Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão 10º B

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1 Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão 10º B David nº9 Ricardo Pereira nº15 Sílvia nº19 1

2 Introdução...3 O que é o número de ouro...4, 5 e 6 Quem foi Leonardo Fibonacci...7 Leonardo Da Vinci...8 O número de ouro na Antiguidade...9 e 10 Trabalhando no Geometer's Sketchpad...11 Bibliografia

3 Neste trabalho vamos começar por analisar o que é o número de Ouro e em seguida tentaremos explorar o que existe sobre o número de ouro na Antiguidade. Dada a importância dos pensadores e estudiosos Fibonacci e Leonardo Da Vinci, vamos também fazer uma pequena abordagem sobre as suas obras e vidas e ver o contributo dado para o estudo do número de ouro. 3

4 O número de ouro é um número irracional que surge em numerosos elementos da natureza na forma de uma razão. Este número é designado pela letra Φ, que é a inicial do nome de Fìbias, um escultor e arquitecto e que foi encarregado de construir em Atenas o Partenon. Este número pode ser obtido ao construir um rectângulo cuja razão entre o lado maior e o lado menor seja aproximadamente de 1, 618. A um rectângulo deste tipo chama-se rectângulo de ouro ou dourado. Um rectângulo nestas condições tem a particularidade de se poder dividir num quadrado e num novo rectângulo de ouro. Este processo pode ser repetido indefinidamente, mantendo-se a razão entre os lados de cada rectângulo constantemente igual ao número de ouro. Podemos depois traçar um quarto de circunferência em cada quadrado de modo a construir uma espiral. Esta espiral não é uma espiral verdadeira, uma vez que a sua curvatura não vai variando progressivamente. Matematicamente chama-se espiral equiângular ou logarítmica, mas é geralmente conhecida por espiral dourada. Na Natureza surge no girassol, nas pinhas e no nautilus. Esta é a forma também das garras, as presas e os chifres da maioria dos animais, a forma da casca do caracol, do ADN, dos tornados, das impressões digitais, do modo como se 4

5 comportam os líquidos e gases com diferentes densidades. Até as galáxias tem braços de estrelas que se estendem em gigantescas espirais equiângulares. Grande parte dos rectângulos que encontramos no nosso dia a dia (bandeiras, jornais, livros, janelas, fotografias, cartões de crédito, etc) são rectângulos dourados. Na Antiguidade entendiam o número de ouro como uma proporção: o ponto que divide um segmento de recta em duas partes tais que a razão entre a mais pequena e a maior era exactamente igual à razão entre a maior e todo o segmento. Se designarmos a parte maior por 1 e a parte menor por x 1 x, podemos escrever : =, em que x+1 representa o comprimento 1 x + 1 total do segmento de recta. Transformando essa expressão na sua forma quadrática x + x 1= 0obtemos a solução x= = 0, Se considerarmos x como sendo a parte maior e 1 como sendo a menor temos x= = 1, Este número designado actualmente pela 2 letra Φ, tem esta propriedade interessante do ponto de vista 2 matemático: Φ =Φ+ 1. Outra aproximação geométrica à divina proporção, pode ser feita através dum pentágono regular: B A O C E D AC ( AB =Φ a proporção entre qualquer dos lados e qualquer diagonal é a razão de ouro.) AC AO BD DO = = = = Φ (A intersecção de quaisquer duas diagonais define AB CO DO BO também a razão de ouro.) 5

6 Se desenharmos todas as diagonais, obteremos uma estrela de cinco pontas ou pentagrama, símbolo da Escola Pitagórica. Se colocarmos o pentagrama num circulo temos o pentáculo. Com tantas proporções divinas incorporadas, percebe-se agora porque ao pentagrama e principalmente ao pentáculo, sempre se atribuiu significados místicos e esotéricos. 6

7 ( ) Matemático italiano, nasceu em Pisa mas estudou matemática na Argélia. A sua obra mais conhecida, o Liber Abaci, publicada em 1202, deu a conhecer na Europa as matemáticas árabes e em particular, o sistema de numeração que é actualmente o que usamos. Viajou pela região do Mediterrâneo. No regresso a Pisa, cerca de 1200, começou a escrever sobre matemática. Em 1220, publicou Pratica Geometrie, na qual usou métodos algébricos para resolver muitos problemas aritméticos e geométricos. Em 1225, venceu um torneio de matemática na presença do imperador romano do Ocidente, Frederico II, na corte de Pisa. Liber Abaci foi um documento rigoroso sobre métodos algébricos e problemas, onde Fibonacci defendeu fortemente a introdução do sistema numérico indo-árabe, compreendendo os números de 1 a 9 bem como o número zero. Tratando sistematicamente operações com números inteiros, propôs igualmente ideia de um traço(solidus) para fracções. A contribuição de Fabionacci para o número de ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci. Surge assim uma sequência de números que têm a particularidade das sucessivas razões entre um número e o seu antecedente se aproximar do número de ouro. A partir de 1960 cresceu o interesse pelos números de Fibonacci que, na sua forma mais simples, consiste numa sequência em que cada número é a soma dos seus dois antecedentes( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...). Têm 7

8 características invulgares, com possíveis aplicações na botânica, psicologia e astronomia. Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da Vinci ( ). A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática e nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte.um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscrito na circunferência. 8

9 A história deste número tão enigmático perde-se na Antiguidade. Sabe-se que no Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face lateral e metade do lado da base da grande pirâmide é o número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípto) refere uma razão sagrada que se julga ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas obras da Antiguidade. Construído muitas centenas de anos depois, o Partenon grego, que é um templo representativo do século de Péricles, contém a razão de ouro no rectângulo da sua fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra com beleza e graciosidade. O escultor e arquitecto encarregado da construção do templo chamava-se Fídias e a designação adoptada para o número de ouro é a inicial do nome deste homem. Os gregos designavam este número por proporção divina. Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal. Não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado e o lado do pentágono regular inscrito numa circunferência.quando chegaram 9

10 a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam, pelo que o designaram por irracional. Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Posteriormente, ainda os gregos consideraram que o rectângulo cujos lados apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética que lhe chamaram rectângulo áureo ou rectângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão. Criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro. 10

11 No laboratório de Matemática da nossa escola o nosso grupo de trabalho pesquisou, construiu e analisou a seguinte construção : DE (m DC) = 1,618 C OE OD = 1,618 OE PE = 1,618 D O P E OD OP = 1,618 A B Escondendo o pentágono maior da figura obtivemos estas duas estrelas de cinco pontas ou pentagramas. 11

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