Lógica. Na Grécia Antiga, 342 a.c, o filósofo Aristóteles sistematizou o conhecimento existente em Lógica, elevando-o à categoria de ciência.

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1 Notas de aula Prof. Licinius (ICIBE/UFRA) Lógica A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade. Na Grécia Antiga, 342 a.c, o filósofo Aristóteles sistematizou o conhecimento existente em Lógica, elevando-o à categoria de ciência. Em sua obra chamada Organon ( ferramenta para o correto pensar ), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos. Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento. Um argumento é uma seqüência de proposições (afirmações) na qual uma delas é a conclusão e as demais são premissas. O objeto de estudo da lógica é determinar se a conclusão de um argumento é ou não uma consequência lógica das premissas. Livro: Edgard de Alencar Filho, Iniciação à lógica matemática, Nobel,

2 Proposição: Frases de sentido completo. Ex: 1 Passei no vestibular 2 A lua é cheia 3 Chove 4 Não Chove Valores lógicos: Verdadeiro (V) Falso (F) Princípios Não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa. Tipos de proposição Simples: proposições que contém apenas um pensamento completo. Ex: Hoje faz calor Composta: proposições que contém mais de um pensamento completo. Ex: Hoje faz calor e chove Notação Letra minúscula representa proposição simples Letra maiúscula representa proposição composta 2

3 Operações Lógicas 1 Negação ( ~ ): p: Chove na cidade. ~ p: Não chove na cidade. Tabela verdade da negação p V F ~ p F V 2 Conjunção ( ): É o ato de criar uma proposição composta a partir de duas ou mais proposições, unindo-as pelo conectivo e. Ex: p: Lula é inocente. q: Maluf é um santo. p q: Lula é inocente e Maluf é um santo. 3 Disjunção ( ): Ex: p: Dirceu é culpado. q: Rubens é veloz. p q: Dirceu é culpado ou Rubens é veloz. Tabelas - verdade Conjunção Disjunção p q p q p q p q V V V V V V V F F V F V F V F F V V F F F F F F As operações de conjunção e disjunção são comutativas. 3

4 OBS: Disjunção exclusiva ( ): P : Carlos é médico ou professor ( disjunção ) Q: José é acreano ou gaúcho ( disjunção exclusiva ) p q p q V V F V F V F V V F F F A disjunção exclusiva em Q pode ser melhor enfatizada como: Ou José é acreano ou é gaúcho 4 Condicional ( ): Se... então p: Está nevando q: Está fazendo frio p q: Se está nevando então está fazendo frio Ex 2: p q: Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática Tabela - verdade p q p q V V V V F F F V V F F V 5 Bicondicional ( ): Se, e só se p: Um número é par q: Um número é divisível por 2 p q: Um número é par se, e só se for divisível por 2 4

5 Ex 2: p q: O triângulo ABC é equilátero se, e só se for equiângulo. Tabela - verdade p q p q V V V V F F F V F F F V 5

6 Construção de Tabelas Verdade (aula 2) 1 - Tabela Verdade de uma proposição composta Dadas várias proposições simples p, q, r,..., elas podem ser combinadas pelos conectivos lógicos ~,,,,, resultando em proposições compostas, tais como: P(p,q) = ~p (p q) Q(p,q) = (p ~ q) q R(p,q,r) = (p ~q r) ~(q (p ~r)) Então, conhecendo-se as tabelas verdades das operações fundamentais, mostradas na aula anterior, é possível construir a tabela verdade de qualquer proposição composta. 2 - Número de linhas de uma tabela verdade: 2 n n = número de proposições simples 3 Construção da tabela-verdade de uma proposição composta Ex: Se a proposição composta for formada por p, q, r, verificar primeiro todas as combinações (2 n = 8) Sequência de repetição p q r... V V V... V V F... V F V... V F F... F V V... F V F... F F V... F F F... 2 n /2 = 4 2 n /4 = 2 2 n /8 = 1 6

7 4 Exemplificação a) Contruir a tabela verdade da proposição P(p, q) = ~(p ~q) 1ª forma de resolução p q ~q p ~q ~(p ~q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V 2ª forma de resolução 1) Formam-se primeiro as colunas correspondentes às proposições envolvidas e, em seguida, traça-se uma coluna para cada proposição e para cada operador lógico. 2) Preenchem-se os valores lógicos das colunas na ordem conveniente. P q ~ ( p ~ q) V V V F F V F F P q ~ ( p ~ q) V V V V F F V V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F (resultado) O resultado fica na na coluna completada por último. 7

8 3ª forma de resolução Consiste apenas omitir as primeiras colunas da tabela anterior, referentes às proposições simples: ~ ( p ~ q) V V F F V F V V V F V F F F V V F F V F b) Construir a tabela verdade da proposição: (p. 32 livro) P(p, q) = ~(p ~q) ~(q p) c) P(p, q, r) = p ~ r q ~ r (p. 33 livro) (aula 3:) d) P(p, q, r) = ( p q ) ( q r ) ( p r ) (p. 35 livro) e) P(p, q, r) = ( p ( ~ q r) ) ~ ( q ( p ~ r ) ) (p. 36 livro) 8

9 5 Valor lógico de uma proposição composta, definidas as proposições simples Ex: a) Se p = V e q = F, determinar o valor de P(p, q) = ~(p q) ~ p ~ q R: P(p, q) = ~(V F) ~ V ~ F = ~ V F V = F F = V b) P(p, q) = ( p q ) ( p p q ) para p = F e q = F. R: P(p, q) = ( F F ) ( F F F ) = V ( F F ) = V V = V c) P(p, q, r) = (q (r ~p)) ((~q p) r) para p =V, q = F e r = F. R: (F (F ~V)) ((~F V) F) = (F (F F)) ((V V) F) = = (F V) ( V F) = F F = F d) P(p, q, r) = p ~q r para r = V. R: Se r = V então a disjunção ~q r é verdadeira. Logo, P(p, q, r) = V, pois o seu consequente é verdadeiro. e) P(p, q) = ( p q ) ( ~q ~p) para q = V R: ( p V ) ( ~V ~p) = ( V ) ( F ~p) = ( V ) ( V ) = V 6 O uso de parênteses Muitas vezes é necessário o uso de parênteses para evitar confusões de prioridade no cálculo das operações lógicas até atingir o resultado da proposição composta. Porém, os parênteses podem ser omitidos, considerando a seguinte ordem de precedência para os conectivos (1) ~ ; (2) e (3) ; (4) conectivo mais fraco conectivo mais forte 9

10 Por exemplo, a proposição: p q s r é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertêla numa condicional, faz-se: p (q s r) e para convertê-la numa conjunção: Outros exemplos (p q s) r (~(~(p q))) (~p) = ~~(p q) ~p ((p (~q)) r) (~p) = (p ~q) r ~p (~p) (q (~ (p r))) = ~p (q ~ (p r)) 7 - Outros símbolos usados na literatura para a negação (~) e & para a conjunção ( ) para a condicional ( ) 10

11 Tautologias, Contradições e Contigências (aula 4:) Tautologia é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre verdade para quaisquer valores lógicos de suas proposições simples. Ex: p p e p p (princípio de identidade) ~ (p ~ p ) (princípio da não contradição) p ~ p (princípio do terceiro excluído) Outras proposições tautológicas: a) p ~ (p q) b) p q (p q) c) p (q ~ q) p p q p q ~(p q) p ~ (p q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V p q p q p q p q (p q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V (q ~ q) é sempre falso, pois viola o princípio da não contradição. Portanto: p F p = p p = Tautologia Princípio de identidade 11

12 d) p r ~ q r p q r ~q p r ~ q r p r ~ q r V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V Princípio de Substituição para as tautologias Se P(p, q, r,...) é uma tautologia, então ela é V (verdade) para quaisquer valores de p, q, r,.... Portanto, substituindo as proposições simples em P por proposições compostas através de p = P 0, q = Q 0, r = R 0,..., é óbvio que P(P 0, Q 0, R 0,...) continuará sendo uma tautologia, quaisquer que sejam as proposições P 0, Q 0, R 0,... Ex: ~ (p ~ p ) é uma tautologia. então Fazendo p = P 0 = p ~ r q ~ r ~ ( (p ~ r q ~ r) ~ (p ~ r q ~ r) ) também é uma tautologia, poupando o esforço de montar sua tabela-verdade. 12

13 Contradição É toda proposição composta que é sempre F (falsa) para quaisquer valores lógicos de suas proposições simples. Pode ser obtida a partir da negação de uma tautologia. Portanto, P é uma tautologia se, e só se, ~ P é uma contradição. O princípio da substituição também é aplicável às contradições. Exemplos de contradições: a) p ~ p p ~ p p ~ p V F F F V F Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. b) p ~ p p ~ p p ~ p V F F F V F c) ( p q ) ~ ( p q ) p q p q p q ~ (p q) ( p q ) ~ ( p q ) V V V V F F V F F V F F F V F V F F F F F F V F d) ~ p ( p ~ q ) ~ p ( p ~ q ) = ~ p p ~q = (~ p p) ~ q = contradição ~ q = contradição 13

14 Contingência É toda proposição composta que apresenta tanto o valor V como o valor F em sua tabela-verdade, ou seja, é toda proposição composta que não é uma tautologia e nem uma contradição. Ex: a) p ~ p p ~ p p ~ p V F F F V V b) p q p p q p q p q p V V V V V F V V F V V F F F F V Exercícios: 1) Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas: a) (p p) (p ~ p) b) ( p p ~ p ) ~ p c) (p q) p q d) p ( q ~ p) e) (p q) ~ q ~ p f) (p q) ~ p q g) p p (p q) h) ~(p ~ p) (q ~ q) i) ~ (p ~ p) (q ~ q) j) p (p q) p k) ~ (p q) ( p q) l) (p q) p q m) (p q) (p r q) n) (p q) (p q r) o) (p q) (p r q r) p) (p q) (p r q r) 14

15 2) Dizer se as proposições são tautológicas, contraditórias ou contingentes: a) p (~ p q ) b) ~ p q ( p q) c) p (q (q p)) d) ((p q) q) p e) p ~q (p ~ q) f) ~ p ~ q (p q) g) p (p q) r h) p q (p q r) 15

16 Implicação Lógica (aula 5:) 1. Definição Uma proposição P implica logicamente (ou simplesmente implica) uma proposição Q, se Q é verdadeira (V) toda vez que P for verdadeira (V). Ou seja, chega-se a uma nova conclusão a partir da afirmação de um fato. A notação para implicação lógica é a seguinte: P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...) Se em alguma linha da tabela-verdade Q for F quando P for V, então não haverá a implicação lógica acima. 2. Propriedades Reflexiva: P(p, q, r,...) P(p, q, r,...) Transitiva: Se P Q e Q R, então P R 3. Exemplificação a) As tabelas verdades das proposições: são: p q, p q, p q p q p q p q p q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V A proposição p q é verdadeira somente na primeira linha. Nesta mesma linha, p q e p q também são verdadeiras. Então, pode-se dizer que: p q p q p q p q 16

17 Desta mesma tabela também é possível demonstrar as importantes regras de inferência (i) Adição: p p q e q p q (ii) Simplificação: p q p e p q q b) As tabelas verdades das proposições: p q, p q, q p são p q p q p q q p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V A proposição p q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, p q e q p também são verdadeiras. Logo, p q p q e p q q p c) A tabela-verdade da proposição (p q) ~ p é: p q p q ~ p (p q) ~ p V V V F F V F V F F F V V V V F F F V F Esta proposição é verdadeira somente na linha 3. A partir daí, obtém-se a seguinte regra de inferência: (p q) ~ p q (Regra do silogismo disjuntivo) A regra do silogismo disjuntivo também pode ser escrita na forma: (p q) ~ q p 17

18 d) A tabela-verdade da proposição (p q) p é: p q p q (p q) p V V V V V F F F F V V F F F V F Logo, pode-se concluir que (p q) p q (Regra Modus ponens) e) As tabelas-verdade das proposições (p q) ~q e ~p são: p q p q ~q (p q) ~q ~p V V V F F F V F F V F F F V V F F V F F V V V V Desta tabela, conclui-se: (p q) ~q ~p (Regra Modus tollens) e também: ~ p p q 4- Relação entre implicação lógica ( ) e condicional ( ) Existe muita semelhança entre a definição de implicação lógica e a operação condicional. De Fato, se, e somente se, P Q P Q = Tautologia. Isto pode ser confirmado observando as tabelas anteriores para os exemplos mostrados. 18

19 OBS (Princípio de substituição): Se P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...), então P(P 0, Q 0, R 0,...) Q(P 0, Q 0, R 0,...) Exemplos: a) A condicional ( p q ) ( q r ) ( p r ), é tautológica (exemplo já visto em aula). Então, subsiste a implicação lógica: ( p q ) ( q r ) ( p r ) (Regra do silogismo hipotético) b) A condicional p ~ p q é tautológica: Logo: p q ~ p p ~ p p ~ p q V V F F V V F F F V F V V F V F F V F V p ~ p q (Princípio da inconsistência) Dessa forma, de uma contradição se deduz qualquer proposição. c) A proposição (p q) p q é tautológica: p q p q (p q) p (p q) p q V V V V V V F F F V F V F F V F F V F V Logo, (p q) p q 19

20 Equivalência Lógica (aula 6:) 1. Definição Uma proposição P equivale logicamente (ou simplesmente equivale) a uma proposição Q, se estas proposições possuem a mesma tabela verdade. A notação para equivalência lógica é: P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...) OBS: Duas proposições quaisquer que são ambas tautológicas (ou contraditórias) são equivalentes. 2. Propriedades Reflexiva: P(p, q, r,...) P(p, q, r,...) Simétrica: Transitiva: Se P Q, então Q P Se P Q e Q R, então P R 3. Exemplificação a) ~ ~ p p (regra da dupla negação) p ~ p ~ ~ p V F V F V F b) ~ p p p (regra de Clavius) p ~ p ~ p p V F V F V F 20

21 c) p p q p q (regra da absorção) p q p q p p q p q V V V V V V F F F F F V F V V F F F V V d) p q ~ p q p q p q ~ p ~ p q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V e) p q (p q) (q p) P q p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V f) p q (p q) (~q ~p) P q p q ( p q) ( ~p ~q) V V V V V V V F F F V F F V F F F F F V F V F F F V F V F F F F V F F F V V V V

22 4- Relação entre equivalência lógica ( ) e bicondicional ( ) se, e somente se, P Q P Q = (tautologia). Princípio de substituição: Se P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...), então P(P 0, Q 0, R 0,...) Q(P 0, Q 0, R 0,...) Exemplos: a) A bicondicional (p ~q c) (p q), onde c é uma proposição contraditória (sempre F), é tautológica: P q ( p ~ q c) ( p q) V V V F F V V F V V V V V F V V V F F F V V F F F V F F F V V F V F V V F F F F V F V F V F V F res. Logo, p ~q c e p q são equivalentes: p ~q c p q (Método de demontração por absurdo) Ex: Se algo é um peixe e não nada, temos um absurdo. Isto equivale a dizer que se algo é um peixe então terá que nadar. 22

23 b) A bicondicional (p q r) (p (q r)) é tautológica: ( p q r) ( p (q r)) V V V V V V V V V V V V V V F F V V F V F F V F F V V V V V F V V V F F V F V V V F V F F F V V V V F V V V V F F V V F V F V V F F F F F V V V F V F V V F F F V F V F V F V F res. Portanto, p q r e p (q r) p q r p (q r) (regra de Exportação-Importação) OBS: Muitos programadores aplicam esta equivalência, mesmo sem querer. Suponha que se a variável nota tenha que estar entre 7,0 e 8,9 para o conceito ser bom. O algoritmo pode ser escrito de duas formas: Se (nota 7,0) e (nota 8,9) então conceito = Bom fim do se Se nota 7,0 então Se nota 8,9 então conceito = Bom fim do se fim do se (Aula7 Prova) 5 Proposições associadas a uma condicional (aula 8:) Dada uma condicional p q: (i) sua proposição recíproca é q p (ii) sua proposição contrária é ~ p ~ q (iii) sua proposição contrapositiva é ~q ~p 23

24 p q p q q p ~ p ~ q ~q ~p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V Logo p q ~q ~p e q p ~p ~q Exercícios: 1) Exprimir a bicondicional p q através dos conectivos:,, ~. R: p q (p q) (q p) p q ~ p q q p ~ q p Portanto: p q (~ p q) (~q p) 2) Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências: b) p (p q) p p q p ( p q ) V V V V V V V V F V V V V F F V F F F V V F F F F F F F

25 g) (p q) r p ~r ~q ( p q ) r p ~ r ~ q V V V V V V F F V V F V V V V F F V V V F F F V V F F V V V F F V V V F V F F V F V V V F V V F F V V V V F F F V V F V F V V F F F F V F V F V F V F V V F F F V V V F F V F F F F F V F V V F (Não são equivalentes, mas se fosse para demonstrar implicação, uma implica na outra) 3) Demonstrar que o conectivo ( ou exclusivo) pode ser expresso através de: p q (p q) ~(p q) p q p q ( p q ) ~ ( p q ) V V F V V V F F V V V V F V V V F V V V F F F V V F V V V V F F V F F F F F F F V F F F

26 Álgebra das Proposições 1. Propriedades da conjunção: a) Idempotente: p p p b) Comutativa: p q q p c) Associativa: (p q) r p (q r) d) identidade: p p e p c c 2. Propriedades da disjunção: a) Idempotente: p p p b) Comutativa: p q q p c) Associativa: (p q) r p (q r) d) identidade: p e p c p 3. Propriedades da conjunção e da disjunção: a) Distributivas: (i) p (q r) (p q) (p r) (ii) p (q r) (p q) (p r) Exemplos: (i): Cheguei em casa e irei ler jornal ou ver televisão Cheguei em casa e irei ler jornal ou cheguei em casa e irei ver televisão (ii): Chove ou faz vento e frio Chove ou faz vento e chove ou faz frio 26

27 b) Absorção: (i) (ii) p (p q) p p (p q) p c) Regras de DE MORGAN: (i) ~ (p q) ~ p ~ q (ii) ~ (p q) ~ p ~ q As regras de DE MORGAN ensinam que: (i): Dizer que duas proposições não são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a dizer que pelo menos uma é falsa (ii): Negar que ao menos uma de duas proposições é verdadeira equivale a dizer que ambas são falsas. Exemplos: (i): Não é verdade que a neve é fria e verde A neve não é fria ou a neve não é verde. (ii): Não é verdade que Carlos é baiano ou carioca Carlos não é baiano e não é carioca Obs: (i) Definição da disjunção a partir da conjunção e da negação: p q ~ (~ p ~ q) (ii) Definição da conjunção a partir da disjunção e da negação: p q ~ (~ p ~ q) 4. Negação da condicional: Como p q ~ p q (v. aula de equivalência), temos ~ (p q) ~ (~ p q) ~ ~ p ~q Logo: ~ (p q) p ~q Portanto, quando você diz que p q é falso, isto equivale a dizer que p = V e q = F, o que está de acordo com a tabela-verdade da condicional. 27

28 OBS: A condicional p q não é idempotente, não é comutativa e nem associativa, pois p p não equivale a p p q não equivale a q p (p q) r não equivale a p (q r) 5. Negação da bicondicional: Como p q (p q) (q p), temos: p q (~ p q) (~ q p). Logo, ~ (p q) ~(~ p q) ~(~ q p) (~ ~p ~ q) (~~ q ~ p), e assim: ~ (p q) (p ~ q) (q ~ p) Também são válidas as seguintes equivalências: ~ (p q) p ~ q ~ p q OBS: A bicondicional p q não é idempotente (p p não equivale a p), mas é comutativa e associativa. Dever de Casa: Reduza a seguinte proposição: (p ~ q r) (p ~ q ~ r) (~ p q r) (~ p q ~ r) p 28

29 Método Dedutivo (aula 9:) 1 Introdução É uma alternativa mais eficiente para demonstração de implicações ou equivalências lógicas, a qual utiliza como ferramentas essenciais as equivalências lógicas básicas, tais como as vistas em Álgebra das proposições. Método: Caminho para se chegar a um fim Indução: Do particular para o universal Dedução: Do universal para o particular 2 - Exemplificação: OBS1: Lembre-se que para uma proposição implicar outra, a condicional deverá ser tautológica. OBS2: Aqui, c é uma proposição que é sempre F e é uma `` que é sempre V Demonstrar as implicações: (1) (i) c p e (ii) p Res: (i) c p ~c p p (ii) p ~p (2) p q p (Simplificação) Res: p q p ~ (p q) p ~ p ~ q p (~ p p) ~ q ~ q (3) p p q (Adição) Res: p p q ~ p (p q) (~ p p) q q 29

30 (4) (p q) p q (Modus ponens) Res: (p q) p (~p q) p (~p p) (q p) c (q p) q p E, pela regra (2) (Simplificação): q p q (5) (p q) ~ q ~p (Modus tollens) Res: (p q) ~ q (~p q) ~ q (~p ~q) (q ~q) (~p ~q) c ~p ~q ~ p (6) (p q) ~ p q (silogismo disjuntivo) Res: (p q) ~ p (p ~p) (q ~ p) c (q ~ p) q ~ p q (7) p q p q Res: Usando a regra da Simplificacão (2) seguida da regra da Adição (3), temos: p q p p q (8) p q p Res: p (q p) ~ p (q p) ~ p (~q p) (~ p p) ~q ~q (9) p ~p q Res: p (~p q) ~p (~p q) ~p (~~p q) (~p p) q p Ou: p p q ~ p q 30

31 (10) p q p r q Res: (p q) (p r q) ~(p q) (p r q) ~(~p q) (~(p r) q) (p ~q) (~p ~r q) (p ~q) ~p ~r q (p ~q) (~p q) ~r (p ~q) ~(p ~q) ~r ~r Demonstrar as equivalências: (11) p q p ~q c (redução a absurdo) Res: p ~q c ~(p ~q) c ~(p ~q) ~p q p q (12) p q p q q Res: p q q ~(p q) q (~p ~q) q (~p q) (~q q) (~p q) ~p q p q (13) (p q) (p ~q) ~ p Res: (p q) (p ~q) (~p q) (~p ~q) ~p (q ~q) ~p c ~p (14) p q r p (q r) (exportação-importação) Res: p (q r) ~p (q r) ~p (~ q r) (~p ~ q ) r ~ (p q) r p q r (15) (p r) (q r) p q r Res: (p r) (q r) (~ p r) (~ q r) (~ p ~ q) r ~(p q) r p q r 31

32 (16) (p q) (p r) p q r Res: (p q) (p r) (~p q) (~ p r) ~p ~p q r ~ p (q r) p q r (17) (p r) (q s) p q r s Res: p q r s ~(p q) (r s) ~p ~q r s (~p r) (~q s) (p r) (q s) Atenção: Observe que para demonstrar uma equivalência você nunca deve usar implicações. 3 - Redução do universo de conectivos Através do uso de equivalências é possível: (1) Expressar, e em termos de ~ e : p q ~ (~p ~q) p q ~ p q p q (p q) (q p) (~p q) (~q p) ~ (~ (~p q) ~ (~q p)) (2) Expressar, e em termos de ~ e : p q ~ (~p ~q) p q ~ p q ~ (p ~q) p q (p q) (q p) ~(p ~q) ~(~p q) 32

33 (3) Expressar,, e em termos de ~ e : p q ~ (~p ~q) ~(p ~q) p q ~(~p) q ~p q p q (p q) (q p) ~ ( (p q) ~(q p) ) Por outro lado, não é possível expressar, e em termos de ~ e. 3- Forma Normal das proposições: Diz-se que uma proposição está na forma normal quando é escrita apenas em termos de ~, e. Forma Normal Conjunta: O é o conectivo mais forte. Ex: (~p q) (~ q ~r) Forma Normal Disjunta: O é o conectivo mais forte Ex: (p ~q) (~p ~q r) 4- Princípio de Dualidade Seja P uma proposição que contém apenas os operadores ~, e, ou seja, estão na forma normal. A sua proposição dual é obtida trocando por e vice-versa. Ex: A proposição dual de ~((p q) ~r) é ~((p q) ~r) O princípio de dualidade diz que se P e Q são equivalentes e estão na forma normal, então as suas duais P 1 e Q 1 também são equivalentes. Ex: 1) As Regras de DE MORGAN seguem o princípio de dualidade: (i) ~ (p q) ~ p ~ q (ii) ~ (p q) ~ p ~ q 2) A partir de p (p q) p, deduz-se que p (p q) p 33

34 Exercícios 1- Demonstrar as equivalências: (a) p (p q) p R: p (p q) (p c) (p q) Colocando p em evidência: (p c) (p q) p (c q) p c p Logo: p (p q) p (b) p (p q) p R: p (p q) (p ) (p q) p ( q) p p 2 - Simplificar ~(p q) (~ p q) R: ~(p q) (~ p q) (~p ~q) (~ p q) ~p ( ~q q) ~p ~ p 34

35 Argumentos. Regras de inferência (aula 10:) 1 - Definição Sejam P 1, P 2,..., P n e Q proposições quaisquer, simples ou compostas. Chama-se argumento a afirmação de que uma dada sequência finita P 1, P 2,..., P n tem como consequência ou acarreta uma proposição final Q. Isto pode ser escrito na forma: P 1, P 2,..., P n Q premissas conclusão argumento e pode ser interpretado como: (i) P 1, P 2,..., P n acarretam Q (ii) Q decorre de P 1, P 2,..., P n (iii) Q se deduz de P 1, P 2,..., P n (iv) Q se infere P 1, P 2,..., P n Um argumento composto de duas premissas e uma conclusão chama-se silogismo. 2 Validade de um argumento Um argumento P 1, P 2,..., P n Q é válido se, e somente se, a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P 1, P 2,..., P n são simultaneamente verdadeiras. Em outras palavras, se Q for F quando P 1 P 2... P n for V, então o argumento será não-válido, ou seja, a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento não-válido é chamado de sofisma. Dessa forma, todo argumento apresentado tem um valor lógico. Se for válido será V ou se for um sofisma será F. As premissas dos argumentos são verdadeiras ou admitidas como tal. Aliás, a lógica só se preocupa com a validade do argumento como um todo, e não com a verdade ou falsidade das premissas e conclusões isoladamente. 35

36 3- Critério de validade de um argumento Um argumento P 1, P 2,..., P n Q é válido se, e somente se, a condicional: P 1 P 2... P n Q é tautológica. A condicional é chamada de condicional associada ao argumento. Nota (Princípio de Substituição): Se P 1 (p, q, r,...), P 2 (p, q, r,...),..., P n (p, q, r,...) Q(p, q, r,...) é válido, então P 1 (R, S, T,...), P 2 (R, S, T,...),..., P n (R, S, T,...) Q(R, S, T,...) também é válido para quaisquer proposições compostas R, S e T Ex: A partir do argumento válido p p q (adição), tem-se que ~p r (~ p r) ( ~s r); p r s (p r s) (~ r s); também são válidos, por terem a mesma forma do argumento primário apresentado. Portanto a validade de um argumento depende apenas da sua forma e não do seu conteúdo ou da verdade e falsidade das proposições constituintes. 4 Argumentos válidos Fundamentais e Regras de inferência Aqui são mostrados os argumentos básicos válidos, os quais são usados para se fazer inferências nos passos de uma dedução ou demonstração de um argumento mais complexo. Cada premissa é escrita em uma linha, sendo a conclusão escrita na última linha e isolada por um traço. 36

37 I Regra da Adição (AD) p p (i) (ii) p q q p II Regra da Simplificação (SIMP) p q p q (i) (ii) p q III Regra da Conjunção (CONJ) p p (i) q (ii) q p q q p IV Regra da Absorção (ABS) p q p (p q) V Regra Modus Ponens (MP) p q p q VI Regra Modus Tollens (MT) p q ~ q ~p 37

38 VII Regra do Silogismo Disjuntivo (SD) p q p q (i) ~ q (ii) ~ p p q VIII Regra do Silogismo Hipotético (SD) p q q r p r IX Regra do Dilema Construtivo (DC) p q r s p r q s X Regra do Dilema Destrutivo (DD) p q r s ~ q ~ s ~ p ~ r 5 Exemplos do uso das regras de inferência: I Regra da adição Dada uma premissa qualquer, dela se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição (esta última não precisa ser premissa): 38

39 p ~ p (a) (b) p ~q (AD) q ~p (AD) p q p q (c) (d) (p q) r (AD) (r s) (p q) (AD) (f) Ganhei na mega-sena. Ganhei na mega-sena ou sonhei. (AD) II Regra de Simplificação Se uma premissa é a conjunção de duas proposições, P Q, pode-se deduzir P (ou Q): (a) (p q) r p ~ q (b) p q (SIMP) ~ q (SIMP) O pão está assando, mas se ninguém reparar então a massa irá queimar. (c) O pão está assando. (SIMP) OBS: A premissa em notação simbólica seria: p (q r) III Regra da Conjunção Se duas proposições P, Q são premissas, então podese deduzir a sua conjunção P Q. p q p q (a) ~r (b) q r (p q) ~r (CONJ) (p q) (q r) (CONJ) 39

40 (f) A disciplina Lógica é fácil. Tudo é relativo. A disciplina Lógica é fácil, mas tudo é relativo. (CONJ) IV Regra da Absorção No caso de uma condicional ser premissa, pode-se inferir uma outra condicional na qual o antecedente também fará parte da consequência: (a) ~ p r q ~ p r ~ p r q (ABS) (b) Se você é profissional, fará isso direito! Se você é profissional então será profissional e fará isso direito! (ABS) V Regra Modus ponens Também é chamada de Regra da separação. Se uma condicional é uma premissa e o antecedente da mesma também é uma premissa, então pode-se deduzir que a consequência desta condicional também é verdade: ~ p ~ q ~ p r s ~ q (a) ~ p (b) ~ p r ~q (MP) s ~ q (MP) (c) Quando o gato sai, os ratos fazem a festa. O gato saiu. Os ratos fizeram a festa. (MP) 40

41 VI Regra Modus tollens Se uma condicional é uma premissa e o seu consequente for negado, então pode-se concluir a negação do seu antecedente: ~ p ~ q ~ p r s ~ q (a) q (b) ~ s q p (MT) p ~ r (MT) (c) Se ferradura desse sorte, burro não teria que levar carga. Burro tem que levar carga. Ferradura não dá sorte. (MT) VII Regra do Silogismo disjuntivo A partir da afirmação de uma disjunção P Q, se uma dessas duas proposições for negada, pode-se deduzir a outra: (p q) r ~ p ~ q (a) ~ r (b) p p q (SD) ~ q (SD) ~(p q) r (c) ~ ~ (p q) r (SD) (d) Você estude ou vai se dar mal na prova. (p q ) Você não estudou. Você vai se dar mal na prova. (MT) 41

42 VIII Regra do Silogismo hipotético Dadas duas condicionais, p q e q r, esta regra permite concluir uma terceira condicional: p r. (a) (p q) r (b) x = 0 x = 0 r (q s) x = 0 x+a = a (p q) (q s) (SH) x = 0 x+a = a (SH) Se tudo está bem então ficamos contentes Se ficamos contentes então ficamos despreocupados Se tudo está bem então ficamos despreocupados. (SH) IX Regra do Dilema Construtivo Dadas três pemissas, onde duas são condicionais, p q e r s, e a outra é a disjunção dos seus antecedentes, p r, então esta regra permite concluir a disjunção dos seus conseqüentes, q s. (a) (p q) ~r (b) x < y x = 2 s t x y x > 2 s (p q) x < y x y ~r t (DC) x = 2 x > 2 (DC) (c) Se eu for por um caminho, pegarei a balsa. Se eu for por outro caminho, enfrentarei os buracos. Eu irei por um ou por outro caminho. Eu pegarei a balsa ou enfrentarei os buracos. (DC) 42

43 X Regra do Dilema Destrutivo Dadas três pemissas, onde duas são condicionais, p q e r s, e a outra é a disjunção da negação dos seus consequentes, ~ q ~ s, então esta regra permite concluir a disjunção da negação dos seus antecedentes, ~ p ~ r. (a) ~q r (b) x + y = 7 x = 2 p ~s x y = 2 x = 3 ~r ~~s x 2 x 3 ~~q ~p (DD) x + y 7 x y 2 (DD) (c) Se eu for por um caminho, pegarei a balsa. Se eu for por outro caminho, enfrentarei os buracos. Eu não pegarei a balsa ou não enfrentarei os buracos. Eu não irei por um caminho ou não irei pelo outro. (DD) Validade Mediante Regras de Inferência e Equivalências 1 Regra de Substituição Às vezes não é possível demonstrar ou verificar a validade de um argumento usando apenas as dez regras de inferências aprendidas anteriormente. Contudo, é possível substituir as proposições que compõem as premissas por suas equivalências. Portanto, esta regra de substituição proporciona um conjunto de novas regras de inferências, as quais serão vistas a seguir. 2 Equivalências Notáveis I Idempotência (ID) (i) p p p (ii) p p p II Comutação (COM) (i) p q q p (ii) p q q p 43

44 III Associação (ASSOC): (i) p (q r) (p q) r (ii) p (q r) (p q) r IV Distribuição (DIST): (i) p (q r) (p q) (p r) (ii) p (q r) (p q) (p r) V Dupla negação (DN): p ~~p VI De Morgan (DM): (i) ~ (p q) ~p ~q (ii) ~ (p q) ~p ~q VII Condicional (COND): p q ~ p q VIII Bicondicional (BICOND): (i) p q (p q) (q p) (ii) p q (p q) (~q ~p) IX Contraposição (CP): p q ~q ~p X Exportação-Importação (EI): p q r p (q r) 44

45 Estas dez novas regras podem ser aplicadas tanto em premissas completas como em partes de uma premissa, ao contrário das apresentadas anteriormente, que só podem ser aplicadas em premissas completas. Demonstração Condicional e Demonstração Indireta 1 Demonstração condicional Consiste em um outro método para demonstrar a validade de um argumento, mas só pode ser usado se a conclusão do argumento tem a forma condicional: P 1, P 2,..., P n Q R Sabe-se que este argumento é válido se, e somente se, a condicional associada (P 1 P 2... P n ) (Q R) é tautológica. Aplicando a regra de Importação (que é uma equivalência) nesta condicional, temos: [(P 1 P 2... P n ) Q] R 45

46 A qual obviamente também é tautológica, e reescrevendo na forma de argumento, temos P 1, P 2,..., P n, Q R Portanto, o argumento, cuja conclusão possui forma condicional, pode ser reescrito na forma, onde o antecendente se torna uma nova premissa (ou premissa adicional ) e o consequente passa a ser a conclusão. 2 Demonstração Indireta Dado o argumento: P 1, P 2,..., P n Q. Pelo método de demonstração por absurdo, temos que: P Q P ~Q C (C é uma contradição). Logo, o argumento pode ser reescrito na forma: P 1, P 2,..., P n, ~Q C. Portanto, pode-se reecrever um argumento de modo que a negação de sua conclusão seja uma premissa adicional. A partir daí busca-se deduzir uma contradição (ex: S ~S) para demonstrar a validade do argumento. 46

47 Introdução a Circuitos Lógicos 1 Notação Lógica Matemática Álgebra booleana Valores lógicos F ou V 0 ou 1 Variáveis lógicas p, q, r,... A, B, C,... Operador ou p q A + B Operador e p q A*B (ou AB) Operador não ~ p _ A 2 Porta OU (OR gate) A B A + B A B C = A+B Porta OU chaveada: A B Lâmpada (C) 47

48 Porta OU transistorisada (Eletrônica analógica Eletrônica digital): Tensão de alimentação, Vs (valor constante) Pulso de entrada Pulso de entrada A Q1 Q2 B Tensão de saída, Vo 2 Porta E (AND gate) A B AB A B C = A * B Porta AND chaveada: A B Lâmpada (C) 48

49 Porta AND transistorisada: Tensão de alimentação, Vs Pulso de entrada A Q1 Pulso de entrada B Q2 R Tensão de saída, Vo 2 Porta NÃO (NOT gate) _ A A A A Porta NOT chaveada: A A 49

50 Porta NOT transistorisada: -10 V Tensão de alimentação, Vs R1 Pulso de entrada A Q1 Saída ( A ) A princípio, considere -10 volts equivalente ao 1 Booleano e 0 volts equivalente ao 0 Booleano. Com -10 volts aplicados na entrada, o transistor Q1 conduz amplamente e uma queda de tensão aproximada de 10 volts ocorrerá em R1, resultando em uma tensão de saída aproximadamente igual a 0 volts. Portanto, A = 1 (-10 volts) foi invertido para A = 0 (0 volts). Com 0 volt aplicado na entrada do transistor Q1, o transistor não conduzirá, se comportando essencialmente como uma resistência infinita. Como não haverá corrente em R1, também não haverá queda de tensão no mesmo. Logo, a tensão de saída será em torno de -10 volts. Isto mostra que A = 0 (0 volts) será invertido para A = 1 (-10 volts). OBS: Outras portas lógicas são XOR, NOR e NAND. 50