SUMÁRIO DO VOLUME. Física FÍSICA

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2 Física SUMÁRI D VLUME FÍSICA Movimento scilatório Periódico Energia do MHS Equações do MHS Gráfi cos do MHS Frequência e Período do MHS 16. ndas.1 Classifi cação das ndas 3. ndas Periódicas 7.3 Velocidade das ndas Mecânicas 30.4 Potência e Intensidade de uma nda 3.5 Equação de uma nda Unidimensional 33.6 Defasagem entre Dois Pontos de uma nda 35.7 Refl eão e Refração de ndas em Cordas 36.8 Refl eão e Refração de ndas Bi e Tridimensionais 38.9 Difração de ndas 4.10 Interferência (Superposição de ndas) ndas Estacionárias 47.1 Eperiência de Young Ressonância Polarização Batimento Espectro Eletromagnético Acústica Considerações Iniciais Frequência e Velocidade das ndas Sonoras Intensidade Sonora e Nível de Intensidade Qualidades Fisiológicas do Som Refl eão de ndas Sonoras Cordas Vibrantes Tubos Sonoros Efeito Doppler 83

3 VLUME 1 SUMÁRI CMPLET Física 3 UNIDADE: NDULATÓRIA 1.. ndas 3. Acústica VLUME UNIDADE: ÓPTICA 4. Introdução 5. Espelho plano 6. Espelho esférico 7. Refração 8. Lentes esféricas 9. Instrumentos ópticos 10. Óptica da visão VLUME 3 UNIDADE: TERMLGIA 11. Termometria 1. Dilatação térmica dos sólidos 13. Dilatação térmica dos líquidos 14. Propagação de calor 15. Calorimetria 16. Mudanças de estado físico 17. Estudo dos gases 18. Termodinâmica

4 4 Física

5 Física 5 NDULATÓRIA 1. Movimento HARMÔNIC SIMPLES 1.1 Movimento scilatório Periódico que um relógio de pêndulo, um diapasão, um balanço, as cordas de um piano ou de um violão, os átomos nos corpos sólidos têm em comum? Todos eles têm funcionamento baseado em acontecimentos que se repetem, de tempo em tempo. Uma observação rápida do nosso cotidiano é capaz de nos mostrar vários fenômenos naturais com essa característica. Todo movimento que se repete em intervalos de tempo sucessivos e iguais, recebe o nome de fenômenos periódicos. utros eemplos de movimentos periódicos são: fases da lua, translação da Terra em torno do Sol, movimento circular uniforme, as estações do ano, etc. Chama-se Período (t) o tempo gasto para a realização de uma oscilação completa. Isso quer dizer que o período é o tempo gasto para que o objeto realize seu ciclo completo de movimento. No Sistema Internacional de unidades, o período é medido em segundos. Caso, num intervalo de tempo t, ocorreu n repetições (oscilações), o período é dado por: T = utra grandeza física muito importante, e que está relacionada com o período, é a frequência, que é o número de vezes que o movimento se repete por unidade de tempo, ou seja, se ocorreu n oscilações em um intervalo de tempo t, a frequência é dada por: f = t n n t Se o intervalo de tempo for medido em segundos, a unidade de frequência será o Hertz (Hz). Como o período e a frequência estão relacionados às medidas de tempo, há uma forte ligação entre eles. Matematicamente, uma grandeza é o inverso da outra, ou seja: f = 1 T ou T = 1 f Relógio. Diapasão. Balanço. Corda de um violão. Disponível em: < Acesso em: 01 ago Disponível em: < Acesso em: 01 ago Disponível em: < Acesso em: 01 ago Disponível em: < webnode.com.br>. Acesso em: 01 ago. 013.

6 6 Física Imaginemos que um balanço esteja realizando um movimento com 10 repetições (oscilações) a cada 0 s. Seu período e sua frequência podem ser determinados da seguinte maneira: f = n t T = t n T = 0 10 T =,0 s f = 10 0 f = 0,5 Hz ou f = 1 T = 1,0 = 0,5 Hz Todo movimento cujo sentido é regularmente invertido (alternância de sentidos), dá-se o nome de movimento oscilatório ou vibratório. São eemplos de movimentos oscilatórios: movimento do pêndulo simples, movimento de um diapasão, movimento de um sistema formado por uma massa e uma mola, movimento da corda de um violão, etc. m A B + A C A esfera do pêndulo oscila entre A e B. C é a posição de equilíbrio. corpo de massa m preso em uma mola oscila entre + A e. é a posição de equilíbrio. Em todos esses eemplos, eistem forças que atuam sobre os corpos oscilantes a fim de trazê-los para sua posição de equilíbrio. Essas forças são chamadas de forças restauradoras. No nosso curso, não iremos considerar as forças dissipativas, como, por eemplo, as forças de resistência do ar ou de atrito, que atuam nos corpos até que eles parem em sua posição de equilíbrio. 1. Nesta figura, temos um sistema constituído por um corpo de massa m preso a uma mola de constante elástica k (sistema massa-mola) que passa a oscilar entre os pontos e + A, simétricos ao ponto de equilíbrio (em que a força resultante na partícula é nula). A mola é ideal, e os atritos são desprezíveis. k Em relação ao eio, a posição do corpo, num determinado tempo t, é chamada elongação da mola. Lógico, se o corpo se encontra na posição de equilíbrio, a elongação é zero. Nos pontos de inversão do movimento e + A ocorre a elongação máima da mola, denominada de amplitude do movimento. Dizemos que um corpo realiza um Linear quando a força restauradora, que age nele, tem valor algébrico diretamente proporcional à elongação da mola, ou seja: m + A F = k onde k é a constante elástica da força e o sinal negativo indica que a força F tem sentido negativo ao do eio.

7 Física 7 No eemplo citado anteriormente do sistema massa-mola, a força restauradora aplicada pela mola é do tipo elástica, que pela Lei de Hooke, é proporcional à elongação. bservamos que a força F tem módulo máimo nas posições de inversão e + A e valor zero na posição de equilíbrio. Assim, podemos construir o seguinte gráfico: F = F = k A = A F = - k A = 0 F = 0 ka ka + A Robert Hooke. Disponível em: < Acesso em: 1 set Eercícios de sala 1 Um corpo realiza um movimento oscilatório, sob ação de uma força resultante, cujo valor algébrico varia em função da abscissa, conforme o gráfi co ao lado. Determine: a) tipo de movimento realizado pela partícula; 5 F (N) (m) 10 b) A amplitude do movimento; c) A constante elástica da mola; 1.3 Energia do MHS Eistem três tipos de energia que podem estar envolvidas em um movimento harmônico simples: energia potencial gravitacional (E PG ), energia potencial elástica (E PEL ) e energia cinética (E C ). A soma dessas três energias é igual à energia mecânica (E M ) do sistema, ou seja: E M = E C + E PG + E PEL Quando num sistema não atuarem forças dissipativas (eemplo, o atrito), a energia mecânica se conserva. No nosso estudo, trabalharemos sempre com sistemas em que a E M é constante durante o movimento qualquer de um corpo.

8 8 Física De maneira informal, diz-se que energia potencial gravitacional é a energia que um corpo tem devido à sua altura em relação a um nível de referência. Na verdade, ela está intimamente ligada à posição, em relação a um ponto qualquer, de um corpo imerso em um campo gravitacional. Para entender de maneira mais clara, imagine que o chão da sala é o nível de referência. Qualquer coisa que não esteja no chão terá energia por estar a certa altura em relação a ele. Matematicamente, calcula-se a energia potencial gravitacional de um corpo da seguinte forma: E PG = m g h sendo que h é a altura do corpo em relação a um nível de referência, g é a aceleração da gravidade local e, m é a massa do corpo. No entanto, em geral, os sistemas que eecutam MHS são construídos de forma a não haver variação da energia potencial gravitacional, ou seja, eles são colocados na horizontal. Geralmente esses sistemas são representados pelo sistema massa-mola, sendo assim, as duas energias mais importantes para o MHS são a energia potencial elástica (E PEL ) e a energia cinética (E c ). A E PEL, como visto na Mecânica, é dada por: E PEL = k Na posição de equilíbrio ( = 0), podemos verificar que a E PEL é nula e, nos pontos de inversão, onde ocorre a máima deformação ( = ± A), a E PEL é máima. Em suma, temos: ka E PEL = má E PEL = 0 + A E PEL = má ka A equação da E PEL é uma função de segundo grau em relação a, logo, um gráfico da E PEL em função da sua deformação é um arco de parábola, com concavidade voltada para cima, conforme o gráfico ao lado. A E C é bastante importante no estudo dos movimentos, como visto na Mecânica. Por definição, um corpo de massa m e com uma velocidade v possui uma energia cinética dada por: E C = mv Como a energia cinética está relacionada à velocidade de um corpo, observa-se que ela é máima na posição de equilíbrio, e zero nos etremos ( = ± A). Daí, temos: E C = 0 E C = mv má má + A E C = 0 Como dito anteriormente, nas situações mais comuns de corpos se movimentando em MHS, a energia potencial gravitacional não varia. Sendo assim, a energia mecânica do sistema em um ponto é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética no referido ponto. Assim, temos: 1 ka 1 k E PEL 0 A E M = E C + E PEL E M = mv + k

9 Física 9 Nos pontos = ± A, a E C = 0 e a energia mecânica será igual à energia potencial máima. Logo: E M = E C + E PEL E M = 0 + ka E M = ka Com isso, o gráfico da E M em função de é uma reta paralela ao eio (E M constante), como indicado na figura ao lado. E M Para qualquer elongação, temos que: 1 ka E M = E C + E PEL ka = E C + k E C = ka k 0 A Portanto, podemos provar o que foi dito anteriormente, que a E C é máima no ponto de equilíbrio ( = 0), e que é igual à energia mecânica, e zero nos etremos ( = ± A). Analisando graficamente a E C em função da elongação, verifica-se que trata de um arco de parábola com concavidade voltada para baio. Assim, obtemos o gráfico dado ao lado. Fazendo um resumo dos gráficos apresentados anteriormente, teremos: 1 ka 1 k (A ) E C 0 A Energia Ec E M Podemos observar por esse gráfico ao lado que quando uma energia é máima, a outra é nula, demonstrando a conservação da energia mecânica do sistema. 0 E PEL Eercícios de sala Uma partícula cuja massa é 100 g realiza um MHS presa a uma mola de constante elástica igual a 0 N/m. Quando a elongação da mola é de 10 cm, a velocidade da partícula é 4,0 m/s. Determine: a) A energia mecânica da partícula; b) A amplitude do movimento.

10 10 Física 3 (PUC) Uma partícula de massa 0,5 kg movese sob ação de apenas uma força, à qual está associada uma energia potencial E p cujo gráfi co em função de está representado nesta fi gura. Ep (J) 1,0 J 1, ,0 (m) Consideramos que uma partícula esteja realizando um MCU e que os pontos A 1, A, A 3, A 4, A 5 e A 6 correspondem às posições dessa partícula em um determinado instante. Agora, fazendo a projeção desses pontos em seu diâmetro, encontramos os pontos P 1, P, P 3, P 4, P 5 e P 6, que estão realizando um MHS. Verifica-se que o período T do MCU é igual ao do MHS, pois, quando a partícula realiza uma volta completa, sua projeção também realiza uma oscilação completa e recomeça o movimento. A Esse gráfi co consiste em uma parábola passando pela origem. A partícula inicia o movimento a partir do repouso, em = -,0 m. Pede-se: a) Sua energia mecânica; A 1 A 3 P 6 P 4 P 5 P 3 P P 1 A 4 A 5 A 6 b) A velocidade da partícula ao passar por = 0; c) A energia cinética da partícula ao passar por = 1 m. Seja A 1 a posição inicial de uma partícula (no instante inicial t 0 ) que realiza um MCU, numa circunferência de raio igual a A, e A a posição final (num instante posterior t). Como visto no estudo do MCU, aos espaços inicial e final correspondem ângulos centrais θ 0 e θ, denominados, respectivamente, espaço angular inicial e final. A 4 (UFBA) Uma partícula oscila em MHS com amplitude A = 15 cm. Determine, em cm, a elongação no instante em que a energia cinética da partícula iguala-se à energia potencial. R = A θ 0 P θ A Equações do MHS MHS e o movimento circular uniforme (MCU) estão estritamente relacionados de modo que um pode ser estudado através do outro. Para isso, basta observar o fato que o MHS pode ser visto como a projeção ortogonal do MCU sobre qualquer diâmetro da circunferência que constitui a trajetória da partícula no referencial adotado. A projeção do movimento circular uniforme se comporta como um movimento harmônico simples. Isso pode ser utilizada para calcular a elongação de um objeto em MHS. Através da Mecânica, sabe-se que: θ = θ 0 + ω t

11 Física 11 onde ω é a velocidade angular (pulsação ou frequência angular) da partícula no MCU, que pode ser representador por: ω = π ou ω = π f T em que T é o período de rotação da partícula e f a sua frequência. As posições da projeção P, que realiza MHS, são encontradas num eio com origem no centro da circunferência e orientado da esquerda para a direita, como indicado na figura anterior. Pelo triângulo A P, temos: = A cos θ Mas A = R = A é o raio da circunferência, que é igual à amplitude do MHS e θ = θ 0 + ω t. Assim, temos: = A cos (ω t + θ 0 ) Nessa equação, o termo θ = θ 0 + ω t é denominado fase do MHS, que é epresso em radiano, sendo variável com o tempo t. Quando t = 0, a fase vale θ = θ 0, sendo chamado de fase inicial do MHS, cujo valor depende da posição inicial do móvel em seu movimento, como indicado nos casos seguintes. A t = 0 X A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto A, ou seja, de máima elongação, que forma zero grau com o eio, que serve como referencial de estudo. = A decrescente θ 0 = 0 t = 0 B A X A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto B, que forma 90º com o eio positivo. = 0 decrescente θ 0 = π/ t = 0 A X A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto =, ou seja, de máima deformação, que forma 180º com o eio positivo. = Crescente θ 0 = π A X A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto C, formando 70º com o eio positivo. C = 0 Crescente θ 0 = 3π/

12 1 Física Enquanto uma partícula qualquer descreve um MCU, suas projeções oscilam no diâmetro com um movimento não uniforme, cuja função horária é cossenoidal com o tempo. A velocidade do objeto que está sob a ação de um MHS pode ser calculada da seguinte maneira: V MHS = V MCU cos (90º θ) V MHS = V MCU ( sen θ) V MHS = V MCU sen θ 90º θ θ A θ V mcu V mhs em que V MCU = ω A e θ = θ 0 + ωt. Sendo assim, observa-se que: V MHS = - ωa sen (ωt + θ 0 ) Além da posição, é possível calcular a velocidade do objeto em MHS como se fosse a projeção da velocidade linear de um objeto que esteja em MCU. Agora, analisando a equação da elongação e da velocidade V do MHS, poderemos obter algumas conclusões, tais como: = A cos (ωt + θ 0 ) V = ωa sen (ωt + θ 0 ) = 0 (posição de equilíbrio) cos (ωt + θ 0 ) = 0 e como sen θ + cos θ = 1, onde θ = ωt + θ 0, dai temos: = ± A (amplitude) sen (ωt + θ 0 ) = ± 1 v= ± ωa v má = ωa cos (ωt + θ 0 ) = ± 1 sen (ωt + θ 0 ) = 0 v = 0 A velocidade máima será v = + ωa quando o corpo estiver em movimento progressivo (movimentando no sentido positivo de ) e v = ωa, quando seu movimento for retrógrado (movimentando no sentido negativo de ). valor máimo da velocidade para um corpo que realiza MHS ocorre quando ele passa pela sua posição de equilíbrio e, possui velocidade nula, quando o corpo está nas posições de elongação máima ( = ± A), já que é nesse instante que ocorre a inversão do movimento. bservando, a partir de um referencial inercial, um objeto só realiza movimento circular se ele estiver sob a ação de uma força centrípeta. No MHS, a aceleração de um corpo, em cada instante, pode ser calculada através da projeção da aceleração centrípeta sofrida por um corpo em MCU. Como o sentido dessa aceleração é contrário ao sentido positivo de, acrescentamos o sinal negativo: α MHS = α MCU cos θ a MCU = a centrípeta = ω A θ = θ 0 + ωt α MHS = ω A cos (ωt + θ 0 ) θ θ a mcu a mhs A aceleração de um objeto em MHS pode ser calculada como se fosse a projeção da aceleração centrípeta de um objeto que esteja em MCU. s módulos da aceleração e da elongação são diretamente proporcionais.

13 Física 13 De acordo com as epressões anteriores encontradas, verificamos que são nos etremos (elongações máimas, ou seja, = ± A) que ocorrem as maiores variações de velocidade. Em outras palavras, nos etremos da trajetória, sua aceleração é máima e o seu valor é dado por: a má = ω A Também, podemos verificar que a aceleração é nula na posição de equilíbrio, já que = 0. A seguir, apresentamos um esquema resumindo alguns conceitos e conclusões até aqui abordados, para que sirva de fácil memorização e aprendizado. m 0 + A v = 0 E Cinética = 0 E Pmáima = E m = a máima = ω A ka v máima = ± ωa E Potencial = 0 mv má E Cmáima = E m = a = 0 v = 0 E Cinética = 0 E Pmáima = E m = a máima = ω A Consideramos uma partícula em MHS que se desloca entre as posições 10 cm e + 10 cm de sua trajetória, gastando 10 s para ir de uma à outra. Vamos determinar algumas grandezas físicas, como amplitude, período e pulsação. Para encontrar a amplitude do movimento, deve-se considerar a distância da posição de equilíbrio até os etremos da trajetória, logo a amplitude é A = 10 cm. Sabendo que o período T é o tempo gasto para realizar uma oscilação completa e, portanto, deve ser o tempo gasto para ir de uma etremidade à outra (tempo de ida) mais o tempo de retorno à sua etremidade inicial (tempo de volta). Assim, o período é de T = 0 s. Sabendo que a frequência é o inverso do período, logo, a frequência é dada por: ka A pulsação ω é dada por: f = 1 T f = 1 0 Hz ω = π f ω = π 1 0 ω = π 10 rad/s Agora, consideremos um corpo que eecuta um MHS de amplitude 4 m, pulsação 4π rad/s e fase inicial π rad. Vamos determinar as equações horárias da elongação, velocidade e aceleração desse corpo. A equação horária da elongação pode ser obtida diretamente, já que todas as grandezas físicas necessárias foram dadas pelo eercício, logo: = A cos (ωt + θ 0 ) = 4 cos (4πt + π) A equação horária da velocidade obedece à forma: V = ωa sen (ωt + θ 0 ) V = 4π 4 sen (4πt + π) V = 16π sen (4πt + π)

14 14 Física A equação horária da aceleração é dada por: α = ω A cos (ωt + θ 0 ) α = (4π) 4 cos (4πt + π) α = 16π 4 cos (4πt + π) α = 64π cos (4πt + π) Agora, vamos encontrar os módulos da velocidade e aceleração máima do móvel. V máima = ωa V máima = 4π 4 V máima = 16π m/s a máima = ω A a máima = (4π) 4 a máima = 64π m/s Eercícios de sala 5 A pulsação de um MHS é π rad/s, a fase inicial é 3π rad e a amplitude é 1 m. a) Qual o período e a frequência desse MHS? b) Escreva as equações horárias da elongação, da velocidade escalar e da aceleração escalar para esse movimento. c) Determine o máimo valor assumido pela velocidade escalar e pela aceleração escalar nesse MHS. 6 A equação horária da elongação de um móvel em MHS, em unidades do Sistema Internacional, é: = 5 cos πt + π 4 a) Determine a amplitude, a pulsação, a fase inicial, o período e a frequência do movimento. b) Escreva as equações horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar desse MHS. c) Determine a velocidade escalar máima e a aceleração escalar máima nesse MHS.

15 Física Gráficos do MHS A gora, vamos analisar os gráficos do MHS, considerando, inicialmente, a fase inicial θ 0 = 0. As equações horárias do MHS ficam: = A cos (ωt) v = ωa sen (ωt) α = ω A cos (ωt) Em seguida, vamos substituir a pulsação que multiplica o tempo por ω = π T sejam facilitados, e substituir o tempo t por frações do período T. Logo, teremos:, para que os cálculos t 0 T/4T/ 3T/4 T A 0 - A 0 A v 0 - ωa 0 ωa 0 α - ω A 0 ω A 0 - ω A A partir do quadro construído, obtemos os seguintes gráficos: + A = A cos ωt θ o = 0 0 T/4 T/ 3T/4 T t + ω A 0 ω A v T/4 v = ω A sen ωt T/ 3T/4 T t + ω A 0 ω A α T/4 α = ω A cos ωt T/ 3T/4 T t Eercícios de sala π 7 É dada a equação horária da elongação = 5 cos 4 t + π, com unidades no Sistema Internacional, para o MHS realizado por um móvel. Construa os gráfi cos horários da elongação, da velocidade escalar e da aceleração escalar em função do tempo.

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