Matemática elementar/conjuntos

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1 Matemática elementar/conjuntos 1 Matemática elementar/conjuntos Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo. Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos. Representação Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C,...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira: O conjunto A e seus 4 elementos Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas por exemplo, pontos geométricos: Especificando conjuntos A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores: Informalmente, usa-se o sinal... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos: Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves: Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto: P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

2 Matemática elementar/conjuntos 2 O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo,. Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais. Terminologia Conjunto unitário Um conjunto unitário possui um único elemento. Conjunto vazio Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por,, ou. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos. Conjuntos numéricos Existem também os conjuntos numéricos, que em consideração especial em matemática. Os principais conjuntos númericos são listados a seguir. Conjunto dos números naturais Os números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. O capítulo sobre números naturais oferece informações detalhadas sobre os seguintes assuntos: Tópicos: Definição Divisão em Critérios de divisibilidade Números primos Decomposição em fatores primos (fatoração) Máximo Divisor Comum (MDC) Fatoração disjunta Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides) Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Propriedade do MDC e do MMC Conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números). Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75). Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente). Tópicos Números racionais e frações

3 Matemática elementar/conjuntos 3 Definições Decimais Tipos de frações Operações Conjunto dos números irracionais O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero. Estes números podem, no entanto, ser associados a pontos numa reta, a reta real. O símbolo usualmente representa este conjunto. Conjunto dos números reais O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real. Tópicos Potenciação Definição Propriedades da potenciação Radiciação Propriedades da radiciação Racionalização de denominadores Intervalos reais Exercícios Conjunto dos números complexos O conjunto dos números complexos inclui os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real. O símbolo usualmente representa este conjunto. Cada número complexo é a soma dos números reais e dos imaginários:. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. Tópicos Introdução O número imáginario Formas de representar os complexos Operações com os complexos Soma e subtração Multiplicação Divisão

4 Matemática elementar/conjuntos 4 Conjunto dos números imaginários O conjunto dos números imaginários puros inclui os números que aparecem como soluções de equações como x 2 + r = 0 onde r > 0. Outros conjuntos numéricos Há outros conjuntos numéricos definidos na matemática, mas que não interessam nesse nível de estudo. Exemplo: O conjunto dos números algébricos inclui os números, que aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto. Subconjuntos Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo: A = { 1,2,3 } B = { 1,2,3,4,5,6 } Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se. Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios. Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos. A é um subconjunto de B Conjunto das partes ou potência Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A). Uma maneira prática de determinar subconjuntos com dois elementos, e assim por diante. Exemplo:, como o conjunto que contém todos os é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os Se A = { 1, 2, 3 }, então = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. Observação: Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto terá 2 n elementos. Ou seja:. Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(s) o número de elementos distintos de S. Se A = P(A) = { } n(p(a)) = 2^0 = 1 Se A = {a} P(A) = {,a} n(p(a)) = 2^1 = 2 Se A = {a,b} P(A) = {,a,b,{a,b} n(p(a)) = 2^2 = 4 Se A = {a,b,c} P(A) = {,a,b,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} n(p(a)) = 2^3 = 8... P(A) é formado por somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(a). Assim, n(p(a)) = número de combinações n(a), com taxa variando de 1 a n(a) somado a 1 (responsável por ). n(p(a)) = Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

5 Matemática elementar/conjuntos 5 n(p(a)) = Mas, n(p(a)) Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A. Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção. O Teorema de Cantor estabelece que. Conjunto Universo Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo. Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto. Relações entre conjuntos Relação de pertinência Se é um elemento de, nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever. Se não é um elemento de, nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever. Exemplos: Subconjuntos próprios e impróprios Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a, então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto, denotado por. Note que esta definição inclui o caso em que e possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( ). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a, então é chamado de subconjunto próprio de, denotado por. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

6 Matemática elementar/conjuntos 6 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é. Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo. Simetria de conjuntos Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos. Operações com conjuntos União A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente: União de A e B (em azul mais escuro) Por exemplo: Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união. A união de um conjunto, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto,. Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja,.

7 Matemática elementar/conjuntos 7 Intersecção A intersecção de dois conjuntos e, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos e, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a quanto a. Matematicamente: Intersecção de A e B (em azul mais escuro) Por exemplo: Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio. Diferença Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente: Diferença A menos B (em azul mais escuro) Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z - (números inteiros não-positivos): Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} N = {1,2,3,4,5,...} A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A,.

8 Matemática elementar/conjuntos 8 Complementar Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) é o complementar relativo e usa-se o símbolo. Matematicamente: Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro) Exemplo: A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} } D = { {10,12} } Cardinalidade A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é Exemplos: Se A = { 7, 8, 9 }, então A = 3 Se A = { }, então A = 0. Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n. Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph zero),. Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto é denotada por ou por. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então. Problemas matemáticos sobre cardinalidade Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes: É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto. Um problema típico simples do primeiro caso é: Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra? Um problema típico simples do segundo caso é: Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

9 Matemática elementar/conjuntos 9 A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%. Exercícios Matemática elementar/conjuntos/exercícios Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesioano é. Matematicamente: O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados: A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto. O produto cartesiano é não-comutativo:. Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano. Par ordenado Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado simbolizado por (a,b) precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja, Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é: Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

10 Matemática elementar/conjuntos 10 Relações Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.) Ligações externas Números Naturais: Primeira parte [1] Números Naturais: Segunda parte [2] Critérios de Divisibilidade [3] Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores [4] Números Inteiros [5] Frações [6] Frações e Números Decimais [7] Números Racionais [8] Frações e Números decimais (Exercícios) [9] Referências [1] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ naturais1. htm [2] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ naturais2. htm [3] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ divisibilidade. htm [4] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ naturais/ naturais2-a. htm [5] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ inteiros/ inteiros. htm [6] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ fracoes. htm [7] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ fracdec. htm [8] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ racionais. htm [9] / pessoal. sercomtel. com. br/ matematica/ fundam/ fracoes/ fracoes-a. htm

11 Fontes e Editores da Página 11 Fontes e Editores da Página Matemática elementar/conjuntos Fonte: Contribuidores: Albmont, Dante Cardoso Pinto de Almeida, Edudobay, Fredmaranhao, Helder.wiki, Jorge Morais, Lightningspirit, Luís Felipe Braga, Marcelo Reis, Marcos Antônio Nunes de Moura, PatríciaR, SallesNeto BR, Samuelpeixoto, 190 edições anónimas Fontes, Licenças e Editores da Imagem Imagem:conjunto A.png Fonte: Licença: GNU Free Documentation License Contribuidores: Dante Cardoso Pinto de Almeida, Marcelo Reis Imagem:Real Number Line.svg Fonte: Licença: Public Domain Contribuidores: Martin Smith-Martinez Imagem:conjuntos subconjunto.png Fonte: Licença: GNU Free Documentation License Contribuidores: Dante Cardoso Pinto de Almeida, Marcelo Reis Imagem:conjuntos uniao.png Fonte: Licença: GNU Free Documentation License Contribuidores: Dante Cardoso Pinto de Almeida, Marcelo Reis Imagem:conjuntos interseccao.png Fonte: Licença: GNU Free Documentation License Contribuidores: Dante Cardoso Pinto de Almeida, Marcelo Reis Imagem:conjuntos diferenca.png Fonte: Licença: GNU Free Documentation License Contribuidores: Dante Cardoso Pinto de Almeida, Marcelo Reis Imagem:conjuntos complementar.png Fonte: Licença: GNU Free Documentation License Contribuidores: Dante Cardoso Pinto de Almeida, Jorge Morais, Marcelo Reis, 2 edições anónimas Licença Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/