04 Simplificação de funções lógicas. v0.1
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- Anna Figueiroa Bento
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1 4 Simplificação de funções lógicas v.
2 Introdução Funções lógicas podem ter muitas variáveis e assim ser muito complexas Podemos simplificá-las analiticamente mas poderá não ser uma tarefa fácil Existem métodos sistemáticos de simplificação que facilitam a tarefa Neste capítulo veremos um deles: os mapas de Karnaugh November 23 Sistemas Digitais 2
3 Construção do mapa I O mapa de Karnaugh é construído arranjando os mini termos de uma SOP numa tabela de duas dimensões O mapa de Karnaugh mais simples consiste em 2 variáveis Seja a SOP: Podemos obter a tabela de verdade: E o mapa de Karnaugh: O software utilizado para resolver este mapa está acessível em: November 23 Sistemas Digitais 3
4 Construção do mapa II Para a função de 3 variáveis, expressa numa SOP F(a,b,c) = Temos 4 entradas na tabela de verdade com o valor, uma para cada produto da expressão. Esta entradas correspondem aos mini termo m, m2, m3 e m4:. November 23 Sistemas Digitais 4
5 Construção do mapa III Para a função de 3 variáveis, expressa numa SOP F(a,b,c) = Podemos converter a tabela no mapa de Karnaugh representando os mini termos nas posições do mapa correspondentes aos valores de a, b e c:. a c b November 23 Sistemas Digitais 5
6 Construção do mapa IV Para a função de 3 variáveis, expressa numa SOP F(a,b,c) = Repare-se que o mapa de Karnaugh é construído com o código de Gray, isto é binário refletido:. a c b November 23 Sistemas Digitais 6
7 Construção do mapa V Para a função de 3 variáveis, expressa numa SOP F(a,b,c) = Podemos colocar o valor decimal em cada casa do mapa: (Assim podemos da tabela colocar os mini termos nas posições indexadas). a c b November 23 Sistemas Digitais 7
8 Construção do mapa VI Para a função de 3 variáveis, expressa numa SOP F(a,b,c) = m m2 m3 m4 Se a SOP estiver na forma canónica podemos preencher o mapa sem ajuda da tabela:. a c b November 23 Sistemas Digitais 8
9 Construção do mapa VI Para a função de 3 variáveis, expressa numa SOP F(a,b,c) = m m2 m3 m4 Se a SOP não estiver na forma canónica podemos colocá-la fazendo a tabela de verdade para obter os mini termos (ou obtê-los analiticamente). a c b November 23 Sistemas Digitais 9
10 Simplificação I Para simplificar agrupam-se conjuntos de s Os grupos podem ter a dimensão: 2, 4, 8, Um pode pertencer a dois grupos diferentes. a c b November 23 Sistemas Digitais
11 Simplificação II Cada grupo de s indica uma parcela (ou produto) da SOP simplificada As variáveis dessa parcela são as que não variam ao longo do grupo: _ Para o grupo a vermelho a parcela é: ac a é constante com o valor c é constante com o valor b varia de para. a c b November 23 Sistemas Digitais
12 Simplificação III Cada grupo de s indica uma parcela (ou produto) da SOP simplificada As variáveis dessa parcela são as que não variam ao longo do grupo: _ Para o grupo a azul a parcela é: ab a é constante com o valor b é constante com o valor c varia de para. a c b November 23 Sistemas Digitais 2
13 Simplificação IV Cada grupo de s indica uma parcela (ou produto) da SOP simplificada As variáveis dessa parcela são as que não variam ao longo do grupo: Para o isolado todas as variáveis são constantes: abc a é constante com o valor b é constante com o valor c é constante com o valor. a c b November 23 Sistemas Digitais 3
14 Simplificação V Cada grupo de s indica uma parcela (ou produto) da SOP simplificada As variáveis dessa parcela são as que não variam ao longo do grupo: A expressão simplificada é: ac + ab + abc. a c b November 23 Sistemas Digitais 4
15 Simplificação VI As variáveis que mudam num grupo são eliminadas Num grupo de 2 s só muda variável Corresponde a eliminar duas parcelas onde as variáveis são idênticas com exceção de uma que é a negação: abc + abc = ab (c+c) = ab Num grupo de 4 s mudam 2 variáveis Corresponde a eliminar quatro parcelas onde as variáveis são idênticas com exceção de duas que são a negação: abcd + abcd +abcd + abcd = ab (c+c) (d+d)= ab November 23 Sistemas Digitais 5
16 Construção e simplificação de mapas maiores I Um mapa de Karnaugh de 4 variáveis toma a forma: a,b e c,d são construídas com código binário refletido (Gray). November 23 Sistemas Digitais 6
17 Construção e simplificação de mapas maiores II Um mapa de Karnaugh de 4 variáveis toma a forma: a,b e c,d são construídas com código binário refletido (Gray) Desta forma deslocando-nos de um ponto para outro em qualquer direção apenas uma variável muda O mesmo sucede ao atravessar as margens November 23 Sistemas Digitais 7
18 Construção e simplificação de mapas maiores III Assim o mapa de Karnaugh pode ser visto como a superfície de um toro November 23 Sistemas Digitais 8
19 Construção e simplificação de mapas maiores IV Exemplo : November 23 Sistemas Digitais 9
20 Construção e simplificação de mapas maiores IV Exemplo 2: November 23 Sistemas Digitais 2
21 Construção e simplificação de mapas maiores IV Exemplo 3: November 23 Sistemas Digitais 2
22 Construção e simplificação de mapas maiores V Para 5 variáveis teríamos 2 quadros (2 5 =32 quadrículas ou combinações possíveis) Nota: não considerar os grupos, serve apenas para exemplificar o número de quadros! November 23 Sistemas Digitais 22
23 Construção e simplificação de mapas maiores VI Exemplo 4: A simplificação para cada grupo (6 produtos da SOP): a, b, c, d, e, f November 23 Sistemas Digitais 23
24 Construção e simplificação de mapas maiores VII Para 7 variáveis teríamos 8 quadros (2 7 =28 quadrículas ou combinações possíveis) Nota: não considerar os grupos, serve apenas para exemplificar o número de quadros! November 23 Sistemas Digitais 24
25 Implementações I November 23 Sistemas Digitais 25
26 Implementações I November 23 Sistemas Digitais 26
27 Implementações II November 23 Sistemas Digitais 27
28 Implementações II November 23 Sistemas Digitais 28
29 Implementações II November 23 Sistemas Digitais 29
30 Implementações II November 23 Sistemas Digitais 3
31 Implementações II November 23 Sistemas Digitais 3
32 Implementações II Pondo em evidência o b temos Este circuito tem o mesmo número de portas mas mais um estágio (passa de 2 para 3) Como cada estágio tem um atraso, por exemplo ns, é mais lento que o anterior: 3ns quando o anterior 2 ns November 23 Sistemas Digitais 32
33 Implementações II Também podemos desenvolver: Este circuito tem menos uma porta Mas agora precisamos de um XOR O que quer dizer que precisamos de 2 chips um com XOR e outro com ANDs Quando projetamos hardware devemo reduzir os chips ao máximo November 23 Sistemas Digitais 33
34 Implementações II Também podemos desenvolver como: Este circuito tem o mesmo número de portas O mesmo número de estágios Mas agora apenas um tipo de portas: NAND Precisamos apenas de chip November 23 Sistemas Digitais 34
35 Simplificação em POS I Já vimos que para função de 3 variáveis, expressa na SOP: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) F(a, b, c) = A SOP simplificada é: ac + ab + abc. a c b November 23 Sistemas Digitais 35
36 Simplificação em POS II Já vimos que para função de 3 variáveis, expressa na SOP: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) F(a, b, c) = E se quiséssemos a POS simplificada? Poderíamos agrupar os mini-termos não existentes, isto é os s do mapa: a c b November 23 Sistemas Digitais 36
37 Simplificação em POS III Já vimos que para função de 3 variáveis, expressa na SOP: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) F(a, b, c) = Tirando os produtos dos mini termos com s, teríamos: F = a b c + a b + a c a c b November 23 Sistemas Digitais 37
38 Simplificação em POS IV Já vimos que para função de 3 variáveis, expressa na SOP: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) F(a, b, c) = Como a expressão retirada dos s é o complemento : _ F = a b c + a b + a c a c b November 23 Sistemas Digitais 38
39 Simplificação em POS IV Já vimos que para função de 3 variáveis, expressa na SOP: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) F(a, b, c) = Como a expressão retirada dos s é o complemento : _ F = a b c + a b + a c a c b November 23 Sistemas Digitais 39
40 Simplificação em POS V Já vimos que para função de 3 variáveis, expressa na SOP: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) F(a, b, c) = a POS é: F(a, b, c) = (a + b + c) (a + b)(a + c) a c b November 23 Sistemas Digitais 4
41 Simplificação de POS em SOP I Se a função for dada numa POS e desejar-se simplificar numa SOP obtemos a SOP e simplificamos: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) Não mini termos = 7-, 7-2, 7-3, 7-4 = 6, 5, 4, 3 mini termos =,, 2, 7 = (,, 2, 7) (POS) a c b November 23 Sistemas Digitais 4
42 Simplificação de POS em SOP II Se a função for dada numa POS e desejar-se simplificar numa SOP obtemos a SOP e simplificamos: F(a, b, c) = (, 2, 3, 4) Não mini termos = 7-, 7-2, 7-3, 7-4 = 6, 5, 4, 3 mini termos =,, 2, 7 = (,, 2, 7) (POS) _ F(a, b, c) = a c + a b + a b c (POS simplificada) a c b November 23 Sistemas Digitais 42
43 Termos indiferentes (don t cares) I Numa função lógica, cada combinação dos valores das variáveis é atribuído um valor lógico: Falso Verdade No entanto é possível que algumas combinações nunca ocorram dependendo de outras condições Nestes casos podemos assumir arbitrariamente ou Isto pode levar a mais simplificações Veja-se o exemplo da implementação 2 já mostrada com 2 termos indiferentes expressos na SOP sublinhados ( 5 e 3). November 23 Sistemas Digitais 43
44 Termos indiferentes (don t cares) II X X No mapa de Karnaugh os termos indiferentes são colocados com X November 23 Sistemas Digitais 44
45 Termos indiferentes (don t cares) II T = b + d Considerando que ambos os termos indiferentes são, temos dois blocos de 8 s, logo: T = b + d November 23 Sistemas Digitais 45
46 Termos indiferentes (don t cares) III T = b + d Agrupando os s temos esta simplificação. Nota: O resultado é equivalente, mas nem sempre é o mesmo! November 23 Sistemas Digitais 46
47 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma disjuntiva (SOP) November 23 Sistemas Digitais 47
48 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma disjuntiva (SOP) November 23 Sistemas Digitais 48
49 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma disjuntiva (SOP) November 23 Sistemas Digitais 49
50 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma disjuntiva (SOP) November 23 Sistemas Digitais 5
51 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma conjuntiva (POS) November 23 Sistemas Digitais 5
52 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma conjuntiva (POS) November 23 Sistemas Digitais 52
53 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma conjuntiva (POS) November 23 Sistemas Digitais 53
54 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma conjuntiva (POS) November 23 Sistemas Digitais 54
55 Termos indiferentes (don t cares) IV T = b + d Forma conjuntiva (POS) November 23 Sistemas Digitais 55
56 Exemplo BCD -> Decimal I 4 Linhas de input para o BCD: x3 a x Dez linhas de saída, uma para cada valor decimal 6 Linhas que não são utilizadas (decimal a 5) indiferentes November 23 Sistemas Digitais 56
57 Exemplo BCD -> Decimal II A saída para a linha 7: November 23 Sistemas Digitais 57
58 Exemplo BCD -> Decimal III A saída para a linha 7: Não usando o termo indiferente seria mais complexa November 23 Sistemas Digitais 58
59 Exemplo BCD -> Decimal IV A saída para a linha 6 November 23 Sistemas Digitais 59
60 Exemplo BCD -> 7 Segment I 4 Linhas de input para o BCD: x3 a x 7 saídas uma para cada segmento Para o segmento de topo: November 23 Sistemas Digitais 6
61 Exemplo BCD -> 7 Segment II Temos de fazer um mapa para cada segmento (é um circuito independente) Para o segmento de topo: x November 23 Sistemas Digitais 6
62 Exemplo BCD -> 7 Segment II Temos de fazer um mapa para cada segmento (é um circuito independente) Para o segmento de topo: x + x3 November 23 Sistemas Digitais 62
63 Exemplo BCD -> 7 Segment II Temos de fazer um mapa para cada segmento (é um circuito independente) Para o segmento de topo: x + x3 + x x2 November 23 Sistemas Digitais 63
64 Exemplo BCD -> 7 Segment II Temos de fazer um mapa para cada segmento (é um circuito independente) Para o segmento de topo: x + x3 + x x2 + x x2 November 23 Sistemas Digitais 64
65 Exemplo BCD -> 7 Segment II Temos de fazer um mapa para cada segmento (é um circuito independente) Para o segmento de topo: x + x3 + (x x2) November 23 Sistemas Digitais 65
66 Hazards em circuitos combinatórios I Devido aos atrasos nos componentes electrónicos, um circuito pode originar um glitch Um glitch é uma variação de curta duração no valor duma saída, quando não se espera nenhuma variação Designa-se de hazard a situação em que existe a possibilidade de o circuito gerar um glitch.
67 Hazards em circuitos combinatórios II No caso de um inversor (mas aplica-se a qq tipo de portas) Se a entrada muda de para A saída muda de para mas com um atraso T na ordem dos xx ns
68 Hazards em circuitos combinatórios III O atraso pode ser quase igual para portas diferentes, mas não exatamente igual Além disso podem existir caminhos diferentes, com um número de portas diferentes Onde diferenças de atrasos n T podem ocorrer:.
69 Hazards em circuitos combinatórios IV Existem vários tipos de Hazards hazard estático quando existe a possibilidade de uma saída sofrer uma transição momentanea Saída esperada Hazard.
70 Hazards em circuitos combinatórios V Existem vários tipos de Hazards hazard dinâmico quando for possível uma saída mudar mais do que uma vez Saída esperada Hazard.
71 Hazards em circuitos combinatórios VI hazard (lógico) num (ou ) estático: um par de combinações de entradas que diferem apenas numa variável de entrada (X e Y no diagrama abaixo, Z é a mesma) em que ambas produzem (ou ) na saída hazard quando X= e Y= e Z transita de para
72 Hazards em circuitos combinatórios VII Os métodos usados para eliminar hazards consideram que apenas uma entrada varia em cada instante. Num mapa de Karnaugh equivale a efectuar um deslocamento através de células vizinhas hazard quando X=Y= e Z transita de para
73 Hazards em circuitos combinatórios VIII Neste mapa não há um termo de produto que cubra ambas as combinações XYZ= e XYZ= é possível que seja gerado um glitch a na saída (se o AND que muda para o fizer antes do AND que muda para ) hazard quando X=Y= e Z transita de para
74 Hazards em circuitos combinatórios IX Solução: incluir um mini-termo extra (uma porta AND) que liga os dois grupos (Temos mais o mini termo XY) hazard quando X=Y= e Z transita de para
75 Hazards em circuitos combinatórios X Solução: incluir um mini-termo extra (uma porta AND) que liga os dois grupos (Temos mais o mini termo XY) hazard quando X=Y= e Z transita de para
76 Hazards em circuitos combinatórios XI Como X e Y não mudam, apenas Z muda o mini termo XY mantém F no nível quando Z muda A desvantagem é que é necessária mais uma porta hazard quando X=Y= e Z transita de para
77 Hazards em circuitos combinatórios XII ab= c muda de para November 23 Sistemas Digitais 77
78 Hazards em circuitos combinatórios XIII O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável AC BC November 23 Sistemas Digitais 78
79 Hazards em circuitos combinatórios XIII O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável Entrada NOT muda mas saída ainda não e tb AC (atraso) AC BC November 23 Sistemas Digitais 79
80 Hazards em circuitos combinatórios XIII O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável Entrada NOT muda mas saída ainda não e tb não AC (atraso) Saída NOT e AC mudam mas não BC (atraso) AC BC GLITCH November 23 Sistemas Digitais 8
81 Hazards em circuitos combinatórios XIII O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável Entrada NOT muda mas saída ainda não e tb não AC (atraso) Saída NOT e AC mudam mas não BC (atraso) Saída BC muda F= (voltou ao valor esperado) AC BC November 23 Sistemas Digitais 8
82 Hazards em circuitos combinatórios XVI Solução: Adicionar um mini termo (AND) extra na transição ab= c muda de para November 23 Sistemas Digitais 82
83 Hazards em circuitos combinatórios XVI Como as variáveis A e B não mudam a saída de AB mantêm-se a e faz com q F tb durante o glitch ab= c muda de para AB AC BC November 23 Sistemas Digitais 83
84 Hazards em circuitos combinatórios XVII Nota: a transição de para quando as outras variáveis são não provoca o glitch ab= c muda de para November 23 Sistemas Digitais 84
85 Hazards em circuitos combinatórios XVII Nota: a transição de para quando as outras variáveis são não provoca o glitch O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável AC BC November 23 Sistemas Digitais 85
86 Hazards em circuitos combinatórios XVII Nota: a transição de para quando as outras variáveis são não provoca o glitch O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável Entrada NOT muda mas saída ainda não e tb AC (atraso) AC BC November 23 Sistemas Digitais 86
87 Hazards em circuitos combinatórios XVII Nota: a transição de para quando as outras variáveis são não provoca o glitch O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável Entrada NOT muda mas saída ainda não e tb não AC (atraso) Saída NOT e AC mudam mas não BC (atraso) Mas não há GLITCH pq AC muda para e BC ainda é AC BC November 23 Sistemas Digitais 87
88 Hazards em circuitos combinatórios XVII Nota: a transição de para quando as outras variáveis são não provoca o glitch O atraso no inversor causa um glitch c c Situação já estável Entrada NOT muda mas saída ainda não e tb não AC (atraso) Saída NOT e AC mudam mas não BC (atraso) Saída BC muda Função mantém sempre saída AC BC November 23 Sistemas Digitais 88
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