FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

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1 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO AMILCAR JOSÉ PUCCIARELLI ESTRATÉGIA DE COINTEGRAÇÃO DINÂMICA EMPÍRICA PARA ARBITRAGEM ESTATÍSTICA E TRADING SÃO PAULO 2014

2 AMILCAR JOSÉ PUCCIARELLI ESTRATÉGIA DE COINTEGRAÇÃO DINÂMICA EMPÍRICA PARA ARBITRAGEM ESTATÍSTICA E TRADING Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo, parte da Fundação Getulio Vargas, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. Orientador: Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán SÃO PAULO 2014

3 José Pucciarelli, Amilcar Estratégia de cointegração dinâmica empírica para arbitragem estatística e trading / Amilcar José Pucciarelli f. Orientador: Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán Dissertação (MPFQ) Escola de Economia de São Paulo. 1. Operações com pares (Finanças). 2. Kalman, Filtragem de. 3. Cointegração. 4. Análise de séries temporais. I. Terán, Juan Carlos Ruilova. II. Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título CDU

4 AMILCAR JOSÉ PUCCIARELLI ESTRATÉGIA DE COINTEGRAÇÃO DINÂMICA EMPÍRICA PARA ARBITRAGEM ESTATÍSTICA E TRADING Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo, parte da Fundação Getulio Vargas, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. Data da Aprovação: 07 / 08 / 2014 Banca Examinadora: Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán (Orientador) Fundação Getulio Vargas Prof. Dr. Alessandro Marques Fundação Getulio Vargas Prof. Dr. Gustavo Monteiro de Athayde

5 Este trabalho é dedicado aos professores que me ajudaram neste caminho.

6 Agradecimentos Agradeço à minha esposa, minha filha e meus pais.

7 Um negócio que não rende nada além de dinheiro, é um mau negócio. (Henry Ford)

8 RESUMO Este trabalho primeiramente explora fundamentos teóricos básicos para análise e implementação de algoritmos para a modelagem de séries temporais. A finalidade principal da modelagem de séries temporais será a predição para utilizá-la na arbitragem estatística. As séries utilizadas são retiradas de uma base de histórico do mercado de ações brasileiro. Estratégias de arbitragem estatística, mais especificamente pairs trading, utilizam a característica de reversão à média dos modelos para explorar um lucro potencial quando o módulo do spread está estatisticamente muito afastado de sua média. Além disso, os modelos dinâmicos deste trabalho apresentam parâmetros variantes no tempo que aumentam a sua flexibilidade e adaptabilidade em mudanças estruturais do processo. Os pares do algoritmo de pairs trading são escolhidos selecionando ativos de mesma empresa ou índices e ETFs (Exchange Trade Funds). A validação da escolha dos pares é feita utilizando testes de cointegração. As simulações demonstram os resultados dos testes de cointegração, a variação no tempo dos parâmetros do modelo e o resultado de um portfólio fictício. Palavras-chaves: pairs trading. filtro de Kalman. arbitragem estatística. cointegração.

9 ABSTRACT This work firstly explores basic theoretical foundations for analysis and implementation of algorithms for time series modeling. The main purpose of the modeling of time series prediction is to use it in statistical arbitrage. The series used are taken from a historic database of the brazilian stock exchange. Statistical arbitrage strategies, specifically pairs trading, use the feature of mean reversion models to explore the potential profits when the module is statistically very spread away from its mean. Further, the dynamic models of this study show time varying parameters which increase the flexibility and adaptability structural changes in the process. Pairs of pairs trading algorithm are chosen by selecting the same company assets or indices and ETFs (Exchange Trade Funds). The validation of the choice of pairs is done using cointegration tests. The simulations demonstrate the results of the cointegration tests, the time variation of the model parameters and the result of a fictitious portfolio. Key-words: pairs trading. kalman filter. statistical arbitrage. cointegration.

10 Lista de ilustrações Figura 1 Gráfico dos preços de fechamento de PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/ Figura 2 Gráfico dos preços de fechamento de VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/ Figura 3 Gráfico dos preços de fechamento de GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/ Figura 4 Gráfico dos preços de fechamento de IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/ Figura 5 Gráfico dos preços de fechamento de IBRX50 e PIBB11 de 01/01/2009 até 01/05/ Figura 6 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2008 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de PETR3 e PETR4 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 7 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2008 até 08/01/2010 na estratégia de pairs trading de PETR3 e PETR4 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 8 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2008 até 12/01/2012 na estratégia de pairs trading de PETR3 e PETR4 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 9 Gráfico da evolução do portfólio de PETR3 e PETR4 resultante da estratégia de pairs trading de 21/10/2008 até 01/05/2014 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 10 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2008 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de VALE3 e VALE5 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 11 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2008 até 08/01/2010 na estratégia de pairs trading de VALE3 e VALE5 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 12 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2008 até 12/01/2012 na estratégia de pairs trading de VALE3 e VALE5 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 13 Gráfico da evolução do portfólio de VALE3 e VALE5 resultante da estratégia de pairs trading de 20/10/2008 até 01/05/2014 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana

11 Figura 14 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2009 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de GGBR3 e GGBR4 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 15 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de GGBR3 e GGBR4 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 16 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2009 até 17/01/2013 na estratégia de pairs trading de GGBR3 e GGBR4 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 17 Gráfico da evolução do portfólio de GGBR3 e GGBR4 resultante da estratégia de pairs trading de 23/10/2009 até 01/05/2014 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 18 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2009 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de IBOVESPA e BOVA11 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 19 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de IBOVESPA e BOVA11 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana. 51 Figura 20 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de IBOVESPA e BOVA11 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 21 Gráfico da evolução do portfólio de IBOVESPA e BOVA11 resultante da estratégia de pairs trading de 23/10/2009 até 01/05/2014 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 22 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2009 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de IBRX50 e PIBB11 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 23 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de IBRX50 e PIBB11 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 24 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2009 até 07/01/2010 na estratégia de pairs trading de IBRX50 e PIBB11 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 25 Gráfico da evolução do portfólio de IBRX50 e PIBB11 resultante da estratégia de pairs trading de 22/10/2009 até 01/05/2014 usando o modelo Triantafyllopoulos e Montana Figura 26 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2009 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de PETR3 e PETR4 usando o modelo TM modificado

12 Figura 27 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2009 até 08/01/2010 na estratégia de pairs trading de PETR3 e PETR4 usando o modelo TM modificado Figura 28 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2009 até 12/01/2012 na estratégia de pairs trading de PETR3 e PETR4 usando o modelo TM modificado. 56 Figura 29 Gráfico da evolução do portfólio de PETR3 e PETR4 resultante da estratégia de pairs trading de 27/01/2009 até 01/05/2014 usando o modelo TM modificado Figura 30 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2008 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de VALE3 e VALE5 usando o modelo TM modificado Figura 31 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2008 até 08/01/2010 na estratégia de pairs trading de VALE3 e VALE5 usando o modelo TM modificado Figura 32 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2008 até 12/01/2012 na estratégia de pairs trading de VALE3 e VALE5 usando o modelo TM modificado. 58 Figura 33 Gráfico da evolução do portfólio de VALE3 e VALE5 resultante da estratégia de pairs trading de 13/02/2008 até 23/04/2014 usando o modelo TM modificado Figura 34 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2009 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de GGBR3 e GGBR4 usando o modelo TM modificado Figura 35 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de GGBR3 e GGBR4 usando o modelo TM modificado Figura 36 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2009 até 17/01/2013 na estratégia de pairs trading de GGBR3 e GGBR4 usando o modelo TM modificado. 60 Figura 37 Gráfico da evolução do portfólio de GGBR3 e GGBR4 resultante da estratégia de pairs trading de 28/01/2010 até 10/06/2014 usando o modelo TM modificado Figura 38 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2009 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de IBOVESPA e BOVA11 usando o modelo TM modificado Figura 39 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de IBOVESPA e BOVA11 usando o modelo TM modificado Figura 40 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de IBOVESPA e BOVA11 usando o modelo TM modificado. 62

13 Figura 41 Gráfico da evolução do portfólio de IBOVESPA e BOVA11 resultante da estratégia de pairs trading de 09/02/2009 até 20/12/2013 usando o modelo TM modificado Figura 42 Gráfico da evolução de β t gerado por FLS de 01/01/2009 até 01/05/2014 na estratégia de pairs trading de IBRX50 e PIBB11 usando o modelo TM modificado Figura 43 Gráfico da evolução do parâmetro, B t, gerado no processo recursivo entre 01/01/2009 até 11/01/2011 na estratégia de pairs trading de IBRX50 e PIBB11 usando o modelo TM modificado Figura 44 Gráfico do spread, y t, entre 01/01/2009 até 07/01/2010 na estratégia de pairs trading de IBRX50 e PIBB11 usando o modelo TM modificado. 64 Figura 45 Gráfico da evolução do portfólio de IBRX50 e PIBB11 resultante da estratégia de pairs trading de 04/02/2009 até 05/09/2013 usando o modelo TM modificado

14 Lista de tabelas Tabela 1 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 2 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 3 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 4 Resultado do teste de Johansen para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 5 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 6 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 7 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 8 Resultado do teste de Johansen para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/ Tabela 9 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 10 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 11 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 12 Resultado do teste de Johansen para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 13 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para IBO- VESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 14 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para IBO- VESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 15 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 16 Resultado do teste de Johansen para IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 17 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para IBRX50 e PIBB11 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 18 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para IBRX50 e PIBB11 de 01/01/2009 até 01/05/

15 Tabela 19 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para IBRX50 e PIBB11 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 20 Resultado do teste de Johansen para IBRX50 e PIBB11 de 01/01/2009 até 01/05/ Tabela 21 Os 20 primeiros negócios gerados na estratégia pairs trading para PETR3 e PETR4 de 21/10/2008 até 01/05/

16 Sumário Introdução Motivação e Objetivo Organização da dissertação SÉRIES TEMPORAIS Estacionariedade Ruído Branco MODELOS LINEARES MULTIVARIADOS Modelo Autorregressivo Vetorial (VAR) Modelo Vetorial de Correção de Erros (VECM) MODELOS DE ESPAÇOS DE ESTADOS ARBITRAGEM ESTATÍSTICA CAPM Estratégias Neutras ao Risco de Mercado Arbitragem Estatística Pairs Trading MODELO DINÂMICO DE REVERSÃO À MÉDIA DE TRIANTAFYL- LOPOULOS E MONTANA Modelo dinâmico variante no tempo Estimação online MODELO DE TRIANTAFYLLOPOULOS E MONTANA MODIFI- CADO RESULTADOS Seleção dos pares de ativos PETR3 e PETR Método de Engle-Granger Teste de Phillips-Ouliaris Teste de Johansen VALE3 e VALE Método de Engle-Granger Teste de Phillips-Ouliaris

17 Teste de Johansen GGBR3 e GGBR Método de Engle-Granger Teste de Phillips-Ouliaris Teste de Johansen IBOVESPA e BOVA Método de Engle-Granger Teste de Phillips-Ouliaris Teste de Johansen IBRX50 e PIBB Método de Engle-Granger Teste de Phillips-Ouliaris Teste de Johansen Simulações de estratégias de pairs trading Modelo de Triantafyllopoulos e Montana PETR3 e PETR VALE3 e VALE GGBR3 e GGBR IBOVESPA e BOVA IBRX50 e PIBB Modelo de Triantafyllopoulos e Montana modificado PETR3 e PETR VALE3 e VALE GGBR3 e GGBR IBOVESPA e BOVA IBRX50 e PIBB Conclusão Referências

18 17 Introdução 0.1 Motivação e Objetivo O principal objetivo deste trabalho é desenvolver o modelo de Triantafyllopoulos e Montana proposto no artigo (TRIANTAFYLLOPOULOS; MONTANA, 2011) e aplicá-lo em estratégias de pairs trading no mercado brasileiro. Esperamos arbitrar os pares de ativos brasileiros utilizando a predição um passo à frente do modelo. A identificação dos parâmetros será feita de forma on-line de forma que possamos incorporar dinâmica ao modelo. Além disso, para critério de comparação será proposto um novo modelo que possui as suas equações de observação com os parâmetros fixo. Pretendemos mostrar no final desta dissertação que as estratégias de pairs trading são factíveis no mercado brasileiro e mostrar a variação do parâmetro e do portfólio dos pares de ativos. 0.2 Organização da dissertação O trabalho está dividido em sete capítulos. Esta introdução apresenta uma visão geral do escopo da tese, assim como a motivação para o desenvolvimento da dissertação e seus objetivos. O Capítulo 1 apresenta uma revisão dos principais conceitos de séries temporais, estacionariedade e ruído branco. Representações multivariadas de modelos de séries são mostrados no Capítulo 2. Os modelos explicados neste capítulo são o modelo autoregressivo vetorial (VAR, vector autoregression) e o modelo vetorial de correção de erros (VECM, vector error correction model). No Capítulo 3, o modelo de espaço de estados é apresentado. Todos os modelos lineares apresentados anteriormente podem ser representados nesta forma de espaço de estados. O modelo utilizado na estratégia de pairs trading é uma derivação deste modelo utilizando os parâmetros variantes no tempo, diferente da forma clássica. No Capítulo 4 mostramos a principal idéia dos algoritmos de arbitragem estatística e principalmente as estratégias denominadas pairs trading. As premissas de regras de negociação utilizadas no capítulo de simulação serão também discutidas neste capítulo. O Capítulo 5 pode ser considerado o principal capítulo da dissertação. Neste capítulo, o modelo dinâmico de reversão à média de Triantafyllopoulos e Montana é

19 Introdução 18 demonstrado e também é proposto um novo modelo baseado no primeiro. A diferença entre os dois modelos será a dinâmica dos parâmetros de cálculo de spread. O primeiro modelo apresenta os parâmetros variantes no tempo e o segundo modelo os mantêm fixos por um determinado número de dias. O modelo de Triantafyllopoulos e Montana modificado será mostrado no Capítulo 6. No Capítulo 7 está a produção computacional de todo o trabalho e uma comparação entre o modelo de Triantafyllopoulos e Montana e o modelo TM modificado. Na Conclusão resumiremos o resultado computacional e mostraremos algumas perspectivas para novos trabalhos e estudos.

20 19 1 Séries Temporais Uma série temporal é uma seqüência de variáveis aleatórias no tempo. Representaremos as nossas séries na forma de y t ou x t onde t representa a ordenação da série t = {1, 2, 3,...}. Nesta dissertação, as séries temporais terão o mesmo intervalo de amostragem que serão diários. As séries temporais apresentam várias características e, portanto, podemos classificálas de diversas formas (WOOLDRIDGE, 2012), (BOX; JENKINS; REINSEL, 2013) e (PUCCIARELLI, 2005). Estaremos interessados em séries temporais econômicas, particularmente, em ações do mercado financeiro brasileiro. Uma característica marcante das séries temporais econômicas é a forte correlação entre as observações mais recentes (WOOLDRIDGE, 2012) Estacionariedade Seja {X t } um processo estocástico e seja F X (x t1 +τ,..., x tk +τ) a função de distribuição conjunta nos períodos t 1 + τ,..., t k + τ, então podemos definir estacionariedade estrita, se para todo τ: F X (x t1 +τ,..., x tk +τ) = F X (x t1,..., x tk ). Porém, a estacionariedade estrita é uma condição muito difícil de ser verificada empiricamente. Portanto, é proposta a estacionariedade fraca. Desta forma, um processo X t é chamado fracamente estacionário se as seguintes premissas são satisfeitas: E[X t ] = µ, onde µ é constante; Cov(X t, X t τ ) = γ τ, só depende do tamanho de τ; V ar(x t ) <. Em nossos modelos e exemplos práticos será considerada a estacionariedade fraca. Portanto, simplificaremos a nomenclatura e chamaremos a estacionariedade fraca de estacionariedade apenas.

21 Capítulo 1. Séries Temporais Ruído Branco σ 2 : Uma série ε t é chamada de ruído branco se a sua média é zero e variância é constante E [ε t ] = 0, (1.1) E [ ε 2 t ] = σ 2. (1.2) Além disso, as observações são independentes e identicamente distribuídas: E[ε t ε τ ] = 0, t τ. (1.3)

22 21 2 Modelos Lineares Multivariados 2.1 Modelo Autorregressivo Vetorial (VAR) O modelo autorregressivo vetorial de ordem p, VAR(p), é um modelo econométrico para múltiplas séries temporais interdependentes. O modelo VAR(p) pode ser representado na forma: y t = B 0 + A 1 y t A p y t p + ε t (2.1) onde y t = (y 1,t,..., y K,t ) é um vetor de (K 1) variáveis aleatórias, as matrizes A i são (K K) coeficientes e B = (b1,..., b K ) é um vetor de (K 1) interceptos. Finalmente, ε t = (ε 1,t,..., ε k,t ) é um vetor (K 1) de ruídos brancos, tais que, E(ε t ) = 0, E(ε t ε t) = Σε e E(ε t ε s) = 0 para s t. A matriz de covariância Σε é supostamente não singular. Um modelo VAR(p) com p > 1 pode ser reescrito na forma VAR(1): Y t = B + AY t 1 + ζ t (2.2) onde Y t = y t y t 1. y t p+1, B = B 0 0 (Kp 1) (Kp 1). 0, A = A 1 A 2... A p 1 A p I K I K I K 0, ζ t = ε t 0 (Kp Kp) (Kp 1). 0. (2.3) As referências (TSAY, 2005), (LUTKEPOHL, 2007), (HAYASHI, 2000) e (HAMIL- TON, 1994) apresentam mais exemplos e detalhes do VAR(p). 2.2 Modelo Vetorial de Correção de Erros (VECM) Considerando Π = (I K A 1... A p ) podemos reescrever a equação 2.1 de um modelo VAR(p) na forma de diferenças abaixo: y t = Πy t 1 + Γ 1 y t Γ p 1 y t p+1 + ε t (2.4)

23 Capítulo 2. Modelos Lineares Multivariados 22 onde Γ i = (A i A p ) e i = 1,..., p 1. Note que B 0 não está mais presente na diferença y t. Reescrevendo os parâmetros do modelo VAR(p) utilizando os parâmetros Γ i e Π, temos: A 1 = Π + I k + Γ 1 A i = Γ i Γ i 1, i = 2,... p 1 A p = Γ p 1 (2.5) Rearranjando a equação 2.4, temos a mesma equação com o termo de correção de erro no lag p: y t = D 1 y t D p 1 y t p+1 + Πy t p + ε t (2.6) onde D i = (I K A 1... A i ), i = 1,..., p 1. Este modelo é melhor descrito e são apresentados alguns exemplos em (LUTKEPOHL, 2007) e (HAYASHI, 2000).

24 23 3 Modelos de Espaços de Estados Todos os modelos anteriores podem ser representados na forma de espaço de estados. Dado que as séries temporais são representadas por Y t, t = 1, 2,..., então: Y t = G t X t + W t (3.1) e X t+1 = F t X t + V t (3.2) definem o modelo de espaço de estados, X t é a matriz de estados, Y t é a matriz de observações, e W t e V t são os vetores ruídos brancos e não correlacionados. Ou seja, E (V t ) = 0, E (W t ) = 0, E (V t V t) = Q t, E (W t W t) = R t, E (V t V T ) = 0, E (W t W T ) = 0. (3.3) onde t T. Muitas variáveis exógenas ou algumas entradas fixas podem ser usadas na equação de estados ou observações. Representaremos o vetor de entradas por U t e reescrevemos as equações 3.1 e 3.2 como: Y t = G t X t + H t U t + W t (3.4) e X t+1 = F t X t + J t U t + V t (3.5) Muitos livros de análise séries temporais apresentam pelo menos um capítulo sobre o modelo de espaço de estados, ver (BROCKWELL; DAVIS, 2009), (TSAY, 2005), (SHUMWAY; STOFFER, 2010), (LUTKEPOHL, 2007) e (HAMILTON, 1994).

25 24 4 Arbitragem Estatística 4.1 CAPM O Modelo de Precificação de Ativos Financeiros, conhecido em inglês como Capital Asset Pricing Model (CAPM), foi originalmente proposto por William Forsyth Sharpe. O modelo é utilizado em finanças para determinar a taxa de retorno teórica de um determinado ativo ou portfólio de ativos em relação a uma carteira de mercado perfeitamente diversificada. O modelo simplificado CAPM pode ser separados em dois termos: o primeiro termo é chamado de componente sistemático e o segundo termo é chamado de componente residual ou não-sistemático. Ou seja, se consideramos o retorno do portfólio ou de um ativo como R p então podemos escrevê-lo na seguinte forma: R p = βr m + ε p (4.1) onde R m é o retorno do mercado, β é a relação entre o portfólio e o mercado, ε p é o retorno residual que não pode ser explicado pelo mercado e E [ε p ] = 0. O β representa a sensibilidade do retorno do ativo em relação ao mercado e pode ser estimado por regressão linear. Podemos escrever a estimação de β em função de R p e R m, como: β = cov (R pr m ) var (R m ) (4.2) Uma descrição mais detalhada do modelo CAPM pode ser vista em (VIDYAMURTHY, 2004),(WILMOTT, 2007) e (ELTON et al., 2009) Estratégias Neutras ao Risco de Mercado No contexto do CAPM, os portfólios neutros ao risco do mercado podem ser definidos como portfólios onde β é zero. Aplicando o conceito de neutralidade do mercado na equação 4.1, temos que o retorno do portfólio, R p, será determinado apenas pelo componente residual ε p. Por causa da natureza aleatória de ε p e E [ε p ] = 0, é esperado que o retorno R p tenha um comportamento de reversão à média. Para obtermos βr m = 0, uma das maneiras para a construção de portfólios neutros ao risco de mercado é manter posições compradoras e vendedoras de diferentes ativos que possuem separadamente diferentes β s cada um. Se considerarmos dois ativos A e B com coeficientes β A e β B, e retornos R A e R B, temos: R A = β A R m + ε A (4.3) R B = β B R m + ε B (4.4)

26 Capítulo 4. Arbitragem Estatística 25 Considerando que ambos possuem comportamentos semelhantes durante o tempo, então uma estratégia neutra ao risco seria vender q quantidades do ativo A e comprar 1 quantidade do ativo B: R AB = qr A + R B (4.5) onde q = β B /β A é a proporção do ativo A em relação ao ativo B. Substituindo 4.3 e 4.4 em 4.5, temos: R AB = ( qβ A + β B ) R m + ( qε A + ε B ) = qε A + ε B (4.6) Portanto, o β AB do portfólio será zero e chamaremos o termo restante de spread. O spread está relacionado com o retorno residual e é esperado o comportamento de reversão à média. As estratégias de arbitragem estatística, mais especificamente de pairs trading, utilizam esta característica para explorar um lucro potencial quando o módulo do spread está estatisticamente muito afastado de sua média. 4.2 Arbitragem Estatística Os primeiros modelos de arbitragem estatística que se tem notícia foram em meados de 1980 no Morgan Stanley. O grupo de matemáticos, físicos, engenheiros e cientistas da computação eram chefiados por Nunzio Tartaglia. Uma das técnicas de arbitragem estatística mais utilizada são os algoritmos de pairs trading Pairs Trading Resumidamente, arbitragem é tomar posições em um ativo ou mais para tirar proveito de um condição que está fora da equilíbrio e que estatisticamente espera-se que irá reverter em um determinado período posterior. Por exemplo, comprar e vender ações no mercado brasileiro e ADR s (American Depositary Receipt) no mercado americano. A arbitragem estatística é baseada em ativos com características semelhantes onde o spread de seus preços se mantém aproximadamente constante. Quando ocorre uma divergência entre os preços e o spread aumenta, então é adquirida uma posição long-short dos ativos envolvidos. Quanto maior o spread, maior será o lucro em potencial de uma futura reversão desta diferença. A estratégia de pairs trading é uma estratégia neutra ao risco de mercado que explora a movimentação conjunta de dois ativos e explora desvios de curto prazo em relações de equilíbrio de longo prazo. Ver (VIDYAMURTHY, 2004) e (POLE, 2008). O processo de identificação dos pares de ativos para a estratégia utiliza o fenômeno de cointegração e esses ativos encontrados são ditos cointegrados. Há diversos critérios para fazer a seleção prévia destes ativos: seleção por setor de atuação dos ativos, ativos de uma

27 Capítulo 4. Arbitragem Estatística 26 mesma empresa, ativos e índices e análise gráfica. Mas é preciso um teste estatístico e é isso que os testes de cointegração de Engle-Granger, Phillips-Ouliaris e Johansen propõem. No processo de pairs trading, a aprovação de dois pares em um teste de cointegração permite identificar a combinação linear entre os mesmos. É esperado um resíduo com média zero e um comportamento de reversão à média. A negociação consiste em comprar, long, o ativo subvalorizado da relação e vender, short, o ativo supervalorizado quando o desvio é relativamente grande. Por isso, esta estratégia é classificada também como uma estratégia long-short. Quando ocorrer a reversão à média da série do resíduo, é desfeita a posição dos ativos. A reversão à média não é a única condição para a saída das posições. Podemos incluir os critérios de saída, por exemplo: stop loss, que é a saída por perda ou realização do prejuízo; stop gain, que é a saída por ganho ou realização do lucro; tempo de posição, quando o tempo em exposição ao risco está alto. Outros critérios de entrada e saída das posições não serão abordados nesta dissertação por não serem o principal objetivo. Além disso, muitos deles não estão escritos em livros e artigos, mas fazem parte do conhecimento e experiência do trader.

28 27 5 Modelo dinâmico de reversão à média de Triantafyllopoulos e Montana Este processo dinâmico de espaço de estados, proposto em (TRIANTAFYLLOPOU- LOS; MONTANA, 2011), é utilizado para modelar o spread em uma estratégia de pairs trading. Neste modelo foi introduzida dependência temporal nos parâmetros do modelo para aumentar a sua flexibilidade e adaptabilidade em mudanças estruturais do processo. 5.1 Modelo dinâmico variante no tempo Considerando dois ativos cointegrados com preços p 1,t e p 2,t, o spread, y t, entre ambos é dado por: y t = α t + p 1,t β t p 2,t (5.1) onde α t e β t são parâmetros variantes no tempo que podem ser estimados por métodos recursivos baseados no algoritmo de mínimos quadrados. É prática comum selecionar a ordem dos ativos para utilizar o maior β t resultante tal que o spread capture mais informação possível sobre o co-movimento dos dois ativos. Neste caso, é suposto que o processo y t é um processo de reversão à média. Segundo (ELLIOTT; HOEK; MALCOLM, 2005), o processo observado, y t é uma realização do verdadeiro spread não observado, o estado x t : y t = x t + ω t (5.2) e x t = A t + B t x t 1 + ɛ t (5.3) onde 0 < B t < 1 e A t é um número real sem restrições. A restrição no valor de B t garante a estacionariedade do processo de x t. O ruído branco, ε t, ou inovação tem média zero e variância σ 2. Reescrevendo a equação 5.2 como x t = y t ω t e substituindo na equação 5.3 então: y t = A t + B t y t 1 + ε t (5.4) onde ε t = ω t B t ω t 1 +ɛ t. Os parâmetros A t e B t são variantes no tempo e foram escolhidos no artigo (TRIANTAFYLLOPOULOS; MONTANA, 2011) como modelos AR variantes no tempo de ordem um: A t = φ A A t 1 + ν A,t (5.5) B t = φ B B t 1 + ν B,t (5.6)

29 Capítulo 5. Modelo dinâmico de reversão à média de Triantafyllopoulos e Montana 28 onde φ A e φ B são os coeficientes do modelo AR no interior do círculo unitário. Considerando θ t = (A t, B t ), F t = (1, y t 1 ) e Φ = diag (φ A, φ B ) podemos reescrever o modelo no espaço de estados, como: y t = F tθ t + ε t (5.7) θ t = Φθ t 1 + ν t (5.8) onde o erro de observação é ε t N (0, σ 2 ), o erro de estado é ν t = (ν A,t, ν B,t ) N 2 (0, σ 2 V t ) e onde N 2 (.,.) é uma distribuição gaussiana bivariada. As duas inovações ε t e ν t são individualmente e mutualmente não correlacionadas e também não são correlacionadas com o vetor de estado inicial θ 0, isto é: E (ε t ε s ) = 0, E (ν t ν s) = 0, E (ε t ν s ) = 0, E (ε t θ 0 ) = 0, E (ν t θ 0) = 0 (5.9) onde t s. Para garantir a propriedade de reversão à média, o artigo original, (TRIANTAFYL- LOPOULOS; MONTANA, 2011), demonstra as seguintes condições: φ A = φ B = 1, V t = 0 e B 0 < 1, ou seja os parâmetros A t e B t não variam com o tempo; φ A e φ B no interior do círculo unitário, V t é limitado e B t < 1, para todo t, ou seja A t e B t variam com o tempo mas B t está limitado em toda a sua série Estimação online Dado que Y t 1 representa a série temporal dos spreads até o instante t 1, a distribuição do vetor de parâmetros pode ser representada por θ t 1 σ 2, Y t 1 N 2 (m t 1, σ 2 P t 1 ) e σ 2 Y t 1 IG (n t 1 /2, d t 1 /2) onde IG (.,.) é uma distribuição gama inversa (TRIAN- TAFYLLOPOULOS, 2007) e (PRADO; HUERTA, 2002). A estimação online calcula as densidades a posteriori de θ t Y t e σ 2 Y t para cada passo. Com os valores iniciais m 0, P 0, n 0 e d 0, o algoritmo recursivo e adaptativo segue

30 Capítulo 5. Modelo dinâmico de reversão à média de Triantafyllopoulos e Montana 29 como: R t = ΦP t 1 Φ + V t Q t = F tr t F t + 1 e t = y t F tφm t 1 K t = RtFt Q t m t = Φm t 1 + K t e t P t = R t K t K tq t r t = y t F tm t n t = n t d t = d t 1 + r t e t S t = dt n t (5.10) Para o algoritmo 5.10, proposto em (TRIANTAFYLLOPOULOS; MONTANA, 2011), é necessário determinar a matriz de covariância V t, que é responsável pela evolução estocástica do vetor de parâmetros θ t, e portanto pela mudança estocástica de A t e B t. Considerando P 0 e V t diagonais, a solução proposta por Triantafyllopoulos e Montana é utilizar dois fatores de descontos δ A e δ B para atualizar os valores da média e variância de θ t através dos dados de maneira sequencial (HARRISON, 1999). Desta forma, os autores propõem a seguinte matriz de covariância, V t : V t = δ 1 A (1 δ A ) φ 2 Ap 11,t δb 1 (1 δ B ) φ 2 Bp 22,t 1 (5.11) onde P t = (pij) i,j=1,2. Isto implica que R t = diag (φ 2 Ap 11,t 1 /δ A, φ 2 Bp 22,t 1 /δ B ) e a variância de A t e B t evoluem por fatores 1/δ A e 1/δ B respectivamente. Os parâmetros α t e β t serão estimados pelo método recursivo FLS (flexible least squares), descrito em (KALABA; TESFATSION, 1988) e (KALABA; TESFATSION, 1989). Para a estimação de φ A,φ B,δ A e δ B utilizaremos a seguinte função de máxima verossimilhança l (φ A, φ B, δ A, δ B ; Y t ), de y t Y t 1 com distribuição t de Student: l (φ A, φ B, δ A, δ B ; Y t ) = T p (y t Y t 1 ) t=2 = T log { t=2 Γ(n t/2) πnt 1 Γ(n t 1 /2) } 1 2 T n t log { 1 + t=2 } (5.12) (yt µ)2 n t 1 Q ts t 1 onde Γ (.) é a função gama.

31 30 6 Modelo de Triantafyllopoulos e Montana modificado O modelo TM modificado se assemelha bastante do modelo de Triantafyllopoulos e Montana com exceção dos parâmetros de cointegração entre os preços de dois ativos. Dessa forma o spread, y t, é dado por: y t = α + p 1,t βp 2,t (6.1) onde p 1,t e p 2,t são os preços dos dois ativos, e α e β são os parâmetros de cointegração. Observe que os parâmetros não evoluem com o tempo t de modo diferente do modelo de Triantafyllopoulos e Montana (TM). A estimação dos parâmetros de cointegração será feita pelo método de máxima verossimilhança onde uma amostra de dados será separada para esta finalidade. Para evitar problemas com mudanças estruturais do processo, será refeita a estimação depois de n dias. Já as equações de espaço de estados, 5.5 e 5.4, se manterão inalteradas: y t = A t + B t y t 1 + ε t A t = φ A A t 1 + ν A,t (6.2) B t = φ B B t 1 + ν B,t com os parâmetros A t e B t como as variáveis de espaço de estados. E as equações em espaço de estados podem ser escritas como 5.7. O processo estimação de estimação θ t Y t e σ 2 Y t se mantém igual ao do modelo anterior, ver o algoritmo A idéia de manter os parâmetros α e β fixos é evitar a indeterminação do sistema linear constituído por suas equações. Deixar os valores flutuarem de forma livre permite infinitas soluções para a determinação dos parâmetros. Para esta suposição, iremos analisar o comportamento de α t, β t, A t e B t do modelo de TM e os parâmetros α, β, A t e B t do modelo TM modificado. No modelo de TM, o α e o β são dinâmicos e gerados pelo método FLS, conforme foi dito no capítulo anterior. A estimação de α e β (deste modelo) é feita por MLE (maximum likelihood estimation) respeitando o seguinte critério: T C = (α + p 1,t βp 2,t ) 2. (6.3) t=1 Para a estimação de φ A,φ B,δ A e δ B utilizaremos a mesma função de máxima verossimilhança l (φ A, φ B, δ A, δ B ; Y t ) utilizada no modelo anterior: { } T Γ (n t /2) l (φ A, φ B, δ A, δ B ; Y t ) = log 1 T n t log {1 + (y t µ) 2 } (6.4) πnt 1 Γ (n t 1 /2) 2 n t 1 Q t S t 1 t=2 t=2

32 Capítulo 6. Modelo de Triantafyllopoulos e Montana modificado 31 onde Γ (.) é a função gama.

33 32 7 Resultados 7.1 Seleção dos pares de ativos Para a análise de cointegração dos ativos não será separado um vetor de dados exclusivamente para isto. Utilizaremos toda a amostra para o teste de cointegração entre os ativos. A idéia é verificar se os ativos escolhidos mantêm cointegrados durante um longo período. Os testes de cointegração selecionados para o teste são: Engle-Granger, (ENGLE; GRANGER, 1987), Phillips-Ouliaris, (PHILLIPS; OULIARIS, 1990) e Johansen, (JOHAN- SEN, 1988) PETR3 e PETR4 Os primeiros ativos selecionados serão PETR3 e PETR4 são ações ordinárias e preferenciais respectivamente da mesma empresa, Petrobrás. Os motivos da escolha destes ativos são: liquidez, mesma empresa e são alguns dos principais papéis que compõem o IBOVESPA. Além disso, eles são usados em muitos casos de estudo no mercado brasileiro. Os dados utilizados para os testes de cointegração são os preços de fechamento dos Figura 1 Gráfico dos preços de fechamento de PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/2014.

34 Capítulo 7. Resultados 33 pregões que compreende o período de 01 de Janeiro de 2008 até 01 de Maio de 2014 dos ativos PETR3 e PETR Método de Engle-Granger Os resultados das estimações do método de Engle-Granger para os ativos PETR3 e PETR4 podem ser vistos nas tabelas 1 e 2. No casa da tabela 1, a é o vetor de cointegração estimado por OLS (Ordinary Least Square) e b é o intercepto da equação do spread (z t = y t ax t b). Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) b <2e-16 a <2e-16 Tabela 1 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/2014. A tabela 2 representa o resultado do segundo passo do método representado pela equação y t = φ 0 +φ 1 y t 1 +θ 1 x t 1 +αz t 1 +ε t para a estimação do modelo de correção de erros das duas séries. Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) φ φ θ α Tabela 2 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/2014. Os p-valores do primeiro passo e segundo passo são < e respectivamente e indicam a cointegração dos ativos Teste de Phillips-Ouliaris O teste de Phillips-Ouliaris classificou o par PETR3 e PETR4 como não cointegrados. O resultado de saída do teste é a regressão: Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) z[, 1] <2e-16 Tabela 3 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/2014.

35 Capítulo 7. Resultados 34 O valor do teste (P u ) é que está abaixo do valor de 10% de confiança Teste de Johansen Pelos resultados do teste de Johansen, não podemos rejeitar nem H 0 e nem H 1. Pode não haver cointegração entre PETR3 e PETR4. test 10pct 5pct 1pct r <= r = Tabela 4 Resultado do teste de Johansen para PETR3 e PETR4 de 01/01/2008 até 01/05/2014. As matrizes α e β tais que Π = αβ utilizado nas equações 2.4 e 2.6 do modelo VECM também foram obtidas: β = α = VALE3 e VALE5 O próximo par de ativos será VALE3 e VALE5 pois estes ativos são tão importantes quanto os anteriores na composição do índice IBOVESPA. Estes ativos pertencem a mesma empresa, Vale do Rio Doce, e os motivos da seleção são os mesmos que de PETR3 e PETR4. Os dados utilizados para os testes de cointegração são os preços de fechamento dos pregões que compreende o período de 01 de Janeiro de 2008 até 01 de Maio de 2014 dos ativos VALE3 e VALE Método de Engle-Granger Os resultados das estimações do método de Engle-Granger para os ativos VALE3 e VALE5 podem ser vistos nas tabelas 5 e 6. Os p-valores do primeiro passo e segundo passo são < e respectivamente e indicam a cointegração dos ativos. O p-valor do segundo passo está um pouco alto porém ainda é menor que o valor crítico

36 Capítulo 7. Resultados 35 Figura 2 Gráfico dos preços de fechamento de VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/2014. Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) b <2e-16 a <2e-16 Tabela 5 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/2014. Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) φ φ θ α Tabela 6 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/ Teste de Phillips-Ouliaris O teste de Phillips-Ouliaris classificou o par VALE3 e VALE5 como não cointegrados. O resultado de saída do teste é a regressão: O valor do teste (P u ) é que está abaixo do valor de 10% de confiança.

37 Capítulo 7. Resultados 36 Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) z[, 1] <2e-16 Tabela 7 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/ Teste de Johansen Pelos resultados do teste de Johansen, não podemos rejeitar nem H 0 e nem H 1. Pode não haver cointegração entre VALE3 e VALE5. test 10pct 5pct 1pct r <= r = Tabela 8 Resultado do teste de Johansen para VALE3 e VALE5 de 01/01/2008 até 01/05/2014. As matrizes α e β tais que Π = αβ utilizado nas equações 2.4 e 2.6 do modelo VECM também foram obtidas: β = GGBR3 e GGBR α = Os ativos GGBR3 e GGBR4 também é um par de papéis relacionados à mesma empresa, Gerdau. Estes papéis não apresentam problemas de liquidez também para os casos onde as quantidades negociadas não são tão grandes. Os dados utilizados para os testes de cointegração são os preços de fechamento dos pregões que compreende o período de 01 de Janeiro de 2009 até 01 de Maio de 2014 dos ativos GGBR3 e GGBR Método de Engle-Granger Os resultados das estimações do método de Engle-Granger para os ativos GGBR3 e GGBR4 podem ser vistos nas tabelas 9 e 10. Portanto, o método de Engle-Granger também confirma a cointegração entre GGBR3 e GGBR4 com o p-valor do primeiro passo igual a < e segundo passo igual a

38 Capítulo 7. Resultados 37 Figura 3 Gráfico dos preços de fechamento de GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/2014. Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) b <2e-16 a <2e-16 Tabela 9 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/2014. Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) φ φ θ α Tabela 10 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/ Teste de Phillips-Ouliaris O teste de Phillips-Ouliaris classificou o par GGBR3 e GGBR4 como cointegrados. O resultado de saída do teste é a regressão:

39 Capítulo 7. Resultados 38 Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) z[, 1] <2e-16 Tabela 11 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/2014. O valor do teste (P u ) é que está acima do valor de 1% de confiança Teste de Johansen Pelos resultados do teste de Johansen, não podemos rejeitar H 0. Provavelmente há cointegração entre GGBR4 e GGBR3. test 10pct 5pct 1pct r <= r = Tabela 12 Resultado do teste de Johansen para GGBR3 e GGBR4 de 01/01/2009 até 01/05/2014. As matrizes α e β tais que Π = αβ utilizado nas equações 2.4 e 2.6 do modelo VECM também foram obtidas: β = IBOVESPA e BOVA α = Neste caso, os ativos escolhidos são o índice IBOVESPA e o ETF BOVA11. O ativo IBOVESPA não é negociado no mercado à vista porém o consideramos negociável e reduzimos o seu valor nominal na ordem de 1000 para facilitar os cálculos. Os dados utilizados para os testes de cointegração são os preços de fechamento dos pregões que compreende o período de 01 de Janeiro de 2009 até 01 de Maio de 2014 do índice IBOVESPA e do ativo BOVA Método de Engle-Granger Os resultados das estimações do método de Engle-Granger para os ativos IBO- VESPA e BOVA11 podem ser vistos nas tabelas 13 e 14.

40 Capítulo 7. Resultados 39 Figura 4 Gráfico dos preços de fechamento de IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/2014. Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) b e-11 a < 2e-16 Tabela 13 Resultado do primeiro passo do método de Engle-Granger para IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/2014. Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) φ φ θ α Tabela 14 Resultado do segundo passo do método de Engle-Granger para IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/2014. O método de Engle-Granger também confirma a cointegração entre IBOVESPA e BOVA11 com o p-valor do primeiro passo igual a < e segundo passo igual a Teste de Phillips-Ouliaris O teste de Phillips-Ouliaris classificou o par IBOVESPA e BOVA11 como cointegrados. O resultado de saída do teste é a regressão:

41 Capítulo 7. Resultados 40 Estimado Desvio Padrão valor-t Pr(> t ) z[, 1] <2e-16 Tabela 15 Resultado do método de Phillips-Ouliaris para IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/2014. O valor do teste (P u ) é que está acima do valor de 1% de confiança Teste de Johansen Pelos resultados do teste de Johansen, não podemos rejeitar H 0. Provavelmente há cointegração entre IBOVESPA e BOVA11. test 10pct 5pct 1pct r <= r = Tabela 16 Resultado do teste de Johansen para IBOVESPA e BOVA11 de 01/01/2009 até 01/05/2014. As matrizes α e β tais que Π = αβ utilizado nas equações 2.4 e 2.6 do modelo VECM também foram obtidas: β = α = IBRX50 e PIBB11 Assim como no exemplo IBRX50 e PIBB11 são respectivamente um índice e um ETF. O índice IBRX50 também teve seu valor nominal dividido por 1000 para facilitar os cálculos no algoritmo. Os dados utilizados para os testes de cointegração são os preços de fechamento dos pregões que compreende o período de 01 de Janeiro de 2009 até 01 de Maio de 2014 do índice IBRX50 e do ativo PIBB Método de Engle-Granger Os resultados das estimações do método de Engle-Granger para os ativos IBRX50 e PIBB11 podem ser vistos nas tabelas 17 e 18.