INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS DA AMAZÔNIA COORDENAÇÃO DE PESQUISAS EM SILVICULTURA TROPICAL LABORATÓRIO DE MANEJO FLORESTAL - LMF

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1 INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS DA AMAZÔNIA COORDENAÇÃO DE PESQUISAS EM SILVICULTURA TROPICAL LABORATÓRIO DE MANEJO FLORESTAL - LMF BIOMETRIA FLORESTAL Niro Higuchi Joaquim dos Santos Adriano José Nogueira Lima Manaus AM Março, 008

2 PARTE 1

3 Capítulo 1 Introdução - Conceitos gerais A estatística é uma ferramenta importante para o manejo florestal, seja pra quem está interessado em trabalhar em pesquisas ou pra quem tem a responsabilidade de planejar, executar e acompanhar um projeto. Difícil é separar a estatística pra essas duas frentes. O objetivo desta Parte da apostila é aprofundar em conceitos dos indicadores estatísticos mais freqüentemente utilizados pelos florestais e ajudar na interpretação dos resultados. Estatística é um ramo do conhecimento científico que consta de conjunto de processos que têm por objeto a observação, a classificação formal e a análise dos fenômenos coletivos ou de massa (finalidade descritiva) e, por fim, investigar a possibilidade de fazer inferências indutivas válidas a partir dos dados observados e buscar métodos capazes de permitir esta inferência (finalidade indutiva). Durante uma defesa de tese no CENA-USP, surgiu um novo conceito para estatística que, segundo Edgard, é "a arte de torturar os números até que eles confessem aquilo que você quer ouvir." Em inventário florestal, produto sem estatística não é produto. Em inventários, o principal produto é o intervalo de confiança para a média estimada. Na pesquisa científica, a estatística pode ser vista como um instrumento de comunicação e, embora o seu uso seja absolutamente opcional, ela fornece os modelos que são necessários para estudar as situações que envolvem incertezas, mas a palavra final é sua. O exercício, a análise e a interpretação do pensamento científico normalmente são feitos por meio da linguagem operacional dos conceitos e hipóteses científicas. Isso implica na formulação de hipóteses estatísticas e estabelecimento dos procedimentos de observações diretas ou de medições. Linguagem teórica: quanto mais grossa é a árvore, mais madeira será oferecida à indústria de transformação. Neste caso, dois conceitos são envolvidos: espessura e madeira. Com definir esses dois conceitos? Espessura pode ser o diâmetro de uma árvore. Madeira pode ser a quantidade de material lenhoso disponível para a indústria. E daí? Que fazemos agora? Temos que operacionalizar as observações e medições de espessura e madeira. Espessura pode ser traduzida operacionalmente, por exemplo, em centímetros de diâmetro à altura do peito (DAP), medido a 1,3 m do solo. E a madeira, por sua vez, pode ser traduzida como volume cúbico da árvore. Agora, a hipótese científica pode ser enunciada, em termos de hipótese estatística, da seguinte maneira: Quanto maior o DAP, maior será o volume da árvore. Dessa forma, o pica-pau fica mais à vontade. Depois de formulada a hipótese, o passo seguinte consiste em testá-la. Para se testar as hipóteses serão precisos: planejar a coleta de dados, coletar os dados, tratar os dados, processar os dados, analisar os resultados e, finalmente, tomar decisões para rejeitar ou não a hipótese estatística formulada (Ver figura 1.1). O papel da estatística na pesquisa científica é ajudar o pesquisador pica-pau a formular as hipóteses e a fixar as regras de decisão.

4 Um pouco de filosofia. - Aristóteles escreveu: A verdade é um alvo tão grande que dificilmente alguém deixará de tocá-lo, mas, ao mesmo tempo, ninguém será capaz de acertá-lo em cheio, num só tiro. - A meta da ciência é a organização sistemática do conhecimento sobre o universo, baseado nos princípios explanatórios que são genuinamente testáveis. - O pesquisador tem os dons da instituição e criatividade para saber que o problema é importante e quais questões devem ser levantadas; a estatística, por sua vez, o assistirá por meio da maximização de output não ambíguos enquanto minimiza os inputs. - O pesquisador tem que ter em mente que a pesquisa freqüentemente levanta mais questões do que respostas. Os resultados quase sempre são meramente uma demonstração de nossa ignorância e uma declaração mais clara do que não sabemos. - O pesquisador tem que manter os olhos abertos, sua mente flexível e estar preparado para surpresas. - A pesquisa está na cabeça do pesquisador; o laboratório ou o campo meramente confirma ou rejeita o que a sua mente concebeu. A sabedoria consiste em conhecer mais as questões certas para fazer e não nas certas respostas. - A aplicação indiscriminada dos métodos quantitativos sobre inesgotáveis quantidades de dados não significa que o entendimento científico vai emergir só por causa disso A Natureza da Estatística: Basicamente, são dois tipos de estatística: descritiva e de inferência. A ciência da estatística inclui ambas, descritiva e de inferência. A estatística descritiva apareceu primeiro, nos censos feitos na época do império romano. A de Inferência é mais recente e é baseada na teoria da probabilidade que, por sua vez, não se estabeleceu antes da metade do século XVII. a) Estatística descritiva => consiste de métodos para organizar e sumarizar as informações. O propósito da organização e sumarização é te ajudar na interpretação de um monte de informações. Os métodos descritivos incluem a construção de gráficos, figuras e tabelas, como também, o cálculo de vários tipos de médias e índices. Exemplos: resultado final de uma eleição apresentado pelo Tribunal Superior Eleitoral (TSE) Quadro 1.1, desmatamento na Amazônia Figura 1.., áreas desmatadas com autorização e sem autorização Figura 1.3 e as origens da madeira amazônica Figura 1.4. b) Estatística de inferência => consiste de métodos para inferir sobre uma população baseada na informação de uma amostra da população. A estatística de inferência moderna praticamente surgiu após as publicações científicas de Karl Pearson e Ronald Fisher, no início do século passado (XX). Depois disso, houve uma evolução fantástica dessa ciência, tornando-se aplicável a várias áreas de conhecimento, tais como: Eng. Florestal, Agronomia, Biologia, História, Física, Química, Psicologia etc. Exemplo 1: Pesquisas de opinião realizadas pelas empresas (DATAFOLHA, IBOPE, VOX POPULI etc), pouco antes de eleições. A Figura 1.5 mostra a dinâmica de opinião de eleitores brasileiros na eleição para presidente de 00 com base em pesquisas de opinião realizadas pelo IBOPE. O resultado do 1º turno é apresentado na última coluna como TSE,

5 tirado do Quadro 1.1. Os resultados do IBOPE, do último dia de pesquisa (com margem de erro igual a 1,8%), são praticamente iguais aos oficiais do TSE. A informação do TSE é sobre votos válidos enquanto que os da pesquisa de opinião são de intenção de votos. Na pesquisa de opinião do 1º turno é difícil identificar o voto nulo. Exemplo : Pesquisas de opinião sobre o º turno da eleição presidencial 00, realizadas pelo Datafolha. Neste caso, foi possível estimar os percentuais sobre os votos válidos. No último dia da pesquisa (6/10/0), o Datafolha estimou 64% dos votos válidos para o Lula e 36% para o Serra. A Figura 1.6 mostra a dinâmica de opinião de eleitores para oº turno da eleição de 00. O resultado do TSE (oficial) foi de 61,% para o Lula e 38,7% para o Serra Quadro 1.1. Considerando a margem de erro de % (para mais e para menos), as estimativas do último dia seriam 6% (para menos) para o Lula e 38% (para mais) para o Serra. Esta parte da estatística de inferência evoluiu muito no Brasil. A prova disso são os resultados finais do primeiro e do segundo turno da eleição presidencial de 00 que tem muito a ver com as previsões feitas pelas pesquisas de opinião dos vários institutos. O sucesso tem que ser creditado principalmente pela escolha correta do tipo de amostragem, coleta de dados e processamento & análise dos resultados A evolução da informática também contribuiu muito para o sucesso das pesquisas; o rápido processamento e, conseqüente, análise dos resultados, permitiu a repetição em intervalos de tempo menores isso é fundamental para a validação dos métodos utilizados que, por sua vez, dá a robustez necessária para a pesquisa e a sociedade ganha com a maior precisão e confiabilidade das pesquisas de opinião. Exemplo 3: Previsão da área desmatada para 006 (agosto 005 a julho 006) com base no intervalo de confiança (95%) da série histórica de 1978 a 005 Figura 1.7. Apesar da confusão das estatísticas e de sua interpretação, com boa vontade e profissionalismo, as causas do desmatamento poderiam ser identificadas. O desafio é entender a direção que o desmatamento pode tomar no futuro. Sem entender as causas, a direção só pode ser estocástica. A Figura 1.7 ilustra o uso do intervalo de confiança IC (nível de probabilidade de 95%) para a média do período De acordo com dinâmica do desmatamento até 005, as chances do desmatamento durante (agosto 005 a julho 006) são: 9% de ficar acima da estimativa máxima provável (maior do que km ), 9% abaixo da estimativa mínima provável (menor do que km ) e 4 % de ficar dentro do intervalo de confiança (entre a km ) com 95% de chance de acertar. Exemplo 4: Todos os trabalhos de equações de volume que utilizam os modelos destrutivos (na maioria das vezes) para ajustar os dados de volume real observado em modelos matemáticos que serão utilizados, posteriormente, para estimar o volume da árvore em pé. Para concluir a discussão, em torno da natureza da estatística, é importante não perder de vista que a opção por uma das duas estatísticas pode ser pessoal. Entretanto, se a escolha recair sobre a de inferência, o pesquisador deve se sujeitar as suas regras e condicionantes. A estatística de inferência, por sua vez, deve ficar sob as condicionantes da teoria da probabilidade, da normalidade e da independência; a violação de uma dessas condicionantes implica em um comprometimento muito sério de todo o seu trabalho. 1.. Conceitos Básicos: Talvez, os conceitos mais importantes para os florestais são erros amostrais e não amostrais. Se você conseguir distinguir esses dois conceitos, você sempre fará um trabalho confiável e, por conseguinte, a estatística será uma ferramenta útil na execução de seus

6 trabalhos de pesquisa, encurtando caminhos para a produção de ciência e de resultados de inventário florestal. (i) Erro Amostral => é o erro que você comete por não medir toda a população. Este parâmetro é mensurável e, dependendo da escolha dos métodos, você tem condições de aumentar ou diminuir este erro. De qualquer modo, trata-se de um parâmetro que pode ser controlado e avaliado por você. É o desvio padrão da média ou, simplesmente, erro padrão e tem fórmula para o seu cálculo. É a única medida de precisão, por mais paradoxal que possa parecer, em qualquer trabalho de pesquisa ou de inventário florestal. (ii) Erro não-amostral => é o erro humano, que pode ser cometido acidental ou deliberadamente. É o tipo de erro que você comete ao alocar uma amostra no lugar errado ex.: no escritório você faz a opção pela amostragem inteiramente aleatória e sorteia as unidades amostrais e distribui em sua área estudo; no campo, entretanto, você não consegue alocá-las de acordo com as coordenadas pré-estabelecidas e alocá-as em outro lugar. Você também comete erro não-amostral quando utiliza um equipamento defeituoso ou, por preguiça, você chuta as medidas de uma determinada variável. O problema desse erro é que você não consegue dimensioná-lo e, neste caso, não há estatística que dê jeito para consertar o mal-feito. A estatística e o computador só são úteis na interpretação de fenômenos observados quando os dados são de absoluta confiança e sem erros não-amostrais. Moral: Busque sempre a melhor metodologia para conseguir a maior precisão de seu trabalho sem, contudo, aumentar a possibilidade de cometer erros não-amostrais. BOM PESQUISADOR é aquele que não entrega sua coleta de dados para qualquer PEÃO. (iii) Populações, Parâmetros e Estimativas A noção central em qualquer problema de amostragem é a existência de uma população. Pense em uma população como um agregado de valores unitários, onde a unidade é a coisa sobre a qual a observação é feita e o valor é a propriedade observada sobre aquela coisa. População é então o conjunto de todos os indivíduos ou itens sob consideração. Ou ainda: população é o universo de seu interesse. Ilustrando: - se você está interessado em estudar o potencial quantitativo da floresta da Reserva Ducke, a POPULAÇÃO é o conjunto de todas as árvores acima de um determinado DAP, existentes naquela área de hectares. - se para você potencial quantitativo significa volume cúbico obtido de equações simples (DAP como variável independente), o volume médio (por hectare, por ex.) de todas as árvores da Reserva Ducke é o PARÂMETRO. - se você, no entanto, decidir pela avaliação por amostragem e lançar naquela área algumas amostras (ex.: 10 amostras de 1000 m, aleatoriamente distribuídas), o volume médio dessas amostras é a ESTIMATIVA. AMOSTRA é aquela parte da população da qual a informação é coletada. (iv) Tendência (bias), Exatidão e Precisão TENDÊNCIA ou VIÉS (bias, em inglês) é uma distorção sistemática. Ela pode ser devido a alguma falha na medição, ou no método de selecionar a amostra, ou na técnica de estimar o parâmetro. Se você medir o DAP com uma fita diamétrica faltando um pedaço na ponta ( cm), você medirá todas as árvores com cm a mais, ou seja, você superestimará esta variável. Uma maneira prática de minimizar as tendências em medições é por meio de checagens periódicas

7 dos instrumentos, treinamento adequado para o pessoal que usa os instrumentos e cuidado com eles. Tendência devido o método de amostragem ocorre quando certas unidades ganham maior ou menor representação na amostra do que na população. Ex.: se você excluir 0 metros de bordadura do lado oeste da Reserva Ducke por causa de um igarapé. Neste caso, você está introduzindo tendência em sua avaliação simplesmente porque você não deu a mesma oportunidade, para as árvores que ocorrem naquela faixa, em aparecer no seu trabalho. Outro exemplo: quando a equipe econômica faz uma pesquisa nos supermercados do centrosul e extrapola o custo de vida para todo o Brasil; isso é uma medida tendenciosa que não reflete o que se passa em Manaus. Tendência na forma de estimar determinado parâmetro pode ser introduzida quando você, por exemplo, toma o volume médio da Reserva Ducke e junta com o volume médio do Distrito Agropecuário da SUFRAMA ( hectares), para avaliar o potencial madeireiro da região de Manaus. Um volume médio não tendencioso seria uma média ponderada considerando os diferentes tamanhos de cada área, em vez de usar a média aritmética simples (tendenciosa, neste caso). Importante: A tendência é a mãe do erro não-amostral, por esta razão, evitá-la é sinal de prudência e sensatez. PRECISÃO E EXATIDÃO uma estimativa tendenciosa pode ser PRECISA, mas nunca EXATA. Ainda que o Aurélio (dicionário) pense diferente, para os estatísticos, EXATIDÃO refere-se ao sucesso em estimar o valor verdadeiro de uma quantidade; PRECISÃO refere-se à distribuição dos valores amostrais em torno de sua própria média que, se for tendenciosa, não pode ser o valor verdadeiro Ver figura 1.8. Exatidão ou estreiteza ao valor verdadeiro pode estar ausente por causa da tendência, falta de precisão ou por causa de ambas.

8 PENSAMENTO OPERACIONALIZAR HIPOTETIZAR planejar coletar tratar processar analisar rejeita? não, concluir! sim, concluir! Figura 1.1: Pesquisa científica do pensamento à inferência.

9 Quadro 1.1: Resultados das eleições para presidente de 00. RESULTADOS DAS ELEIÇÕES DE 00 Total de eleitores = Resultado do 1º turno: nº de votantes = ordem Número Candidato total votos % válidos 1 13 Lula ,44 45 José Serra , Garotinho , Ciro Gomes , Zé Maria , Rui Pimenta ,05 Resultado do º turno: nº de votantes = ordem Número Candidato total votos % válidos 1 13 Lula ,7 45 José Serra ,73 fonte: => consultas: 1º turno em 1/10/0 e º turno em 9/10/0 ano ou período 04/05 03/04 0/03 01/0 00/01 99/00 98/99 97/98 96/97 95/96 94/95 9/94 91/9 90/91 89/ / área desmatada em km fonte: Figura 1.: Desmatamento anual (km ) na Amazônia.

10 área desmatada (k m) ano A D A:D (%) relação A:D (%) Fonte: sisprof. A = área desmatada com autorização; D = área desmatada total e A:D relação entre autorizado e não autorizado. Figura 1.3: Relação entre áreas (em km ) desmatadas com autorização e sem autorização na Amazônia. sem origem 63% PMFS 17% d autorizado 0% Fonte: sisprof Figura 1.4: Origem da madeira da Amazônia planos de manejo florestal sustentável (PMFS), desmatamento autorizado e sem origem definida.

11 intenção de v oto (%) , , a 9/9 14 a 16/9 17 a 19/9 1 a 4/9 8 a 30/9 4 e 5/10 TSE período da pesquisa Lula Serra Garotinho Ciro Figura 1.5: Pesquisas de opinião realizadas pelo IBOPE para o 1º turno da eleição presidencial de intenção de votos (%) out 18/out 3/out 6/out data Lula Serra indecisos nulos/brancos Figura 1.6: Pesquisas de opinião realizadas pelo Datafolha para o º turno da eleição presidencial de 00.

12 área média mínima máxima IC(95%) = ±.37 ) ea des matada (k m ár Acima = 9% 005/06? Dentro = 4% Abaixo = 9% 78/ /90 90/91 91/9 9/94 94/95 95/96 96/97 97/98 98/99 99/00 00/01 01/0 0/03 03/04 04/05 05/ ano ou período Figura 1.7: Previsão da área desmatada para 006 (agosto 005 a julho 006) com base no intervalo de confiança (95%) da série histórica de 1978 a 005. impreciso preciso preciso exato Figura 1.8: Diferença entre precisão e exatidão.

13 .1. Dados: Capítulo Organização dos dados A informação coletada e analisada pelo estatístico é chamada de DADOS. Há vários tipos de dados e a escolha da metodologia, pelo estatístico é, parcialmente, determinada pelo tipo de dados que ele tem em mãos. Exemplo 1: No exame de seleção para turma 90/91 do Manejo Florestal, tivemos 15 candidatos, 13 homens e mulheres. Do total, apenas 7 fizeram o exame. Foram aprovados 6 candidatos, 5 homens e 1 mulher. João da Silva tirou o primeiro lugar com nota 6,7 e Joaquim Moreira tirou o último lugar com a nota 5,0. No exemplo acima, nós podemos destacar os seguintes tipos de dados: QUALITATIVO o tipo mais simples de dados, é a informação que coloca cada candidato em uma das duas categorias homem ou mulher ou tipo florestal I ou tipo II ou estocada ou não estocada etc. Esses dados dão informações sobre um indivíduo ou um item. ORDINAL A informação sobre classificação, dados que colocam os indivíduos ou objetos em ordem, rankeados. No exemplo, as classificações de João e Joaquim são dados ordinais. MÉTRICO O termo métrico se refere aos dados mensuráveis e não deve ser confundido com os dados em unidades métricas. No exemplo, as notas dos candidatos (6,7 e 5,0 e outras notas) são dados métricos. Resumindo: Dados qualitativos: dados que se referem à qualidade não numéricas ou atributos, tais como: tipo florestal, gênero ou espécie florestal, cor de alguma coisa etc. Dados ordinais: dados sobre classificação, ordem ou rank, tais como: classificação de toras, ordem de chegada etc. Dados métricos: dados obtidos de medições de certas quanti dades como: tempo, altu ra, DAP, volume, peso etc. Um outro importante tipo de dados é o chamado DADOS CONTÁVEIS. A contagem do numero de indivíduos ou itens que caem em várias categorias, tais como h omem e mulher fornece os dados contáveis. Por exemplo, a infor mação dada no exemplo anterior que foram aprovados 5 homens e 1 m ulher, são da dos contáveis. DADOS CONTÁVEIS são dados sobre o número de indivíduo s ou itens que caem em certas categorias ou classes, que podem ser obtidos de quaisquer tipos de dados (qualitativo, ordinal ou métrico). Os dados QUALITATIVO e ORDINAL são referidos pelos estatísticos como dados D ISCRETOS porque eles classificam coisas em classes separadas e discretas. Na classificação dos candidatos ao mestrado não há como colocar ninguém entre o primeiro lugar e o segundo. Também não há como classificar ninguém entre homem e mulher. São exemplos típicos de dados discretos, porque não há como dizer que alguém ficou em primeiro lugar e meio ou o que fulano é homem e meio. No caso de ordem de chegada ou rank há possibilidade de empate, mas isso é outra coisa e será discutido na estatística não- paramétrica.

14 Por outro lado, a maioria dos dados métricos é considerada DADOS CONTÍNUOS porque eles envolvem medições sobre uma escala contínua. A escala fica por conta da precisão do aparelho de medição: na suta ou na fita diamétrica, o máximo que podemos chegar é décimo d e cen tímetros, ou seja, entre os DAP s 0 e 1 cm nós podemos ter DAP s com 0.1, 0.,..., 0.9; nos cronômetros da Fórmula 1, no entanto, o nível de precisão é impensável para os nossos relógios de pulso... Dados grupados: A quantidade de dados que pode ser coletada do mundo-real é simplesmente fantástica. Exemplo 1: O censo brasileiro. Você já imaginou a trabalheira que dá para cadastrar aproximadamente 180 milhões de pessoas, anotando o nome, sexo, idade, ocupação, escolaridade etc. Apenas para ilustrar, se você usar qualquer software (Excel ou Word) para listar toda essa gente, você gastará mais de 600 quilômetros de papel apenas para imprimir as informações básicas, é Manaus-Itacoatiara-Manaus. Com todo esse papel, dificilmente você teria uma boa fotografia da população brasileira. Então, o que fazem os especialistas do IBGE? Eles nos proporcionam variadas informações: quantidades de homens e de mulheres (X1); X1 por classe idade (X); X por estado e por região; X1 por nível de escolaridade; população ativa etc. Isso é um exemplo típico da aplicação da estatística DESCRITIVA, por meio da organização e simplificação dos dados. Exemplo : Dados sobre DAP das árvores da parcela-testemunha do bloco (apenas as 40 primeiras árvores). Os pica-paus normalmente pensam no DAP em classes de 10, 0, 30, 40 cm etc. Para ver quantos DAPs há em cada classe você faz o seguinte: Quadro.1. Dados de DAPs de 40 árvores. árv. nº DAP Árv. nº DAP árv. Nº DAP árv. nº DAP

15 Quadro.. Cálculo de freqüência de cada classe de diâmetro. classes de DAP Contagem nº de árvores (f) 0 < 30 IIIII III 8 30 < 40 IIIII IIIII IIIII IIII < 50 IIIII II 7 50 < 60 IIII 4 60 < 70 I 1 70 < 80 I 1 total 40 O número de indivíduos (árvores) em cada categoria ou de DAP é chamada de FREQUÊNCIA daquela classe. O quadro. é uma tabela de distribuição de freqüência. Não confundir distribuição de freqüência em estatística com o termo freqüência da Ecologia Vegetal. Nem sempre você trabalha com quantidade tão pequena de indivíduos (n = 40, neste caso). Com n maiores é mais seguro montar a distribuição de freqüência utilizando a tabela dinâmica do Excel aplicação no Capítulo 17 (Cadeia de Markov). Algumas dicas para estabelecer distribuições de freqüência: - o número de classes não deve ser nem muito pequeno e nem muito grande, ao contrário, no meio. Sugere-se um número entre 5 e 1 regra do olhômetro. Outra forma é através da seguinte fórmula: n classes 1 + 3,33 log N (N = número de dados) - cada classe tem que ter a mesma dimensão. Do quadro., as dimensões são: 0 a 9.9, 30 a 39.9 etc. - cada pedaço de dados tem que pertencer a apenas a uma única classe. Essa lista poderia continuar, mas isso seria artificial. O propósito de grupar dados é distribuí-los em um número razoável de classes de igual tamanho para facilitar a interpretação dos mesmos. Se possível, os intervalos que tem uma interpretação natural, devem ser utilizados, como por exemplo: dados em DAP que são normalmente divididos em múltiplos de 10. freqüência absoluta Freq Figura.1: Histograma de freqüência para os mesmos dados do quadro.1.

16 A freqüência pode ser também apresentada em porcentagem ou decimal, conhecida como FREQUÊNCIA RELATIVA. No quadro.3 para obter a freqüência relativa de cada classe, bastou dividir a freqüê ncia de cada classe por 40 (número total de indivíduos contados). Se multiplicarmos essas frações por 100, teremos a freqüência em %, caso contrário, em decimais. Quadro.3. - Distribuição de Freqüência relativa do quadro.1. classes DAP pt médio Freq freq rel freq acum 0 < , < , < , < , < , < ,05 40 Algumas terminologias: Classe uma categoria para o grupamento de dados. Freqüência o número de indivíduos ou objetos numa classe. Por exemplo, a freqüência da classe é 19. Freqüência relativa a porcentagem, expressa como um decimal, do número total de indivíduos de uma determinada classe. A freqüência relativa da classe é 0.1 ou 10%. Freqüência acumulada é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais a valor dado. Distribuição de Freqüência a listagem das classes com suas freqüências. Limite inferior da classe o menor valor que pode ir dentro de uma classe. Na classe o limite inferior é 0. Limite superior da classe o maior valor que pode ir dentro de uma classe. Na classe o limite superior é 9.9. Se a precisão fosse de duas casas decimais, o limite superior poderia ser 9.99 e assim por diante. Intervalo de classe é a diferença entre o limite superior e o limite inferior de uma dada classe. No nosso exemplo, o intervalo é 10, ou seja, 30 0 =10. Ponto médio da classe é a média aritmética entre o limite superior e limite inferior da classe. Assim, se a classe for: (0+30)/ = 5. Da classe o ponto médio é 35 e assim por diante..3. Gráficos e figuras: Uma outra maneira de dar sentido a um conjunto de dados é por meio da representação gráfica dos mesmos. O gráfico mais simples dos dados é o HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA. A altura de cada barra é igual a freqüência que ela representa. Tem também o HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA RELATIVA. Há muitas outras formas de representação gráfica de seus dados. Hoje em dia, uma forma muito usada é a PIE (torta). De qualquer modo, fique a vontade e use de sua imaginação para dar a representação mais conveniente dos seus dados.

17 Capítulo 3 Medidas descritivas Há muitos critérios, por sinal, bem avançados, para a descrição sucinta dos fenômenos naturais. Apesar disso, a maioria das características usadas na estatística, para descrever as variáveis aleatórias, em populações particulares, caem em uma das três categorias: (1) medidas da tendência central (alocação de um valor ordinário); () medidas de dispersão (distância relativa de valores extremos de um valor central); (3) medidas de relacionamento entre as variáveis (grau de similaridade ou dissimilaridade em magnitude). Em geral, o volume de dados de uma pesquisa é muito grande. Os métodos de gráficos e grupamento de dados são úteis no manuseio de um grande conjunto de dados. Uma outra forma de sumarizar os dados é por meio da computação de um número, tal como a média, a qual substitui um grande volume de dados por um simples número. 3.1 Medidas de tendência central: As medidas de alocação mais comumente utilizadas são média aritmética e a mediana. Menos freqüentemente usadas são: moda, percentil, média geométrica e média harmônica. A média comum ou média aritmética ou simplesmente média, é a mais freqüentemente usada de todas as medidas estatísticas. Média é simplesmente a soma de todas observações (DAP, altura, idade) dividida pelo nú mero total de observações. É a medida que tem a menor variabilidade de amostra para amostra, é fácil de ser manuseada matematicamente e tem as propriedades mais desejáveis em conexão com as distribuições de probabilidade. Mediana é o valor de uma variável aleatória que, em ordem crescente ou decrescente, está rankeado no meio, entre os valores maiores e menores. Em amostras com número par de observações, a mediana é a média aritmética dos valores que estão rankeados no meio. Estimativas da mediana de pequenas amostras não são muito confiáveis. Moda é o valor mais freqüente, ou seja, é a categoria ou classe com a maior freqüência. É uma medida fácil e rápida de ser obtida, mas, por outro lado, fica sempre sujeita a variação extrema de uma amostra para outra, ao menos que a amostra seja bem grande. Percentil para um melhor entendimento pense na mediana como o 50-ésimo percentil. Média geométrica é a n-ésima raiz de um produto de n valores, ou antilog da média aritmétic a dos logs de um conjunto de valores e é sempre tão pequeno ou menor que a média do mesmo conjunto de dados. Média harmônica é a recíproca da média de um conjunto de dados recíprocos e é tão pequena ou menor que a média geométrica para um mesmo conjunto de dados. Para dados ordinais, é preferível utilizar-se da mediana, apesar de que a média é, as vezes, utilizada. Para dados métricos pode ser usada a média ou a mediana. Como com dados ordinais, a mediana é preferida para propósitos descritivos. A maioria das teorias estatísticas para dados métricos usa a média.

18 Computação de Média, Mediana e Moda Média a estimativa da média, x _ ou ӯ, do parâmetro µ, é obtida da seguinte maneira: Dos dados do quadro.1, a média será: x = ( x1 + x x 40 ) 40 x _ = 38,5 Mediana do qua dro.1, primeiro é preciso ordenar em ordem crescente, (1ª) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (1) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (0) (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (30) (31) (3) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40ª) Neste caso, o número total de observações, n, é par, a mediana será a média aritmética dos vigésimo e vigésimo-primeiro valores, ou seja, ( )/ = Moda é simplesmente o ponto médio da classe que tem a maior freqüência, que no nosso caso, quadro., é 35, que tem a freqüência = 19. Resumo das estimativas das medidas: Média = 38,5 Mediana = 34,5 Moda = 35,0 Interpretação: um conjunto de dados pode ter mais de uma moda, mas sempre terá somente uma média ou mediana. Como você pode ver, de um mesmo conjunto de dados, você tem diferentes medidas de tendência central. Qual delas é a melhor? A decisão vai depender, principalmente, do objetivo de sua informação. Quando a gente vende madeira em volume, normalmente truncada a um determinado diâmetro mínimo, a média deve prevalecer tendo em vista a maior facilidade para os cálculos posteriores. Se a árvore é vendida em pé, a moda pode ser mais interessante, porque ela dá uma noção também da distribuição de freqüência. A utilização da mediana é mais prática na tomada de decisões quanto a tratamentos silviculturais, desbastes etc., quando você precisa priorizar o tamanho que precisa sofrer intervenções.