Experimento. Guia do professor. Duplicação do Cubo. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia. Ministério da Educação

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1 geometria e medidas Guia do professor Experimento Duplicação do Cubo Objetivos da unidade Experimentalmente, obter a aresta de um cubo, que possui o dobro do volume de um outro cubo de arestas já conhecidas; 3 Obter numericamente um valor aproximado de 2 ; Desenvolver a noção de número irracional. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Duplicação do Cubo Guia do professor Sinopse Nesta atividade exploramos experimentalmente o problema clássico da duplicação de um cubo para, a partir disso, introduzir o número irracional e calcular numericamente a sua representação decimal com um determinado número de casas decimais. Conteúdos Números, Conjuntos Numéricos; Geometria Espacial, Geometria Métrica Objetivos Experimentalmente, obter a aresta de um cubo, que possui o dobro do volume de um outro cubo de arestas já conhecidas; 3 Obter numericamente um valor aproximado de 2 ; Desenvolver a noção de número irracional. Duração Uma aula dupla.

3 Desde meados do século V a.c. o problema da duplicação do cubo foi amplamente discutido pelos matemáticos gregos. Esse problema tem um enunciado muito simples: dado um cubo de aresta conhecida, qual deve ser a aresta do cubo que tem o dobro do volume do primeiro? Há uma lenda que diz que os deuses enviaram uma peste que dizimou um quarto da população ateniense. Para saber como se livrar da peste, um grupo de sábios foi até o oráculo do deus Apolo e a solução proposta pelo oráculo foi que dobrassem o volume do altar cúbico de Apolo. Apesar da aparente simplicidade do problema, os gregos não conseguiram resolvêlo utilizando apenas suas técnicas de construção com compasso e régua não-graduada. Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da álgebra, foi demonstrado que é impossível fazer tal construção com esses instrumentos! Outras soluções utilizando diferentes recursos foram apresentadas. Entre elas, se destacam a solução de Arquitas (cerca de 400 a.c.), a de Platão (340 a. C.), a de Eratóstenes (cerca de 230 a. C.), a de Viète (1593) e de Descartes (1637). Esse experimento tratará, na sua primeira parte, de uma busca geométrica e experimental por um valor aproximado do número irracional e analisar uma relação entre as arestas de dois cubos, um com o dobro do volume do outro. Na segunda parte, será feita uma busca numérica para uma aproximação do número.

4 O problema clássico descrito servirá de motivação para desenvolvermos esse experimento. Pode ser sugerido aos alunos que inicialmente façam uma pesquisa histórica sobre os três problemas clássicos da geometria grega: a quadratura do círculo, a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo. Comentários iniciais Métodos diversificados para aprendizagem, como o uso de massa de modelar, despertam o interesse do aluno, estimulando sua participação e contribuindo para uma melhor compreensão do conteúdo. A calculadora constitui ferramenta auxiliar na obtenção das aproximações do número irracional. Construção de cubos O objetivo principal desta etapa é observar que o volume do cubo maior é o dobro do volume do cubo menor. É esperado que esse fato seja percebido por meio da visualização do processo de construção dos dois cubos. Além disso, o aluno deve se ater ao fato de que os diversos grupos encontram, para a razão entre arestas dos dois cubos, números bem próximos. Na etapa seguinte, há uma justificativa para essa proximidade, mostrando que a razão é uma constante.

5 O valor da Razão O propósito desta etapa é mostrar, utilizando resultados teóricos, que a razão entre as arestas dos dois cubos é igual a. É importante observar que na Etapa 1 foi obtido experimentalmente um valor próximo a para essa razão. Debatendo com os alunos sobre a proximidade das razões, atente para o fato de que existem imprecisões nos cálculos devido a erros na modelação dos cubos e na medição das arestas. Um fato muito importante com respeito ao número é que ele não possui uma representação decimal exata, nem uma representação decimal infinita periódica, ou seja, é um número irracional. Considerando o conjunto dos números inteiros, podemos definir o conjunto, dos números racionais, como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros, e,. Escrevemos. Pode ser provado que todo número racional tem uma representação (expressão) decimal exata ou uma representação decimal infinita periódica e, reciprocamente, toda representação decimal, exata ou infinita periódica, representa um número racional. Ver Niven, p , p Definição de número irracional Um número irracional é todo número real que tem uma expansão decimal infinita não periódica. Assim, todo número irracional não pode ser escrito na forma, onde e são números inteiros e q é diferente de zero. Os números e são números irracionais supostamente conhecidos pelos alunos. Também, o número é outro irracional. Além disso, podese concluir que os números,,,,, são números irracionais. Com isso, pode-se intuir que existe uma infinidade de números irracionais, na verdade pode-se provar isto no Ensino Médio, sem maiores esforços do que a demonstração de que é irracional. O conjunto de todos os números irracionais pode ser representado por. A reunião de todos os números racionais e irracionais resulta no conjunto

6 dos números reais, denotado por. Assim, a união do conjunto com o conjunto é o conjunto. E também o conjunto intersecção com o conjunto é igual ao conjunto vazio. Uma aproximação decimal para Nesta etapa é utilizado um algoritmo para a determinação de uma aproximação numérica para o número irracional. Os alunos podem ter dificuldade no procedimento a ser desenvolvido. É importante que o professor fique atento ao trabalho deles para uma orientação sempre que necessário. A escolha do intervalo inicial é de competência do aluno. Pode ser escolhido pelo aluno qualquer intervalo com extremidades e que satisfaça a condição. Porém, se o intervalo escolhido tiver como extremidades dois números consecutivos, ou seja, e, o trabalho é facilitado. Dica para o uso da calculadora Numa calculadora simples que repete a última operação efetuada ao pressionar a tecla [ ], o valor pode ser obtido pressionando as teclas na seguinte sequência: [ ], [ ], [ ], [ ].

7 Não é intuitivo para o aluno que é um número irracional. Uma sugestão para o professor é levantar entre os alunos uma discussão sobre quantas vezes deve-se repetir o procedimento da etapa 3 para encontrar um número decimal que seja uma aproximação melhor de. É importante que o aluno sinta a curiosidade de saber se o procedimento termina resultando em uma representação exata ou continua resultando numa dízima periódica ou em uma representação decimal infinita não periódica. Devido à dificuldade para se chegar a uma conclusão/resposta, esperase que o aluno sinta a necessidade de uma demonstração como está apresentada no fechamento do experimento. Sugestão de leitura O artigo A duplicação do cubo: Como usá-la em sala de aula de matemática, de Eduardo Sebastiani Ferreira, apresenta diversas soluções para o problema da duplicação do cubo. Entre elas, estão a solução de Platão obtida por construção mecânica, e a de Arquitas, obtida pela intersecção de sólidos no espaço.

8 Na etapa 2 do experimento, ao obter como relação entre as arestas dos dois cubos cujos volumes estavam na razão para, observa-se que a razão entre os volumes dos dois cubos é o cubo da razão de entre suas arestas. Essa razão, na verdade, é a razão de semelhança entre os dois cubos. Desse modo, o cubo da razão de semelhança é igual à razão entre seus volumes. Este experimento pode então ser utilizado com esse enfoque: ampliar o conceito de semelhança entre figuras espaciais e a relação entre os volumes de sólidos semelhantes.

9 Boyer, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, Eves, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, Ferreira, E. Sebastiani. A duplicação do cubo: Como usá-la em sala de aula de matemática. Cadernos cedes, 40, História e Educação Matemática. Campinas: Papirus, Lima, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: sbm, v. 1. (Coleção do Professor de Matemática) Lima, E. L. et al. Medida e Forma em Geometria. Rio de Janeiro: sbm, (Coleção do Professor de Matemática) Niven, I. Números Racionais e Irracionais. Rio de Janeiro: sbm, (Coleção do Professor de Matemática) Kumayama, H., Wagner, E. Vamos usar a calculadora? Revista do Professor de Matemática, n. 26, p , 2º semestre, 1994.

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11 Ficha técnica Autores Claudina Izepe Rodrigues, Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico Preface Design Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

12 Folha do aluno Geometria e medidas Comentários iniciais Um dos problemas mais conhecidos da Matemática grega é o da duplicação do cubo. Ele consiste em construir um cubo com o dobro do volume de um outro cubo de medidas já conhecidas. Vamos tentar resolver esse desafio? Construção dos cubos Construa um cilindro com sua massa de modelar e divida-o em três partes iguais com o auxílio de uma régua, conforme a figura 1. Notem que: Dessa forma vocês construíram dois cubos, um com o dobro do volume do outro! Chamem a aresta do cubo menor de a e a do cubo maior de b. Meça as arestas a e b e preencha a tabela. Repita o procedimento mais duas vezes com quantidades diferentes de massa para preencher totalmente a tabela 1. a b b/a Construção 1 Construção 2 Construção 3 Valor médio da razão Cercando o 3 2 O valor de 3 2 Utilizando o procedimento explicado pelo professor, encontre as seguintes aproximações de 3 2 e preencha a tabela 2. Sem casas decimais Uma casa decimal Duas casas decimais Três casas decimais Quatro casas decimais Cinco casas decimais Aproximação por falta Aproximação por excesso tabela 1 tabela 2 fig. 1 Foto do procedimento Forme um cubo com uma dessas partes e outro cubo juntando as outras duas partes; Pense e responda Você é capaz de encontrar uma representação decimal exata para 3 2? Duplicação do Cubo Folha do aluno