Capítulo II. Noções básicas sobre incerteza em medidas experimentais

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1 Capítulo II Noções básicas sobre incerteza em medidas experimentais 2.1. Verdadeiro valor de uma grandeza. Dispersão de resultados. Incerteza ou erro Erro absoluto, relativo e percentual Erros de observação: sistemáticos e acidentais Precisão e Exactidão Incertezas em medidas directas. Medidores analógicos e digitais Incerteza expressa nos algarismos significativos. Arredondamentos Discrepância entre medidas de uma mesma grandeza Diferença relativa entre medidas experimentais e constantes físicas 31 Departamento de Física da FCTUC 21

2 Noções básicas sobre incerteza em medidas experimentais 2.1. Verdadeiro valor de uma grandeza. Dispersão de resultados. Incerteza ou erro. A ciência experimental mostra-nos que nenhuma medida, por mais cuidada que seja a sua preparação e execução, está completamente livre de imprecisões e incertezas. Essas imprecisões e incertezas provêm: - de limitações da aparelhagem [sensibilidade, precisão (nº dígitos do mostrador), desvio do zero, etc.]; - do experimentador [da estimativa que faz (avaliar uma posição numa escala), dos seus reflexos (ligar ou desligar um cronómetro), etc.]; - do próprio método experimental, que põe em relevo certos aspectos e menoriza outros. Podemos afirmar, por isso, que nunca é possível conhecer o verdadeiro valor de uma grandeza. Ainda assim, admitamos que esse verdadeiro valor existe e chamemos-lhe x 0. O facto de existirem sempre imprecisões e incertezas nas medidas experimentais implica então que, sempre que possível, devemos realizar várias medidas da mesma grandeza 1 nas mesmas condições experimentais. Normalmente, os valores vão diferir uns dos outros (há sempre dispersão de valores) e deveremos dispor de modos de, a partir desse conjunto de dados obtidos, escolhermos um valor como a melhor estimativa para representar o verdadeiro valor da grandeza medida. Chamaremos a esse melhor valor x best. Se os valores medidos não se afastarem muito uns dos outros, ou seja, apresentarem uma dispersão pequena, é natural admitirmos que o x best que venhamos a adoptar esteja perto do tal verdadeiro valor x 0. Pelo contrário, se os valores estiverem muito dispersos, o grau de confiança com que adoptaremos x best será obviamente pequeno. Assim, ao adoptarmos x best como a melhor estimativa do verdadeiro valor x 0, devemos também dar informação sobre o grau de confiança que temos nesse resultado. Em análise de dados esse grau de confiança é traduzido pelo intervalo de valores à volta de x best onde confiamos estar o verdadeiro valor da grandeza, x 0. Esse intervalo é definido pela incerteza ou erro, x, que atribuímos à nossa estimativa, e podemos então escrever: x 0 xbest x, xbest x O resultado final da grandeza, depois de efectuadas várias medições e de procedermos à análise dos dados, deve ser apresentado como x best ± δx. 1 É claro que, embora seja sempre aconselhável repetirmos várias vezes as medidas experimentais, há situações em que apenas se pode realizar uma medição. É o caso de acontecimentos astronómicos ou de experiências de elevado custo, complexidade ou duração. Departamento de Física da FCTUC 22

3 Por exemplo, se o tratamento de dados nos levar a concluir que x best = 36.5 mm e δx = 0.4 mm, deveremos apresentar o resultado num dos formatos: x best ± δx = 36.5 ± 0.4 mm ou x best ± δx = 36.5(4) mm. No último formato, o nº entre parêntesis significa que o nº imediatamente antes vem afectado por esse valor de incerteza. Repare que a incerteza tem sempre as mesmas unidades da grandeza a que está associada Erro absoluto, relativo e percentual A incerteza δx associada a x best, é conhecida por erro absoluto. Por conveniência toma-se δx > 0, de modo a que x+δx seja sempre o valor mais alto do intervalo. δx é, portanto, o limite superior do erro ou incerteza. como É muitas vezes útil, em vez de tomarmos δx, utilizarmos o erro relativo, definido x x r, ou o erro percentual, definido como r 100%. x x best best 2.3. Erros de observação: sistemáticos e acidentais Quando realizamos experiências, as medições efectuadas podem vir afectadas por dois tipos de incerteza: os erros sistemáticos e os erros aleatórios. Os erros sistemáticos estão associados aos instrumentos e às técnicas ou metodologias experimentais. Influenciam todas as medições da mesma quantidade e no mesmo sentido, ou por excesso ou por defeito, e podem ser corrigidos, se a causa for descoberta e eliminada. Porém, são muitas vezes difíceis de avaliar, exigem conhecimento da técnica e dos aparelhos utilizados e muito cuidado e perícia por parte do experimentador. Exemplos deste tipo de erros de observação são a má calibração de um aparelho de medida ou uma simplificação incorrecta do modelo matemático usado na análise dos dados (por ex., desprezar forças de atrito em experiências onde os seus efeitos afectam seriamente os resultados). Os erros acidentais estão associados a flutuações aleatórias dos resultados das medidas, provenientes quer da aparelhagem quer do experimentador. Ao contrário dos erros sistemáticos, este tipo de erros resulta de factores incertos e ocasionais, variam em grandeza e em sentido de modo aleatório e podem ser minimizados repetindo a medida várias vezes. Exemplos de erros aleatórios que acontecem no decorrer de uma experiência são: variações da temperatura ou da pressão atmosférica (correntes de ar); variações da tensão de alimentação dos aparelhos; vibrações mecânicas (por exemplo, induzidas por camiões que passam na rua); limitações da visão humana (na leitura de escalas, por ex.); e a rapidez de reflexos do experimentador (por exemplo, ao ligar ou parar um cronómetro). A distinção entre erros sistemáticos e aleatórios não é sempre evidente e um mesmo problema pode gerar erros aleatórios numa dada situação e erros sistemáticos noutra. Vejamos, por exemplo, os erros de paralaxe, ou seja, erros de leitura de escalas originados Departamento de Física da FCTUC 23

4 pelo incorrecto posicionamento da linha de visão. Esse posicionamento deve ser sempre perpendicular ao plano da escala no ponto de leitura mas, se a linha de visão for deslocada umas vezes mais para a esquerda, outras vezes mais para a direita da perpendicular ao ponto de leitura, os valores obtidos vêm afectados por erros de paralaxe, umas vezes por defeito outras por excesso. São, sem dúvida, erros aleatórios. Contudo, se o ponto de leitura estiver num plano superior ao dos nossos olhos e não nos pusermos em cima de um banco, por exemplo, para olhar a escala na perpendicular, cometeremos sistematicamente um erro de paralaxe que vai influenciar todos os resultados no mesmo sentido. Neste caso, os erros de paralaxe são erros sistemáticos. Os tratamentos estatísticos que serão apresentados neste manual dizem respeito a incertezas aleatórias, apenas. Não esqueçamos, contudo, que deve ser dada muita atenção a possíveis fontes de erros sistemáticos (à partida desconhecidos). Se os erros sistemáticos forem importantes podem chegar a invalidar as conclusões que pretendemos tirar das nossas experiências. Não há teorias simples que nos digam como proceder quanto a erros sistemáticos mas há duas orientações muito sensatas: 1) sistemas experimentais bem calibrados ajudam a precaver erros sistemáticos; logo, é importante termos padrões de calibração para os instrumentos utilizados; 2) variar métodos e procedimentos pode revelar erros sistemáticos de que, à partida, não suspeitávamos. Quando identificadas as fontes de erro sistemático, elas devem ser reduzidas até que as incertezas que daí advêm sejam menores do que a precisão desejada Precisão e Exactidão Os termos precisão (ou rigor) e exactidão (ou fidelidade) 2 são também utilizados para caracterizar os erros associados aos valores medidos experimentalmente. A precisão (ou rigor) traduz quão bem determinado foi um resultado, sem o relacionar com o verdadeiro valor da grandeza. A precisão é boa (ou o resultado rigoroso), quando os erros acidentais são pequenos comparados com o valor medido δx << x best. Por outro lado, a exactidão (ou fidelidade) avalia quão perto o resultado está do verdadeiro valor. A exactidão é grande (ou o resultado fiel) se os erros sistemáticos são pequenos. A figura 2.1 ajuda a relacionar os quatro conceitos anteriores (erros sistemáticos, erros aleatórios, precisão e exactidão), admitindo que o verdadeiro valor da grandeza é conhecido e está situado no círculo mais interno de cada conjunto de circunferências. Como se pode ver nas figuras (b), (c) e (e), os erros sistemáticos originam conjuntos de medidas que estão descentradas do verdadeiro valor, sendo má a exactidão. Contudo, se os erros acidentais ou aleatórios cometidos foram pequenos (figuras (e) e (f)), originando valores pouco dispersos, a precisão é boa. Repare-se contudo que, como o verdadeiro valor da grandeza medida não é conhecido, o resultado das nossas medições assemelha-se mais à figura 2.2, onde a dispersão nos ajuda a perceber se existiram ou não erros aleatórios mas não nos informa sobre a eventual existência de erros sistemáticos. 2 Em inglês usam-se os termos precision e accuracy para precisão e exactidão, respectivamente. Departamento de Física da FCTUC 24

5 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 2.1 Figura Incertezas em medidas directas. Medidores analógicos e digitais. Quando realizamos uma experiência, um dos aspectos a cuidar é a selecção dos instrumentos de medida que serão utilizados. Os instrumentos devem ser escolhidos de acordo com a finalidade da experiência e a natureza das grandezas a medir e podem ser de tipo analógico ou digital. São instrumentos analógicos aqueles em que o valor da grandeza medida envolve a leitura de uma escala (régua, termómetro, voltímetro, osciloscópio, etc.) e são aparelhos digitais aqueles que apresentam um mostrador digital, dando directamente o valor numérico da grandeza (relógio digital, termómetro digital, multímetro, osciloscópio digital, etc.). Uma escolha e utilização correctas dos instrumentos de medida implica conhecermos bem as suas características, nomeadamente, o seu intervalo de funcionamento e a sua sensibilidade, e sabermos manuseá-los correctamente. O intervalo de funcionamento diz respeito aos valores mínimo e máximo que é possível medir com o instrumento. Dentro desse intervalo de funcionamento o fabricante garante que a resposta do aparelho é fiável e que ele não se danifica. A sensibilidade do aparelho está relacionada com a razão entre uma variação do estímulo (ou seja, da intensidade do sinal que entra no aparelho) e da resposta (intensidade do sinal lido na escala ou no Departamento de Física da FCTUC 25

6 mostrador digital). Um aparelho de elevada sensibilidade varia muito o sinal lido no mostrador quando a variação do sinal à entrada é muito pequena. Muitas vezes usa-se também o termo resolução do aparelho para designar a sua capacidade de discriminar sinais pequenos: é o valor mínimo de variação do sinal à entrada do aparelho que provoca uma variação perceptível na resposta do mesmo. Outro cuidado muito importante na utilização de instrumentos de medida é que se verifique (sempre que possível) se eles estão bem calibrados. A calibração de um aparelho é precisamente a operação ou conjunto de operações que estabelecem a correspondência correcta entre os valores indicados no mostrador do aparelho e a intensidade de uma dada grandeza física. Como já referimos, quando um instrumento de medida não está bem calibrado (por exemplo, quando um voltímetro tem o zero mal ajustado e indica o valor 0.00 volts para uma tensão contínua à entrada que na realidade é de 0.01 volts) todos os valores medidos virão afectados desse erro sistemático. O bom funcionamento e calibração do aparelho e o seu correcto manuseamento são, portanto, condições essenciais para evitar erros sistemáticos no processo de medição. Admitindo então que os instrumentos de medida estão bem calibrados e funcionam correctamente, como podemos avaliar a incerteza associada à medição em si? Medida analógica Quando a fonte de incerteza é a leitura de uma escala, é costume tomar-se como incerteza associada à leitura metade da menor divisão da escala (por exemplo, 0.5 mm no exemplo da figura 2.3, uma vez que a menor divisão mede 1 mm). Comprimento do prego = 3.00 ± 0.05 cm ou 3.00(5) cm Figura 2.3 Contudo, por vezes as escalas são grandes e é possível dividi-las visualmente em mais do que duas partes, ou são tão pequenas que não é possível perceber se o ponteiro ou o ponto de medida está para cá ou para lá do meio da menor divisão. Nesse caso, a sensatez aconselha que se tome como incerteza o menor valor que defina um intervalo de erro que dê confiança à medida realizada; pode ser a menor divisão (e não metade) se a divisão for muito pequena; pode ser ¼ da menor divisão se conseguirmos dividi-la visualmente em 4 partes, etc. Medida digital Quando se utiliza um medidor digital, as especificações do aparelho fornecidas pelo fabricante costumam indicar a incerteza associada a cada medida e, em geral, essa incerteza é dada sob a forma percentual. Por exemplo, se estiver indicado no manual da balança digital da figura 2.4 que as medidas com ela efectuadas têm uma incerteza percentual associada de 1%, isso significa que a massa dos pregos terá um erro absoluto associado de 0,035 g. Poderemos então arredondar este valor e apresentar a massa dos pregos como 0.35±0.04 g. Pelo contrário, quando desconhecemos as especificações do aparelho utilizado, é costume tomar-se como incerteza absoluta uma unidade no dígito menos significativo acessível no mostrador (o dígito 5, no exemplo da figura 2.4). (Veremos na secção seguinte o que se entende por dígitos significativos.) Departamento de Física da FCTUC 26

7 Massa dos pregos = 0.35±0.01 g ou 0.35(1) g Figura 2.4 Em princípio, é mais fácil utilizar um medidor digital do que um medidor analógico convencional. O medidor digital deve indicar apenas dígitos significativos, a menos que esteja defeituoso. Contudo, não devemos deixar que a utilização de aparelhos digitais nos dê uma falsa ideia de precisão. Por exemplo, um cronómetro digital pode fornecer medidas de tempo com grande precisão (imaginemos que até às centésimas de segundo). Contudo, a medida pode vir afectada de uma grande imprecisão, por exemplo, associada ao nosso reflexo de ligar e desligar o cronómetro. Além disso, há outras fontes de incerteza mais difíceis de quantificar do que a simples leitura de escalas, sejam analógicas ou digitais. Uma delas é a dificuldade em definir o ponto de leitura que surge em certas realizações experimentais. Este tipo de problema é conhecido como problema de definição e exemplos frequentes são a dificuldade em obter uma imagem nítida num ecrã (como exemplificado na figura 2.5) ou de decidir a posição em que se deve ligar ou desligar um cronómetro. Figura 2.5 Portanto, não se pode considerar só a questão da escala ou mostrador de leitura na avaliação dos erros associados a uma medida. Há frequentemente outras fontes de incerteza que, se não forem consideradas, vão originar incertezas subestimados 3. A incerteza experimental que vamos associar a uma dada medida deve ser estimada ponderando todos os factores experimentais envolvidos, ou seja, o sistema experimental, a metodologia seguida, a perícia do operador e até a propagação de erros, caso haja cálculos matemáticos envolvidos. Sendo então uma estimativa, é de esperar que deva ser também quantificada a própria confiança que temos ao apresentar o intervalo de valores x best ±δx como aquele que contém o verdadeiro valor x 0 de uma dada grandeza física. Essa questão será desenvolvida num capítulo posterior. Por agora consideremos apenas o seguinte: se a quantidade δx é a incerteza estimada associada ao valor da grandeza física x, não tem sentido essa incerteza ser dada com demasiada precisão. Por exemplo, seria absurdo medirmos a aceleração da gravidade e apresentarmos o seguinte resultado: g (medido experimentalmente) = 9.84 ± m/s 2. 3 Também não devemos sobrestimar os erros, pois corremos o risco de tornar as medidas inúteis. (Lembremos a medida do Artur, no caso da coroa falsa!) Departamento de Física da FCTUC 27

8 Com quantos algarismos significativos devemos apresentar o valor de uma incerteza? Vejamos, primeiro, o que são algarismos significativos Incerteza expressa nos algarismos significativos. Arredondamentos. Algarismos significativos são os algarismos com significado na medida efectuada. No caso do medidor de ph representado na figura 2.6, o valor lido deve ser exactamente o que está indicado, ou seja, ph=7.00 e não apenas ph=7. Os zeros à direita da vírgula têm significado para o valor da grandeza a medir: são algarismos significativos. Como se determinam os algarismos significativos de um número? (por exemplo, de 2350, ou , ou 6.41x10-2 ) 1) O dígito mais à esquerda que não seja zero é o dígito mais significativo. (2 no 1º exemplo; 7 no 2º; 6 no 3º) ph = 7.00 Figura 2.6 2) Se não houver vírgula (ponto) decimal, o dígito mais à direita que não seja zero é o dígito menos significativo. (5 no 1º exemplo) 3) Se houver vírgula (ponto) decimal, o dígito mais à direita é o dígito menos significativo, mesmo que seja um zero. (0 no 2º exemplo; 1 no 3º) 4) Todos os dígitos situados entre o menos e o mais significativo (inclusive) são dígitos significativos. Outros exemplos: 1234, , 123.4, 1001, 10.10, são números com 4 dígitos significativos; 3.20x10 2 tem 3 dígitos significativos; 320 tem apenas 2 dígitos significativos. Com quantos algarismos significativos devemos apresentar o valor de uma incerteza? 1) Em resultados parciais, em geral dois ou três dígitos são suficientes para não favorecer a propagação de erros por arredondamento. 2) Num resultado final, não devemos apresentar mais do que dois algarismos significativos. Muitos autores e tabelas de dados publicados seguem a seguinte orientação para resultados finais: para incertezas até certo valor (25 ou 35) usam dois dígitos e para incertezas superiores (26 ou 36, respectivamente) usam apenas um algarismo significativo. Em TLF seguiremos esta 2ª possibilidade na apresentação de resultados finais. Por exemplo, se r = m e r = 0.75 m, escreveremos 23.5 ± 0.8 m; se T = K e T = 0.27 K, escreveremos ± 0.27 K. Departamento de Física da FCTUC 28

9 Adições e subtracções Orientação para operações com algarismos significativos O resultado final terá o mesmo número de casas decimais significativas da parcela que tiver o menor número delas: Produtos, divisões = = = = 3.97 O resultado final terá o mesmo número de algarismos significativos do que o número interveniente com menos algarismos significativos: x 0.6 = 2.74 = : 0.60 = 7.62 = = = 3.0x10 2 Raiz quadrada, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas, etc. O resultado final tem o mesmo nº de algarismos significativos do valor de partida. log = e = Regras para arredondamentos 1) Se o algarismo final é maior do que 5, o arredondamento é feito por incremento do algarismo seguinte. 2) Se o algarismo final é menor do que 5, o arredondamento é feito deixando igual o algarismo seguinte. 3) Se o algarismo final é exactamente 5, o algarismo seguinte só é incrementado se for um nº ímpar. Por exemplo, 15.5 é arredondado para 16 e 16.5 é arredondado para 16. A razão de ser da 3ª regra é evitar erros sistemáticos que apareceriam se arredondássemos os números cujo algarismo final é 5 incrementando sempre o dígito anterior ou mantendo-o sempre igual. Assim, arredondam-se uns números por excesso e outros por defeito, o que não dá um comportamento sistemático. Lembremos também que, em cálculos, os valores intermédios devem sempre manter mais algarismos do que o número de algarismos significativos estritamente necessário, de forma a que os erros por arredondamento sejam minimizados. Por exemplo: / 4.5 = / 4.50 = 2.60 = 2.6 e não / 4.5 = 1.2 / 4.50 = 2.67 = 2.7 Além disso, as constantes matemáticas são consideradas exactas e, quando tal tem sentido, devem ser sempre utilizadas com mais algarismos significativos do que a parcela com menor número de algarismos significativos. Departamento de Física da FCTUC 29

10 Por exemplo: y = 2x x = => y = r = 5.0 cm => πr 2 = = = 78 cm Discrepância entre medidas de uma mesma grandeza Imaginemos que foram realizadas várias medidas do valor de uma mesma resistência eléctrica por dois métodos diferentes (A e B). Cada um dos conjuntos de medidas realizadas por cada um dos métodos foi devidamente tratado, tendo-se chegado aos seguintes resultados finais apresentados a seguir sob a forma x best ± δx: Método A: R = 15 ± 1 Ω (ε r = 7%) Método B: R = 25 ± 2 Ω (ε r = 8%). A figura 2.7-(a) ilustra os mesmos resultados, onde o melhor valor de cada medida, x best, é representado pelo ponto e o intervalo de valores prováveis (intervalo de confiança ou intervalo de incerteza) de cada resultado é representado pelas barra de erro vertical. Define-se discrepância entre os dois resultados como o valor da diferença entre os dois melhores valores correspondentes (neste exemplo, a discrepância = = 10 Ω). Considera-se que a discrepância é significativa quando o seu valor é maior do que a combinação das incertezas das duas medidas. É o que acontece neste caso, uma vez que a soma das incertezas dá 3 Ω, sendo, portanto, menor do que a discrepância encontrada. Isto indica-nos que pelo menos uma das medidas está incorrecta (embora os erros relativos sejam aceitáveis ). Figura 2.7 (Ref. Bibliográfica [2]) Departamento de Física da FCTUC 30

11 Consideremos agora que outros dois métodos (C e D) tinham conduzido aos seguintes resultados finais: Método C: R = 16 ± 8 Ω (ε r = 50%) Método D: R = 26 ± 9 Ω (ε r = 35%). Neste caso (fig. 2.7-(b)), a discrepância tem o mesmo valor (26 16 = 10 Ω) mas é considerada não-significativa, uma vez que as margens de erro se sobrepõem (8 + 9 = 17 > 10). Embora os resultados sejam bastante mais imprecisos do que no caso (a) (repare-se que os erros relativos são grandes!), não há razão para duvidarmos deles. Ambos podem estar certos. Concluí-se, portanto, que a discrepância entre duas medidas não deve ser ponderada apenas pela diferença entre os seus melhores valores mas, e mais importante, por quão grande a discrepância é quando comparada com as incertezas que afectam esses melhores valores. Discutiremos mais adiante possíveis limites para quantificar uma discrepância como aceitável e não aceitável Diferença relativa entre medidas experimentais e constantes físicas Outra situação que acontece com frequência em trabalhos laboratoriais que pretendem ilustrar as leis da Natureza é a realização de experiências para medirmos grandezas já bem estabelecidas e publicadas, como a aceleração da gravidade, a carga do electrão, a temperatura do zero absoluto, a constante universal dos gases, etc. Essas grandezas são tomadas como constantes físicas mas, na verdade, foram também determinadas experimentalmente e, portanto, há sempre incerteza experimental associada aos seus valores. Contudo, como se trata de experiências já muitas vezes repetidas, com metodologias e instrumentação de elevada sensibilidade criteriosamente seleccionadas, os níveis de precisão e exactidão atingidos são muito elevados e a incerteza experimental é muito pequena. Assim, para todos os fins práticos, esses valores podem ser tomados como constantes. Então, quando obtemos resultados experimentais (medidos directa ou indirectamente) dessas constantes físicas devemos compará-los do seguinte modo i) Ver se o nosso intervalo experimental x best ± δx contém o valor da constante (chamemos-lhe, genericamente, valor esperado, x esp ), ou seja, se x esp x x,x x. best Se tal acontece, o resultado da experiência pode ser considerado bom (estamos a admitir que x é razoável ). ii) Se o intervalo experimental não contém o valor esperado, devemos então analisar a diferença relativa xbest xesp. x Departamento de Física da FCTUC 31 esp Se a diferença relativa é pequena (o que nos indica que o resultado experimental em si mesmo é bom), então, provavelmente, o nosso erro experimental x foi subestimado e devemos tentar perceber porquê. Se a diferença relativa é grande, então isso indica-nos que um ou vários factores estão a introduzir erros sistemáticos importantes e, eventualmente, também aleatórios, e a experiência deve ser repensada. best