Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 3 15 de março de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 3 15 de março de 2010 Aula 3 Pré-Cálculo 1

2 Exercício [07]: erros Se x R e x 2 = 4, então x = 2 Solução A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: x = 2 De fato: x = 2 satisfaz a hipótese uma vez que 2 R e ( 2) 2 = 4; e x = 2 não satisfaz a tese uma vez que 2 2 Soluções dos exercícios Problemas de organização e erros frequentes: Aula 3 Pré-Cálculo 2 Aula 3 Pré-Cálculo 10 Exercício [06]: erros Se a R, b R e a b = 1, então a = 1oub = 1 Exercício [22]: erros Se x R e x 2 = x, então x = 1 Solução A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: a = 2eb = 1/2 De fato: a = 2eb = 1/2 satisfazem a hipótese uma vez que 2 R,1/2 R e (2) (1/2) =1; e a = 2eb = 1/2 não satisfazem a tese uma vez que 2 1 Solução A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: x = 0 De fato: x = 0 satisfaz a hipótese uma vez que 0 R e (0) 2 = 0; e x = 0 não satisfaz a tese uma vez que 0 1 Problemas de organização e erros frequentes: Problemas de organização e erros frequentes: Aula 3 Pré-Cálculo 18 Aula 3 Pré-Cálculo 26

3 Exercício [01]: erros Se m e n são inteiros ímpares, então m n é ímpar Exercício [01]: erros Se m e n são inteiros ímpares, então m n é ímpar Solução A sentença é verdadeira De fato: se m e n são inteiros ímpares, então m = 2 k + 1en = 2 l + 1 para alguns inteiros k e l Assim, m n =(2 k + 1) (2 l + 1) =4 k l + 2 k + 2 l + 1 = 2 (2 k l + k + l)+1 Logo, m n é um número ímpar Problemas de organização e erros frequentes: Solução A sentença é verdadeira De fato: se m e n são inteiros ímpares, então m = 2 k + 1en = 2 l + 1 para alguns inteiros k e l Assim, m n =(2 k + 1) (2 l + 1) =4 k l + 2 k + 2 l + 1 = 2 (2 k l + k + l)+1 Logo, m n é um número ímpar Problemas de organização e erros frequentes: Aula 3 Pré-Cálculo 37 Aula 3 Pré-Cálculo 39 Exercício extra Verdadeiro ou falso? Justifique! Se x R e 2 x 1 x 5 > 1, então 2 x 1 > x 5 Exercício extra Resposta: A sentença é falsa x = 5 é um contraexemplo, pois x = 5 satisfaz a hipótese, uma vez que 2 ( 5) 1 ( 5) 5 = = > 1 mas x = 5 não satisfaz a tese, uma vez que 2 x 1 = 11, x 5 = 10 e 11 < 10 Aula 3 Pré-Cálculo 40 Aula 3 Pré-Cálculo 52

4 O que é um número? Dicionário Aurélio: Números Número [Do lat numeru] S m 1 A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc 2 Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc 3 Nome, símbolo ou representação de uma quantidade [Cf numeral (3)] 4 Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc) e que é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um conjunto dado Aula 3 Pré-Cálculo 53 Aula 3 Pré-Cálculo 56 O que é um número? O que é um número? Wikipédia: Número é a essência eoprincípio de todas as coisas (Pitágoras) Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton) Número é um composto da unidade (Euclides) Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada arbitrariamente como unidade (Euler) Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux) Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant) Número éomovimento acelerado ou retardado (Aristóteles) Número é uma coleção de unidades (Condorcet) Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer) Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell) Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por qual motivo foram inventados os números: Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real Aula 3 Pré-Cálculo 58 Aula 3 Pré-Cálculo 60

5 Números naturais números naturais Números naturais interpretados como interpretados como números ordinais números cardinais (substantivo) (adjetivo) Aula 3 Pré-Cálculo 61 Aula 3 Pré-Cálculo 65 Números naturais como números ordinais Axiomas de Peano N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes propriedades: (a) Todo número natural tem um único sucessor (b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes (c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro (d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais Se 1 X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = N Números naturais como números ordinais N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,} 2 é o sucessor de 1 3 é o sucessor de 2 4 é o sucessor de 3 Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,} dos números naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são desprovidos de significado Cada um desses objetos (um número natural) possui apenas um lugar determinado nesta sequência Nenhuma outra propriedade lhes serve de definição Todo número tem um sucessor (único) e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é sucessor) [Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003] Aula 3 Pré-Cálculo 67 Aula 3 Pré-Cálculo 70

6 Sucessor de n é n {n} 0 1 { } 0 {0} 2 {, { }} 1 {1} 3 {, { }, {, { }}} 2 {2} Sucessor de n é {n} 0 1 { } {0} 2 {{ }} {1} 3 {{{ }}} {2} n (n 1) {n 1} n {n 1} Aula 3 Pré-Cálculo 78 Aula 3 Pré-Cálculo 79 Escrita Cuneiforme Babilônica Escrita Maia Aula 3 Pré-Cálculo 80 Aula 3 Pré-Cálculo 81

7 Escrita Chinesa Escrita Romana I II III IV V X L C D M Aula 3 Pré-Cálculo 82 Aula 3 Pré-Cálculo 83 Escrita Egípcia Escrita Egípcia Aula 3 Pré-Cálculo 84 Aula 3 Pré-Cálculo 85

8 Números naturais como números ordinais: operações Adição n + 1 é, por definição, o sucessor de n n + 2 = n +(1 + 1) é, por definição, (n + 1)+1 n + 3 = n +(2 + 1) é, por definição, (n + 2)+1 =((n + 1)+1)+1 n +(p + 1) é, por definição, (n + p)+1 n 1 é, por definição, n Multiplicação n 2 = n (1 + 1) é, por definição, n 1 + n = n + n n 3 = n (2 + 1) é, por definição, n 2 + n =(n + n)+n n (p + 1) é, por definição, n p + n = n + n + + n (com p + 1 parcelas) Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas e distributivas Números naturais como números ordinais: ordem Ordem Dados m, n N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para significar que existe algum p N tal que n = m + p (isto quer dizer que n éo sucessor do sucessor,,dosucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo iterado p vezes Propriedades (Transitividade) Sem < n e n < p, então m < p (Tricotomia) Se m, n N, vale uma, e somente uma, das seguintes alternativas: m = n, m < n ou n < m (Monoticidade) Sem < n, então para qualquer p N, vale as seguintes desigualdades m + p < n + p e m p < n p (Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor elemento (não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui) Aula 3 Pré-Cálculo 110 Aula 3 Pré-Cálculo 117 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais X Y X Y Aula 3 Pré-Cálculo 119 Aula 3 Pré-Cálculo 121

9 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo matemática que torna possível o processo de contagem Noutras palavras, eles respondem a perguntas do tipo: Quantos elementos tem este conjunto? Definições Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma função bijetiva f : X Y Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se pode estabelecer uma função bijetiva f : I n X, onde n N e I n = {k N 1 k n} O número natural n chama-se então o número cardinal do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X Por convenção, o conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito Isto quer dizer que X não é vazio e que, não importa qual seja n N, não existe função bijetiva f : I n X X Y Aula 3 Pré-Cálculo 129 Aula 3 Pré-Cálculo 131 Números naturais como números cardinais Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? Números naturais como números cardinais Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? (Ir para o GeoGebra) (Ir para o GeoGebra) Aula 3 Pré-Cálculo 132 Aula 3 Pré-Cálculo 133

10 Números naturais como números cardinais Um pequeno comentário gramatical O Hotel Infinito de Hilbert Quando dizemos o número um, o número dois ou o número três, as palavras um, dois e três são substantivos, pois são nomes de objetos Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como um ano, dois meses e três dias, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal, isto é, como resultados de contagens Nesta frase, um, dois e três não são substantivos Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas (como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas, resolveram chamar numeral apenas Este comentário visa salientar a diferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, e o seu emprego como números cardinais [Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003] Aula 3 Pré-Cálculo 134 Aula 3 Pré-Cálculo 135 Semelhança dos nomes dos números Giuseppe Peano Sânscrito Grego Antigo Latim Alemão Inglês Francês Russo eka dva tri catur panca sas sapta asta nava daca cata sehastre en duo tri tetra pente hex hepta octo ennea deca ecaton xilia unus duo tres quatuor quinque sex septem octo novem decem centum mille eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn hundert tausend one two three four five six seven eight nine ten hundred thousand un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix cent mille odyn dva tri chetyre piat shest sem vosem deviat desiat sto tysiaca Matemático italiano (27 de agosto de de abril de 1932) Aula 3 Pré-Cálculo 136 Aula 3 Pré-Cálculo 137

11 David Hilbert Leitura extraclasse Matemático alemão (23 de janeiro de de feveriro de 1943) Aula 3 Pré-Cálculo 138 Aula 3 Pré-Cálculo 139 Leitura extraclasse Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube Capítulos 1, 2 e 3 Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado A Matemática do Ensino Médio Volume 1 Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Aula 3 Pré-Cálculo 140 Aula 3 Pré-Cálculo 141