Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

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1 Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

2 Aula 14: A Matemática Grega: Pitágoras e os Pitagóricos 17/04/2015 2

3 Pitágoras de Samos Aproximadamente 572 a.c. Discípulo de Tales de Mileto, fortemente influenciado pela Matemática Babilônica. 17/04/2015 3

4 Os Pitagóricos Fundou a Escola Pitagórica centro de estudos religiosos, científicos e filosóficos. Irmandade unida por ritos e cerimônias secretas. Filosofia Amor a sabedoria. Matemática O que é aprendido. Acreditavam que os números inteiros positivos são a causa das características do homem e da matéria. Tratavam a Matemática de maneira filosófica e abstrata, desvinculada dos problemas práticos. 17/04/2015 4

5 Teoria dos Números A Escola Pitagórica cálculos 17/04/2015 5

6 Contribuição dos Pitagóricos Elevar a ciência dos números (Aritmética) e da Geometria à categoria das artes maiores. Estabelecer o princípio de que uma proposição científica deve ser totalmente convincente, isto é, verdadeiramente demonstrada. 17/04/2015 6

7 Contribuição dos Pitagóricos Classificação dos números pares e ímpares, primos e compostos, amigos, perfeitos e figurados Métodos geométricos para demonstrar identidades algébricas Demonstração do Teorema de Pitágoras Propriedades dos números inteiros MDC e MMC Construção de figuras geométricas Soma dos ângulos internos de um polígono Sólidos Regulares Tetraedro, cubo e dodecaedro 17/04/2015 7

8 Classificação dos Números Acreditavam que uma das características principais das coisas reside no fato de elas poderem ser organizadas e distinguidas. Números Pares Aqueles que podem ser divididos em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio. Ilimitado, mau, fêmea Números Ímpares Aqueles que não podem ser divididos em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio. Limitado, bom, macho 17/04/2015 8

9 Números Pares e Ímpares número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o número 2, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par, 2. (Luchetta, V. O. J., 2000) 10 = = = = = = /04/ Par Ímpar

10 Números Perfeitos Número Perfeito dfdfd É aquele que a soma de seus fatores, com exceção dele mesmo, é igual ao número. Exemplos: 6 = e 28 = Número Deficiente É aquele que cuja não soma de seus fatores próprios é menor que o próprio número. Exemplo: 16 > Número Excessivo É aquele que cuja não soma de seus fatores próprios é maior que o próprio número. Exemplo: 30 < /04/

11 Números Amigos Dois números são amigos se a soma dos fatores próprios de um é o outro. Exemplo: Amigo é alguém que é o outro eu, tal como são 220 e 284. Fermat (1636) descobriu que e são amigos. Euler (1740) descobriu 62 pares de números amigos. Paganini (1866) mostrou que 1184 e 1210 são amigos. 17/04/

12 Números Primos Um número natural p 1 é chamado Número Primo se, e somente se, seus únicos divisores são 1 e p. Os gregos formalizaram a ideia de escrever números como produto de primos. Teorema Fundamental da Aritmética: Todo número natural maior que 1 pode ser decomposto de maneira única em um produto de números primos. 17/04/

13 Números Figurados Os pitagóricos eram observadores atentos de formas geométricas, foram os primeiros a chamar de Números Figurados os números que resultam de arranjos com pontos ou pedrinhas na areia de modo a formar figuras geométricas. Das configurações numéricas, os pitagóricos tiravam suas conclusões. 17/04/

14 Números Triangulares T 5 = = 15 T 6 = = 21 n + 1 T n = n 1 + n n + 1 T n = n(n + 1) 17/04/

15 Números Quadrados Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares consecutivos. 17/04/

16 Números Quadrados = = = = 5 2 (3,4,5) Esta terna era especial pois 3 representa o macho, 4 é a fêmea e 5 é o casamento que os une no triângulo pitagórico (retângulo). 17/04/

17 Ternos Pitagóricos x 3 (3,4,5) (6,8,10) (9,12,15) x 2 ( 11,60,61) (12,35,37) (28,45,53) Quando a soma de dois números quadrados resulta em outro número quadrado, os três inteiros positivos formam um Terno Pitagórico. Há evidências que Babilônicos e Egípcios antigos conheciam alguns desses ternos, muito antes de Pitágoras. 17/04/

18 Vestígios de Ternos Pitagóricos na Tábua de Plimpton (1800 a.c.) A segunda coluna possui os valores da largura, ou seja, de um cateto b A terceira coluna são os valores da diagonal, ou seja, a hipotenusa c 17/04/

19 O Teorema de Pitágoras Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois lados restantes. c 2 = a 2 + b 2 17/04/

20 O Teorema de Pitágoras Este teorema indica que os gregos conseguiram estabelecer uma ligação abstrata entre os números e as figuras, o que representa um importante esforço intelectual. Também prova que tinham aprendido a demonstrar, e não apenas a persuadir, o que representa um considerável salto cognitivo. 17/04/

21 Outras contribuições dos Pitagóricos Números irracionais e discussão do problema da incomensurabilidade. Que será tratado juntamente com o Problema da Medida 17/04/

22 Bibliografia ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, BOYER, C. História da Matemática, São Paulo : Edgard Blucher, EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, Luchetta, V. O. J. Números pares e ímpares, Imática, disponível em < > 17/04/

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