Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach

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1 Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matemática - IM Colegiado do Curso de Matemática - COLMAT Monografia de Graduação Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach Paulo Raimundo Stering Malta Salvador-Bahia Dezembro de 2011

2 Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach Paulo Raimundo Stering Malta Monografia de Graduação apresentada ao Colegiado do Curso de Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner. Salvador-Bahia Dezembro de 2011

3 Malta, Paulo Raimundo Stering. Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach / Paulo Raimundo Stering Malta. Salvador, f. Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner. Monografia (graduação) Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Colegiado do Curso de Matemática, Referências bibliográficas. 1. Lógica matemática. 2. Categorias 3. Espaços métricos gerais I. Brunner, Andreas Bernhard Michael. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. Título. CDU :

4 Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach Paulo Raimundo Stering Malta Monografia de Graduação apresentada ao Colegiado do Curso de Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Matemática, aprovada em 09 de dezembro de Banca examinadora: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner (Orientador) UFBA Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva UFBA Prof. Dr. Edson Alberto Coayla Terán UFBA

5 A meus pais e meus amigos.

6 Agradecimentos Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais, cuja educação permitiu atingir mais esta etapa em minha vida, aos quais serei eternamente grato. Quanto a minha formação gostaria de agradecer imensamente ao Laboratório de Ensino de Matemática e a todos os seus membros, em especial Elinalva Vergasta. Todas as experiências proporcionadas, desde monitor no meu primeiro ano, oficinas e exposições realizadas foram únicas, cuja recíproca do público permitiu constatar o quanto a matemática é bela e humana. Aos orientadores gostaria de agradecer a José Fernandes Andrade ao grande conhecimento proporcionado, desde a orientação no LEMA até as quatro disciplinas ministradas, cujos conselhos me acompanharam durante toda a graduação. A Paulo Varandas serei eternamente grato por ter tido a oportunidade de realizar minha primeira iniciação científica, ao qual obtive grande aprendizado e a Andreas Brunner pela orientação e dedicação este ano, cujo resultado se apresenta através desta monografia. Aos professores, colegas de turma e a todos que tive o prazer de estar ao lado durante estes quatro anos, muito obrigado!

7 Pedimos o mundo, nos deram o infinito. (Vitor Serravale)

8 Resumo Neste trabalho apresentaremos a teoria dos Espaços Métricos gerais, com esta nova estrutura estaremos aptos a generalizar tanto espaços métricos quanto ordens parciais. Para estas teorias temos dois teoremas de ponto fixo: O teorema do ponto fixo de Banach para espaços métricos e o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski para ordens parciais. Em espaços métricos gerais provaremos construtivamente um único teorema que possui como corolário os teoremas do ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, cujas hipóteses generalizam espaços métricos completos e reticulados completos. Palavras-chave: Espaços métricos gerais; Teoremas de ponto fixo; Espaços métricos.

9 Abstract In this work we will present the Generalized Metric Space theory, with this new structure we will be able to generalize both metric and partially ordered spaces. For these theories there are two distinct fixed point theorems: Banach s fixed point theorem for metric spaces and Knaster-Tarski s fixed point theorem for partially ordered sets. In generalized metric spaces we will prove constructively a single theorem that has both Knaster-Tarski and Banach s fixed point theorem as corolaries, whose hyphotesis generalizes complete metric spaces and complete lattices. Keywords: Generalized metric spaces; Fixed point theorems; Metric spaces.

10 Sumário Introdução 1 1 Preliminares Ordens Parciais Reticulados e CPOs Famílias, sequências e redes Categorias Espaços métricos gerais Redes de Cauchy e limites O mergulho de Yoneda Completamento de espaços métricos gerais Completude comum para ordens parciais e espaços métricos Completamento de direcionados Teoremas de ponto fixo O teorema do Ponto Fixo de Pataraia Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para espaços métricos gerais Referências 29

11 Introdução Problemas de ponto fixo surgem com frequência em matemática, um exemplo simples seria a obtenção de raízes para uma determinada função real, que pode ser convertido para um problema deste tipo. Conforme este exemplo, a questão que surge é a existência de raízes, e por coseguinte a existência de pontos fixos. Em geral problemas de ponto surgem nesse sentido, situações em que problemas de existência possam ser traduzidas para esse contexto. Assim, hipóteses que permitam obter teoremas de ponto fixo são de grande valia para solução destes problemas. Em espaços métricos é bem conhecido o teorema do ponto fixo de Banach, o qual garante que toda contração em um espaço métrico completo possui um único ponto fixo. Suas aplicações são diversas, na literatura é bem conhecido o teorema de Picard para equações diferenciais ordinárias, o qual sob algumas hipóteses garante a existência e unicidade de solução para um problema de valor inicial. Em ordens parciais é bem conhecido o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski, que garante a existência de pontos fixos para toda função que preserva ordem em um reticulado completo. Uma aplicação bem conhecida é o teorema de Schröder-Bernstein, que garante a existência de uma bijeção entre conjuntos A e B caso existam funções injetivas de A em B e de B em A. Neste trabalho vamos mostrar que tanto o teorema de Banach quanto Knaster- Tarski são corolários de um único teorema, cujas hipóteses serão tomadas em espaços métricos gerais, teoria esta que permite generalizar espaços métricos e ordens parciais. Desta maneira, este trabalho se organiza do seguinte modo: Capítulo 1: Apresentaremos todos os recursos necessários para a compreensão do presente texto, onde trataremos definições básicas para teoria das ordens e categorias. Também serão apresentadas proposições que comumente serão utilizados o texto. Capítulo 2: Neste capítulo será introduzida a teoria dos espaços métricos gerais. Apresentaremos noções de convergência neste ambiente e demonstraremos o mergulho de Yoneda, que permitirá obter uma isometria de qualquer espaço métrico geral em seu espaço de funções não-expansivas. Capítulo 3: Com a linguagem de categorias por funtores será introduzida a noção de completamento de espaços métricos gerais, cujos resultados permitirão obter 1

12 Introdução 2 equivalências de espaços métricos gerais com espaços métricos e ordens parciais. Capítulo 4: Devido a Pataraia, demonstraremos de forma construtiva um bem conhecido teorema para ordens parciais que garante a existência de pontos fixos para funções que preservam ordem em um CPO. Desta maneira, será demonstrado um teorema de ponto fixo para espaços métricos gerais cujas hipóteses permitirão obter os teoremas de Banach e Knaster-Tarski. Este trabalho foi desenvolvido através do recente artigo publicado por Pawel Waszkiewicz em [6]. Conforme o desenvolvido, acreditamos que estas idéias permitirão traduzir de uma única maneira problemas de espaços métricos e ordens parciais.

13 Capítulo 1 Preliminares Para a boa compreensão do presente texto, neste capítulo introduziremos todo o recurso matemático necessário. Na seção 1.1 e 1.2 serão tratadas definições e exemplos básicos acerca da Teoria da Ordem, na seção 1.4 serão introduzidas categorias. Para um tratamento mais profundo acerca destes tópicos é sugerida a leitura de [3] e [4]. 1.1 Ordens Parciais Seja P um conjunto. P é dito um conjunto ordenado, ou uma ordem parcial, se existe uma relação binária em P que satisfaz: i) x x, x P ; (reflexiva) ii) Se x y e y x, então x = y; (antissimétrica) iii) Se x y e y z, então x z. (transitiva) Denotamos através do par (P, ) afim de tornar claro a ordem utilizada. Intuitivamente associamos ordens aos números naturais N ou a reta real R. De fato, estes dois conjuntos são ordens parciais, porém estes estão munidos com uma quarta propriedade mais forte, que permite compararmos qualquer elemento: iv) x, y P, ou x y ou y x Caso um conjunto P seja ordem parcial e também satisfaça iv), dizemos que P é totalmente ordenado. Tomando X um conjunto, podemos definir uma ordem em P(X) = {A; A X} pela inclusão. É fácil ver que esta é uma relação de ordem, porém nem sempre podemos comparar dois conjuntos, isto é, se X possui mais de dois elementos então P(X) não é totalmente ordenado. 3

14 Preliminares 4 Um subconjunto S P é dito uma cadeia se com a ordem herdada de P é totalmente ordenado. Em geral, quando lidamos com estruturas nos interessamos por aplicações que preservem esta estrutura. Em nosso caso, para ordens parciais, estaremos interessados em aplicações que preservem a ordem. Desta maneira, sejam (P, ) e (Q, ) ordens parciais e f : P Q uma aplicação: i) f preserva ordem se dados x y, tem-se f(x) f(y); ii) f é dita um mergulho se preserva ordem e é injetiva; iii) f é dita um isomorfismo se preserva ordem e é bijetiva. Observe que se tivermos um mergulho f : P Q, então temos um isomorfismo entre P e sua imagem por f, e neste caso toda sua estrutura é preservada. Por exemplo, se A P é uma cadeia, sua imagem também o será. Dada uma ordem parcial (P, ), podemos definir uma ordem dual em P por (P, op ), onde x op y se, e somente se, y x. Afim de simplificar a notação, denotamos por P op o conjunto P munido da ordem dual. Esta definição em nada altera as propriedades anteriores da ordem em P, exceto pelo fato de estarem trocadas. Em geral, o princípio da dualidade nos permite concluir: Proposição 1.1 (Princípio da Dualidade). Consideremos uma linguagem. Se φ é uma proposição (ou propriedade) na linguagem de primeira ordem L := { }, qual vale na ordem (P, ), então φ op vale em (P, op ), onde φ op é a proposição obtida de φ substituindo por op. Demonstração. Indução na complexidade das L-fórmulas. Para maiores detalhes, veja [2]. 1.2 Reticulados e CPOs Dentre as ordens parciais, vamos nos interessar por algumas que possuam algumas propriedades particulares. Para isto iremos buscar alguns elementos especiais nestes conjuntos. Seja Q P ordem parcial: i) a Q é dito um elemento maximal se a x Q, então a = x; ii) Se a Q é tal que x a, x Q, a é dito o maior elemento de Q.

15 Preliminares 5 Observe que o maior elemento, caso exista, é único. De maneira análoga definimos um elemento minimal e o menor elemento, levando em consideração a ordem dual de P. O maior elemento de P, caso exista, é dito top e denotaremos por. Analogamente, caso exista o menor elemento em P, o chamaremos de bottom, denotado por. Dizemos que Q é up-set se Q = Q = {y P ; ( x Q) x y}. De maneira análoga definimos Q = {y P ; ( x Q) y x}, caso Q = Q, Q é dito down-set. Um elemento x P é dito uma barreira superior de Q se a x, a Q, de maneira dual definimos uma barreira inferior. Denotamos o conjunto das barreiras superiores de Q por Q u e as barreiras inferiores por Q l, observe que estes sempre são respectivamente up-set e down-set. Caso Q u possua menor elemento, dizemos que Q tem sup ou supremo. De maneira análoga o ínfimo de Q, ou inf, será o maior elemento de Q l, caso exista. Empregaremos a notação sup Q ou Q para denotar o supremo e inf Q ou Q, para denotar o ínfimo. Para dois elementos x, y P, denotaremos sup{x, y} = x y e inf{x, y} = x y. Note que em virtude do maior elemento ser único, segue que o supremo e o ínfimo são únicos, caso existam. A luz das definições anteriores, dado um conjunto ordenado P não-vazio: i) Se x y e x y existe, para todo x, y P. Dizemos que P é um reticulado; ii) Se Q e Q existe, para todo Q P. Dizemos que P é um reticulado completo. Observe que se P é um reticulado completo, P possui bottom e top. Assim com a ordem usual Q, R são reticulados, porém não são completos, uma vez que não possuem bottom nem top. Por outro lado, se I R é um intervalo fechado, com a ordem herdada de R este é um reticulado completo. Também para X conjunto, P(X) é um reticulado completo, com {A i } i I = A i e {A i } i I = A i, em que {A i } i I é uma família de i I i I subconjuntos quaisquer de X. A partir da próxima proposição é possível simplificar a definição de reticulado completo, observando apenas que o mesmo vale apenas se ocorrer para ínfimo ou o supremo. A demonstração é simples, para verificar a existência do ínfimo de um conjunto A basta observar que este é igual ao supremo do conjunto de suas barreiras inferiores A l. Proposição 1.2. Uma ordem parcial (P ; ) é um reticulado completo se, e somente se, para todo A P, existe A. Em particular, temos que A = ( A). Um conjunto Q P não vazio é direcionado se para todo x, y Q, h Q tal que x h e y h. Observe que se Q P é direcionado, qualquer subconjunto finito F f Q possui barreira superior em Q. Assim, todo cadeia Q P é direcionado. A luz destas definições, P é dito CPO ou ordem parcial completa se:

16 Preliminares 6 i) P possui bottom ; ii) D existe, para todo D P direcionado. Denotaremos D = D para fazer menção ao sup de um conjunto direcionado. Ao omitirmos i), dizemos que P é pre-cpo. É bem sabido da Análise que se uma função é contínua, então esta preserva limites. Esta mesma noção podemos traduzir para pre-cpos, considerando conjuntos direcionados. Assim se P, S são pre-cpos, uma função f : P S é dita contínua se f( D) = f(d), para todo D P direcionado. Observe que qualquer função contínua preserva ordem, porém a recíproca não é verdadeira, apenas podemos garantir que f(d) f( D). 1.3 Famílias, sequências e redes Seja X um conjunto. Uma família (x i ) i I é uma função x : I X, cuja imagem x(i) é denotada por x i, para todo i I, onde I é um conjunto de índices. Para I = N, (x n ) n N é dita uma sequência em X. Se (I, ) é ordem parcial direcionado, (x i ) i I é dita uma rede em X. Para X espaço métrico, dizemos que uma rede (x i ) i I converge para x X, denotado por lim x i = x, quando para todo ɛ > 0 for sempre possível obter N I de modo que para todo j N tenha-se d(x j, x) < ɛ. Uma rede (x i ) i I é dita de Cauchy caso dado ɛ > 0 seja possível obter N I de modo que para todo i j N tenha-se d(x i, x j ) < ɛ. A convergência de uma rede de Cauchy nem sempre é garantida em um espaço métrico qualquer, conforme a seguinte proposição, considerando-se a completude de um espaço métrico apenas por sequências de Cauchy, será possível obter convergência de redes de Cauchy. Proposição 1.3. Seja X espaço métrico. X é completo se, e somente se, toda rede de Cauchy converge. Demonstração. Seja (x i ) i I rede de Cauchy. Para cada ɛ n = 1 n+1 tome N(ɛ n) de modo que para todo i j N(ɛ n ) tenha-se d(x i, x j ) < ɛ n. Desta maneira, defina µ : N I recursivamente por: µ(n) = { N(ɛ0 ) se n = 0 max{n(ɛ n ), µ(n 1)} para n > 0 Temos que (x µ(n) ) n N é sequência de Cauchy pois dado ɛ > 0, tomando n 0 N de modo que ɛ n0 < ɛ, teremos para todo m n n 0 : µ(m) µ(n) µ(n 0 ) N(n 0 ). Assim

17 Preliminares 7 d(x µ(m), x µ(n) ) < ɛ n0 < ɛ. Em virtude da completude de X a sequência (x µ(n) ) n N converge, digamos para x X. Vamos mostrar que (x i ) i I converge para x. Ora, dado ɛ > 0, tome m N de modo que 1 m+1 < ɛ 2. Como (x µ(n)) n N converge a x podemos obter n 0 N de modo que para todo m n 0 tenha-se d(x µ(m), x) < ɛ 2. Assim, para todo i N(ɛ m) teremos: d(x i, x) d(x i, x µ(m) ) + d(x µ(m) ), x < 1 m ɛ 2 < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ Portanto (x i ) i I converge a x. A recíproca é imediata.

18 Preliminares Categorias Em Matemática, quando lidamos com teorias abstratas, é comum associar a esta classe funções que preservem sua estrutura. Por exemplo, conforme vimos na primeira seção, para Teoria das ordens estas se caracterizam pelas funções que preservam ordem; em Topologia as funções contínuas. Na Teoria das Categorias são estudadas classes de estruturas, ditas objetos, munidas dos morfismos que preservem estas estruturas. Em termos precisos dizemos que uma classe C é uma categoria quando satisfaz os seguintes axiomas: 1. Possui uma coleção de C-objetos; 2. Possui uma coleção de C-morfismos; 3. Uma operação que associa a cada morfismo f um C-objeto a = dom f (dito domínio de f) e um C-objeto b = cod f (dito contradomínio de f); Notação: f : a b 4. Uma operação que associa a cada par de morfismos (g, f) com dom g = cod f um morfismo g f, dito a composição de f e g, valendo dom (g f) = dom f e cod (g f) = cod g que satisfaz: Lei Associativa: Se f, g, h são morfismos tais que cod f = dom g e cod g = dom h, então h (g f) = (h g) f; 5. Cada C-objeto b possui um C-morfismo 1 b : b b que satisfaz: Lei da Identidade: Para todo C-morfismo f : a b e g : b c vale: 1 b f = f e g 1 b = g Através da tabela abaixo seguem alguns exemplos de categorias: Categoria Objetos Morfismos Set Conjuntos funções Top Espaços Topológicos funções contínuas Vect Espaços Vetoriais transformações lineares Grp Grupos homomorfismos de grupos Pos Ordens parciais funções que preservam ordem Conforme os morfismos das categorias dadas pela tabela anterior, estes funcionam como uma maneira de preservar as estruturas de dois objetos distintos. De maneira análoga podemos definir o mesmo para categorias, através dos funtores. Um funtor F de uma categoria C para uma categoria D é uma lei que associa:

19 Preliminares 9 i) a cada C-objeto a um D-objeto F (a); ii) a cada C-morfismo f : a b um D-morfismo F (f) : F (a) F (b) que satisfaz: a) F (1 a ) = 1 F (a), para todo C-objeto a; b) F (g f) = F (g) F (f). Neste caso F é dito um funtor covariante. Podemos substituir b) por: b*) F (g f) = F (f) F (g). Caso satisfaça b*), F é dito funtor contravariante. Por exemplo, podemos definir F : Grp Set, que associa a cada grupo G o conjunto F(G), cujos elementos são os mesmos e a cada homomorfismo f a função F (f), que associa os mesmos elementos. Este funtor é dito funtor esquecimento, cuja lei omite toda a estrutura de grupo inicial do conjunto. Para qualquer categoria cujos objetos sejam conjuntos e cujos morfismos sejam funções pode-se definir um funtor análogo.

20 Capítulo 2 Espaços métricos gerais Conforme o objetivo desta monografia, a partir deste capítulo vamos buscar hipóteses que satisfaçam tanto ordens parciais quanto espaços métricos. A primeira via para isto será a introdução dos espaços métricos gerais, estrutura esta que sua flexibilidade com respeito a simetria nos permitirá induzir uma ordem parcial. Um conjunto X é dito um espaço métrico geral ou gms quando munido de uma aplicação X(, ) : X X R + {+ } que satisfaz: i) X(x, x) = 0, para todo x X ii) X(x, z) X(x, y) + X(y, z) (Desigualdade triangular) iii) Se X(x, y) = 0 e X(y, x) = 0, então x = y (Simetria fraca) Neste caso diremos que X(, ) é uma quase-métrica em X. Caso esta aplicação não satisfaça iii), podemos induzir um espaço métrico geral [X] pela relação de equivalência x y se, e somente se, X(x, y) = 0 e X(y, x) = 0. Desta maneira, trataremos do caso mais geral. Para simplificar a notação, denotaremos R + {+ } = [0, ]. Se tivermos uma ordem parcial (P, ), podemos induzir uma quase-métrica por: { 0 se x y P (x, y) = caso contrário Reciprocamente, se X é espaço métrico geral podemos induzir uma ordem parcial (X, X ) por x X y se, e somente se, X(x, y) = 0. Assim as ordens e P coincidem. O próprio conjunto [0, ] é espaço métrico geral, munido da quase-métrica: { 0 se x y [0, ](x, y) = y x = y x se x < y 10

21 Espaços métricos gerais 11 Como usual, temos x + = + x =, para todo x [0, ]. Observe que a ordem usual de R não coincide com a ordem induzida por [0, ](, ), temos x [0, ] y se, e somente se, y x. Para X, Y espaços métricos gerais, uma função f : X Y é dita não-expansiva se Y (f(x), f(y)) X(x, y), quaisquer que sejam x, y X. Observe que f é não-expansiva se, e somente se, f preserva ordem com respeito a X. As funções não-expansivas são de fundamental importância para a teoria dos espaços métricos gerais, a partir destas construimos a categoria Gms, cujos Gms-objetos são dados por espaços métricos gerais e cujos Gms-morfismos por funções não-expansivas. Conforme observamos para ordens parciais, uma vez que podemos identificar espaços métricos gerais como ordens parciais, dado X espaço métrico geral podemos obter uma quase-métrica dual definida por X op (x, y) = X(y, x), quaisquer que sejam x, y X. Dizemos que X op é o espaço métrico geral dual a X. 2.1 Redes de Cauchy e limites Como espaços métricos gerais carecem da simetria, a noção de redes de Cauchy e convergência devem ser introduzidas com cautela. Dizemos que uma rede (x i ) i I em X é Cauchy à direita se: ɛ > 0, N I; i j N X(x j, x i ) < ɛ De modo análogo uma rede (x i ) em X é dita Cauchy à esquerda se: ɛ > 0, N N; i j N X(x i, x j ) < ɛ Observe que se X é espaço métrico a definição usual é mantida. Vale observar que se X é ordem parcial decorre da definição que para (x i ) i I Cauchy à direita, levando em consideração a quase-métrica induzida, podemos obter N I de modo que para todo i j N tenha-se x j x i. Assim em um dado momento (x i ) i I é cadeia, então fará sentido se perguntar o limite x i. A seguinte proposição nos permitirá verificar o comportamento de rede de Cauchy quando induzidas à [0, ]. Proposição 2.1. Sejam X espaço métrico geral e (x i ) i I Cauchy à direita em X. Então dado x X: 1. A rede (X(x, x i )) i I é Cauchy à direita em [0, ]. 2. A rede (X(x i, x)) i I é Cauchy à esquerda em [0, ].

22 Espaços métricos gerais 12 Demonstração. Dado ɛ > 0, tome N I tal que i j N tenha-se X(x j, x i ) < ɛ. Assim em virtude da desigualdade triangular segue que: 1. [0, ](X(x, x j ), X(x, x i )) = X(x, x i ) X(x, x j ) X(x j, x i ) < ɛ 2. [0, ](X(x i, x), X(x j, x)) = X(x j, x) X(x i, x) X(x j, x i ) < ɛ Logo (X(x, x i )) i I é Cauchy à direita e (X(x i, x)) i I é Cauchy à esquerda em [0, ]. Afim de introduzir limites de redes de Cauchy para espaços métricos gerais, o faremos inicialmente em [0, ]. Para (r i ) i I Cauchy à direita em [0, ], definimos o limite à direita de (r i ) por: lim r i = sup inf r j i I j i Analogamente, se (r i ) i I é Cauchy à esquerda em [0, ] o seu limite à esquerda é definido por: lim r i = inf sup r j i I j i Conforme a definição, poderemos a partir da proposição seguinte estabelecer relação entre limites à direita e à esquerda em [0, ]. Proposição 2.2. Seja (r i ) i I Cauchy à direita em [0, ]. Então para todo r [0, ] vale: i) [0, ](r, lim r i ) = lim [0, ](r, r i ) ii) [0, ](lim r i, r) = lim [0, ](r i, r) Se (r i ) é Cauchy à esquerda em [0, ] então vale: iii) [0, ](r, lim r i ) = lim [0, ](r, r i ) iv) [0, ](lim r i, r) = lim [0, ](r i, r) Para a demonstração desta proposição será feito uso do seguinte lema: Lema 2.3. Sejam A, B R, A = { x; x A} e A + B = {x + y; x A e y B}. Valem as seguintes afirmativas: 1. Se A é limitado inferiormente, então sup( A) = inf A 2. Se A é limitado superiormente, então inf( A) = sup A 3. Se A e B são limitados, então sup(a + B) = sup A + sup B e inf(a + B) = inf A + inf B

23 Espaços métricos gerais 13 Demonstração. Os detalhes da demonstração serão dados para ii). análogas para os demais itens. Teremos de analisar dois casos: As idéias são 1. lim r i = sup inf r j r i I j i Neste caso poderemos obter N I de modo que r inf r j sup inf r j. Logo [0, ](r j, r) = 0, j N j i para todo j N. Assim sup[0, ](r j, r) = 0, para todo i N. Logo lim[0, ](r i, r) = 0. j i Como [0, ](lim r i, r) = 0. Segue que [0, ](lim r i, r) = lim [0, ](r i, r). i I 2. lim r i = sup inf r j < r i I j i Observe que inf j i r j < r, para todo i I. Logo é limitada superiormente, assim: [0, ](sup inf r j, r) = r sup inf r j = i I j i i I j i }{{} r + inf[ inf r j] = i I j i }{{} r + inf inf sup i I j i r + inf sup i I j i [ r j ] = }{{} 3. inf sup i I j i Logo [0, ](lim r i, r) = lim [0, ](r i, r) [r r j ] = lim [0, ](r i, r) sup i I j i [ r j ] = Em virtude das proposições 2.1 e 2.2 poderemos definir o limite de uma rede em um espaço métrico geral X qualquer. Para (x i ) i I Cauchy à direita em um espaço métrico geral X, dizemos que x X é um limite à direita da rede (x i ) quando vale: x = lim x i se, e somente se, y X, X(x, y) = lim X(x i, y) (2.A) Observe que esta definição coincide com os limites definidos em [0, ], em virtude de 2.2 e está bem definido conforme 2.1. Vale ressaltar que este limite, caso exista, está unicamente determinado em virtude da simetria fraca, caso contrário apenas poderíamos concluir que os limites possuem distância 0. Se X é ordem parcial e (x i ) i I é cadeia, então lim x n = x n. De fato, seja y tal que x i y, para todo i I, logo X(x i, y) = 0, i I. Por outro lado X(lim x i, y) = lim X(x i, y) = 0. Assim lim x i y e portanto lim x i = x i. Além disso, esta definição coincide a usual de espaços métricos. De fato, seja ɛ > 0 dado, observe que: x = lim x i 0 = X(lim x i, x) = lim X(x i, x) = inf sup i I j i X(x i, x) < ɛ. Logo poderemos obter N I de modo que 0 sup X(x j, x) < ɛ. Portanto X(x i, x) < ɛ, i N. j N

24 Espaços métricos gerais O mergulho de Yoneda A partir desta seção vamos buscar introduzir a noção de completude para espaços métricos gerais, para isto considere o conjunto X = {f : X op [0, ]; f é não-expansiva}. Munindo-o com a quase métrica X(φ, ψ) = sup z X [0, ](φ(z), ψ(z)) temos que X é um espaço métrico geral. Neste caminho, a seguinte proposição nos permitirá identificar X em X, o importantíssimo: Lema 2.4 (Yoneda Lema). Seja X espaço métrico geral. Para cada x X defina X(, x) : X op [0, ], y X(y, x). Esta função é não-expansiva e portanto um elemento de X. Além disto, para qualquer elemento φ X, tem-se X(X(, x), φ) = φ(x). Demonstração. Primeiramente, X(, x) é não-expansiva, pois para todo a, b X, considerando sem perda de generalidade X(a, x) < X(b, x), tem-se: [0, ](X(a, x), X(b, x)) = X(b, x) X(a, x) X(b, a) = X op (a, b) Agora tome φ X. Teremos: φ(x) = [0, ](X(x, x), φ(x)) sup[0, ](X(z, x), φ(z)) = X(X(, x), φ) z X Por outro lado, uma vez que φ é não-expansiva tem-se para qualquer y X: [0, ](φ(x), φ(y)) X op (x, y) = X(y, x) Vamos mostrar que para qualquer y X tem-se [0, ](X(y, x), φ(y)) φ(x). Para isto considere os seguintes casos: i) X(y, x) = Neste caso [0, ](X(y, x), φ(y)) = 0 φ(x). ii) X(y, x) < e φ(x) = De imediato [0, ](X(y, x), φ(y)) φ(x). iii) X(y, x) < e φ(x) < Como [0, ](φ(x), φ(y)) X(y, x) teremos φ(y) <, assim φ(y) φ(x) [0, ](φ(x), φ(y)) X(y, x) e portanto φ(y) X(y, x) φ(x). Logo, independente da ordem de φ(y) e X(y, x), segue que [0, ](X(y, x), φ(y)) φ(x). Portanto em qualquer dos casos vale a desigualdade, uma vez que y X é arbitrário segue que: Logo φ(x) = X(X(, x), φ). φ(x) sup[0, ](X(y, x), φ(y)) = X(X(, x), φ) y X

25 Espaços métricos gerais 15 Corolário 2.5. Seja X espaço métrico geral. Para cada x X, defina o mergulho de Yoneda por y : X X, x y x = X(, x). Para todo x, x X tem-se que y é uma isometria, isto é, X(x, x ) = X(y x, y x ). Demonstração. A isometria é imediata a 2.4. Se y x = y x, temos 0 = X(y x, y x ) = X(x, x ) e 0 = X(y x, y x ) = X(x, x). Assim, em virtude da simetria fraca, segue que x = x e portanto y é injetiva. A luz do lema anterior podemos a partir de agora identificar qualquer espaço métrico geral X em um maior, X. Através da seguinte proposição, com o mesmo objetivo, poderemos identificar as funções não-expansivas: Proposição 2.6. Sejam X, Y espaços métricos gerais e f : X Y não-expansiva. Defina f : X Ŷ por f (φ)(y) = inf x X (φ(x) + Y (y, f(x))). Neste caso, f é não-expansiva. Demonstração. Sejam φ, ψ X, teremos: X(φ, ψ) + f (φ)(y) = sup[0, ](φ, ψ) + inf (φ(x) + Y (y, f(x))) x X x X inf (ψ(x) φ(x)) + inf (φ(x) + Y (y, f(x))) inf (ψ(x) + Y (y, f(x))) = f (ψ)(y) x X x X x X Logo X(φ, ψ) f (ψ)(y) f (φ)(y). Se f (ψ)(y) > f (φ)(y) teremos X(φ, ψ) [0, ](φ(y), ψ(y)), caso contrário X(φ, ψ) 0 = [0, ](φ(y), ψ(y)). Em qualquer caso teremos X(φ, ψ) [0, ](φ(y), ψ(y)) e assim X(φ, ψ) sup y X [0, ](φ(y), ψ(y)). Segue que X(φ, ψ) Ŷ (f (φ), f (ψ)).

26 Capítulo 3 Completamento de espaços métricos gerais Em posse dos resultados obtidos anteriormente, podemos a partir deste momento considerar completude em espaços métricos gerais. Dizemos que um funtor J : Gms Gms é um funtor completamento caso satisfaça as seguintes propriedades: i) J X X, qualquer que seja X gms; ii) {y x ; x X} J X; iii) Quaisquer que sejam X, Y gms, se f : Y X é uma função não-expansiva, então J (f) := f J Y satisfaz f J Y (J Y ) J X, isto é, f J Y : J Y J X está bem definida. Note que em virtude de i) e ii) obtemos uma regra para os Gms-objetos, a qual esta determina uma margem para o completamento. A alínea iii) define uma regra para os Gms-morfismos, que garante que qualquer função não-expansiva admite uma extensão que ainda é não-expansiva. Em virtude da proposição 2.6 segue que J é funtor covariante. Seja X espaço métrico geral, dizemos que φ X possui supremo S(φ) X quando para todo x X satisfaça a seguinte igualdade: X(S(φ), x) = X(φ, y x ) (3.A) Caso qualquer elemento φ J X possua supremo, dizemos que X é J -completo. Conforme a definição acima é natural considerar S como uma aplicação, o seguinte lema virá em nosso auxílio neste sentido: Lema 3.1. Seja X espaço métrico geral J -completo. Então a aplicação S : J X X está bem definida e é não-expansiva. Além disso vale a seguinte desigualdade: X(x, S(φ)) X(y x, φ), quaisquer que sejam φ J X, x X 16 (3.B)

27 Completamento de espaços métricos gerais 17 Demonstração. Sejam φ, ψ J X. Assim teremos: X(S(φ), S(ψ)) = }{{} (3.A) X(φ, y S(ψ) ) X(φ, ψ)+ X(ψ, y S(ψ) ) = }{{} (3.A) X(φ, ψ)+x(s(ψ), S(ψ)) = X(φ, ψ) Segue da desigualdade acima e da simetria fraca que S não depende da escolha de φ e ψ, portanto está bem definida e é não-expansiva. Além disso, qualquer que seja x X teremos: X(x, S(φ)) = }{{} 2.5 X(y x, y S(φ) ) = }{{} (3.A) X(S(y x ), S(φ)) }{{} S não-expansiva X(y x, φ) Exemplo 3.2. [0, ] é J -completo, independente da escolha de J. Para observar isso, dado φ J [0, ] defina S(φ) = inf z [0, ] (φ(z) + z), teremos: [0, ](S(φ), x) = x inf z [0, ] (φ(z)+z) = sup [0, ](φ(z), y x (z)) = [0, ](φ, y x ) z [0, ] sup (x z φ(x)) = z [0, ] sup ([0, ](z, x) φ(z)) = z [0, ] Logo S é de fato supremo. 3.1 Completude comum para ordens parciais e espaços métricos Com a noção de completude introduzida anteriormente podemos a partir de uma escolha adequada de J generalizar as noções de completude usuais para espaços métricos, ordens parciais e reticulados. Neste sentido, para X espaço métrico geral, defina o funtor completamento A : J X X por φ AX se, e somente se, existe (x i ) i I rede de Cauchy de modo que φ = inf i I sup j i X(, x j ). Proposição 3.3. O funtor A : Gms Gms é de fato funtor completamento. Demonstração. Sejam X, Y espaços métricos gerais. Verifiquemos que A é funtor completamento: i) É claro que AX X, pois se φ AX então φ : X op [0, ] está bem definida. ii) Para cada x X, tome a rede constante x i = x, para todo i I, que claramente é Cauchy a direita. Desta maneira y x = inf i I sup j i X(, x j ).

28 Completamento de espaços métricos gerais 18 iii) Seja f : X Y não-expansiva. Tome φ AX, então existe (x i ) i I Cauchy a direita tal que φ = inf i I sup j i X(, x j ). Vamos mostrar que f (φ) = inf i I sup j i Y (, f(x j )). Ora, para todo x j (x i ),y Y e x X teremos: Y (y, f(x))+x(x, x j ) Y (y, f(x))+y (f(x), f(x j )) Y (y, f(x j )) inf sup i I j i X(x, x j ) + Y (y, f(x)) inf sup i I j i Y (y, f(x j )) Como x é arbitrário segue que f (φ)(y) inf i I sup j i Y (y, f(x j )). Para mostrar a desigualdade oposta tome ɛ > inf i I sup j i Y (y, f(x j )), para este ɛ tome δ 1, δ 2 > 0 de modo que δ 1 +δ 2 < ɛ e δ 1 > inf i I sup j i Y (y, f(x j )). Como δ 1 não é uma barreira inferior para inf i I sup j i Y (y, f(x j )), podemos obter N 1 I de modo que: δ 1 > sup j N 1 Y (y, f(x j )) Y (y, f(x j )), j N 1 Uma vez que (x i ) é Cauchy a direita podemos obter N 2 I tal que para todo j j N 2 tenha-se X(x j, x j ) < δ 2. Assim φ(x j ) δ 2, qualquer que seja j N 2. Como I é direcionado, tomando N N 1 e N N 2 segue que para todo j N: ɛ > δ 1 + δ 2 > Y (y, f(x j )) + φ(x j ) f (φ)(y) Uma vez que ɛ foi tomado arbitrário segue que inf i I sup j i Y (y, f(x j )) f (φ)(y). Portanto f (φ)(y) = inf i I sup j i Y (y, f(x j )). Desta maneira, conforme as seguintes proposições, poderemos através do funtor A resgatar a completude de espaços métricos e ordens parciais. Proposição 3.4. Seja X espaço métrico. X é completo se, e somente se, X é A-completo. Além disto, a função S : AX X é isometria e vale a seguinte igualdade: X(x, S(φ)) = X(y x, φ), quaisquer que sejam φ J X, x X (3.C) Demonstração. Como X é espaço métrico, podemos fazer uso da simetria quando conveniente. Suponha X completo, tome φ = inf i I sup j i X(, x j ). Fazendo uso da proposição 1.3 temos que (x i ) i I converge, digamos para x. Em virtude da equação (2.A) teremos para todo y X: X(y, x) = X(x, y) = }{{} (2.A) lim X(x i, y) = lim X(y, x i ) = inf sup i I j i Logo y x = φ. Desta maneira defina S(φ) = x. Assim para todo z X: X(S(φ), z) = X(x, z) = X(y x, y z ) = X(φ, y z ) X(y, x j )

29 Completamento de espaços métricos gerais 19 Portanto S é supremo, como φ AX foi tomado arbitrário segue que X é A-completo. Além disso, para φ = inf i I sup j i X(, x j ) e ψ = inf i I sup j i X(, y j ) teremos: X(φ, ψ) = sup[0, ](φ(a), ψ(a)) = sup[0, ](lim X(a, x j ), lim X(a, y j )) = a X a X sup a X [0, ](lim X(x j, a), lim X(y j, a)) = sup[0, ](X(S(φ), a), X(S(ψ), a)) = X(y S(φ))), y S(ψ) ) = X(S(φ), S(ψ)) a X Portanto S : AX X é isometria e desta maneira conforme a demonstração do lema 3.1 segue que vale a equação (3.C). Reciprocamente, seja (x n ) n N sequência de Cauchy. Tome φ = inf n N sup k n X(, x n ). Como X é A-completo existe o supremo S(φ). Assim para todo z X: X(S(φ), z) = X(z, S(φ)) = }{{} (3.C) sup a X X(y z, φ) = sup a X [0, ](y z (a), lim X(a, x n )) = }{{} 2.2(iii) lim[0, ](y z (a), X(a, x n )) = lim sup[0, ](y z (a), y xn (a)) = lim X(yz, y xn ) = a X lim X(z, x n ) = lim X(x n, z) Segue da equação 2.A que lim x n = S(φ) e portanto X é completo. Proposição 3.5. Seja X ordem parcial. Então X é CPO se, e somente se, X é A-completo. Demonstração. Seja (X, ) ordem parcial. Então vejamos que vale. Para isso, seja D X direcionado. Observe que (x d ) d D, com x d := d é uma rede de Cauchy. Tomemos agora φ o ideal associado a esta rede (x d ) d D, i.e., φ(x) := inf d D sup m d X(x; x m ). Temos o seguinte { 0 se x D Fato 1: φ(x) = é função característica. caso contrário Prova. Seja x D, i.e., existe z D tal que x z. Como X(x; z) = 0, temos que sup m z X(x; m) = 0, temos que inf d D sup m d X(x; m) = 0. Se x D, i.e., para todo z D tal que x z, temos que X(x; z) =, para todo z D. Consequentemente, X(x; y) = para todo y D, terminando a prova do Fato 1. Como (X; ) é A-completo, φ tem supremo, ou seja, existe S(φ) tal que para todo x X, X(S(φ); x) = X(φ; y x ) Observe que temos as seguintes equivalências S(φ) x sse X(S(φ); x) = 0 sse X(φ; yx ) = 0. Pela definição de X(φ; y x ) temos para todo z X que

30 Completamento de espaços métricos gerais 20 Vamos mostrar o seguinte X(φ; y x ) = 0 sse y x (z) = X(z; x) φ(z). ( ) Fato 2: X(φ; yx ) = 0 sse D x. Prova. Seja z D, i.e., existe y D tal que z y. Então, φ(z) = 0. Se z x então X(z; x) =. Mas aí, temos uma contradição a ( ). Logo z x. Reciprocamente, seja z X. Se z D, então z x, e consequentemente, X(z; x) = 0. Caso contrário, φ(z) =. Em ambos os casos, temos X(φ; y x ) = 0, terminando a prova do Fato 2. O próximo fato é Fato 3: D x sse D x. Prova. Como D D, vale. A volta, segue do fato que é um operador de fecho de Tarski, onde vale em particular, D = D. Usando os Fatos 1, 2 e 3, obtemos que S(φ) x sse D x. x X. Assim, S(φ) = D, e (X; ) é uma CPO. Vejamos agora, ou seja, X(; ) é A-completo. Seja para isso, φ(x) := inf i I sup j i X(x; x j ) para alguma rede de Cauchy. Sabemos que existe i 0 I tal que x n x m para todo i 0 n m. ( ). Tomemos D i0 := {x i i I & i 0 i}. Assim, sendo D i0 uma cadeia, D i0 é direcionado. Seja agora D := D i0. Como (X; ) é CPO, existe { D em X. 0 se x Di0 Agora observe que φ(x) = caso contrário Para ver isso, seja x D. Logo existe k I tal que x x k e i 0 k. Por ( ), temos que x x k x n para todo n k. Portanto, X(x; x n ) = 0, para todo n k. Assim, sup n k X(x; x n ) = 0.Pela definição de φ, temos que φ(x) = 0, neste caso. Seja agora x D, ou seja, x z para todo z D i0. Temos então X(x; z) =, z D i0 e portanto φ(x) =. Assim temos as seguintes equivalências D x sse X( D; x) = 0 sse D x sse Logo D é o supremo de φ. D i0 x sse X(φ; yx ) = 0. Para ordens parciais podemos considerar o funtor (.)X = X, observe que é imediato que este funtor é de fato um funtor completamento. Conforme a seguinte proposição, esta escolha nos permitirá resgatar a completude de reticulados. Proposição 3.6. Seja X ordem parcial. X é um reticulado completo se, e somente se, X é (.)-completo. Demonstração. Suponha X (.)-completo. Para cada A X, defina φ : X op [0, ]

31 Completamento de espaços métricos gerais 21 por: { 0 se z A φ(z) = caso contrário Uma vez que X é (.)-completo, vamos mostrar que A = S(φ). Ora, seja x A, pela definição de φ e aplicando o Lema de Yoneda teremos 0 = φ(x) = X(y x, φ) X(x, S(φ)). Logo X(x, S(φ)) = 0 e portanto x S(φ). }{{} 3.B Por outro lado, se z X é tal que x z, qualquer que seja x A, teremos: X(S(φ), z) = X(φ, y z ) = sup[0, ](φ(a), X(a, z)) a X Se a A, pela escolha de z temos X(a, z) = 0, assim [0, ](φ(a), X(a, z)) = 0. Por outro lado, se a / A teremos que φ(a) = e portanto [0, ](φ(a), X(a, z)) = 0. Desta maneira, qualquer que seja a X temos [0, ](φ(a), X(a, z)) = 0, logo X(S(φ), z) = 0 e assim S(φ) z. Portanto concluimos que existe A, uma vez que A X foi tomado arbitrário segue da proposição 1.2 que X é reticulado completo. Reciprocamente, suponha X reticulado completo. Para φ X, tome A = φ 1 ( ). Observe que A = A, pois se z A podemos obter h A tal que h z, como φ é não-expansiva φ(h) φ(z) e assim φ(z) =. Desta maneira defina S(φ) = X\ A, vamos mostrar que S é supremo. Ora, para cada x X teremos: 0 = X(S(φ), x) = X( X\ A, x) X\ A {x} X\ {x} A Se a {x} temos X(a, x) = 0, caso contrário teremos a A e assim φ(a) =, logo em qualquer caso teremos [0, ](φ(a), X(a, x)) = 0. Por outro lado, se [0, ](φ(a), X(a, x)) = 0, a X, isto significa que sempre X(a, x) φ(a), em particular para a / {x} valerá X(a, x) = e assim φ(a) =. Desta maneira, teremos: X\ {x} A [0, ](φ(a), X(a, x)) = 0, a X X(φ, y x ) = 0 Logo X(S(φ), x) = 0 X(φ, y x ) = 0, qualquer que seja x X. Como X é ordem parcial X(, ) só assume valores 0 e, desta maneira X(S(φ), x) = X(φ, y x ) 0, mas neste caso podemos obter a X de modo que y x (a) φ(a) 0, novamente levando em consideração que X é ordem parcial terá que ocorrer y x (a) φ(a) = e assim X(S(φ), x) = X(φ, y x ) =. Assim X(S(φ), x) = X(φ, y x ), qualquer que seja x X. Uma vez que φ foi tomado arbitrário segue que S é supremo.

32 Completamento de espaços métricos gerais Completamento de direcionados Conforme a noção de completude introduzida no capítulo anterior, dado um espaço métrico geral X podemos nos questionar a completude de conjuntos direcionados com respeito à ordem X herdada da métrica de X. Neste caminho, dizemos que um funtor completamento J é admissível se para qualquer que seja X espaço métrico geral J -completo, tenha-se (X, X ) pre-cpo. Exemplo 3.7. Para X espaço métrico geral, considere o funtor YX = {y x ; x X}. Observe que Y é funtor completamento pois: f (X(, z)) = inf (X(x, z) + Y (, f(x))) = Y (, f(z)) x X Definindo S(y z ) = z, qualquer que seja z X, em virtude do Lema de Yoneda teremos que X é Y-completo. Em particular, tomando X = N e considerando a ordem usual, teremos que N é Y-completo, mas não é pre-cpo. Logo Y não é admissível. O funtor anterior conforme mostrado não é admissível. Para nosso auxílio, conforme as seguintes proposições, vamos verificar que tanto A quanto (.) são admissíveis. Proposição 3.8. O funtor A é admissível. Demonstração. Sejam X espaço métrico geral A-completo e I X direcionado com respeito a X. Defina x i = i, i I, observe que (x i ) i I é rede de Cauchy à direita. Para esta rede tome φ = inf i I sup j i X(, x j ), uma vez que X é A-completo existe S(φ). Vamos mostrar que I = S(φ). Seja k I, temos φ(x k ) sup j k X(x k, x j ) = 0. Logo pelos lemas de Yoneda e (3.1) temos 0 = φ(x k ) = X(y xk, φ) X(x k, S(φ)), assim x k X S(φ). Se u X é tal que x i X u, qualquer que seja i I, teremos X(x i, u) = 0 e assim: 0 = lim X(x i, u) = lim X(yxi, y u ) = lim sup[0, ](y xi (a), y u )(a) = sup a X a X lim [0, ](y xi (a), y u (a)) = }{{} a X (2.2)(iv) sup[0, ](lim y xi (a), y u (a)) = X(φ, y u ) = X(S(φ), u) Portanto S(φ) X u. Proposição 3.9. Seja X espaço métrico geral (.)-completo, então (X, X ) é reticulado completo. Em particular (.) é admissível. Demonstração. Primeiramente observe que X é um reticulado completo com respeito a X, para observar isto dado Y X tome Y (x) = {φ(a), φ Y & a [0, ]}, para todo x [0, ]. Desta maneira Y é não-expansiva, já que é constante e é a maior das

33 Completamento de espaços métricos gerais 23 barreiras superiores com respeito a X. Além disso X(a) =, para todo a [0, ], é o menor elemento de X e assim X X. Vamos mostrar agora que (X, X ) é reticulado completo. Seja A X, defina y [A] = {y a ; a A}, verifiquemos que S( X y [A] ) é supremo de A. Dado a A, temos y a X X y [A], uma vez que S é não-expansiva teremos a = S(y a ) X S( X y [A] ). Por outro lado, se u X é tal que a X u, para todo a A, em virtude da isometria de y teremos y a X y u e assim X y [A] X y u, portanto segue que S( X y [A] ) X S(y u ) = u. Conforme observado anteriormente temos que X é o menor elemento de X, como S é não-expansiva segue que S( X) é o menor elemento de X.

34 Capítulo 4 Teoremas de ponto fixo Dado um conjunto X e uma aplicação f : X X, podemos nos questionar a existência de pontos x X tais que f(x) = x, quais são ditos pontos fixos. A existência de tais pontos podem ter diversas consequências, por exemplo, se Ax = 0 é um sistema de equações, a existência de pontos fixos para A + I garante a solução deste sistema. Além disso, sob algumas hipóteses acerca da aplicação f e a estrutura de X, pontos fixos podem implicar convergência. Para espaços métricos e ordens parciais são bem conhecidos os teoremas de ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, conforme enunciado: Teorema 4.1 (Banach). Seja X espaço métrico completo. Se f : X X é uma contração, isto é, existe 0 < λ < 1 tal que d(f(x), f(y)) λd(x, y), quaisquer que sejam x, y X. Então f tem um único ponto fixo. Teorema 4.2 (Knaster-Tarski). Seja X um reticulado completo. Se f : X X preserva ordem, então f tem menor e maior ponto fixo. Através do teorema do Ponto Fixo de Banach pode-se demonstrar os conhecidos Teorema de Picard, que garante existência e unicidade de soluções para equações diferencias, e o Teorema da Função Inversa para aplicações diferenciáveis. Como aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Knaster-Tarski tem o conhecido Teorema de Schröder- Bernstein, que garante a existência de uma bijeção entre conjuntos A e B caso exista uma função injetiva de A em B e de B em A. Nas próximas seções, vamos mostrar que ambos são corolários de um único teorema, cujas hipóteses são impostas em espaços métricos gerais. 24

35 Teoremas de ponto fixo O teorema do Ponto Fixo de Pataraia Conforme é conhecido para ordens parciais, pelo teorema (4.15) em [3], dado X CPO e f : X X preservando ordem é possível obter ponto fixo para f. Como mostrado por Pataraia [6], este teorema possui uma demonstração construtiva, como segue: Teorema 4.3. Seja (X, ) CPO e suponha que f : X X preserva ordem. Então f tem menor ponto fixo. Demonstração. Seja H = {A X; f(a) A e A é sub-cpo de X}, observe que Y = {x X; x f(x)} H. Tome C = {A; A H}, C pois C, observe que f : C C está bem definida e além disto x f(x), para todo x C, uma vez que C Y. Defina E(C) = {ϕ : C C; x ϕ(x), x C e ϕ preserva ordem }, temos que E(C) pois f E(C), além disto munido com a ordem por coordenadas definida por φ ψ se, e somente se, φ(a) ψ(a), para todo a C, temos que (E(C), ) é ordem parcial. Vamos mostrar que E(C) é pre-cpo. Seja {ϕ i } i I família direcionada, defina ( ϕ i )(x) = ϕ i (x), para todo x C. Esta função está bem definida pois, uma vez que {ϕ i } i I é direcionado, temos que {ϕ i (x)} i I é direcionado e como C é CPO segue que ϕ i (x) C. Resta mostrar que ϕi E(C). Ora, se x, y C é tal que x y, uma vez que ϕ i preserva ordem temos que ϕ i (x) ϕ i (y), para todo i I, assim ϕ i (x) ϕ i (y). Além disto temos x ϕ i (x) ϕ i (x) = ( ϕ i )(x). Assim ϕ i E(C). O grande passo desta demonstração é observar que E(C) é direcionado. Para verificar isto dados φ, ψ E(C), tome h = φ ψ. É claro que h preserva ordem, como x φ(x) e x ψ(x), para todo x C, segue que x ψ(x) φ(ψ(x)) = h(x) e assim h E(C). Além disto, conforme a desigualdade anterior, temos ψ(x) h(x) e x ψ(x), para todo x C, como φ preserva ordem teremos também φ(x) φ(ψ(x)) = h(x) e portanto φ h e ψ h, assim E(C) é direcionado. Uma vez que E(C) é pre-cpo, temos então que E(C) tem = E(C), o denotemos por m : C C. Vamos mostrar que m( ) é o menor ponto fixo de f. Ora, como m é o maior elemento de E(C), temos que f m m, conforme observado anteriormente sempre vale m f m, assim f m = m e portanto f(m( )) = m( ). Além disto seja x X outro ponto fixo de f, observe que {x} H, logo C {x} e como m( ) C, segue que m( ) x. Teorema 4.3 (bis). Seja (X, ) pre-cpo e f : X X. Suponha que f preserva ordem e existe x X tal que x f(x ). Então f tem ponto fixo, qual é o menor acima de x.

36 Teoremas de ponto fixo 26 Demonstração. Os passos são análogos a demonstração anterior, exceto pelo fato de usar a hipótese de x f(x ) ao invés das propriedades de. Fazendo uso do Teorema de Pataraia, obteremos o seguinte teorema para espaços métricos gerais, cujas hipóteses permitirão obter os teoremas do ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski para espaços métricos gerais. Teorema 4.4. Sejam J admissível, X espaço métrico geral J -completo e f : X X não-expansiva. Se existe φ J X tal que f (φ) = φ, então f tem ponto fixo, qual é o menor acima de S(φ) com respeito a X. Demonstração. Seja φ J X tal que f (φ) = φ, uma vez que X é J -completo, existe S(φ). Desta maneira temos que: X(S(f (φ)), f(s(φ))) = X(f (φ), y f(s(φ)) ) = sup[y f(s(φ)) (a) f (φ(a))] a X = sup[y f(s(φ)) inf (φ(b)+x(a, f(b)))] a X b X = sup[sup(x(a, f(s(φ))) φ(b) X(a, f(b)))] [Lema 2.3] a X sup a X b X sup[x(f(b), f(s(φ))) φ(b)] b X sup[x(b, S(φ)) φ(b)] b X = sup[x(b, S(φ)) X(y b, φ)] b X [Desigualdade Triangular] [f não-expansiva] [Lema de Yoneda] sup[x(b, S(φ)) X(b, S(φ))] = 0 [Lema 3.1] b X Logo X(S(f (φ)), f(s(φ))) = 0 e portanto S(f (φ)) X f(s(φ)). Por hipótese J é admissível, assim (X, X ) é pre-cpo, uma vez que f é não-expansiva e f (φ) = φ temos que f preserva ordem com respeito a X e S(φ) X f(s(φ)). Aplicando o teorema 4.3 bis segue que f tem ponto fixo, qual é o menor acima de S(φ) com respeito a X. 4.2 Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para espaços métricos gerais Conforme as hipóteses do teorema anterior, para a obtenção de pontos fixos para uma função f é suficiente a existência destes para f. Neste caminho a seguinte proposição virá em auxílio: Proposição 4.5. Sejam X espaço métrico geral e f : X X não-expansiva. Se para algum x 0 X a sequência (f n (x 0 )) n N é Cauchy à direita, então φ = inf n N sup k n X(, f k (x 0 )) é um ponto fixo para f.

37 Teoremas de ponto fixo 27 Demonstração. Para mostrar a igualdade f (φ) = φ, vamos verificar ambas desigualdades com respeito a X. Sejam n N, z X e ɛ > 0 fixados. Uma vez que (f n (x 0 )) n N é Cauchy à direita, tome m N de modo que para todo k m n tenha-se X(f m (x 0 ), f k (x 0 )) < ɛ. Assim sup k m X(f m (x 0 ), f k (x 0 )) ɛ. Logo teremos: sup X(z, f k (x 0 )) + ɛ sup X(z, f k (x 0 )) + ɛ X(z, f m+1 (x 0 )) + sup X(f m (x 0 ), f k (x 0 )) k n k m k m inf [X(z, f(a)) + sup X(a, f k (x 0 ))] inf [X(z, f(a)) + inf sup X(a, f k (x 0 ))] = f (φ)(z) a X k m a X m N k m Uma vez que ɛ > 0 foi tomado arbitrário teremos f (φ)(z) sup k n X(z, f k (x 0 )). Como n N foi tomado arbitrário obtemos f (φ)(z) inf n N sup k n X(z, f k (x 0 )) = φ(z). Logo f (φ)(z) φ(z) 0, uma vez que a escolha de z X foi arbitrária segue que sup z X [f (φ)(z) φ(z)] 0 e assim X(φ, f (φ)) = 0. Portanto φ X f (φ). Para mostrar a desigualdade oposta, sejam y, z X e n N fixados. k n, uma vez que f é não-expansiva teremos: X(y, f(z)) + X(z, f k (x 0 )) X(y, f(z)) + X(f(z), f k+1 (x 0 )) X(y, f k+1 (x 0 )). Assim: X(y, f(z))+sup k n X(y, f(z))+inf sup n N k n Tome X(z, f k (x 0 )) sup X(y, f k+1 (x 0 )). Como n foi tomado arbitrário vale: k n X(z, f k (x 0 )) inf sup n N k n X(y, f k+1 (x 0 )) e assim: X(y, f(z))+φ(z) φ(y) Uma vez que z foi tomado arbitrário teremos inf [X(y, f(z)+φ(z))] φ(y) e assim z X f (φ)(y) φ(y). Como y foi tomado arbitrário segue que f (φ) X φ. Em virtude do Teorema 4.4 e fazendo uso da proposição anterior, estaremos em condições de demonstrar os teoremas de Banach e Knaster-Tarski, cujas hipóteses tomadas em espaços métricos gerais coincidem com as hipóteses dos teoremas originais, em virtude das proposições 3.4, 3.6, 3.8 e 3.9. Teorema 4.6 (Banach). Sejam X espaço métrico geral A-completo e f : X X contração, isto é, existe 0 < λ < 1 tal que X(f(x), f(y)) λ.x(x, y) <, para todo x, y X. Então f tem um único ponto fixo. Demonstração. Seja x 0 X, vamos mostrar que f n (x 0 ) é Cauchy à direita. Ora, para cada p N teremos: p 1 p 1 X(f n (x 0 ), f n+p (x 0 )) X(f n+i (x 0 ), f n+i+1 (x 0 )) λ n+i X(x 0, f(x 0 )) i=0 i=0