MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC) MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262 Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO (Capítulo 3) Recife - PE

2 Capítulo 3 - Estática dos Fluidos 1 Expansão de função e série de Taylor. 2 Lei de Pascal. Equação fundamental vetorial da Estática dos Fluidos. Plano isobárico. Superfícies de nível. Significado físico/mecânico. 3 Formas diferenciais da equação da Estática dos Fluidos. Lei de Stewin. 4 Propriedade dos líquidos: coesão, adesão e tensão superficial. Massa específica dos líquidos comuns. 5 Diagrama de pressões em reservatório estratificado. Estratificação térmica. 6 Exemplo da lei de Pascal. Sistema de vasos comunicantes e conservação da energia mecânica. Paradoxo hidrostático. 7 Técnicas de conversão de unidades. Níveis de referências das pressões. Pressões absolutas e manométricas. 8 Manometria. Piezômetro, tubo em U e manômetros diferenciais. Manômetros e vacuômetros metálicos. 9 Sistemas hidráulicos: elevador, prensas, trem de aterrisagem e freios. Golpe de aríete. Cavitação. 10 Forças hidrostáticas sobre superfícies planas:módulo, sentido, direção e ponto de aplicação. Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes. 11 Força hidrostática em superfície curva submersa. Exemplos. 12 Pressões em tubos e reservatórios. Dimensionamento de parede e material. 13 Empuxos em corpos. Principio de Arquimedes. Estabilidade de flutuantes. Metacentro. Altura metacêntrica. 14 Fluidos em movimento relativo. Efeitos de acelerações linear (horizontal e vertical) e angular. Aplicações em engenharia.

3 Expansão de função e série de Taylor Aproximação de Φ (derivada) ΦD Φ=Φ(x) Valores reais de Φ ΦP α Δx P E P D P P P P (< 0!)

4 Equação Fundamental da Estática dos Fluidos α (90 - α) * α * α P * * Equilíbrio de forças de pressão em um elemento fluido * dy* * dx* 3ª ordem Obs: Esta Lei também se aplica aos escoamentos não-viscosos!!! Lei de Pascal (Isotropia de pressões no ponto!)

5 z p p dz x P (x,y,z) dy p dx y Expansão em série de Taylor da pressão (p) em P Direção x: Direção y: p = p(x) =cte p = p(y) =cte Plano isobárico Superfície de nível Direção z: Forma vetorial geral da equação da Estática dos Fluidos

6 Significado físico/mecânico da equação vetorial geral da Estática dos Fluidos F S /Vol F M /Vol Em um fluido em repouso a soma das forças de superfície (F S ) e de massa (F M ) por unidade de volume de fluido é zero.

7 Formas da Equação da Estática dos Fluidos (vetorial) z x o y z Formas diferenciais p = p(x) = cte p = p(y) = cte Planos perpendiculares à g são isobáricos! 1 z1 Δz Δh h Δh = h z2 2 Lei de Stewin A cada altura em um fluido em repouso, corresponde um valor de pressão.

8 Propriedades dos líquidos Peso específico de alguns líquidos

9 Diagrama de pressões (reservatório estratificado) h1 α tan α = γ 1 β tan β= γ 2 h2 h3 θ tan θ = γ 3 tan θ = γ 3 h 3 / h 3

10 Lei de Pascal F Vasos comunicantes Energia de velocidade (cinética)

11 Paradoxo Hidrostático (o empuxo E no fundo independe do peso do líquido) E = pa E = pa E = pa P1 = γv1 P2 = γv2 P3 = γv3 Como V2 > V1 > V3 P2 > P1 > P3

12 Técnica de conversão de unidades Velocidade: Pressão:

13 Níveis de referência das pressões de um fluido em uma máquina, sistema ou processo. pman p abs = p atm + p man pabs patm padrão absoluto A : pman > 0 B : pman < 0 (vácuo relativo) A B absoluto Barômetro

14 Barômetro de Hg 1 atm = 760 mmhg = 101,3 kpa = 1,0 bar = 14,7 psi = 10,33 mca (no NMar)

15 Referências de medidas de Pressão (p) A patm = 101,3 kpa (padrão EUA ao nível do mar) se patm local = 90 kpa Indica: - se o local for ao nível do mar Tempestade! - altitude 1000m condições atmosféricas normais! Há dois referenciais de pressões : pabs (kpa) - Vácuo (o absoluto) Gases - patm local Líquidos e Gases pman = 30 kpa pvac = 30 kpa ou pman = -30kPa patm local 0 pvac = 90 kpa ou pman = -90kPa vácuo absoluto

16 Dados da atmosfera Padrão EUA (nível do mar) 288K 1,225 kg/m³

17 Manometria Piezômetros Limitações de uso: serve para baixas pressões não serve para gases (escapam) não serve para p man < 0, haveria entrada de ar Tubos em U Manômetros diferenciais

18 Exemplo de cálculo A Fig. 2-3 mostra um manômetro simples de tubo em U para medida da diferença de pressão. A diferença nas pressões pa e pb pode ser determinada da forma abaixo. A pressão ao ponto a é dada por: pa = h1 γh2o + (h3 - h1) γar + pa ou pa = h2 γh2o + (h3 h2) γar + pb Subtraindo, pa pb = (h2 h1) (γh2o γar) Observação: O peso específico do ar é pequeno, comparado à água, significando que a diferença de pressão é aproximadamente igual à diferença nas alturas de coluna vezes o peso específico da água: pa pb = (h2 h1) γh2o

19 Os manômetros podem ter formas, orientações e usar fluidos diferentes, dependendo da aplicação. Por exemplo, a fim de obter melhoria na precisão, em relação ao manômetro vertical, pode-se usar um manômetro inclinado, como o da figura 2-4, ou um manômetro de dois fluidos, como o da figura 2-5, poderia ser usado para chegar à precisão desejada. Figura 2-4 Figura 2-5 O método de relacionamento de diferenças de pressão a deflexões de coluna do fluido para esses dois exemplos é basicamente o mesmo que o descrito para o manômetro de tubo em U.

20 Manômetros industriais

21 O Elemento Elástico ao receber a pressão a ser medida, faz com que este se desloque, acionando um mecanismo com um ponteiro para indicação da pressão a ser medida. O Tipo Helicoidal é mais usado para para medição de pressões maiores. O Tipo Espiral, para pressões menores.

22 Vacuômetros Vacuômetro digital com escala de 0 a 760 mmhg. Utilizado para monitoramento do vácuo gerado durante o funcionamento de sistemas. Permite efetuar ensaios para verificar o estado de funcionamento de válvulas, carburador e ignição.

23 Elevador hidráulico Sistemas Hidráulicos F1 Força aplicada F2 Força obtida Relação de multiplicação de forças Prensas

24 Trem de aterragem aberto para pouso.

25 Freios A função do pedal (p) é a de abrir o distribuidor D que alimenta (1) e (2).

26 Golpe de Aríete Tubulações Industriais com Prof. Laurênio Ciclos de carga: fadiga é um fenômeno que afeta os MATERIAIS que ficam submetidos a vários ciclos de carga (fratura).

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29 Cavitação Quando a pressão local cai abaixo da pressão de vapor do líquido (pressão parcial das moléculas gasosas expelidas naquela temperatura), ocorre sua vaporização, causando o aparecimento de bolhas de gás ou cavidades. A cavitação é acompanhada de: erosão, corrosão, perdas de eficiência e vibração.

30 Força Hidrostática sobre uma superfície plana submersa (exemplos) Comporta de parede Comportas de fundo Superfície Livre (SL)

31 Força Hidrostática (Empuxo) sobre uma superfície plana submersa = df (h) y' F R h θ H p (h) O p (H) p (H) da = df (H) y A

32 Dedução da força de pressão (empuxo) em áreas planas p atm Superfície Livre (SL) F R O H h θ p (h) y' C p (H) p (H) da = df (H) y A Primeiro momento de A em relação ao eixo x ( ). yc = coordenadas do centróide de A. pc = neste caso, pressão absoluta no líquido no centróide da área A. p abs = p atm + p man

33 Casos : A) Quando p atm atua na SL e no lado externo de A, seus efeitos se cancelam (p0 = patm = 0) p c = p c man B) Se p0 patm, então p0 deve ser medida como pman para descontar a patm p C = p 0 man + p C man Conclusão: p0, que é a pressão atuante na SL, deve ser uma pressão manométrica em qualquer caso. Logo, p C deverá ser sempre uma (A) ou, uma soma (B) de pressões manométricas! ( p C = p man em C ) MÓDULO: pressão no líquido no centróide da área x área. A pressão na SL do líquido deverá ser tomada como pman. Portanto, tem-se de resolver o problema do cálculo do centróide da área plana. SENTIDO: contrário ao do vetor área. DIREÇÃO: paralela à do vetor área.

34 Ponto de aplicação do empuxo em área plana (coordenadas do centro de pressão) Reconhecer que no caso geral as coordenadas do CP (x, y ) estão abaixo do CG (C)! O ponto de aplicação da FR (CP= r ) deve ser tal que o seu momento em relação a qualquer eixo seja igual ao momento da força distribuída em relação ao mesmo eixo. ; ; ;

35 Para o eixo x: fazendo p0 = 0, FR = ρg sinθ yc A, p = ρgh e h = y sinθ : mas, Momento de inércia de A em relação ao eixo x. Assim, O ponto de aplicação da FR centróide da área. Momento de inércia da área em relação ao eixo (CP) está sempre abaixo do que passa pelo centróide. Produto de inércia de A em relação ao par de eixos passam pelo seu centróide. que

36 y Detalhes sobre o ponto de aplicação do empuxo (CP) z o x NA hc θ z A ER CG CP yc y' CG y. Mas, Logo: Observe que o carregamento das p é variável com y! Porém é invariável segundo o eixo OX ou paralelos, pois, as p são as mesmas! (nesse eixo!) Para áreas simétricas em relação à e x = x c, logo o CP fica abaixo do CG e sobre o eixo.

37 Síntese de empuxo hidrostático e ponto de aplicação em superfície plana submersa 1) NA patm z o θ x y C yc y' 2) A x' xc y 3) Momento de inércia da área em relação ao eixo x que passa pelo seu C.G. (xc,yc) Exemplo em Enga. Naval Produto de inércia da área em relação ao par de eixos xy que passa pelo C.G. (C) (V-shaped Hull)

38 Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes Áreas Volumes

39 Empuxo hidrostático em superfície curva submersa Para se somar uma série de vetores atuantes em várias direções se SOMA COMPONENTES dos VETORES em relação à um sistema de coordenadas conveniente. Mesmo processo de cálculo do empuxo em SUPERFÍCIES PLANAS! Peso na projeção horizontal da área. O empuxo é calculado em termos de seus componentes Na maior parte dos casos práticos, são os componentes paralelos e perpendiculares à SL que interessam Quando ocorrem os 3 componentes, a resultante não poderá ser expressa como uma única força

40 Componente vertical do empuxo em superfícies curvas z NA h h da z p Peso -Virtual - Real A componente vertical do empuxo para superfície curva é igual ao peso real (água em cima) ou imaginário (água embaixo) do líquido ocupando o volume entre a superfície curva e a superfície livre da água.

41 EXEMPLO 1: Calcular o vetor empuxo (E) sobre a comporta de 4m de largura e raio 2m. R = 2m A 2 EH 4 EV (módulo) (Ponto de aplicação / sentido / direção) R/2 EH EV E

42 EXEMPLO 2: Cálculo de áreas por integração y 2 dy Ay Ax y² = 2x dx 2 x

43 Pressões em tubos e reservatórios (vasos de pressão) Hipótese de cálculo: a altura de pressão é grande em relação ao diâmetro (D). D p Portanto, pode-se considerar uma isotropia de pressões atuantes na estrutura. Dimensionamento de parede e material L E r ds e

44 Equilíbrio entre forças solicitantes e resistentes β = coeficiente de sobrepressão = 1,2 α = coeficiente de eficiência de solda 0,8

45 Empuxo sobre corpos imersos

46 Empuxo e estabilidade sobre corpos flutuantes Navio francês zarpa durante a tempestade: helicóptero resgatou 26 tripulantes.

47 Metacentro Se M estiver acima de G, estável. Se M estiver abaixo de G, instável.

48 Altura metacêntrica (MG) A estabilidade cresce com o aumento de MG.

49 Movimentos de um sólido em um fluido (jargão naval) Popa Proa F 1 F 2 F 3 Surge (u) to move forward with force Sway (v) to move from side to side Heave (w) to rise and fall again several times M 4 Roll balanço M 5 Pitch caturro M 6 Yaw cabeceio

50 Equilíbrio relativo Fluido contido em recipiente que se move com translação acelerada Em relação a: O XYZ (fixo Terra) fluido em movimento Oxyz (sistema relativo, fixo no recipiente) após transiente, fluido em configuração estável, se:. Como o fluido só estará em repouso em relação ao (Oxyz) que se move em relação à (O XYZ) Equilíbrio relativo. Principio de D`Alambert pode-se substituir o efeito da aceleração pelo efeito de uma força fictícia de inércia ( F i = - m a ). As partículas fluidas não têm movimento em relação ao recipiente, não há τ Estática dos Fluidos.

51 Líquido em movimento de corpo rígido com aceleração linear patm Líquido em movimento de corpo rígido com velocidade angular constante patm z r

52 Fluidos em movimento relativo (corpo rígido) z y x g v = cte ou parado y 1 g ax 2 ax 0 x 1 ω = cte 2 ω = 0 R Aceleração linear Velocidade angular Estática dos fluidos: Nesses casos: 0 0 -g 0 -g 0

53 p = p (x,y) p = p (r,z) Δx Δy Expressões gerais 1- (0;z1) e 2- (R2;z2) Na SL (1 e 2) onde atua patm dp = 0 (p2 = p1) Casos particulares

54 Translação uniformemente acelerada na vertical Y Elevador O X y o x Fluido ZERO G em queda livre a y = - g (desce em queda livre) ZERO G Se o elevador desce em queda livre, as pressões no fluido serão constantes em todas as direções, ou seja, elimina-se o efeito da gravidade. p = p (x, y, z) = cte

55 Envasamento de recipientes em esteiras

56 Sucção em bombas centrífugas

57 Observe que o ar acelera no estreitamento (maior pressão dinâmica), provocando uma sucção no canudo (redução da pressão estática), que consequentemente pulveriza a água no interior do tubo.

58 Exemplo: Verificar que a condição mecânica de formação de vácuo (pman < 0) no eixo de cilindro rotativo com líquido é de que ocorra alta velocidade angular ω. z ω 1 A r R H O 2 0 p = p (r, z)

59 p 0 (vácuo) Como R, g e H são constantes, a condição é que a rotação (ω) seja alta! Equações básicas para serem integradas em função do problema e Aceleração linear Velocidade angular

60 FIM