Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 PROBLEMAS RESOLIDOS DE FÍSIA Prof. Anerson oser Gauio Departamento e Física entro e iências Exatas Universiae Feeral o Espírito Santo anerson@np.ufes.br Última atualização: 8//6 4:5 H - apacitância Funamentos e Física Halliay, Resnick, Walker 4ª Eição, LT, 996 ap. 7 - apacitância Física Resnick, Halliay, Krane 4ª Eição, LT, 996 ap. - apacitores e Dielétricos Física Resnick, Halliay, Krane 5ª Eição, LT, ap. - apacitância Prof. Anerson (Itacaré, BA - Fev/6)

2 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES HALLIDAY, RESNIK, WALKER, FÍSIA, 4.ED., LT, RIO DE JANEIRO, 996. FUNDAMENTOS DE FÍSIA APÍTULO 7 - APAITÂNIA EXERÍIOS E PROBLEMAS Halliay, Resnick, Walker - Física - 4 a E. - LT ap. 7 apacitância

3 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES RESNIK, HALLIDAY, KRANE, FÍSIA, 4.ED., LT, RIO DE JANEIRO, 996. FÍSIA APÍTULO - APAITORES E DIELÉTRIOS PROBLEMAS Um eletrômetro é um aparelho usao para meir cargas estáticas. Uma carga esconhecia é colocaa nas armauras e um capacitor e após isto meimos a iferença e potencial entre elas. Qual é a menor carga ue poe ser meia por um eletrômetro cuja capacitância vale 5 pf e tem sensibiliae à voltagem e,5? (Pág. 9) A carga a ser meia pelo eletrômetro é acumulaa num capacitor, e capacitância, o instrumento e eve satisfazer à relação funamental e capacitância: ( )( ) 7,5 p F,5 7,5 4. Um capacitor e armauras paralelas é construío com placas circulares e raio 8, cm e, mm e separação entre elas. (a) alcule a capacitância. (b) Qual a carga ue aparecerá nas armauras, se aplicarmos uma iferença e potencial e 6 entre elas? (Pág. 9) r + (a) A capacitância e um capacitor e placas paralelas, não importano a forma geométrica e suas placas, é aa por: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

4 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES ( 8,85 F/m)(, 8 m) εa επr π, 44 F 4 pf (b) A carga vale: (, m) ( )( ) 7, n 8,44 F,78. Ache a capacitância euivalente à combinação na Fig. 5. Suponha ue, μf, 4,8 μf e,9 μf. (Pág. 9) Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série e e, cuja capacitância euivalente chamaremos e e, em seguia, resolveremos a associação em paralelo entre e, cuja capacitância euivalente chamaremos e. + + (, μf)( 4,8 μf) (, μf) ( 4,8 μf) + + A capacitância euivalente final vale: ( ) ( ), 74 μf +, 74 μf +,9 μf 7,74 μf 7,7 μf 7. (a) Três capacitores estão ligaos em paralelo. aa um eles tem armauras e área A, com espaçamento entre elas. Qual eve ser a istância entre as armauras placas e um único capacitor, caa uma com área também igual a A, e moo ue a sua capacitância seja igual à a associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supono ue a associação seja em série. (Pág. 9) (a) A capacitância a associação em paralelo ( assoc ) é igual à capacitância o capacitor isolao ( isol ). Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 4

5 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES A, A, l A, A, Logo: assoc isol ε + + l εa l εa εa l A l (b) A capacitância a associação em série ( assoc ) é igual à capacitância o capacitor isolao ( isol ). l Logo: A, assoc A, isol A,, A εa + + l εa l εa εa l l. Imagine ue você isponha e vários capacitores e, μf, capazes e suportar, sem ruptura ielétrica,. omo seria possível combinar esses capacitores, e moo a obter um sistema capaz e resistir à iferença e potencial e. e com uma capacitância e (a),4 μf e (b), μf? (Pág. 9) (a) É possível satisfazer a conição o enunciao por meio e uma associação em série e cinco capacitores e, μf. Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 5

6 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES e e e ( μ ), F 5 5, 4 μf Associano-se em série cinco capacitores ue suportam iniviualmente uma tensão e, a tensão total ue a associação poerá suportar é: ( ) e. e (b) No item anterior, a associação em série e cinco capacitores e, μf prouziu uma capacitância euivalente e,4 μf. Para prouzir uma capacitância euivalente e, μf seria necessário associar em série cinco capacitores e: 5 e ( ) 5e 5, μf 6, μf É possível construir um capacitor euivalente a 6, μf associano-se três capacitores e, μf em paralelo. / , μf 6, μf e ( ) É preciso lembrar ue toos os capacitores ue participam e uma associação em paralelo estão sujeitos à mesma iferença e potencial o capacitor euivalente. Isto faz com ue a limitação a voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representaa no esuema abaixo, one toos os uinze capacitores têm capacitância, μf: 4. Quano giramos a chave S a Fig. para a esuera, as armauras o capacitor e capacitância auirem uma iferença e potencial. Inicialmente, e estão escarregaos. A chave S é agora giraa para a ireita. Quais os valores as cargas finais,, e sobre os capacitores corresponentes? Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 6

7 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES onsiere a seüência e operações no circuito mostraas no esuema abaixo: (Pág. 94), +++, +++, +++, , A B D No circuito B, a chave S é giraa para a esuera. O capacitor auire iferençca e potencial igual à a bateria ( ) e carga igual a: No circuito D, a chave S é giraa para a ireita. A carga é istribuía entre os três capacitores. A iferença e potencial e,, iminui enuanto ue a e (capacitor euivalente a e ),,, aumenta até ficarem iguais. Poemos esenvolver o seguinte cálculo: omo é uma associação em série e capacitores, teremos: + e Portanto, a istribuição e carga entre os capacitores fica a seguinte forma: + + Substituino-se (4) em (): (6) Substituino-se (5) em (6): ( ) () () () (4) (5) Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 7

8 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES (7) Substituino-se () em (7): + (8) Substituino-se () em (8): Da E. (5), temos: + + omo : Um capacitor e armauras planas, mas não paralelas, é constituío por uas placas uaraas ue formam entre si um ângulo θ, conforme na Fig.. O lao o uarao é igual a a. Mostre ue a capacitância este capacitor, para valores e θ muito peuenos, é εa aθ (Sugestão: O capacitor poe ser iviio em faixas infinitesimais ue estejam efetivamente em paralelo.) Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 8

9 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES onsiere o esuema abaixo: a (Pág. 94) θ y x x Tomano-se ois elementos e placas e comprimento x e largura a, o conjunto representa um capacitor e placas paralelas e capacitância ue possui área A e istância e separação entre as placas l. apacitância : εa εax εax l + y + xtanθ O capacitor a figura poe ser consierao como seno uma associação em paralelo e capacitores e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias: a εax + xtanθ εa a tanθ ln + tanθ () No Apênice H este livro vê-se ue a função ln (+x) poe ser expania em série e Taylor, seno o resultao: ln ( + x) x x + x ( x < ) onsierano-se a tanθ x e tomano-se apenas os ois primeiros termos a série: a a a a a ln + tanθ tanθ tan θ tanθ tan onsierano-se θ, isto implica em tan θ θ. Logo: atanθ aθ aθ ln + Substituino-se () em (): θ () Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 9

10 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES εa aθ aθ θ εa aθ 7. A iferença e potencial fornecia pela bateria B a Fig. é igual a. (a) alcule a carga em caa capacitor após ter sio fechaa a chave S. (b) Iem, uano também estiver fechaa a chave S. Suponha ue μf, μf, μf e 4 4 μf. (a) onsiere o esuema a seguir: (Pág. 94) 4 4 Os capacitores e estão associaos em série. Isto significa ue: + O mesmo é veraeiro para os capacitores e 4 : omo a p entre as placas e e 4 é igual a, temos: Tomano-se: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

11 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES μ De forma semelhante: μ (b) onsiere o esuema a seguir: One, por se tratar e uma associação e capacitores em série: Logo: omo e 4 são associações e capacitores em paralelo, temos: Mas: Logo: ( + )( + 4) ( + ) + ( + ) , μ 8, 4 μ 6,8 μ De forma semelhante: 8, 4 μ Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

12 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES,8 μ 4,4 μ. As tentativas e construção e um reator e fusão termonuclear controlaa ue, se bemsuceias, poeriam fornecer uma enorme uantiae e energia a partir o hirogênio pesao existente na água o mar, envolvem usualmente a passagem e correntes elétricas muito intensas por peuenos períoos e tempo em bobinas ue prouzem campos magnéticos. Por exemplo, o reator ZT-4, o Laboratório Nacional e Los Alamos (EUA), tem salas cheias e capacitores. Um os bancos e capacitores tem capacitância e 6, mf a, k. alcular a energia armazenaa, (a) em joules e (b) em kw.h. (Pág. 95) (a) A energia potencial acumulaa num capacitor carregao, e capacitância sujeito à uma iferença e potencial, é aa por: ( 6, U F )(, ),5 6 J U, 5 MJ (b) Lembrano-se ue: kw h 7 J W s,777 kw h W.6 s Teremos: 6 7 ( )( ) U, 5 J, 777 kw h,847 kw h U,847 kw h. Dois capacitores, um e, μf e outro e,88 μf são ligaos em série, com uma iferença e potencial e 8 entre os terminais a associação. alcular a energia total armazenaa nos capacitores. (Pág. 95) Poemos representar a associação em série os capacitores e pelo capacitor euivalente : + A energia potencial acumulaa no capacitor sujeito à iferença e potencial vale: U Logo: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

13 U Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES 6 6 (, F)(,88 F) ( ) ( ) ( ) 6 6 +, F +,88 F U 7,7 mj 8,7745 J 4. Um banco e capacitores ligaos em paralelo, conteno. capacitores e 5, μf caa, é usao para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a iferença e potencial nos terminais a associação atingir 55 k, supono um custo e centavos por kw.h? (Pág. 95) onsiere o seguinte esuema: } U U U U. A tarifa total T a ser paga pelo carregamento os N capacitores é o prouto a tarifa t pela energia acumulaa nos N capacitores ( N ). T t UN NtU Na expressão acima, U é a energia acumulaa em caa um os capacitores a associação. T Nt Nt cents 7 kw.h 6 T (.),, 78 ( 5, F)( 55. ), 449 cents kw.h J T cents [Início] 6. Na Fig. 4 calcule (a) a carga, (b) a iferença e potencial e (c) a energia armazenaa em caa capacitor. Suponha os mesmos valores numéricos o Problema, com. Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

14 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES (Pág. 95) 8. Seja um capacitor cilínrico e raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4. Mostre ue a metae a sua energia potencial elétrica está acumulaa no interior e um cilinro e raio igual a r ab. onsiere o esuema a seguir: (Pág. 95) a + + b + r + + apacitância e um capacitor cilínrico: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 4

15 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES L πε ln ( ba) Energia potencial elétrica acumulaa num capacitor cilínrico: ( b a) ln U 4πε L () Densiae e energia (u) entre as placas e um capacitor cilínrico: U u ε U u E. L. r. r ( π ) () ampo elétrico entre as placas e um capacitor cilínrico: E πε Lr () Substituino-se () em (): U ε πlrr 4πε Lr r U 4πε Lr (4) onição ue resolve o presente problema: r U U (5) a Substituino-se () e (4) em (5): ( b a) r r r ln 4πε a Lr r 4πεL r b ln ln a a r b ln ln a a r b a a r a r b a ab 4. Mostre ue as armauras e um capacitor plano e placas se atraem mutuamente com uma força igual a Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 5

16 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES F ε A Obtenha este resultao calculano o trabalho necessário para aumentar a separação entre as armauras x para x + x. (Pág. 95) onsiere o seguinte esuema, em ue temos um capacitor e placas planas e paralelas, separaas por uma istância x e carregao com carga F F s x x A placa a ireita é movia para a ireita através e uma istância x. O trabalho W realizao pela força F poe ser calculao a seguinte forma: W F s Fx cosπ W Fx () O mesmo trabalho é euivalente à variação e energia potencial o sistema: W U ( U U) U U x x+ x W x x x εa εa εa x ( ) W () ε A omparano-se () e (): F ε A 44. É ao um capacitor e 7,4 pf com ar entre as armauras. ocê é solicitao a projetar um capacitor ue armazene até 6,6 μj com uma iferença e potencial máxima e 6. Qual os ielétricos a Tabela você usará para preencher o espaço entre as armauras o capacitor, supono ue toos os aos são exatos, isto é, a margem e erro é zero? (Pág. 95) Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 6

17 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES Se a capacitância o capacitor com vácuo entre as placas for, com ar entre as placas for e com outro ielétrico for, valem as seguintes relações: κ κ κ κ κ () κ A energia potencial acumulaa no capacitor vale: U () Substituino-se () em (): κ U κ Resolveno-se para κ : 6 ( )( ) κ U, 6,6 J κ 4,599 κ 4,5 ( 7, 4 F)( 6 ) De acoro com a Tabela (Pág. 86), o material com κ 4,5 correspone ao ÓLEO DE TRANSFORMADOR. 46. Um capacitor e armauras, cujo ielétrico é o ar, tem capacitância igual a 5, pf. (a) Se as armauras têm área e,5 m, ual é a sua separação? (b) Se a região entre as armauras for preenchia agora com material e constante ielétrica igual a 5,6, ual é a nova capacitância? (Pág. 95) (a) Um capacitor com placas planas e paralelas e área A e separação possui capacitância aa por: ε A Logo: ε A ( 8,85 F/m)(,5 m ) ( 5, F) 6,4 cm,68 m (b) Preencheno-se o espaço entre as placas com ielétrico κ, a nova capacitância será: κ ( )( ) 5,6 5, F,878 F 87 pf Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 7

18 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES 48. Uma certa substância tem constante ielétrica,8 e sua rigiez ielétrica é 8, M/m. Se é usaa como ielétrico em um capacitor e armauras paralelas, ual a área mínima as armauras para ue a capacitância seja 68,4 nf e o capacitor possa resistir a uma iferença e potencial e 4, k? (Pág. 95) A capacitância e um capacitor e placas planas e paralelas com material ielétrico κ entre as placas é aa por: κ Na euação acima, é a capacitância o mesmo capacitor sem o material ielétrico entre as placas. Esta capacitância é aa pela euação a seguir, em ue A é a área as placas e é a istância e separação entre elas. εa Logo: ε A κ A κε Multiplicano-se e iviino-se a euação acima por max, teremos: max max A κε κε E A κε E max max 9 ( 68, 4 F)( 4, ) 6 (,8)( 8,85 F/m)( 8, /m) max max A,66 m, 667 m 5. ocê foi encarregao e projetar um capacitor portátil ue possa armazenar 5 kj e energia e escolhe um capacitor e armauras paralelas com ielétrico. (a) Qual o menor valor possível para o volume o capacitor, se for usao um ielétrico selecionao entre aueles listaos na Tabela e para os uais é ao o valor a rigiez ielétrica? (b) apacitores moernos e alto esempenho e ue poem armazenar 5 kj têm volumes iguais a,87 m. Supono ue o ielétrico usao tenha a mesma rigiez ielétrica o item (a), ual eve ser a sua constante ielétrica? (Pág. 95) (a) O campo elétrico entre as placas e um capacitor, carregao com carga e preenchio com ielétrico κ, vale: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 8

19 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES σ E κε κε A Na expressão acima, σ é a ensiae e carga em caa placa o capacitor. Resolveno-se a euação acima para A e multiplicano-se ambos os membros por, a istância e separação as placas, teremos: A κε E κε E E κε E Reconheceno-se ue A é o volume entre as placas e ue é o prouto a capacitância pela iferença e potencial entre as placas, teremos: ( ) A κε E κε E () A energia potencial acumulaa no capacitor é aa por: U Logo: U () Substituino-se () em (): U A κε E () Na conição-limite apresentaa pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E correspone à rigiez ielétrica suportaa pelo material ielétrico. omo o volume A é inversamente proporcional à constante ielétrica e à rigiez ielétrica, o capacitor e menor volume everá ser construío pelo ielétrico ue possua maior prouto κ E. Na Tabela (Pág. 86) citaa no enunciao, a substância e maior prouto κ E é a mica (κ 5,4, E 6 k/mm). Logo: ( ) 5 J A, 4868 m k.. mm ( 5, 4)( 8,85 F/m) 6 mm k m A, 4 m (b) Resolveno-se () para a constante ielétrica: U κ Aε E ( ) 5 J κ 5,669 F k.. mm (,87 m )( 8,85 F/m) 6 mm k m κ 5 F 5. Uma chapa e cobre e espessura b é introuzia exatamente no meio as armauras e um capacitor plano, ue estão separaas pela istância (veja a Fig. 5). (a) Qual o valor a capacitância, epois a introução a placa? (b) Se a carga nas armauras mantém o valor Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 9

20 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES constante, ache a razão entre a energia armazenaa antes e epois a introução a placa. (c) Qual o trabalho realizao sobre a placa para inseri-la? A placa é puxaa para entro o capacitor ou você tem e empurrá-la? onsiere o seguinte esuema:, E, E E (Pág. 95) b (a) A introução e um material conutor entre as placas e um capacitor carregao causa separação e cargas no conutor. omo o campo elétrico no interior o conutor eve ser zero (euilíbrio eletrostático), euz-se ue a separação e cargas no conutor gerou um campo elétrico ue neutralizou o campo prouzio pelas cargas nas placas. Para ue isso seja possível, as cargas inuzias no conutor evem ser iguais, em móulo, às cargas nas placas. O efeito líuio a introução o material conutor é a criação e ois capacitores em série, e carga, área A, separação as placas ( b)/ e capacitância. hamano-se a capacitância a associação em série, ou seja, o capacitor original mais a placa e cobre introuzia, teremos: ' + ' ' εa b ε A ' b ε A b ( ) ε A b (b) A razão entre a energia armazenaa antes (U ) e epois (U) a introução a placa, vale: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

21 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES εa ( ) E U U εa E ( b) b U U b A introução a lâmina faz com ue a energia potencial o sistema iminua. (c) Por efinição, o trabalho realizao pela força elétrica vale: ( ) W Δ U U U U U εa εa W E E b b ( ) ( ) W εae εae ( b) εae W E ( b) εae W Eb () hamano-se e σ a ensiae e cargas em caa placa o capacitor, o campo elétrico E valerá: E σ ε ε A () ε AE () Substituino-se () e () em (): W b ε A b W ε A O trabalho realizao por uma força externa é o negativo esse trabalho: W ext b W ε A Quano a lâmina e cobre começa a ser introuzia no espaço entre as placas o capacitor, as cargas já existentes na s placas polarizam a extremiae a lâmina e as cargas inuzias são atraías para entro o capacitor. omo as cargas inuzias estão presas na lâmina, esta também é atraía para entro o capacitor. Logo, a força externa precisa puxar a lâmina para fora as placas para neutralizar a força e atração e manter constante a velociae e entraa a placa e cobre. A atração a lâmina pelas placas e sua aproximação, fazem com ue a energia potencial o sistema iminua, como revelou o resultao o item (b). 54. Um capacitor e armauras paralelas contém ois ielétricos iferentes, como mostra a Fig. 6. Mostre ue o valor e sua capacitância é ao por Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

22 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES εa κe+ κe erifiue a correção este resultao em toos os casos particulares ue você for capaz e imaginar. (Sugestão: ocê poe justificar a iéia e ue este sistema é euivalente a ois capacitores ligaos em paralelo?) (Pág. 96) Quano o capacitor acima for carregao, toa a superfície e caa placa eve estar no mesmo potencial, uma vez ue caa placa estará conectaa iretamente à fonte e potencial. Isto implica em ue a área as placas ue envolverem o ielétrico κ terá carga e capacitância e a área as placas ue envolverem o ielétrico κ terá carga e capacitância Note ue a expressão acima correspone a uma associação e capacitores em paralelo. κ + κ ( κ+ κ ) Na expressão acima, é a capacitância o capacitor sem os ielétricos presentes. ε A ( κ κ ) Um capacitor e armauras paralelas contém ois ielétricos, como mostra a Fig. 7. Mostre ue o valor e sua capacitância é ao por εa κe κ e κe+ κe erifiue a correção este resultao para toos os casos particulares ue for capaz e imaginar. (Sugestão: ocê poe justificar a iéia e ue este sistema é euivalente a ois capacitores ligaos em série?) (Pág. 96) Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

23 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES O cálculo a capacitância é feito por meio a euação funamental a capacitância, em ue é a carga nas placas o capacitor e é a iferença e potencial entre as placas: () Ao longo o ielétrico κ, a iferença e potencial é e o campo elétrico é E. Ao longo e κ, e E. Logo, a iferença e potencial vale: E E E + E + E + + κ κ κ κ Na euação acima, E é o campo elétrico entre as placas sem os ielétricos. κ + κ κκ () Substituino-se () em (): κκ κκ κ+ κ κ+ κ Nas euações acima, é a capacitância o capacitor sem as camaas e ielétrico e é a iferença e potencial entre suas placas. Logo: ε A κκ κ+ κ Esta expressão é a mesma ue será obtia se consierarmos ue o capacitor o problema é uma associação em série e capacitores e, ue possuem ielétricos κ e κ, respectivamente. 56. Qual é a capacitância o capacitor a Fig. 8? A área e armaura é A. (Pág. 96) onsierano-se o resultao os Problemas 54 e 55, poemos consierar o capacitor acima como uma associação e capacitores, e, seno ue e estão em série e está em paralelo com, ue é o capacitor euivalente à associação e e. Logo: + A capacitância vale: () Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos

24 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES A κε κε A 4 A capacitância a associação vale: () κε A κε A εa κκ κε A κε A () + + κ + κ Substituino-se () e () em (): κε A εa κκ εa κ κκ κ + κ κ + κ εa κκ κ + 4 κ + κ 59. Duas placas paralelas e área igual a cm possuem cargas e sinais opostos e móulo igual a 8,9 7. A intensiae o campo elétrico no interior o material ielétrico ue preenche o espaço entre elas é e,4 6 /m. (a) alcule o valor a constante ielétrica o material. (b) Determine o valor a carga inuzia em caa superfície o ielétrico. (Pág. 96) (a) A constante ielétrica κ é aa pela razão entre o campo elétrico entre as placas sem a presença o ielétrico, E, e o campo no interior o ielétrico, E: E κ E O campo sem o ielétrico vale: σ E ε ε A Logo: κ ε AE 7 ( 8,9 ) 4 6 ( 8,85 F/m)( m )(, 4 /m) κ 6,5 6,5 (b) onsiere a aplicação a lei e Gauss ao capacitor com o ielétrico, e acoro com o esuema abaixo: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 4

25 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES + + E κ ε E A ' ε EA ' 7 6 ' ε EA 8,9 8,85 F/m,4 /m 4 m 7 ' 7,57 ',75 μ ( ) ( )( )( ) 6. Um capacitor tem armauras paralelas cuja área é e,8 m e estão separaas por, cm. Uma bateria carrega as armauras até ue a iferença e potencial entre elas seja, seno então esligaa. Uma placa e ielétrico, e espessura e 4, mm e constante ielétrica 4,8, é então colocaa simetricamente entre as armauras o capacitor. (a) Ache a capacitância antes a introução o ielétrico. (b) Qual a capacitância após introuzirmos o ielétrico? (c) Qual o valor a carga livre antes e epois a introução o ielétrico? () Qual o campo elétrico no espaço entre as armauras e o ielétrico? (e) Qual o campo elétrico no interior o ielétrico? (f) om o ielétrico colocao, ual a iferença e potencial entre as armauras? (g) Qual o trabalho externo realizao no processo e inserir o ielétrico? (Pág. 96) (a) A capacitância antes a introução o ielétrico vale: ε ( )( ) A 8,85 F/m,8 m 8,5598 F (, m) 85,6 pf (b) er aiante. (c) A carga livre nas placas, antes a introução o ielétrico, vale: 8 ( 8,5598 F)( ), 7, n omo o capacitor estava esconectao a bateria uano o ielétrico foi introuzio, não há muança na uantiae e carga nas placas o capacitor. Seja a carga após a introução o ielétrico. Logo:, n () onsiere o esuema abaixo, one uma superfície gaussiana envolve uma as placas o capacitor: Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 5

26 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES E E + E E κ b Aplicano-se a lei e Gauss: ε κ E A ε EA 8 (, 7 ) E 9.86,655 /m ε A 8,85 F/m,8 m ( )( ) E 9,84 k/m (e) O campo elétrico no interior o ielétrico, E, vale: E ( 9.86,655 /m ) E.49,8 /m κ ( 4,8) E,5 k/m (f) onsiere o esuema abaixo: + E E E s κ b A iferença e potencial entre as armauras o capacitor com o ielétrico vale: + b b E s E s+ Es ( ) E b + Eb ( 9.86, 655 /m) (, m) ( 4, m) ( )( ) ,8 /m 4, m 86,56 Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 6

27 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES 86,5 (b) Agora poemos calcular a capacitância o capacitor após a introução o ielétrico com mais faciliae: 8 ( ),7,87 F 9 pf ( 86,56 ) (g) O trabalho realizao pelo agente externo, W ext, ao introuzir o ielétrico vale: Wext Wint ( Δ U) Δ U U U Wext,87 F 86,56 8,5598 F ( )( ) ( )( ) 7 W ext, 796 J W ext,7 μj Este resultao inica ue após a introução o ielétrico a energia potencial o ielétrico iminuiu (W ext < W int > ΔU < ). Isto significa ue o ielétrico é puxao para a região entre as placas pelas forças elétricas, ue realizam trabalho positivo sobre o ielétrico. A força externa (representaa pela mão ue segura o ielétrico) realiza trabalho negativo sobre o ielétrico para ue o mesmo possa ser introuzio com velociae constante. 6. Uma placa ielétrica e espessura b é introuzia entre as armauras e um capacitor plano, ue estão separaas pela istância. Mostre ue a capacitância é aa por κε e A κ b κ e ( ) e (Sugestão: Siga o proceimento usao no Exemplo 9.) Esta fórmula prevê corretamente o resultao numérico o Exemplo 9? Serão razoáveis os resultaos previstos para os casos particulares em ue b, κ e e b. (Pág. 96) onsiere o esuema abaixo, em ue à esuera temos um capacitor e placas planas paralelas sem ielétrico e à ireita o mesmo capacitor com ielétrico, o ue moifica sua capacitância para. Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 7

28 + E , Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES E, + E s κ E b O cálculo a capacitância é feito por meio a euação funamental a capacitância: () Precisamos agora calcular a iferença e potencial o capacitor com ielétrico. + b b E s E s+ Es ( ) E b + Eb () Também poemos afirmar ue: E ε A () E ε κ A (4) Substituino-se () e (4) em (): b ( ) + + ε A εκa ε A κ b b b ε A ( κ ) (5) κ b κ Substituino-se (5) em (): κε A κ b ( κ ) Resnick, Halliay, Krane - Física - 4 a E. - LT ap. apacitores e Dielétricos 8

29 Prof. Anerson oser Gauio Depto. Física UFES RESNIK, HALLIDAY, KRANE, FÍSIA, 5.ED., LT, RIO DE JANEIRO,. FÍSIA APÍTULO - APAITÂNIA EXERÍIOS PROBLEMAS Resnick, Halliay, Krane - Física - 5 a E. - LT -. ap. apacitância 9