ET720 Sistemas de Energia Elétrica I. Capítulo 2: Cálculo de fluxo de carga

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1 ET720 Sistemas de Energia Elétrica I Capítulo 2: Cálculo de fluxo de carga 2.1 Estrutura geral dos sistemas de potência Centro de Supervisão e Controle controle aquisição de dados unidade terminal remota (UTR) ~ Geração c.a. Transmissão c.a. c.a. Distribuição disjuntor medidor Carga Conversor (inversor) c.c. Conversor (retificador) transformador ~ gerador 1

2 2.2 Definição do problema Fluxo de carga (FC): obtenção das condições de operação (tensões, fluxos de potência) de uma rede elétrica em função da sua topologia e dos níveis de demanda e geração de potência. SISTEMA ELÉTRICO USINA Sfrag replacements 42,7 MW 15,9 kv SUBESTAÇÃO 72,2 MW 138,4 kv 12,1 Mvar 15,4 Mvar 3,3 MW 1,0 Mvar 13,4 kv INDÚSTRIA Fluxo de carga: Modelagem dos componentes obtenção do sistema de equações e inequações algébricas métodos de solução estado de operação da rede em regime permanente. ET720 2

3 Modelagem é estática rede representada por um conjunto de equações e inequações algébricas. Análise estática: obtém-se o estado de operação da rede em regime permanente comportamento dinâmico não é considerado. 2.3 Aplicações FC é utilizado tanto no planejamento como na operação de redes elétricas. Em geral é parte de um procedimento mais complexo. Alguns exemplos: Operação análise de segurança: várias contingências (acidentes, distúrbios) são simuladas e o estado de operação da rede após a contingência deve ser obtido. Eventuais violações dos limites de operação são detectados e ações de controle corretivo e/ou preventivo são determinadas. Planejamento planejamento da expansão: novas configurações da rede são determinadas para atender ao aumento da demanda e o estado de operação da rede para a nova configuração deve ser obtido. ET720 3

4 Ao longo dos anos, vários métodos de solução do FC foram propostos. Para cada aplicação existem os métodos mais apropriados. Os fatores considerados na escolha são mostrados nas tabelas a seguir. Tipos de solução Precisa Aproximada Sem controle de limites Com controle de limites Off-line On-line Caso simples Casos múltiplos Propriedades dos métodos de solução do FC Alta velocidade especialmente para: redes de grandes dimensões aplicações em tempo real casos múltiplos Pequeno espaço de armazenamento Confiabilidade Versatilidade Simplicidade especialmente para: especialmente para: aplicações interativas redes de grandes dimensões computadores com pequena memória problemas mal-condicionados análise de contingências aplicações em tempo real habilidade para incorporação de características especiais (controle de limites operacionais, representação de diversos equipamentos etc.); facilidade de ser usado como parte de processos mais complexos facilidade de manutenção e melhoramento do algoritmo e do programa ET720 4

5 Em geral uma aplicação requer várias características. Exemplo: na análise de segurança pode-se necessitar de um método de solução aproximado, sem controle de limites operacionais, on-line, com solução de casos múltiplos. 2.4 História Network analyzer painéis em que os equipamentos do sistema eram emulados através de conjuntos de fontes, resistores, capacitores e indutores variáveis. Para redes reais, network analyzers eram enormes (ocupando várias salas), consumiam muita energia e modificações na rede exigiam alterações na fiação e ajustes nos valores dos componentes. Network analyzers foram utilizados antes e também algum tempo depois da utilização de computadores digitais. Primeiro método prático de solução do problema do FC através de um computador digital Ward e Hale, 1956 (método baseado na matriz Y) Métodos baseados na matriz Y : espaço de armazenamento pequeno (adequado aos computadores da época), convergência lenta. Começo da década de 60: métodos baseados na matriz Z (Gupta e Davies,1961). Convergência mais confiável, requerem mais espaço de armazenamento, mais lentos. Na mesma época: método de Newton (Van Ness, 1959). Características de convergência excelentes. Computacionalmente não era competitivo. ET720 5

6 Meados da década de 60: técnicas de armazenamento compacto e ordenamento da fatoração (Tinney e Walker, 1967) tornaram o método de Newton muito mais rápido e exigindo pequeno espaço de memória, mantendo a característica de ótima convergência método de Newton passou a ser considerado como o melhor método e foi adotado pela maioria das empresas de energia elétrica. Década de 70: métodos desacoplados (Stott e Alsaç, 1974) baseados no método de Newton foram propostos ainda mais rápidos, mantendo precisão e convergência. Somente em 1990 foi apresentado um estudo teórico aprofundado das características dos métodos desacoplados. Foram propostos ainda: variações dos métodos desacoplados básicos, métodos para redes mal-condicionadas, métodos para redes de distribuição (média e baixa tensões), fluxo de carga da continuação, fluxo de carga ótimo, etc. ET720 6

7 2.5 Motivação e idéias gerais Considerar o seguinte sistema de potência: fechado Região em operação ~ Geração Transmissão Distribuição aberto Carga ~ ET720 7

8 Considerar que: a função do sistema de geração é produzir a energia elétrica que será consumida modelado como uma injeção de potência no barramento a linha de transmissão é modelada como um circuito RL série, representando as perdas ôhmicas de potência e a presença de campo magnético em torno dos condutores o sistema de distribuição consome a energia transportada pelo sistema de transmissão modelado como uma injeção de potência no barramento Diagrama unifilar correspondente: Região em operação ~ Distribuição Transmissão Geração g replacements 1 2 P 1 + j Q 1 r + j x P 2 + j Q 2 E 1 = V 1 θ 1 P 12 + j Q 12 E 2 = V 2 θ 2 Geração Transmissão Distribuição ET720 8

9 PSfrag replacements Circuito por fase: 1 r j x 2 + E 1 P 1 Q 1 I P 2 Q 2 + E 2 Geração Transmissão Distribuição Dados: V 2 = E 2 = 500 kv (tensão de linha) S 2 = P 2 + j Q 2 = j 0 = MVA r = 25 Ω/fase x = 125 Ω/fase (100 MW, 0 Mvar) Pede-se: V 1 S 1 = P 1 + j Q 1 Conhecendo essas grandezas, pode-se dizer que o estado de operação da rede é totalmente conhecido. A partir daí outras análises podem ser realizadas. Os cálculos serão feitos em pu (por unidade), cuja idéia é muito importante no caso de circuitos com vários níveis de tensão. Valores de base: S b = 100 MVA V b = 500 kv ET720 9

10 Conversão dos dados para pu: E 2 = 1 0 pu S 2 = 1 0 pu 25 r = (Vb 2/S b) x = 125 (Vb 2/S b) = 0,01 pu = 0,05 pu (referência angular) Corrente pelo circuito: I = ( S2 E 2 ) ( ) 1 0 = = 1 0 pu 1 0 Tensão na fonte: E 1 = E 2 + I (r + j x) Potência fornecida pela fonte: = (0,01 + j 0,05) = 1,0112 2,8 pu S 1 = E 1 I = 1,0112 2,8 = 1,01 + j 0,05 pu Sfrag replacements (101 MW, 5 Mvar) V 1 = 1,0112 pu V 2 = 1 pu 101 MW 5 Mvar 1 perdas na transmissão 1 MW 5 Mvar MW 0 Mvar ET720 10

11 Na prática, os dados e incógnitas não são os especificados anteriormente. Dados: S 2 = P 2 + j Q 2 = j 0 = MVA (100 MW, 0 Mvar) V 1 = 1,0112 pu (*) (linha) r = 25 Ω/fase x = 125 Ω/fase (*) Tensão na saída do transformador elevador na subestação da usina, mantida constante através de um complexo sistema de controle. Pede-se: V 2 S 1 = P 1 + j Q 1 A resolução anaĺıtica é mais complicada. Pode-se também resolver por tentativa e erro. Resolução anaĺıtica Lei das tensões de Kirchhoff: E 1 = E 2 + ZI = E 2 + Z (S 2 /E 2 ) ( E 2 ) E 1 E 2 = V ZS 2 Considerando E 1 = V 1 0 e E 2 = V 2 θ 2 : Separando as partes real e imaginária: V 1 V 2 θ 2 = V (r + j x) (P 2 j Q 2 ) V 1 V 2 cos θ 2 = V (rp 2 + xq 2 ) V 1 V 2 sen θ 2 = (rq 2 xp 2 ) ET720 11

12 Elevando as duas equações ao quadrado e somando-as, elimina-se θ 2 : V1 2 V2 2 = V2 4 + (rp 2 + xq 2 ) 2 + 2V2 2 (rp 2 + xq 2 ) + (rq 2 xp 2 ) 2 [ ] [ V2 4 + V2 2 2 (rp2 + xq 2 ) V 2 + (rq 2 xp 2 ) 2 + (rp 2 + xq 2 ) 2] = 0 1 que pode ser reescrita como: V2 4 + bv2 2 + c = 0 = b 2 4c ) y 1 = ( b + 1/2 /2 ( y 2 = b 1/2) /2 { } V 2 = ±y 1/2 1, ±y 1/2 2 Para os dados fornecidos: V 2 = {±1, ±0,05} pu. A resposta esperada é V 2 = 1 pu. Então: θ 2 = sen 1 [(rq 2 xp 2 ) /V 1 V 2 ] = 2,8 I = ( S2 E 2 ) = 1 2,8 pu S 1 = E 1 I = 1,0112 2,8 = 1,01 + j 0,05 pu (101 MW, 5 Mvar) Mesma solução anterior. ET720 12

13 PSfrag replacements Interpretação: As duas soluções negativas não têm significado físico são desprezadas. Supor que a potência ativa da carga no barramento 2 seja variável e que a potência reativa seja nula: V 2 [pu] 1 0,8 0,6 caso base operação estável V cr 2 0,1 0,4 0,2 operação instável P cr P 2 [pu] P cr V cr 2 máximo carregamento da rede para as condições especificadas. 2 tensão para a qual ocorre o máximo carregamento. Exercício (1) Apresentar a curva [V 2 P 2 ] completa para o circuito exemplo, considerando Q 2 = 0. (2) Obter P cr 2 e V cr 2 analiticamente e comparar com os valores obtidos através da análise da curva PV. (3) Apresentar a curva [V 2 Q 2 ] considerando P 2 = 0 no mesmo gráfico de (1). Obter Q cr 2 e V 2 cr analiticamente e comparar com os valores obtidos através da análise da curva PV. ET720 13

14 Os sistemas elétricos de potência são dinâmicos: P 2 rag replacements P2 cr V cr 2 V 2 t processo de instabilidade de tensão que resulta no COLAPSO DE TENSÃO t t Modelagem dos aspectos dinâmicos e métodos de resolução específicos são necessários. Para redes maiores: Resolução por meios anaĺıticos é impossível. Tentativa e erro? ET720 14

15 Resolução por tentativa e erro Uma idéia de um procedimento de cálculo iterativo: (a) Inicializar contador de iterações ν = 0 (b) Escolher E ν 2 = E 0 2 (c) Calcular a corrente pela carga: I ν 2 = ( ) S2 E ν 2 (d) Calcular a queda de tensão na linha de transmissão: (e) Calcular a tensão na barra de carga: E ν = (r + j x) I ν 2 E ν+1 2 = E 1 E ν = E 1 (r + j x) ( ) S2 (f) Incrementar contador de iterações (ν ν + 1) e voltar para o passo (c) E ν 2 Começando com E 2 = 1 0 pu tem-se: Iteração E 2 [pu] j 0 1 1,0012 j 0, ,9987 j 0, ,9987 j 0, ,9987 j 0,0494 Solução: E 2 = 1 2,8 pu Na realidade este método iterativo (Gauss) foi o primeiro a ser proposto para a resolução das equações de fluxo de carga ( 1956). ET720 15

16 Resumo: É necessário o desenvolvimento de técnicas de resolução específicas e eficientes para o problema da determinação do estado de operação de redes elétricas em regime permanente CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA Fluxo de carga (load flow) = Fluxo de potência (power flow) É uma ferramenta básica para a análise de redes elétricas 2.6 Representação por fase A rede trifásica equilibrada é representada somente por uma das fases diagrama unifilar: Tanquinho (138 kv) Furnas (Campinas) Taquaral 42 MVA x = 21,24% Tanquinho (69 kv) Barão Geraldo Souzas Nova Aparecida Itatiba r = 1,41% x = 3,68% b = 0,06% Trevo (69 kv) PSfrag replacements x = 24,26% x = 28% Trevo (138 kv) barramento Viracopos ET720 16

17 Barramento (barra) nó do circuito. Ramos linhas de transmissão ou transformadores, que conectam duas barras. Dados dos ramos em % na base 100 MVA e tensão nominal (pu 100%). ET720 17

18 Para as linhas de transmissão utiliza-se o modelo π, em que r é a resistência série, x é a reatância série e b é o carregamento total charging da linha (o dobro da admitância shunt): PSfrag replacements r j x j b/2 j b/2 Para a linha Tanquinho-Trevo: Para a linha do exemplo da Seção 2.5: cements Tanquinho 0,0141 j 0,0368 PSfrag replacements Trevo 1 2 0,01 j 0,05 j 0,0003 j 0,0003 Geração e carga injeções de potência nas barras. ET720 18

19 2.7 Formulação básica do problema de fluxo de carga Rede composta por barras e ramos (linhas de transmissão e/ou transformadores). Barras: 4 grandezas básicas: V magnitude da tensão nodal θ ângulo de fase da tensão nodal P injeção de potência ativa nodal Q injeção de potência reativa nodal 2 grandezas são conhecidas e 2 devem ser calculadas. Para a rede exemplo da Seção 2.5 : Grandezas Grandezas Barra conhecidas a calcular 1 V 1, θ 1 P 1, Q 1 2 P 2, Q 2 V 2, θ 2 As barras são classificadas em: barras de carga (PQ) são conhecidas as potências ativa e reativa consumidas. Deve-se calcular a tensão (magnitude e ângulo de fase) conhece-se P e Q, calcula-se V e θ. barras de geração (PV) são conhecidos a potência ativa gerada e a magnitude da tensão terminal. Deve-se calcular o ângulo da tensão e a potência reativa gerada (ou consumida) conhece-se P e V, calcula-se θ e Q. barra(s) de referência (Vθ, também chamadas de slack) a tensão (magnitude e ângulo de fase) é conhecida. Deve-se calcular as potências ativa e reativa conhece-se V e θ, calcula-se P e Q. ET720 19

20 A barra slack tem duas funções: Exemplo Fornecer uma referência angular para a rede (a referência da magnitude de tensão é o próprio nó terra) PSfrag replacements Calcular a potência ativa consumida pela impedância Z 2 do circuito a seguir. Z 1 = 4 90 Ω + E V + V V + V 2 Z 2 = 3 0 Ω I Utilizando a medição feita pelo voltímetro, define-se a tensão da fonte E como: A corrente pelo circuito é: E = 100 α V I = E (Z 1 + Z 2 ) = 20 (α 53,1 ) A A potência complexa consumida por Z 2 vale: S 2 = V 2 I = (Z 2 I) I = Z 2 I 2 = 1,2 0 kva que resulta em uma potência ativa de 1,2 kw. ET720 20

21 Comentários: os fasores de tensão e corrente dependem de α. as defasagens entre os fasores não dependem de α. determinou-se a potência consumida sem que se conhecesse o valor de α. as potências não dependem dos ângulos de fase das tensões e correntes e sim das diferenças angulares entre as grandezas. α pode ser escolhido livremente pois não altera os resultados finais. x Fechar o balanço de potência da rede, levando em conta as perdas de transmissão. As perdas de transmissão não são conhecidas a priori, e devem ser supridas pelas unidades geradoras. Em geral, especifica-se uma barra da rede que suprirá as perdas. Exemplo Considerar a rede de 3 barras e 3 ramos mostrada a seguir. PSfrag replacements 20 MW + i perdas i perdas 1 (slack) MW perdas 2 perdas MW ET720 21

22 Comentários: a barra slack deve fornecer 20 MW adicionais para satisfazer a demanda na barra 2, pois o gerador da barra 3 entrega somente 80 MW. a barra slack deve fornecer ainda uma quantidade adicional de potência para suprir as perdas de potência nos ramos. Exemplo rag replacements Relembrando a solução da rede exemplo da Seção 2.5 : V 1 = 1,0112 pu V 2 = 1 pu 101 MW 5 Mvar 1 perdas na transmissão 1 MW 5 Mvar MW 0 Mvar Outros tipos de barras podem ser definidos, em função de situações de operação particulares. ET720 22

23 Exemplo Considere a rede a seguir. PSfrag replacements Barras 3 e 4: barras de carga (PQ) P e Q são conhecidos e deve-se calcular V e θ Barras 2 e 6: não têm carga nem geração associados são consideradas como barras de carga (PQ) com P = Q = 0 Barras 1, 5 e 7: conectadas a geradores barras de geração em geral P e V são conhecidos e deve-se calcular θ e Q Uma das barras deve desempenhar o papel especial de: ser a referência angular da rede (θ especificado) permitir o balanço de potência da rede Pode-se escolher, por exemplo, a barra 1 como a slack, atribuindo um valor para θ 1. Logo, P 1 passa a ser desconhecido. As barras 5 e 7 continuam a ser PV. ET720 23

24 2.7.1 Formulação nodal equações de corrente Considerar a rede de três barras e três linhas mostrada a seguir. P g1, Q g1 P g2, Q g2 1 V P 12, Q 12 1, θ 1 V 2, θ 2 2 P c1, Q c1 r 12, x 12 b sh 12 r 13, x 13 r 23, x 23 b sh 13 b sh 23 P 13, Q 13 P 23, Q 23 P c2, Q c2 3 V 3, θ 3 P c3, Q c3 Barras 1 e 2 (gerador e carga) e 3 (carga) Define-se a injeção ĺıquida de potência ativa: P gk PSfrag replacements k P 1 = P g1 P c1 P 2 = P g2 P c2 P 3 = 0 P c3 P ck P gk P ck = P k potencia transmitida pelas linhas o mesmo vale para potência reativa. ET720 24

25 o mesmo vale para as correntes injeção ĺıquida de corrente: I 1 = I g1 I c1 I 2 = I g2 I c2 I 3 = 0 I c3 Três linhas de transmissão conectando as barras. Linhas representadas pelos seus modelos π nominais. impedância série z 12 = r 12 + jx 12 admitância série: PSfrag replacements y 12 = 1 = g 12 + jb 12 = z 12 admitância shunt jb sh 12 r 12 r x2 12 x 12 + j r x2 12 Levando em conta as definições anteriores tem-se o circuito equivalente da rede por fase em pu: I 1 I 2 1 V 1, θ 1 V 2, θ 2 2 y 12 I 12 I 13 I 23 j b sh 13 j b sh 12 j b sh 12 j b sh 23 y 13 y 23 3 V 3, θ 3 I 3 j b sh 13 j b sh 23 ET720 25

26 Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff para o nó 1: a injeção de corrente I 1 entrando na barra se distribui pelas linhas 1-2 e 1-3. as correntes pelas linhas, por sua vez, têm duas componentes, uma pela admitância série e outra pela admitância shunt. I 1 = I 12 + I 13 = y 12 (E 1 E 2 ) + jb sh 12E 1 } {{ } I 12 + y 13 (E 1 E 3 ) + jb sh 13 E 1 } {{ } I 13 I 1 = ( y 12 + y 13 + jb sh 12 + jbsh 13) E1 + ( y 12 ) E 2 + ( y 13 ) E 3 em que E j = V j θ j, j = 1,..., 3. Realizando o mesmo procedimento para as demais barras, obtém-se o seguinte sistema de equações: I 1 = ( y 12 + y 13 + jb sh 12 + jbsh 13) E1 + ( y 12 ) E 2 + ( y 13 ) E 3 I 2 = ( y 12 ) E 1 + ( y 12 + y 23 + jb sh 12 + jbsh 23) E2 + ( y 23 ) E 3 I 3 = ( y 13 ) E 1 + ( y 23 ) E 2 + ( y 13 + y 23 + jb sh 13 + jb sh 23) E3 Na forma matricial: I 1 I 2 I 3 = y 12 + y 13 + jb sh 12 + jb sh 13 y 12 y 13 y 12 y 12 + y 23 + jb sh 12 + jb sh 23 y 23 y 13 y 23 y 13 + y 23 + jb sh 13 + jbsh 23 E 1 E 2 E 3 ET720 26

27 ou: I = Y E em que I é o vetor de injeções nodais de corrente (n 1), E é o vetor das tensões nodais (n 1) e Y é a matriz admitância nodal (n n). n é o número de barras da rede. De acordo com os resultados obtidos obtém-se uma regra para a formação da matriz Y: elementos fora da diagonal o negativo da admitância série: Y km = y km elementos da diagonal soma das admitâncias conectadas à barra: Y kk = ( ) m Ω ykm k + jb sh km em que Ω k é o conjunto formado pelas barras vizinhas da barra k. A matriz Y pode ser colocada na seguinte forma: Y = R{Y} + ji{y} = G + jb em que G é a matriz condutância nodal e B é a matriz susceptância nodal. Logo: I = (G + jb) E ET720 27

28 em que: e B = G = g 12 + g 13 g 12 g 13 g 12 g 12 + g 23 g 23 g 13 g 23 g 13 + g 23 b 12 + b 13 + b sh 12 + bsh 13 b 12 b 13 b 12 b 12 + b 23 + b sh 12 + bsh 23 b 23 b 13 b 23 b 13 + b 23 + b sh 13 + b sh 23 Exemplo Para a rede da seção 2.5 : PSfrag replacements 1 2 r jx z = r + jx = 0,01 + j0,05 = 0,051 78,69 pu y = z 1 = 1 0,051 78,69 = 19, ,69 = 3,8462 j19,2308 pu = g + jb [ Y = y y y y ] = G = R {Y} = B = I {Y} = [ ] 3,8462 3,8462 3,8462 3,8462 [ ] 19, , , ,2308 ET720 28

29 PSfrag replacements Formulação nodal equações de potência Na prática são especificadas as injeções de potência (P e Q) e não as correntes. Da equação das correntes: I 1 I 2 E 1 E 2 I = Y E. I k = Y k1 Y k2 Y kk Y kn. E k. I n. E n Logo: I k = Y k1 E 1 + Y k2 E Y kk E k + + Y kn E kn = Y kk E k + m Ω k Y km E m = m K Y km E m em que K é o conjunto formado pela barra k e suas vizinhas (K Ω k k). ET720 29

30 Exemplo PSfrag replacements k n De acordo com a regra de formação da matriz admitância: e os demais Y kj = 0. Portanto: Y k1, Y k3, Y k8, Y kn, Y kk 0 I k = Y k1 E 1 + Y k3 E 3 + Y k8 E 8 + Y kn E n + Y kk E kk Para uma barra k: S k = P k + jq k = E k I k Logo: S k = P k jq k = E k I k = E k Y km E m m K ET720 30

31 Lembrando que E k = V k θ k e E m = V m θ m : P k jq k = E k Y km E m m K = V k ( θ k ) (G km + jb km ) V m θ m m K = V k V m (G km + jb km ) e j(θ k θ m ) m K = V k V m (G km + jb km ) e jθ km m K = V k V m (G km + jb km ) (cos θ km j sen θ km ) m K P k = V k V m (G km cos θ km + B km sen θ km ) m K Q k = V k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) m K que são as equações das potências nodais 2 equações para cada barra. ET720 31

32 Exemplo Considerar a rede de 2 barras da Seção 2.5 : PSfrag replacements Geração( slack) 1 r jx Carga (PQ) 2 Em princípio tem-se 2 equações para cada barra, ou seja, um total de 4 equações: P 1 = V 1 m K 1 V m (G 1m cos θ 1m + B 1m sen θ 1m ) = V 2 1 G 11 + V 1 m Ω 1 V m (G 1m cos θ 1m + B 1m sen θ 1m ) P 1 = V 2 1 G 11 + V 1 V 2 (G 12 cos θ 12 + B 12 sen θ 12 ) Q 1 = V 1 m K 1 V m (G 1m sen θ 1m B 1m cos θ 1m ) = V 2 1 B 11 + V 1 m Ω 1 V m (G 1m sen θ 1m B 1m cos θ 1m ) Q 1 = V 2 1 B 11 + V 1 V 2 (G 12 sen θ 12 B 12 cos θ 12 ) ET720 32

33 P 2 = V 2 m K 2 V m (G 2m cos θ 2m + B 2m sen θ 2m ) = V 2 2 G 22 + V 2 m Ω 2 V m (G 2m cos θ 2m + B 2m sen θ 2m ) P 2 = V 2 2 G 22 + V 2 V 1 (G 21 cos θ 21 + B 21 sen θ 21 ) Q 2 = V 2 m K 2 V m (G 2m sen θ 2m B 2m cos θ 2m ) = V 2 2 B 22 + V 2 m Ω 2 V m (G 2m sen θ 2m B 2m cos θ 2m ) Q 2 = V 2 2 B 22 + V 2 V 1 (G 21 sen θ 21 B 21 cos θ 21 ) Exemplo Considerar a rede de 3 barras a seguir. Geração (slack) Geração (PV) 1 2 PSfrag replacements 3 Carga (PQ) ET720 33

34 Em princípio tem-se 2 equações para cada barra, ou seja, um total de 6 equações: P 1 = V 1 m K 1 V m (G 1m cos θ 1m + B 1m sen θ 1m ) P 1 = V 2 1 G 11 + V 1 V 2 (G 12 cos θ 12 + B 12 sen θ 12 ) + V 1 V 3 (G 13 cos θ 13 + B 13 sen θ 13 ) Q 1 = V 1 m K 1 V m (G 1m sen θ 1m B 1m cos θ 1m ) Q 1 = V 2 1 B 11 + V 1 V 2 (G 12 sen θ 12 B 12 cos θ 12 ) + V 1 V 3 (G 13 sen θ 13 B 13 cos θ 13 ) Obtenha as equações para P 2, Q 2, P 3 e Q Idéia geral dos métodos de resolução A idéia básica é obter as 4 grandezas (P, Q, V e θ) para todas barras da rede. Supor que sejam conhecidas todas as potências (P e Q) de todas as barras. A idéia é determinar todas as tensões (V e θ) de forma que satisfaçam as equações das potências nodais. Exercício Considerar a rede de 2 barras da Seção 2.5. Verificar que as equações das potências nodais são satisfeitas para a solução encontrada (E 1 = 1, pu, E 2 = 1 2,8 pu, S 1 = j5 MVA, S 2 = j0 MVA). ET720 34

35 Uma idéia para a resolução do problema: Arbitrar tensões e testar se satisfazem as equações das potências nodais. Se satisfizerem solução do problema foi encontrada. Se não satisfizerem alterar as tensões e repetir o processo. Na Seção 2.5 foi mostrado um procedimento que segue esta idéia geral (método de Gauss). Primeiro problema: como alterar as tensões convenientemente a fim de sempre caminhar em direção à solução correta? Segundo problema: não se conhece todas as potências existem diferentes tipos de barras e para cada tipo existem valores fornecidos e valores a serem calculados. Procedimento geral de resolução do problema de fluxo de carga: Tomar as equações de P k para as barras dos tipos PQ (carga) e PV (geração), para as quais existem valores especificados de P k. Tomar as equações de Q k para as barras do tipo PQ (carga), para as quais existem valores especificados de Q k. Supor que existam NPQ barras do tipo PQ e NPV barras do tipo PV. Tem-se (NPQ + NPV) equações de P k e NPQ equações de Q k. O total de equações é (2NPQ + NPV). As incógnitas são V k e θ k para as barras PQ e θ k para as barras PV. O total de incógnitas é também igual a (2NPQ + NPV). Tem-se um sistema de (2NPQ + NPV) equações algébricas não-lineares e mesmo número de incógnitas. ET720 35

36 Obter as incógnitas por algum método (que será mostrado adiante). Calcular P k para a barra de referência e Q k para a barra de referência e barras PV. Exemplo Descreva o procedimento de cálculo de fluxo de carga para a rede de 2 barras da Seção 2.5, mostrada a seguir. PSfrag replacements Geração( slack) 1 r jx Carga (PQ) 2 Equações das potências nodais: P 1 = V 1 m K 1 V m (G 1m cos θ 1m + B 1m sen θ 1m ) Q 1 = V 1 m K 1 V m (G 1m sen θ 1m B 1m cos θ 1m ) P 2 = V 2 m K 2 V m (G 2m cos θ 2m + B 2m sen θ 2m ) Q 2 = V 2 m K 2 V m (G 2m sen θ 2m B 2m cos θ 2m ) Tomar P 2 =..., pois P 2 é especificado. Tomar Q 2 =..., pois Q 2 é especificado. ET720 36

37 NPQ = 1 e NPV = 0 o número de equações é igual a 2 NPQ + NPV = 2. As incógnitas são V 2 e θ 2 2 incógnitas. Equações de fluxo de carga: P 2 = P esp 2 P calc 2 = P esp 2 V 2 Q 2 = Q esp 2 Q calc 2 = Q esp 2 V 2 m K 2 V m (G 2m cos θ 2m + B 2m sen θ 2m ) = 0 m K 2 V m (G 2m sen θ 2m B 2m cos θ 2m ) = 0 Resolver as equações de fluxo de carga, obtendo V 2 e θ 2. Calcular P 1 e Q 1. Exercício Descreva o procedimento de cálculo de fluxo de carga para a rede de 3 barras mostrada a seguir. Geração (slack) Geração (PV) 1 2 PSfrag replacements 3 Carga (PQ) ET720 37

38 2.8 Métodos de solução Através de algum método determina-se as tensões desconhecidas (magnitude e/ou fase). As equações das potências nodais são: P k = V k V m (G km cos θ km + B km sen θ km ) m K Q k = V k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) m K k = {barra PQ ou PV} k = {barra PQ} Tem-se portanto (NPQ + NPV) equações de potência ativa e NPQ equações de potência reativa. Supor que sejam arbitrados os valores das tensões desconhecidas (V e θ). A partir das equações das potências nodais pode-se calcular: Pk cal = P k (V, θ) k = {barra PQ ou PV} Q cal k = Q k (V, θ) k = {barra PQ} No entanto, os valores de P k e Q k dessas barras são conhecidos (dados do problema) e valem P esp k e Q esp k. Se os valores de tensão arbitrados estiverem errados (o que é provável), pode-se estimar o erro resultante da escolha desses valores: P k = P esp k Q k = Q esp k P cal k Q cal k k = {barra PQ ou PV} k = {barra PQ} ET720 38

39 em que P k e Q k são chamados de erros de potência, resíduos de potência, ou mismatches de potência (denominação mais comum). Se os valores das tensões arbitrados corresponderem à solução exata do problema tem-se mismatches de potência nulos: P k = 0 Q k = 0 k = {barra PQ ou PV} k = {barra PQ} As chamadas equações de fluxo de carga são: P k = P esp k Pk cal = 0 k = {barra PQ ou PV} Q k = Q esp k Q cal k = 0 k = {barra PQ} que podem ser escritas de maneira geral como: g (x) = 0 em que o vetor g é o vetor dos mismatches de potência e x é o vetor das incógnitas (magnitudes e ângulos de fase das tensões). A solução x s faz as funções g se anularem g (x s ) = 0. Os métodos de solução consistem na obtenção de x s que anula g (mismatches). ET720 39

40 2.8.1 Método de Newton Equação algébrica não-linear Considere a equação algébrica não-linear: g (x) = 0 que é um caso particular (unidimensional) de um sistema de equações algébricas não-lineares (n-dimensional). Pretende-se determinar o valor de x para o qual a função g (x) se anula. Em termos geométricos a solução da equação acima corresponde ao ponto x s em que a curva g(x) corta o eixo horizontal x: g (x) PSfrag replacements x s x 0 x ET720 40

41 A resolução do problema pelo método de Newton resulta em um processo iterativo cujos passos serão detalhados a seguir: (1) Inicializar contador de iterações ν = 0 e escolher um ponto inicial x = x (ν) = x (0). (2) Calcular o valor da função g (x) no ponto x = x (ν) g ( x (ν)). (3) Comparar o valor calculado g ( x (ν)) com uma tolerância especficada ε. Se g ( x (ν)) ε, então x = x (ν) será a solução procurada dentro da faixa de tolerância ±ε. Se g ( x (ν)) > ε, prosseguir com a execução do processo iterativo. g ( x (0)) g (x) PSfrag replacements +ε ε x s x (0) x (4) Linearizar a função g (x) em torno do ponto ( x (ν), g ( x (ν))) por intermédio da série de Taylor desprezando os termos de ordem superior a 2: g ( x (ν) + x (ν)) g (x (ν)) + d ( dt g x (ν)) ( x (ν) = g x (ν)) ( + g x (ν)) x (ν) Este passo se resume de fato ao cálculo da derivada g ( x (ν)). ET720 41

42 (5) Resolver o problema linearizado, ou seja, encontrar x (ν) tal que: ) ) g (x (ν) + g (x (ν) x (ν) = 0 ou: x (ν) = g ( x (ν)) g ( x (ν)) x (ν+1) x (ν) = g ( x (ν)) g ( x (ν)) x (ν+1) = x (ν) g ( x (ν)) g ( x (ν)) g (x) g ( x (0)) PSfrag replacements +ε ε x s x (0) x (1) x (6) Fazer ν + 1 ν e voltar para o passo (2). ET720 42

43 Uma visão geral do procedimento é mostrada a seguir. PSfrag replacements g ( x (0)) g (x) g ( x (1)) g ( x (2)) +ε ε x s x (0) x (3) x (2) solução x (1) x Uma variação do método acima é obtida considerando-se a derivada constante (Von Mises), ou seja, ela é calculada somente uma vez no ponto x (0) e utilizada em todas as iterações: PSfrag replacements g ( x (0)) g (x) g ( x (1)) g ( x (2)) g ( x (3)) +ε ε x s x (0) x (3) x (2) x (1) x ET720 43

44 O número de iterações é maior que no método original. Cada iteração é mais rápida pois a derivada não precisa ser calculada a cada passo (esse fato ficará mais claro quando for tratado o caso multidimensional). Sistema de equações algébricas não-lineares Considere agora o caso de um sistema n-dimensional de equações algébricas não-lineares: g 1 (x 1, x 2,, x n ) = 0 g 2 (x 1, x 2,, x n ) = 0 g 3 (x 1, x 2,, x n ) = 0. g n (x 1, x 2,, x n ) = 0 ou: g (x) = 0 em que g (funções) e x (incógnitas) são vetores (n 1): g (x) = [g 1 (x) g 2 (x) g n (x)] T x = [x 1 x 2 x n ] T Os passos do processo iterativo de resolução para o caso n-dimensional são basicamente os mesmos do caso unidimensional. A diferença está no passo (4) onde, ao invés da derivada de uma função, aparece a matriz Jacobiana. ET720 44

45 A linearização de g (x) em torno de x = x (ν) é dada por: g 1 ( x (ν) + x (ν)) g 1 ( x (ν)) + g 1 / x 1 x (ν) x (ν) 1 + g 1 / x 2 x (ν) x (ν) g 1 / x n x (ν) x (ν) n g 2 ( x (ν) + x (ν) ) g 2 ( x (ν) ) g 2 / x n x (ν) x (ν) n + g 2 / x 1 x (ν) x (ν) 1 + g 2 / x 2 x (ν) x (ν) ( ). ( ) g n x (ν) + x (ν) g n x (ν) + g n / x 1 x (ν) x (ν) 1 + g n / x 2 x (ν) x (ν) g n / x n x (ν) x (ν) n Logo: g ( x (ν) + x (ν)) ( g x (ν)) ( + J x (ν)) x (ν) sendo a matriz Jacobiana J dada por: J ( x (ν)) = x g ( x (ν)) = x 1 g 1 x 1 g 2 x 2 g 1... x n g 1 x 2 g 2... x n g x 1 g n x 2 g n... x n g n x (ν) O vetor de correção das incógnitas x é calculado impondo-se: g ( x (ν)) ( + J x (ν)) x (ν) = 0 ET720 45

46 Caso particular em que n = 2: ( PSfrag replacements g 1 [(x 1 + x 1 ), (x 2 + x 2 )] g 1 e: x (ν) 1, x(ν) 2 g 2 [(x 1 + x 1 ), (x 2 + x 2 )] g 2 ( x (ν) 1, x(ν) 2 ) ) + g 1 x (ν) 1 + g 1 x (ν) 2 x 1 x 2 + g 2 x (ν) 1 + g 2 x (ν) 2 x 1 x 2 ( ) g 1 x (ν) 1, x(ν) 2 ( ) g 2 x (ν) 1, x(ν) 2 x 1 g 1 x 1 g 2 x 2 g 1 x 2 g 2 x (ν) 1 + = 0 x (ν) 2 0 matriz Jacobiana Algoritmo para a resolução do sistema de equações g (x) = 0 pelo método de Newton: (1) Inicializar contador de iterações ν = 0 e escolher um ponto inicial x = x (ν) = x (0). (2) Calcular o valor da função g (x) no ponto x = x (ν) g ( x (ν)). (3) Testar convergência: Se g i ( x (ν) ) ε para i = 1,, n, então x = x (ν) será a solução procurada dentro da faixa de tolerância ±ε e o processo convergiu. Caso contrário, prosseguir com a execução do algoritmo. (4) Calcular a matriz Jacobiana J ( x (ν)). ET720 46

47 (5) Determinar o novo ponto x (ν+1) : x (ν) = J 1 ( x (ν) ) ) g (x (ν) x (ν+1) = x (ν) + x (ν) (6) Fazer ν + 1 ν e voltar para o passo (2). Idéia geral da evolução do processo iterativo (para n = 2): g 1 0 x 1 0 acements g x 2 ET720 47

48 Problema de fluxo de carga No método de Newton para a resolução do sistema de equações g (x) = 0, o ponto central consiste em determinar o vetor de correção x através de: g (x ν ) = J (x ν ) x ν Para o problema de fluxo de carga tem-se: [ P g (x ν ν ) = Q ν ] [ P esp P calc = Q esp Q calc ] ν } NPQ + NPV } NPQ x ν = [ θ ν V ν ] } NPQ + NPV } NPQ ( P ) ( P ) J (x ν ) = θ V ( Q) ( Q) θ V }{{} }{{} NPQ + NPV NPQ (ν) } NPQ + NPV } NPQ Lembrando das equações dos mismatches (cujas derivadas aparecem na matriz Jacobiana) e de que os valores especificados das potências são constantes, pode-se escrever: J (x ν ) = (P ) θ (Q) θ (P ) V (Q) V (ν) ( ) P = P esp }{{} P calc (V, θ) constante derivada nula ET720 48

49 As submatrizes que compõem a matriz Jacobiana são geralmente representadas por: H = (P ) θ M = (Q) θ N = (P ) V L = (Q) V As expressões para os elementos das matrizes H, M, N e L são deduzidas a partir das expressões básicas de fluxo de potência (expressões de P k e Q k ). Finalmente as equações podem ser colocadas na forma: [ P ν Q ν ] = [ H N M L ] (ν) [ θ ν V ν ] Exemplo Considerar a rede de 2 barras da Seção 2.5 : Geração( slack) Carga (PQ) PSfrag replacements 1 2 r jx As equações a serem resolvidas neste caso são: [ P2 Q 2 ] [ H22 N = 22 M 22 L 22 ] [ θ2 V 2 ] ET720 49

50 H 22 = P 2 = [ ] V2 V 1 (G 21 cos θ 21 + B 21 sen θ 21 ) + V2 2 G 22 θ 2 θ 2 = V 2 V 1 (G 21 sen θ 21 B 21 cos θ 21 ) +V2 2 B } {{ 22 V } 2 2 B 22 Q 2 = Q 2 V 2 2 B 22 N 22 = P 2 V 2 = V 1 (G 21 cos θ 21 + B 21 sen θ 21 ) + 2V 2 G 22 (V 2 /V 2 ) = ( P 2 + V2 2 G 22) /V2 M 22 = Q 2 = [ ] V2 V 1 (G 21 sen θ 21 B 21 cos θ 21 ) V2 2 B 22 θ 2 θ 2 = V 2 V 1 (G 21 cos θ 21 + B 21 sen θ 21 ) +V2 2 G } {{ 22 V } 2 2 G 22 P 2 = P 2 V2 2 G 22 L 22 = Q 2 V 2 = V 1 (G 21 sen θ 21 B 21 cos θ 21 ) 2V 2 B 22 (V 2 /V 2 ) = ( Q 2 V2 2 B 22) /V2 Dedução das expressões dos elementos da matriz H: A expressão da potência ativa em uma barra k é: P k = V k V m (G km cos θ km + B km sen θ km ) m K = G kk V 2 kk + V k m Ω k V m (G km cos θ km + B km sen θ km ) ET720 50

51 A segunda equação corresponde a uma separação dos termos correspondentes à própria barra k. Logo, a somatória contém agora somente as barras vizinhas da barra k. Elemento fora da diagonal k-m derivada da potência P k em relação ao ângulo de uma certa barra vizinha m: H km = θ m P k = V k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) Elemento fora da diagonal m-k derivada da potência P m em relação ao ângulo de uma certa barra vizinha k basta inverter os índices k e m da expressão de H km : Como: H mk = θ k P m = V m V k (G mk sen θ mk B mk cos θ mk ) G mk = G km B mk = B km θ mk = θ km tem-se finalmente: H mk = V k V m (G km sen θ km + B km cos θ km ) Elemento da diagonal k-k: H kk = P k = V k θ k m Ω k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) ET720 51

52 Somando e subtraindo B kk V 2 k : H kk = B kk V 2 k + B kkv 2 k V k = B kk V 2 k V kv k (G kk sen θ kk V k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) m Ω k ) } {{ } =0 B kk cos θ kk } {{ } =1 m Ω k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) Incluindo a barra k na somatória: H kk = B kk V 2 k V k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) m K } {{ } =Q k = B kk Vk 2 Q k A expressão em termos da potência é mais simples mais econômica em termos de cálculo, pois aproveita o valor da potência que já foi calculado anteriormente (este fato ficará mais claro quando for apresentado o algoritmo de solução do fluxo de carga). Resumindo: H kk = θ k P k = B kk Vk 2 V k m K V m (G km sen θ km B km cos θ km ) = B kk Vk 2 Q k H km = θ m P k = V k V m (G km sen θ km B km cos θ km ) H mk = θ k P m = V k V m (G km sen θ km + B km cos θ km ) ET720 52

53 Os elementos das demais matrizes são: N kk = V k P k = G kk V k + m K V m (G km cos θ km + B km sen θ km ) ( ) = V 1 k Pk + G kk Vk 2 N km = V m P k = V k (G km cos θ km + B km sen θ km ) N mk = V k P m = V m (G km cos θ km B km sen θ km ) M kk = θ k Q k = G kk Vk 2 + V k m K V m (G km cos θ km + B km sen θ km ) = G kk Vk 2 + P k M km = θ m Q k = V k V m (G km cos θ km + B km sen θ km ) M mk = θ k Q m = V k V m (G km cos θ km B km sen θ km ) L kk = V k Q k = B kk V k + m K V m (G km sen θ km B km cos θ km ) ( ) = V 1 k Qk B kk Vk 2 L km = V m Q k = V k (G km sen θ km B km cos θ km ) L mk = V k Q m = V k (G km sen θ km + B km cos θ km ) As matrizes H, M, N e L têm as mesmas características de esparsidade que a matriz admitância nodal Y. As matrizes H, M, N e L têm dimensões distintas, em função dos dados do problema. A seguinte técnica é normalmente utilizada: 1. Construir as matrizes completas (dimensão [NB NB]). 2. Na matriz H colocar um número muito grande ( ) nas posições das diagonais correspondentes a barras de referência. 3. Na matriz L colocar um número muito grande ( ) nas posições das diagonais correspondentes a barras de referência e PV. ET720 53

54 Quando essas matrizes forem invertidas, os elementos das linhas e colunas correspondentes aos elementos grandes das diagonais serão praticamente iguais a zero, assim como as correspondentes correções das variáveis de estado, ou seja: { θk = 0 k {referência} V k = 0 k {referência,pv} Conhecendo-se os elementos da matriz Jacobiana e a maneira de calcular os mismatches de potência, pode-se aplicar o método de Newton para o problema do fluxo de carga. Exemplo Considerar a rede de 2 barras da Seção 2.5 : ents Geração( slack) 1 r jx Carga (PQ) 2 Barra Dados Incógnitas 1 V 1, θ 1 P 1, Q 1 2 P 2, Q 2 V 2, θ 2 Para se conhecer o modo de operação da rede de forma completa deve-se conhecer as tensões em todas as barras (V k θ k ). Incógnitas de tensão V 2, θ 2 2 incógnitas São necessárias 2 equações P 2, Q 2 P 2 = P esp 2 P 2 (V, θ) = 0 Q 2 = Q esp 2 Q 2 (V, θ) = 0 } SUBSISTEMA 1 (obter os V e θ que faltam) ET720 54

55 Problema iterativo a ser resolvido (fluxo de carga): P 2 Q 2 = H 22 N 22 M 22 L 22 θ 2 V 2 Resolvido o SUBSISTEMA 1, pode-se calcular as potências desconhecidas: P 1 = Q 1 = } SUBSISTEMA 2 (calcular as potências que faltam) Exemplo Considerar a rede de 3 barras a seguir. Geração (slack) Geração (PV) 1 2 PSfrag replacements 3 Carga (PQ) ET720 55

56 Barra Dados Incógnitas 1 V 1, θ 1 P 1, Q 1 2 P 2, V 2 Q 2, θ 2 3 P 3, Q 3 V 3, θ 3 Para se conhecer o modo de operação da rede de forma completa deve-se conhecer as tensões em todas as barras (V k θ k ). Incógnitas de tensão θ 2, V 3, θ 3 3 incógnitas São necessárias 3 equações P 2, P 3, Q 3 P 2 = P esp 2 P 2 (V, θ) = 0 P 3 = P esp 3 P 3 (V, θ) = 0 Q 3 = Q esp 3 Q 3 (V, θ) = 0 SUBSISTEMA 1 (obter os V e θ que faltam) Problema iterativo a ser resolvido (fluxo de carga): P 2 P 3 Q 3 = H 22 H 23 N 23 H 32 H 33 N 33 M 32 M 33 L 33 θ 2 θ 3 V 3 Resolvido o SUBSISTEMA 1, pode-se calcular as potências desconhecidas: P 1 = Q 1 = Q 2 = SUBSISTEMA 2 (calcular as potências que faltam) ET720 56

57 Algoritmo de resolução dos subsistemas 1 (pelo método de Newton) e 2: (1) Fazer contador de iterações ν = 0. Escolher os valores iniciais das tensões (magnitudes para as barras PQ e ângulos de fase para as barras PQ e PV) ( V 0 k, θ0 k). (2) Calcular P k (V ν, θ ν ) para as barras PQ e PV. Calcular Q k (V ν, θ ν ) para as barras PQ. Calcular os resíduos (mismatches) de potência P ν k e Qν k. (3) Testar a convergência: Se max { Pk ν } k=pq,pv ε P o processo iterativo e = convergiu para a solução max { Q ν k } k=pq ε Q (V ν, θ ν ) ir para o passo (7). Caso contrário, prosseguir. (4) Calcular a matriz Jacobiana: J (V ν, θ ν ) = [ H (V ν, θ ν ) N (V ν, θ ν ) M (V ν, θ ν ) L (V ν, θ ν ) ] (5) Determinar a nova solução ( V ν+1, θ ν+1) : θ ν+1 = θ ν + θ ν V ν+1 = V ν + V ν sendo as correções θ ν e V ν determinadas pela resolução do sistema linear: [ P (V ν, θ ν ) Q (V ν, θ ν ) ] = [ H (V ν, θ ν ) N (V ν, θ ν ) M (V ν, θ ν ) L (V ν, θ ν ) ] [ θ ν V ν ] ET720 57

58 (6) Incrementar o contador de iterações (ν + 1 ν) e voltar para o passo (2). (7) Calcular P k para a barra de referência e Q k para as barras de referência e PV (subsistema 2). Exemplo Considerar a rede de 2 barras da Seção 2.5 : PSfrag replacements Geração( slack) 1 r jx Carga (PQ) 2 Dados: S 2 = P 2 + j Q 2 = 1 + j 0 = 1 0 pu (100 MW, 0 Mvar) V 1 θ 1 = 1, pu r = 0,01 pu x = 0,05 pu Passo (1) ν = 0 V 0 2 = 1,0112 pu, θ 2 = 0 (valores arbitrários) Passo (2) P 2 = V 2 V 1 (G 21 cos θ 21 + B 21 sen θ 21 ) + V2 2G 22 [ ] [ 3,8462 3, , ,2308 G = B = 3,8462 3, , ,2308 P 2 = 1,0112V 2 ( 3,8462 cos θ ,2308 sen θ 2 ) + 3,8462V 2 2 para V 0 2 e θ0 2 P 2 = 0 Q 2 = V 2 V 1 (G 21 sen θ 21 B 21 cos θ 21 ) V 2 2 B 22 Q 2 = 1,0112V 2 ( 3,8462 sen θ 2 19,2308 cos θ 2 ) + 19,8462V 2 2 para V 0 2 e θ 0 2 Q 2 = 0 ] ET720 58

59 P 2 = P esp 2 P2 calc = 1 0 = 1 Q 2 = Q esp 2 Q calc 2 = 0 0 = 0 Passo (3) Considerar ε P = ε Q = 0,01 max { P 2, Q 2 } = 1 > 0,01 Passo (4) [ ( V 2 J = 2 B 22 Q 2 ( P2 + V2 2G 22) ) /V2 P 2 V2 2 G 22 Q2 V2 2 B 22 /V2 Passo (5) [ ] 0,0489 0,0098 J 1 = 0,0099 0,0494 [ ] [ ] [ ] θ2 = J 1 P2 1 = J 1 = V 2 Q 2 0 V 2 = 1 0,0099 = 0,9901 pu θ 2 = 0 0,0489 = 0,0489 rad Passo (6) ν = 1 Passo (2) P 2 = 1,0169 pu P 2 = 0,0169 Q 2 = 0,1905 pu Q 2 = 0,1905 Passo (3) max { P 2, Q 2 } = 0,1905 > 0,01 Passo (4) [ ] 19,0424 2,7812 J = 4, ,8480 ] = [ 19,6640 3,8894 3, ,4462 [ 0,0489 0,0099 ] ] ET720 59

60 Passo (5) [ ] 0,0506 0,0075 J 1 = 0,0129 0,0512 [ ] [ ] θ2 0,0006 = V 2 0,0100 V 2 = 0, ,0100 = 1,0001 pu θ 2 = 0,0489 0,0006 = 0,0495 rad Passo (6) ν = 2 Passo (2) P 2 = 1,0002 pu P 2 = 0,0002 Q 2 = 0,0028 pu Q 2 = 0,0028 Passo (3) max { P 2, Q 2 } = 0,0028 < 0,01 convergiu para V 2 = 1,0001 pu θ 2 = 0,0495 rad 2,8 Passo (7) PSfrag replacements P 1 = V1 2G 11 + V 1 V 2 (G 12 cos θ 12 + B 12 sen θ 12 ) = 1,0102 pu 101,02 MW Q 1 = V1 2 B 11 + V 1 V 2 (G 12 sen θ 12 B 12 cos θ 12 ) = 0,0472 pu 4,72 Mvar V 2 1,02 1,00 0,98 P 2 0,02 0,01 0,02 0,01 0,01 0,02 Q 2 0,10 0,05 θ 2 1 ET720 60

61 2.9 Métodos desacoplados Submatrizes da matriz Jacobiana representam sensibilidades entre as potências e a tensão (magnitude e ângulo), por exemplo: H = θ P H P θ uma variação no ângulo da tensão implica em uma variação da potência ativa. O mesmo tipo de análise vale para as outras submatrizes. Nos métodos desacoplados, assume-se que as sensibilidades são maiores que θ P e V Q θ Q e V P ou seja, existe um acoplamento forte entre [P e θ] e [Q e V ] e um acoplamento fraco (desacoplamento) entre [Q e θ] e [P e V ] Este fato é em geral verificado para redes de transmissão de extra e ultra altas tensões (tensões acima de 230 kv). Não se verifica para redes de distribuição em geral (níveis de tensão mais baixos). ET720 61

62 O desacoplamento permite que outros métodos de solução do fluxo de carga (que são derivados do método de Newton) sejam obtidos. Métodos desacoplados simplificação da matriz Jacobiana. modelo da rede é o mesmo utilizado no método de Newton. o processo de convergência (caminho percorrido durante o processo iterativo) é diferente. o resultado final é o mesmo Método de Newton desacoplado Método de Newton: P (V ν, θ ν ) = H (V ν, θ ν ) θ ν + N (V ν, θ ν ) V ν Q (V ν, θ ν ) = M (V ν, θ ν ) θ ν + L (V ν, θ ν ) V ν θ ν+1 = θ ν + θ ν V ν+1 = V ν + V ν Devido ao desacoplamento, as matrizes de sensibilidade entre P e V (N) e entre Q e θ (M) são ignoradas: P (V ν, θ ν ) = H (V ν, θ ν ) θ ν Q (V ν, θ ν ) = L (V ν, θ ν ) V ν θ ν+1 = θ ν + θ ν V ν+1 = V ν + V ν ET720 62

63 Esta é a forma simultânea. Aplica-se agora o esquema de solução alternado: P (V ν, θ ν ) = H (V ν, θ ν ) θ ν θ ν+1 = θ ν + θ ν Q (V ν, θ ν ) = L (V ν, θ ν ) V ν V ν+1 = V ν + V ν Duas primeiras equações meia-iteração ativa Duas últimas equações meia-iteração reativa Aproximações na matriz Jacobiana são parcialmente compensadas pela atualização das variáveis V e θ a cada meia-iteração. Os subproblemas ativo e reativo podem ter velocidade de convergência diferentes. Existem várias formas de implementar os métodos desacoplados. ET720 63

64 0 KP = KQ = 1 p = q = 0 ( V 0, θ 0) Método de Newton Desacoplado Diagrama de Blocos P (V q, θ p ) max { P k } : ε p k = {PQ, PV} KP = 0 cements Meia-iteração ativa > θ p = H (V q, θ p ) 1 P (V q, θ p ) θ p+1 = θ p + θ p p p + 1 KQ = 1 KQ : 0 = Q (V q, θ p ) Solução Meia-iteração reativa max { Q k } : ε q k = {PQ} > V q = L (V q, θ p ) 1 Q (V q, θ p ) KQ = 0 KP : 0 = V q+1 = V q + V q q q + 1 KP = 1 ET720 64

65 No diagrama de blocos tem-se: p,q são os contadores das iterações ativa e reativa. KP e KQ são indicadores de convergência dos subproblemas ativo e reativo. sempre que alguma variável de estado é alterada (p.ex. θ), o indicador de convergência do outro subproblema (p.ex. subproblema reativo) é feito igual a 1, forçando que os mismatches do outro subproblema (p.ex. Q) sejam avaliados, mesmo que este já estivesse convergido. Este procedimento evita afastamentos do ponto de solução. o diagrama de blocos corresponde à solução do subsistema 1. Após a convergência, o subsistema 2 pode ser resolvido. Outras grandezas podem também ser calculadas, como fluxos de potência nos ramos. Método de Newton desacoplado uma versão diferente Esta versão pode apresentar uma convergência mais rápida para alguns sistemas. Considerar a matriz diagonal V: V = V V n As matrizes jacobianas podem ser colocadas na seguinte forma: H = V H L = V L ET720 65

66 Os elementos de H e L são: H kk = Q k /V k V k B kk H km = V m (G km sen θ km B km cos θ km ) H mk = V k (G km sen θ km + B km cos θ km ) L kk = Q k/v 2 k B kk L km = (G km sen θ km B km cos θ km ) L mk = (G km sen θ km + B km cos θ km ) As equações do método de Newton desacoplado ficam: P /V = H θ Q/V = L V Método desacoplado rápido O diagrama de blocos é o mesmo que para o método desacoplado, mas as matrizes utilizadas são diferentes. Considerar as seguintes aproximações: cos θ km 1 (θ km pequeno) válida para sistemas em geral, especialmente para EAT (extra alta tensão) e UAT (ultra alta tensão). B kk G km sen θ km válida para sistemas em geral, especialmente para EAT (extra alta tensão) e UAT (ultra alta tensão) B km /G km 5 para linhas de transmissão acima de 230 kv, podendo chegar a 20 em linhas de 500 kv. ET720 66

67 B kk V 2 k Q k se baseia no fato de que as reatâncias shunt são em geral muito maiores que as reatâncias série. V k 1 (valores em pu). As matrizes H e L ficam: H kk = B kk H km = B km H mk = B km L kk = B kk L km = B km L mk = B km ou: H B L B As matrizes B e B dependem somente dos parâmetros da rede são constantes ao longo do processo iterativo. São semelhantes à matriz B = I{Y} com as seguintes diferenças: linhas e colunas referentes às barras de referência não aparecem em B. linhas e colunas referentes às barras de referência e PV não aparecem em B. As matrizes B e B têm estruturas idênticas às matrizes H e L. Pode-se trabalhar com as matrizes B e B com dimensões (NB NB) e colocar um número grande nas diagonais apropriadas. ET720 67

68 As equações do método desacoplado rápido ficam: P /V = B θ Q/V = B V Melhorias no desempenho do método desacoplado rápido foram observadas alterando-se a matriz B, resultando em: B kk = NB m=1 x 1 km B km = B mk = x 1 km B kk = B kk B km = B mk = B km em que x km é a reatância série do ramo que conecta as barras k e m. Exemplo Considerar a rede de 2 barras da Seção 2.5 : PSfrag replacements Geração( slack) 1 r jx Carga (PQ) 2 Dados: S 2 = P 2 + j Q 2 = 1 + j 0 = 1 0 pu (100 MW, 0 Mvar) V 1 θ 1 = 1, pu r = 0,01 pu x = 0,05 pu ET720 68

69 [ G = (1) 3,8462 3,8462 3,8462 3,8462 KP = KQ = 1 p = q = 0 V 0 2 = 1,0112 pu, θ0 2 = 0 rad ] B = [ 19, , , ,2308 ] (2) P 2 = V 2 V 1 (G 21 cos θ 21 + B 21 sen θ 21 ) + V 2 2 G 22 = 0 P 2 = 1 0 = 1 (3) P 2 = 1 > 0,01 (4) P /V = B θ P 2 /V 2 = B 22 θ 2 (B 22 θ 2 = 0,0494 rad = 1/x = 20) (5) θ 2 = 0 0,0494 = 0,0494 rad (6) p = 1 (7) KQ = 1 (8) Q 2 = V 2 V 1 (G 21 sen θ 21 B 21 cos θ 21 ) V 2 2 B 22 = 0,2182 Q 2 = 0 0,2182 = 0,2182 (9) Q 2 = 0,2182 > 0,01 ET720 69

70 (10) Q/V = B V Q 2 /V 2 = B 22 2 (B 22 V 2 = 0,0112 rad (11) V 2 = 1,0112 0,0112 = 1 pu (12) q = 1 (13) KP = 1 (14) P 2 = 0,9986 P 2 = 1 + 0,9986 = 0,0014 (15) P 2 = 0,0014 < 0,01 (16) KP = 0 (17) KQ 0 (18) Q 2 = 0,0004 Q 2 = 0 0,0004 = 0,0004 (19) Q 2 = 0,0004 < 0,01 (20) KQ = 0 ET720 70

71 (21) KP = 0 convergiu para V 2 = 1 pu θ 2 = 0,0494 rad 2, Controles e limites Os métodos mostrados tratam apenas da determinação do estado de operação da rede (resolução do sistema de equações algébricas não-lineares). Complicações: os equipamentos da rede apresentam limites de operação. certos equipamentos realizam controle de certas grandezas. Limites: injeção de potência reativa em barras PV (relacionado com as curvas de capacidade, que serão vistas adiante). limites de tensão em barras PQ. limites dos taps de transformadores. limites de fluxos em circuitos. ET720 71

72 Controles: controle de magnitude de tensão nodal (local e remota) por injeção de reativos. controle de magnitude de tensão nodal por ajuste de tap de transformadores em fase. controle de fluxo de potência ativa por ajuste do tap de transformadores defasadores. controle de intercâmbio entre áreas Programação por computador Redes elétricas reais em geral são de grande porte, resultando em matrizes grandes e esparsas. Considerar uma rede com 100 barras e 200 ramos. A matriz Y terá dimensão ( ) elementos. Destes, serão não nulos: 100 }{{} diag + 2 } {{ 200} = 500 elementos fora diag. ou seja, um grau de esparsidade de: ( ) GE = 100% = 95% 95% dos elementos são nulos! ET720 72

73 Armazenamento compacto de matrizes Inversão de matrizes fatoração (eliminação de Gauss) método de resolução robusto e eficiente. ET720 73

74 Referências [1] F.L. Alvarado, R.J. Thomas, A Brief history of the power flow, IEEE Spectrum, [2] B. Stott, Review of load-flow calculation methods, Proceedings of the IEEE, vol.62, n.7, [3] A.J. Monticelli, A.V. Garcia, Introdução a sistemas de energia elétrica, Unicamp, [4] C.A. Castro, Material da disciplina IT601 Cálculo de fluxo de potência, disponível em ccastro ET720 74