Aula prática de Cálculo Usando a planilha Excel

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1 Aula prática de Cálculo Usando a planilha Excel Prof. Ulysses Sodré Profa. Sônia Ferreira L. Toffoli Londrina-PR, 27 de Junho de 2007, arquivo: excel001.tex 1 Alça de preenchimento no Excel Ao selecionar as células de uma região, aparece um quadradinho de cor preta no canto inferior direito da região selecionada, denominado alça de preenchimento ou simplesmente alça. ➀ Inserir 1 na célula C1 e inserir 2 na célula C2 ➁ Selecionar a região C1:C2 para ver algo como 2 Limpando células na planilha Excel Normalmente uma célula vazia não deve ter conteúdo mas às vezes tem. ➀ Digite 123 na célula A1. ➁ Apague o 123 com a tecla DELETE. ➂ Esta célula ficará visualmente vazia, mas ainda conterá informações. ➃ Limpar de fato a célula A1, clicando em Editar Limpar Tudo. 3 Sequências aritméticas e geométricas Sequências aritméticas e geométricas aparecem em métodos estatísticos, crescimento populacional, decaimento radioativo, variação de temperatura em um corpo, Matemática Financeira e muitas outras situações de nossa vida. 3.1 Sequências aritméticas ➂ Arrastar a alça desde C2 até C11. Uma sequência aritmética é uma função f : N R definida por f(n) = f(1) + (n 1)r, em que f(1) é o primeiro termo, n é o número de termos e r é a 1 2

2 razão, obtida como a diferença entre um termo e o seu antecessor na sequência quando tratada no conjunto Im(f). 3.2 Progressão aritmética finita Construímos uma PA com 15 termos, onde o primeiro termo é f(1) = 7 e a razão é r = 3, com: ➀ Inserir uma nova planilha ➁ Inserir 7 na célula A1. ➂ Selecionar a região A1:A15 e clicar em Editar Preencher Seqüência. 3.3 Sequências geométricas Sequência geométrica é uma função f : N R definida por f(n) = f(1)q n 1 em que f(1) é o primeiro termo, n é o número de termos e q é a razão, obtida pela divisão entre um termo e o seu antecessor na sequência. 3.4 Progressão geométrica finita Construímos uma PG com 15 termos, onde o primeiro termo é f(1) = 7 e a razão é q = 3, com: ➀ Inserir uma nova planilha ➁ Inserir 7 na célula A1 ➂ Selecionar a região A1:A15 e clicar em Editar Preencher Seqüência. ➃ Inserir 3 na caixa vazia à direita de Incremento: ➄ Marcar o Tipo: Linear e pressionar OK. ➃ Inserir 3 na caixa à direita de Incremento:. ➄ Clicar em Tipo: Crescimento e pressionar OK. 3 4

3 3.5 Interpolação de termos em uma sequência Podemos inserir vários números entre dois valores dados, através da interpolação. Existem vários processos de interpolação mas as mais comuns são a aritmética e a geométrica. 3.6 Interpolação aritmética Interpolar aritmeticamente 10 números reais entre a 1 = 7 e a n = 62, é o mesmo que construir uma PA, com 12 termos, em que 10 termos são postos entre os 2 outros dados (extremos). ➀ Inserir uma nova planilha 3.7 Interpolação de termos geométricos Interpolar geometricamente 10 números reais entre a 1 = 5 e a n = 10240, é similar a construir uma PG, com 12 termos, em que 10 termos são postos entre os 2 outros dados (extremos). ➀ Inserir uma nova planilha ➁ Inserir 5 na célula A1 e na célula A12 ➂ Selecionar a região A1:A12 ➃ Pressionar Editar Preencher Seqüência. ➁ Em A1 escrever 7 e em A12 escrever 62. ➂ Selecionar a região A1:A12 e pressionar Editar Preencher Seqüência. ➄ Marcar Tendência e também Tipo: Crescimento. ➅ Pressionar OK. ➃ O Excel calcula a razão da PA e mostra Incremento: 5. ➄ Marcar Ripo: Linear e pressionar OK. 5 6

4 4 Sequências de Fibonacci A sequência de Fibonacci aparece em aplicações da Matemática à Biologia (Filotaxia), Estética e Beleza, aspectos geométricos como espirais e outros. Esta sequência pode ser obtida a partir de dois valores, F (1) = 1 e F (2) = 1 e a relação ligando os dois primeiros termos, que para todo n natural é: F (n) = F (n 1) + F (n 2) Assim, F (3) = 2, F (4) = 3, F (5) = 5,. ➆ Selecionar B3, arrastar a alça desde B3 até B15. 5 Arrastar planilhas no Excel Se temos uma planilha e desejamos construir outra com os mesmos dados, não necessitamos digitar de novo todas as informações, basta arrastar esta planilha para criar uma outra para realizarmos mudanças sem alterar a planilha original. O processo de arrastar funciona assim: ➀ Identifique na parte inferior esquerda da sua planilha geral, algo como o que aparece na figura: 4.1 Construção de sequências de Fibonacci Para construir uma sequência de Fibonacci com 15 termos, usamos: ➀ Inserir uma nova planilha. ➁ Inserir 1 na célula A1 e 1 na célula A2; ➂ Escrever na célula A3: =A1+A2 ➃ Selecionar A3, arrastar a alça desde A3 até A15. ➄ Inserir 10 na célula B1 e 12 na célula B2; ➁ Com o mouse, pressione sobre a planilha Plan4 e use um dedo da mão esquerda, mantendo pressionada a tecla Ctrl, ao mesmo tempo que você arrasta com o mouse a planilha Plan4 para a direita. ➂ Após a operação acima, você verá uma nova planilha. ➃ Para renomear esta nova planilha, clique com o botão direito do mouse sobre ela e escreva o novo nome, como por exemplo, JecaTatu. ➅ Escrever na célula B3: =B1+B2 7 8

5 6 Somas de termos de sequências O Excel é ótima para realizar somas de termos de uma sequência numérica. Construiremos agora uma sequência simples. 6.1 Somas parciais de termos de uma sequência ➀ Arrastar para a direita a planilha com a sequência de Fibonacci. ➁ Renomear a nova planilha com o nome fibo2. ➂ Clicar com o mouse no corpo da planilha fibo2. ➃ Na sequência, cuidado com as posições dos sinais $. ➄ Escrever na célula B1: =SOMA($A$1:A1) ➅ Copiar B1 para a região B1:B Somas de todos os termos de uma sequência ➀ Escrever na célula F4: =SOMA(A1:A15) ➁ Comparar os dois últimos resultados obtidos. 6.3 Somas de todos os termos de uma região ➀ Escrever na célula F5: =SOMA(A1:B15) 7 Limites de sequências A planilha Excel pode calcular limites de sequências. Por exemplo, é possível obter o número de ouro associado à sequência de Fibonacci ➀ Arrastar para a direita a planilha fibo2. ➁ Renomear a nova planilha com o nome fibo3. ➂ Clicar com o mouse no corpo da planilha fibo3. ➃ Inserir 10 na célula B1 e 12 na célula B2; ➄ Escrever na célula B3: =B1+B2 ➅ Selecionar B3, arrastar a alça desde B3 até B15. ➆ Escrever na célula C1: =A2/A1 ➇ Escrever na célula D1: =B2/B1 ➈ Selecionar C1:D1 e arrastar a alça desde C1:D1 até C13:D13. A estabilidade dos valores ocorre em torno do valor 1, que é o Número de ouro, obtido como o limite das divisões A2/A1 e B2/B1 quando n cresce bastante. 9 10

6 8 Produto de uma lista por um número Para multiplicar uma lista por um mesmo número, digamos 3,1416, deve-se ter a lista, que pode ser qualquer uma das anteriores. Vamos copiar a sequência de Fibonacci em uma nova planilha. Devemos anexar um símbolo $ antes da coluna, da linha ou de ambos, para manter fixa a coluna, a linha ou ambos os indicadores fixados. 9 Exercícios (Thomas, Vol.2) 9.1 Pag.11 - Ex.57 ➀ Inserir 1 em A1 e inserir 51 em A2. ➁ Selecionar A1:A2 a arrastar a alça até A20. ➂ Inserir em B1: =abs(0,5ˆ(1/a1)-1) ➃ Inserir em C1: =SE(B1 < 0,001; OK ; Continua ) ➄ Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B20:C Multiplicar uma lista por um número ➀ Arrastar para a direita a planilha fibo3. ➁ Renomear a nova planilha com o nome Lista. ➂ Clicar com o mouse no corpo da planilha Lista. ➃ Construir uma sequência na região A1:A10. ➄ Escrever na célula B1: 3,1416 ➅ Escrever na célula C1: =$B$1*A1 ➆ Copiar C1 para a região C1:C Pag.11 - Ex.58 ➀ Inserir 1 em A1 e inserir 201 em A2. ➁ Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A50. ➂ Inserir em B1: =abs((a1)ˆ(1/a1)-1) ➃ Inserir em C1: =SE(B1 < 0,001; OK ; Continua ) ➄ Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B50:C

7 9.3 Pag.11 - Ex.59 ➀ Inserir 1 em A1 e inserir 5 em A2. ➁ Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A20. ➂ Inserir em B1: =(0,9)ˆ(A1) ➃ Inserir em C1: =SE(B1<0,001; OK ; Continua ) ➄ Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B20:C Pag.17 - Exemplo 7 ➀ Inserir 3 em A1 e colocar o cursor sobre A1. ➁ Pressionar em Inserir Nome Definir A OK. ➂ Inserir em A2: 1 e inserir em B2: =(1/4)*A2 + A ➃ Inserir em A3: =B2 ➄ Copiar B2 sobre a célula B3. ➅ Selecionar A3:B3 e arrastar a alça até A15:B Pag.11 - Ex.60 ➀ Notação científica: 1E-07=1x10ˆ(-7)=0, ➁ Inserir 1 em A1 e inserir 2 em A2. ➂ Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A20. ➃ Inserir em B1: =2ˆ(A1)/fatorial(A1) ➄ Inserir em C1: =SE(B1 < 1E-07; OK ; Continua ) ➅ Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B20:C Pag.19 - Ex.7 (Método de Newton) ➀ Estudar o Exerc.7(a) com f(x) = x 2 A e f (x) = 2x. ➁ Inserir 3 em A1 e colocar o cursor sobre A1. ➂ Pressionar em Inserir Nome Definir A OK. ➃ Inserir em A2: 1 e em B2: =A2-(A2ˆ2-A)/(2*A2) ➄ Inserir em A3: =B2 e copiar B2 sobre B3. ➅ Selecionar A3:B3 e arrastar a alça até A15:B

8 9.7 Pag.19 - Ex.8 (Método de Newton) ➀ Substituir A1=3 por A1=2 na última planilha. ➁ Após pressionar ENTER, analise o que aconteceu Pag.19 - Ex.10 ➀ Inserir em A1: 1 e inserir em A2: =A1 + cos(a1). ➁ Selecionar A2 e arrastar a alça sobre A2:A Pag.19 - Ex.9(a) (Método de Newton) ➀ Inserir em A1: 1 e em B1: =A1/2+1/A1 ➁ Inserir em A2: =B1 e copiar B1 sobre B2. ➂ Selecionar A2:B2 e arrastar a alça até A15:B Pag.19 - Ex.9(b) (Método de Newton) ➀ Inserir em A1: 1 ➁ Inserir em B1: =A1 - (tan(a1)-1)*(cos(a1)ˆ2) ➂ Inserir em A2: =B1 e copiar B1 sobre B2. ➃ Selecionar A2:B2 e arrastar a alça até A15:B Pag.19 - Ex.9(c) (Método de Newton) ➀ Inserir em A1: 1 e inserir em A2: =A1-1. ➁ Selecionar A2 e arrastar a alça sobre A2:A Pag.20 - Ex.35 (Estudar a parte inicial) ➀ Inserir 1 em A1 e inserir 2 em A2. ➁ Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A15. ➂ Inserir em B1: =1 e em C1: =B1 + 1/5ˆ(A1) ➃ Inserir em B2: =C1 e copiar C1 sobre C2. ➄ Selecionar B2:C2 e arrastar a alça até B15:C Pag.20 - Ex.36 (Ver a parte inicial) ➀ Inserir 1 em A1 e 2 em A2. ➁ Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A15. ➂ Inserir em B1: =1 e em C1: =A1 + (-2)ˆ(A1). ➃ Inserir em B2: =C1 e copiar C1 sobre C2. ➄ Selecionar B2:C2 e arrastar a alça até B15:C

9 9.14 Pag.20 - Ex.37(a) (Ver a parte inicial) ➀ Inserir em A1: 0,02015 e colocar o cursor sobre A1. ➁ Pressionar Inserir Nome Definir r OK. ➂ Inserir em B1: 12 e colocar o cursor sobre B1. ➃ Pressionar Inserir Nome Definir m OK. ➄ Inserir em C1: 50 e colocar o cursor sobre C1. ➅ Pressionar Inserir Nome Definir b OK Pag.43 - Ex. 80 ➀ Inserir 1 em A1 e inserir 2 em A2. ➁ Selecionar A1:A2 a arrastar a alça até A50. ➂ Inserir em B1: =1/(A1ˆ3 *(sen(a1))ˆ2) ➃ Inserir em C1: =SOMA($B$1:B1) ➄ Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B50:C50. ➆ Inserir 0 em A2 e 1 em A3. ➇ Selecionar A2:A3 a arrastar a alça até A20. ➈ Inserir em B2: 1000 e em B3: =(1+r/m)*B2 + b. ➉ Selecionar B3 e arrastar a alça até B Pag.20 - Ex. 37(b) ➀ Usar a última planilha construída. ➁ Substituir B2 por 5000 e r por 0,0589. ➂ Substituir m por 12 e b por

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