UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A GEOMETRIA DO VaR: (Value at risk) Aplicações computacionais AUTOR: RODOLFO VENDRASCO TACIN PROFESSOR ORIENTADOR: FÁBIO GOMES FIGUEIRA TRABALHO DE GRADUAÇÃO A e B PROF. ARTHUR DAREZZO FILHO São Carlos, 24 de Novembro de 2003

2 1. INTRODUÇÃO Nos últimos tempos, as pessoas estão procurando investimentos mais atrativos do que a tradicional poupança. Isto é o que mostra a Revista Isto é Dinheiro, de 18 de Junho de 2003 Nº 303, página 14. Diante disso, surge a preocupação em classificar e ordenar os investimentos a fim de que as pessoas não tenham surpresas constrangedoras no mercado financeiro. As pesquisas nessa área crescem a cada dia, fruto do ótimo desempenho do mercado de ações (em geral) e da estabilidade monetária que o Brasil vive atualmente, juntamente com o grande interesse nas pesquisas de empresas ligadas ao setor financeiro. Assim, nesse trabalho abordaremos de uma forma sistemática os investimentos em ações, os quais possuem um alto risco para uma pessoa comum, que não tem o mínimo conhecimento da área econômica, ou não acompanha o mercado financeiro. O nosso propósito nesse trabalho é montar um roteiro estabelecendo algumas regras matemáticas/estatísticas para a escolha das melhores ações para investimentos e a porcentagem de investimento em cada ação, formando assim, o que chamamos de Carteira de Investimento ou Portfólio. Além disso, abordaremos a administração constante da uma carteira, seguindo as tendências do mercado (incertezas). Para isso, contaremos com programas desenvolvidos (Microsoft Visual Basic 6, Excel 2000) que executarão as Teorias de cálculos de risco: VaR (Value at Risk) e a diversificação de Markowitz, que constitui a fronteira ótima de um investimento (uma geometria). É nessa geometria ou fronteira ótima que teremos que concentrar nossos investimentos a fim de obter bons resultados: aumentando o rendimento para um nível de risco fixado, ou minimizando o risco para um dado retorno.

3 2. O QUE É A TEORIA DO VaR (Value at Risk)? Para se proteger contra os riscos de mercado, as empresas procuraram aperfeiçoar seus sistemas de controle, por meio de bases mais técnicas e científicas, através de previsões e projeções sobre o comportamento futuro de ativos e passivos. Diversas são as metodologias para se mensurar o risco de um ativo ou de uma carteira. O maior desafio dos Mercados Financeiros e de Capitais é o de combinar a máxima rentabilidade com um baixo risco. A crescente sofisticação dos mercados globais tem exigido dos investidores a utilização de estratégias que maximizem a rentabilidade das suas carteiras de investimentos, minimizando o risco do portfólio. O objetivo deste trabalho é analisar como a formação de carteiras de investimentos pode proporcionar relações risco/retorno mais vantajosa para o investidor. A princípio, estaremos exemplificando a Teoria a partir de uma série histórica de preços de ações de três empresas do mercado brasileiro: Vale do Rio Doce, Petrobrás e Itaú Banco. Destas ações serão determinadas, através de métodos estatísticos, as medidas básicas de risco de investimento, isto é, o risco é calculado através do VaR (Value at Risk). Em seguida, os ativos serão agrupados em uma carteira para determinar a melhor combinação entre eles como forma de diluir o risco através do efeito diversificação. 3. DIVERSIFICAÇÃO DO RISCO - A FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ Harry Markowitz (1952), em seu artigo Portfolio Selection, estruturou as bases sobre as quais se firmou a Moderna Teoria de Investimentos. De acordo com sua teoria, os investidores podem determinar todas as carteiras ótimas, no sentido risco e retorno, e formar a fronteira eficiente. A fronteira eficiente pode ser descrita como o melhor conjunto possível de carteiras, isto é, todas as carteiras têm o mínimo nível de risco para dado nível de retorno. Os investidores se concentrariam na seleção de uma melhor carteira na fronteira

4 eficiente (curva) e ignorariam as demais consideradas inferiores (representadas por pontos pretos no gráfico-1). Gráfico 1 A fronteira eficiente de Markowitz A fronteira eficiente é demonstrada graficamente pela parte superior da borda formada por todo o conjunto de combinações de carteiras, no Gráfico 1. O investidor pode escolher a melhor carteira e ignorar as inferiores. O ponto MV (Mínima Variância) é a carteira com mais baixo nível de variância (ou risco). 4. TRATAMENTO DOS DADOS Foi recolhida uma amostra dos retornos nominais diários das ações do Itaú Banco PN N1, Petrobrás PN e Vale do Rio Doce PNA, referentes ao período de junho/01 a dezembro/2002. Todos os dados foram extraídos do banco de dados infomoney (sítio da Internet), com o objetivo de minimizar o risco através do efeito da diversificação. O risco individual dos ativos, neste momento, deixa de ter importância, pois o risco da carteira é o que será considerado, bem como o efeito da introdução de ativos nessa carteira.

5 Através da ferramenta de Análise de dados do Excel, foram montadas as matrizes de Covariância, para o cálculo da Variância da Carteira e do seu Desvio Padrão. A Covariância é uma medida estatística que resume em um número, a tendência da relação entre uma ação e o seu índice de mercado. Para efetuar esses cálculos, precisamos, primeiramente definir ações com baixa correlação. Assim, quanto menor for a correlação entre as ações, melhor será a escolha, pois estarão anticorrelacionadas. Isso implica, teoricamente, que quando uma ação desta carteira tiver desvalorização, as outras ações podem não ter essa mesma tendência de desvalorização, ao contrário, podem até ter alta nos preços, o que facilita a manutenção do retorno diário esperado da carteira. Para entender melhor esse conceito, imagine uma carteira com ações da empresa Perdigão e da Sadia. Como ambas pertencem ao mesmo seguimento, ou seja, são do ramo de alimentos, certamente que, se houver uma desvalorização na venda de derivados de suínos, por exemplo, ambas terão queda no preço das ações. Assim, estarão com o índice de correlação muito alto. Entretanto se diversificarmos a carteira, obtendo ações anticorrelacionadas, Petrobrás e Sadia, por exemplo, teremos um risco menor. Isso porque se o preço do petróleo cair, pode acontecer de os preços dos alimentos permanecerem constantes ou até mesmo subirem, elevando assim o preço das ações e, dessa forma, equilibrando a carteira de investimento. A seguir, vemos na tabela 1, a matriz de correlação das empresas escolhidas, na qual podemos evidenciar que a Vale do Rio Doce PN tem um índice de correlação muito pequeno com a Itaú Banco PN, e um índice de correlação muito alto com a Carteira. Mas, em geral, as ações escolhidas têm baixa correlação entre si. itau Petr vale Carteira itau 1 0, , , petr 1 0, , vale 1 0, carteira 1 Tabela 1 - Matriz de Correlação

6 O que a baixa correlação implica? A baixa correlação entre as ações implica que o VaR (Value at Risk) ou valor sobre o risco seja minimizado. No mercado de ações enfrentamos todos os dias as baixas e as altas dos preços das ações (a volatilidade), entretanto o comportamento de uma ação num determinado período segue uma distribuição normal. A distribuição Normal nada mais é do que o número de incidências de um determinado evento (no caso a variação diária do preço da ação em %) estar em torno de um valor X (como mostra o Gráfico 2). Se X for igual a zero (zero não precisando ser necessariamente o ponto de máximo), e a área à direita de X é maior do que a área à esquerda, significa que a ação está valorizando, caso contrário a ação estará perdendo valor. Contudo, com a distribuição Normal do Gráfico 2 não podemos prever com muita precisão o quanto a ação poderá desvalorizar ou valorizar, isto é, estimar uma variação. Isso ocorre porque a área abaixo do gráfico é muito disforme, ou seja, a desvio padrão (distância entre o valor mínimo e o valor máximo) é muito grande e, além disso, a incidência de valores atípicos (distante de X) é bem freqüente. E é isso que podemos ver no gráfico 2. Gráfico 2 Variação diária de uma carteira com uma ação ou com ações com índice de correlação alto.

7 Já uma combinação de ações com baixa correlação entre si, reduz a margem de variação diária do investimento (ou da carteira), ou seja, o desvio padrão diminui, e conseqüentemente o VaR diminui. Como mostra o Gráfico 3. Gráfico 3 - Variação diária de uma carteira com algumas ações anticorrelacionadas. Com um desvio padrão pequeno, podemos prever ou estimar uma rentabilidade média com maior precisão, e assim, nos aproximar com maior sucesso de um possível resultado (ganhos ou perdas) da carteira após um período. Voltando ao nosso exemplo: uma carteira composta por ações da Itaú Banco PN N1, Petrobrás PN e Vale do Rio Doce PNA, pudemos, através de uma planilha eletrônica (no caso o Microsoft Excel 2000) construir o Gráfico 4 que relaciona a variação das 3 ações individualmente e da carteira..

8 Gráfico da Frequência da Variação diária Nº de Ocorrências Itáu Petrobrás Vale Carteira ,5-2 -0,5 1 2,5 4 Variação Diária (em %) carteira. Gráfico-4 Variação diária/nº de ocorrências das ações individuais e da Através do Gráfico 4, podemos notar que realmente, a variação diária da carteira (em %) tem um desvio padrão menor do que o das ações individualizadas. Com isso, torna-se mais interessante a combinação dessas ações (a carteira) para realizar um investimento. Mas como se formula a carteira, isto é, como se estabelece a porcentagem de investimento de cada ação na carteira? Para se chegar a carteira que vemos no Gráfico 4, temos que fazer alguns cálculos, e esta é a Teoria de Markowitz. Através da Teoria de Markowitz, que é um conjunto de cálculos matemáticos e estatísticos (envolve matriz de covariância, análise de correlação entre as ações, média das variações diárias, etc), podemos chegar às porcentagens relativas a cada ação dentro de uma carteira.

9 cálculos. Em nosso trabalho, transmitimos a idéia de como são feitos esses 5. METODOLOGIA DE APLICAÇÃO Como pudemos evidenciar, muitos são os cálculos para determinar a porcentagem de investimento em cada ação e quais as ações que poderemos escolher para o nosso Portfólio (correlação). Assim, torna-se imprescindível o desenvolvimento de um software que possa realizar os cálculos, tornando a teoria acessível para pessoas leigas em matemática e estatística e ao mesmo tempo fazendo com que o processo de cálculo fique mais rápido e preciso. Ou seja, sem o uso de uma linguagem de programação, seria inviável realizar todos esses cálculos diariamente, tornando a aplicação da teoria uma utopia. Com isso, pudemos fazer algumas estimativas da eficácia do processo através de cálculos feitos no Excel montando uma linha de programação na linguagem Visual Basic, ou seja, unindo a teoria matemática com a computação. Num primeiro momento, desenvolvemos uma linha de programação dentro do próprio Excel 2000 (o programa SAP Sistema de Atualização de Portfólios), utilizando um Editor do Visual Basic que se encontra inserido em Macros do Microsoft Excel. Já num segundo momento, desenvolvemos um programa um pouco mais elaborado (com mais recursos). Batizamos este programa como: S@Car - Sistema de Administração de Carteiras de Ações. A partir do S@Car foi possível desenvolver a teoria de Markowitz e analisar alguns dados quanto a metodologia de cálculo e o comportamento da carteira ao longo de um período. Podemos ver na próxima figura o aspecto visual do programa S@Car.

10 Figura 1 Apresentação visual do Programa: Sistema de administração de Carteiras de Ações S@Car. 6. CONCLUSÕES Dentre as principais conclusões que pudemos estudar com a Teoria Markowitz aplicada à Informática, temos: Nesta teoria não podemos fixar a rentabilidade. Por isso, desenvolvemos uma sistemática de cálculos nos quais levamos em conta a relação risco/retorno, ou seja, uma tangente à curva (fronteira eficiente. Caso não usássemos esse sistema, teríamos o seguinte problema:

11 Gráfico 5 Análise dos resultados (Fronteira Eficiente) Podemos ver no Gráfico 5, a fronteira eficiente representada pela curva 1, tendo o ponto P1 como a menor variância. Essa fronteira foi obtida fazendo os cálculos entre junho de 2001 e dezembro de 2002 através do programa SAP. A partir daí, fixamos uma rentabilidade de 0,085%, ou seja, fixamos o nosso ponto na reta horizontal (tracejada vermelha no gráfico passando por P1) e alimentamos o programa com novos dados (até junho de 2003). No entanto após o período de inserção de dados, fazendo uma análise da nova fronteira eficiente, constatamos que nossa escolha não era boa, pois obtemos uma nova fronteira (representada pela curva 2 azul no Gráfico 5). E com um mesmo risco, poderíamos nos localizar no ponto P3, onde a rentabilidade seria maior. Outra conclusão que pudemos evidenciar é o fato de que se considerarmos a relação entre risco/retorno, (não fixando o retorno ou risco), teremos uma variação nas porcentagens de investimentos muito pequena dentro de um período muito grande. Isso diminui o valor gasto com corretoras de investimentos e sugere que o método pode ser melhorado ainda mais para se obter grandes resultados.

12 7. BIBLIOGRAFIA a) Monografias (livros) HALFELD, M. // Investimento: Como administrar melhor o seu dinheiro // Editora Fundamento Educacional, 2001 // 1ª edição, HULL, J. // Introdução aos Mercados de futuros e de Opções // Editora Cultura Editores Associados // 2ª edição; PASSOS, C. R. M.; NOGAMI O., // Princípios de Economia // Editora Pioneira // 3ª edição; ELTON, E. J. // Modern Portfolio Theory and Investment Analysis // John Wiley & Sons, 2002 // 6ª edição; HAUGEN, R.A. // Modern Investment Theory // Prentice Hall, 2000 // 5ª edição. HOLZNER, S. // Visual Basic 6 // Programação básica // Editora Ciência Moderna, 1999; b) www page FOLHA INVEST // Simulador de carterias // URL: // Consultado constantemente durante o 1º Semestre de 2003; INFOMONEY // Consultas de históricos dos preços das ações // URL: // Consultado em 16/06/03.