Quando a equivalência de contato implica na R-equivalência

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1 Universidade Federal do Piauí Centro de Ciências da Natureza Pós-Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Quando a equivalência de contato implica na R-equivalência Edvalter da Silva Sena Filho Teresina

2 Edvalter da Silva Sena Filho Dissertação de Mestrado: Quando a equivalência de contato implica na R-equivalência Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Piauí, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Carlos Humberto Soares Júnior Teresina

3 Sena Filho, Edvalter da Silva. Quando a equivalência de contato implica na R-equivalência. Edvalter da Silva Sena Filho Teresina: Orientador: Prof. Dr. Carlos Humberto Soares Júnior. 1. Teoria de Singularidades CDD

4 Dedico este trabalho aos meus pais, Edvalter Sena e Antonia Maria, fonte inesgotável de incentivo e confiança.

5 Agradecimentos Agradeço, primeiramente, a Deus, pois foi ele que me deu forças para continua nesta árdua caminhada. Sem ele, nada disso seria possivel. Jamais chegaria tão longe sem a Sua presença constante em minha vida. Aos meus pais, Edvalter Sena e Antonia Maria, pessoas as quais nunca duvidaram do meu potencial e sempre, sempre,..., sempre me deram total apoio e incentivo. Sabedoria e honestidade, duas plavaras que podem descrever Edvalter Sena. Cumplicidade e segurança descrevem Antonia Maria. Seres humanos dos quais tenho um orgulho imenso de poder chama-los de pai e mãe Ao meu orientador Prof. Dr. Carlos Humberto Soares Junior, por sua generosa paciência no decorrer da dissertação. Por seu incentivo e disponibilidade, de fundamental importância para a realização deste trabalho. Obrigado mesmo!rs Agradeço também á minha família: Minha irmã Carla, que pelo seu exemplo de vida, me ensinou a arte de: Focalizar, Acreditar e Caminhar. Meu irmão Anderson, por me mostrar o quanto podemos ser fortes. Minha irmã Cintia, minha conselheira, solução de problemas. Meu irmão Douglas, por seu sensor de humor torna tudo mais leve. Minha irmã Jaqueline, minha cúmplice, minha parceira. Á minha namorada, Raquel. Obrigado pela força e pela atenção. Você tornou a caminhada bem mais agrádavel, bem mais prazerosa. Á professora Liane Mendes (UFPI) e ao professor Alexandre César (UFC), por terem aceito o convite de participar da banca que avaliará este trabalho. Aos meus amigos José Newton, Erineuda Sena, Davi Oliveira, Renato Felipe, Adriel Rosa, Carlos Junior e aos demais colegas da rua, que sempre acreditaram em mim e estiveram presente em cada etapa conquistada. Ao Gabriel Domingues, amigo de longa data, um irmão. Aos meus amigos Ramon Soares, Kelson Vieira, Jeferson, Felipe, Samara, Renata, Franciane, Alex, Isarel, Kim Carlos e em especial a Ailton Campos, Ricardo barros e Valdir Ferreira (que me deram total suporte para o ingresso e permanência no corpo do mestrado). Obrigado a todos vocês. Agradeço também ao CNPQ, pelo apoio financeiro e incentivo á ciência.

6 Resumo Neste trabalho mostraremos noções preliminares de Anéis, Módulos e uma introdução a teoria de singularidade. O nosso objetivo é mostrar condições suficientes para que a equivalência de contato implique na equivalência á direita. Bem como, ilustrar exemplos onde essa implicacão não ocorre.

7 Abstract In this work we show preliminary concepts of the Rings, Modules and an introduction about the will singularity theory. The goal is to show sufficient conditions for equivalence implies the equivalence of contact on the right. As well to ilustre the conditions under which it does not occur.

8 Sumário 1 Preliminares Anéis, módulos e o lema de Nakayama Anéis e Domínios Anéis de polinômios Grupos Subgrupos Módulos Lema de Nakayama Introdução a Teoria de Singularidades Germes de conjuntos e aplicações Germes de aplicações suaves Germes de aplicações analíticas complexas Propriedades básicas do anel local E n Ação de grupo Relações de Equivalência A R-Equivalência ou Equivalência a direita A L-Equivalência ou Equivalência a esquerda A A-Equivalência ou Equivalência a direita e esquerda Grupos O grupo C e a C-Equivalência O grupo K e a K-Equivalência (Equivalência de contato) Grupos de Lie Espaço Tangente a R-órbita Germes finitamente determinado Polinômios quase-homogêneos 49 5 Teorema Principal 60 6

9 Introdução Seja X um espaço topológico e x X um ponto. O conjunto P (X) é formado por todos os subconjuntos de X e defina uma relação de equivalência A X B A U = B U para alguma vizinhança U de x X. A classe de equivalência da relação X é chamada de germe do subconjunto X no ponto x. Seja Y um conjunto e considere agora o conjunto formado pelos pares M = {(U, f)}, onde U é uma vizinhança de x em X e f é uma função f : U Y. Introduziremos a relação de equivalência em M : (U 1, f 1 ) X (U 2, f 2 ) se, e somente se, f 1 U0 = f 2 U0 para alguma vizinhança U 0 de x com U 0 U 1 U 2. A classe de equivalência da relação X é chamada de germe da aplicação f de X em Y no ponto x. Usualmente iremos denotar a classe de equivalência de (U, f) simplesmente por f. A mais apurada notação é f x ou (f, x) e estas serão usadas quando necessário. Quando X = R n, Y = R p irmeos considerar apenas as aplicações suaves (C ), f : U Y, onde U é uma vizinhança no ponto x X. O conjunto formado por todos esses germes será denotado por x E n,p. Quando x = 0, escrevemos E n,p para tal conjunto. Além disso, quando p = 1, isto é, quando estivermos trabalhando com funções, nós usaremos a notação x E n. Veremos também que E n é um anel local cujo o único ideal maximal é m n = {f E n / f(0) = 0}. A k-ésima potência do ideal m n é gerada por todos os monômios de grau k, isto é, por x a = x a1 1...xan n com a 1 + a a n = k. Além disso, m k n = {f E n ; (0) = 0, a, com 0 a < k}. a f x a Um ideal I E n tem codimensão finita (isto é, dim(e n /I) < ) se, e somente se, I m k n para um inteiro k. Denotaremos por J k (n, p) o espaço E 0 n,p m k m En,p vetorial o qual é identificado como o K-espaço vetorial das aplicações polinomial de K n, 0 K p, 0 cujas componentes têm grau no máximo k 1. Seja j k : En,p 0 J k (n, p) a projeção canônica, isto é, dado f En,p, 0 j k f é o polinômio de Taylor de f de grau k na origem (j k f é chamado de o k-jato de f na origem). 7

10 Sejam G um grupo e C um conjunto qualquer. Uma ação do grupo G no conjunto C é uma aplicação ϕ : G C C com ϕ(g, c) = g.c tal que : ϕ(e, c) = e.c = c, c C e ϕ(g 1, ϕ(g 2, c)) = ϕ(g 1.g 2, c), isto é, g 1.(g 2 c) = (g 1.g 2 ) c, c C e g 1, g 2 G. Chamaremos de Órbita de um elemento c C como sendo o conjunto G.c de todos os elementos de C que estão relacionados com c. Isto é, G.c = {a C / g G com ϕ(g, c) = a} = {a C / a c} = {ϕ(g, c) / g G}. Denotaremos por R n o conjunto de todos os germes de aplicações h : K n, 0 K n, 0 tal que h é um difeomorfismo quando K = R e h é um isomorfismo analítico quando K = C. Isto é : R n := {h : R n, 0 R n, 0 / h é difeomorfismo } e R n := {h : C n, 0 C n, 0 / h é isomorfismo analítico } A R-equivalência ou Equivalência a direita está relacionada à ação do grupo R = R n, dada por: r : R n E 0 n,p E 0 n,p onde r(h, f) f h 1. Dois germes f, g E 0 n,p estão relacionados se, e somente se, h R n tal que f h 1 = g. A R-órbita de f é denotado por Rf := {g E 0 n,p / g R f} O grupo K é formado pelos germes H : R n R p, 0 R n R p, 0 tais que π 1 H = h R e π 2 H(x, 0) = 0, x. Onde π 1 : R n R p, 0 R n, 0 leva (x, y) x e π 2 : R n R p, 0 R p, 0 leva (x, y) y. Portanto, K = {H : R n R p, 0 R n R p, 0 / H(x, y) = (h(x), ϕ(x, y)) com ϕ(x, 0) = 0, x}. Dois germes f, g E n são K-equivalentes se, e somente se, existe H K tal que H(x, f(x)) = (h(x), ϕ(x, f(x)) = (h(x), g(h(x)) ϕ(x, f(x)) = g(h(x)). O k-jato (j k f) de um germe f E 0 n,p é chamado R-suficiente se qualquer germe g E 0 n,p com j k g = j k f é R-equivalente ao germe f. Isto é, Rf contém o conjunto {g E 0 n / j k g(0) = j k f(0)}. Neste caso, dizemos também que f é k-r-determinado. O germe f é chamado finitamente R-determinado se existir um número inteiro positivo k tal que, f é k-r-determinado. Um polinômio f(x) = a I α ax a1 1...xan n em K[x 1,..., x n ] é dito quase-homogêneo de grau d com relação ao peso w = (w 1, w 2,..., w n ) se w.a := w 1 a w n a n = d, a = (a 1,..., a n ) I N n. O objetivo principal desse trabalho é dar condições para que a equivalência de contato implique na R-equivalência. O Teorema Principal trabalha em cima de germes finitamentes determinados. Seja f finitamente determinado. Se f for K-equivalente a um polinômio quase-homogêneo f 0 então, f é R-equivalente a esse polinômio quase-homogêneo f 0. 8

11 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Anéis, módulos e o lema de Nakayama Anéis e Domínios Definição Um anel comutativo com unidade (A, +, ) é um conjunto A com pelo menos dois elementos, munido de uma operação denotada por + (chamada adição) e de uma operação denotada por (chamada multiplicação) que satisfazem as condições seguintes: 1. A adição é associativa, isto é, para quaisquer x, y, z A, (x + y) + z = x + (y + z). 2. Existe um elemento neutro com respeito à adição, isto é, 0 A tal que, x A, 0 + x = x e x + 0 = x. 3. Todo elemento de A possui um inverso com respeito a adição, isto é, x A, z A tal que x + z = 0 e z + x = A adição é comutativa, isto é, 5. A multiplicação é associativa, isto é, x, y A, x + y = y + x. x, y, z A, (x.y).z = x.(y.z). 9

12 6. Existe um elemento neutro com respeito à multiplicação, isto é, 1 A talque, x A, 1.x = x e x.1 = x. 7. A multiplicação é comutativa, isto é, x, y A, x.y = y.x. 8. A adição é distributiva, relativamente à multiplicação, isto é, x, y, z A, x.(y + z) = x.y + x.z. Se todas as condições são satisfeitas, com exceção de (7), então (A, +, ) é chamado de anel não-comutativo. Definição Um Anel (D, +, ) é chamado domínio ou domínio de integridade se ele satifaz as seguinte condição: O produto de quaisquer dois elementos não nulos de D é um elemento não nulo, isto é, x, y D \ {0}, x y 0. Um anel (K, +, ) é um corpo se ele satifaz a seguinte condição: Todo elemento diferente de zero de K possui um inverso com respeito à multiplicação, isto é, x K \ {0}, y K tal que x y = 1. Exemplo (Z, +, ) é um domínio. 2. (Q, +, ), (R, +, ) são corpos. 3. Seja Z[i] = {a + b i a, b Z}. Então (Z[i], +, ) é um domínio chamado de anel dos inteiros de Gauss. 4. Dados dois anéis (A 1, +, ) e (A 2, +, ), podemos construir um novo anel da maneira seguinte: no conjunto A 1 A 2 := {(a 1, a 2 ); a 1 A, a 2 A 2 }, definimos as opoerações: (a 1, a 2 ) + (a 1, a 2) := (a 1 + a 1, a 2 + a 2) (a 1, a 2 ).(a 1, a 2) := (a 1 a 1, a 2 a 2). É rotina verificar que (A 1 A 2, +, ) é anel, chamado produto direto de A 1 com A 2, onde o elemento neutro com respeito à adição é (0, 0) e o elemento neutro com respeito à multiplicação é (1, 1) 5. Seja M n n (R) o conjunto das matrizes n n com entradas em R; sejam + adição usual de matrizes e a multiplicação usual das matrizes. Então, (M n n (R), +, ) é um anel não-comutativo se n 2. 10

13 Definição Seja (A, +, ) um anel e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é um ideal de A se x + y I, x, y I. ax I, x I, a A. Um ideal m A do anel A chama-se maximal se, para qualquer ideal I de A, a propriedade m I implica I = m ou I = A. Exemplo Seja n 0 um inteiro. Então o subconjunto nz := {zn z Z} é um ideal do anel dos inteiros. 2. Mais geralemente seja (A, +, ) um anel e sejam α 1, α 2,..., α t elementos de A. Então o subconjunto Aα 1 +Aα Aα t := {a 1 α 1 +a 2 α a t α t a 1, a 2,..., a t A} é um ideal de (A, +, ), que será denotado por (α 1,..., α t ). O conceito de ideal permite fazer uma construção totalmente análoga à construção do anel (Z/nZ, n, n ) dos inteiros módulo n. 3. (Anel quociente módulo um ideal). Sejam (A, +, ) um anel e I um ideal de A. Sobre A, definimos a relação de congruência (mod I): para a, b A, a b(mod I) a b I. Verifica-se que esta é uma relação de equivalência. Se a A, então por definição, sua classe de equivalência módulo I consiste no subconjunto {b A; b a(mod I)}, isto é, no subconjunto {a + c; c I}; ela será denotada por ā ou a + I. Denotaremos por A/I o conjunto das classes de equivalência módulo I. Sobre este conjunto A/I, definimos duas operações I e I da maneira seguinte: para x, ȳ A/I, x I ȳ := x + y e x I ȳ := x.y. As operações I e I estão bem definidas e (A/I, I, I ) é um anel, chamado de anel quociente de A módulo I. Seja um conjunto parcialmente ordenado pela relação de inclusão c. Uma cadeia em é um subconjunto C de tal que; dados a, b C, tem-se que a < b ou a > b. Lema (Lema de Zorn) Seja um conjunto parcialmente ordenado tal que toda cadeia em possui uma cota superior. Então contém um elemento maximal. 11

14 Prova: Seja (, <) um sistema parcialmente ordenado tal que toda cadeia possui cota superior. Mostraremos que tem elemento maximal. Para isso, definimos o seguinte conjunto p(x) = {y : x < y} P ( ), onde P ( ) é o conjunto das partes de. Seja p( ) = {p(x) : x }. Se p(x) p( ) é vazio para algum x, ou seja, não existe y tal que x < y, então x é o elemento maximal para e, portanto, o teorema está provado. Agora, suponha que p(x) para qualquer x, isto é, para cada x, existe y que é maior do que x, o que implica no conjunto p( ) ser não vazio. Então, pelo Axioma da Escolha, existe uma função de escolha f em p( ), tal que para cada p(x) temos f(p(x)) p(x). Então, pela definição do conjunto p(x) segue que x < f(p(x)). Pela indução transfinita, definimos f α (p(x)) para todo ordinal α, num conjunto de índices A, da seguinte maneira: f 0 (p(x)) = x f α+1 (p(x)) = f(p(f α (p(x)))). Desta forma, sempre que i < α, f α (p(x)) é um limitante superior de f i (p(x)), pois: f α+1 (p(x)) = f(p(f α (p(x)))) p(f α (p(x)), o que significa que f α (p(x)) < f(p(f α (p(x)))), pela definição do conjunto p(x). Então, f α+1 (p(x)) > f α (p(x)), para todo ordinal α. Então, podemos facilmente construir uma função injetiva de A em dada por g(α) = f α (p(x)) para qualquer x arbitrário. De fato, como a classe A dos ordinais é bem ordenada, podemos afirma que se α < β, então α β. Agora, temos que g(α) = f α (p(x)) que é menor que g(β) = f β (p(x)) sempre que α < β. Assim, para todo α β teremos g(α) g(β), o que define uma função injetiva. Como g é injetiva e tem como domínio o conjunto A de ordinais (que é uma classe própria) então, a cardinalidade de é no mínimo igual à cardinalidade de A. Portanto, é também uma classe própria, o que contradiz o fato de ser um conjunto. Desta forma, não se pode ter tal função de escolha e, assim, o conjunto admite um elemento maximal. Definição O radical de Jacobson de um anel A é definido como sendo a interseção de todos os ideais maximais de A, isto é, JacA := m, onde m é um ideal maximal. m A Teorema Seja A um anel comutativo com unidade 1. Então, se x A não for invertível existirá um ideal maximal m tal que x m. Demonstração: Seja o conjunto de todos os ideais própios de A, que contém x. Então com a inclusão c é parcialmente ordenado e I = I α, onde I α, é uma cota superior de. I é um ideal. Além disso, como x I α, α x I. 12

15 Logo, pelo lema de Zorn, temos que tem um elemento maximal m. Este ideal m é um ideal maximal e x m. Finalizando então nossa demonstração. Exemplo : Mostre que x JacA 1 xy é invertível em A, y A. Em particular 1 x é invertível. Demonstração: De fato, se 1 xy não fosse invertível então existiria um ideal maximal m tal que 1 xy m (pelo Teorema anterior). Neste caso, como x JacA m xy m, y A. Logo, teríamos 1 m, e consequentemente que m = A, uma contradição. Assim, 1 xy é invertível, y A. Em particular, 1 + x também é invertível Anéis de polinômios Seja (A, +, ) um anel. Um polinômio numa variável sobre A é uma sequência (a 0, a 1,..., a n,...), onde a i A para todo índice e onde a i 0 somente para um número finito de índices. Seja A ={ polinômios numa variável sobre A}. No conjunto A, definimos as operações seguintes: : A A A ((a 0, a 1,...), (b 0, b 1,...)) (a 0 + b 0, a 1 + b 1,...) : A A A ((a 0, a 1,...), (b 0, b 1,...)) (c 0, c 1,...) onde c 0 = a 0 b 0 c 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1 c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 a 2 b 0. c n = a 0 b n + a 1 b n 1 + a 2 b n a n 1 b 1 + a n b 0. Observe que (A,, ) sera um anel onde: o elemento neutro de é o elemento (0, 0, 0,...) o elemento neutro de é o elemento (1, 0, 0,...) o inverso de (a 0, a 1,..., a n,...) com respeito a operação é o elemento ( a 0, a 1,..., a n,...). 13

16 Observe que a multiplicação de A é comutativa pois a multiplicação de A é comutativa. Vai ser conveniente representar o elemento (a 0, a 1,..., a n, 0,...) pela expressão a 0 + a 1 X + a 2 X a n X; então A = { n i=0 a ix i n N e a i A } e as operações deste anel são simplesmente as operações com as quais todo mundo está acostumado. Vamos denotar o anel (A, +, ) por A[X], e chamá-lo de anel de polinômios numa variável sobre A. Definição Seja A um anel e seja f(x) := a 0 + a 1 X a n X n A[X] com a n 0. O inteiro n se chama grau de f(x). O coeficiente a n se chama o coeficiente líder de f(x). Quando o coeficiente líder for igual a 1, o polinômio é dito mônico. Observe que não definimos a noção de grau para o polinômio nulo. Sejam A um anel e f(x), g(x), A[X] \ {0}. Afirmamos que: 1. Se A é um domínio, então grau(f(x).g(x)) = grau f(x) + grau g(x). 2. A[X] será um domínio se e somente se A for um domínio. Por indução, podemos definir o anel de polinômios em k variáveis sobre o anel A de modo seguinte: A[X 1,..., X k ] = (A[X 1,..., X k 1 ])[X k ]. Olhamos mais de perto o caso K = 2. Por definição, A[X 1, X 2 ] = (A[X 1 ])[X 2 ]; logo um elemento qualquer do anel A[X 1, X 2 ] é do tipo ((a 00, a 01,..., 0,...),..., (a n0, a n1,..., 0,...), (0, 0,...),...) com a ij A, i, j. Note que o elemento ((0, 1, 0,...), (0, 0,...),...) é representado po X 1 e o elemento ((0, 0,...), (1, 0,...), (0, 0,...),...) é representado por X 2. Não é mais um luxo utilizar esses símbolos X 1 e X 2. Com eles, o elemento qualquer acima se escreve como a 0 (X 1 ) + a 1 (X 1 ).X a n (X 1 ).X n 2, onde a 0 (X 1 ) = a 01 X 1 + a 02 X1 2 + a 1 (X 1 ) = a 10 X 1 + a 11 X a 1 (X 1 ) = a n0 X 1 + a n1 X

17 Utilizando a comutatividade e a distributividade no anel A[X 1, X 2 ], podemos escrever um mesmo elemento de diversas maneiras. Por exemplo: (1 + X 2 1 ) + (3 + 2X 1 + 2X 3 1 )X 2 + (X 1 2X 3 1 )X 2 + (X 1 2X 2 1 )X 2 2 = (1 + 3X 2 ) + (2X 2 + X 2 2 )X 1 + (1 2X 2 2 )X (2X 2 )X 3 1 = (1) + (3X 2 ) + (X X 1 X 2 ) + (X 1 X 2 2 ) + (2X 3 1 X 2 2X 2 1 X 2 2 ). Observe que na primeira linha os termos estão arranjados de modo a ter potências de X 2 com coeficientes em A[X 1 ] ; na segunda linha, eles estão arranjados de modo a ter potências de X 1 com coeficientes em A[X 2 ]; na terceira linha, os termos de mesmo grau estão agrupados ( o grau de um termo X i 1X j 2 é definido como sendo i + j). Dependendo do problema considerado, pode ser mais conveniente usar uma ou outra das representações. Observação Dado um polinômio f(x) = n i=0 a ix i A[X], podemos considerar a função polinomial associada f(α) = n i=0 a iα i. É bom observa que um polinômio diferente de zero pode ter a função identicamente nula como função polinomial associada; esse é o caso com f(x) := 1.X + 1.X 2 (Z/2Z)[X] pois f( 0) = = 0. f( 1) = = Grupos Definição Um conjunto G com uma operação G G G (a, b) a.b é um grupo se as condições seguintes são satisfeitas: i) A operação é associativa, isto é, a.(b.c) = (a.b).c, a, b, c G. ii) Existe um elemento neutro, isto é, e G tal que e.a = a, a G. iii) Todo elemento possui um elemento inverso, isto é, a G, b G tal que a.b = b.a = e. 15

18 O grupo é abeliano ou comutativo se: iv) A operação é comutativa, isto é, a.b = b.a, a, b G. Da definição de grupos obtemos que: 1. O elemento neutro é único. De fato, se e, e G são elementos neutros de G, então e = e.e pois e é elemento neutro, = e pois e é elemento neutro. 2. O elemento inverso é único. De fato, sejam a G e b, b G dois elementos inversos de a; temos: b = b.e = b.(a.b ) pois b é inverso de a, = (b.a).b = e.b = b pois b é inverso de a. Denotaremos o único inverso de a por a Da unicidade do inverso de um elemento a G, obtém-se o fato mais geral seguinte: Se a, b G, então a equação X.a = b tem uma única solução em G, a saber b.a 1. De fato, se c é uma solução X.a = b, então temos c.a = b, logo c.a.a 1 = b.a 1. Por outro lado, b.a 1 é claramente uma solução. De maneira similar, obtém-se que a equação a.x = b tem uma única solução em G, a saber a 1.b. 4. Em decorrência da Observação 3), para mostrar que um elemento f G é igual ao elemento neutro do grupo, basta mostrar que f.a = a para algum elemento a G. 5. (a.b) 1 = b 1.a 1 Observe que: (a.b).(b 1.a 1 ) = e, pela unicidade do inverso de um elemento em G, obtêm-se que: b 1.a 1 = (a.b) 1. Nota: Muitas vezes deixaremos de indicar a operação do grupo, escrevendo G para denotar um grupo (G,.) Exemplo (Z, +) é um grupo abeliano infinito. 2. (Z/nZ, ) é um grupo abeliano finito com n elementos. 16

19 3. (Q, +), (R, +), (C, +) são grupos (aditivos) abelianos. 4. (Q \ {0},.), (R \ {0},.), (C \ {0},.) são grupos (multiplicativos) abelianos. Se p é um número primo, ((Z/pZ) \ {0}, ) é um grupo abeliano Subgrupos Definição Seja (G,.) um grupo. Um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G (denotamos H < G) quando, com a operação de G, o conjunto H é grupo, isto é, quando as condições seguintes são satisfeitas: i) h 1.h 2 H, h 1, h 2 H. ii) h 1.(h 2.h 3 ) = (h 1.h 2 ).h 3, h 1, h 2, h 3 H. iii) e H H tal que e H.h = h.e H = h, h H. iv) Para cada h H, k H tal que h.k = k.h = e H. Observação A condição ii) é sempre satisfeita, pois a igualdade g 1 (g 2.g 3 ) = (g 1.g 2 ).g 3 é válida para todos os elementos de G. 2. O elemento neutro e H H é necessariamente igual ao elemento neutro e de G. De fato, tomando a H G, temos e H.a = a; multiplicando os dois lados por a 1 á direita, obtemos e H = e. 3. Dado h H, o inverso de h em H é necessariamente igual ao inverso de h em G. De fato, se k é o inverso de h em H, então h.k = k.h = e H, logo h.k = k.h = e pois e H = e, e portanto k é o inverso de h em G. Proposição Seja H um subconjunto não-vazio do grupo G. Então H é um sugrupo de G se, e somente se, as duas condições seguintes são satisfeitas: 1. h 1.h 2 H, h 1, h 2 H. 2. h 1 H, h H. Demonstração: Suponhamos que H seja subgrupo de G. A condição 1) é então claramente satisfeita. Agora, seja h H; sendo H um grupo, h possui um inverso em H; mas, pela observação anterior, tal inverso é necessariamente igual ao inverso de h em G, isto é, é necessariamente igual a h 1 ; logo h 1 H, e a condição 2) é satisfeita. Reciprocamente, suponhamos que as duas condições 1) e 2) sejam satisfeitas. Então a condição i) da definição anterior é claramente satisfeita. Como observamos, a condição ii) sempre é satisfeita. Para ver que a iii) é satisfeita, basta que e H; isto de fato acontece pois, tomando h H, temos h 1 H pela condição 2) e logo e = h 1.h H pela condição 1). Finalmente, que a condição iv) é satisfeita decorre da condição 2) ser satisfeita. 17

20 1.3 Módulos Definição Seja A um anel. Um conjunto M é um módulo sobre A, ou um A-módulo se existem operações + : M M M e : A M M tais que: (M, +) é um grupo abeliano e a, b A, m, n, M e são satisfeitas as condições abaixos 1. (a + b).m = a.m + b.m e a.(m + n) = a.m + a.n; 2. (a.b).m = a.(b.m); 3. 1.m = m. Exemplo Seja A um anel. Então M = A n é um módulo sobre A. 2. Seja ϕ : A B um homomorfismo de anéis. O anel B pode ser considerado um A-modulo com a multiplicação a.b = ϕ(a).ϕ(b). Nesta situação B é denominado uma A-álgebra. Definição Sejam A um anel e M um A-módulo. Um subgrupo N de M é um A-submódulo se a multiplicação escalar de M preserva N, isto é, se a.n N, a A e quaisquer n N. Seja M um A-módulo, t N e m 1, m 2,..., m t elementos de M. Consideramos o seguinte subconjunto N de M: N = Am 1 + Am Am t = {a 1 m 1 + a 2 m a t m t /a i A}. Este conjunto N é um submódulo de M e é chamado de submódulo gerado por m 1, m 2,..., m t. O módulo M é dito finitamente gerado quando existe um número finito de elementos m 1, m 2,..., m t de M tais que M = Am 1 + Am Am t. Neste caso, dizemos que m 1, m 2,..., m t é um conjunto de geradores para o módulo M. O módulo M é cíclico se pode ser gerado por um elemento, isto é, se M = Am, para algum m M. Definição Sejam M e M dois A-módulos. Uma aplicação f : M M é um homomorfismo de A-módulos ou um A-homomorfismo se : a) f é um homomorfismo de grupos aditivos, isto é, 18

21 f(m 1 + m 2 ) = f(m 1 ) + f(m 2 ), m 1, m 2 M. b) f(a.m) = a.f(m), a A e m M. Dizemos também que a aplicação f é A-linear, ou que f é um operador A- linear. Um homomorfismo de A-módulos é um isomorfismo de A-módulos se ele for bijetivo. Definição Sejam A um anel e (M, +) um A-módulo. Seja N um submódulo de M. Então, em particular, (N, +) é um subgrupo de (M, +) e podemos considerar o grupo quociente (M/N, +), isto é, o conjunto {m + N m M} das classes laterais de N em M munido da adição. + : M/N M/N M/N (m 1 + N, m 2 + N) (m 1 + m 2 ) + N. Sobre este grupo (M/N, +), podemos definir a seguinte multiplicação escalar: A M/N M/N (a, m + N) am + N. Verifica-se que esta operação esta bem definida e que M/N é um A-módulo, chamado de A-módulo quociente de M por N. Definição Um subconjunto N M de um A-módulo M é um submódulo se for fechado nas operações de M, isto é, se m, n Ne a A então m + n Ne am N. e Se ϕ : M N é um homomorfismo de A-módulos, definimos ker(ϕ) = {m M ϕ(m) = 0}, Im(ϕ) = {ϕ(m) N m M}. Observe, pela definição, que ker(ϕ) M e Im(ϕ) N são submódulos. Se N M, definimos o módulo quociente M/N = {[m] = m + N m M}, a coleção das classes de equivalência pela relação [m] = [m ] m m N. Com as operações induzidas por M temos que M/N é um A-módulo. Veremos que para anéis e ideais, temos que se ϕ : M N é um homomorfismo de A-módulos, então M ker(ϕ) = Im(ϕ). 19

22 Em particular, ϕ é injetiva se e somente se ker(ϕ) = 0. Um quociente de módulos muito importante ganha um nome especial : Se ϕ : M N é um homomorfismo de A-módulos, definimos coker(ϕ) = N Im(ϕ) Teorema (Teorema dos isomorfismo) Seja f : (A, +, ) (B, +, ) um homomorfismo de anéis. Então, a aplicação f abaixo é um homomorfismo de anéis: f : (A/kerf, +, ) (Imf, +, ) ā f(a) Demonstração: Primeiramente mostraresmo que f é uma função bem definida, isto é, se a 1, a 2 A são tais que ā 1 = ā 2, então f(a 1 ) = f(a 2 ). E de fato se ā 1 = ā 2, então temos a 1 a 2 kerf, logo f(a 1 a 2 ) = 0; além do mais f(a 1 a 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ), pois f é um bom homomorfismo; portanto, f(a 1 ) = f(a 2 ). Agora, f é claramente uma aplicação sobrejetora e é um homomorfismo pois, para elementos, a 1, a 2 A, temos : f(ā 1 + ā 2 ) = f(a 1 + a 2 ) = f(a 1 + a 2 ) = f(a 1 ) + f(a 2 ) = f(ā 1 ) + f(ā 2 ) f(ā 1 ā 2 ) = f(a 1 a 2 ) = f(a 1 a 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) = f(ā 1 ) f(ā 2 ) Finalmente, temos que ker f = { ā (A/kerf); f(a) = 0 } = { ā (A/kerf); a kerf} = { 0}; logo f é injetiva. Proposição Se N M L então L/N M/N = L/M. Demonstração: Tome o homomorfismo π : L/N L/M, π(l + N) = l + M. Como N M, π está bem definido e é sobrejetor. Então l + M = M l M, ou seja, ker(π) = M/N. Proposição Se N 1, N 2 M são A-módulos, então N 1 + N 2 N 1 = N 2 N 1 N 2. 20

23 Demonstração: Tome o homomorfismo ψ : N 2 (N 1 + N 2 )/N 1, ψ(n 2 ) = n 2 + N 1. Temos que ψ é sobrejetor. E n 2 ker(ψ) se, e somente se, n 2 N 1, ou seja, ker(ψ) = N 1 N 2. Definição Um A-módulo M é dito Noetheriano se todo submódulo N M for finitamente gerado. Exemplo Sejam N M A-módulo. Então M é noetheriano se, e somente se, N e M/N forem noetherianos. Demonstração: Suponha que N e M/N sejam noetheriano. Tome L M um submódulo. Provaremos que L é finitamente gerado. Com efeito, tome seguinte homomorfismo ψ : L (L + N)/N, ψ(l) = l + N. É fácil ver que ψ é sobrejetor. E l ker(ψ) se, e somente se, l N, ou seja, ker(ψ) = L N. Aplicando o teorema dos isomorfismos, temos que : L/L N = (L + N)/N M/N que é finitamente gerado, digamos L/L N =< [g 1 ],..., [g k ] >, g i L. Daí, L =< g 1,..., g k > +L N. Como N é noetheriano, L N também é finitamente gerado, e consequentemente L sera noetheriano. Recíprocamente, seja M é noetheriano. Seja H N um submódulo. Logo, H é um submódulo de M. Portanto, pela definição de noetheriano, temos que H é finitamente gerado. Provando então, que N é noetheriano. Seja agora M/N. Sabe-se que, M/N = m + N M. Caíndo no caso já provado anteriormente. 1.4 Lema de Nakayama Teorema (Lema de Nakayama) Seja I A um ideal contido no radical de Jacobson de A. Seja M um A-módulo finitamente gerado e N M um submódulo tal que M = IM + N. Então M = N. Demonstração: Sejam a 1, a 2,..., a n geradores de M. A hipótese garante que existe b j N e δ ij I tais que a i = b i + n j=1 δ ija j. Defina agora λ = (δ ij ), como sendo a matriz n n formada pelos elementos δ ij. Sejam A = (a 1, a 2,..., a n ) e B = (b 1, b 2,..., b n ). Como a i = b i + n j=1 δ ija j, temos que A = B + λa. Isto implica que, (I λ)a = B. Observe que: 21

24 1 δ 11 δ 12 δ 13 δ 1n δ 21 1 δ 22 δ 23 δ 2n det(i λ) = det = 1 + α, com. δ n1 δ n2 δ n3 1 δ nn α I. Ja sabemos que 1 + α sera inverível, logo det(i λ) é invertível. 22

25 Capítulo 2 Introdução a Teoria de Singularidades 2.1 Germes de conjuntos e aplicações Seja X um espaço topológico e x X um ponto. O conjunto P (X) é formado por todos os subconjuntos de X e defina uma relação de equivalência para alguma vizinhança U de x X. A X B A U = B U Definição A classe de equivalência da relação do subconjunto X no ponto x. X é chamada de germe Seja Y um conjunto e considere agora o conjunto formado pelos pares M = {(U, f)}, onde U é uma vizinhança de x em X e f é uma função f : U Y. Introduziremos a relação de equivalência em M : (U 1, f 1 ) X (U 2, f 2 ) se, e somente se, f 1 U0 = f 2 U0 para alguma vizinhança U 0 de x com U 0 U 1 U 2. Definição A classe de equivalência da relação X é chamada de germe da aplicação que vai de X a Y e tem o ponto x. Usualmente iremos denotar a classe de equivalência de (U, f) simplesmente por f. A mais apurada notação é f x ou (f, x) e esta são usadas quando necessário. Iremos introduzir as classes de germes de aplicações suaves que são muito importantes na teoria de Singularidade Germes de aplicações suaves Quando X = R n, Y = R p iremos considerar apenas as aplicações suaves (C ), f : U Y, onde U é uma vizinhança no ponto x X. O conjunto formado 23

26 por todos esses germes sera denotado por x E n,p. Quando x = 0, escrevemos E n,p para tal conjunto. Além disso, quando p = 1, isto é, quando tratamos com funções, nós usaremos a notação x E n e, respectivamente, E n Germes de aplicações analíticas complexas Quando X = C n e Y = C p iremos considere apenas as aplicações f : U Y que são analíticas (holomorfas), isto é, que podem ser escritas como séries de potências convergentes nas proximidades de um ponto em U. A notação x E n,p, E n,p, x E n e E n serão também usado no contexto: E n,p := {f : K n K p /f é germe} Seja E 0 n,p o conjunto denotado aos germes f E n,p com f(0) = 0. Tal germe também sera denotado por f : K n, 0 K p, 0 onde K = R ou C de acordo com o contexto Propriedades básicas do anel local E n Primeiramente, iremos considerar as propriedades que coincidem em ambos os casos (funções reais e análiticos complexos). Proposição i) E n é anel local e o único ideal maximal é m n = {f E n ; f(0) = 0}; ii) A k-ésima potência do ideal m n é gerada por todos os monômios de grau k, isto é, por x a = x a1 1...xan n com a 1 + a a n = k}. Além disso, m k n = {f E n ; a f x (0) = 0, a, com 0 a < k}. a iii) Um ideal I E n tem codimensão finita (isto é, dim(e n /I) <, onde dime n /I é a dimensão de E n /I como um K-espaço vetorial ) se, e somente se, I m k n para um inteiro k. Demonstração: i) m n é um ideal. De fato: Sejam f, g m n. Portanto (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 0 f + g m n. Tome agora f m n e g E n. Portanto, (g.f)(0) = g(0).f(0) = g(0).0 = 0 g.f m n. Logo, m n é um ideal. Suponha que m n não seja maximal. Então, existe um ideal J E n, tal que m n J E n, onde m n J e J E n. Como m n J, então temos uma f J, tal que f m n, logo f(0) 0. Portanto f tem inversa multiplicativa, 1 f, que também é um germe em E n. Logo, 1 = f.( 1 f ) J J = E n. Gerando um absurdo. 24

27 Suponha que m n não é único. Então existe um outro ideal maximal J, onde J E n e J m n. Faça N = J m n. Mostraremos que N é um ideal. Com efeito, suponha f J (no caso em que f m n segue de maneira analoga). Temos g.f J, g E n, portanto, g.f N = J m n. Agora suponha, por absurdo, que exista uma f J e uma g m n tal que f + g N. Logo (f + g)(0) 0, portanto f(0) 0 mostrando então que f tem inversa multiplicativa 1 f, que também é um germe em E n. Logo, 1 = f.( 1 f ) J J = E n. Absurdo, pois J E n. Portanto N é um ideal. Ora, mais m n N, contrariando a maximalidade de m n. Portanto m n é único. ii) Faremos a provar para k = 1 e o restante da prova segue por indução. Seja f m n, em seguida, tome um disco pequeno D r = {x K n ; x < r} e um representante do germe f (denotado também por f) definido no disco D r. Para todo x D r temos a seguinte fórmula f(x) = 1 0 df dt (tx).dt = n i=1 x i 1 0 f x i (tx)dt. Logo as funções g i (x) = 1 f 0 x i (tx)dt estão definidas em E n. Temos então n que f(x) = x i g i (x). Portanto, f pertence ao ideal gerado pelos monômios i=1 x 1,..., x n. O restante da prova segue por indução. Observe que g i (0) = f x i (0). iii) Suponha que m k n I para algum k N. Considere a seguinte aplicação: ϕ : E n /m k n E n /I f + m k n f + I. Provaremos que ϕ é um homomorfismo sobrejetivo. Com efeito, primeiramente mostraremos que ϕ está bem definida: 1. f + m k n = g + m k n (f g) m k n I f g mod(i) f + I = g + I; 2. ϕ((f +m k n)+(g+m k n)) = ϕ((f +g)+m k n) = (f +g)+i = (f +I)+(g+I) = ϕ(f + m k n) + ϕ(g + m k n); 3. ϕ((f + m k n)(g + m k n)) = ϕ(f.g + m k n) = f.g + I = (f + I).(g + I) = ϕ(f + m k n).ϕ(g + m k n). 25

28 Portanto, ϕ é um homomorfismo sobrejetivo ϕ é uma transformação linear sobrejetiva dime n /I dime n /m k n, onde m k n =< monômios de grau k >. Portanto, E n /m k n pode ser identificado como o conjunto dos polinômios de grau < k, o qual tem dimensão finita. Ou seja: dime n /m k n < + dime n /I < +. Suponha que cod I < + dim E n /I < +. Veja que: E n I + m n I + m 2 n... I + m k n... A sequência se estabiliza, porquê do contrário, teríamos: E n I + m n I + m 2 n... I + mk n... E consequentemente: E n /I (I + m n)/i (I + m2 n)/i... (I + mk n)/i... Mostrando que: dim(e n /I) > dim((i +m n )/I) > dim((i +m 2 n)/i) >... > dim((i +m k n)/i) > dim((i + m k+1 n )/I)... dim(e n /I) = +. O que é uma contradição. Portanto, a sequência estabiliza. Logo existe um k 0 N tal que (I +m k n)/i = (I + m k+1 n )/I, k k 0. Aplicando o Lema de Nakayama, temos m k n I. Provando então o nosso resultado. Qualquer ideal I E n de funções analíticas corresponde á um subconjunto de germes em C n na origem, a saber V (I) = {x C n ; f(x) = 0 f I}. Este é chamado de germe de conjunto analítico ou Variedade local definida por I. Se o anel E n é Noetheriano o ideal I tem um sistema finito de geradores f 1,..., f p. Qualquer subconjunto de germes A em C n, na origem, corresponde um ideal em E n, a saber, I(A) = {f E n ; f A = 0}, o ideal de todos os germes de função que se anula em A. Se I é um ideal no anel E n, então definimos o radical I da seguinte maneira I = {f En ; f k I para um inteiro positivo k }. 26

29 Além disso, se o anel for Noetheriano, então existe um inteiro positivo p tal que ( I) P I. Teorema (Hilbert Nullstellensatz) i) V (I(A)) = A, para todo germe analítico A na origem de C n. ii) I(V (J)) = J para todo ideal J E n. Demonstração: Ver [9] Observação : 1. f é dita suave se K = R e f é dita analítica se K = C. 2. E 0 n,p := {f : K n, 0 K p, 0 / f é germe} = m n.e n,p. E 0 n,p m k m En,p Definição : Denotaremos por J k (n, p) o espaço vetorial identificado como o K-espaço vetorial das aplicações polinomial de K n, 0 K p, 0, cujas componentes têm grau no máximo k. o qual é Definição : Seja j k : E 0 n,p J k (n, p) a projeção canônica, isto é, dado f E 0 n,p, j k f é o polinômio de Taylor de f de grau k na origem. j k f é chamado de o k-jato de f na origem. Exemplo : Dados f, g E 0 n,p, têm-se que j k f = j k g x r1 r f 1 (0) = xrn n r = r 1 + r r n, com 1 r k. x r1 r g 1 (0), xrn n O espaço J k (n, p) é chamado de o espaço dos k-jatos do tipo (n, p). Exemplo : Se k 1 > k 2, então a projeção é tal que j k1,k2 (j k1 ) j k2. j k1,k2 : J k1 (n, p) J k2 (n, p) j k1 f j k2 f 27

30 Capítulo 3 Ação de grupo Definição Sejam G um grupo e C um conjunto qualquer. Uma ação do grupo G no conjunto C é uma aplicação tal que: 1. ϕ(e, c) = e.c = c, c C; ϕ : G C C (g, c) ϕ(g, c) = g.c 2. ϕ(g 1, ϕ(g 2, c)) = ϕ(g 1.g 2, c), isto é, g 1.(g 2 c) = (g 1.g 2 ) c, c C e g 1, g 2 G. Definição : Dados c 1, c 2 C, definimos a relação: c 1 c 2 g G tal que ϕ(g, c 1 ) = c 2, isto é, g.c 1 = c 2. Exemplo : Afirmamos que é uma relação de equivalência, pois I) c 1 c 1 Tome h = e. Portanto, ϕ(e, c 1 ) = e.c 1 = c 1. Logo, c 1 c 1. II) c 1 c 2 c 2 c 1 Como c 1 c 2 h G tal que, ϕ(h, c 1 ) = c 2 h.c = c 2. Queremos encontrar uma g G tal que; ϕ(g, c 2 ) = c 1. Portanto, ϕ(g, ϕ(h, c 1 )) = c 1 ϕ(g.h, c 1 ) = c 1 g.h.c 1 = c 1 g.h = e g = h 1. III) c 1 c 2 e c 2 c 3 c 1 c 3. Como c 1 c 2 h G tal que ϕ(h, c 1 ) = c 2. Como c 2 c 3 g G tal que ϕ(g, c 2 ) = c 3. Por outro lado, como ϕ(g, c 2 ) = c 3 ϕ(g, ϕ(h, c 1 )) = ϕ(g.h, c 1 ) = c 3. Mostrando que c 1 c 3. 28

31 Definição : Chamaremos de Órbita de um elemento c C como sendo o conjunto G.c de todos os elementos de C que estão relacionados com c. Isto é, G.c = {a C / g G com ϕ(g, c) = a} = {a C / g.c = a} = {a C / a c} = {g.c / g G} = {ϕ(g, c) / g G}. Exemplo : Seja C = L(R n, R p ) o conjunto das transformações lineares de R n em R p e G o grupo Gl n Gl p formado por pares de operadores lineares invertíveis (A, B) com A : R n R n e B : R p R p. Definimos ϕ : G C C ((A, B), T ) B.T.A 1 Observe que, ϕ((i n, I p ), T ) = I p T I n 1 = T ; e ϕ((a 1, B 1 ), ϕ((a 2, B 2 ), T )) = B 1 (B 2 T A 2 1 ) A 1 1 = (B 1 B 2 ) T (A 1 A 2 ) 1 = ϕ((a 1 A 2, B 1 B 2 ), T ) Exemplo Duas transformações lineares T, S L(R n, R p ) = C são equivalentes se ϕ((a, B), T ) = S ( sendo A : R n R n e B : R p R p operadores invertíveis e ϕ((a, B), T ) = B 1.T.A ) se, e somente se, T e S têm o mesmo posto. Solução: Duas transformações lineares T, S L(R n, R p ) = C são equivalentes se (A, B) G tal que ϕ((a, B), T ) = S. Com A : R n R n e B : R p R p operadores invertíveis. Logo ϕ((a, B), T ) = S B 1.T.A = S. Tome α e β bases de R n e R p respectivamente, e [A] α α e [B] β β será associado como sendo a matriz da transformações lineares de A e B respectivamente. como sendo a matriz dos operadores lineares T e S respectiva- [T ] α β e [S]α β mente. Nosso objetivo: Provar que posto[t ] α β = posto[s]α β. Observe que; S = B 1.T.A [S] α β = [B 1.T.A] α β = [B 1 ] β β.[t.a]α β. Observações: 29

32 1. posto[a] α α = n. 2. posto[b 1 ] β β = p. 3. posto[s] α β min{p, n}. 4. posto[t ] α β min{p, n}. Sabemos que, [S] α β posto; = [B 1 ] β β.[t.a]α β. Portanto, usando as propriedades do posto[s] α β min{posto[b 1 ] β β, posto[t ]α β, posto[a]α α} posto[s] α β posto[t ]α β. De modo análogo temos; posto[t ] α β posto[s]α β. Portanto; posto[s] α β = posto[t ]α β. Suponha agora que as duas operações lineares T e S tenham o mesmo posto. Tome α e β bases de R n e R p respectivamente. Portanto, posto[t ] β α = posto[s] β α = r. Onde r min{n, p}. Reindexando as coordenadas de T, podemos assumir que posto = Ti x j (x) r onde i, j = 1,..., r, x. Seja q : R p R r a projeção das r primeiras coordenadas. Então, q T (x) = (T 1 (x),..., T r (x)) é uma submersão. Pelo teorema da Forma Local das Submersões, existe um difeomorfismo g tal que q T g 1 = (x 1,..., x r ). Portanto, T g 1 = (x 1,..., x r, T 1 (x),..., T p r (x)) onde T j : R n R. A constância do posto de T e portanto T g 1, implica que T i x j (x) = 0, i = 1,..., p r, j = r+1,..., p e x U. Portanto T j depende somente de x 1,..., x r. Definimos h : R p, 0 R p, 0 tal que h(y 1,..., y p ) = (y 1,..., y r, y r+1 T 1 (ȳ),..., y p T p r (ȳ)) em que ȳ = (y 1,..., y r ). Então, h T g 1 (x) = (x 1,..., x r, 0,..., 0). De modo análogo temos que β S α 1 = (x 1,..., x r, 0,..., 0). Logo, T = (β 1 h) 1 S (α 1 g). Segue-se do exercício anterior que dado T C, tomando k = postot, tem-se que T é equivalente a 30

33 T k C, em que T k (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x k, 0,..., 0). Em particular, existem exatamente min{n, p}+1 órbitas em C = L(R n, R p ). Definição : Seja G um grupo agindo em um conjunto C. Fixado a C, denotamos por G a = E(a) = {g G / ϕ(g, a) = a} chamado de o Subgrupo de isotropia de a ou Estabilizador de a. Exemplo : O estabilizador de a é um subgrupo de G. Ou seja, G a < G. Definição Denotaremos por R n o conjunto de todos os germes de aplicações h : K n, 0 K n, 0 tal que h é um difeomorfismo para K = R e h é um isomorfismo analítico para K = C. Isto é : R n := {h : R n, 0 R n, 0 / h é difeomorfismo } e R n := {h : C n, 0 C n, 0 / h é isomorfismo analítico } Exemplo : R n com a operação de composição é um grupo. Agora iremos definir relações de equivalências canônicas em Teoria de Singularidade no espaço de germes E 0 n,p. 3.1 Relações de Equivalência A R-Equivalência ou Equivalência a direita Esta relação de equivalência está relacionada à ação do grupo R = R n, dada por: r : R n E 0 n,p E 0 n,p (h, f) f h 1 Dois germes f, g E 0 n,p estão relacionados se, e somente se, h R n tal que f h 1 = g, isto é, o diagrama abaixo comuta: R n, 0 f R p, 0 h R n, 0 g Exemplo : Pelo teorema da Forma Local das Submersões (ver [7]), se f : R n+k, 0 R n, 0 é tal que f (0) é sobrejetora, então existe um germe h R n+k tal que; f h(x, y) = x, (x, y) R n R k, isto é, f R Id R n. 31

34 3.1.2 A L-Equivalência ou Equivalência a esquerda Esta relação de equivalência está relacionada à ação do grupo L = R p, dada por: l : R p En,p 0 En,p 0 (h, f) h f Dados dois germes f, g En,p, 0 dizemos que f L g se, e se somente se, existe h L = R p tal que h f = g. Isto é, o diagrama abaixo é comutativo: R n, 0 g f R p, 0 h R p, 0 Exemplo : Pelo teorema da Forma local das imersões (ver [7]), se f : R n, 0 R n+k, 0 é tal que f (0) é injetiva, então existe um germe h R n+k tal que: h f(x) = (x, 0) R n R k, isto é, f L Id Rn {0} A A-Equivalência ou Equivalência a direita e esquerda. Esta relação de equivalência está associada à ação do grupo R L dada por: a : (R, L) E 0 n,p E 0 n,p ((h 1, h 2 ), f) h 2 f h 1 1 Dois germes f, g E 0 n,p são A-equivalente se, e somente se, existir (h 1, h 2 ) A = R L tal que h 2 f h 1 1 = g, isto é, o diagrama abaixo é comutativo: R n, 0 f R p, 0 h 2 R n, 0 g h 1 R p, 0 De forma mais simploria, dizemos que f A g quando os germes f e g coincidem, a menos de uma mudança de coordenadas na fonte (Domínio) e na meta (Crontra-Domínio). Teorema (Posto constante) : Seja U R n uma vizinhança aberta da origem e f : U R n R p uma aplicação C tal que f(0) = 0. Assuma que o posto f (a) é constante, a U, isto é, postof (a) = postof (b), a, b U. 32

35 Então o germe f En,p 0 é A-equivalente ao germe da transformação linear T : R n, 0 R p, 0 dada por T (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x k, 0,..., 0) onde k = postof (a), e a U. Demonstração: Substituindo U com uma vizinhança V do 0 e reindexando as coordenadas, assumindo que posto fi x j (x) = m i, j = 1,..., m, x V. Seja q : K p K m denotando a projeção das primeiras m coordenadas. Então, q f é uma submersão e pelo Teorema de Submersão (ver [4]) existe um difeomorfismo g tal que q f g 1 é igual a projeção linear Isto mostra que f g 1 é dado por (x 1,..., x n ) (x 1,..., x m ). x (x 1,..., x m, f m+1 (x),..., f p (x)) para funções f j (que são definida de R n a R no caso real e no caso e em uma bola B no caso complexo). A condição de posto constante de f (e, consequentemente, f g 1 ) implica que f j x k (x) = 0, j = m + 1,..., p; k = m + 1,..., n e x V. Então as funções f j depende somente de x 1,..., x m. Definamos o germe h L = R p por h(y) = (y 1,..., y m, y m+1 f m+1 (ȳ),..., y p f p (ȳ)) onde ȳ = (y 1,..., y m ). Então, h g 1 (x) = h(x 1, x 2,..., x m, f m+1 (x),..., f p (x)) = (x 1,..., x m, f m+1 (x) f m+1 (x),..., f p (x) f p (x)) = (x 1,..., x m, 0,..., 0) Portanto, claramente h f g 1 coincide com o operador linear T. Logo, f A T. 3.2 Grupos O grupo C e a C-Equivalência O grupo C é formado pelos germes de difeomorfismo H : R n R p, 0 R n R p, 0 tais que π 1 H(x, y) = x e π 2 H(x, 0) = 0 em que π 1 : R n R p, 0 R n, 0 (x, y) x 33

36 Isto é, π 2 : R n R p, 0 R p, 0 (x, y) y C = {H : R n R p, 0 R n R p / H(x, y) = (x, ϕ(x, y)) e ϕ(x, 0) = 0, x} Dois germes f, g E n são ditos C-equivalentes se, e somente se, existir H C tal que H(x, f(x)) = (x, ϕ(x, f(x))) = (x, g(x)). Lema (De Hadamard) Sejam U uma vizinhança convexa de 0 R n e f : U R q R uma função diferenciável que se anula em 0 R q, isto é, f(0, y) = 0, y R q. Então existem funções difenciáveis f 1,..., f n : U R q R tais que f(x, y) = x 1 f 1 (x, y) x n f n (x, y) onde x = (x 1,..., x n ). Demonstração: Pelo Teorema fundamental do cálculo temos: 1 ( f 1 n ) f(x, y) = f(x, y) f(0, y) = t (tx f 1,..., tx n, y)dt = (tx, y).x i x i = n 1 ] f [x i (tx, y)dt = x i i=1 0 0 n x i g i (x, y), onde g i (x, y) = i=1 o i=1 1 0 f x i (tx, y)dt. Teorema (Critério algébrico para C-equivalência) Sejam f, g E 0 n,p. São equivalentes: i) f e g são C-equivalentes; ii) Os ideais I f e I g são isomorfos iii) Existe uma matriz invertível p p com coordenadas a ij E n tais que p f i (x) = a ij (x)g i (x), i = 1,..., p. j=1 Demonstração: i) ii) Seja f C g H C tal que H(x, g(x)) = (x, ϕ(x, g(x))) = (x, f(x)) e ϕ(x, 0) = 0, x. Como ϕ(x, y) = (ϕ 1 (x, y),..., ϕ p (x, y)) e ϕ(x, 0) = 0 x, temos ϕ j (x, 0) = 0, j. Pelo lema de Hadamard, para cada i = 1,..., p podemos escrecer ϕ j (x, y) = p y k ϕ jk (x, y), ϕ jk E n. k=1 34

37 Logo, f j (x) = ϕ j (x, g(x)) = p g k (x).ϕ jk (x, g(x)) f j (x) I g, j. Isto k=1 mostra que I f I g. A outra inclusão segue-se de maneira análoga. Portanto, I f = I g. ii) iii) Dadas duas matrizes reais p p A e B, existe uma matriz real p p C tal que C.(I AB) + B é invertível. Usaremos esse fato para nossa prova. Suponha que I f = I g. Então podemos escrever p p f i = a ij g j e g i = b ik f k em que a ij, b ik E n, i, j, k. j=1 k=1 Para cada x fixado, sejam A x e B x as matrizes p p com coeficientes respectivamentes a ij e b jk. Portanto, temos que existe uma matriz p p C, real, tal que U 0 = C.(I A 0.B 0 ) + B 0 é invertível. Logo, para x próximo de 0, a matriz U x = C(I A x B x ) + B x é também invertível. Seja u ij (x) as coordenadas de U x. Então, U x.g = C(I A x B x )g + B x g = C(g A x.b x.g) + f = C(g A x.f) + f = C(g g) + f = f. Logo U x.g = f. Portanto, f i = p u ij.g j. j=1 ii) iii) Suponha que exista uma matriz (u ij ) p p invertível tal que p f i = u ij.g j (x). j=1 Defina ϕ : R n R p, 0 R p, 0 por ϕ i (x, y) = p y j.u ij (x). Temos que, ϕ(x, 0) = (ϕ 1 (x, 0),..., ϕ p (x, 0)) = 0, x. Defina agora o germe H : R n R p, 0 R n R p, 0 por H(x, y) = (x, ϕ(x, y)). [ ] In A Observe que JacH =, 0 B onde A = H 1 H 1 x n+1 (x, y) x n+p (x, y)..... H n x n+1 (x, y) H n x n+p (x, y) j=1 n p e 35

38 u 11 (x) u 1p (x) B =..... u p1 (x) u pp (x) p p. Logo o det(jach(x, y)) = detb 0 e consequentemente invertível. Portanto, H En,p 0 é um difeomorfismo e H C. Observe que H(x, g(x)) = (x, ϕ(x, g(x))) = (x, f(x)) pois ϕ i (x, g(x)) = f i (x) ϕ(x, g(x)) = f(x). Provando que f e g são C-equivalentes. Exemplo Mostrar que f(x) = (x 2, 0) e g(x) = (x 2, x 3 ) são C-equivalentes. Solução: Observe que I f =< x 2 >=< x 2, x 3 >= I g, portanto f e g são C-equivalentes O grupo K e a K-Equivalência (Equivalência de contato) O grupo K é formado pelos germes H : R n R p, 0 R n R p, 0 π 1 H = h R e π 2 H(x, 0) = 0, x. Isto é, tais que K = {H : R n R p, 0 R n R p, 0 / H(x, y) = (h(x), ϕ(x, y)) com ϕ(x, 0) = 0, x.} Dois germes f, g E n são K-equivalentes se, e somente se, existe H K tal que H(x, f(x)) = (h(x), ϕ(x, f(x)) = (h(x), g(h(x)) ϕ(x, f(x)) = g(h(x)). Proposição Dois germes f, g E 0 n,p são K-equivalentes se, e somente se, existir um germe h R tal que f h e g são C-equivalentes. Demonstração : Seja f, g E 0 n,p dois germes K-equivalentes. Então, existe H = (h, ϕ) K tal que H(x, g(x)) = (h(x), ϕ(x, g(x)) = (h(x), f(h(x))) ϕ(x, g(x)) = f(h(x)) Defina T (x, y) = (x, ϕ(x, y)) C e observe que; T (x, g(x)) = (x, ϕ(x, g(x)) = (x, f h(x)) g C f h. Seja h R tal que g C f h. Então, existe T C tal que T (x, g(x)) = (x, ϕ(x, g(x)) = (x, f h(x)), além disso, ϕ(x, 0) = 0, x. Defina H(x, y) = (h(x), ϕ(x, y)), logo H(x, g(x)) = (h(x), ϕ(x, g(x)) = (h(x), f h(x)) g K f. A K-órbita de f é denotado por Kf = {g E 0 n,p / g K f}. 36

39 Definição Dois ideais I e J de E n são ditos isomorfos induzidos se existir um germe inverível h : K n, 0 K n, 0 tal que h (I) = J. Teorema Dois germes f, g : K n, 0 K p, 0 são K-equivalentes se, e somente se, os ideais I f e I g são isomorfos induzidos. Solução: Sejam f e g K-equivalentes. Então, h R, isto é, h : K n, 0 K n, 0 invertível, tal que f h e g são C-equivalentes. Portanto, I f h = I g < f 1 h,..., f p h >=< g 1,..., g p >. Mostraremos que h (I f ) = I f h. Com efeito, dado β I f, logo h (β) = h ( p i=1 a if i ) = ( p i=1 a if i ) h = p i=1 a i h.f i h I f h. Dado agora α I f h, temos α = n i=1 b i.f i h = n i=1 b i h 1 h.f i h = h ( n i=1 b i h 1.f i ) h (I f ). Portanto h (I f ) = I f h. Logo, h (I f ) = I f h = I g I f e I g são isomorfos induzidos. Reciprocamente, suponha que exista h R tal que h (I f ) = I f I f h = I g, portanto, f h e g são C-equivalentes, implicando que, f e g são K-equivalentes. Exemplo Sejam f t : (C 2, 0) (C, 0) germes de f t (x, y) = x 4 + y 5 + (t + 1)x 2 y 3, para cada t C. Temos que I ft é C-isomorfo a I f0, t C. De fato, definamos β α por β α (x) = α 5 x e β α (y) = α 4 y, com α 2 = (t + 1) 1. Então β α (J ft ) = J f0. Portanto, β α induz um isomorfismo de C-álgebra entre I ft e I f0. Mas f t é R-equivalente a f 0 se, e somente se, t = u 2 v 2 1 com u 4 = v 5 = 1. A prova se encontra em [1]. Corolário R C A K L Demonstração: Ver [4]. 37