UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ CURSO ENGENHARIA INDUSTRIAL MECÂNICA TIAGO PAULO NAU

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1 UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ CURSO ENGENHARIA INDUSTRIAL MECÂNICA TIAGO PAULO NAU TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Aplicação de Expressões Analíticas e Planejamento de Ensaios Mecânicos para a Verificação do Desempenho da Melhora de Funcionamento de um Eixo de Grande Porte São José

2 TIAGO PAULO NAU TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Aplicação de Expressões Analíticas e Planejamento de Ensaios Mecânicos para a Verificação do Desempenho da Melhora de Funcionamento de um Eixo de Grande Porte Trabalho de conclusão de Curso, apresentado à Banca Examinadora, como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Engenheira Industrial Mecânica, na Universidade do Vale do Itajaí, Centro de Educação de São José. Orientador: Dr. Carlos Eduardo Iconomos Baixo.

3 3 São José 2008 TIAGO PAULO NAU TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Aplicação de Expressões Analíticas e Planejamento de Ensaios Mecânicos para a Verificação do Desempenho da Melhora de Funcionamento de um Eixo de Grande Porte Esta monografia foi julgada adequada para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia Industrial Mecânica e aprovada pelo Curso de Engenharia Industrial Mecânica da Universidade do Vale do Itajaí, Centro de Educação de São José. Área de Concentração: Ensaio Mecânico. São José, junho de Prof. Dr. Carlos Eduardo Iconomos Baixo. UNIVALI CE de São José Orientador

4 4 Dedico este trabalho aos meus pais e a minha namorada, pessoas importantes que sempre me apoiaram.

5 5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, meus familiares, amigos e ao meu orientador Professor Carlos Baixo, que participaram desta conquista.

6 6 RESUMO Este trabalho de conclusão de curso descreve atividades de melhora de projeto de um eixo utilizado em motores e geradores elétricos de grande porte. Em operação, o eixo, usinado em aço 1040/45, 4140 ou superiores, está sujeito a carregamentos combinados de flexão e de torção, que podem gerar deformações, fadiga, vibração e, até, sua ruptura. Destas, a falha mais eminente é a deformação, dada a possibilidade desta desbalancear e possibilitar colisão entre o rotor e o estator, estas gerando como conseqüência, respectivamente, vibrações no equipamento e falha da máquina, seja este o motor ou o gerador. A melhora de projeto proposto consistiu em inserir, externamente ao eixo e por um processo de montagem a quente, um acoplamento do tipo aranha, com o objetivo de diminuir sua deformação. Com esta montagem é evitado um sobre-dimensionamento, pois permite aumentar a capacidade de carga transversal de forma localizada, mantendo, nas regiões com menor solicitação, um eixo de menor diâmetro. Com isto, é gerada uma economia de matéria prima na fabricação e, conseqüentemente, uma redução do peso do produto final. O trabalho foi realizado em duas etapas. Na primeira, partindo do projeto base do eixo, foram utilizados métodos analíticos para a estimativa da deflexão sob carga, com e sem o acoplamento, para serem comparadas diferenças na amplitude da deformação. Na segunda etapa, para a validação dos cálculos, foi planejado ensaios em uma prensa hidráulica buscando simular carregamentos semelhantes àqueles encontrados em serviço. Nestes planejamentos dos ensaios, foi solicitado uma célula de carga para a leitura da força aplicada pela prensa e relógios comparadores para a determinação das deformações em pontos ao longo do eixo. Para viabilizar os ensaios, foram projetados, com o auxílio de uma ferramenta computacional de desenho, dispositivos de fixação do eixo na base da prensa, do eixo na célula de carga e da célula de carga na haste da prensa. Com a realização dos cálculos, foi comprovada a diminuição da deformação do eixo com a utilização do acoplamento tipo aranha, sendo necessário realizar os ensaios, segundo o planejamento, para validar os cálculos.

7 7 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1. Motores elétricos Figura 1.2. Geradores Figura 1.3. Carcaças Figura 1.4. Estatores Figura 1.5. Rotores Figura 1.6. Eixo liso Figura 1.7. Eixo costelado Figura 1.8. Eixo com acoplamento aranha Figura 1.9. Entreferro Figura 2.1. Viga bi-apoiada Figura 2.2. Viga em balanço Figura 2.3. Viga com extremidade em balanço Figura 2.4. Carga concentrada Figura 2.5. Carga distribuída Figura 2.6. Carga uniformemente distribuída Figura 2.7. Elemento de viga, utilizado para dedução das reações entre carga, força cortante e momento fletor Figura 2.8. Diagramas de forças cortantes e momentos fletores para vigas simplesmente apoiadas com carga concentrada Figura 2.9. Linha elástica de viga fletida Figura Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída Figura Áreas do diagrama de momentos e ângulos de deformação Figura Ângulo formado pelas tangentes à linha elástica Figura Distância na deformação Figura Distância no momento Figura Distância do centróide da área até o eixo vertical que passa por C e D Figura Carga sobre viga e Tangente de referencia Figura Declividade no ponto D Figura Distância vertical entre o ponto D e a tangente de referência Figura Distância vertical entre o ponto D e a linha horizontal AB... 41

8 8 Figura Distâncias dos pontos EF e ED Figura Plano de área centróide C Figura Centróide de figura com dois eixos de simetria Figura Centróide de figura com um eixo de simetria Figura Centróide da área composta Figura Momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu centro Figura 3.1. Carga concentrada no eixo bi-apoiado Figura 3.2. Carga distribuída no eixo bi-apoiado Figura 3.3. Pontos de medição da deformação do eixo Figura 3.4. Pontos de medição da deflexão Figura 3.5. Dimensões do eixo Figura 3.6. Gráfico esquemático dos momentos Figura 3.7. Declividade da tangente de referência Figura 3.8. Declividade da tangente de referência Figura 3.9. Pontos de medição da deflexão Figura Dimensões do eixo Figura 3.11 Gráfico esquemático dos momentos Figura Declividade da tangente de referência Figura Declividade da tangente de referência Figura Gráfico esquemático dos momentos Figura Declividade da tangente de referência Figura Declividade da tangente de referência Figura Gráfico da deflexão em cada ponto do eixo para cada intensidade de força Figura Gráfico do valor de deflexão pela carga, no ponto Figura 4.1. Montagem dos acessórios no ensaio de flexão Figura 4.2. Montagem dos acessórios no ensaio de flexão para o eixo com a aranha... 93

9 9 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1. Centróides de figuras planas Tabela 2.2. Área de figuras planas Tabela 3.1. Diâmetros do eixo Tabela 3.2. Fórmulas de momentos de inércia Tabela 3.3. Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas referentes ao gráfico de momentos Tabela 3.4. Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos Tabela 3.5. Fórmulas de deflexão em cada ponto Tabela 3.6. Valores da deflexão em cada ponto Tabela 3.7. Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos Tabela 3.8. Fórmulas de deflexão em cada ponto Tabela 3.9. Valores da deflexão em cada ponto Tabela Diâmetros do eixo Tabela Fórmulas de momentos de inércia Tabela Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas referentes ao gráfico de momentos Tabela Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos Tabela Fórmulas de deflexão em cada ponto Tabela Valores da deflexão em cada ponto Tabela Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos Tabela Fórmulas de deflexão em cada ponto Tabela Valores da deflexão em cada ponto Tabela Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas referentes ao gráfico de momentos Tabela Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos Tabela Fórmulas de deflexão em cada ponto Tabela Valores da deflexão em cada ponto Tabela Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos Tabela Fórmulas de deflexão em cada ponto Tabela Valores da deflexão em cada ponto Tabela Valores da deflexão em cada ponto... 81

10 10 Tabela Deflexão do eixo liso e do eixo com o acoplamento aranha em cada ponto pelas intensidades de força Tabela Ganho (diminuição da deflexão) do eixo com o acoplamento tipo aranha para o eixo liso no ponto Tabela 4.1. Possíveis erros na medição Tabela 4.2. Acessórios e instrumentos utilizados no ensaio... 90

11 11 LISTA DE SÍMBOLOS A área a, b, c dimensões, distâncias C E F h I J L M P Q r s u V v v, v etc. centróide módulo de elasticidade, erro força altura momento de inércia de uma área plana momento de inércia polar comprimento momento fletor força concentrada intensidade da carga distribuída média raio desvio-padrão incerteza força cortante deflexão dv/dx, d v/dx etc. x, y, z distâncias, coordenadas do centróide θ k ρ δ ângulo curvatura (k = 1 ρ) raio de curvatura deflexão, entreferro

12 12 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Histórico do eixo Objetivo Objetivo geral Objetivo específico Justificativa FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Vigas e eixos Viga bi-apoiada Viga em balanço Viga com extremidade em balanço Carregamentos transversais Carga transversal concentrada Carga transversal distribuída Relações entre carga, força cortante e momento fletor Diagrama força cortante e momento fletor Deformações de vigas Equação diferencial da linha elástica Cálculo da deflexão em vigas simplesmente apoiadas pelo método das integrações Cálculo da deflexão em vigas simplesmente apoiadas pelo método das áreas Propriedades de áreas planas Centróide de uma área Centróide de área composta Momento de inércia polar Áreas APLICAÇÃO DE MÉTODOS ANALÍTICOS PARA ESTIMATIVA DA DEFLEXÃO DO EIXO Determinação das cargas à que o eixo está submetido em operação Aplicação dos Métodos de cálculo da deflexão em vigas bi-apoiadas Análise dos resultados dos cálculos PLANEJAMENTO DOS ENSAIOS DE DEFLEXÃO EM VIGA BI-APOIADA... 85

13 Objetivo para os ensaios Tipo de ensaio a ser realizado Medições Avaliação de incerteza na determinação da deflexão do eixo Possíveis erros envolvidos nos ensaios Instrumentos e acessórios a serem utilizados Ensaio de flexão Procedimentos dos ensaios CONCLUSÕES REFERÊNCIAS... 95

14 14 1. INTRODUÇÃO 1.1. Histórico do eixo O trabalho de melhora de projeto refere-se a um eixo utilizado em motores e geradores de grande porte de uma empresa que fabrica os mesmos. Figura 1.1: Motores elétricos.

15 15 Figura 1.2: Geradores. o rotor. Motores e geradores são basicamente constituídos de três partes: a carcaça, o estator e a. Carcaça Carcaça é um conjunto sólido, que é a base estrutural da máquina. Figura 1.3: Carcaças. b. Estator O estator, o nome já diz, é estático (não se move), é fixo na carcaça.

16 16 Figura 1.4: Estatores. c. Rotor O rotor encontra-se no centro do estator, é a parte girante do motor ou gerador. Figura 1.5: Rotores.

17 17 No centro do rotor encontra-se o eixo. Este tem três tipos construtivos: Eixo liso; Eixo costelado; Eixo liso com acoplamento aranha. Figura 1.6: Eixo liso. Figura 1.7: Eixo costelado.

18 18 Figura 1.8: Eixo com acoplamento aranha. A seleção do tipo é feito basicamente em função do tamanho do motor (carcaça), do número de pólos e do tipo de material empregado na fabricação do eixo. Eles são fabricados para suportar os esforços mecânicos nas mais diversas aplicações. Dependendo da aplicação poderão ser utilizados os seguintes materiais: ASI 1040/45, 4140 ou superiores. Os eixos recebem um tratamento térmico com o objetivo de avaliar as tensões internas, evitar empenamentos e aumentar a resistência à fadiga provocada pelos de torção e flexão. O critério de aceitação é que a deflexão não ultrapasse 5% do valor do entreferro. Sendo que o valor do entreferro varia de máquina para máquina. Figura 1.9: Entreferro (δ = D De2). Nos motores de indução, esta necessidade de otimização (utilização do acoplamento tipo aranha) deve-se ao fato de estarem solicitando potências cada vez maiores para a mesma carcaça e/ou devido à severidade do tipo de aplicação onde o motor será empregado.

19 Objetivo Objetivo geral Aplicar conhecimentos de engenharia industrial mecânica para estimar a deflexão de um eixo assim como avaliar as incertezas de medição Objetivo específico 1 Estimar os valores de deflexão do eixo com e sem o acoplamento tipo aranha por meio e expressões analíticas; 2 Avaliação da diferença de deflexão do eixo com e sem o acoplamento tipo aranha; 3 Planejar ensaios mecânicos para o eixo com e sem o acoplamento tipo aranha Justificativa Em relação aos eixos e rotores, a empresa utiliza três tipos construtivos: a. Eixo liso; b. Eixo costelado; c. Eixo liso com acoplamento tipo aranha. Para os eixos lisos e costelados, os cálculos empregados para a determinação da deflexão já estão suficientemente desenvolvidos. Porém, não se tem um modelo de cálculo que represente adequadamente a condição de eixos com acoplamento tipo aranha. O ensaio servirá para validar os cálculos e para visualizar possíveis ajustes nos cálculos e/ou no ensaio.

20 20 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1. Vigas Quando dispomos de um elemento estrutural projetado para suportar diversas cargas em sua extensão, este elemento recebe o nome de viga. Estas vigas são normalmente sujeitas a cargas dispostas verticalmente, sendo que a aplicação da carga resultará em esforços de cisalhamento e flexão, (BEER, 1995) Viga simples Uma viga, articulada nas duas extremidades, recebe o nome de viga simples. A característica essencial de vigas desse tipo é que ambas as extremidades da viga podem girar livremente durante a flexão, porem não podem deslocar-se lateralmente (transversal ao eixo). Além disso, uma das extremidades pode mover-se livremente na direção axial (isto é, horizontalmente), (TIMOSHENKO/GERE, 1994, pg. 78). Para tanto, para as vigas simples os apoios articulados devem ser, um do tipo articulado fixo, e outro, do tipo articulado móvel (Fig. 2.1), (NASH, 1977). Figura 2.1: Viga bi-apoiada Viga em balanço Quando a viga é apoiada só em uma extremidade, de tal forma que, nesse ponto, não possam girar, quer o eixo, quer a seção transversal, diz-se que se trata de uma viga engastada

21 21 ou em balanço. Na Fig. 2.2, apresenta-se um exemplo desse tipo de viga. (NASH, 1977, Pg. 102). Figura 2.2: Viga em balanço Vigas simples com balanços Quando a viga, simplesmente apoiada, se prolonga além de um, ou de ambos os apoios, diz-se que se trata de vigas simples com balanços. É o que se mostra nas Fig (NASH, 1977, pg. 103). Figura 2.3: Vigas com extremidade em balanço Carregamentos transversais Uma viga pode estar submetida a diferentes tipos de cargas como cargas concentradas e cargas distribuídas, assim como as combinações entre ambas Carga transversal concentrada Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga em um único ponto sobre a estrutura, (Fig. 2.4). ( 2008).

22 22 Figura 2.4: Carga concentrada Carga transversal distribuída Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga por unidade de comprimento, geralmente representado em kilograma força por metro (kgf/m) (Fig. 2.5). ( 2008) Figura 2.5: Carga distribuida. Quando a carga por unidade de comprimento possui valor constante, é atribuído o nome de carga uniformemente distribuída (Fig. 2.6). ( 2008). Figura 2.6: Carga uniformemente distribuida.

23 Relações entre carga, força cortante e momento fletor Este capítulo segue referente à TIMOSHENKO/GERE, A força cortante, V, momento fletor, M, e as cargas que atuam na viga possuem relações importantes. Considerando um elemento de viga, obtido por meio de duas seções transversais distantes dx uma da outra (Fig. 2.6a). Se a força cortante V e o momento fletor M que atuam no lado esquerdo do elemento forem positivos, terão os sentidos vistos na Fig Em geral, a força cortante e o momento fletor variam com a grandeza x, medida ao longo do eixo da viga; assim, terão valores ligeiramente diferentes na face direita do elemento considerado, em relação à face esquerda. Chamando esses acréscimos de dv ou dm, respectivamente, tem-se para a face direita V + dv e M + dm. A carga que atua no elemento pode ser concentrada, distribuída ou um momento. Supondo que a carga seja distribuída, com uma taxa de carregamento q, vê-se, pela Fig. 2.7a, que a carga total (suposta positiva quando q atua para baixo) é igual à qdx. Assim, do equilíbrio das forças na direção vertical, tem-se: + = 0 (2.1) ou = (2.2) Assim, quando uma carga distribuída, q, atua, a força cortante varia ao longo da viga e a taxa de variação em relação a x é q. Segue-se que, quando = 0, a força cortante V é constante.

24 24 Fig. 2.7: Elemento de viga, utilizado para dedução das reações entre carga, força cortante e momento fletor. Fazendo o somatório dos momentos em torno do eixo que passa pela face esquerda do elemento visto na Fig. 2.7a, encontra-se: = 0 (2.3) Desprezando os produtos de diferenciais, obtém-se a seguinte relação: = (2.4) Esta equação mostra que a taxa de variação do momento fletor é igual ao valor algébrico da força cortante, desde que uma carga distribuída (ou nenhuma carga) atue na viga. Supondo-se agora que o elemento da viga suporte uma carga concentrada P (ver Fig. 2.7b). Analisando o equilíbrio do elemento na direção vertical, vê-se que há variação brusca, ou descontinuidade, na força cortante entre os dois lados do elemento. V1 na força cortante é igual à carga P, com sinal negativo, ou seja, 1 = (2.5) Então, ao passar da esquerda do ponto de aplicação da força para a direita, a força cortante sofre um decréscimo brusco de valor igual a P. No lado esquerdo do elemento, a taxa de variação do momento fletor é

25 25 = (2.6) enquanto na face direita, = + 1 (2.7) Portanto, conclui-se que, no ponto de aplicação de uma carga concentrada P, a taxa de variação dm/dx decresce bruscamente num valor igual a P. O último caso a ser considerado é o de uma carga em forma de momento, M0 (Fig. 2.7c). Do equilíbrio na direção vertical, tem-se: = 0 o que mostra que a força cortante permanece constante quando se passa de um lado para outro do ponto de aplicação da carga. O equilíbrio dos momentos resulta em: = 0 (2.8) ou 1 = 0 (2.9) Onde, M1 é o acréscimo do momento fletor. Esta equação mostra que há um súbito aumento no momento fletor da viga, decorrente do conjugado M0 aplicado, quando se considera a viga da esquerda para direita Diagrama de força cortante e momento fletor Segundo BEER (1995, pg. 712), a determinação dos valores máximos absolutos da força cortante o do momento fletor fica bem facilitada se os valores de V e M são marcados em relação à distância x medida a partir de uma extremidade da viga.

26 26 Figura 2.8: Diagramas de forças cortantes e momentos fletores paraa vigas simplesmente apoiadas com carga concentrada. Como ilustração, considerando uma viga simplesmente apoiada, AB, com uma carga concentrada P (Fig. 2.6a). As reações dos apoios são: = (2.10) = (2.11) Em qualquer seção transversal à esquerda de P, isto é, em qualquer seção em que 0, pode-se concluir do equilíbrio, que: (2.12) (2.13) Estas expressões mostram que a força cortante permanece constante do apoio A até o ponto de aplicação da carga, enquanto o momento fletor é função linear de x. Para 0, o momento é nulo. Para, é igual a.

27 27 / Os diagramas correspondentes a essa parte, para a força cortante e para o momento fletor, encontram-se nas Fig. 2.8b e c, respectivamente. Para uma seção transversal à direita de P, isto é, para < <, tem-se: = = (2.14) = = 1 (2.15) Verifico novamente que a força cortante e o momento fletor é função linear de x. Quando =, o momento fletor é: / e quando = é nulo. As Fig. 2.8b e c mostram os diagramas completos para a força cortante e o momento fletor. Nota-se que a declividade / do diagrama de momentos fletores é igual a V, e que a declividade / do diagrama de forças cortantes é (isto é, igual a zero), de acordo com a equação: = (2.16) No ponto de aplicação da carga P, há uma variação brusca no diagrama de forças cortantes (igual a P) e uma variação correspondente no dos momentos fletores. (TIMOSHENKO/GERE, 1994) Deformações de vigas Equação diferencial da linha elástica As cargas transversais que atuam sobre uma viga causam deformações, curvando seu eixo longitudinal.

28 28 Considerando uma viga simplesmente apoiada, AB, representada na Fig. 2.9a. Antes da aplicação da carga P, o eixo longitudinal da viga é reto. Depois da flexão, o eixo torna-se curvo (linha ACB). Supondo que xy seja um plano de simetria e que todas as cargas estejam nesse plano. A curva ACB, denominada linha elástica, situa-se nele também. Figura 2.9: Linha elástica de viga fletida. Para reduzir a equação diferencial da linha elástica, utiliza-se M. Deve-se, entretanto, notar que a convenção de sinais para a a relação entre a curvatura k e o momento fletor curvatura da viga fletida relaciona-se com o sentido dado aos eixos coordenados. Quando se supõe que o eixo x é positivo para a direita e que y é positivo para baixo, como se vê na Fig. 2.9a, admitindo que a curvatura da viga seja positiva, se a viga fletida for côncava para baixo e negativa se for côncavaa para cima. A viga representada na Fig. 2.9a está fletida com curvatura negativa. Continuando a adotar a convenção de sinais em que um momento fletor positivo produz curvaturaa negativa, enquanto um negativo produzirá curvatura positiva. Assim, altera-se a equação: = = (2.17) para a seguinte: = = (2.18)

29 29 Para estabelecer a relação entre a curvatura k e a equação da linha elástica, considerase dois pontos, e, distantes ds um do outro (Fig. 2.9a). Em cada um desses pontos, traça-se uma normal à tangente da curva; estas normais cortam-se no centro de curvatura, O. Admitindo que a tangente à linha elástica no ponto faça um ângulo com o eixo x (Fig. 2.9b), no ponto, o ângulo correspondente será, onde é o ângulo entre as normais e. A figura mostra que: = (2.19) e que = (2.20) Então, a curvatura k é igual a taxa de variação do ângulo, em relação à distância s, medida ao longo da linha elástica: = = (2.21) Para a curvatura representada na Fig. 2.9b, a quantidade / é negativa, porque o ângulo decresce, quando se passa da esquerda para a direita, segundo a curva elástica. Na maioria das aplicações práticas ocorrem apenas pequenas deformações nas vigas. As linhas elásticas são muito achatadas e tanto o ângulo quanto a inclinação da curva são quantidades muito pequenas, podendo-se, então, admitir que: (2.22) = (2.23) Onde, v é a deflexão da viga a partir de sua posição inicial (ver Fig. 2.9a). Substituindo essas expressões na equação de k anterior, tem-se:

30 30 = = = (2.24) Combinando com a Eq. 2.18, tem-se: = (2.25) Esta é a equação diferencial básica para a linha elástica de uma viga, que deve ser integrada em cada caso particular para se ter a deflexão v. As convenções de sinais a serem consideradas na equação anterior são: a. Os eixos x e y são positivos nos sentidos indicados na Fig. 2.9a, ou seja, para a direita e para baixo; b. A deflexão v é positiva quando estiver no sentido positivo de y; c. O momento fletor M é positivo quando produz compressão na parte superior da viga. Se a convenção de sinais para v ou para M for invertida (por exemplo, tornando v positivo para cima) o sinal negativo da equação anterior deve ser mudado para positivo. Derivando a Eq em relação a x e considerando as equações: = / e = /, obtém-se: = (2.26) = (2.27)

31 31 Para simplificar as discussões que seguem, as derivadas são indicadas por meio de linhas, assim: ; ; ;. (2.28) formas: Com esta notação, as equações diferenciais vistas anteriormente tomam as seguintes = ; = ; =. (2.29) Expressão exata para a Curvatura. Quando a linha elástica tem grande inclinação, não é possível admitir as simplificações dadas pela Eq Deve-se, então, usar a expressão exata, relacionando a inclinação v com o ângulo de rotação do eixo da viga: = (2.30) ou = (2.31) Desta forma, ( ) (2.32) Como +, tem-se: / 1+ 1+( ) / (2.33) Sendo:

32 32 ) (2.34) ( ) Obtém-se: (2.35) ( ) / Comparando esta expressão com a Eq. 2.24, vê-se que a hipótese de uma linha elástica achatada equivale a se desprezar ( ) em comparação com a unidade, o que torna o denominador da Eq igual a um. Esta equação deve ser usada para a curvatura, quando o problema a resolver envolve grandes deflexões das vigas. (TIMOSHENKO/GERE, 1994) Cálculo da deflexão em viga simplesmente apoiada pelo método das integrações A equação diferencial da linha elástica é usada para a obtenção da deflexão de uma viga simplesmente apoiada. Se a viga suporta uma carga uniformemente distribuída, com a taxa q (ver Fig. 2.10), o momento fletor, à distância x do apoio da esquerda, será: (2.36) e a equação permitirá escrever: + (2.37)

33 33 Figura 2.10: Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída. Multiplicando ambos os membros da Eq por dx e integrando, tem-se: = + + (2.38) Onde, C1 é uma constante de integração. Na determinação desta constante, observa-se que, pela simetria, a inclinação da curva elástica no meio do vão é zero. Então, tem-se a condição: = 0 quando = /2 que, mais sucintamente, pode ser escrita: = 0 (2.39) Entrando com esta condição na Eq. 2.38, tem-se: = (2.40) o que transforma a Eq. 2.38, em: = + + (2.41)

34 34 Novamente, multiplicando ambos os membros da equação por dx e integrando, tem-se: = (2.42) A constante de integração,, pode ser encontrada porque = 0 quando = 0, ou 0 = 0 Esta condição, na Eq. 2.42, dá = 0 e a equação de 2.42 transforma-se em = 2 + (2.43) A equação 2.43 permite achar a deflexão em qualquer ponto da viga. O valor máximo,, ocorre no meio do vão e é calculado fazendo-se = /2 na equação de acima. Tem-se então: = á = (2.44) A inclinação máxima ocorre nas extremidades da viga. Na extremidade esquerda (x=0), a Eq (TIMOSHENKO/GERE, 1994) tem-se: = á = (2.45)

35 Cálculo da deflexão em viga simplesmente apoiada pelo método das áreas Teoremas relativos às áreas do diagrama de momento Considerando uma viga AB submetida a um carregamento arbitrário (Fig. 2.11a). Desenha-se o diagrama que representa a variação de grandeza / ao longo do vão, obtido pela divisão do momento fletor M pela rigidez flexional EI (Fig. 2.11b).. Se a rigidez flexional é constante para toda a viga, vê-se que esse diagrama é igual ao diagrama de momentos fletores, exceto por uma diferença de escalas e ordenadas. Lembrando que, escreve-se: = = (2.46) ou = (2.47) Figura 2.11: Áreas do diagrama de momentos e ângulos de deformação. Considerando dois pontos quaisquer de viga, C e D, e integrando os dois membros da Eq de C até D, obtém-se:

36 36 = (2.48) ou = (2.49) onde e são as declividades dos pontos C e D, respectivamente (Fig. 2.11c). Mas o segundo membro da equação acima representa a área sob o diagramaa de entre os pontos C e D (Fig. 2.11d). Chamando esse ângulo de, tem-se = Área sob o diagrama de entre C e D Este é o primeiro teorema relativo à área do diagrama de momentos. O ângulo e a palavras, a uma área positiva (localizada acima do eixo x) corresponde uma rotação no sentido anti-horário da tangente à corresponde a uma rotação no sentido horário. área sob o diagrama de têm o mesmo sinal. Em outras linha elástica, quando se move de C para D. Uma área negativa Fig. 2.12: Ângulo formado pelas tangentes à linha elástica. Considerando os pontos P e P situados entre C e D e separados de uma distância dx (Fig. 2.13). As tangentes à linha elástica interceptam a vertical pelo ponto C em pontos que formam o comprimento dt. A declividade em P e o ângulo, formado pelas tangentes à linha elástica por P e P, são valores muito pequenos, e podemos adotar que dt é igual ao arco de circunferência de raio subentendido pelo ângulo. Tem-se, desse modo:

37 37 = (2.50) ou, substituindo o valor de da equação 2.47: = (2.51) Fig. 2.13: Distância na deformação. Fig. 2.14: Distância no momento. Integrando a Eq de C até D. Vê-se que, enquanto o ponto P percorre a linha elástica de C a D, a tangente pelo ponto P varre a vertical traçada por C desde C até E. A integral do primeiro membro representa então: a distância, medida na vertical, do ponto C a tangente pelo ponto E. Essa distância, designada por, é chamada desvio tangencial de C em relação a D. Tem-se dessa forma: = (2.52)

38 38 Nota-se que representa um elemento de área sob o diagrama de e o valor da Eq representa o momento estático desse elemento de área em relação a um eixo vertical que passa por C (Fig. 2.14). Assim, o segundo membro da Eq é o momento estático em relação a esse eixo da área de diagrama situado entre C e D. Fig. 2.15: Distância do centróide da área até o eixo vertical que passa por C e D. Assim, pode-se estabelecer o segundo teorema relativo à área do diagrama de momentos: o desvio tangencial de C em relação a D,, é igual ao momento estático da área limitada pelo diagrama entre os pontos C e D em relação ao eixo vertical que passa pelo ponto C. Recordando que o momento estático de uma área em relação a um eixo é igual ao produto da área pela distância do seu centróide até o eixo, podemos escrever o segundo teorema na forma = Á (2.53) Onde, a área se refere àquela limitada pelo diagrama e onde é a distância do centróide da área até o eixo vertical que passa por C (Fig. 2.15a). É necessário distinguir entre o desvio tangencial de C em relação a D,, e o desvio tangencial de D em relação a C, designado por. O desvio tangencial representa a distância vertical do ponto D à tangente à curva elástica traçada do ponto C, e é obtido pelo

39 39 produto da área sob o diagrama de pela distância do seu centróide até o eixo vertical que passa por D (Fig. 2.15b). = Á ) (2.54) Nota-se que, se uma área limitada pelo diagrama de ( ) está situada acima do eixo x, seu momento estático em relação a um eixo vertical será positivo; se ela está situada abaixo do eixo x, seu momento estático será negativo. Nota-se na Fig que um ponto com desvio tangencial positivo fica situado acima da tangente correspondente, enquanto um ponto com desvio tangencial negativo ficaria situado abaixo da tangente correspondente. Vigas com carregamento assimétrico Quando uma viga simplesmente apoiada, com ou sem balanços, suporta uma carga assimétrica, não podendo encontrar por simples inspeção de viga, a tangente é horizontal. Deve-se buscar outros meios de para adotar uma tangente de referência, isto é, uma tangente de declividade conhecida para ser utilizada na aplicação dos teoremas relativos à área do diagrama de momentos. Usualmente, é mais prático adotar a tangente de referência em um dos apoios da viga. Considerando, por exemplo, a tangente no apoio A da viga simplesmente apoiada AB (Fig. 2.16a). Pode-se determinar sua declividade calculando o desvio tangencial do apoio B, em relação a A, e dividindo pelo vão L entre apoios. Recordando que o desvio tangencial em um ponto situado acima da tangente é positivo, escreve-se: (2.55)

40 40 Fig. 2.16: Carga sobre viga e Declividade. Uma vez determinada a declividade da tangente de referência, a declividade de qualquer ponto D (Fig ) pode ser obtida usando-se o primeiro teorema para obter-se, e calcular-se: = + (2.56) Fig. 2.17: Declividade no ponto D. Fig. 2.18: Distância vertical entre o ponto D e a tangente de referência.

41 41 O desvio tangencialal de D em relação ao apoio A é obtidoo do segundo teorema relativo às áreas do diagrama de momentos. Vê-se que é igual ao segmento ED (Fig. 2.18) e representa a distância vertical de D até a tangente de referência. Por outro lado, a deflexão no ponto D representa a distância vertical de D até a linha horizontal AB (Fig. 2.19). Como tem o mesmo comprimento do segmento FD, essa deflexão pode ser expressa como a diferença entree EF e ED (Fig. 2.20). Os triângulos semelhantes AFE e ABH levam a: = (2.56) ou = (2.57) Fig. 2.19: Distância vertical entre o ponto D e a linha horizontal AB. Fig. 2.20: Distâncias dos pontos EF e ED. e lembrando a convenção de sinais adotada para deflexões e desvios tangenciais, escreve-se (BEER, 1995):

42 42 = = (2.58) 2.6. Propriedades de áreas planas Centroide de uma área A fim de definir as coordenadas do centróide de uma área, utiliza-se a área e o sistema de coordenadas x, y, mostrado na Fig. 2.21, onde também se vê um elemento de área, de coordenadas x e y. A área total pode ser achada por integração, conforme segue: = (2.59) Figura 2.21: Plano de área centróide C. As distâncias e ao centróide C da área são obtidas das equações: = (2.60) = (2.61)

43 43 Onde se entende que as instalações devem ser executadas sobre toda a área. Os numerados que aparecem nas equações anteriores são conhecidos como os momentos estáticos de área e serão representados pelo símbolo. Portanto, tem-se = (2.62) = (2.63) onde, é o momento estático em relação ao eixo x e é o momento estático em relação ao eixo y. Usando esta simbologia, pode-se escrever as equações para as coordenadas do centróide: = (2.64) = (2.65) Todas as vezes que os contornos da área forem definidos por expressões analíticas simples, calcula-se as integrais na primeira e na terceira equação e, então, usa-se as Eqs e 2.65 para localizar o centróide. Figura 2.22: Centróide de figura com dois eixos de simetria. Existem casos nos quais a posição do centróide pode ser determinada por inspeção. Por exemplo, quando uma área tem dois eixos de simetria (Fig. 2.22), o centróide localiza-se na sua interseção, quando a área tem um eixo de simetria (Fig. 2.23), o centróide localiza-se

44 44 em algum lugar neste eixo, necessitando-se, apenas, de uma coordenada para se localizar C. Finalmente, se a área for simétrica em relação a um ponto (apesar de não ter nenhum eixo de simetria), este ponto será o centróide (ver a Fig. 2.23). Figura. 2.23: Centróide de figura com um eixo de simetria.

45 45 planas. Na tabela a seguir tem as localizações dos centróides para várias formas de áreas Plano Figura Centróide Retângulo = 2 = h 2 Triângulo = + 3 = h 3 Trapézio --- = h Parábola = 3 8 = 2h 5 Tabela 2.1: Centróides de figuras planas. Quando os contornos da área são curvas irregulares, é possível dividi-la em pequenos elementos,, e substituir as integrais por somatórios: = (2.66) = (2.67) = (2.68)

46 46 As quantidades encontradas para estes somatórios podem ser substituídas nas Eqs e 2.65 para se obter x e y. Os resultados obtidos deste modo serão boas aproximações dos valores exatos desde que os elementos de área não sejam muito grandes. (TIMOSHENKO/GERE, 1994) Centróides de áreas compostas Na prática, freqüentemente são encontradas áreas compostas por partes, com formas geométrica familiares, para as quais já são conhecidas as áreas e as posições dos centróides. Para determinar as áreas e localizar os centróides destas figuras, é preciso somente substituir a área em partes adequadas e usar o somatório ao invés de integração. Para ilustrar este método, considera-se a área composta, mostrada na Figura Esta área pode se subdividida em dois retângulos de área e e centróides e, cujas localizações são consideradas conhecidas. Representando por, e, as coordenadas de e, respectivamente, obtém-se para as coordenadas do centróide da área composta as seguintes expressões. = (2.69) = (2.70) Figura 2.24: Centróide da área composta.

47 47 Generalizando este exemplo, observa-se que é possível usar as seguintes expressões na obtenção das propriedades de qualquer área composta: = (2.71) = (2.72) = (2.73) onde representa um componente de área com coordenadas do centróide e, e os somatórios, incluindo todas estas áreas que compreendem a área composta total. Estas equações são válidas independentemente do número de áreas componentes. No caso particular em que a área é dividida em somente duas partes, como na Fig 2.4, o centróide da área inteira sempre se localiza na linha de junção dos centróides e. (TIMOSHENKO/GERE, 1994) Momento de inércia polar O momento de inércia de uma área plana, em relação a um eixo perpendicular ao plano da área, é chamado momento de inércia polar e definido como a integral. = (2.74) na qual cada elemento de área (ver Fig. 2.21) é multiplicado pelo quadrado da distância ao ponto, onde o eixo intercepta o plano. A integração dada na Eq é estendida sobre toda a área. Com referência à Fig. 2.21, nota-se que = + e, conseqüentemente, da Eq obtém-se: = + = + (2.75)

48 48 Esta equação mostra que o momento de inércia polar, em relação a qualquer ponto O, é igual à soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares x e y, que passam pelo mesmo ponto. Considerando o cálculo do momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu centro (Fig. 2.25). Dividindo a área do círculo em anéis de raio e espessura, vê-se que a área do anel torna-se: =2 (2.76) e, por definição, seu momento de inércia polar em relação ao centro torna-se: 2 (2.77) Para obter o momento de inércia polar de toda a área circular, é preciso integrar sobre toda a área: = 2 (2.78) onde, d é o diâmetro e r é o raio do círculo. Figura 2.25: Momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu centro. Determinado o momento de inércia polar em relação a seu centro, pode-se facilmente achar seus momentos de inércia em relação a um diâmetro. Como o momento de inércia é o mesmo para todos os diâmetros, vê-se pela Eq (TIMOSHENKO/GERE, 1994) que:

49 49 = = = = (2.79) Áreas Na tabela abaixo, as áreas de figuras geométricas são apresentadas. (TIMOSHENKO/GERE, 1994). Plano Figura Área Retângulo = h Triângulo = h 2 Trapézio = h + 2 Parábola = 2 h 3 Tabela 2.2: Área de figuras planas.

50 50 3. Determinação das cargas à que o eixo está submetido em operação No estudo dos ensaios, o eixo apresenta duas situações distintas. a. Eixo liso (sem aranha) Na análise para eixo liso (sem o acoplamento tipo aranha), o eixo foi considerado como uma viga não prismática de seção circular bi-apoiada suportando uma carga concentrada (Fig. 3.1). Figura. 3.1: Carga concentrada no eixo bi-apoiado. b. Eixo com acoplamento tipo aranha Na análise para eixo com o acoplamento tipo aranha, foi considerado que o conjunto suporta uma carga concentrada, que atua sobre o dispositivo tipo aranha, que, por sua vez, transmite a carga de forma distribuída sobre o eixo. Assim, o conjunto foi considerado como sendo uma viga não-prismática de seção circular bi-apoiada com dois carregamentos distribuídos (Fig. 3.2).

51 51 Figura 3.2: Carga distribuída no eixo bi-apoiado Pontos de avaliação de deflexão do eixo. Na figura 3.3 estão indicados os pontos onde serão avaliados os valores de deformação Figura 3.3: Pontos de medição da deformação do eixo Aplicação dos métodos de cálculo da deflexão em vigas bi-apoiadas Para calcular os valores de deflexão do eixo foi utilizada uma ferramenta computacional chamada Mathcad.

52 52 Primeiramente os cálculos foram realizados considerando uma viga prismática unidimensional, onde o cálculo de deflexão pode ser encontrado com o método das integrações. Porém, com a variação de diâmetros no eixo, ficou inviável a determinação das deflexões pelo método das integrações devido ao grande número de constantes que o método apresentou. Para esta situação foi utilizado o método das áreas, ficando simplificada a determinação das deflexões dos pontos. Os ensaios terão quatro níveis de intensidades de força, mas nos cálculos a seguir estarão apresentados apenas os resultados para somente uma intensidade de força (a maior intensidade, 20000N, que foi a força limite indicada pela empresa), e posteriormente uma tabela com os valores dos cálculos das deflexões para cada intensidade de força. a. Cálculo da deflexão no eixo liso (sem o acoplamento tipo aranha) Conforme previamente mencionado, para determinar as deflexões em três pontos prédefinidos ao longo do eixo, foi utilizado o método das áreas de momento para calcular a deflexão pelo método das áreas de momento, foi, assim, definida uma extremidade do eixo como referência. Á título de validação (prova real) dos cálculos, os mesmos foram refeitos, porém, utilizando outra extremidade do eixo como referência. Assim, os valores encontrados calculando-se a deflexão por uma extremidade ou por outra tem que serem igual valor ou, dependendo da ocasião, valores bem próximos. Figura 3.4: Pontos de medição da deflexão.

53 53 EIXO NÃO PRISMÁTICO SEM ACOPLAMENTO ARANHA (CARGA CONCENTRADA) Dados de entrada: Figura 3.5: Dimensões do eixo. Diâmetros do eixo Tabela 3.1: Diâmetros do eixo.

54 54 Formulários: As fórmulas dos momentos de inércia (Tabela 3.2), são referentes as seções apresentadas no eixo, que nesse caso são seções circulares. Momentos de inércia Tabela 3.2: Fórmulas de momentos de inércia As fórmulas de área e centróide são referentes às figuras planas, demonstrada na Fig. Área Centróide

55 55 Tabela 3.3: Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas referentes ao gráfico de momentos. Gráfico Esquemático dos Momentos: Figura 3.6: Gráfico esquemático dos momentos.

56 56 Na Tabela 3.4 estão às fórmulas para estimar a distância entre o eixo e a tangente do ponto C (Fig. 3.7). Pontos Fórmulas DC UV UV UV Tabela 3.4: Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos.

57 57 Figura 3.7: Declividade da tangente de referência. A deflexão em cada ponto é a subtração da distância entre os pontos UV e TV. Ponto Fórmulas Tabela 3.5: Fórmulas de deflexão em cada ponto.

58 58 Resultados Os valores de deflexão em cada ponto de medição está disponível na Tabela 3.6. Ponto Deflexão Tabela 3.6: Valores da deflexão em cada ponto. Comprovação dos Cálculos Os valores de deflexão encontrados nos pontos 2, 3 e 4, tomando como referência o ponto C, tem que ser iguais aos valores encontrados, nos mesmo pontos, tomando como referência o ponto D. Fórmulário Na Tabela 3.7 estão às fórmulas para estimar a distância entre o eixo e a tangente do ponto D (Fig. 3.8).

59 59 Pontos Fórmulas CD UV. UV. UV. Tabela 3.7: Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos. Figura 3.8: Declividade da tangente de referência.

60 60 A deflexão em cada ponto é a subtração da distância entre os pontos UV e TV. Ponto Fórmulas Tabela 3.8: Fórmulas de deflexão em cada ponto. Resultados Os valores de deflexão em cada ponto de medição está disponível na Tabela 3.9. Ponto Deflexão Tabela 3.9: Valores da deflexão em cada ponto. Como os valores encontrados por um ponto de referência são iguais e/ou bem próximos dos encontrados pelo outro ponto de referência, considera-se que os cálculos estão corretos.

61 61 b. Cálculo da deflexão no eixo com o acoplamento tipo aranha Para o cálculo da deflexão no eixo com acoplamento tipo aranha foi utilizado o método das áreas de momento para determinar as deflexões em três pontos pré-definidos ao longo do eixo. Neste caso, como são duas forças atuando no eixo, os cálculos foram subdivididos em três partes. Primeiro foram calculadas as deflexões nos pontos levando em consideração apenas uma força sobre o eixo, sendo considerado, neste caso, a carga que atua do lado esquerdo do eixo. Depois os cálculos foram repetidos, porém considerando apenas a carga que atua na parte direita do eixo. Finalizando, as deflexões encontradas no ponto2, 3 e 4, considerando a carga da esquerda e a carga da direita, são somadas, assim encontrando o valor total da deflexão no ponto2, 3 e 4. Para calcular a deflexão pelo método das áreas de momento, foi definida uma extremidade do eixo como referência. Á título de validação dos cálculos, os procedimentos foram refeitos utilizando, porém, a outra extremidade do eixo como base. Assim os valores encontrados calculando-se a deflexão por uma extremidade ou por outra tem que ser de igual valor ou, dependendo da ocasião, valores bem próximos. Figura 3.9: Pontos de medição da deflexão.

62 62 EIXO NÃO PRISMÁTICO COM ACOPLAMENTO ARANHA (CARGA DISTRIBUIDA) Dados de entrada Figura 3.10: Dimensões do eixo.

63 63 Diâmetros do eixo Tabela 3.10: Diâmetros do eixo. Formulário As fórmulas dos momentos de inércia (Tabela 3.11), são referentes as seções apresentadas no eixo, que nesse caso são seções circulares. Momentos de inércia Tabela 3.11: Fórmulas de momentos de inércia.

64 64 CARGA DISTRIBUÍDA ESQUERDA: Formulário As fórmulas de área e centróide são referentes às figuras planas (Tabela 3.12), demonstrada na Fig Áreas Centróides

65 65

66 66 Tabela 3.12: Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas referentes ao gráfico de momentos. Figura 3.11: Gráfico esquemático dos momentos. Na Tabela 3.13 estão às fórmulas para estimar a distância entre o eixo e a tangente do ponto C (Fig. 3.12).

67 67 Pontos Formulas DC UV UV UV Tabela 3.13: Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos.

68 68 Figura 3.12: Declividade da tangente de referência. A deflexão em cada ponto é a subtração da distância entre os pontos UV e TV. Ponto Fórmulas Tabela 3.14: Fórmulas de deflexão em cada ponto.

69 69 Resultados Os valores de deflexão em cada ponto de medição está disponível na Tabela Ponto Deflexão Tabela 3.15: Valores da deflexão em cada ponto. Comprovação dos Cálculos Os valores encontrados nos pontos 2, 3 e 4, tomando como referência o ponto C tem que ser iguais aos valores encontrados nos mesmo pontos, tomando como referência o ponto D.

70 70 Formulário Na Tabela 3.16 estão às fórmulas para estimar a distância entre o eixo e a tangente do ponto D (Fig. 3.13). Pontos Fórmulas CD UV. UV. UV. Tabela 3.16: Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos.

71 71 Figura 3.13: Declividade da tangente de referência. A deflexão em cada ponto é a subtração da distância entre os pontos UV e TV. Ponto Fórmulas Tabela 3.17: Fórmulas de deflexão em cada ponto.

72 72 Resultados Os valores de deflexão em cada ponto de medição está disponível na Tabela 3.9. Ponto Deflexão Tabela 3.18: Valores da deflexão em cada ponto. Como os valores encontrados por um ponto de referência são iguais e/ou bem próximos dos encontrados pelo outro ponto de referência, considera-se que os cálculos estão corretos.

73 73 CARGA DISTRIBUÍDA DIREITA Formulário As fórmulas de área e centróide são referentes às figuras planas (Tabela 3.19), demonstrada na Fig Áreas Centróides

74 74

75 75 Tabela 3.19: Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas referentes ao gráfico de momentos. Figura 3.14: Gráfico esquemático dos momentos. Na Tabela 3.20 estão às fórmulas para estimar a distância entre o eixo e a tangente do ponto C (Fig. 3.15).

76 76 Pontos Fórmulas DC UV UV UV Tabela 3.20: Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos.

77 77 Figura 3.15: Declividade da tangente de referência. A deflexão em cada ponto é a subtração da distância entre os pontos UV e TV. Ponto Fórmulas Tabela 3.21: Fórmulas de deflexão em cada ponto.

78 78 Resultados Os valores de deflexão em cada ponto de medição está disponível na Tabela Ponto Deflexão Tabela 3.22: Valores da deflexão em cada ponto. Comprovação dos Cálculos Os valores encontrados nos pontos 2, 3 e 4, tomando como referência o ponto C tem que ser iguais aos valores encontrados nos mesmo pontos, tomando como referência o ponto D. Fórmulário Na Tabela 3.23 estão às fórmulas para estimar a distância entre o eixo e a tangente do ponto D (Fig. 3.16).

79 79 Pontos Fórmulas CD UV. UV. UV. Tabela 3.23: Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos.

80 80 Figura 3.16: Declividade da tangente de referência. A deflexão em cada ponto é a subtração da distância entre os pontos UV e TV. Ponto Fórmulas Tabela 3.24: Fórmulas de deflexão em cada ponto. Resultados Os valores de deflexão em cada ponto de medição está disponível na Tabela 3.25.

81 81 Ponto Deflexão Tabela 3.25: Valores da deflexão em cada ponto. DEFLEXÕES TOTAIS Para estimar a deflexão total em cada ponto, foram somados os valores encontrados considerando somente o carregamento da esquerda com os valores encontrados considerando somente o carregamento da direita. Ponto Deflexão Tabela 3.26: Valores da deflexão em cada ponto.

82 Análise dos resultados dos cálculos Lembrando que o eixo foi submetido a quatro diferentes intensidades de cargas. Assim foi montada a Tabela 3.27, com cada intensidade de carga atuando sobre o eixo, isso para o eixo liso e para o eixo com o acoplamento tipo aranha, com os valores das deflexões em cada ponto. Tabela 3.27: Deflexão do eixo liso e do eixo com o acoplamento aranha em cada ponto pelas intensidades de força. Com o intuito de facilitar a visualização das deflexões originadas por cada intensidade de força em cada ponto de medição sobre o eixo, foram plotados os respectivos valores em um só gráfico (Figura 3.17).

83 Deflexão nos Pontos Eixo c/ Aranha -5000N Eixo Liso -5000N Eixo c/ Aranha N Eixo Liso N Eixo c/ Aranha N Eixo Liso N Eixo c/ Aranha N Eixo Liso N Figura 3.17: Gráfico da deflexão em cada ponto do eixo para cada intensidade de força. Para obter um percentual de diferença de deflexão, foi elaborada a Tabela 3.28, onde foi colocado os valores das deflexões do ponto 3 para cada carga, que é o ponto que apresentou um valor superior de deflexões comparado com os demais pontos, e foi plotado um gráfico da deflexão pela carga (Figura 3.18). Tabela 3.28: Ganho (diminuição da deflexão) do eixo com o acoplamento tipo aranha para o eixo liso no ponto 3.

84 Deflexão x Carga Eixo c/ Aranha Eixo Liso Figura 3.18: Gráfico do valor de deflexão pela carga, no ponto 3. Com a Tabela 3.28 e com a Figura 3.18, ficou visível que houve uma diminuição da deflexão do eixo com a adição do acoplamento tipo aranha. Assim conclui-se que o acoplamento aumentou a rigidez do eixo, porém, para verificar se o método e as considerações tomadas na realização dos cálculos foram suficientes e/ou adequadas, é sugerido à realização de um ensaio de deflexão com os mesmos parâmetros tomados nos cálculos.

85 85 4. PLANEJAMENTO DOS ENSAIOS DE DEFLEXÃO EM VIGA BI-APOIADA seguir. A proposta para os ensaios devem proceder respeitando as informações indicadas a 4.1. Objetivo para os ensaios Os ensaios mecânicos são de vital importância para a quantificação da deformação do eixo liso e do eixo com o acoplamento tipo aranha, sob carregamento, permitindo com isto validar os valores encontrados pelos cálculos analíticos. Após os ensaios, a expectativa sobre os cálculos é que os resultados sejam compatíveis com uma das três possibilidades listadas abaixo: Os valores, encontrados pelo ensaio, serem iguais ou com diferenças insignificantes dos encontrados pelos cálculos analíticos; Os valores, encontrados pelo ensaio, serem próximos aos encontrados pelos cálculos analíticos; Os valores, encontrados pelo ensaio, serem muito diferentes dos encontrados pelos cálculos analíticos. Dependendo da compatibilidade dos resultados, atitudes podem ser tomadas a fim de melhorar e/ou viabilizar os resultados: Verificar se os métodos e considerações utilizadas nos cálculos são satisfatórios para a obtenção do valor de deflexão do eixo; Ajustar os cálculos e/ou utilizar considerações mais precisas nos cálculos e/ou verificar possíveis problemas com os dispositivos de ensaio; Revisar os procedimentos, considerações e até mesmo o método dos cálculos e/ou verificar erros nos dispositivos de medição e/ou verificar erros de leitura e medição dos valores.

86 86 A respeito da melhora de projeto do eixo (adição do acoplamento tipo aranha), pode-se considerar três tipos de hipóteses: Que o acoplamento tipo aranha não provoca o enrijecimento do eixo; Que o acoplamento tipo aranha provoca o enrijecimento do eixo; Que o acoplamento tipo aranha provoca o enrijecimento somente nas regiões do contato. Dependendo da hipótese à que o eixo com o acoplamento tipo aranha se encaixe, pode se saber se o acoplamento aumenta a rigidez (diminui a deformação) do eixo ou não Tipo de ensaio a ser executado Lembrando que o eixo suporta cargas transversais ao longo de seu eixo. O ensaio a ser realizado visa simular o funcionamento do eixo em operação de trabalho. Assim, o ensaio que melhor simula esse tipo de carregamento é o ensaio de deflexão, mais especificamente, um ensaio de deflexão em viga bi-apoiada, com os dois apoios do ensaio correspondendo aos mancais à que o eixo está fixado na carcaça da máquina e a carga axial representando a força de deflexão entre os apoios Medições Do ponto de vista técnico, a medição é empregada para monitorar, controlar ou investigar um processo ou fenômeno físico. Medir é um procedimento experimental pelo qual o valor momentâneo de uma grandeza física (mensurando) é determinado como um múltiplo e/ou uma fração de uma unidade, estabelecida por um padrão, e reconhecida internacionalmente. A operação de medição é realizada por um instrumento de medição ou, de uma forma mais genérica, por um sistema de medição (SM), podendo este último ser composto por vários módulos.

87 87 Obtém-se desta operação instrumentada a chamada indicação direta, que é o número lido pelo operador diretamente no dispositivo mostrador, acompanhado da respectiva unidade indicada neste dispositivo. Para que a medição tenha sentido, é necessário determinar a chamada indicação. A indicação corresponde ao valor momentâneo do mensurando no instante da medição, e é composta de um valor acompanhado da mesma unidade do mensurando. (ALBERTAZZI, 2002). Nas variações das propriedades mecânicas e das características dos elementos mecânicos, geralmente se lida com um número finito de elementos. O número total desses elementos, denominado população, pode, em alguns casos, ser bastante grande. Nessas situações, normalmente é impraticável medir as características de cada elemento da população, haja visto que isso envolve ensaios destrutivos em alguns casos; dessa forma, selecionamos uma pequena parte do grupo, denominada amostra, para tais determinações. Assim, a população é o grupo completo e a amostra, uma parte dele. (SHIRLEY, 2005) Avaliação de incerteza na determinação da deflexão do eixo Cada fonte de incerteza deve ser claramente identificada. É recomendado o uso de termos simples e que evitem interpretações ambíguas. Se conveniente, um símbolo pode ser associado à fonte de incertezas. Recomenda-se também explicitar a unidade em que os valores relativos à fonte de incertezas serão expressos. Cada fonte de erro influi de forma sistemática e aleatória sobre o erro de medição. Após compensar a parcela sistemática, restará ainda a parcela aleatória a ser considerada. Para quantificar a parcela aleatória é comum estimar experimentalmente sua dispersão por meio do desvio padrão. Como definido a incerteza padronizada de uma fonte de erro é a faixa de dispersão em torno do valor central equivalente a um desvio padrão. A incerteza padronizada deve ser estimada para cada fonte de erro envolvida. É importante fazer uma análise crítica do processo de medição para identificar as fontes significativas de erros e quantificar os valores correspondentes das respectivas incertezas padronizadas de cada componente. A análise do conjunto destas incertezas padronizadas levará à estimativa da incerteza combinada.

88 88 O procedimento para estimar a incerteza padronizada baseia-se em parâmetros estatísticos, estimados a partir de valores de observações repetitivas do mensurando. Seja q uma variável aleatória. Sejam q k (para k = 1, 2,..., n) n valores independentemente obtidos para a variável q. Sua média pode ser estimada por: = (4.1) O desvio padrão experimental da variável q, representado por s, é estimado por: = (4.2) Lembrando que, para que a estimativa de s(q) pela equação (4.2) seja confiável, é necessário envolver um número suficientemente grande de observações independente (é recomendável pelo menos n > 10). Quando é utilizado o valor médio das indicações, obtido a partir da média de um conjunto de m indicações de q, o desvio padrão experimental da média de q é estimado por: = (4.3) Neste caso, a incerteza padronizada associada à variável q, representada por u(q), é estimada pelo desvio padrão da média das m observações efetuadas. Assim: = (4.4) Quando não são envolvidas médias de indicações, mas apenas um único valor da indicação, a incerteza padronizada coincide com o desvio padrão experimental s(q). O número de graus de liberdade envolvidos (v) na determinação u(q) é dado pelo número de medições independentes efetuadas menos um (ALBERTAZZI, 2002), isto é: = 1 (4.5)

89 Possíveis erros envolvidos nos ensaios Além dos erros de medição, há possibilidade de outros erros, porem estes são de difícil determinação. Na tabela 4.1 estão listadas algumas possibilidades de erros envolvidos no ensaio de deflexão de eixo. Problema Causa Solução Deformação dos apoios Dimensionar corretamente Material e/ou dimensões os apoios conforme a desapropriado necessidade Inclinação dos apoios Devido à deformação do Utilizar roletes ou similares eixo/viga ela sofre um em um dos apoios para que deslocamento horizontal, o eixo/viga possa deslocarse sem resistência com os apoios fixos ele tende a inclinar-se Utilizar base apropriada Distância entre apoios e/ou utilizar outro elemento Deformação da base da muito grande e/ou base não servindo como base, desde prensa apropriada para a aplicação que aumente a resistência no ensaio da mesma Utilizar hastes firmes e/ou Movimentação e/ou fixar as hastes em uma fixação errada das hastes Medidas erradas posição fora da base da dos relógios comparadores prensa Tabela 4.1: Possíveis erros na medição.

90 Instrumentos e acessórios a serem utilizados Na realização dos ensaios alguns instrumentos e acessórios são de extrema importância pra que a sua realização aconteça. Eles estão listados na tabela 4.2. Instrumento/acessório Utilidade Informação Prensa hidráulica A prensa hidráulica que Capacidade de 20 aplica a força necessária toneladas sobre o eixo Ela mede a intensidade da Modelo alfa, formato Z, Célula de carga força que está sendo capacidade de 5 toneladas e aplicada erro máximo de 100g Prende a célula de carga na Feito em aço 1020, Acessório de fixação extremidade da haste da deformação à compressão prensa/célula de carga prensa hidráulica desprezível Dimensionada para acoplar Feito em aço 1020, Acessório de fixação célula sobre o eixo liso e fixar-se deformação à compressão de carga/eixo liso a célula de carga desprezível Dimensionada para acoplar Feito em aço 1020, Acessório de fixação célula sobre o eixo com a aranha deformação à compressão de carga/eixo com aranha e fixar-se a célula de carga desprezível Dois apoios mantêm o eixo Feito em aço 1020, Apoios a uma determinada altura da base da prensa. deformação à compressão desprezível Relógios comparadores Apontam o deslocamento Deslocamento de 1 e do eixo na direção vertical precisão de 0,01mm Paquímetros Medir as distâncias dos Deslocamento 1000mm e apoios e dos pontos de precisão de 0,05mm medição da deflexão Tabela 4.2: Acessórios e instrumentos utilizados no ensaio.

91 Ensaio de flexão Segundo SOUZA (1982, pg. 148), O autor expressa, ainda, que: O ensaio de flexão é geralmente de modo a reproduzir, no laboratório, as condições da prática. Desse modo, é possível criar várias maneiras de se efetuar esse ensaio, desde que a peça possa ser adaptada diretamente em uma máquina comum. O ensaio é realmente um ensaio de flexão, sendo o corpo de prova constituído por uma barra de seção qualquer, preferencialmente circular ou retangular para facilitar os cálculos, com um comprimento especificado. O ensaio consiste em apoiar o corpo de prova sob dois apoios distanciados entre si de uma distância L, sendo a carga de flexão aplicada no centro do corpo de prova. SOUZA (1982, pg. 148). Sendo que no ensaio realizado a carga não estava no centro do eixo, e sim no centro do acoplamento tipo aranha, que por sua vez estava deslocado para o lado direito do centro do eixo (ver Fig. 3.1) Procedimentos dos ensaios Os ensaios mecânicos, para terem um bom desempenho, devem proceder segundo as normas de flexão (ASTM D 790/2002 e/ou DIN 53452/1977). ( 20/06/2008). Os ensaios devem ser efetuados conforme o procedimento descrito a seguir, lembrando que estes foram elaborados segundo a disponibilidade de equipamentos e acessórios da empresa. Uma prensa hidráulica efetuará a força sobre o eixo (Figura 4.1). A força aplicada será medida com o auxílio de uma célula de carga, garantindo assim uma precisão mais exata (Figura 4.1).

92 92 Suportes foram projetados especialmente para fazer a fixação da célula de carga na prensa e da célula de carga no eixo, certificando que o os equipamentos não escorreguem e/ou caiam (Figura 4.1). O eixo ficará apoiado sobre dois apoios, e estes ficarão sobre a base da prensa, fixados a ela por pontos de solda, assim evitando seu deslocamento (Figura 4.2). As deflexões do eixo serão medidas por relógios comparadores, em pontos prédeterminados. Estes serão fixados fora da base da prensa, evitando medições erradas no caso da base da prensa deformar. O distanciamento entre os apoios e entre os pontos de medição será efetuado com o auxílio de um paquímetro. Figura 4.1: Montagem dos acessórios no ensaio de flexão para o eixo liso.