Quantidades por-unidade (p.u.)

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1 Quantidades por-unidade (p.u.) Prof. José R. Camacho (PhD) UFU- Faculdade de Engenharia Elétrica As quantidades por-unidade são quantidades que foram normalizadas para uma quantidade ase. Por exemplo, considere um motor de 6 kw operando com uma carga de 4 kw. A potência é de 4 kw. A ase de potência é 6 kw. A potência por-unidade é, portanto 4/6 = 0,6667 p.u. Como outro exemplo, um cao pode ser dimensionado para 150 A. Se ele estiver conduzindo 89 A, e se nós tomarmos a corrente ase como a mesma da corrente nominal, então a corrente por-unidade é 89/150 = 0,593 p.u. Em geral, 1 X x = p.u. (1) X onde x é um valor por-unidade, X é o valor corrente, e X é o valor ase. X e X são expressos em unidades comuns, como volts, ampéres, watts, Nm, etc. As unidades porunidade não possuem dimensão, mas é uma prática normal expressá-las em p.u., por exemplo, 1,05 p.u. As quantidades por-unidade expressam valores relativos isto é, relativas ao valor ase. A escolha do valor ase é importante. No exemplo simples mostrado acima, a escolha mais natural da ase é o valor nominal, que é o valor associado com a operação normal à plena carga. Entretanto, valores ase podem ser escolhidos livremente, como mostra o próximo exemplo. Imagine dois motores em paralelo, um com potência nominal de 10 kw e outro com potência nominal de 100 kw, conectados a uma fonte supridora com capacidade de 300 A. Suponha que o menor motor solicite sua corrente nominal de 15 A da fonte supridora, enquanto o motor maior solicite 150 A. Se nós considerarmos cada motor individualmente nós podemos dizer que cada um está traalhando em 1 p.u. ou 100% de sua própria capacidade nominal. Mas se nós escolhermos 300 A como a ase comum de corrente, então o primeiro motor está solicitando 15/300 = 0,05 p.u. enquanto o segundo motor está solicitando 150/300 = 0,5 p.u. A corrente total é 0,55 p.u., ou 165 A. Isto 1 Letras minúsculas em negrito denotam valores por-unidade. Letras em itálico denotam valores em unidades comuns.

2 expressa claramente o fato que o menor motor está asorvendo 5% da corrente de suprimento enquanto que o maior motor está asorvendo 50%. A fonte supridora está traalhando em 55% da sua capacidade. Evidentemente nós podemos adicionar motores e aproximadamente dorar a carga. Sistemas por-unidade são especialmente úteis quando se possui uma rede mais complicada com transformadores, na qual existem tensões e correntes com diferentes níveis. Quando as quantidades são expressas em por-unidade, a maioria das tensões está próxima de um so operação normal; tensões mais altas indicam sore-tensão e valores mais aixos podem indicar sorecarga. Isto ajuda o engenheiro no mapeamento dos resultados de uma análise de fluxo de carga ou estudo de curto-circuito, porque condições anormais são imediatamente identificáveis: por exemplo, correntes fora da faixa 0 1, ou tensões que se desviam mais de alguns por centos da unidade. So condições transitórias, tensões e oscilações de corrente elevadas podem ser detectadas. Fórmulas de engenharia frequentemente contêm coeficientes estranhos como π / ou até constantes como 1,358, e frequentemente está longe de ser óvio de onde elas vêem. E um sistema por-unidade em escolhido, fatores que são comuns aos valores corrente e ase se cancelam, e isto faz com que desapareçam a maioria dos coeficientes espúrios. Expressões por-unidade são, portanto menos desordenadas e expressam de forma econômica a natureza física essencial do sistema. Como um exemplo desta afirmação tem-se a normalização da potência em um sistema trifásico: em unidades simples P = 3U LL I L cosφ [W] () As ases P, U e I devem estar relacionadas com a mesma equação: dessa forma P = 3U I (cosφ) [W] (3) Normalizar significar dividir a equação () pela equação (3). Tomando o valor ase do fator de potência como sendo (cos φ ) = 1, nós temos p= uicosφ (4) Elas usualmente surgem da construção teórica da fórmula, mas elas podem tamém surgir devido às unidades utilizadas para os parâmetros da equação. Um exemplo simples é a equação y = 5,4.x para representar um comprimento y em mm que é igual a outro comprimento x em polegadas. A equação expressa a igualdade essencial das dimensões y e x, mas o fator 5,4 aparece na equação devido à diferença em unidades de medida e faz parecer que y e x não são iguais.

3 O fator 3 se cancela: isto não somente simplifica o cálculo, mas tamém expressa a equação da potência de uma forma fundamental e genérica que é independente do número de fases ou se a carga está conectada em estrela ou triângulo. Fórmulas padrão para sistemas trifásicos. Um sistema trifásico é dimensionado de acordo com sua capacidade em MVA, S. Suponhamos que o valor ase seja S MVA. Se a tensão ase de linha para linha é U e a corrente ase de linha é I, então S = 3UI (5) Geralmente, U é expressa em kv e I é expressa em ka. Por convenção a impedância ase é impedância de fase ou de linha para neutro que é dada por: U 3 = [Ω] (6) I Cominando as equações (5) e (6), temos que U = [Ω] (7) S Se U é expressa em kv e S em MVA, nós podemos expressar a equação (7) na forma que é largamente utilizada por engenheiros de potência ( kvase) = [Ω] (8) MVA ase Mudando de ase Muitas vezes os parâmetros para dois elementos no mesmo circuito são citados em porunidade em ases diferentes. Por exemplo, nós podemos ter um cao cuja impedância série é dada como 0,1+j0,3 p.u. em uma ase de 100 MVA e 33 kv. Suponha que este cao está conectado a uma carga cuja impedância é dada como 1,0+j0, p.u. em uma ase de 150 MVA e kv. Qual é a impedância série cominada? Para continuar nós devemos escolher um único conjunto de quantidades ase e converter todas as impedâncias em por-unidade para aquele conjunto. Vamos escolher os valores ase do cao como os valores ase comum: 100 MVA e 33 kv. Nós podemos converter a

4 impedância para este conjunto ase através de razão de proporcionalidade, usando a equação (9). novo ( kv ) velho ( kv ) = novo (9) velho novo MVA MVA A impedância da carga em por-unidade na nova (cao) ase é, portanto: ( ) ,0 + j0, = 0,963 + j0,0593 p. u. (10) Com amas as impedâncias na mesma ase, nós podemos agora adicioná-las para oter 0,3963+j0,3593 p.u. (na ase de 100 MVA e 33 kv). velho Fica claro que p.u. não é uma unidade asoluta, uma vez que a mesma impedância pode ter valores diferentes, dependendo da ase. Um valor por-unidade é incompleto a menos que uma ase seja declarada. Quantidades por-unidade são largamente utilizadas em engenharia de potência. Elas são úteis para expressar as características que são comuns a equipamentos diferentes. Por exemplo, em sistemas de geração de energia a impedância série da maioria das grandes unidades transformadoras (aquelas que elevam a voltagem do gerador para 400 kv) é quase sempre em torno de 0,10 a 0,15 p.u.. Os valores em Ohms variam largamente de acordo com os valores nominais e tensões correntes. De forma semelhante a corrente de magnetização de pequenos motores de indução situa-se tipicamente na faixa de 0, a 0,5 p.u. Os valores em ampéres variam largamente, dependendo da capacidade nominal e tensões e, portanto elas mascaram a uniformidade essencial desta característica de projeto. Frequentemente o cálculo em por-unidade pode fornecer percepção que não é aparente quando traalhando em unidades simples. Transformadores em sistemas por-unidade Uma das simplificações mais úteis em se traalhando com sistemas por-unidade é quando se traalha com transformadores. A relação das tensões ase entre o primário e o secundário pode ser logicamente tomada come sendo a relação de espiras, n. Então a

5 relação entre as correntes ase deve ser o inverso da relação entre o número de espiras, 1/n. Portanto, a razão entre as impedâncias ase deve ser o quadrado da relação de espiras, n. Mas esta é precisamente a razão pela qual uma impedância é referida do secundário para o primário. Portanto, se nós normalizarmos uma impedância para a ase de um lado do transformador, e então referirmos esta impedância em por-unidade para o outro lado, o valor em por-unidade otido será exatamente o mesmo. Isto significa que em um sistema por-unidade consistente, transformadores ideais simplesmente desaparecem. Matematicamente, isto pode ser expresso como se segue: 1 = n (11) Na ase do secundário, uma impedância de carga (ohms) no lado secundário possui o valor por-unidade: z = p.u. (1) Se nós referirmos ao primário ele torna-se = n. O valor por-unidade disto na ase do primário, é:,, n z = = = z (13) n 1 Esta relação diz que o valor por-unidade de uma impedância é a mesma de amos os lados do transformador. Em outras palavras, em por-unidade a relação de espiras do transformador é unitária e pode ser removida do circuito. Isto é verdadeiro somente se as impedâncias ase do primário e do secundário apresentam uma relação n. Estes comentários aplicam-se somente aos transformadores ideais. Mas os transformadores reais podem ser modelados por um transformador ideal com impedâncias parasitas (resistências, reatâncias de dispersão, etc...) que podem ser aglomeradas com as outras impedâncias de circuito de qualquer lado. O circuito equivalente de um transformador em por-unidade é somente uma impedância série igual a r+jx, onde r é a soma das resistências do primário e secundário em p.u. e x é a soma das reatâncias de dispersão do primário e secundário em por-unidade. O ramo magnetizante aparece como uma impedância em paralelo no circuito equivalente. Transformadores estrela/delta tem uma representação mais complexa, mas o transformador ideal

6 desaparece do circuito equivalente. De forma semelhante, os transformadores com mudança de tap podem ser representados tamém por um circuito equivalente simples.