Simplificação por mapa de Karnaugh

Transcrição

1 AUTOMAÇÃO (M323/373) CAPÍTULO II Álgebra de Boole 23/24 Sumário Álgebra de Boole Sistemas de numeração Revisão sobre portas lógicas Circuitos lógicos soma de produtos produto de somas Simplificação por postulados da Álgebra Simplificação por mapa de Karnaugh Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 2

2 Sistemas de numeração Sistemas t de numeração Qualquer número pode ser representado em forma binária, onde cada dígito se denomina bit: = x2 3 + x2 2 + x2 + x2 = 2 Os computadores utilizam uma representação hexadecimal (,,9,A,.,F) = 2 = B 6 99 = 2 = Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 3 Sistemas de numeração Sistemas de numeração BCD (Binary Coded Decimal) Representação idêntica à hexadecimal, mas em que apenas se utilizam os dígitos de a 9 -> é uma representação igual à representação decimal, onde cada um dos dígitos é representado por um código binário. = 2 = BCD 99 = 2 = 99 BCD Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 4

3 Códigos binários Sistemas de numeração e códigos Decimal Binary Hexadecimal BCB Gray Binário reflectido permite 9 9 A minimizar os B 2 C erros de 3 D 4 E transmissão 5 F C Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 5 Sinais lógicos Sinais lógicos (binários) Estados lógicos V(t) +V Lógico Lógico Lógica positiva t Lógico = Lógico Lógico = Lógico Complemento ou inversão lógica Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 6

4 Álgebra Booleana As variáveis lógicas só podem assumir um de dois valores possíveis ( ou ) Utilizam-se tabelas conhecidas por Tabelas de Verdade para definir as combinações de valores de entrada e os correspondentes valores de saída Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 7 Álgebra Booleana Proposição todo o enunciado que se pode afirmar como sendo verdadeiro ou falso. ExemploE l Amanhã vai chover não constitui uma proposição, pois existem mais de duas respostas possíveis: Sim, Talvez e Não Lisboa é a capital de Portugal - é uma proposição Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 8

5 Princípios da Álgebra Booleana Não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa Terceiro T i excluído: uma proposição só pode assumir um dos dois valores possíveis - ou é verdadeira ou falsa, não sendo possível uma terceira hipótese Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 9 Álgebra Booleana Operações Lógicas Básicas OU (OR) - Adição Lógica : F = X + Y X Y F Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM

6 Álgebra Booleana Operações Lógicas Básicas E (AND) Produto Lógico : F = X. Y X Y F Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM Álgebra Booleana Operações Lógicas Básicas Não (NOT) - Complemento (Negação) F = X ou F = X X F Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 2

7 Tabela de Verdade d Para cada entrada => coluna Para cada saída => coluna As combinações possíveis de variá- veis de entrada podem assumir: N = 2 n n = número de variáveis de entrada e N as combinações entre zeros () e uns () Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 3 Tabela de Verdade d Exemplo: E l Tabela de verdade d de uma função lógica S = A + B.C A B C S Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 4

8 Portas Lógicas Portas lógicas são dispositivos iti ou circuitos lógicos electrónicos digitais, que processam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída A saída do circuito c ito depende da função implementada no circuito Existem diversas famílias de portas lógicas disponíveis no mercado Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 5 Portas Lógicas Família lógica de circuitos integrados conhecida por TTL (Transistor Transistor Logic) É especialmente conhecida pelo facto de ter duas séries que começam pelos números 54 para os componentes de utilização militar e 74 para os componentes de utilização comercial Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 6

9 Portas Lógicas A A família TTL possui as seguintes séries de integrados: TTL 74L de Baixa Potência TTL 74H de Alta Velocidade TTL 74S Schottky TTL 74LS Schottky de Baixa Potência (LS-TTL) TTL 74AS Schottky Avançada (AS-TTL) TTL 74ALS - TTL Schottky Avançada de Baixa Potência Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 7 Séries CMOS: Portas Lógicas 4/4 (foram as primeiras séries da família CMOS) 74C (compatível, pino a pino e função por função, com os dispositivos TTL) 74HC (CMOS de Alta Velocidade) 74HCT (os dispositivos 74HCT - CMOS de Alta Velocidade d - podem ser alimentados directamente por saídas de dispositivos iti TTL) Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 8

10 Famílias lógicas Famílias lógicas comerciais (resumo) Electrónica digital: ECL, TTL e CMOS Família Alimentação Lógico Lógica [V] [V] [V] ECL -5,2 -,95 a -,7 -,9 a -,6 TTL 5±,25 2,5 a 5 a,4 CMOS V = 3 a 8 V a,5 Família Dissipação atraso I entrada I saída [mw] [ns] [ma] [ma] ECL 25 a 4 a 2, a,5 4 TTL,3 a 8 3 a, a,6 8 a 2 CMOS,25 3 a 2 8 a 24 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 9 Portas Lógicas Cada d operação lógica estudada d na Álgebra de Boole está associada a uma respectiva porta lógica Porta OR - Função Adição Lógica (OU) + A B S _ Símbolo da porta circuito eléctrico equivalente Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 2

11 Portas Lógicas Porta OR - Função Adição Lógica OU - circuito integrado da família TTL 7432 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 2 Portas Lógicas Porta AND - Função Produto Lógico (E) S = A. B + A B S _ Símbolo da porta circuito eléctrico equivalente Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 22

12 Álgebra Booleana Porta t lógica E (Família TTL 748) Diagrama de pinos da porta 748 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 23 Portas Lógicas Porta P t lógica NOT (Função Negação Lógica - Complemento) F =A A A Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 24

13 Portas Lógicas Porta t NOT (Função Negação Lógica) Circuito integrado NOT da família TTL 744 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 25 Portas Lógicas Função NÃO-E (NAND) Y = A.B Símbolo da porta Tabela de Verdade Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 26

14 Portas Lógicas Função NÃO-OU OU (NOR) Y = A + B Símbolo da porta Tabela de Verdade Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 27 Portas Lógicas Função OU exclusivo (XOR) Y = A.B + A.B Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 28

15 Portas Lógicas Função OU exclusivo (XOR) Y = A.B + A.B Símbolo da porta Tabela de Verdade Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 29 Portas Lógicas Função Equivalência EXclusive NOR (XNOR) Y = A.B + A.B = A.B + A.B Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 3

16 Portas Lógicas Função Equivalência EXclusive NOR (XNOR) Símbolo da porta Tabela de Verdade Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 3 Portas Lógicas Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 32

17 Portas Lógicas Exemplos de portas lógicas da família TTL disponíveis comercialmente sob a forma de circuitos i integrados Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 33 Portas Lógicas Um computador é constituído por uma infinidade de circuitos lógicos, que executam as seguintes funções básicas: a) realizam operações matemáticas b) controlam o fluxo de sinais c) armazenam dados Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 34

18 Representação de Funções Lógicas Definição i de uma função lógica através da Tabela de Verdade d Expressão algébrica da função Representações possíveis: Produto de Somas lista todas as combinações das variáveis i de entrada para as quais a função de saída vale Soma de Produtos lista todas as combinações das variáveis de entrada para as quais a função de saída vale Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 35 Soma de Produtos Termo mínimo = termo produto no qual cada variável aparece complementada (se bit da tabela = ) ounão(sebitdatabela= tabela ) X Y Z Termo produto Termo mínimo X Y Z m X Y Z m X Y Z m2 X Y Z m3 X Y Z m4 X Y Z m5 X Y Z m6 X Y Z m7 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 36

19 Produto de Somas Termo máximo = termo soma no qual cada variável aparece complementada (se bit da tabela = ) ou não (se bit da tabela = ) X Y Z Termo soma Termo máximo X + Y + Z M X + Y + Z M X + Y + Z M2 X + Y + Z M3 X + Y + Z M4 X + Y + Z M5 X + Y + Z M6 X+Y+Z + M7 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 37 Notações Soma de Produtos X Y Z F F = XYZ + XYZ + XYZ + XYZ = m + m2 + m5 + m7 = Σm(,2,5,7) Produto de Somas F = (X + Y + Z).(X + Y + Z).(X + Y + Z).(X + Y + Z) = M. M3. M4. M6 = Π M(346) M(,3,4,6) Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 38

20 Simplificação de Expressões Booleanas Técnica utilizada para economizar componentes, tornar o circuito mais rápido, mais simples de fabricar e de efectuar a sua manutenção, para além de diminuir i i a sua dimensão e complexidade de Tipos: Propriedades da Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 39 Postulados da Álgebra Booleana Identidades Booleanas A+=A A () A. = (5) A=A A (9) A + = (2) A. = A (6) A+A A = (3) A. A = (7) A + A = A (4) A. A = A (8) Propriedade Comutativa A + B = B + A () A. B = B. A () Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 4

21 Regras da Álgebra de Boole Resumo das regras da Álgebra de Boole I A+B = B+A A.B = B.A Comutatividade III A+ = A A A. = II A+ = A A. = A Elemento neutro Elemento absorvente IV A+A = A.A = Operação entre complementares V A = A Negação da negação Regras da Álgebra de Boole VI A+A.B = A A.(A+B) = A VII A+B = A.B AB A.B = A+B VIII A+(B+C) = (A+B)+C A.(B.C) = (A.B).C IX A.(B+C) = A.B+A.C A+(B.C) = (A+B).(A+C) Absorção Teoremas Leis de De de Morgan Ordem da operação irrelevante Distributividade Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 4 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana Simplificação analítica de funções Utilizando de uma forma adequada as regras desta álgebra, é possível simplificar as funções lógicas até um estado de minimização Exemplo de aplicação S = A.B.C ABC+ABC+ABC+ABC +A.B.C +A.B.C +A.B.C S = A.B.(C + C) +A.B.(C + C) S = A.B+A.B = A.(B+B) S = A Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 42

22 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana F = ABC + ABC + ABC + ABC Pela prop. (4), A (B + C) = A B + A C F = AB(C + C) + ABC + ABC Pela prop. (4), C + C = F = A B + AB C+ ABC Pela prop. (6), A B = A B F = AB + ABC + ABC Soma de Produtos simplificada Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 43 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana O termo AB C poderia ter sido simplificado com o termo ABC F = ABC + ABC + ABC + ABC Utilizando a propriedade (3), pode-se realizar a seguinte operação: ABC = ABC+ ABC Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 44

23 Simplificação pelos Postulados da Álgebra Booleana F = ABC+ ABC+ ABC+ ABC+ ABC Pela prop. (3),ABC = AB C + AB C Pela prop. (4) F = AB(C+ C)+ ABC+ (A + A)BC Pela prop. (4) F = A B + AB C+ BC F = AB + ABC+ BC Pela prop. (6) soma de produtos simplificada (mínima, no caso) Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 45 Circuito it Lógico F = ABC + ABC + ABC + ABC (Função não simplificada) o nível 2o nível A B C Complexidade: 4x3 + x4 = 6 F Soma de termos mínimos Circuito com (lógica de) 2 níveis Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 46

24 Circuito Lógico - Expressão Simplificada F = AB + ABC + BC (Função simplificada) o nível 2o nível A B Complexidade: 2x2 + 2X3 = C F Soma de produtos (simplificada) Circuito com (lógica de) 2 níveis Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 47 Simplificação por Mapa de Karnaugh Cada célula corresponde a um termo mínimo Representa a função como soma de produtos Para 2 variáveis X Exemplo: Y Y XY m XY m XY m2 XY m3 X F = Σm(,2,3) = XY + XY + XY Y Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 48

25 Simplificação por Mapa de Karnaugh Simplificação algébrica é de difícil manipulação Não garante a obtenção da solução mais simples Simplificação por mapa de Karnaugh fornece uma forma visual de simplificação Baseia-se i na identificação ifi de produtos vizinhos adjacentes Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 49 Simplificação por Mapa de Karnaugh Mapa com 2 variáveis i Y X m m2 m m3 região onde Y = região onde X = Tem-se 2 n combinações 2 = 2 3 = 8 2 = =4 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 5

26 Simplificação por Mapa de Karnaugh Mapa com 3 variáveis i Z XY m m2 m6 m m3 m7 m4 m5 Agrupar bit da linha com bits da coluna para identificar o termo mínimo Termos mínimos não seguem a ordem crescente => útil para simplificação 2 células vizinhas (adjacentes): Termos mínimos diferem por uma variável m6 e m7 XYZ XYZ A única diferença é em Z Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 5 Simplificação por Mapa de Karnaugh Atenção à vizinhança entre células XY m m2 m6 m4 m m3 m7 m5 m m2 Z m4 m6 Região com 2 células adjacentes => podem agrupar-se de modo a dar um termo com duas variáveis Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 52

27 Simplificação por Mapa de Karnaugh Mapa com 3 variáveis Exemplo de simplificação Z XY F = Σm(,3,4,6) F=XZ+XZ Z XY F = Σm(,5,6,7) F = XY + YZ Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 53 Simplificação por Mapa de Karnaugh Mapa com 4 variáveis i WZ XY m m4 m2 m8 m m5 m3 m9 m3 m7 m5 m m2 m6 m4 m Notar as adjacências através das quadrículas contíguas m m8 m m4 m m9 m4 m5 Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 54

28 Simplificação por Mapa de Karnaugh célula isolada região com 2 células região com 4 células região com 8 células Exemplo de simplificação XY WZ X termo com 4 variáveis termo com 3 variáveis termo com 2 variáveis termo com variável Y W YZ F = X + YW + YZ Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 55 Simplificação por Mapa de Karnaugh Desvantagem do método de Karnaugh: Mapas com mais de 4 variáveis tornam-se difíceis de manipular e simplificar Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 56

29 Opcionais i Don t Cares Definições: Entrada: é indiferente o valor da entrada para determinar o valor na saída Saída : nãoimportaovalordasaída o gerado por uma determinada combi- nação de entradas Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 57 Funções com Saídas não Especificadas A B C D F X X X X X X Valor da saída não precisa ser especificado (don t care = X ou Φ) Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 58

30 Simplificação com opcionais i CD AB X X X X X X X pode ser ou => o que for mais conveniente para simplificar a função F = AB + AB Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 59 Exemplo de aplicação Tabela de Verdade de uma função booleana Qual a expressão desta função? Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 6

31 Exemplo de aplicação Mapa de Karnaugh e circuito lógico da função Y C A B ( A B ) Y = C + A + B = C + A + B = C. + Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 6 Exemplo de aplicação Problema: Considere-se se o tanque no qual deve soar um alarme (variável D) desde que determinadas combinações de variáveis A, B, C se verifiquem (A - nível; B - pressão, C temperatura). Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 62

32 Exemplo de aplicação As condições de alarme, são:.nível baixo (A) e pressão alta (B) 2.Nível alto (A) e temperatura alta (C) 3.Nível alto (A), pressão alta (B) e temperatura baixa (C) Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 63 Exemplo de aplicação Resolução: Condição) Condição 2) D = A.B D = AC A.C Condição 3) D = A.B.C D = A.B + A.C + A.B.C D = A.B + A.C + A.B.C = (A.B).(A.C).(A.B.C) Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 64

33 Exemplo de aplicação Circuito lógico com NANDS Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 65 Exemplo de aplicação A B C D D C AB D = B + A.C Solução mais simples Sugestão: implemente a equação com NANDs e NORs Luis Filipe Baptista ENIDH/DEM 66