, 1 = 1,000 m, 1 = 13,000 m, = (10,000+/10) m, 3 = 34,000 m, 1 = 0,350 m, = 0,00 m, 3 = 0,150 m, ε1 = ε = m, ε3 = m, d 1 =,000 m, d = 8,000 m, l = (7,000+0,05 N) m, γ = 9806 N/m 3, γm = N/m 3, ν = m /s, ηp = 0,78, g = 9,806 m/s, ξbrusco restringimento = 0,4, α = 1, moto permanente. eterminare le portate a, b e c circolanti nell impianto, la potenza WP assorbita dalla pompa, il livello Z nel serbatoio di valle e le componenti della spinta sul tratto di tubazione orizzontale evidenziato in figura. Tracciare T e P. gas a n,, ε 1, 1, ε 1 l ZS 3, 3, 3, 3, ε 3 ε 3 c b Z Z M P, 1 1, ε 1 γ m Δ γ, ν d 1 d Z = Z a Z = 0,000 m E F H I J K M N O P R S T U W X Y Z N = prima lettera del nome = 1 = prima lettera del cognome = 1 J 1 1 ξ /(g) J α ( - 1 ) 1 /(g) /(g) α /(g) J 1 1 α 1,16 3 /(g) J /(g) α 3 /(g) 0,5 1 /(g) a ΔH P n Z P M, 1 1, ε 1,, ε 1, 1, ε 1 l γ m Δ gas α 3 /(g) Z S γ, ν 3, 3, 3, 3, ε 3 ε 3 b c d 1 d Z = Z a Z = 0,000 m 61

62 Π 0i z M d -M x Z Z Π i i Π i Spinta dovuta al fluido interno al tubo (pedice i ) i + Π i + Π i + Π 0i + M - M = 0 S i = -Π 0 = i + Π i + Π i Π 0e d -d 1 Z Z Π e e Π e Spinta dovuta al fluido esterno al tubo (pedice e ) e + Π e + Π e + Π 0e = 0 S e = Π 0e = - e a = [ gj /λ ] 1/ = 0,11 m 3 /s b = c = a / = 0,056 m 3 /s S x = γ J 3 d 3 = 153 N S = 379 N W P = γ a H P /η P = 6653 W Z = H S -1,16 3 /( g) - J α 3 /( g) = 55,3 m S z = e - i = -347 N 6

63 Esercizio 59 Noti: E0, i > i, ks, forma (costante) della sezione asciutta, lungezza dell alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente. Indicare le equazioni necessarie al calcolo della portata. E0 Profilo risultante: F F k ( k) =α g 3 k E 0 = k + α g k,k i > i E 0 k 0 63

64 Esercizio 60 Noti: E0, i > i, k S, forma (costante) della sezione asciutta, a < 0,, ρ, β, lungezza dell alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente. Indicare le equazioni necessarie al calcolo della portata. Profilo risultante: F + ris + F1 + F3 E E0 F1 E F = corrente enta = corrente eloce a a k F3 0 a ( k) =α g 3 k E0 = k + α g k ca α g c,k + = + α ( luce ) g( ) ( ) = γ ( ) i > i S + βρ = γ + βρ = S ( ) S S 64

65 F1 caso in cui il profilo di corrente lenta F1 possiede per tutto il tratto una spinta totale superiore a quella del profilo di corrente veloce F E0 Profilo risultante: F1 + F3 a a k F3 0 i > i Si ipotizza una portata < ' ca + α = + α g E 0 =? ' ' ' ( cluce ) g( ) ' + α g ( ' ) ' ' Si itera sulla portata fino a soddisfare la congruenza energetica; se E 0 > E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata > ; viceversa, se E 0 < E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata <. 65

66 Esercizio 61 Noti: E0, i 1 < i, i > i, ks, forma (costante) della sezione asciutta, lungezza dei tratti d alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente. Indicare le equazioni necessarie al calcolo della portata. Profilo risultante: + F E 0 01 k i 1 < i 0 F Si ipotizza una portata i > i ( k' ) ( ') 3 k =α g ' k' E 0? = ' ' + α g ( ' ) Si itera sulla portata fino a soddisfare la congruenza energetica; se E 0 > E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata > ; viceversa, se E 0 < E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata <. 66

67 Esercizio 6 Noti: E0, i 1 > i, i < i, ks, ρ, β, forma (costante) della sezione asciutta, lungezza dei tratti d alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente. Indicare le equazioni necessarie al calcolo della portata. Profili possibili: F ris F + ris. + F1 + 0 E0 F1 F 01 i 1 > i 3 ( k) k =α ( k) g,k E i < i 0 = k + α g( k) S( ) = γ ( ) + βρ > γ ( ) + βρ = S ( ) S ( ) = γ ( ) + βρ = γ ( ) + βρ = S ( ) S( ) = γ ( ) + βρ < γ ( ) + βρ = S ( ) S ( ) = γ ( ) + βρ = γ ( ) + βρ = S( ) 3 0 risalto spinto a valle della sezione, tra le altezze coniugate e risalto spinto a monte della sezione, tra le altezze coniugate e 67

68 F1 caso in cui il profilo di corrente lenta F1 possiede per tutto il tratto una spinta totale superiore a quella del profilo di corrente veloce F E i 1 > i k Si ipotizza una portata < i < i ' = χ ' R ' i ' Profilo risultante: F1 + 0 E 0? = ' ' + α g ( ' ) Si itera sulla portata fino a soddisfare la congruenza energetica; se E 0 > E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata > ; viceversa, se E 0 < E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata <. 68

69 Esercizio 63 Noti: i > i, ks, ρ, β, forma (costante) della sezione asciutta,, a,, lungezza dell alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente per i casi: a < 0 e a > 0. F1 caso a < 0 0 a a F3 k i > i ca = χ ( k) α g 3 k ( 0 ) ( 0 ) R ( 0 ) i 0 + α = + α g( cluce ) g( ) = γ + βρ = γ ( ) ( ) = k S + βρ = S Profilo risultante: 0 + ris. + F1 + F3 ( ) 69

70 caso a > 0 0 a k i > i = χ ( 0 ) ( 0 ) R ( 0 ) i 0 Profilo risultante: 0 ( k) α g 3 k = k 70

71 Esercizio 64 Noti: i < i, ks, ρ, β, forma (costante) della sezione asciutta,, a,, lungezza dell alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente nel caso di efflusso libero ed in quello di efflusso rigurgitato. 1 caso di efflusso libero k a a 3 0 = χ ( 0 ) ( 0 ) R ( 0 ) i 0 i < i ca ( k) α g 3 k = k + α = + α g( cluce ) g( ) ( ) = γ ( ) S + βρ = γ + βρ = S Profilo risultante: ris. + 0 ( ) 71

72 1 caso di efflusso rigurgitato risalto annegato Profilo risultante: 1 + 0, monte k, valle 0 a a = χ ( 0 ) ( 0 ) R ( 0 ) i 0 i < i S ( k) α g 3 k = k ( ) = γ ( ), valle, valle valle a, + βρ > γ luce + βρ =, valle, valle + α = + α, g luce, monte, monte monte ( c ) g( ) (con, valle = 0 ) luce S ( a) 7

73 Esercizio 65 Noti: E0, i 1 < i, i > i, ks, ρ, β, forma (costante) della sezione asciutta, a < 01,, lungezza dei tratti d alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente. Indicare le equazioni necessarie al calcolo della portata. F1 Profili possibili: F ris F3 + ris. + F1 + 0 E0 S S E F3 a a 0 = ca + α g( cluce ) ( ) = γ ( ) ( ) = γ ( ) ( ) = γ ( ) 01 i 1 > i + βρ + βρ > γ < γ 3 0 k i < i + βρ S + βρ = γ + βρ = S ( ) = γ ( ) + βρ S + βρ = γ + βρ = S = S( ) ( ) = S( ) ( ) risalto spinto a valle della sezione, tra le altezze coniugate e risalto spinto a monte della sezione, tra le altezze coniugate e 73

74 caso in cui il profilo di corrente lenta F1 presenta una spinta totale superiore a quella della sezione contratta S ' ' ' ( ) = γ ( ) ' + βρ ' + βρ > γ a luce = ' luce S ( a) F1 Profilo risultante: F1 + 0 E0 0 a a 01 i 1 > i k Si ipotizza una portata < ' = χ ( ' 0 ) ( 0 ) R ( ' 0 ) i ' 0 i < i E 0 =? ' + α g ' ( ) luce Si itera sulla portata fino a soddisfare la congruenza energetica; se E 0 > E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata > ; viceversa, se E 0 < E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata <. 74

75 Esercizio 66 Noti: E0, i 1 > i, i > i, i 3 < i, ks, ρ, β, forma (costante) della sezione asciutta, (variabile), lungezza dei tratti d alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente al variare della quota del recapito di valle. Indicare le equazioni necessarie al calcolo della portata. - caso di sole correnti veloci con spinta totale della corrente al recapito superiore a-- cquella del fluido in quiete e quindi con risalto spinto nel recapito E0 k F F 01 F F3 0 i 1 > i i > i i 3 < i ( k) =α g 3 k E 0 = k + α g k,k Profilo risultante: F + F (o F3) + 3 ( ) γ ( ) S( ) S = + βρ > γ 1, 1, = 1, 75

76 - caso di spinta totale della corrente al recapito inferiore a quella del fluido in quiete e quindi risalto spinto a monte - confronto di spinta alla sezione risolto a favore della corrente veloce e quindi risalto in 1 E0 ( k) =α g 3 k E 0 = k + α k F F 01 F F3 0 i 1 > i g k,k i > i 3 03 i 3 < i 3 Profilo risultante: F + F (o F3) + ris. + 1 (o ) ( ) γ ( ) S( ) S = + βρ < γ,3,3 =,3 ( ) = γ ( ) S + βρ > γ + βρ = S ( ) 76

77 - caso di spinta totale della corrente al recapito inferiore a quella del fluido in quiete e quindi risalto spinto a monte - confronto di spinta alla sezione risolto a favore della corrente lenta e quindi risalto a monte di - caso in cui i profili F1 raggiungono l altezza k in e quindi in tale tratto si a il risalto F1 F1 1 E0 k F F 01 F F ( k) =α g 3 k E 0 = k + α i 1 > i g k,k i > i 1 i 3 < i 0 Profilo risultante: F + F (o F3) + ris. + F1 + 1 (o ) ( ) γ ( ) ( ) = γ ( ) S( ) S = + βρ < γ,3,3 = S + βρ < γ + βρ = S,3 ( ) 77

78 - caso di spinta totale della corrente al recapito inferiore a quella del fluido in quiete e quindi risalto spinto a monte - confronto di spinta alla sezione risolto a favore della corrente lenta e quindi risalto a monte di - caso in cui i profili F1 raggiungono la sezione con tirante maggiore di k ma con spinta totale inferiore a quella della corrente veloce; il risalto si troverà ancora in F1 1 E0 F ( k) =α g 3 k E 0 = k + α k 01 i 1 > i g k ( ) γ ( ) ( ) = γ ( ),k F F i > i F3 S + βρ < γ + βρ = S F1 0 S( ) S = + βρ > γ,3,3 = ( ) = γ ( ),3 S + βρ > γ + βρ = S 03 i 3 < i ( ) ( ) Profilo risultante: F + F (o F3) + ris. + F1 + 1 (o )

79 - caso di spinta totale della corrente al recapito inferiore a quella del fluido in quiete e quindi risalto spinto a monte - confronto di spinta alla sezione risolto a favore della corrente lenta e quindi risalto a monte di - caso in cui i profili F1 raggiungono la sezione con tirante maggiore di k e con spinta totale superiore a quella della corrente veloce;-- --quindi risalto spinto a monte di ; se poi i profili F1 raggiungeranno k nel tratto, il risalto sarà confinato in detto tratto F1 1 E0 F F1 F1 F1 3 F k ( k) =α g 3 k E 0 = k + α i 1 > i g k ( ) γ ( ) ( ) = γ ( ),k i > i S + βρ < γ + βρ = S S( ) S = + βρ < γ,3,3 = ( ) = γ ( ),3 S + βρ < γ + βρ = S i 3 < i Profilo risultante: F + ris + F1 + F1 + 1 (o ) ( ) ( )

80 -caso di spinta totale della corrente al recapito inferiore a quella del fluido in quiete e quindi risalto spinto a monte - confronto di spinta alla sezione risolto a favore della corrente lenta e quindi risalto a monte di - caso in cui i profili F1 raggiungono la sezione con tirante maggiore di k e con spinta totale superiore a quella della corrente veloce-- - caso in cui i profili F1 raggiungono la sezione con tirante maggiore di k e con spinta totale superiore a quella della corrente veloce cin ogni sezione del tratto F1 F1 1 E0 F1 k 01 0 F ( k) =α g 3 k E 0 = k + α i 1 > i g k,k i > i S = γ + βρ < γ,3,3 = S,3 ( ) S ( ) = γ ( ) + βρ < γ ( ) + βρ = S ( ) S ( ) = γ ( ) + βρ < γ ( ) + βρ = S i 3 < i ( ) ( ) F1 F1 F1 F F F = γ + βρ > γ F1 + βρ S F ( ) ( ) Profilo risultante: F1 + F1 + 1 (o ) S = 1 0 sezione compresa tra ed 80

81 In tal caso la portata precedentemente calcolata è sbagliata. isognerà ipotizzare una minore di e, partendo dalla condizione al contorno nota di valle, ovvero dal livello nel recapito ( o 3 ), ricostruire per integrazione alle differenze finite il profilo (da valle) 1 (o ) + F1 + F1, giungendo in con un tirante e verificando quindi la congruenza delle energie: E 0? Si itera sulla portata fino a soddisfare la congruenza energetica; se E 0 > E(, ), bisognerà = ' ' + α g ( ' ) reiterare con una nuova portata > ; viceversa, se E 0 < E(, ), bisognerà reiterare con una nuova portata < 81

82 - caso di corrente veloce 3 ce raggiunge lo stato critico prima del recapito - caso in cui la spinta totale della corrente veloce in sia superiore a quella della corrente lenta e quindi si abbia 4risalto in. iceversa, si ricadrebbe in uno dei casi già contemplati 1 E0 k F F 01 F F i 1 > i i > i i 3 < i 1 0 ( k) =α g 3 k E 0 = k + α g k,k Profilo risultante: F + F (o F3) (o ) ( ) = γ ( ) S + βρ > γ + βρ = S ( ) 8

83 Esercizio 67 Noti: E0, i 1 > i, i < i, ks,, ρ, β, forma (costante) della sezione asciutta, altezza soglia t 0, lungezza dei tratti d alveo. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente. 1 F1 Profili possibili: ris k ris F k ris. + 0 k 01 E i 1 > i 3 k t = 0 3 E(k) + t E( 0 ) t i < i 0 E(k) t E( 0 ) - t k 0 83

84 Esercizio 68 Noti: E0, i 1 > i, i < i, ks,, ρ, β, forma (costante) della sezione asciutta, altezza soglia t 0, lungezza dei tratti d alveo; energia in sufficiente al transito della portata assegnata. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente. 1 F1 1 k S 01 E i 1 > i 3 k t = 0 E( ) t i < i a a 3 0 E( ) - t E(k) k S Profili possibili: ris S ris ris. + F S ris. + 0 (= ) 84

85 Esercizio 69 (Tema d esame del 1 uglio 00) Noti: E0, luce rettangolare di largezza ed altezza a < 0 1 ( ),, i1, i, i3, petto dello stramazzo p > 0 3 ( ), ks, canale rettangolare di largezza, ρ, β. Tracciare qualitativamente i possibili profili di moto permanente, commentando il computo delle necessarie grandezze. Indicare le equazioni necessarie al calcolo della portata, del carico st sullo stramazzo azìn e della posizione dell eventuale risalto. ommentare nel modo più esaustivo possibile, servendosi ance di grafici, i singoli passaggi risolutivi. Si assuma ce il recapito a valle dello stramazzo abbia il livello costante indicato in figura e ce quindi non interferisca con la vena effluente. E0 a i1 > i p i > i i3 < i ognome: Nome: Matricola Firma: 85

86 F1 F1 1 E0 a F3 a i1 > i k F3 F1 0 1 F3 F1 F1 F st st st p i > i 0 3 i3 < i 86

87 aso 1 profilo F3 + F (o F3) risalto stramazzo Imponendo, nell ipotesi di efflusso sotto paratoia non dissipativo, l uguaglianza dell energia a monte della paratoia con quella alla sezione contratta, si è in grado di determinare la portata. E [m] E0 sezione portata E 0 α = c a + g ( c a ) Nota la portata, diventa possibile procedere alla determinazione ed al tracciamento dell altezza di stato critico k attraverso la ben nota relazione: ( k ) ( k ) 3 = α g k a E0 [m] uando il canale a sezione rettangolare, come in questo caso, diventa possibile esplicitare k attraverso la più comoda relazione: k = 3 α g a determinazione delle altezze di moto uniforme, ed il loro tracciamento, diventano possibili mediante l applicazione della relazione di ézy: = = = χ χ χ ( 01 ) 01 R( 01 ) i1 01 ( 0 ) 0 R ( 0 ) i 0 ( 03 ) 03 R( 03 ) i3 03 con: χ( 0 i)=k s R( 0 i) 1/6 ( 0 i)= 0 i P( 0 i)= + 0 i R( 0 i)=( 0 i) / P( 0 i) i = 1,, 3 87

88 i 3 i 1 k = k() 0 3 k 0 1 i 0 Scala delle portate e funzione dello stato critico Nota dette grandezze, è possibile tracciare un profilo di corrente veloce di tipo F3 nell alveo a pendenza i 1, un altro profilo di corrente veloce di tipo F (o F3) nell alveo a pendenza i, ed infine un ulteriore profilo, ancora di corrente veloce, di tipo 3, nell alveo a pendenza i 3. Il tracciamento dei profili avviene, al solito, operando con un calcolo alle differenze finite, ovvero discretizzando l equazione differenziale dei profili nella seguente forma: Δ s = i Δ E J m Partendo dalla condizione al contorno di monte, livello noto c a nella sezione, si ipotizzerà un certo Δ > 0 nel tratto, un Δ < 0 nel tratto per F - o Δ > 0 per F3 - ed infine un Δ > 0 per 3 nel tratto. In quest ultimo tratto, il profilo 3 o raggiungerà l altezza critica k, oppure colliderà con il petto dello stramazzo, originando in entrambi i casi una corrente lenta. Ipotizziamo per semplicità - ce 3 di arresti a k. 88

89 Ora, poicé non è più possibile procedere al tracciamento di profili di corrente veloce la corrente sarà diventata lenta ed allora bisognerà spostarsi a valle per cercare una condizione al contorno di corrente lenta con la quale iniziare a tracciare un profilo, per l appunto, da valle verso monte. uesta condizione è fornita dal tirate idrico ce si viene a stabilire nella sezione, un poco a monte dello stramazzo azìn. Essendo nota la portata, applicando la legge dell efflusso a stramazzo è possibile ricavare il carico sullo stesso, st. uesta grandezza, sommata all altezza p del petto del manufatto, fornisce la condizione al contorno necessaria al tracciamento verso monte di un profilo di corrente lenta di tipo 1. α = μ st g st + g ( st + p) st con μ 0,4 Eventualmente, si può trascurare il contributo cinetico sotto la radice quadrata senza commettere un errore ragguardevole. = st + p è la condizione al contorno cercata. partire da questo tirante idrico, con un passo di discretizzazione Δ < 0, è possibile eseguire il tracciamento verso monte del profilo 1 di corrente lenta. Tracciato il profilo 1 fino alla sezione, ivi si confrontano le spinte totali della corrente lenta e di quella veloce F (o F3) per capire se il risalto idraulico si stabilirà nel tratto o se invece verrà spinto verso monte. S ( F, F3 )=γ F, F3 / [ F, F3 ] + βρ /[ F, F3 ] 1 S ( 1 ) =γ 1 / [ 1 ] + βρ /[ 1 ] Se S ( F,F3) > S ( 1) si svilupperà il profilo di corrente veloce 3 ed il risalto si posizionerà nel tratto. Se invece S ( F,F3) < S ( 1) si svilupperà il profilo di corrente lenta F1 ed il risalto si posizionerà a monte della sezione. 0 F3 F F F k In ogni caso, la posizione del risalto sarà identificata dalla sezione nella quale le spinte totali della corrente veloce e lenta si eguaglieranno. I tiranti idrici di corrente veloce e lenta nel luogo del risalto sono detti altezze coniugate. 89