RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

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1 AULA DEMONSTRATIVA RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Professor Guilherme Neves Aula 00 Aula Demonstrativa Professor Guilherme Neves 1

2 Aula Conteúdo Programático Data 00 Modelos de Questões Comentadas 08/05 01 Lógica Proposicional e de Argumentação 08/05 02 Lógica Proposicional e de Argumentação 15/05 03 Raciocínio Verbal, Raciocínio Sequencial, Orientação Espacial e Temporal. 22/05 04 Porcentagem 29/05 05 Razão, proporção, regra de três. 05/06 06 Análise Combinatória 12/06 07 Probabilidade 19/06 08 Conjuntos Numéricos e Operações 26/06 Conteúdo Apresentação... 3 Modelos de questões comentadas... 4 Relação das Questões Comentadas Gabarito Professor Guilherme Neves 2

3 Apresentação Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Sejam bem vindos ao curso de Raciocínio Lógico-Matemático para Iniciantes. Uma iniciativa extraordinária organizada pelo Ponto dos Concursos que é indicada às pessoas que tomaram, há pouco tempo, a importante decisão de ingressar na carreira pública. Muitas pessoas quando tomam esta decisão se sentem um pouco perdidas. Não sabem por onde começar, o que estudar, não estão familiarizadas com os termos técnicos. Muitos ainda se sentem muito preocupados porque estão há muito tempo sem estudar, etc. Raciocínio Lógico-Matemático é uma matéria que cai com muita frequência nos concursos públicos tanto de nível médio quanto de nível superior. Bom, como foi dito, este é um curso para iniciantes. No mundo dos concursos, sabemos que além de o candidato precisar de um conhecimento teórico bastante denso, conhecer o estilo das bancas organizadoras é condição sine qua non para passar em um concurso. Desta maneira, para sedimentar os conhecimentos teóricos expostos, resolveremos ao longo do curso questões das mais variadas bancas organizadoras. Obviamente, daremos maior enfoque ao batalhão de choque das bancas: ESAF, FCC, CESPE, CESGRANRIO e FGV. Está é uma oportunidade ímpar para começar a estudar. Nós que fazemos o Ponto dos Concursos conhecemos a fundo tudo o que se refere a esta área de ensino. Posso afirmar com toda a convicção que conhecemos o DNA das bancas organizadoras, sabemos o que é importante e o que não é. Sentimos prazer em compartilhar todo o nosso conhecimento com você. Toda a teoria será vista em detalhes no material em PDF e resolveremos também muitos exercícios. Ademais, teremos vídeos complementares para que você possa aprofundar os seus conhecimentos. No nosso curso, além de ter acesso à teoria completa e muitos exercícios resolvidos, você poderá tirar as suas dúvidas no nosso fórum. Professor Guilherme Neves 3

4 Nesta aula, que é demonstrativa, resolveremos algumas questões de concursos para que você possam conhecer um pouco da minha didática. Modelos de questões comentadas 01. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Se todo engenheiro é bom em matemática e algum engenheiro é físico, conclui-se corretamente que (A) todo físico é bom em matemática. (B) certos bons em matemática não são físicos. (C) existem bons em matemática que são físicos. (D) certos físicos não são bons em matemática. (E) não há engenheiros que sejam físicos. Vamos utilizar diagramas de Venn para analisar este argumento. Comecemos com todo engenheiro é bom em matemática. A proposição algum engenheiro é físico indica que há elementos na interseção (elementos comuns) entre o conjunto dos engenheiros e o conjunto dos físicos. Não sabemos, entretanto, a relação do conjunto dos físicos com o conjunto das pessoas que são boas em matemática. Professor Guilherme Neves 4

5 A região amarela indica a existência de engenheiros que são físicos e são bons em matemática. Gabarito: C (C) existem bons em matemática que são físicos. 02. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Amanda, Brenda e Carmen são médica, engenheira e biblioteconomista, não necessariamente nessa ordem. Comparando a altura das três, a biblioteconomista, que é a melhor amiga de Brenda, é a mais baixa. Sabendo-se também que a engenheira é mais baixa do que Carmen, é necessariamente correto afirmar que (A) Brenda é médica. (B) Carmen é mais baixa que a médica. (C) Amanda é biblioteconomista. (D) Carmen é engenheira. (E) Brenda é biblioteconomista. Vamos fazer uma tabela para organizar os dados. Amanda Brenda Carmen Profissão Altura - A biblioteconomista, que é a melhor amiga de Brenda, é a mais baixa. Professor Guilherme Neves 5

6 Com isso, sabemos que a biblioteconomista é a mais baixa e ela não se chama Brenda. - A engenheira é mais baixa do que Carmen. Se a engenheira é mais baixa do que Carmen, então Carmen não é a mais baixa de todas. Portanto, Carmen não é biblioteconomista. Ora, se Carmen não é biblioteconomista e Brenda também não é, então a biblioteconomista é Amanda. Profissão Altura Amanda Biblioteconomista Mais baixa Brenda Carmen - A engenheira é mais baixa do que Carmen. Carmen não é, portanto, engenheira. A engenheira é Brenda. Carmen é médica. Carmen é a mais alta e Brenda é a do meio. Profissão Amanda Biblioteconomista Altura Mais baixa Brenda Engenheira Meio Carmen Médica Mais alta Letra C 03. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Helena acha que seu relógio está 3 minutos atrasado, quando na verdade ele está 12 minutos adiantado. Ontem Helena compareceu ao trabalho julgando que estava 8 minutos atrasada, porém, na realidade ela estava (A) 3 minutos atrasada. (B) 7 minutos adiantada. (C) 5 minutos atrasada. (D) 5 minutos adiantada. (E) 3 minutos adiantada. Professor Guilherme Neves 6

7 Imagine que o evento fosse às 10 horas da manhã. Se ela achava que estava 8 minutos atrasada, então ela supostamente estaria chegando ao trabalho às 10:08. Mas ela acha que seu relógio está 3 minutos atrasado, então seu relógio está marcando 10:05. Entretanto, seu relógio está na verdade 12 minutos adiantado. Portanto, devemos subtrair 12 minutos de 10:05. Ela está chegando ao trabalho às 9:53. Concluímos que ela está chegando 7 minutos adiantada. Letra B 04. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) A tabela a seguir indica o(s) dia(s) de plantão de cada um dos cinco funcionários de um departamento. Por problemas na impressão da tabela, apenas o preenchimento de plantões da última linha e da última lacuna não saíram visíveis. A respeito dos plantões dos cinco funcionários nessa semana, sabe-se que: I. apenas dois funcionários fizeram plantão na 4ª feira. II. Ricardo e Camilo fizeram o mesmo número de plantões na semana. III. 3ª feira foi o dia da semana com mais funcionários de plantão. IV. todos os funcionários fizeram, ao menos, um plantão na semana, e todos os dias da semana contaram com, ao menos, um funcionário de plantão. V. três funcionários fizeram apenas um plantão na semana. De acordo com os dados, Camilo NÃO fez plantão apenas (A) 2ª feira e 6ª feira. (B) 3ª feira e 6ª feira. (C) 3ª feira e 4ª feira. (D) 3ª feira, 5ª feira e 6ª feira. Professor Guilherme Neves 7

8 (E) 2ª feira, 3ª feira e 6ª feira. Vou colocar um X em cada célula onde tivermos certeza que não há plantão. As células que restam são desconhecidas. I. apenas dois funcionários fizeram plantão na 4ª feira. Com isso, concluímos que Camilo fez plantão na 4ª feira. III. 3ª feira foi o dia da semana com mais funcionários de plantão. Observe a coluna da 3ª feira. Como na quarta-feira há dois plantões, então haverá 3 plantões na terça-feira. No caso, Camilo será o terceiro a fazer plantão. V. três funcionários fizeram apenas um plantão na semana. Professor Guilherme Neves 8

9 Só podemos estar falando sobre Geraldo, Sérgio e Paulo, pois Ricardo e Camilo já têm mais de um plantão. Concluímos que Geraldo não faz plantão na sexta, Sérgio não faz plantão na sexta e Paulo faz plantão na sexta. IV. todos os funcionários fizeram, ao menos, um plantão na semana, e todos os dias da semana contaram com, ao menos, um funcionário de plantão. Com isso, concluímos que Camilo faz plantão na quinta-feira. II. Ricardo e Camilo fizeram o mesmo número de plantões na semana. Camilo já fez 3 plantões. Observe que Ricardo só tem mais um dia para fazer plantão: sexta-feira. Assim, Ricardo e Camilo só podem fazer no máximo 3 plantões (pois eles têm que fazer a mesma quantidade de plantões e Ricardo não têm mais dias disponíveis). Conclusão: Camilo não faz plantão na segunda nem na sexta-feira. Professor Guilherme Neves 9

10 Letra A 05. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Cristiano e Rodolfo resolveram fazer investimentos ao mesmo tempo. Cristiano investiu um determinado valor em reais e Rodolfo investiu 40% a mais do que Cristiano havia investido. Após algum tempo verificou-se que o investimento de Cristiano havia valorizado 75% e que o investimento de Rodolfo havia valorizado 60%. Desta forma, e neste momento, o montante total desse investimento de Rodolfo é maior que o montante total desse investimento de Cristiano em (A) 45%. (B) 35%. (C) 21%. (D) 28%. (E) 14%. Vamos supor, sem perda de generalidade, que Cristiano investiu R$ 100,00. Assim, Rodolfo investiu R$ 140,00 (40% a mais). O investimento de Cristiano valorizou 75%. Assim, Cristiano terá um montante de 175 reais. O investimento de Rodolfo valorizou 60%. Portanto, Rodolfo terá um montante de 140 x 1,60 = 224 reais. Queremos saber quantos por cento 224 é maior que 175. Dividindo 224 por 175 obtemos: 224/175 = 1,28 = 1 + 0,28 = 100% + 28%. Letra D 06. (IBGE 2016/FGV) As meninas Alice, Beatriz e Celia brincam na balança. Alice e Beatriz juntas pesam 100 kg, Alice e Celia juntas pesam 96 kg e Beatriz e Celia juntas pesam 108 kg. Beatriz pesa: a) 48 kg; b) 50 kg; c) 52 kg; d) 54 kg; e) 56 kg. Professor Guilherme Neves 10

11 Denotemos por a, b e c, respectivamente, os pesos de Alice, Beatriz e Celia. Podemos escrever as seguintes equações: a+b = 100 a+c = 96 b+c = 108 Há várias maneiras para resolver este sistema de equações. Como queremos calcular o valor de b, podemos multiplicar a segunda equação por -1. a + b = a c = - 96 b + c = 108 Vamos agora somar as três equações. 2b = 112 b = 56 Letra E 07. (IBGE 2016/FGV) Sobre os números inteiros w, x, y e z, sabe-se que w > x > 2y > 3z. Se z =2, o valor mínimo de w é: a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) 10. Como queremos o valor mínimo de w, devemos calcular valores mínimos para as outras variáveis. z = 2. Portanto, 3z = 6. Como 2y > 3z, então 2y > 6. Portanto, y > 3. O menor valor inteiro para y é 4. Portanto, 2y = 8. x > 2y x > 8. O menor valor inteiro para x é 9. w > x Professor Guilherme Neves 11

12 w > 9. O menor valor inteiro para w é 10. Letra E 08. (Liquigás 2015/CESGRANRIO) Se o nível de uma piscina sobe 2 mm a cada 5 segundos de chuva, quantos milímetros o nível da piscina subirá em 1 minuto? (A) 12 (B) 20 (C) 22 (D) 24 (E) 30 Um minuto é composto por 60 segundos. Esse minuto, 60 segundos, pode ser dividido em 12 partes de 5 segundos, pois 60/5 = 12. Como a cada 5 segundos o nível da piscina sobe 2mm, então em 1 minuto subirá 12 x 2mm = 24 mm. Este problema poderia ser resolvido com uma regra de três simples e direta. mm segundos 2 5 x 60 5x = 2*60 5x = 120 x = 24 mm Gabarito: D. Professor Guilherme Neves 12

13 09. (Liquigás 2015/CESGRANRIO) Em uma negociação sindical, os trabalhadores reivindicam um aumento de 25%, o que elevaria o piso salarial para R$ 1.800,00. Qual é, em reais, o piso salarial atual desses trabalhadores? (A) (B) (C) (D) (E) Vamos considerar que o salário inicial fosse de x reais. Ao aumentar o salário em 25%, o salário passa a ser 1,25x. O enunciado afirma que este valor é igual a R$ 1.800,00. 1,25x = x = 1.800/1,25 = reais. Gabarito: B. 10. (ANAC 2016/ESAF) Para pintar um muro, três pintores gastam oito horas. Trabalhando num ritmo 20% mais lento, a quantidade de horas que cinco pintores levarão para pintar esse mesmo muro é igual a a) 4. b) 6. c) 5. d) 8. e) 7. Questãozinha sobre regra de três. Vamos atribuir um valor ao ritmo do primeiro grupo: 10. Desta maneira, o ritmo do segundo grupo será igual a 8, pois é 20% mais lento. Pintores Horas Ritmo x 8 Vamos comparar as grandezas conhecidas com a coluna das horas. Professor Guilherme Neves 13

14 A quantidade de pintores aumentou. Assim, a quantidade de horas diminuirá. Como uma grandeza aumentou e a outra diminuiu, elas são inversamente proporcionais. O ritmo diminuiu. Assim, a quantidade de horas aumentará. Como uma grandeza diminuiu e a outra aumentou, elas são inversamente proporcionais. Pintores Horas Ritmo x 8 Agora é só armar a proporção e correr para o abraço. Letra B 8 x = x = x = 240 x = 6 horas Professor Guilherme Neves 14

15 Relação das Questões Comentadas 01. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Se todo engenheiro é bom em matemática e algum engenheiro é físico, conclui-se corretamente que (A) todo físico é bom em matemática. (B) certos bons em matemática não são físicos. (C) existem bons em matemática que são físicos. (D) certos físicos não são bons em matemática. (E) não há engenheiros que sejam físicos. 02. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Amanda, Brenda e Carmen são médica, engenheira e biblioteconomista, não necessariamente nessa ordem. Comparando a altura das três, a biblioteconomista, que é a melhor amiga de Brenda, é a mais baixa. Sabendo-se também que a engenheira é mais baixa do que Carmen, é necessariamente correto afirmar que (A) Brenda é médica. (B) Carmen é mais baixa que a médica. (C) Amanda é biblioteconomista. (D) Carmen é engenheira. (E) Brenda é biblioteconomista. 03. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Helena acha que seu relógio está 3 minutos atrasado, quando na verdade ele está 12 minutos adiantado. Ontem Helena compareceu ao trabalho julgando que estava 8 minutos atrasada, porém, na realidade ela estava (A) 3 minutos atrasada. (B) 7 minutos adiantada. (C) 5 minutos atrasada. (D) 5 minutos adiantada. (E) 3 minutos adiantada. 04. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) A tabela a seguir indica o(s) dia(s) de plantão de cada um dos cinco funcionários de um departamento. Por problemas na impressão da tabela, apenas o preenchimento de plantões da última linha e da última lacuna não saíram visíveis. Professor Guilherme Neves 15

16 A respeito dos plantões dos cinco funcionários nessa semana, sabe-se que: I. apenas dois funcionários fizeram plantão na 4ª feira. II. Ricardo e Camilo fizeram o mesmo número de plantões na semana. III. 3ª feira foi o dia da semana com mais funcionários de plantão. IV. todos os funcionários fizeram, ao menos, um plantão na semana, e todos os dias da semana contaram com, ao menos, um funcionário de plantão. V. três funcionários fizeram apenas um plantão na semana. De acordo com os dados, Camilo NÃO fez plantão apenas (A) 2ª feira e 6ª feira. (B) 3ª feira e 6ª feira. (C) 3ª feira e 4ª feira. (D) 3ª feira, 5ª feira e 6ª feira. (E) 2ª feira, 3ª feira e 6ª feira. 05. (Técnico Judiciário TRF 3ª Região 2016/FCC) Cristiano e Rodolfo resolveram fazer investimentos ao mesmo tempo. Cristiano investiu um determinado valor em reais e Rodolfo investiu 40% a mais do que Cristiano havia investido. Após algum tempo verificou-se que o investimento de Cristiano havia valorizado 75% e que o investimento de Rodolfo havia valorizado 60%. Desta forma, e neste momento, o montante total desse investimento de Rodolfo é maior que o montante total desse investimento de Cristiano em (A) 45%. (B) 35%. (C) 21%. (D) 28%. (E) 14%. 06. (IBGE 2016/FGV) As meninas Alice, Beatriz e Celia brincam na balança. Alice e Beatriz juntas pesam 100 kg, Alice e Celia juntas pesam 96 kg e Beatriz Professor Guilherme Neves 16

17 e Celia juntas pesam 108 kg. Beatriz pesa: a) 48 kg; b) 50 kg; c) 52 kg; d) 54 kg; e) 56 kg. 07. (IBGE 2016/FGV) Sobre os números inteiros w, x, y e z, sabe-se que w > x > 2y > 3z. Se z =2, o valor mínimo de w é: a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) (Liquigás 2015/CESGRANRIO) Se o nível de uma piscina sobe 2 mm a cada 5 segundos de chuva, quantos milímetros o nível da piscina subirá em 1 minuto? (A) 12 (B) 20 (C) 22 (D) 24 (E) (Liquigás 2015/CESGRANRIO) Em uma negociação sindical, os trabalhadores reivindicam um aumento de 25%, o que elevaria o piso salarial para R$ 1.800,00. Qual é, em reais, o piso salarial atual desses trabalhadores? (A) (B) (C) (D) (E) (ANAC 2016/ESAF) Para pintar um muro, três pintores gastam oito horas. Trabalhando num ritmo 20% mais lento, a quantidade de horas que cinco pintores levarão para pintar esse mesmo muro é igual a Professor Guilherme Neves 17

18 a) 4. b) 6. c) 5. d) 8. e) 7. Gabarito 01. C 02. C 03. B 04. A 05. D 06. E 07. E 08. D 09. B 10. B Professor Guilherme Neves 18