Experimento. Guia do professor. Qual é a área do quadrilátero? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

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1 Geometria e medidas Guia do professor Experimento Qual é a área do quadrilátero? Objetivos da unidade 1. Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área de quadri láteros; 2. Analisar situações e fazer escolhas coerentes com a realidade. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Qual é a área do quadrilátero? Guia do professor Sinopse Neste experimento, serão apresentadas aos alunos diferentes formas para o cálculo, algumas vezes aproximado, da área de um quadrilátero. Em seguida, será pedido que construam um quadrilátero para ser estudado por alguns colegas de sala. Na etapa final, cada grupo fará aproximações para a área do polígono que recebeu, utilizando os métodos apresentados e discutirão qual forma foi a mais eficiente. Conteúdos Geometria Plana, Áreas e Perímetros. Objetivos 1. Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área de quadriláteros; 2. Analisar situações e fazer escolhas coerentes com a realidade. Duração Uma aula dupla..

3 Introdução Motivação Todos os professores de Matemática já devem ter ouvido alguma história sobre a demarcação de terras no antigo Egito como sendo a origem do que hoje chamamos de Geometria. A questão era: como restituir as propriedades sobre as áreas plantáveis que ficavam às margens do Rio Nilo após suas enchentes? As respostas para esse tipo de pergunta são dadas pelo conceito de área. Mas será que esse tipo de questão ainda é pertinente, dado o avanço dos conhecimentos matemáticos e dos recursos tecnológicos disponíveis? Acreditamos que a resposta seja afirmativa. Os governos utilizam fotos aéreas para medir a área de terrenos urbanos e rurais e então calcular o imposto que deve ser cobrado do proprietário; os cortadores de cana de açúcar precisam estimar a área que cortaram ao final de um dia de trabalho para calcularem o pagamento; trabalhadores da construção civil precisam determinar áreas tanto para fazer as edificações quanto para calcular a quantidade de material a ser comprado para uma reforma; matemáticos lidam com o conceito de área em contextos abstratos envolvendo superfícies quaisquer. Cada uma dessas situações possui demandas e condições diferentes, e é importante que os alunos tenham afinidade com o conceito de área e conheçam diferentes abordagens para situações relacionadas a ele. O cálculo de áreas não precisa ser encarado, necessariamente, como um conjunto de fórmulas específicas para cada figura geométrica conhecida. A grande contribuição que este experimento pretende dar aos alunos, muito mais do que o domínio de técnicas específicas, é mostrar que existem diferentes métodos para calcular áreas, precisos ou aproximados, cada qual com suas vantagens e desvantagens, e que a escolha sobre qual deles utilizar pode ser feita de maneira inteligente. O experimento Etapa 1 Opções para calcular a área do quadrilátero Nesta primeira etapa, o professor deve apresentar os 3 métodos que serão explorados neste experimento. Tanto o método da média dos lados opostos quanto o de contar quadrados não apresentam grandes dificuldades, porém, o Teorema de Pick é pouco conhecido e receberá mais atenção neste Guia. O teorema vale para um polígono qualquer construído com seus vértices sobre os vértices de uma malha quadriculada. Definiremos o número de picks (P ) do polígono como sendo P =( 1 /2) F + I 1, onde F é o número de vértices do quadriculado nas arestas do polígonos e I é o número de vértices dentro do polígono. O Teorema de Pick nos diz que, se tomarmos a área de cada quadrado determinado pela malha como unidade, a área do polígono descrito acima é numericamente igual ao seu número de picks. Qual é a área do quadrilátero? Guia do professor 2 / 6

4 Demonstração do Teorema de Pick Para demonstrar esse teorema vamos usar dois resultados: todo polígono com vértices nos pontos do quadrado pode ser decomposto em triângulos com seus vértices sobre os vértices do quadriculado e que o número de picks de uma figura obtida pela justaposição de duas mais simples é igual a soma dos números de picks delas. Comecemos pelo segundo resultado. Dado dois polígonos, digamos que o primeiro possui I 1 pontos interiores e F 1 pontos na fronteira, portanto, seu número de picks é P 1 = 1 /2 F 1 + I 1 1. Analogamente, o número de picks no segundo polígono é P 2 = 1 /2 F 2 + I 2 1. Os pontos de fronteira do novo polígono serão justamente os pontos de fronteira dos polígonos anteriores (F 1 + F 2 ), menos os que pertenciam às arestas justapostas (2k, pois cada um desses pontos foi contado tanto em F 1 quanto em F 2 ), menos 2k(pois os pontos destacados na figura acima também foram contados tanto em F 1 quanto em F 2 ), portanto, F 3 = F 1 + F 2 k 2. Finalmente, temos que o número de picks do polígono resultante da justaposição, por definição, é igual a: P 3 = 1 /2 F 3 + I 3 1 P 3 = 1 /2 (F 1 + F 2 2k 2)+(I 2 + I 1 + k) 1 P 3 = 1 /2 F /2 F 2 k 1+I 2 + I 1 + k 1 P 3 =( 1 /2 F 1 + I 1 1)+( 1 /2 F 2 + I 2 1) P 3 = P 1 + P 2 fig. 1 Ao unir os dois polígonos justapondo uma ou mais de suas arestas, os pontos que estavam no interior de cada um dos polígonos vão continuar no interior do novo polígono. Já os pontos de fronteira, que estavam nas arestas que foram justapostas, passarão a pertencer ao interior do novo polígono. Portanto, I 3 = I 2 + I 1 + k, onde k é o número de pontos nas arestas justapostas (os pontos destacados na figura acima não devem ser contabilizados em k, pois não passaram a fazer parte do interior do novo polígono). Dessa forma, ao unir dois polígonos com seus vértices sobre os vértices de um quadriculado, o número de picks do novo polígono será igual à soma do número de picks dos polígonos iniciais. Esse resultado nos basta para demonstrar que a fórmula de Pick vale para triângulos, uma vez que todo polígono pode ser decomposto como triângulos com seus vértices sobre os vértices do quadriculado (essa afirmação não será demonstrada aqui, mas pode ser facilmente constatada com alguns esboços sobre um papel quadriculado). Agora, vamos verificar se o número de picks de fato corresponde à área de um triângulo qualquer. Dado um triângulo qualquer, podemos completá-lo para um triângulo retângulo como foi feito com o triângulo ABC a seguir. Qual é a área do quadrilátero? Guia do professor 3 / 6

5 Fechamento fig. 2 E dado um triângulo retângulo, podemos obter, por justaposição de dois deste, um retângulo. Logo, basta demonstrar a fórmula de Pick para retângulos. Os retângulos, por sua vez, podem ser vistos como uma justaposição de quadrados unitários, para os quais a verificação de que o número de picks é numericamente igual a área é elementar. Sendo assim, a fórmula de Pick vale para qualquer polígono que tenha seus vértices sobre os vértices de uma malha quadriculada. Particularmente, vale para os quadriláteros! Etapa 2 Utilização do método Nesta etapa, os alunos deverão aplicar os métodos apresentados e o professor deve ficar atento ao trabalho deles para que não cometam erros, especialmente no uso das malhas quadriculadas. O objetivo deste experimento é confrontar métodos variados, precisos ou aproximados, para o cálculo da área de um quadrilátero qualquer. É importante que os alunos percebam que cada método tem suas vantagens e desvantagens, e que a escolha deve se basear nos objetivos de quem calcula e nas informações disponíveis e acessíveis. O experimento Qual o prisma com maior volume? (disponível no Portal do Professor), por exemplo, é feito com diferentes métodos para o cálculo da área de triângulos. Note que nenhum dos 3 métodos sugeridos inicialmente funciona com precisão para um quadrilátero qualquer, o que pode despertar a seguinte pergunta entre os alunos: há alguma fórmula que calcule a área exata de um quadrilátero qualquer?. A pergunta é extremamente pertinente e, de fato, existem fórmulas para isso. Mas não apresentaremos aqui nenhuma delas, pois as expressões não costumam ser muito simples e o objetivo deste experimento não é que os alunos se prendam a métodos específicos. Contudo, há um detalhe sobre essas possíveis fórmulas que deve ser lembrado: um quadrilátero não é unicamente determinado pela medida dos seus quatro lados (imagine um paralelogramo inclinado sem deformação dos seus lados, apenas dos seus ângulos). Isso significa que, nessa possível fórmula para o cálculo da área de um quadrilátero, deverão aparecer outros elementos, como as medidas das diagonais ou dos ângulos. De fato, a fórmula a seguir, cuja expressão se parece muito com a famosa fórmula de Heron para o cálculo da área de um triângulo, depende da medida de dois ângulos opostos entre si (α e β ) e dos quatro lados do quadrilátero (a, b, c e d e o semi-perímetro p): A Q = (p a) (p b) (p c) (p d) a b c d cos 2 α+β 2 Qual é a área do quadrilátero? Guia do professor 4 / 6

6 Variações Bibliografia Dentre os métodos apresentados, o Teorema de Pick tem uma característica muito peculiar: a contagem dos vértices na fronteira e no interior do polígono é discreta, enquanto que a medida da área é uma grandeza contínua. Essa contradição aparente deve despertar algum interesse nos alunos. Uma das variações que podem ser feitas a partir desse experimento é justamente explorar o Teorema de Pick em toda sua plenitude, ou seja, com polígonos quaisquer, inclusive os côncavos. Os dois sites apontados na bibliografia trazem explorações bastante completas e interessantes deste teorema que podem servir inclusive como um roteiro para que os alunos possam demonstrá-lo. acessado em 6/6/ acessado em 6/6/2009 (em inglês). acessado em 3/9/2009. Lima, E. L. Meu Professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: Editora SBM, Qual é a área do quadrilátero? Guia do professor 5 / 6

7 Ficha técnica Autor Leonardo Barichello Projeto gráfico Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação