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João Chaves Lancastre
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1 O Período Pré-Industrial e a Geometria Euclidiana

2 Os números racionais Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse. 0, 13, 35, 98, 1.024, Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. i Não havia mais necessidade d de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.

$Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários.$

3 O Número de Ouro - Secção Áurea As Pirâmides de Giza no Cairo utiliza a relação áurea. Os egípcios foram os primeiros a usar matemática na arte Os egípcios foram os primeiros a usar matemática na arte. Eles atribuíam propriedades mágicas à seção áurea e usavam esta relação para construir as pirâmides.

Os egípcios foram os primeiros a usar matemática na arte Os egípcios foram

4 O Número de Ouro - Secção Áurea

5 O Número de Ouro - Secção Áurea Se examinarmos da seção transversal da pirâmide, observamos um triângulo retângulo, também conhecido por triângulo egípcio. A relação da altura inclinada da pirâmide (hipotenusa do triângulo) e a distância do centro na terra (metade da dimensão baixa) é o número 1, que difere do phi por uma unidade d na quinta casa decimal. Se considerarmos o lado do triângulo em 2 unidades, então os lados do triângulo retângulo terá a proporção: 1: raiz quadrada de phi : phi, sendo que a altura da pirâmide é raiz quadrada de (phi).

A relação da altura inclinada da pirâmide (hipotenusa do triângulo) e a distância do centro na terra (metade da dimensão baixa) é o número

6 O Número de Ouro Secção Áurea David, de Miguel Ângelo Os temas e as técnicas do período clássico foram utilizados pelos artistas do renascimento. Michelangelo ( ) e Raphael ( ) inspiraram-se na relação áurea para construir suas composições. As proporções de David de Michelangelo são de acordo com a relação áurea.

Michelangelo (1475-1564) e Raphael (1483-1530) inspiraram-se na relação áurea para

7 O Número de Ouro - Secção Áurea Pitágoras ( BC), foi um geômetra grego que tinha especial interesse pela seção áurea. Ele provou que a base para as proporções humanas estão no segmento áureo. Mostrou também que o corpo humano deve ser construído, em suas partes pela proporção áurea. Detalhe de Pythagoras, no Quadro de Raphael - Escola de Atena.

Ele provou que a base para as proporções humanas estão no segmento áureo.

8 Os números racionais

9 Secção Áurea no Parthenon em Atenas As descobertas de Pitágoras sobre as proporções da figura humana tiveram grande efeito na arte grega. Cada parte do Parthenon, em Atenas, foi construída a partir da proporção áurea.

10 Secção Áurea no Parthenon em Atenas

11 Secção Áurea no Parthenon em Atenas

12 Secção Áurea no Parthenon em Atenas

13 Secção Áurea no Parthenon em Atenas

14 Templo Malatestiano O estudos de Alberti das proporções da fachada mostram a grande preocupação com as formas geométricas e com a simetria. Em 1456 em Florença ele foi encarregado da fachada da Igreja de Santa Maria Novelle, onde é visível o uso das formas consideradas perfeitas pelos clássicos: quadrado, triângulo e círculo. Ele projetou as igrejas de San Sebastiano e San Andrea (1470), ambas em Mântua. São os únicos edifícios inteiramente concebidos por Alberti.

Em 1456 em Florença ele foi encarregado da fachada da Igreja de Santa Maria Novelle, onde é visível o uso das formas

15 O Renascimento e a Matemática

16 Masaccio Trindade ( ) 28) Afresco (6.67 x 3.17 m) Santa Maria Novella, Florença De fato, a noção de identidade forjada pelo modelo racionalista de Descartes, que exige um distanciamento entre o sujeito que observa e aquilo ou aquele que é observado.

identidade forjada pelo modelo racionalista de Descartes, que

17 As produções deste período devem ser consideradas por suas características artesanais e pelas marcas individuais do criador deixado no objeto criado. Aqui, percebe-se que os aspectos geométricos de representação sustentam- se numa métrica plana dada, sem quaisquer instrumentos auxiliares de observação.

Aqui, percebe-se que os aspectos geométricos de representação sustentam- se

18 O Renascimento e a Matemática Na arquitetura havia um interesse muito grande na geometria, mas os artistas pareceram ter perdido todo o interesse na seção áurea. Lucas Pacioli ( ), era um geômetra e amigo dos pintores do renascimento e redescobriu "o segredo áureo". Ele realizou um livro sobre o número phi que foi ilustrado por Miguelangelo.

Lucas Pacioli (1445-1514), era um geômetra e amigo dos pintores do renascimento e

19 O Renascimento Lilian Schwartz, e a Matemática Mona/Leo,

20 O Renascimento e a Matemática

21 O Renascimento e a Matemática

22 Técnica utilizada para realizar perspectiva

23 Técnica utilizada para realizar perspectiva

24 O Renascimento e a Matemática

25 O Renascimento e a Matemática

26 O Renascimento e a Matemática

27 O Renascimento e a Matemática Visite o web site da Mona Lisa para ver as proporções áurea. Mona Lisa Applet ~jbritton/mona/jbmona.htm

28 O Renascimento e a Matemática

29 O Renascimento e a Matemática

30 O Renascimento e a Matemática

31 O Renascimento e a Matemática

32 A Arte e a Matemática As deduções euclidianas perduraram por anos como sendo o conhecimento matemático mais importante que herdamos do pensamento e grego. Talvez nenhum livro, além da Bíblia, tenha tido tantas edições como "Os Elementos de Euclides, mas, certamente, o seu conteúdo é o pensamento matemático que maior influência teve sobre a história da humanidade.

33 A Arte e a Matemática As deduções euclidianas perduraram por anos como sendo o conhecimento matemático mais importante que herdamos do pensamento e grego. Talvez nenhum livro, além da Bíblia, tenha tido tantas edições como "Os Elementos de Euclides, mas, certamente, o seu conteúdo é o pensamento matemático que maior influência teve sobre a história da humanidade.

34 A Arte e a Matemática As deduções euclidianas perduraram por anos como sendo o conhecimento matemático mais importante que herdamos do pensamento e grego. Talvez nenhum livro, além da Bíblia, tenha tido tantas edições como "Os Elementos de Euclides, mas, certamente, o seu conteúdo é o pensamento matemático que maior influência teve sobre a história da humanidade.

35 A Arte e a Matemática As deduções euclidianas perduraram por anos como sendo o conhecimento matemático mais importante que herdamos do pensamento e grego. Talvez nenhum livro, além da Bíblia, tenha tido tantas edições como "Os Elementos de Euclides, mas, certamente, o seu conteúdo é o pensamento matemático que maior influência teve sobre a história da humanidade.

36 A Arte e a Matemática As deduções euclidianas perduraram por anos como sendo o conhecimento matemático mais importante que herdamos do pensamento e grego. Talvez nenhum livro, além da Bíblia, tenha tido tantas edições como "Os Elementos de Euclides, mas, certamente, o seu conteúdo é o pensamento matemático que maior influência teve sobre a história da humanidade.

37 A Arte e a Matemática

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46 Técnica utilizada para realizar perspectiva

47 Técnica utilizada para realizar perspectiva

48 A Arte e a Matemática

49 A Arte e a Matemática

50 A Arte e a Matemática

51 Derivação geométrica do Teorema de Pitágoras a h a b C h = a + b D

52 Derivação geométrica das identidades algébricas (a + b) = a + 2ab + b a b a A C a + b D B b b a + b

53 Derivação geométrica das identidades algébricas (a - b) = a - 2ab + b a a -b b a - b A C a D B b b

54 Os Números Irracionais Teorema: Não existe números naturais p e q de tal maneira que p/q = 2 Demonstração: Suponha, pelo contrário, que existiam esses números p e q. Se p e q tiverem alguns fatores comuns, podemos anulá-los mas também podemos admitir que isso já foi feito anteriormente e que p e q não tem fatores comuns. Elevando ao quadrado a identidade p / q = 2 o resultado é: Que, ordenado de outra maneira, dá 2 2 p / q = 2 2 p = 2q 2 2 Esta equação diz-nos que p é um número par. Mas o quadrado de qualquer número par é par e o quadrado de qualquer número ímpar é um número ímpar.

55 Os Números Irracionais 2 Assim, como p é um número par, p também é par. Conseqüentemente, p é do tipo p = 2r para qualquer número natural r. Aí, substituindo p = 2r na identidade temos: 2 p = 2r 2 e 4r 2 = 2p 2 que, simplificando, dá 2 2r = q 2 Esta equação diz-nos que q é um número par. Deduz-se que, como no caso de p e q é também um número par. Acabamos de demonstrar que p e q são pares, o que contradiz o pressuposto assumido inicialmente de que p e q não tinham fatores comuns. Esta contradição implica que o pressuposto original, que admite a existência de números naturais p e q, deve ser falso. Ou seja, p e q com estas condições não existe.

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