Notas de Aula 1: Lógica, Predicados, Quantificadores e Inferência

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1 IFMG Campus Formiga Matemática Discreta Notas de Aula 1: Lógica, Predicados, Quantificadores e Inferência Prof. Diego Mello 2o. Semestre 2012 Sumário 1 Introdução 3 2 Lógica Proposicional 3 3 Proposições Definições Notação Conectivos Lógicos Negação Conjunção Disjunção Disjunção Exclusiva Condicional Bicondicional Resumo: Tabelas Verdade dos Conectivos Lógicos Tabela Verdade para Proposições Compostas Precedência de Operadores Lógicos Linguagem Natural vs. Proposições Lógica e Operações Bit a Bit Equivalências Proposicionais Tautologia, Contradição e Contingência Equivalências Lógicas Equivalências Importantes Construindo novas equivalências lógicas Predicados e Quantificadores Limitações da lógica proposicional Predicados Quantificadores Quantificador Universal Quantificador Existencial Resumo dos quantificadores Quantificador de Unicidade

2 6.3.5 Quantificadores com Restrição de Domínio Precedência de Quantificadores Equivalências Lógicas Envolvendo Quantificadores Negação de Quantificadores Quantificadores Aninhados Declarações Envolvendo Quantificadores Aninhados Negação de Quantificadores Aninhados Regras de Inferência Argumentos Válidos em Lógica Proposicional Regras e Inferência para Proposições Lógicas Modus Ponens Modus Tollens Disjunção Aditiva Simplificação Conjuntiva Silogismo Disjuntivo Silogismo Hipotético Conjunção Resolução Resumo das Regras de Inferência Construindo Argumentos por meio de Regras de Inferência Regras de Inferência para Quantificadores Regras de Inferência para Proposições e Declarações Quantificadas Exercícios de Fixação 58 2

3 1 Introdução Este documento contém as notas de aula sobre o tema Lógica, Predicados, Quantificadores e Inferência da disciplina de Matemática Discreta do curso de Ciência da Computação do Insituto Federal de Minas Gerais - Campus Formiga. Ela é baseada no conteúdo dos livros referenciados neste documento. Este documento serve apenas como referência para acompanhamento das aulas, e não substitui a necessidade de leitura e estudo da bibliografia oficial do curso. Muitos dos exemplos, tabelas e diagramas contidos no documento foram extraídos e/ou adaptados dos livros contidos na seção de referências bibliográficas. 2 Lógica Proposicional A lógica é considerada a base de todo o raciocínio matemático e também do raciocínio automatizado. Em virtude disso, ela é empregada em diversos campos da Ciência da Computação, como por exemplo nas linguagens de computador (execução lógica das instruções de um programa de computador), inteligência artificial (sistemas especialistas) e projeto de computadores (álgebra de Boole e sua relação com as portas lógicas que compõem os circuitos digitais de um computador). A lógica é também o mecanismo que usamos para construir declarações matemáticas. Suas regras são usadas para distinguir os argumentos matemáticos válidos e inválidos. 3 Proposições 3.1 Definições Em primeiro lugar, devemos definir o termo proposição. Definição 1 (Proposição). Uma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Brasília é a capital do Brasil = = 3 3

4 Destas, as primeiras duas proposições são verdadeiras, enquanto que a terceira proposição é falsa. Nem toda sentença é uma proposição. Para ser uma proposição, uma sentença deve ser uma sentença declarativa. Questionamentos, exclamações, ordens e sentenças deste tipo não podem ser consideradas como proposições porque não são nem verdadeiras nem falsas. Que horas são? Que cidade bonita! Acorde e faça seus exercícios. x+1 = 2 x+y = z 3.2 Notação Usam-se letras para denotar variáveis proposicionais (i.e., variáveis que denotam proposições). O valor verdade de uma proposição é denotado por V (ou 1) se uma proposição for verdadeira, ou F (ou 0) se uma proposição for falsa. Normalmente usam-se as letras p, q, r, s,... para indicar variáveis proposicionais. p: Santiago é a capital do Chile q: 5+2 = 7 r: Hoje é sexta-feira As declarações precedentes representadas pelas letras p, q e r são declarações primitivas, pois não tem jeito de quebrá-las em declarações mais simples. Entretando, o matemático inglês George Boole criou um mecanismo onde novas proposições podem ser construídas a partir de proposições existentes, aplicando-se operadores lógicos (por vezes denominados de conectivos lógicos). A estas novas proposições denominados de proposições compostas. Dessa forma, novas proposições podem ser criadas de duas maneiras, a saber: 4

5 Transformando uma proposição p em uma proposição p, que denota sua negação (lê-se não p ); Combinando duas ou mais proposições em uma proposição composta, usando um dos conectivos lógicos: conjunção, disjunção, implicação ou operador bicondicional. 4 Conectivos Lógicos Formalizaremos cada um dos operadores lógicos a seguir, definindo e exemplificando cada um deles. 4.1 Negação Definição 2 (Negação). Seja p uma proposição. A negação de p, indicada por p ou p, é a sentença não é o caso de p, é lida como não p. O valor verdade da negação de p ( p) é o oposto do valor verdade de p. Uma tabela verdade é uma tabela que contém as proposições nas colunas, e as possibilidades de valores-verdade nas linhas. É comum expressar os resultados de uma proposição composta por meio de tabelas verdade, que permitem analisar seus valores-verdade. Deste ponto em diante apresentaremos a tabela verdade de cada conectivo lógico. Segundo a Definição 2, para uma dada proposição p, temos a seguinte tabela verdade, cujo resultado de p é apresentados na Tabela 1. Tabela 1: Tabela verdade para a negação de p p p p: Matemática discreta é fundamental para Ciência da Computação p: Matemática discreta não é fundamental para Ciência da Computação 5

6 4.2 Conjunção Definição 3 (Conjunção). Sejam p e q proposições. A conjunção de p e q, indicada por p q, é a proposição p e q. A proposição p q é verdadeira quando p e q são verdadeiras, e falsa caso contrário. De acordo com a Definição 3, somente quando p e q assumem valores V ou 1 é que o resultado da proposição composta p q vale 1. Isto posto, a Tabela 2 representa a tabela verdade para o conectivo lógico de conjunção ( ). Tabela 2: Tabela verdade para a conjunção (p q) p q p q p: Brasília é a capital do Brasil p: Hoje é sexta feira p q: Brasília é a capital do Brasil e hoje é sexta-feira 4.3 Disjunção Definição 4 (Disjunção). Sejam p e q proposições. A disjunçao de p e q, indicada por p p, é a proposição p ou q. A proposição p q é falsa se p e q são ambas falsas, e verdadeira caso contrário. Pela Definição 4, para que a proposição composta p q assuma valor verdadeiro basta que uma das proposições primitivas (p ou q) seja verdadeira. Assim, a tabela verdade para o conectivo lógico de disjunção ( ) é apresentada a seguir, na Tabela 3. 6

7 Tabela 3: Tabela verdade para a disjunção (p q) p q p q p: Brasília é a capital do Brasil p: Hoje é sexta feira p q: Brasília é a capital do Brasil ou hoje é sexta-feira 4.4 Disjunção Exclusiva Definição 5 (Disjunção Exclusiva). Sejam p e q proposições. A disjunção exclusiva de p e q (também denominada ou exclusivo), indicada por p q ou p q, é a proposição que é verdadeira exatamente quando apenas uma das proposições p ou q forem verdadeiras, e falsa caso contrário. A proposição p q assume valor verdadeiro, segundo a Definição 5, quando apenas uma das proposições primitivas (p ou q) assume valor verdadeiro. A Tabela 4 sumariza os possíveis resultados da disjunção exclusiva de p e q. Tabela 4: Tabela verdade para a disjunção exclusiva (p q) p q p q p: Brasília é a capital do Brasil 7

8 p: Hoje é sexta feira p q: Ou Brasília é a capital do Brasil, ou hoje é sexta-feira, mas não ambas 4.5 Condicional Definição 6 (Condicional). Sejam p e q proposições. A proposição condicional p q é a proposição se p, então q, ou p implica q. A proposição p q é falsa quando p é verdadeira e q é falsa, caso contrário p q é verdadeira. De acordo com a Definição 6, a proposição composta p q assume valor falso apenas quando a proposição p é verdadeira e q é falsa. Neste tipo de construção, a proposição p é denominada de hipótese, premissa ou antecedente, enquanto que a proposição q é denominado de conclusão, consequência ou consequente. A tabela verdade que expressa os valores-verdade deste tipo de proposição é dada a seguir, na Tabela 5. Tabela 5: Tabela verdade para a proposição condicional (p q) p q p q Em Ciência da Computação, as estruturas condicionais If-Then e If-Then-Else estão presentes na maioria das linguagem de programação estruturadas. Essa estrutura tem alguma relação com a proposição condicional p q. Nela, a hipótese p geralmente representa uma expressão condicional, como por exemplo, x 15. Essa expressão torna-se uma declaração lógica que admite valores-verdade 0 ou 1, dependendo do valor que a variável x assume em um determinado ponto da execução do programa. Neste contexto, a conclusão q consiste na declaração a ser executada, direcionando a execução do programa para outra linha ou imprimindo algum resultado. Aqui, q não assume o papel de proposição lógica que estamos discutindo, mas sim como uma instrução. Quando lidamos com uma estrutura do tipo If p, Then q, o computador executará q apenas se a expressão lógica p assumir 8

9 valor verdadeiro; caso contrário o programa saltará para a próxima instrução no código do programa. Para estruturas do tipo If p Then q Else r, o programa avaliará p e executará q se p for verdadeiro, ou executará r se p for falso. Além deste contexto, a proposição condicional p q é usada como regra essencial no raciocínio matemático; logo uma variedade de interpretações estão associadas à este tipo de construção. p: NONONO é eleito q: NONONO vai reduzir os impostos p q: Se NONONO for eleito, então NONONO vai reduzir os impostos Outras formas de interpretar a proposição p q: Se p, então q p é suficiente para q p é uma condição suficiente para q p somente se q p é necessário para q p é condição necessária para q q se p q quando ocorrer p uma condição necessária para p é q q a menos que p p implica q p apenas se q q sempre que p q segue de p Para exemplificar, sejam as proposições 9

10 p: Maria tira nota 10 no exame final q: Maria recebe o conceito A Existem diversas maneiras de se interpretar a proposição p q de maneira verbal. Vejamos algumas destas formas: Se Maria tirar nota 10 no exame final, então terá conceito A Maria vai receber conceito A quando tirar nota 10 no exame final Maria tirar nota 10 no exame final é suficiente para que Maria receba o conceito A Para receber o conceito A, é suficiente que Maria tire nota 10 no exame final Maria vai receber conceito A, a menos que não tire nota 10 no exame final Nos casos apresentados como exemplo, as proposições foram usadas em linguagem natural onde existe uma relação entre a hipótese e a conclusão. Entretanto, quando as proposições p e q são combinadas na proposição p q, não é necessário haver uma relação causal entre a hipótese e conclusão para que a implicação p q seja verdadeira. p: Hoje é sexta feira q: 2+3 = 5 r: 2+3 = 6 p q: Se hoje é sexta-feira, então 2+3 = 5 p r: Se hoje é sexta-feira, então 2+3 = 6 Do ponto de vista matemático, a proposição p q é verdadeira sempre que as condições expressas na sua tabela verdade forem satisfeitas (ver Tabela 5). Isto ocorre porque o conceito matemático de condicional é mais geral do que o usado em linguagem natural; tal conceito de condicional é independente das relações causa-efeito entre a hipótese e a conclusão. No exemplo acima, a proposição p q é verdadeira porque a conclusão é verdadeira (de fato, 2+3 = 5). Já a proposição p r somente pode assumir valor verdadeiro se hoje não for sexta feira pois a conclusão 2+3 = 6 é falsa, e pela tabela verdade a única possibilidade de que p r resulte em 1 é dada pela atribuição de valores-verdade 0 tanto para a hipótese quanto para a conclusão (se p é 0 e r é 0, então p r resulta em 1). 10

11 Existem três proposições condicionais relacionadas à proposição p q que ocorrem muito frequentemente em lógica proposicional, e cujos resultados são de interesse do estudante. São elas: 1. Oposta de p q: é a proposição q p 2. Contrapositiva de p q: é a proposição q p 3. Inversa de p q: é a proposição p q Acompanhe a tabela verdade destas proposições, cujos resultados são apresentados na Tabela 6. Pela tabela, temos que os mesmos valores-verdade ocorrem nas proposições condicional e contrapositiva (destacadas em azul), assim como nas proposições oposta e inversa (destacadas em vermelho). Tabela 6: Tabela verdade para as proposições oposta, contrapositiva e inversa de p q p q p q p q q p q p p q Mais adiante veremos que duas proposições que possuem os mesmos valores-verdade são denominadas de equivalentes; logo as proposições condicional e contrapositiva são equivalentes, assim como também são equivalentes as proposições oposta e inversa. Sejam as proposições: p: Hoje é Páscoa q: Amanha é segunda-feira Temos: condicional p q: Se hoje é Páscoa, então amanhã é segunda feira contrapositiva q p: Se amanhã não é segunda-feira, então hoje não é Páscoa. oposta q p: Se amanhã é segunda-feira, então hoje é Páscoa inversa p q: Se hoje não é Páscoa, então amanhã não é segunda-feira. 11

12 4.6 Bicondicional Definição 7 (Bicondicional). Sejam p e q proposições. A proposição bicondicional p q é a proposição p se e somente se q. A proposição p q é verdadeira sempre que p e q tem o mesmo valor verdade, e falsa caso contrário. As proposições bicondicionais também são chamadas de bi-implicações. Pela Definição 7, a proposição p q é verdadeira apenas quando p e q são ambas verdadeiras, ou ambas falsas. Quando p e q possuem valores-verdade opostos, então essa proposição assume valor 0. A Tabela 7 resume os valores-verdade possíveis de uma proposição bicondicional. Tabela 7: Tabela verdade para a proposição bicondicional (p q) p q p q Outras formas de se ler a proposição p q: p é necessária e suficiente para q se p, então q e vice-versa p se e somente se q p é necessário e suficiente para q p sse q Note que, pela definição, p q equivale à (p q) (q p). p: Você pode tomar um avião q: Você comprou uma passagem aérea p q: Você pode tomar um avião se e somente se você comprou uma passagem aérea 12

13 4.7 Resumo: Tabelas Verdade dos Conectivos Lógicos Tabela 8: Tabela verdade de todos os conectivos lógicos p q p p q p q p q p q p q Tabela Verdade para Proposições Compostas A tabela verdade para proposições compostas pode ser determinada incluindo uma coluna para cada proposição composta que ocorre na proposição composta original, de forma que a última coluna corresponde à proposição composta original. Construa a tabela verdade para a seguinte proposição composta: (p q) (p q) Esta proposição envolve apenas duas variáveis proposicionais, p e q. A combinação dos valoresverdade para duas variáveis é VV, VF, FV e FF, de forma que a tabela verdade terá 4 linhas. As duas primeiras colunas conterão os valores-verdade das variáveis p e q. A Tabela 9 apresenta esta situação. Tabela 9: Passo 1: Inserir as variáveis proposicionais primitivas p q A próxima etapa consiste em identificar qual será a próxima proposição composta que deve ser determinada. No caso da proposição (p q) (p q), a próxima proposição deve ser a proposição q, que é necessária para determinar os valores-verdade de (p q). Adicionamos mais uma coluna à tabela verdade, e determinamos o valor de q segundo a Tabela 8. O resultado final é dado na Tabela

14 Tabela 10: Passo 2: Adicionando a coluna q p q q Na próxima etapa, iremos determinar os valores-verdade da proposição (p q). Incluiremos uma nova coluna para esta proposição, e determinamos seus valores-verdade consultando a tabela verdade da operação lógica de disjunção entre duas proposições (ver Tabela 8). O resultado obtido é apresentado na Tabela 11. Tabela 11: Passo 3: Adicionando a coluna (p q) p q q (p q) Já temos os valores-verdade da hipótese da proposição (p q) (p q). Precisamos agora determinar a conclusão. Incluiremos mais uma coluna na tabela verdade, que receberá os valores-verdade da proposição (p q), que podem ser obtidos diretamente da Tabela 8, operação de conjunção de duas proposições. Os resultados obtidos são apresentados a seguir, na Tabela 12. Tabela 12: Passo 4: Adicionando a coluna (p q) p q q (p q) (p q) Por fim, chegamos à proposição composta original, i.e., (p q) (p q). Para obter os valoresverdade para esta proposição, devemos adicionar uma nova coluna com este conteúdo, consultar os valores-verdade já determinados para a hipótese (p q) e conclusão (p q), e com base na tabela verdade da proposição condicional ( ) apresentada na Tabela 8 chegamos à tabela verdade final para a proposição composta (p q) (p q), cujos resultados são dados pela Tabela

15 Tabela 13: Passo 5: Adicionando a coluna (p q) (p q) p q q (p q) (p q) (p q) (p q) Precedência de Operadores Lógicos Assim como na algebra, os conectivos lógicos possuem precedência, isto é, existem prioridades que devem ser avaliadas na interpretação de uma proposição composta. A ordem de precedência destes operadores é dada a seguir, na Tabela 14. Tabela 14: Ordem de precedência dos conectivos lógicos Operador Prioridade Linguagem Natural vs. Proposições A linguagem natural, em geral, permite escrever sentenças ambiguas. Traduzir sentenças em linguagem em proposições compostas acaba com essa ambiguidade. Uma vez traduzidas em expressões lógicas, podemos analisar seus valores-verdade, manipulá-las e aplicar regras de inferência para raciocinar sobre tais sentenças. Sejam s, t e u proposições primitivas tais que s: João sai para caminhar lá fora t: O dia está ensolarado u: Está nevando 15

16 Possíveis traduções em linguagem natural para as proposições compostas escritas em linguagem lógica (t u) s: Se o dia estiver ensolarado e não estiver nevando, então João sairá pra caminhar lá fora t ( u s): Se o dia estiver ensolarado, então se não estiver nevando João sairá para caminhar lá fora (s (u t)): João não irá caminhar lá fora se e somente se estiver nevando ou o dia estiver ensolarado Possíveis traduções em linguagem lógica para as proposições compostas escritas em linguagem natural João sairá pra caminhar se e somente se o dia estiver ensolarado: s t Se estiver nevando e o dia não estiver ensolarado, então João não sairá para caminhar lá fora: (u t) s Está nevando mas João irá caminhar lá fora mesmo assim: u s Seja a sentença em linguagem natural: Você não pode andar de montanha russa se você tiver menos do que 1,20 metros de altura a menos que você tenha 16 anos de idade. Podemos fazer a tradução desta sentença em proposições compostas da seguinte maneira. Sejam as primitivas q: Você pode andar de montanha russa r: Você tem menos do que 1,20 m de altura s: Você tem mais de 16 anos de idade Então, a sentença em linguagem natural pode ser traduzida em proposições lógicas como: (r s) q, ou ainda ( r s) q Conforme mencionado, a tradução das sentenças de linguagem natural para proposições lógicas elimina as ambiguidades. Isso é muito importante na atividade de especificação de sistemas de hardware e software de forma que um sistema em desenvolvimento use tais especificações. Proposições compostas podem, dessa forma, serem empregadas com este propósito. Uma especificação de sistema deve ser consistente, i.e., não conter especificações conflitantes que possam ser usadas para derivar uma contradição. Se as especificações não forem consistentes, pode 16

17 ser que não haja uma forma de desenvolver um sistema que atenda a todas elas. Determine se estas especificações de sistema são consistentes: A mensagem de diagnóstico é armazenada no buffer ou ela é retransmitida A mensagem de diagnóstico não é armazenada no buffer Se a mensagem de diagnóstico é armazenada no buffer, então ela é retransmitida A verificação de consistência de um sistema passa pela sua tradução em expressões lógicas. Sejam as proposições primitivas p: A mensagem de diagnóstico é armazenada no buffer q: A mensagem de diagnóstico é retransmitida As três especificações acima podem ser traduzidas como: A mensagem de diagnóstico é armazenada no buffer ou ela é retransmitida: p q A mensagem de diagnóstico não é armazenada no buffer: p Se a mensagem de diagnóstico é armazenada no buffer, então ela é retransmitida p q Verificando a consistência das três especificações por meio da tabela verdade: Tabela 15: Tabela Verdade para as especificações (p q), ( p) e (p q) p q p q p p q Uma atribuição de valores que torna as três especificações verdadeiras é observada na Tabela 15, quando a proposição p é falsa (i.e., atribui-se valor 0 para p) e a proposição p é verdadeira (i.e., atribui-se valor 1 para q). Dessa forma, vemos que a especificação de sistema apresentado é consistente. A especificação do sistema apresentado no exemplo anterior se mantém consistente se adicionarmos uma nova especificação A mensagem de diagnóstico não é transmitida? 17

18 Tabela 16: Tabela Verdade para as especificações (p q), ( p) e (p q) e ( q) p q p q p p q q Faremos tal verificação recorrendo novamente à tabela verdade, que agora contempla a proposição ( q). A tabela verdade desta especificação de sistemas é dada a seguir, na Tabela 16. Pelos valores-verdade encontrados na Tabela 16, observamos que não existe nenhuma atribuição de valores de p e q que satisfaçam as quatro especificações apresentadas. Isto posto, concluímos que esta especificação de sistema é inconsistente Lógica e Operações Bit a Bit A representação da informação em um computador digital é feita usando-se bits. Um bit é um símbolo com dois valores possíveis: 0 e 1, que pode ser interpretado como V e F. Uma variável booleana é aquela que admite apenas dois valores: verdadeiro ou falso. Uma variável booleana pode ser representada por um bit. Uma operação binária é um cômputo que corresponde à aplicação dos conectivos lógicos, e, denominados de OR, AND e XOR nas linguagens de programação, à um ou mais bits. A mesma tabela verdade destes conectivos lógicos se aplica às operações bit a bit. Definição 8 (String). Uma string de bits é uma sequência de zero ou mais bits. O tamanho da string é o número de bits da string. Encontre as strings de bits que resultam das operações OR, AND e XOR aplicadas sobre as strings S 1 : e S 2 : S S S 1 OR S S 1 AND S S 1 XOR S

19 5 Equivalências Proposicionais Conforme já foi mencionado neste documento, se duas proposições compostas possuem os mesmos valores-verdade, então elas são equivalentes. Isso permite, por exemplo, que se substitua uma proposição composta por outra equivalente na construção de argumentos matemáticos. Antes de definir formalmente o conceito de equivalência, devemos formalizar a classificação das proposições de acordo com seus possíveis valores-verdade. 5.1 Tautologia, Contradição e Contingência Definição 9 (Classificação). Uma proposição composta que é sempre verdadeira, independente dos valores-verdade das proposições que nela ocorrem, é denominada de tautologia. Uma proposição composta que é sempre falsa é chamada de contradição. Uma proposição composta que não é nem uma tautologia, nem uma contradição, é denominada contingência. Tautologias e contradições podem ser construídas com o uso de apenas uma variável proposicional e dos conectivos lógicos de conjunção e disjunção, conforme ilustra a tabela verdade expressa na Tabela 17. Tabela 17: Tabela Verdade para as proposições (p p) e (p p) p p p p p p A proposição composta p q (p q) é uma tautologia (ver Tabela 18) Tabela 18: Tabela Verdade para a proposição p q (p q) p q p q p q p q (p q)

20 A proposição composta (p q) (p q) é uma contradição (ver Tabela 19) Tabela 19: Tabela Verdade para a proposição (p q) (p q) p q p q p q (p q) (p q) (p q) A proposição composta p p é uma contingência (ver Tabela 20). Tabela 20: Tabela Verdade para a proposição p p p p p p As tautologias e contradições tem fundamental importância quando usadas em métodos de prova, que veremos adiante na disciplina. 5.2 Equivalências Lógicas Definição 10 (Equivalência). As proposições compostas p e q são chamadas logicamente equivalentes se p q é uma tautologia. A notação p q indica que as proposições p e q são logicamente equivalentes. Denominados de algebra de proposições o uso das tabelas verdade das proposições para desenvolver a idéia de quando duas entidades são essencialmente as mesmas. 20

21 Uma das formas de verificar se duas proposições p e q são equivalentes consiste em usar a tabela verdade. Elas serão equivalentes se as colunas que fornecem seus valores-verdade forem idênticas. Sejam as proposições p q e q p. Mostre, pela tabela verdade, que estas proposições são logicamente equivalentes (ver resultado na Tabela 21). Tabela 21: Tabela verdade para as proposições p q e q p p q p q (p q) ( q p) (p q) ( q p) Assim, a proposição condicional (p q) e sua contrapositiva ( q p) são equivalentes. Mostre que as proposições (p q) e p q são equivalentes 1. Faremos isto construindo a tabela verdade destas proposições, cujos resultados são apresentados na Tabela 22. Incluiremos também uma nova proposição composta (p q) ( p q), que mostraremos ser uma tautologia por meio de seus valores-verdade. Tabela 22: Tabela verdade para as proposições (p q) e ( p q) p q p q p q (p q) p q (p q) ( p q) A Tabela 22 mostra que a proposição (p q) possui os mesmos valores-verdade da proposição ( p q). Pela Definição 10, temos que (p q) ( p q) é uma tautologia, logo as proposições (p q) e ( p q) são equivalentes. Mostre que p (q r) e (p q) (p r) são equivalentes 2. 1 Essa equivalência é uma das duas Leis de De Morgan 2 Propriedade distributiva da disjunção sobre a conjunção 21

22 Faremos isso construíndo a tabela verdade, cujos resultados são dados na Tabela 23. Tabela 23: Tabela verdade para as proposições p (q r) e (p q) (p r) p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) [p (q r)] [(p q) (p r)] Equivalências Importantes Existem algumas equivalências importantes muito usadas na simplificação de expressões lógicas. Este documento lista tais equivalências na Tabela 24. Propriedade Identidade Dominação Idempotente Dupla Negação Comutativa Tabela 24: Equivalências lógicas importantes Equivalência lógica Propriedade p 1 p p 0 p p 1 1 p 0 0 p p p p p p ( p) p p q q p p q q p Associativa Distributiva Leis de De Morgan Absorção Negação ou Inversa Equivalência lógica (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q) p q (p q) p q p (p q) p p (p q) p p p 1 p p Construindo novas equivalências lógicas As equivalências lógicas podem ser usadas para construir equivalências lógicas adicionais, uma vez que uma proposição composta pode ser substituída por outra proposição composta que é equivalente 22

23 sem alterar os valores-verdade da proposição original. Mostre que a proposição composta (p ( p q)) e p q são equivalentes. Expressão Propriedade aplicada Resulta em (p ( p q)) Lei de De Morgan p ( p q) p ( p q) Lei de De Morgan p ( p q) p ( p q) Dupla Negação p (p q) p (p q) Distributiva ( p p) ( p q) ( p p) ( p q) Inversa 0 ( p q) 0 ( p q) Identidade p q p q Após a aplicação sucessiva de equivalências, mostramos que (p ( p q)) e p q são equivalentes e possuem os mesmos valores-verdade. Outra maneira de demonstrar essa equivalência é a construção da tabela verdade destas expressões lógicas. Para o caso deste exemplo, ver Tabela 25. Tabela 25: Tabela verdade para as proposições (p ( p q)) e p q p q p q p q p q p ( p q) (p ( p q)) Com isso, fica demonstrado que (p ( p q)) p q Dadas as proposições primitivas p e q, existe alguma forma de expressar a proposição composta (p q) ( p q), i.e., podemos encontrar uma proposição mais simples que seja equivalente à proposição composta dada? Expressão Propriedade aplicada Resulta em (p q) ( p q) Lei de De Morgan (p q) ( p q) (p q) ( p q) Dupla Negação (p q) (p q) (p q) (p q) Distributiva de sobre p (q q) p (q q) Inversa p 0 p 0 Identidade p p 23

24 Pela simplificação, temos que (p q) ( p q) p. 6 Predicados e Quantificadores 6.1 Limitações da lógica proposicional A lógica proposicional nem sempre consegue expressar adequadamente o significado das proposições em linguagem matemática e em linguagem natural, visto que formulas proposicionais tem uma possibilidade limitada de expressão. Para exemplificar, sejam as sentenças: Para todo x, x > 0 Todo computador conectado à rede do LAB01 está com vírus Existe um aluno da classe de matemática discreta que não passou em Cálculo I Suponha que cada uma das sentenças declaradas acima sejam verdadeiras. Não é possível simbolizar tais sentenças adequadamente usando apenas variáveis proposicionais, parênteses e conectivos lógicos, como fizemos até o presente momento. Isto ocorre porque elas contém elementos novos ( para todo, para cada, para algum ) que são ligados ao conceito de predicados e quantificadores. Quantificadores são frases do tipo para todo, para cada, para algum, que relacionam quantos objetos possuem uma determinada propriedade. Para estes casos, a lógica de predicados pode ser usada para expressar o significado de uma grande faixa de declarações deste tipo que nos permite raciocinar e explorar relacionamentos entre objetos. 6.2 Predicados Definição 11 (Predicado). Uma propriedade ou relacionamento entre objetos é denominado predicado. A descrição de um predicado em lógica é denominada de fórmula. Sejam as declarações: x > 3 x = y +3 24

25 x+y = z O computador x está sob ataque de um intruso O computador x está funcionando adequadamente Diversas sentenças que envolvem variáveis são encontradas com frequência em afirmações matemáticas, programas de computadores e especificação de sistemas. Sentenças que possuem variáveis não são nem verdadeiras nem falsas enquanto não se especificar um valor para elas (logo, sentenças com variáveis não são proposições). Referimos à sentenças do tipo O número x+2 é um inteiro par como sentença aberta, que será formalizada a seguir, nas Definições 12 e 13. Definição 12 (Sentença Aberta). Dado um conjunto A, uma sentença aberta em A é uma expressão P(x) de modo que, para cada a A, P(a) é uma proposição. Dado a A, tem-se P(a) verdadeiro ou falso. Definição 13 (Sentença Aberta). Uma sentença é uma sentença aberta se: 1. Ela contém uma ou mais variáveis, e 2. Ela não é uma proposição, mas 3. Ela torna-se uma proposição quando suas variáveis são substituídas por certos valores permissíveis. Na declaração x > 3, podemos dividí-la em duas partes: o sujeito (neste caso, a variável x) e o predicado da declaração (neste caso, a propriedade que o sujeito da declaração deve ter, ou seja, é maior do que 3 ). Em termos de notação, denotamos a declaração x é maior do que 3 por P(x), onde P denota o predicado é maior do que 3 e x é a variável ao qual o predicado se aplica. A declaração P(x) é dita ser o valor da função proposicional P em x. Uma vez que se atribui um valor para a variável x, a declaração P(x) torna-se uma proposição que possui valores-verdade. Seja P(x) a declaração x > 3. Qual é o valor verdade de P(4) e P(2)? Obtemos P(4) pela substituição de x = 4 e P(2) pela substituição de x = 2 na declaração x > 3. Assim, P(4) é verdadeira, enquanto que P(2) é falsa. 25

26 Podemos trabalhar com afirmações que envolvam mais de uma variável. Por exemplo, considere a afirmação x = y+3. Podemos indicá-la por Q(x,y), em que x e y são variáveis e Q é o predicado. Quando determinamos valores para as variáveis x e y, a sentença aberta Q(x,y) torna-se uma proposição e possui valores-verdade. Seja Q(x,y): os números y +2, x y e x+2y são inteiros pares. Temos: Q(4,2): os números 4, 2 e 8 são inteiros pares: VERDADEIRO Q(5,2): os números 4, 3 e 9 são inteiros pares: FALSO Q(10,3): os números 5, 7 e 16 são inteiros pares: FALSO Em geral, uma sentença que envolva n variáveis pode ser denotada por P(x 1,x 2,...,x n ) e é denominada de função proposicional P para a n-upla (x 1,x 2,...,x n ), e P é denominado de predicado n-ário. Por fim, ainda existe a negação de uma sentença aberta, que consiste na aplicação do operador lógico de negação sob a sentença, i.e., P(x). Por exemplo, se P(x) é uma função proposicional que declara que o número x + 2 é um inteiro par, então P(x) deve ser interpretado como a declaração o número x+2 não é um inteiro par. Diante desta sentença aberta, temos que P(7) é falso, enquanto que P(7) é verdadeiro. 6.3 Quantificadores Quando atribuímos valores às variáveis de uma função proposicional, a sentença resultante torna-se uma proposição e assume um valor verdade. Entretanto, existe outra maneira de se criar proposições a partir de funções proposicionais, denominada quantificação. A quantificação permite-nos dizer que um dado predicado P é verdadeiro para um conjunto de elementos. A área da lógica que estuuda os predicados e quantificadores é denominada de cálculo de predicados Quantificador Universal Algumas afirmações matemáticas referem-se à uma propriedade que é verdadeira para todos os valores que uma variável pode assumir em um determinado domínio/universo do discurso. A quantificação universal de P(x) para um domínio particular é a proposição que afirma que P(x) é verdadeiro para todos os valores de x neste domínio. O domínio deve sempre ser especificado 26

27 quando um quantificador universal for usado. Definição 14 (Quantificação Universal). Uma quantificação universal de P(x) é a declaração do tipo P(x) para todos os valores de x no domínio A notação xp(x) denota uma quantificação universal de P(x) O símbolo é denominado quantificador universal. A notação xp(x) é lida como para todo xp(x) ou para cada xp(x). Um elemento para o qual xp(x) é falso é denominado de contra-exemplo de xp(x). Seja A o conjunto domínio de uma sentença aberta. Se A =, entende-se que a quantificação universal x A(S) é verdadeira, não importa qual seja a sentença S. Seja a sentença aberta R(x): 2x é um inteiro par cujo domínio/universo é o conjunto de números inteiros (Z) A quantificação universal xr(x) é verdadeira, pois independente que qual valor inteiro seja substituído na variável x (par ou ímpar), o resultado sempre será par. Seja a sentença aberta x+1 > x. Qual é o valor verdade da quantificação xp(x) no domínio dos números reais (R)? Ao substituir a variável x por qualquer número real na sentença aberta P(x), sempre tomaremos proposições que são verdadeiras. Como P(x) é verdadeiro para todos os números reais, temos que a quantificação universal xp(x) é verdadeira. Seja P(x) uma função proposicional. Uma sentença x(px) é falsa se e somente se P(x) não é sempre verdadeiro para as variáveis x no seu domínio. Uma das maneiras de fazê-lo consiste em apresentar um contra-exemplo para a declaração xp(x). Veremos adiante que buscar por contra-exemplos em proposições universalmente quantificadas é importante no estudo da matemática discreta, em especial nas provas por contra-exemplo. Qual o valor verdade de xp(x), em que P(x) é a proposição x 2 < 10 e o domínio consiste no conjunto dos inteiros positivos que não excedem 4? 27

28 A declaração xp(x) é equivalente à conjunção P(1) P(2) P(3) P(4), visto que o conjunto domínio é A = {1,2,3,4}. Como P(4) é falso, então a quantificação universal x(p(x)) também é falsa. Sejam as sentenças abertas, cujo universo compreende todos os números reais (R). Q(x) : x 2 0 S(x) : x A quantificação x[q(x) S(x)] é verdadeira ou falsa? Esta sentença pode ser traduzida como: para todo número real, se x 2 0, então x Para mostrar que esta declaração é falsa, basta apresentarmos um contra-exemplo, isto é, um valor de x para o qual [Q(x) S(x)] seja falso. Substituindo-se x por 1, temos Q(1) : (1) 2 0, verdadeiro, e S(1) : (1) 2 3 0, falso. Encontramos um caso onde [Q(x) S(x)] é falso; logo a declaração x[q(x) S(x)] é falsa porque existe pelo menos um valor de x para o qual [Q(x) S(x)] é falso. Qual o valor verdade de x(x 2 x) se o conjunto domínio for: (a) o conjunto Z? (b) o conjunto R? Se o conjunto domínio for o conjunto dos números inteiros Z, então é sempre verdade que x 2 x, para todos os inteiros. No entanto, se o domínio for o conjunto dos números reais R, então existem contra-exemplos que mostram que a quantificação universal é falsa. Para exemplificar, sejam dois contra-exemplos os números 1 /2 e 1 /3, que pertencem aos números reais e onde ( 1 2 ( 2) 1 ( 2), ou 1 2 ( 3) 1 3). Isso ocorrerá para qualquer número contido no intervalo (0,1) Quantificador Existencial Muitas sentenças matemáticas afirmam que existe um elemento que possui uma certa propriedade. Tais sentenças podem ser expressas usando-se quantificação existencial. Por meio delas, formamos uma proposição que é verdadeira se e somente se P(x) é verdadeiro para pelo menos um valor de x do domínio. 28

29 Definição 15 (Quantificação Existencial). A quantificação existencial de P(x) é a proposição existe um elemento x do domínio tal que P(x). Usa-se a notação xp(x) para a quantificação existencial de P(x). O símbolo é denominado quantificador existencial. A quantificação existencial xp(x) é lida como existe um x tal que P(x), ou existe pelo menos um x tal que P(x), ou ainda, para algum x, P(x). Seja A o conjunto domínio de uma sentença aberta S. Se A =, entende-se que a quantificação existencial x A(S) é falsa, não importa qual seja a sentença S. Seja P(x) a expressão x > 3, cujo domínio é o conjunto dos números reais (R). Qual é o valor verdade da quantificação existencial xp(x)? Como a sentença x > 3 é verdadeira para pelo menos alguns números reais (por exemplo, para {4,5,6,...}, então a quantificação xp(x) é verdadeira. Sejam as seguintes sentenças abertas, no domínio dos números reais (R) P(x): x 0 Q(x): x 2 3x 4 = 0 Verificar se a quantificação x[p(x) Q(x)] é verdadeira ou falsa. Para que a quantificação apresentada seja verdadeira, devemos apresentar pelo menos um caso em que a proposição [P(x) Q(x)] seja verdadeira. Por tratar-se de uma proposição composta por meio de um conectivo de conjunção, para que a sentença aberta [P(x) Q(x)] seja verdadeira, ambas as sentenças P(x) e Q(x) devem ser verdadeiras. Dentre os possíveis valores que x pode admitir dentro do conjunto R, o número 4 é um dos valores que tornam P(4) : (4) 0 verdadeiro, e Q(4) : (4) 2 3(4) 4 = 0 também verdadeiro. Logo, concluímos que a quantificação x[p(x) Q(x)] é verdadeira Resumo dos quantificadores Diante dos resultados apresentados nas sub-seções anteriores, podemos resumir as situações em que cada quantificador é verdadeiro ou falso na Tabela

30 Tabela 26: Resumo: quantificadores universal e existencial Sentença Quando é Verdadeiro Quando é Falso xp(x) Para algum (pelo menos um) no domínio, P(a) é verdadeiro Para todo a no domínio, P(a) é falso xp(x) Para toda a substituição de a do domínio, Existe pelo menos uma substituição de a P(a) é verdadeiro do domínio para o qual P(a) é falso x P(x) Para pelo menos uma escolha de a no domínio, P(a) é falso tal que P(a) seja ver- Para toda substituição de a no domínio, P(a) é verdadeiro dadeiro x P(x) Para toda substituição de a no domínio, P(a) é falso e sua negação P(a) é verdadeiro Existe pelo menos uma substituição de a do domínio para o qual P(a) é falso e P(a) é verdadeiro Quantificador de Unicidade Definição 16 (Quantificação de Unicidade). O quantificador de unicidade, também conhecido como quantificador de singularidade, declara que existe um único x tal que P(x) é verdadeiro, denotado pelo símbolo! ou 1. A notação!xp(x) afirma que existe um único x tal que P(x). Seja a sentença aberta P(x) : x 2 = 4. Verificar a veracidade da sentença no domínio: (a) dos números naturais (N) (b) dos números inteiros (Z). No domínio dos naturais, a proposição!x(x 2 = 4) é verdadeira, pois o número 2 é o único número do conjunto N que, quando elevado ao quadrado, resulta em 4. No domínio dos inteiros, a proposição!x(x 2 = 4) é falsa, pois os números 2 e 2 do conjunto Z possuem quadrado igual a 4. Verificar o valor-verdade das seguintes quantificações de unicidade, no domínio dos números naturais (N):!n(n < 1): verdadeira, pois apenas o número 0 satisfaz a condição!n(n! < 10): falsa, pois os fatoriais de 0, 1, 2 e 3 são todos menores que

31 !n(n + 1 > n): falsa, pois para quaisquer número natural, n + 1 é sempre maior do que n.!n(2n é par): falsa, pois o conjunto dos números naturais é infinito, logo existem infinitos números deste domínio que são pares: {2,4,6,8,10,...} Quantificadores com Restrição de Domínio Pode-se restringir o domínio de um quantificador utilizando-se uma notação abreviada, onde a condição que a variável deve satisfazer é incluída após o quantificador. Seja V = {1,2,...,30}, e seja A[1..30] um array tal que para cada índice i entre 1 e 30, A[i] = i * i - 1. Para os elementos A[1], A[2],..., A[30], Escreva os predicados que dizem: a) Cada entrada no array é não negativa: i V(A[i] 0) b) O valor A[30] é o maior valor: i V(A[i] A[30]) c) Cada entrada de A é não nula: i V(A[i] 0) Sejam as sentenças abertas, com domínio no conjunto R: x < 0(x 2 > 0), interpretado como o quadrado de um número negativo é positivo, que poderia ser declarado da seguinte maneira: x(x < 0 x 2 > 0) y 0(y 3 0), interpretado como o cubo de um número real não nulo é não nulo, que poderia ser declarado como y(y 0 y 3 0) z > 0(z 2 = 2), interpretado como existe uma raiz quadrada positiva de 2, cuja declaração equivale a z(z > 0 z 2 = 2) Note que: a restrição de uma quantificação universal é o mesmo que uma quantificação universal de uma sentença condicional. a restrição de uma quantificação existencial é o mesmo que a quantificação existencial de uma conjunção. 31

32 6.3.6 Precedência de Quantificadores Os quantificadores e tem precedência sobre todos os conectivos lógicos do cálculo proposicional. A notação xp(x) Q(x) é a conjunção de xp(x) com Q(x), ou seja, ( xp(x)) Q(x) Equivalências Lógicas Envolvendo Quantificadores Definição 17 (Equivalência em Quantificadores). Sentenças envolvendo quantificadores e predicados são logicamente equivalentes se e somente se elas tem a mesma tabela verdade, não importa quais predicados são substituídos nestas sentenças e que domínio é usado para variáveis nestas funções proposicionais. Usamos a notação S T para dizer que duas declarações S e T que envolvem predicados e quantificadores são logicamente equivalentes. Mostre que a sentença x(p(x) Q(x)) e a sentença xp(x) xq(x) são logicamente equivalentes para um mesmo domínio A. Para mostrar que as sentenças são logicamente equivalentes, devemos mostrar que elas possuem os mesmos valores verdade, independente do domínio e dos predicados P e Q. As sentenças são equivalentes se mostrarmos que (i) se x(p(x) Q(x)) é verdadeira, então xp(x) xq(x) também é verdadeira; em seguida mostramos que (ii) se xp(x) xq(x) é verdadeira, então x(p(x) Q(x)) também será verdadeira. (i): suponha que x(p(x) Q(x)) é verdadeira. Então, para um elemento a A, a sentença P(a) Q(a) é verdadeira; logo P(a) é verdadeira e Q(a) é verdadeira. Se P(a) e Q(a) são verdadeiras para todo a A, então xp(x) é verdadeira e xq(x) é verdadeira. Se ambas são verdadeiras, então xp(x) xq(x) é também verdadeira. (ii): suponha que xp(x) xq(x) é verdadeira. Se a sentença é verdadeira, então as sentenças xp(x) e xq(x) são ambas verdadeiras. Se a sentença xp(x) é verdadeira, então P(a) é verdadeira para a A. O mesmo ocorre com Q(a), visto que xq(x) para qualquer valor do domínio A. Se P(a) e Q(a) são verdadeiros, então a sentença P(a) Q(a) também será verdadeira para qualquer elemento do domínio A. Concluímos então que x(p(x) Q(x)) é verdadeira. Como (i) e (ii) ocorrem, concluímos que x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x). 32

33 Obtivemos um resultado interessante deste exemplo, que mostra que podemos distribuir a quantificação universal sobre a conjunção, visto que tanto uma forma quando a outra resultam nos mesmos valores verdade. A Tabela 27 apresenta algumas equivalências e implicações lógicas importantes referentes à quantificadores: Tabela 27: Equivalências e Implicações Lógicas sobre Sentenças Quantificadas Expressão Tipo Equivalência/Implicação x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) xp(x) xq(x) x(p(x) Q(x)) Negação de Quantificadores É comum considerar a situação de negar uma expressão quantificada. Por exemplo, seja a declaração Todo estudante na sua classe teve aulas de cálculo, representada pela quantificação universal xp(x) onde P(x) consiste na declaração x teve aulas de cálculo. A negação desta proposição é Não é o caso que todo estudante na sua classe teve aulas de cálculo, que equivale a dizer que Existe um estudante na sua classe que não teve aula de cálculo. Em termos formais, a negação da quantificação universal equivale à quantificação existencial da negação da função proposicional original: xp(x) x P(x). Pode ser que se torne necessário negar uma quantificação existencial. Seja a sentença Existe um estudante desta classe que não teve aulas de cálculo, descrito formalmente como xp(x), onde P(x) declara que x teve aulas de cálculo. A negação da proposição existencial é Não é o caso de que existe um estudante desta classe que teve aulas de cálculo, que equivale a dizer que Todo estudante desta classe não teve aulas de cálculo. Formalmente, a negação da quantificação existencial equivale à quantificação universal da negação da função proposicional original: xp(x) x P(x). As negações de quantificadores são chamadas de leis de De Morgan para quantificadores, e estão resuminadas na Tabela

34 Tabela 28: Leis de De Morgan para Quantificadores Negação Sentença Equivalente Quando a negação é verdadeira xp(x) x P(x) Para todo x, P(x) é falsa xp(x) x P(x) Existe um x para o qual P(x) é falsa Quando a negação é falsa Existe um x para o qual P(x) é verdadeira Para todo x, P(x) é verdadeira. Qual é a negação de Existe um político honesto? Seja H(x) uma função proposicional que diz que x é um político honesto. A declaração Existe um político honesto é expressa por xh(x), no domínio de todos os políticos. A negação xh(x) equivale à expressão x xh(x), que pode ser expressa por Todos os políticos não são honestos, ou Todos os políticos são desonestos. Qual é a negação de Todos os brasileiros comem churrasco? Seja C(x) uma função proposicional que diz que x come churrasco. A senteça original é representada por xc(x), cuja negação xc(x) equivale à x C(x). Em linguagem natural, essa expressão pode ser dita como Existe um brasileiro que não come churrasco, ou ainda Alguns brasileiros não comem churrasco. Quais as negações das proposições x(x 2 > x) e x(x 2 = 2)? A negação de x(x 2 > x) equivale à x (x 2 > x), que pode ser reescrita como x(x 2 x). A negação de x(x 2 = 2) equivale à x (x 2 = 2), que pode ser reescrita como x(x 2 2). Em ambos os casos, os valores-verdade destas proposições dependem do conjunto numérico que corresponde ao domínio. Por exemplo se o domínio da sentença x(x 2 2) for o conjunto Z, então a sentença será verdadeira porque não existe nenhum inteiro que elevado ao quadrado resulta em 2; já se o domínio for o conjunto R, então a sentença será falsa porque ( 2 ) 2 = 2. Seja P(x) : 2x+1 = 5 e Q(x) : x 2 = 9. Faça a negação da declaração x(p(x) Q(x)) e dê uma 34

35 interpretação da sentença resultante em linguagem natural. A negação da sentença x(p(x) Q(x)) é dada por x (P(x) Q(x)). Pela lei de De Morgan, x (P(x) Q(x)) equivale à x( P(x) Q(x)). Em linguagem natural, x( P(x) Q(x)) significa Para cada inteiro x, 2x+1 5 ou x Quantificadores Aninhados Até o presente momento, os quantificadores foram usados para mostrar como podem ser usados em sentenças matemáticas, assim como podem ser usados para traduzir a linguagem natural para expressões lógicas. A partir de agora, introduziremos o conceito de quantificadores aninhados (agrupados) Declarações Envolvendo Quantificadores Aninhados Dois quantificadores estão aninhados se um está no escopo do outro, onde o quantificador mais interno é tratado como uma função proposicional. Para exemplificar, x y(x+y = 0) é o mesmo que xq(x), em que Q(x) é yp(x,y) e P(x,y) é x+y = 0. Traduza a sentença x y((x > 0) (y < 0) (xy < 0)) para linguagem natural. A sentença afirma que para todo real x e para todo real y, se x > 0 e y < 0, então xy < 0 ; ou para números reais x e y, se x é positivo e y é negativo, então o produto xy é negativo ; ou ainda o produto de um número positivo po um número negativo é sempre negativo. Seja Q(x,y) a sentença x + y = 0. Quais os valores verdade das quantificações y xq(x,y) e x yq(x,y), com x R e y R. A quantificação y x(x+y = 0) representa a afirmação existe um número real y para todo número real x para o qual x+y = 0. Como não existe nenhum número real y que, somado à todo real x resulta em zero, então a sentença y xq(x,y) é falsa. Já a quantificação x y(x + y = 0) expressa a afirmação para todo real x, existe um número real y para o qual x+y = 0. Essa sentença é verdadeira, pois para cada x, existe um y = x cuja soma x+y resulta em 0. 35