Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 3 21 de março de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 3 21 de março de 2011 Aula 3 Pré-Cálculo 1

2 O que é um número? Dicionário Aurélio: Números Número [Do lat numeru] S m 1 A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc 2 Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc 3 Nome, símbolo ou representação de uma quantidade [Cf numeral (3)] 4 Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc) e que é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um conjunto dado Aula 3 Pré-Cálculo 2 Aula 3 Pré-Cálculo 5 O que é um número? O que é um número? Wikipédia: Número é a essência eoprincípio de todas as coisas (Pitágoras) Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton) Número é um composto da unidade (Euclides) Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada arbitrariamente como unidade (Euler) Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux) Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant) Número éomovimento acelerado ou retardado (Aristóteles) Número é uma coleção de unidades (Condorcet) Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer) Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell) Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por qual motivo foram inventados os números: Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real Aula 3 Pré-Cálculo 7 Aula 3 Pré-Cálculo 9

3 Números naturais números naturais Números naturais interpretados como interpretados como números ordinais números cardinais (substantivo) (adjetivo) Aula 3 Pré-Cálculo 10 Aula 3 Pré-Cálculo 14 Números naturais como números ordinais Axiomas de Peano N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes propriedades: (a) Todo número natural tem um único sucessor (b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes (c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro (d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais Se 1 X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = N Números naturais como números ordinais N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,} 2 é o sucessor de 1 3 é o sucessor de 2 4 é o sucessor de 3 Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,} dos números naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são desprovidos de significado Cada um desses objetos (um número natural) possui apenas um lugar determinado nesta sequência Nenhuma outra propriedade lhes serve de definição Todo número tem um sucessor (único) e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é sucessor) [Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003] Aula 3 Pré-Cálculo 16 Aula 3 Pré-Cálculo 19

4 Sucessor de n é {n} 0 1 { } {0} 2 {{ }} {1} 3 {{{ }}} {2} Sucessor de n é n {n} 0 1 { } 0 {0} 2 {, { }} 1 {1} 3 {, { }, {, { }}} 2 {2} n {n 1} n (n 1) {n 1} Aula 3 Pré-Cálculo 27 Aula 3 Pré-Cálculo 35 Escrita Cuneiforme Babilônica Escrita Maia Aula 3 Pré-Cálculo 36 Aula 3 Pré-Cálculo 37

5 Escrita Chinesa Escrita Romana I II III IV V X L C D M Aula 3 Pré-Cálculo 38 Aula 3 Pré-Cálculo 39 Escrita Egípcia Escrita Egípcia Aula 3 Pré-Cálculo 40 Aula 3 Pré-Cálculo 41

6 Números naturais como números ordinais: operações Adição Escrita Braille n + 1 é, por definição, o sucessor de n n + 2 = n +(1 + 1) é, por definição, (n + 1)+1 n + 3 = n +(2 + 1) é, por definição, (n + 2)+1 =((n + 1)+1)+1 n +(p + 1) é, por definição, (n + p)+1 Multiplicação n 1 é, por definição, n n 2 = n (1 + 1) é, por definição, n 1 + n = n + n n 3 = n (2 + 1) é, por definição, n 2 + n =(n + n)+n n (p + 1) é, por definição, n p + n = n + n + + n (com p + 1 parcelas) Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas e distributivas Aula 3 Pré-Cálculo 42 Aula 3 Pré-Cálculo 67 Números naturais como números ordinais: ordem Números naturais como números cardinais Ordem Dados m, n N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para significar que existe algum p N tal que n = m + p (isto quer dizer que n éo sucessor do sucessor,,dosucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo iterado p vezes Propriedades (Transitividade) Sem < n e n < p, então m < p (Tricotomia) Se m, n N, vale uma, e somente uma, das seguintes alternativas: m = n, m < n ou n < m (Monoticidade) Sem < n, então para qualquer p N, vale as seguintes desigualdades m + p < n + p e m p < n p (Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor elemento (não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui) X Y Aula 3 Pré-Cálculo 74 Aula 3 Pré-Cálculo 76

7 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo matemático que torna possível o processo de contagem Noutras palavras, eles respondem a perguntas do tipo: Quantos elementos tem este conjunto? Definições Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma função bijetiva f : X Y Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se pode estabelecer uma função bijetiva f : I n X, onde n N e I n = {k N 1 k n} O número natural n chama-se então o número cardinal do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X Por convenção, o conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos X Y Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito Isto quer dizer que X não é vazio e que, não importa qual seja n N, não existe função bijetiva f : I n X Aula 3 Pré-Cálculo 78 Aula 3 Pré-Cálculo 86 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? X Y (Ir para o GeoGebra) Aula 3 Pré-Cálculo 88 Aula 3 Pré-Cálculo 89

8 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? O Hotel Infinito de Hilbert (Ir para o GeoGebra) Aula 3 Pré-Cálculo 90 Aula 3 Pré-Cálculo 91 Um pequeno comentário gramatical Semelhança dos nomes dos números Quando dizemos o número um, o número dois ou o número três, as palavras um, dois e três são substantivos, pois são nomes de objetos Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como um ano, dois meses e três dias, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal, isto é, como resultados de contagens Nesta frase, um, dois e três não são substantivos Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas (como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas, resolveram chamar numeral apenas Este comentário visa salientar a diferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, e o seu emprego como números cardinais [Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003] Sânscrito eka dva tri catur panca sas sapta asta nava daca cata sehastre Grego Antigo en duo tri tetra pente hex hepta octo ennea deca ecaton xilia Latim Alemão Inglês Francês Russo unus duo tres quatuor quinque sex septem octo novem decem centum mille eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn hundert tausend one two three four five six seven eight nine ten hundred thousand un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix cent mille odyn dva tri chetyre piat shest sem vosem deviat desiat sto tysiaca Aula 3 Pré-Cálculo 92 Aula 3 Pré-Cálculo 93

9 Giuseppe Peano David Hilbert Matemático italiano (27 de agosto de de abril de 1932) Matemático alemão (23 de janeiro de de feveriro de 1943) Aula 3 Pré-Cálculo 94 Aula 3 Pré-Cálculo 95 Leitura extraclasse Capítulos 1, 2 e 3 Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado A Matemática do Ensino Médio Volume 1 Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2003 Leitura extraclasse Aula 3 Pré-Cálculo 96 Aula 3 Pré-Cálculo 97

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