Figura 2.1 Ciclo Rankine orgânico com coletores concentradores solares 2.1 CIRCUITO DE COLETORES CONCENTRADORES SOLARES PARABÓLICOS

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1 2. MODELO MATEMÁTICO O modelo matemático se concentra em definir a forma de modelagem para simular o ciclo Rankine orgânico em completa interação com sua fonte de energia, no caso, um sistema de coletores concentradores solares parabólicos. Já na análise, se começará estudando este sistema de coletores e posteriormente o ciclo Rankine orgânico. Na parte final, será incluído um sistema de armazenamento térmico compatível com estes dois circuitos em conjunto. Figura 2.1 Ciclo Rankine orgânico com coletores concentradores solares 2.1 CIRCUITO DE COLETORES CONCENTRADORES SOLARES PARABÓLICOS Este circuito é aquele por onde vai circular o chamada fluido térmico (HTF). Este fluido deverá passar pelos coletores solares para ser dirigido depois para o gerador de vapor, onde cederá calor para o fluido orgânico do ciclo Rankine. Da saída do gerador, o fluido térmico volta para os coletores solares. Normalmente este circuito trabalha à pressão atmosférica ou pressões próximas. Devido a perdas de carga nos coletores, no gerador de vapor e outras tubulações é necessário uma bomba responsável pela circulação.

2 Processos no circuito de coletores concentradores solares parabólicos processos: Como se observa na figura 2.2, o fluido térmico experimenta os seguintes c a: Aquecimento no conjunto de coletores concentradores solares parabólicos a b: Entrega de calor ao fluido orgânico do ciclo Rankine a través do gerador de vapor (trocador de calor) b - c: Elevação da pressão para compensar a perda de carga no circuito Estes três estados termodinâmicos (a, b e c) estarão sempre na fase líquida e podem ser resumidos da seguinte maneira: Tabela 2.1 Estados termodinâmicos no circuito de coletores Descrição Dados conhecidos ou assumidos Dados a calcular a b c Saída dos coletores / Entrada ao gerador de vapor Saída do gerador de vapor / Entrada à bomba de circulação Saída da bomba de circulação / Entrada aos coletores T a : temperatura máxima nos coletores P a : pressão atmosférica T b : em função da troca de calor no gerador de vapor T c = T b P b = P a ΔP a-b P c = P a + ΔP c-a Figura 2.2 Circuito de coletores concentradores solares parabólicos

3 Condições de análise do circuito de coletores concentradores solares parabólicos Como resulta notório este circuito tem dois elementos principais para sua análise: os coletores solares e o gerador de vapor. Este último elemento será analisado na seção 2.2, já que está ligado com maior importância ao ciclo Rankine orgânico e constitui a interação entre os dois circuitos. Assim, a análise nesta seção estará centrada no comportamento do coletor concentrador solar parabólico de forma individual, para posteriormente somar o efeito combinado do conjunto de coletores. As seguintes condições são assumidas como verdadeiras para modelar o coletor descrito e seu fluxo: O sistema coletor concentrador solar parabólico se encontra trabalhando em regime permanente. As variações nas energias cinética e potencial são desprezíveis para o fluido térmico. Os gradientes de temperatura nos diferentes componentes do sistema coletor concentrador solar são desprezíveis com exceção do fluido térmico (HTF). Do coletor concentrador solar parabólico é necessário analisar energeticamente tanto o tubo absorvedor como a cobertura. Para o refletor, é importante conhecer a radiação solar incide nele e que porcentagem desta é concentrada no receptor (absorvedor + cobertura) Cálculo dos ângulos solares Ângulo de declinação Onde n é o número de dia do ano (2.1) Ângulo horário (2.2)

4 73 Onde t é a hora do dia (formato 24 horas) Ângulo de incidência É o ângulo mais importante na interação da radiação solar na superfície incidente. A fórmula principal em relação aos outros ângulos solares é: (2.3a) Também existe a fórmula alternativa: θ θ θ γ γ (2.3b) Ângulo de Zenith O ângulo de Zenith, como já foi descrito, resulta no ângulo de incidência no plano horizontal, então e a fórmula resulta: (2.4) Ângulo de azimute solar Para calcular o ângulo de azimute solar ( ) é necessário um ângulo artificial ( ), em função de Este ângulo deve estar entre -90 e 90, portanto estará no quadrante sul - oeste ou sul leste: (2.5) O verdadeiro ângulo de azimute solar vem de corigir este ângulo artificial com três fatores: : (2.6) O primeiro fator compara o ângulo horário ( ) com outro ângulo ( ) que compara a declinação solar com a latitude, como se mostra: (2.7) (2.8) Em caso que > 1, não poderia ser calculado, neste caso = 1. Os outros dois fatores também dependem dos valores tomados pelos outros ângulos solares e são:

5 74 (2.9) (2.10) Análise do refletor O objetivo do refletor é levar uma energia ao receptor definida pelo produto do fluxo de radiação incidente resultante ( ) pela área de abertura do coletor ( ): (2.11) Com a medição meteorológica no tempo da radiação que incide na posição geográfica do coletor é possível determinar esta radiação resultante. Um procedimento aconselhado é o descrito nos seguintes parágrafos. O fluxo de radiação numa superfície horizontal extraterrestre (fora da atmosfera) pode ser calculado dependendo de certos ângulos solares e do dia do ano correspondente: (2.12a) (2.12b) Onde: G 0 : fluxo de radiação numa superfície horizontal extraterrestre G sc : constante de radiação solar A partir da integração do fluxo de radiação na superfície horizontal extraterrestre em função do tempo, é possível determinar a energia extraterrestre que chegou nesse período de tempo (I 0 ). Como os dados registrados pelos institutos de meteorologia são geralmente por cada hora é melhor integrar no lapso de uma hora determinada para efeitos de comparar como superfícies horizontais reais:

6 75 (2.13) Onde os ângulos δ, ademais do número de dia (n) já seriam conhecidos e o ângulo ω variaria com o intervalo de uma hora selecionada, sendo: t 1 : tempo (hora) inicial t 2 : tempo (hora) final Para efetuar a integração é necessário expressar o ângulo horário como uma função do tempo. Definido em radianos para t horas resulta: (2.14) Então a energia incidente horária pode ser definida da seguinte forma: (2.15) Integrando resulta em: (2.16) Dando como resultado a seguinte expressão: (2.17) Depois de determinar a energia incidente na superfície horizontal extraterrestre num determinado dia, hora e posição geográfica é necessário compará-la com a energia que realmente incidiu na superfície terrestre considerada ( ). O quociente entre ambas energias é o índice de clareza (k T ): (2.18) A partir de conhecer este índice de clareza é possível determinar a relação entre a energia incidente difusa (I d ) e a energia incidente total (I), no plano horizontal. Para isto existem vários modelos como, o de Orgil and Hollands [1]:

7 76 (2.19) Ou o modelo de Erbs et al. que apresenta os mesmos resultados: (2.20) Uma vez conhecidas a energia total incidente ( ) e a difusa ( ) é fácil determinar a direta ( ) na superfície horizontal: (2.21) Ao dividir esta energia direta para o período de tempo estudado, se obtém aproximadamente um fluxo de radiação direta real na superfície horizontal (G b ): (2.22) A razão de radiação direta entre uma superfície inclinada e uma superfície horizontal, permite o cálculo do fluxo de radiação real (G a ) para o coletor: Onde: : fluxo de radiação direta numa superfície inclinada : fluxo de radiação direta numa superfície horizontal E os ângulos θ e θ são determinados a partir do ângulo de abertura do coletor. (1.23) de inclinação do plano Finalmente este fluxo de radiação real no coletor tem que ser multiplicado pela eficiência óptica do refletor para se encontrar o fluxo de radiação incidente no conjunto receptor (G s ): (2.24) Balanço de energia na cobertura A cobertura do coletor concentrador solar, como detalhada no capítulo 1, facilita a entrada da energia solar, mas, dificulta a ocorrência de perdas térmicas. Mesmo assim, os fluxos de calor por radiação e convecção com o exterior são

8 77 inevitáveis. A continuação os fluxos de calor presentes na cobertura e os principais parâmetros para seu cálculo: Figura Cobertura Fluxo de calor por radiação trocado entre o tubo absorvedor e a cobertura: Dado que o absorvedor estará a uma maior temperatura que a cobertura, o fluxo de calor se dá na direção do absorvedor à cobertura. Sua fórmula é: Onde: : constante de Steffan-Boltzmann : emissividade do tubo absorvedor A a : área da superfície exterior do tubo absorvedor : temperatura do tubo absorvedor : emissividade da cobertura (2.25) : área da superfície interior da cobertura : temperatura da superfície interior da cobertura Fluxo de calor por convecção trocado entre a superfície externa da cobertura e o ar ambiente: Este fluxo vai na direção da cobertura ao ar, dada que a cobertura estará normalmente mais quente que o ar externo: (2.26) Onde: : coeficiente de transferência de calor por convecção entre a cobertura e o ar : área da superfície externa da cobertura : temperatura da superfície interna da cobertura : temperatura do ar ambiental

9 78 Fluxo de calor por radiação trocado entre a cobertura e as vizinhanças (considerado o céu): Dado que o céu está a uma temperatura muito baixa, o fluxo vai da cobertura em direção ao céu. Então pode ser expresso como: Onde: : emissividade da cobertura (2.27) T sky : temperatura do céu Fluxo de calor por radiação fornecido pelo sol na cobertura: Embora o objetivo do coletor seja destinar a maior quantidade de energia solar ao absorvedor, uma parte desta energia é absorvida pela cobertura. Esta fração de energia depende do material da cobertura e deve ser a menor possível para permitir um melhor aproveitamento. Então: Onde: : energia solar incidente no conjunto cobertura - absorvedor : absortância da cobertura (2.28) O somatório dos diferentes fluxos de calor incidentes sobre a cobertura, resulta no seguinte balanço de energia: (2.29) Condução térmica na cobertura No presente modelo vai-se considerar uma queda de temperatura entre as superfícies externa e interna da cobertura, por efeito da condução térmica. Como o material da cobertura é geralmente vidro, e este material não é um bom condutor de calor, existirá uma diferença nas temperaturas mencionadas. Para encontrar esta diferença, é preciso determinar o fluxo de calor por condução na cobertura. Então, para isto, dividi-se a cobertura em um setor interior e um setor exterior. Assume-se que o setor interior está à temperatura e o setor exterior está à temperatura. Ademais é possível fazer a

10 79 simplificação de que o setor interior só experimenta o fluxo de radiação que vem do tubo absorvedor. Isto porque o sol incidente, a convecção com o ar e a radiação em direção às vizinhanças são fenômenos da superfície externa. Agora efetuando um balanço de energia no setor interno da cobertura: (2.30) A equação que relaciona as temperaturas das superfícies interna e externa da cobertura é a equação de condução entre ambas superfícies: (2.31) Onde é a condutividade térmica do material da cobertura em função das temperaturas: (2.32) Figura 2.4 Balanço de energia no setor interno da cobertura Determinação do coeficiente de transferência de calor por convecção entre o ar ambiental e a cobertura, Um fator importante para analisar as perdas de calor ao exterior do sistema é determinar o coeficiente de filme entre a superfície exterior da cobertura e o ar ambiente circundante. Dependendo do valor do coeficiente, estas perdas podem influir no comportamento do sistema. Para o cálculo deste coeficiente é necessário conhecer determinadas propriedades termodinâmicas do fluido, neste caso o ar, mas em função da chamada temperatura de película, a temperatura média entre as temperaturas do ar e da superfície externa da cobertura:

11 80 (2.33) Desta maneira, se obtém a viscosidade cinemática ( ), o calor específico a pressão constante ( ), a condutividade térmica (k p ), a massa específica ( ) e a viscosidade dinâmica ( ): (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) A continuação é preciso determinar dois parâmetros adimensionais: o número de Reynolds e o número de Prandtl. O número de Reynolds para o fluxo externo de ar em volta do tubo de vidro é função do diâmetro externo da cobertura (D e ), velocidade do vento ( ) e viscosidade dinâmica do ar: (2.39) O número de Prandtl para o ar nas condições especificadas resulta em: (2.40) Depois, o número de Nusselt médio vai ser calculado em função dos números de Reynolds e Prandtl com a correlação empírica de Hilpert [18]: (2.41) Onde as constantes C e m dependem do número de Reynolds e estão enumeradas na tabela abaixo: Tabela 2.2 Constantes para o cálculo de Nusselt para fluxo externo [18] 0,4-4 0,989 0, ,911 0, ,683 0, ,193 0, ,027 0,805 C m

12 81 Determinando o número de Nusselt, o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície externa da cobertura e o ar externo resulta: (2.42) Balanço de energia no tubo absorvedor O tubo absorvedor, como seu nome indica, tem que absorver a maior quantidade de energia solar e transmiti-la na maior proporção possível para o fluido térmico (HTF) circulante no interior. Tal qual a cobertura, aqui também as perdas térmicas por convecção, radiação e condução são inevitáveis, tentandose mantê-las em valores baixos. Os fluxos de calor que chegam ou saem do tubo absorvedor são: Figura 2.5 Tubo absorvedor Fluxo de calor por radiação trocado entre o tubo absorvedor e a cobertura: Este fluxo vem já dado pela equação vista na seção anterior. Repetindo: (2.43) Fluxo de calor por condução trocado entre o tubo absorvedor e seu suporte: Este fluxo é transmitido do absorvedor através da estrutura suporte, a qual incrementa este fluxo em função da sua própria convecção com o ar externo. Um modelo apropriado é o seguinte [19]: (2.44) Onde: h b : coeficiente de transferência de calor por convecção entre o suporte o ar P b : perímetro do suporte

13 82 k b : condutividade térmica do material do suporte A b : área transversal mínima das abas do suporte T b : temperatura da base do suporte : temperatura do ar Fluxo de calor por radiação trocado entre o tubo absorvedor e as vizinhanças (o céu): Novamente este fluxo vai do tubo absorvedor em direção ao céu que está evidentemente mais frio: (2.45) Fluxo de calor por radiação fornecido pelo sol o tubo absorvedor: Da radiação incidente no conjunto cobertura absorvedor, uma pequena parte, como já foi visto na seção anterior, é absorvida pela cobertura. Da energia restante, a maior parte terá que ser absorvida pelo absorvedor para ser eficiente. Isto pode ser expresso da seguinte maneira: Onde: : transmissividade da cobertura : absortância do tubo absorvedor (2.46) Fluxo de calor por convecção trocado entre a superfície interna do tubo absorvedor e o fluido térmico: Finalmente, a partir da energia absorvida neste tubo, deverá acontecer uma convecção para aquecer o fluido térmico (HTF) e fornecer energia ao ciclo Rankine orgânico. Esta convecção está dada por: (2.47) Onde: : coeficiente de transferência de calor por convecção entre o tubo absorvedor e o fluido térmico : temperatura do fluido térmico Analisados os diferentes fluxos de calor incidentes no tubo absorvedor é possível estabelecer o seguinte balanço energético: (2.48)

14 Determinação do coeficiente de transferência de calor por convecção entre o tubo absorvedor e o fluido térmico (HTF), A quantificação da energia que é transmitida do tubo absorvedor até o fluido térmico vai depender deste coeficiente de convecção para este fluxo interno conhecido. É desejado que este coeficiente seja suficientemente alto para garantir a maior quantidade de ganho de calor no fluido. O procedimento para o cálculo deste coeficiente é o seguinte: Calcula-se a temperatura de película do HTF, a temperatura média entre a temperatura média do HTF e da superfície interna do tubo absorvedor: (2.49) Onde a temperatura média do HTF depende das temperaturas de entrada ( ) e saída ( ), isto tem que ser realizado para cada coletor individualmente: (2.50) Com a temperatura de película do HTF, calculam-se as propriedades termodinâmicas de viscosidade cinemática ( ), calor específico a pressão constante ( ) e condutividade térmica ( ): (2.51) (2.52) (2.53) O número de Reynolds para o fluxo interno de fluido térmico, neste caso é função da geometria, vazão mássica e viscosidade do fluido: (2.54) O número de Prandtl para o fluido térmico nas condições termodinâmicas deste resulta: (2.55)

15 84 O número de Nusselt é calculado em função de se o fluido é laminar ou turbulento com as seguintes fórmulas [18]: (2.56) A partir da determinação do número de Nusselt, obtém-se o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície interna do tubo absorvedor e o fluido térmico: (2.57) Influência das propriedades radiativas dos materiais Cobertura Para a cobertura geralmente é empregado como material o vidro, podendo ser este de diversas características. O importante é que este vidro tenha elevada transmitância e reduzida absortância e emissividade. Ademais deve ser resistente aos esforços exercidos pelo ambiente e durável. As emissividades superficiais tanto da superfície interna como da externa, são funções das temperaturas das respectivas superfícies: (2.58) (2.59) A transmitância e a absortância do vidro serão avaliadas considerando a média das duas temperaturas superficiais. Estas temperaturas serão similares já que não existirá uma grande queda de temperatura no vidro. Assim: Tubo absorvedor (2.60) (2.61) Este tubo, metálico e com uma superfície seletiva, permite alcançar uma elevada absortância e uma menor emissividade que materiais convencionais. É importante que o tubo não sofra corrosão em contato com o fluido térmico.

16 85 A emissividade superficial e a absortância do tubo absorvedor são funções da temperatura do tubo que é assumida constante para todo o tubo, dada a alta condutividade térmica deste tipo de material. Assim estas duas propriedades se expressam assim: (2.62) (2.63) Considerações geométricas No balanço energético, os fluxos de calor, tanto na cobertura como no tubo absorvedor, são proporcionais a determinadas áreas superficiais, dependendo do tipo de troca de calor (radiação, convecção ou condução). A continuação, a definição das áreas mais importantes: Área de abertura: Está dada em função do comprimento e largura do coletor solar: Onde: a: largura do coletor solar L: comprimento do coletor solar A col = a. L (2.64) Área superficial externa da cobertura: É a área que está orientada para as vizinhanças e dada pela seguinte equação: Onde: D e : diâmetro externo do tubo de vidro (2.65) Área superficial interna da cobertura: Dada de maneira análoga à anterior: Onde: Di: diâmetro interno do tubo de vidro (2.66) Área superficial do tubo absorvedor: Dado que este tubo absorvedor é de pequena espessura, é possível considerar uma só área superficial,

17 86 utilizando o diâmetro nominal do tubo. A queda de temperatura por condução entre as superfícies interna e externa é desprezível: Onde: D: diâmetro externo do tubo absorvedor (2.67) Análise alternativa por resistências térmicas Os fluxos de calor presentes ao analisar o balanço energético dos principais elementos dos coletores solares (tubo absorvedor e cobertura) podem se comparar numa analogia às correntes elétricas. Efetivamente, o potencial do fluxo de calor é dado pela diferença das temperaturas e haveria uma resistência térmica que seria o quociente entre esta diferença de temperaturas e o fluxo de calor. Para exemplificar esta análise vamos considerar o fluxo de calor por radiação trocado entre o tubo absorvedor e a cobertura: (2.68) A diferença de temperaturas corresponde à do absorvedor menos a da superfície interna da cobertura ( ). Desta maneira, a resistência térmica para este fluxo de calor seria: (2.69) Assim, é possível determinar as demais resistências térmicas para os diferentes fluxos de calor entre os componentes. Para o sistema do coletor solar o esquema de resistências térmicas se apresenta na seguinte gráfico:

18 87 Figura 2.6 Resistências térmicas Queda de pressão no fluxo do fluido térmico (HTF) Durante seu trajeto pela tubulação dos coletores solares, o HTF experimenta diferentes irreversibilidades, sendo a mais importante a queda de pressão, dependendo do comprimento total do conjunto de coletores. Estas quedas de pressão também determinam o real aproveitamento da energia solar no aquecimento do fluido. Primeiramente vamos determinar a área transversal do fluxo do HTF: (2.70) Depois é preciso tirar uma massa específica média ( ), a partir das massas específicas das seções de entrada ( ) e saída ( ) na tubulação do HTF para cada coletor: (2.71) (2.72) (2.73) Com a vazão mássica do HTF ( ), a massa específica média e área transversal já é possível obter a velocidade média de fluxo do HTF ( ): (2.74) O fator de atrito na tubulação do HTF está dado pela condição (laminar ou turbulenta) do fluxo interior, determinada pelo Reynolds [18]:

19 88 (2.75) A diferença (queda) entre as pressões de entrada ( ) e de saída ( ) de cada coletor solar está dada pela equação: (2.76) 2.2 CIRCUITO DO CICLO RANKINE ORGÂNICO Na geração de potência a partir de energia solar, o ciclo Rankine orgânico é o sistema que aproveita esta energia, efetua uma série de processos e gera energia mecânica que, depois, pode se aproveitar, por exemplo, como energia elétrica. Por esta razão, é importante entender todas as etapas deste ciclo e calculá-lo adequadamente, para predizer o comportamento final do sistema Definição dos processos e estados termodinâmicos do ciclo No presente trabalho, o ciclo Rankine orgânico foi modelado como um ciclo não ideal, considerando as principais irreversibilidades. Em base a esta lógica foram considerados os seguintes processos termodinâmicos, entre os estados detalhados a continuação: 1-2 Compressão (Elevação de pressão) 2-3 Pré-aquecimento no recuperador 3-4 Entrada de calor fornecido pelo fluido térmico (HTF) para geração de vapor 4-5 Expansão 5-6 Rejeito de calor no recuperador 6-1 Rejeito de calor no condensador

20 89 Figura 2.7 Circuito do ciclo Rankine orgânico Para uma maior compreensão dos processos termodinâmicos a serem realizados pelo ciclo, se apresenta uma tabela com a descrição dos estados termodinâmicos (do fluido de trabalho) envolvidos no ciclo. É importante mencionar que os estados 7, 8 e 9 são estados intermédios do condensador (7) e do gerador de vapor (8 e 9) que são analisados posteriormente: Tabela 2.3 Estados termodinâmicos do circuito do ciclo Rankine orgânico # Descrição estado Descrição Dados assumidos ou conhecidos Dados a calcular (em função de) 1 Líquido saturado Pressão baixa Saída do condensador / Entrada da bomba : pressão baixa do ciclo : a partir de e 2 Líquido subresfriado Pressão alta Saída da bomba / Entrada do recuperador - lado frio : pressão alta do ciclo : eficiência isentrópica da bomba 3 Líquido subresfriado Pressão alta Pré-aquecido no recuperador Saída do recuperador - lado frio / Entrada do gerador de vapor : no caso ideal igual a, caso contrario considerar perdas no recuperador (fluido frio) : determinado a partir de balanço energético no recuperador

21 90 4 Vapor superaquecido Pressão alta Saída do gerador de vapor/entrada do expansor : no caso ideal igual a, caso contrario considerar perdas no gerador de vapor : temperatura máxima do ciclo : a partir de e 5 Vapor superaquecido Pressão baixa Saída do expansor / Entrada do recuperador - lado quente : no caso ideal igual a, caso contrario considerar perdas no condensador : eficiência isentrópica do expansor 6 Vapor superaquecido Pressão baixa Resfriado no recuperador Saída do recuperador - lado quente / Entrada do condensador : no caso ideal igual a, caso contrario considerar perdas no condensador : determinado a partir de análise DTML no recuperador 7 Vapor saturado Pressão baixa Saída da zona superaquecida / Entrada na zona saturada (ambas do condensador) : no caso ideal igual a, caso contrario considerar perdas na zona saturada do condensador 8 9 Líquido saturado Pressão alta Vapor saturado Pressão alta Saída da zona sub-resfriada / Entrada na zona saturada (ambas do gerador de vapor) Saída da zona saturada / Entrada na zona superaquecida (ambas do gerador de vapor) : no caso ideal igual a, caso contrario considerar perdas na zona sub-resfriada do gerador de vapor : no caso ideal igual a, caso contrario considerar perdas na zona saturada do gerador de vapor

22 91 Figura 2.8 Diagrama T-s do ciclo Rankine orgânico Parámetros do ciclo Os parâmetros gerais a serem calculados no ciclo, a partir das entalpias específicas dos estados termodinâmicos são os seguintes: Trabalho específico de saída (expansor) Trabalho específico de entrada (bomba) Trabalho específico útil do ciclo Calor específico fornecido ao ciclo (gerador de vapor) Calor específico rejeitado pelo ciclo (condensador) Balanço geral de energia em estado estável Rendimento termodinâmico do ciclo (2.77) (2.78) (2.79) (2.80) (2.81) (2.82) (2.83) Trabalho líquido do ciclo (2.84)

23 Relações de pressões O ciclo Rankine orgânico funciona idealmente entre dois valores de pressões: uma pressão alta no gerador de vapor e uma pressão baixa no condensador. A bomba pressuriza o fluido para a pressão alta, enquanto o expansor reduz a pressão para gerar trabalho. No ciclo real, entre cada estado termodinâmico existirá uma variação de pressão, produto das perdas de carga. Estas perdas serão calculadas para cada componente. As seguintes são as relações de pressões: Δ (2.85) Δ (2.86) Δ (2.87) Δ (2.88) Δ (2.89) (2.90) (2.91) Bomba A bomba cumpre a importante tarefa de elevar a pressão do fluido de trabalho para que este possa ser aquecido e vaporizado, elevando sua entalpia específica. Uma bomba ideal elevaria a pressão com entropia constante, mas, um mecanismo real o fará com um aumento na entropia. Para determinar o desvio do comportamento ideal se tem a eficiência isentrópica da bomba. Esta é a relação entre o trabalho efetuado pela bomba e o trabalho que esta realizaria se a entropia do processo se mantivesse constante, ou seja s 1 = s 2. Sua fórmula é: (2.92) Onde, e são as entalpias reais nos estados 1 e 2, e é a entalpia isentrópica no estado 2, ou seja, caso a entropia permanecesse constante: (2.93)

24 93 Então a entalpia real do estado 2 pode expressar-se assim: (2.94) Expansor Sem dúvida o expansor é o aparelho mais importante no ciclo Rankine porque é neste que a energia mecânica é gerada para usos posteriores. Igualmente, num ciclo ideal, o processo acontece com entropia constante (s 4 = s 5 ). Na prática, é necessário de novo definir uma eficiência isentrópica, agora do expansor: (2.95) Onde, e são as entalpias reais nos estados 4 e 5, e é a entalpia isentrópica no estado 5: (2.96) Recuperador É um dispositivo que aproveita o calor do fluido térmico, ainda em estado superaquecido remanente do expansor para pré-aquecer o fluido antes de entrar no gerador de vapor. Este trocador de calor se mostra na figura 2.9: Figura 2.9 Esquema do recuperador Balanço energético do recuperador O calor trocado pelo fluido no recuperador é igual ao produto da vazão mássica de fluido pela diferença de entalpias dos estados de entrada e saída no recuperador, tanto no lado frio (processo 2-3), como no lado quente (processo 5-

25 94 6), já que no caso ideal não existe perdas de calor ao exterior no equipamento. Para o lado frio (fluido a ser pré-aquecido) o fluxo de calor é: (2.97) Para o lado quente (fluido superaquecido que vem do expansor) o fluxo de calor é: (2.98) Sendo iguais os fluxos de calor, então: (2.99) Resulta na seguinte relação: (2.100) Características geométricas do recuperador O trocador de calor utilizado como recuperador tem que ter uma grande área de troca, devido a que o lado quente deste equipamento vai receber um fluido gasoso. Em geral, os fluidos gasosos têm baixos coeficientes de transferência de calor por convecção, requerendo longas tubulações no caso de trocadores de casco e tubos convencionais. Por este motivo, é melhor a utilização de trocadores compactos, os quais têm maiores áreas de troca em volumes menores. No caso, considerou-se um trocador de calor de tubos e placas transversais a os tubos, similar ao que está na figura seguinte: Figura 2.10 Trocador de tubo e placas [20]

26 95 Figura 2.11 Medidas de um trocador de tubo e placas d 0 : diâmetro exterior do tubo d i : diâmetro interior do tubo a: distância entre placas e: espessura da placa p: distância entre tubos da mesma coluna do arranjo s: distância entre colunas de tubos D h : diâmetro hidráulico do fluxo externo α: razão entre a área de transferência de calor e volume total A a / A r : razão entre a área de aletas e área total de troca de calor O uso de uma placa continua neste trocador de calor poderia ser visto como equivalente a uma aleta anular retangular de dimensões s e p, associada a o tubo respectivo de diâmetro exterior d 0. A razão entre as áreas de troca de calor fria e quente (A i / A r ) pode ser determinada facilmente calculando uma área de troca de calor associada a uma aleta individual e seu segmento de tubo correspondente tanto para o lado quente ( ) e para o lado frio ( ): (2.101) (2.102) Assim, a razão é igual à razão, então: (2.103)

27 96 O volume total do trocador (V) pode ser calculado conhecendo a área de troca de calor (A r ) e o parâmetro α: (2.104) Assumindo que os tubos do trocador fazem só um passo, e já conhecido o volume, é possível estabelecer a seguinte relação: V = s. p. L 23. N tr (2.105) Onde é o comprimento de cada tubo e o número de tubos de um só passo. Isto quer dizer que com um volume definido é possível determinar o comprimentos dos tubos, mas, em relação ao número dos mesmos. Como se vê: (2.106) Outro cálculo importante é o cálculo da área frontal ao fluxo através das placas. Para isto, vamos considerar o trocador como um paralelepípedo de altura e cara quadrada de lado b. Assim o volume é: (2.107) Neste caso a área frontal seria: (2.108) Substituindo b, a área frontal fica em função de V e : (2.109) Com a área frontal ao fluxo a través das placas se determina a área de fluxo livre a través das placas da seguinte maneira: (2.110) O problema de ter uma aleta anular retangular é a dificuldade no cálculo da eficiência da aleta. Este problema pode ser superado se é considerada uma aleta anular circular com superfície equivalente à aleta original [21]. Assim, o diâmetro interno das duas aletas seria igual e a área teria o mesmo valor. Vamos chamar r 1 e r 2 a os rádios interior e exterior, respectivamente, da nova aleta equivalente.

28 97 Figura 2.12 Relação entre aleta quadrada e aleta redonda Se as áreas das duas aletas são iguais e 2r 1 = d 0, então é possível calcular r 2 : (2.111) (2.112) Com r2 e r1, já é possível calcular os outros parâmetros da aleta, como o perímetro (P), a área convectiva ( ) e o comprimento corrigido ( ) da aleta: (2.113) O fator m para o cálculo da eficiência da aleta é: (2.114) (2.115) (2.116) Onde é o coeficiente de convecção e, a condutividade térmica. A eficiência da aleta é: (2.117) A eficiência de troca de calor da superfície do lado quente está dada por: (2.118) Análise do fluxo na tubulação do recuperador Devido a que o fluxo que passa pela tubulação do condensador entra em um estado termodinâmico e sai em outro diferente, é melhor encontrar as propriedades termodinâmicas médias do fluido a partir das propriedades conhecidas na entrada e na saída. Assim:

29 98 (2.119) (2.120) (2.121) (2.122) A área transversal dos tubos em função do diâmetro interior (d i ) é: (2.123) A velocidade média depende da vazão mássica por cada tubo. No presente modelo consideram-se dois passos por tubos, ou seja, entrada por um tubo e saída por outro, então a vazão mássica por cada tubo (2 ), ademais da massa específica ( ) e a área transversal ( ) determinam esta velocidade: (2.124) Também são calculados os números adimensionais de Reynolds ( ) e Prandtl ( ) que serão usados nos cálculos seguintes: (2.125) (2.126) Outro número adimensional, o de Nusselt, é calculado em base aos números de Reynolds e Prandtl, para o fluxo interno, tomando em conta se o fluxo é laminar ou turbulento com o critério do Reynolds: (2.127) Para determinar a queda de pressão na tubulação, é necessário determinar antes o fator de atrito ( ) em função do número de Reynolds: (2.128)

30 99 determinada por: A queda de pressão nos tubos do recuperador, então é (2.129) Finalmente, o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido e a parede interior dos tubos do recuperador está dado por: (2.130) Análise do fluxo pelas placas do recuperador As propriedades termodinâmicas médias do fluido são consideradas em função dos estados de entrada e saída deste escoamento: (2.131) (2.132) (2.133) (2.134) Para este fluxo é considerada uma velocidade da massa (G r ) em função da vazão mássica ( ) e os parâmetros geométricos e A fr [18]: (2.135) Os números de Reynolds e Prandtl para o fluxo são calculados: (2.136) (2.137) Com o número de Reynolds é possível obter o fator j de Colburn ( ). Este fator é função do tipo de trocador compacto, e para o caso do trocador de tubos e placas continuas tem a seguinte forma:

31 100 (2.138) Onde m e n são parâmetros que dependem da configuração do trocador. Outro parâmetro adimensional a calcular é número de Stanton ( função de e : ) em (2.139) O fator de atrito também está em função do número de Reynolds. A equação tem uma forma similar à equação do fator j, onde q e r dependem do trocador: (2.140) A queda de pressão no fluxo pelas placas do recuperador pode ser calculada com uma expressão em função de parâmetros já nomeados e dos volumes específicos de entrada ( ) e saída ( ) do fluido [18]: (2.141) O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido que passa a través das placas e a superfície de troca de calor do lado quente é: (2.142) Área de troca de calor no recuperador Para determinar a área de troca de calor no recuperador, adotou-se a metodologia de NTU - ε (número de unidades de transferência efetividade). Para começar primeiramente, é necessário determinar o coeficiente global de transferência de calor. Como a área de troca de calor não é igual no lado quente e no lado frio, vamos tomar o coeficiente para o lado quente (fora dos tubos). Este considera a eficiência da superfície quente ( ), os coeficientes de convecção ( e ) e a relação das superfícies fria e quente ( ): (2.143)

32 101 Agora, é necessário determinar qual é o calor máximo que poderia ser trocado no recuperador. Este calor é igual ao produto da capacitância térmica mínima pela diferença das temperaturas de entrada: (2.144) Comparando o calor real trocado com o calor máximo, é possível obter a efetividade do trocador: (2.145) A capacitância térmica mínima se obtém comparando as duas capacitâncias térmicas e escolhendo, obviamente, a menor. As capacitâncias são: (2.146) (2.147) Também se precisa da relação das capacitâncias térmicas ( ): (2.148) A partir do conhecimento a efetividade e a relação das capacitâncias é possível encontrar o número de unidades térmicas (NTU): (2.149) A área de troca de calor no lado quente do recuperador se calcula com estes parâmetros calculados (, e ): (2.150) Condensador Para facilitar a análise do condensador, ele vai ser dividido em duas zonas (método multizonas): uma parte que trabalha com o fluido superaquecido e outra que trabalha com o fluido saturado. É o equivalente a trabalhar com dois trocadores de calor em serie. No final dos cálculos a área de troca de calor necessária será igual à soma das duas áreas calculadas nos dois casos:

33 102 (2.151) (2.152) Figura 2.13 Esquema do condensador Balanço energético do condensador As temperaturas e estados nos pontos 6, 7 e 1 já estão definidos termodinamicamente. Do fluido de resfriamento (água) pode-se assumir o estado de entrada. Desta maneira, a partir desses dados é possível realizar o balanço de energia e determinar a temperatura de saída do fluido: (2.153) Onde é o calor específico a pressão constante da água (2.154) Também é preciso encontrar a temperatura intermediária (T am ) no fluido de resfriamento. Para encontrá-la relaciona-se o fluxo de calor do fluido do ciclo com o fluxo de calor da água na zona superaquecida, como segue: (2.155) (2.156) Figura 2.14 Esquema da zona superaquecida do condensador Da mesma maneira, com o balanço de energia na zona saturada: (2.157) (2.158)

34 103 Figura 2.15 Esquema da zona saturada do condensador Características geométricas do condensador O trocador de calor utilizado como condensador tem a mesma configuração do recuperador, é um trocador compacto de tubos e placas. Na seção se explicou as principais características deste equipamento e as variáveis calculadas a partir destas. Para o condensador se enuncia a nomenclatura utilizada e as principais fórmulas: : diâmetro exterior do tubo : diâmetro interior do tubo a c : distância entre placas e c : espessura da placa p c : distância entre tubos da mesma coluna do arranjo s c : distância entre colunas de tubos : diâmetro hidráulico do fluxo externo α c : razão entre a área de transferência de calor e volume total : razão entre a área de aletas e área total de troca de calor Razão entre as áreas de troca de calor fria e quente ( ) (2.159) Volume total do trocador ( ): (2.160) Comprimento de cada tubo do trocador ( ): (2.161)

35 104 Área frontal ( ): (2.162) Área de fluxo livre ( ): (2.163) Raio r 2 : (2.164) Raio r 1 : (2.165) Perímetro da aleta ( ): (2.166) Área convectiva da aleta ( ): (2.167) Comprimento corrigido da aleta ( ): (2.168) Fator m para o cálculo da eficiência da aleta na zona superaquecida ( ): (2.169) Eficiência da aleta na zona superaquecida ( ): (2.170) Eficiência de troca de calor da superfície do lado quente na zona superaquecida ( ): (2.171) Fator m para o cálculo da eficiência da aleta na zona saturada ( ): (2.172)

36 105 Eficiência da aleta na zona saturada ( ): (2.173) ( ): Eficiência de troca de calor da superfície do lado quente na zona saturada (2.174) Para este fluxo é considerada uma velocidade da massa ( ) em função da vazão mássica ( ) e os parâmetros geométricos e : (2.175) Análise do fluxo na tubulação do condensador Pela tubulação do condensador vai circular água, a qual entrará a uma temperatura determinada e ao ser aquecida sairá a uma temperatura maior. Para encontrar as propriedades deste fluxo numa boa aproximação é preciso obter uma temperatura média ( ) a partir da temperatura de entrada ( ) e de saída ( ): (2.176) As propriedades termodinâmicas do fluido estão em função da temperatura média ( ) e da pressão de trabalho ( ). Neste caso, pode se considerar a pressão atmosférica (101,3 kpa). Assim as propriedades são: (2.177) (2.178) (2.179) (2.180) A velocidade média da água que passa pela tubulação do condensador depende da vazão mássica em cada tubo ( / ), onde é a vazão mássica total e, o número de tubos, considerando-se um só passo por tubos: (2.181)

37 106 São calculados os números adimensionais de Reynolds para o fluxo e de Prandtl, para o fluido circulante: (2.182) (2.183) O número de Nusselt, como já é conhecido, é calculado em função dos números de Reynolds e Prandtl, tomando em conta se o fluxo é laminar ou turbulento: (2.184) O fator de atrito do fluxo na tubulação em função do número de Reynolds: (2.185) Com o fator de atrito, é possível então determinar a queda de pressão nos tubos do condensador: (2.186) Resulta assim o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido de resfriamento e a parede interior dos tubos do condensador: (2.187) Análise do fluxo pelas placas na zona superaquecida do condensador Novamente são calculadas as propriedades termodinâmicas médias a partir das propriedades dos estados inicial e final considerado: (2.188) (2.189)

38 107 (2.190) (2.191) Os números de Reynolds e Prandtl para a presente situação são calculados: (2.192) (2.193) O fator de atrito ( ) está em função do número de Reynolds, mas depende também da configuração do trocador de calor. Tem a forma que está a continuação, tomando em conta que m e n variaram segundo as características geométricas do trocador: (2.194) Com o fator de atrito, considerando os volumes específicos de entrada ( ) e saída ( ) da zona considerada (superaquecida) é possível o cálculo da queda de pressão na zona superaquecida: (2.195) A equação do fator j de Colburn ( ) tem uma forma parecida ao fator de atrito, em função de Reynolds e com parâmetros x e y que dependem do trocador. Encontrando-se, calcula-se o número de Stanton( ): (2.196) (2.197) Para o cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido que passa pelas placas e a superfície do lado quente, correspondente à zona superaquecida do condensador, se emprega a seguinte fórmula: (2.198)

39 Área de troca de calor na zona superaquecida do condensador Analogamente, a análise para a determinação da área de troca de calor na zona superaquecida do condensador leva o mesmo procedimento detalhado na seção , já que o condensador e o recuperador são do mesmo tipo de trocador compacto. A continuação as fórmulas aplicadas para a zona superaquecida do condensador: Coeficiente global de transferência de calor do lado quente: (2.199) Calor máximo que pode trocarse na zona superaquecida do condensador: (2.200) Efetividade do trocador na zona superaquecida do condensador: (2.201) Capacitâncias térmicas: (2.202) (2.203) Relação das capacitâncias térmicas ( ): (2.204) Fórmula que relaciona e para encontrar o número de unidades de transferência (NTU): (2.205) Área de troca de calor no lado quente do condensador para a zona superaquecida: (2.206)

40 Análise do fluxo pelas placas na zona saturada do condensador Para analisar o fluxo de uma mistura saturada de fases líquida e gasosa é fundamental considerar que, muitas vezes, as propriedades para líquido saturado e vapor saturado têm valores bem diferentes entre si. Fazer uma média aritmética simples, entre a propriedade na entrada e na saída nem sempre é correto e requer uma justificativa adequada. Por exemplo, para a viscosidade cinemática, uma opção é assumir a viscosidade na saturação como uma função do título, assim: (2.207) Onde os sub-índices v e L fazem referência à propriedade para vapor saturado e líquido saturado respectivamente. Neste caso, para o cálculo da viscosidade cinemática média seria necessário integrar a equação da viscosidade em função do título e dividir pelo intervalo do título (0 1) como se mostra: (2.208) Resulta finalmente que: (2.209) Por analogia com o cálculo da viscosidade, calcula-se a condutividade térmica média do fluido saturado: (2.210) Com a mesma analogia, o número de Prandtl médio resulta a partir dos números de Prandtl das fases líquida e gasosa, assim temos: μ (2.211) μ (2.212) (2.213)

41 110 Número de Reynolds: (2.214) Fator de atrito: (2.215) Queda de pressão na zona saturada: (2.216) Fator j de Colburn: (2.217) Número de Stanton: (2.218) Coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido que atravessa as placas e a superfície do lado quente, na zona saturada: (2.219) Área de troca de calor na zona saturada do condensador Esta análise é igual à da seção , só que aplicada à zona saturada do condensador. Para mais detalhes, verificar na seção , onde se explica exatamente cada etapa do procedimento. Coeficiente global de transferência de calor do lado quente: (2.220) Calor máximo que poderia ser trocado na zona saturada do condensador: Efetividade do trocador na zona saturada do condensador: (2.221)

42 111 (2.222) Capacitâncias térmicas: (2.223) (2.224) Relação das capacitâncias térmicas ( ): (2.225) Fórmula que relaciona e para encontrar o número de unidades de transferência (NTU): (2.226) saturada: Área de troca de calor no lado quente do condensador para a zona (2.227) Gerador de vapor O gerador de vapor também será analisado pelo método de multizonas. Este gerador pode ser considerado como a união de três trocadores em série: o primeiro trabalha na zona sub-resfriada; o segundo, na zona saturada e o terceiro, na zona superaquecida. Para dimensionar o gerador de vapor também se precisa somar as áreas de troca de calor para encontrar a área total de troca de calor: (2.228) Figura 2.16 Esquema do gerador de vapor

43 Balanço energético do gerador de vapor As temperaturas e estados 3 e 4 já foram definidos para o ciclo Rankine orgânico, segundo os parâmetros adequados. A temperatura no estado a para o HTF pode ser considerada como a mais alta que se consigue nos coletores solares para este fluido. A partir daí é possível obter a temperatura de saída (T b ): (2.229) Considera-se que o Cp para o HTF, é função das temperaturas a e b. Em alguns casos, para determinados HTFs, se especificam as entalpias em função das temperaturas: (2.230) (2.231) As temperaturas dos pontos 8 e 9 também são conhecidas, já que o ponto 8 se acha na linha de líquido saturado e o ponto 9 na linha de vapor saturado. Mas, as temperaturas dos estados intermediários do HTF, nos pontos d e e, precisam ser encontradas com os balanços energéticos para as diferentes zonas. Para a zona sub-resfriada se tem: (2.232) (2.233) (2.234) (2.235) Figura 2.17 Esquema da zona sub-resfriada do gerador de vapor Na zona saturada, o balanço de energia resulta em: (2.236)

44 113 (2.237) (2.238) (2.239) Figura 2.18 Esquema da zona saturada do gerador de vapor E na zona superaquecida, se tem que: (2.240) (2.241) (2.242) (2.243) Figura 2.19 Esquema da zona superaquecida do gerador de vapor Características geométricas do gerador de vapor O trocador de calor utilizado como gerador de vapor é do tipo casco e tubos. O lado quente do trocador vai ser dentro da tubulação onde circulará o fluido térmico (HTF). Este fluido aquecerá o lado frio, correspondente ao interior do casco, onde circulará o fluido orgânico. O trocador de calor resulta adequado já que dos dois fluidos utilizados, apenas um vai ter uma fase gasosa (fluido orgânico), e esta fase só acontecerá no final do processo, numa seção relativamente pequena com respeito ao volume total do trocador. A continuação a representação e principais características deste tipo de trocador [22]:

45 114 Figura 2.20 Medidas do trocador de calor de casco e tubos D s : diâmetro do casco C: separação entre tubos (clearance) B: espaçamento entre chicanas (baffle spacing) P T : distância entre tubos (tube pitch) d 0 : diâmetro exterior dos tubos d g : diâmetro interior dos tubos N t : número de tubos N p : número de passes no casco N b : número de chicanas A separação entre tubos está definida assim: C=P r -d o (2.244) Define-se a chamada área de fluxo cruzado do lado do casco como: (2.245) Diâmetro equivalente para o lado do casco do gerador de vapor se calcula: (2.246) Comprimento de cada tubo do gerador de vapor: (2.247) A velocidade da massa

46 115 (2.248) Análise do fluxo na tubulação do gerador de vapor As propriedades do fluido térmico (HTF) vão ser calculadas utilizando uma temperatura média, considerando as temperaturas de entrada ( ) e saída ( ): (2.249) Estas propriedades termodinâmicas do HTF são: (2.250) (2.251) (2.252) (2.253) A área transversal de fluxo dentro dos tubos é dada por: (2.254) A velocidade média com que o HTF passa pela tubulação do gerador de vapor depende da vazão mássica por cada tubo ( ), onde é a vazão mássica total e, o número de tubos (considerando um só passo): (2.255) Os números de Reynolds para o fluxo interno na tubulação e de Prandtl para o HTF nas condições especificadas são: (2.256) (2.257) Com estes números de Reynolds e Prandtl é possível calcular o número de Nusselt. Tomando sempre em consideração o critério de fluxo laminar ou turbulento que o determina Reynolds: (2.258)

47 116 O fator de atrito do fluxo também está em função do número de Reynolds dependendo do tipo de fluxo: laminar ou turbulento: (2.259) A queda de pressão nos tubos do gerador de vapor está então dada por: (2.260) O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o HTF e a parede interior dos tubos do gerador de vapor está expresso pela equação: (2.261) Análise do fluxo pelo casco do gerador de vapor na zona sub-resfriada Encontram-se as propriedades termodinâmicas médias do fluido a partir das propriedades do estado inicial e final na zona sub-resfriada: (2.262) (2.263) (2.264) (2.265) O número de Reynolds e o número de Prandtl são calculadas a partir das propriedades e variáveis geométricas: (2.266) (2.267) Com o Reynolds é calculado o fator de atrito:

48 117 (2.268) A queda de pressão na zona sub-resfriada do fluxo pelas placas do gerador de vapor vem expressada pela seguinte expressão: (2.269) O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido e a superfície das placas na zona sub-resfriada do gerador de vapor: (2.270) Área de troca de calor na zona sub-resfriada do gerador de vapor No caso do trocador de casco e tubos, a superfície de troca de calor do lado frio é aproximadamente igual à do lado quente, já que a espessura da tubulação é desprezível em comparação com outras medidas do trocador. Então, pode-se aproximar um coeficiente global de transferência de calor na equação seguinte: (2.271) Para este trocador também é aplicada a análise DTML, pela qual se definem as diferenças de temperatura nos pontos extremos do gerador de vapor na zona sub-resfriada (considerada em contrafluxo): (2.272) (2.273) A diferença de temperatura média logarítmica ( ) em contrafluxo é: (2.274)

49 118 Como é para um trocador de tubos em contrafluxo é precisso corrigi-la. Antes de encontrar um fator de correção, tem-se que achar a efetividade de temperatura ( ) e a razão da taxa de capacidade calorífica ( ): (2.275) (2.276) A partir dos dois parâmetros anteriores pode-se obter outros dois novos parâmetros S t1 e W t1 que servirão para calcular o fator de correção ( ): (2.277) (2.278) O fator de correção para a DTML está definido como [23]: (2.279) A área de troca de calor para a zona sub-resfriada do gerador de vapor é: (2.280) Análise do fluxo pelo casco do gerador de vapor na zona saturada Como já foi mencionada na seção , na zona de saturação se tem uma mistura líquido-gasosa que requer um cuidado especial na análise das propriedades médias. Novamente no caso da viscosidade cinemática é adequado assumir a viscosidade na saturação como uma função do título, assim: (2.281) Onde os sub-índices v e L se referem a vapor saturado e líquido saturado. Integra-se a equação da viscosidade em função do título e dividir pelo intervalo do título (0 1):