Aceleração metro por seg. ao quadrado m/s 2

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1 Sistemas de Unidades. SISTEMAS DE UNIDADES. Grandezas físicas Define-se como uma grandeza como sendo tudo aquilo que pode ser mensurado. No dia a dia são utilizadas de forma natural enumeras grandezas físicas tais como hora, metro, kilo, volts, km/h sem sequer pensar o que isso representa de fato para a física, mas que nos fornecem um significado conhecido e concreto para nós para uma representação numérica ou qualitativa qualquer. O significado de uma resposta seja para a física ou qualquer outra área da ciência significa acompanhar o resultado de um significado para que este possa transmitir uma determinada informação. Este significado é denominado unidade. Sendo a unidade o símbolo que fornece o sentido à resposta obtida, este se torna parte importante da solução e não pode ser omitido, trocado ou utilizado de forma fora de um padrão aceito. Para propor uma situação exemplo imagine que alguém pergunte a hora a uma segunda pessoa e esta forneça a como são 0 metros, a resposta além de não fazer sentido não será capaz de responder ao que foi perguntado. A tabela abaixo mostra alguns símbolos que são utilizados para representar a idéia que a grandeza física deseja passar. Grandeza Unidade Símbolo Massa grama e kilograma g, kg Força Newtons N Energia, Trabalho Joules J Tempo Hora, segundos h, s Velocidade kilometro por hora metro por segundo km/h m/s Aceleração metro por seg. ao quadrado m/s Para que um propósito comum de representação seja atingido, evitando assim a utilização de vários padrões diferentes de unidades existe um padrão mundialmente aceito que é conhecido como sistema internacional de unidades ou simplesmente S.I.. Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino

2 . Unidades A definição da idéia a ser passada como resultado de um determinado cálculo é feito a partir do número acompanhado da grandeza física. Em algumas situações de representação apenas uma grandeza pode ser suficiente para passar a idéia da representação em outras será necessário definir a idéia a partir de mais de um símbolo. Seguindo isto, o conjunto de unidades é dividido em duas classes: Unidade de base e unidades derivadas... As unidades do S.I. conforme a norma Brasileira. A grafia de unidades e prefixos sofreu alterações de adequação conforme a nova Norma Culta da Língua Portuguesa. As duas principais alterações foram: Com a inserção das letras k, y e w, o prefixo quilo passa a ser escrito como kilo, sendo que a letra símbolo continua a ser o k minúsculo. A grafia dos múltiplos e submúltiplos das unidades, conforme a nova norma adotada estabelece que na junção dos prefixos ao nome da unidade, não ocorrerá mudança nem na grafia nem na pronúncia original tanto para o prefixo quanto para a unidade. Por exemplo, kilo + metro antes ficava escrito como kilometro agora conforme a nova norma fica escrita como kilometro lendo-se d forma implícita a sílaba tônica da palavra isento do acento na grafia. O mesmo é aplicado ao mili + metro antes escrito como milímetro agora fica escrito como milimetro sendo o som forte continua sendo pronunciado isento do acento. Para maiores informações você deverá acessar o texto completo em: Unidades de base As unidades são ditas de base (também conhecidas como primarias ou intensivas), quando apenas um único símbolo define o significado que esta sendo representado. O sistema internacional admite sete unidades como fundamentais: Grandeza Unidade Símbolo Massa kilograma kg Distância metros m Tempo segundos s Corrente elétrica Ampère A Temperatura Kelvin K Quantidade matéria mol mol Intensidade de luz candela cd Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino

3 A nomenclatura para unidade exige que as unidades que representam nomes próprios por homenagem ao pesquisador sejam escritos em letras maiúsculas e as demais em letras minúsculas... Unidades de derivadas As unidades são ditas derivadas (também conhecidas como secundárias ou extensivas), quando mais de um símbolo são utilizados para formalizar uma idéia a respeito da grandeza física em estudo. No quadro abaixo, alguns exemplos de unidades derivadas. Grandeza Unidade Símbolo Velocidade metro por segundo m/s m.s - Força kilograma metro por seg. kg.m/s N ao quadrado Em alguns casos, quando muitas unidades são utilizadas para a representação da Idéia, um único símbolo é escolhido para dar sentido e facilitar a escrita como é o caso das unidades N (Newton) J (joule) W(Watts) entre outras.. Prefixos ou ordem de grandeza Alguns valores devido o seu tamanho são de difícil compreensão. Para resolver este problema é adotado o prefixo. O prefixo fornece a ordem de grandeza associada ao valor define a ordem de grandeza define o tamanho da grandeza física que esta sendo utilizada. Exemplo: Quanto equivale em gramas kg? kg equivale a 000 g a ordem de grandeza é o kilo k que representa um valor de 000 vezes a unidades. Pode ser útil reduzir o número de zeros de uma conta para torná-la mais compreensiva. Para efetuar cálculos envolvendo grandezas físicas, deve ser considerado que todas as ordens de grandeza utilizadas sejam necessariamente equivalentes para todas as quantidades envolvidas no cálculo. Não é possível realizar, por exemplo, um cálculo onde parte dos valores esteja em metros e outros em centimetros. Como isto não é possível é necessário que seja feita a conversão da ordem de grandeza para uma das formas estabelecendo a relação adequada. Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino

4 .. Equivalência de unidades e ordem de grandeza A resolução de problemas físicos ou matemáticos deverá considerar sempre grandezas compatíveis logo, antes de realizar um cálculo é fundamental que seja estabelecido à relação entre tais grandezas. Exemplo: A distância entre a sala de aula e o ponto de ônibus foi medida de formas diferentes por dois alunos. O primeiro aluno usou uma régua graduada em metros medindo parte da distância como sendo de m, o segundo aluno usou uma régua com graduação em centimetros e encontrou 456,5cm. Qual a distância total em metros e em centimetros? Simplesmente somar os dois resultados levará a um erro comum cometido nas contas. Pense: Se somar os dois valores qual será a unidade final, metros ou centimetros? Logo é necessário definir qual a ordem de grandeza para a realização dos cálculos. Apesar de se tratarem de unidades de medida de distância, elas possuem ordem de grandeza diferente o que as tornam incompatíveis entre si. Mas nem tudo está perdido, veja que: Inicialmente definese trabalhar em centimetros, logo, m contem 00 cm se isto é verdade, podemos dizer que: m equivalem a 00= 00cm Para responder então sobre a distância em centimetros basta somar os valores em centimetros. Logo, 465,5cm+ 00= 765, 5cm Agora para responder sobre a medida em metros, converteremos 465,5 cm em metros, entretanto dividiremos o valor em centimetros por 00 para fazer a conversão (por quê?). 465,5 = 4,655m 00 Da mesma forma somaremos os valores para chegar ao resultado final: 4,655m+ m= 7, 655m Observe que naturalmente a unidade final é definida. Não só isso compare os resultados em metros e em centimetros, qual a principal diferença entre eles? A resposta a este questionamento leva a uma forma muito mais simples, rápida e eficiente de solução para este problema que será visto na seção adiante... Algumas equivalências entre medidas: A ordem de grandeza pode ser modificada a partir da relação entre as grandezas físicas conforme as tabelas: Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino 4

5 Kilometro para metro metro para centimetro centimetro para milimetro km = 000m m = 00 cm cm = 0 mm m = 000 km= 0, 00km ou km= 000m= 000m Hora para minutos minutos para segundos hora para segundos h = 60min min = 60s h = 600s kilograma para grama centigrama miligramas grama para miligrama kg = 000g g = 00cg cg = 0mg g=000mg Uma breve história de fracasso: Há algum tempo uma sonda fora enviada a marte para explorar o terreno. O custo da operação resultou em um gasto elevado de tempo e dinheiro. O grupo de cientistas que trabalhava no projeto de forma errônea transformou uma unidade de milhas para kilometros errando a ordem de grande para mais. A sonda ao entrar na atmosfera de marte acreditava que existia uma distância maior do que a que realmente existia entre a entrada e o solo, chegando à grande velocidade ao chão o que resultou na destruição da sonda e um grande prejuízo de tempo, dinheiro e alguns empregos. Moral da história: CUIDADO COM AS CONVERSÕES!.4 Notação científica Os resultados obtidos nem sempre são valores exatos e na maioria das vezes são números fracionários ou dizimas. O padrão de resposta a ser dado deverá sempre seguir uma formatação. Esta formatação que será dada a resposta numérica chama-se notação científica. A notação científica também serve para simplificar os cálculos causando um menor número de erros nas contas. Uma breve história de fracasso: Há algum tempo uma sonda fora enviada a marte para explorar o terreno. O custo da operação resultou em um gasto elevado de tempo e dinheiro. O grupo de cientistas que trabalhava no projeto de forma errônea transformou uma unidade de milhas para kilometros errando a ordem de grande para mais. A sonda ao entrar na atmosfera de marte acreditava que existia uma distância maior do que a que realmente existia entre a entrada e o solo, chegando à grande velocidade ao chão o que resultou na destruição da sonda e um grande prejuízo de tempo, dinheiro e alguns empregos. Moral da história: CUIDADO COM AS CONVERSÕES!.4. Escrevendo em notação científica A notação cientifica, no sistema internacional é: [],[][] x 0 +N Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino 5

6 o exemplo a seguir: Uma casa antes da vírgula, multiplicados pela potência de 0 elevados a N. Veja Exemplo: Deseja-se escrever 000 em notação científica. Logo, 000 =,00x0x0x0 =,00x0, pois 0 = 000 e multiplicado por é igual a 000 0,00 em notação científica é escrito como,00x0 - pois : 0 = = = 0, 00 e multiplicado por é igual a 0, OBSERVAÇÃO: A notação científica não deve alterar o valor inicial! Correspondência entre as ordens de grandezas Número N.C. Número N.C.,00x0 0 0,00x0 0,,00x0-00,00x0 0,0,00x0-000,00x0 0,00,00x0-0000,00x0 4 0,000,00x ,00x0 5 0,0000,00x0-5 Note que o número de zeros é exatamente o valor N da potência na base 0. Responda agora como você escreveria em notação científica? E o valor 0, ?.4. Fazendo conversões com notação científica Uma forma prática e rápida de efetuar conversões de unidades é utilizando a ordem de grandeza associada ao valor. A técnica consiste em trocar a ordem de grandeza pelo seu valor equivalente fazendo assim automaticamente a conversão. Caso : É desejado converter por substituição do prefixo existente. Neste caso a conversão é feita a partir da troca do prefixo pelo seu equivalente numérico conservando apenas a unidade. Exemplo : Converter km em metros Para resolver basta trocar o prefixo k pelo seu equivalente 0 reescrevendo assim notação científica, logo: km= 0 m Note que a uma vez trocada a ordem de grandeza restará apenas a grandeza física desejada e sem alterar o valor inicial e sem realizar cálculos Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino 6

7 Exemplo : Converter mg em gramas Para resolver basta trocar o prefixo m pelo seu equivalente 0 - reescrevendo assim notação científica, logo: mg= 0 g Novamente o resultado é automático. Caso : É desejado converter por substituição do prefixo inexistente. Neste caso para realizar a conversão conservando o valor é adicionado o prefixo e o seu valor trocando o sinal da grandeza associada. Exemplo : Converter 5g em kilogramas: Para resolver acrescentaremos o prefixo k equivalente 0. Entretanto se só isso for feito o valor estará errado. Para acrescentar k teremos que dividir por k(qualquer valor dividido por ele mesmo é igual a e qualquer número multiplicado por é igual a ele mesmo), para tanto faremos então: k k 5 g = 5 g = 5 0 kg k 0 Note que tudo o que é necessário é acrescentar o prefixo antecedido do seu valor com o sinal invertido, sem a realização de cálculos para isso. Exemplo 4: Converter,5m em milimetros: Para resolver acrescentaremos o prefixo m equivalente 0 - antecedido do seu valor com o sinal invertido. Com isso de uma forma mais direta agora;,5m=,5 0 mm No apêndice A deste capítulo estão todas as ordens de grandeza e seus fatores correspondentes..4. Cálculos com notação científica Será comum ao longo do curso a necessidade realização de cálculos envolvendo valores escritos em notação científicos ou valores extremamente grandes ou extremamente pequenos e com a desvantagem de não poder utilizar uma calculadora para isso. Uma forma de realizar cálculos extremamente difíceis é a aplicação de notação científica para isso..4.4 Multiplicação e divisão com notação científica Uma propriedade útil da matemática neste tópico é a regra potência para a multiplicação e divisão de potências de mesma base. Para o nosso caso, a base será sempre 0. Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino 7

8 a Multiplicação de potência de mesma base: Neste repete-se a base e somam-se os expoentes tomando especial cuidado para o sinal do expoente que independe da operação exponencial. + + ( ) Exemplo : = 0 = 0 4 A x A y = A + Exemplo :,00 0,00 0 = (,00,00) 0 = 6,00 0 a Divisão de potência de mesma base: A A X y = A X Y Neste caso a base é repetida, porém os expoentes são subtraídos. 0 ( ) 5 Exemplo : = 0 = Exemplo : = 0 = 0 0 x+ y 5 Note que em ambos os casos houve o cuidado na hora de efetuar os cálculos envolvendo os sinais dos expoentes. O segundo exemplo mostra a possibilidade da realização dos cálculos da potência em separado dos valores associados. a Soma ou subtração bases de mesma ordem: Ax ± Bx= ( A± B) x Para cálculos que envolvam soma e subtração não são aplicáveis as regras anteriores. Neste caso deverá ser aplicada a propriedade associativa da matemática. A potência deverá ser isolada e os fatores somados ou subtraídos. Entretanto, para que seja possível isolar a potência, os numeradores deverão necessariamente ser de mesma ordem de grandeza. Exemplo : Resolva a soma,00 0 +,00 0 : Observa-se que as potências de 0 possuem o mesmo expoente. Neste caso, aplicando a regra associativa, tem-se que:,00 0 +,00 0 = (+ ) 0 =,00 0 Exemplo : Resolva a soma,00 0 +,00 0 : Agora os expoentes são de ordens diferentes o que impede a aplicação direta da propriedade associativa. Neste caso o expoente deverá ser transformado para a mesma ordem antes da aplicação da propriedade. Isso é facilmente feito entendendo que: Como 0 = 0x0 substituiremos isso no lugar da potência e sendo possível agora a aplicação da regra. Veja:,00 0 +,00 0 =,00 0 +, Com isso aplicando à associativa, (,00+,00 0) 0 = (+ 0) 0 = 0 =,0 0 A aplicação do artifício matemático chamado evidência para isolar a potencia e somar valores iguais facilitou o cálculo reduzindo a um valor que pode ser facilmente somado ou subtraído. Esta técnica é útil para efetuar cálculos relativamente grandes. Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino 8

9 APÊNDICE A: PREFIXOS E ORDENS DE GRANDEZA Prefixo Fator Símbolo Número Iota 0 4 I Zeta 0 Z Exa 0 8 E Peta 0 5 A Tera 0 T Giga 0 9 G Mega 0 6 M kilo 0 k 000 hecto 0 h 00 deca 0 da deci 0 - d 0, centi 0 - c 0,0 mili 0 - m 0,00 micro 0-6 µ 0,00000 nano 0-9 n 0, Ångströn 0-0 Å 0, pico 0 - p 0, femto 0-5 f 0, ato 0-8 a 0, zepto 0 - z 0, iocto 0-4 y 0, Letras atuais Letras obsoletas Α α Αlfa Ν ν Nu Digamma Qoppa Β β Beta Ξ ξ Csi San Sampi Γ γ Gama Ο ο Ómicron Outros caracteres δ Delta Π π Pi Stigma Sho Ε ε Épsilon Ρ ρ Rô Hetá Ζ ζ Zeta Σ σ ς Sigma Η η Eta Τ τ Tau Θ θ Teta Υ υ Úpsilon Ι ι Iota Φ φ Fi Κ κ Capa Χ χ Qui Λ λ Lambda Ψ ψ Psi Μ µ Mu (Mi) Ω ω Ômega Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino 9

10 APÊNDICE B: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Uma pessoa andou,5km. Quantos metros esta pessoa andou? Basta multiplicar o valor por 000, ou seja:,5x000 = 500m ) Um veículo desloca-se de um determinado ponto 600m. Quantos kilometros ele se deslocou? 600 Resolução: Basta dividir por 000, ou seja: = 0,6km 000 ) O relógio de uma pessoa marca h e 0 minutos. Quanto tempo em segundos ao todo este tempo vale? Resolução: h = 600s e min = 60s logo X60 = = 4800s todo o tempo em segundos será de 4800s. Mais problemas podem ser encontrados na lista um de exercícios propostos. 4) Escreva 000 em notação científica : Resolução: Usando a definição, tem-se: x000 = 000 como 000 = 0 escrevo x0 5) Dados os valores,5x0 e,0x0 faça : a ) multiplicação b) divisão c) soma Resolução: a) multiplicando tem-se,5x0 x x0 = (,5 x,0)x0 + =,0 x0 b) dividindo tem-se,5x0 : x0 = (,5 /,0)x0 - = 0,75x0 - como não está em N.C. Escrevo 0,75 como 7,5x0 - logo 7,5x0 - x0 - = 7,5x0 -- = 7,5x0 - c) Neste caso devo tornar as potências de 0 iguais para isolar. Logo,5x0 + x0 =,5x0 + 0x0 = (,5 + 0)x0 =,5x0 Que agora escrevo em N.C. Utilizando a definição tendo:,5x0 Prof. M.Sc. Reginaldo Ribeiro de Aquino 0