FUNDAMENTOS DE LÓGICA PARA ADMINISTRAÇÃO. André Luiz Galdino

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1 FUNDAMENTOS DE LÓGICA PARA ADMINISTRAÇÃO André Luiz Galdino

2 SUMÁRIO 1. Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Tabelas Verdade Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia Implicação e Equivalência Tautológica 27

3 1. Noções de Lógica Matemática Da mesma forma que um feirante pode fazer inúmeras e variadas contas de porcentagem, sem ao menos ter tido contato com a definição formal e propriedades do que venha ser porcentagem, as vezes usamos um conceito (palavra) sem ao menos saber de onde, o porque e como ele surgiu. Por exemplo, quem nunca ouviu uma frase do tipo: Isso não tem lógica! Será que, na maioria das vezes, quem pronuncia a referida frase sabe o que significa lógica num sentindo geral ou específico da palavra? Então, fica a pergunta: o que significa lógica? Se for realizada uma pequena pesquisa num dicionário você poderá encontrar algo como: Lógica: 1 Modo de raciocinar tal como de fato se exerce: Lógica natural. 2 Filos Estudo que tem por objeto determinar quais as operações que são válidas e quais as que não o são: [...] L. matemática: o mesmo que lógica simbólica. L. simbólica: ciência do desenvolvimento e representação de princípios lógicos mediante símbolos, a de constituir um cânone exato de dedução, baseado em ideias primitivas, postulados e regras de formação e transformação; também chamada lógica matemática. (Dicionário Michaelis) No século IV a.c. Aristóteles sistematizou o estudo das condições em que podemos afirmar que um dado raciocínio é correto como Lógica. Em outras palavras, a ógica constituiu-se como uma ciência autônoma para estudar o pensamento humano e distinguir inferências e argumentos certos e errados. No entanto, ao longo da história muitas são as definições dadas à palavra lógica. Uns definem a lógica como sendo a Ciência das leis do pensamento. Porém, outros acreditam que uma definição mais adequada é: A lógica é uma ciência do raciocínio. De um modo geral, vamos assumir como definição de lógica a ciência que estuda as formas ou estruturas do pensamento. Dentre as muitas contribuições de Aristóteles para a criação e o desenvolvimento da lógica, como a conhecemos hoje, citamos a criação de termos fundamentais para analisar a lógica do discurso. A saber, Válido, Não Válido, Contraditório, Universal, Particular. Porém, aquela lógica aristotélica possuía limitações as quais impediam o avanço da ciência, como por exemplo, baseava-se no uso da linguagem natural e, isto por sua vez, levava a confusões que envolvia o sentido das palavras. Com o intuito de transpor tais limitações Gott- 3

4 fried Wilhelm Leibniz ( ) apresentou uma nova lógica baseada no princípio de notação universal e artificial, bem como num cálculo de signos. E a partir daí, com as diversas contribuições de estudiosos tal como Gottlob Frege,Giuseppe Peano, Bertrand Russel e George Boole a lógica foi se transformando até se tornar uma álgebra/cálculo com uma nova linguagem simbólica, chamada lógica matemática. Em outras palavras, a lógica tornou-se o que de fato vemos hoje, um sistema completo de símbolos e regras de combinação desses símbolos para obter conclusões válidas. 1.1 Cálculo Proposicional O objetivo da lógica proposicional é modelar o raciocínio, tendo como base frases declarativas, as quais chamamos de proposições. De outra forma, a lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Ou ainda, como construir a partir de um certo conjunto de hipóteses, verdadeiras num determinado contexto, uma demonstração (prova) de que uma determinada conclusão é verdadeira no mesmo contexto. Sendo um dos exemplos mais simples de lógica formal, a lógica proposicional considera apenas a forma das proposições e se elas são verdadeiras ou falsas. Porém, contém praticamente todos os conceitos importantes necessários para o estudo de outras lógicas complexas. Neste sentido, um cálculo proposicional consiste em: (1) um conjunto de símbolos primitivos, definidos como fórmulas atômicas, proposições atômicas, ou variáveis; (2) um conjunto de operadores, interpretados como operadores lógicos ou conectivos lógicos. Sendo assim, iniciamos por apresentar o conceito de proposição, que é usado num sentido técnico. Definição 1.1. Por uma proposição queremos dizer uma declaração que é verdadeira ou falsa, mas não ambos. Definição 1.2. O valor verdade, ou valor lógico, de uma proposição é o estado que indica se a proposição é verdadeira ou falsa. Sendo assim o valor verdade será: Verdadeiro (V), quando se trata de uma proposição verdadeira ou Falso (F), quando se trata de uma proposição falsa. De fato, o importante não é o valor verdade, V ou F, que as proposições possam assumir num determinado contexto interpretativo, mas a possibilidade de que em princípio seja possível atribuir um valor verdade a elas, e que seja possível raciocinar com tais proposições. Em outras palavras, não é necessário que saibamos se a proposição é verda- 4

5 deira ou falsa, a única exigência é que ela deve ser definitivamente uma coisa ou outra. Sendo assim, assumimos os seguintes princípios: Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades (valores lógicos), isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor. Exemplo 1.3. Cada uma das seguintes frases é uma proposição: 1) Goiânia é uma cidade no estado de Goiás. 2) é 5. 3) A lua e feita de caramelo. 4) Não há vida inteligente em Saturno. 5) Está nevando. 6) -1 é raíz da equação x 2 x + 1 = 0. 7) As pirâmides do Egito são feitas de gelo. 8) Tinha um mosquito na Arca de Noé. 9) Todo gato é um felino. Claramente, (a) e (i) são verdadeiras, enquanto (b), (c), (f) e (g) são falsas. Podemos ter dúvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de (d) e (h). A veracidade ou falsidade da sentença (e) depende do local e das condições meteorológicas no instante em que essa declaração é feita. Exemplo 1.4. As frases seguintes não são proposições, porque não faz sentido questionar se alguma delas é verdadeira ou falsa. 1) Vamos a praia! 2) Tudo bem com você? 3) Que horas são? 4) Bom dia! É fácil notar que as proposições, geralmente, expressam a descrição de uma realidade e que representa uma informação enunciada por uma oração e, portanto, pode ser expressa de maneiras diferentes. Por exemplo: Gabriela é maior que Letícia. ou Letícia é menor que Gabriela. 5

6 Exercícios Propostos Determine se cada uma das seguintes sentenças é uma proposição. 1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande do Sul. 2. Aristóteles tinha pés chatos. 3. O socialismo está errado. 4. O homem mais rico do mundo é o Sr. Astrônio, de Terra Roxa. 5. O filme fogo contra fogo é bom. 6. x 2 = 1 7. Joana e Pedro são pessoas boas. 8. Eu estou usando facebook. 9. Quanto vale este carro? 10. Saia da grama. 11. (x + y) 2 = x 2 + y Use sempre cinto de segurança. 13. Beethoven escreveu algumas das músicas de Chopin. 14. Não minta! 15. Existe vida inteligente na lua. 16. Ela não é ciumenta. 17. Dentre as proposições dadas anteriormente, indique aquelas que você acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F), e aquelas cujo status pode ser difícil determinar. 6

7 Definição 1.5. As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo 1.6. Fique atento à estrutura das seguintes proposições universais. 1) Todos os homens são mentirosos. Esta proposição é universal afirmativa. 2) Toda regra é certa. Esta proposição é universal afirmativa. 3) Nenhum homem é mentiroso. Esta proposição é universal negativa. 4) Nenhuma bola é quadrada. Esta proposição é universal negativa. Na Definição 1.5 incluímos o caso, universal, em que o sujeito é unitário. 5) A vaca berra. 6) O filho tem mãe. 7) Açucar é doce. 8) Peixe nada. Definição 1.7. As proposições existenciais são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo 1.8. Fique atento à estrutura das seguintes proposições existenciais. 1) Alguns homens são mentirosos. Esta proposição é existencial afirmativa. 2) Alguns homens não são mentirosos. Esta proposição é existencial negativa. 3) Alguns alunos não são estudiosos. Esta proposição é existencial negativa. 4) Alguns professores são bons educadores. Esta proposição é existencial negativa. Uma pergunta natural que surge aqui é: Quantos elementos são necessários para caracterizar alguns? Em matemática e, consequentemente, em lógica alguns significa pelo menos um. 7

8 Exercícios Propostos Verifique quais das seguintes são proposições universais, existenciais, afirmativas ou negativas. 1. Todos os homens de bigode são preguiçosos. 2. Nenhum pedreiro é eletricista. 3. Alguns peixes respiram ar. 4. Algum estudante tem uma camisa azul. 5. Todo ser humano é mortal. 6. Todos os quadrados tem quatro lados. 7. Alguns números reais são racionais. 8. Nenhum cachorro mia. 9. Todo número entre 0 e 1 é menor que Alguns homens são criminosos. 11. Nenhuma mulher é ciumenta. 12. Todos os dias são ensolarados. 13. Nenhuma mulher deve apanhar de um homem. 14. Nenhum homem deve bater em uma mulher. 15. Todas as crianças estão brincando. 16. Algumas palavras ferem. 17. Todas as provas de matemática são difíceis. 18. Todo advogado é cruel. 8

9 Como vimos anteriormente, proposição é simplesmente um enunciado verbal que pode ser verdadeiro ou falso. Além disso, uma proposição pode ser simples ou composta. Definição 1.9. Uma proposição simples é toda sentença que contém apenas uma única frase afirmativa. Exemplo Todas as proposições que vimos até o momento são simples. Ademais temos: 1) O gato é pequeno. 2) O cachorro é bravo. 3) x 2 = 1. 4) O carro é vermelho. 5) Esse exemplo é sobre lógica. 6) y = 0 Definição Uma proposição composta é toda sentença formada por duas ou mais proposições. A pergunta que surge naturalmente é: Tudo bem! Entendi a definição, mas como vou construir proposições compostas? A resposta a essa pergunta é simples. Para construir proposições compostas usamos as palavras e, ou, Se..., então e se, e somente se, chamadas conectivos. Sabemos ainda que existem palavras que modificam o sentido de uma frase. Por exemplo, a palavra não. Quando usamos a palavra não o resultado é a negação da frase original. Por exemplo, se temos a frase: A terra é um planeta. Com a palavra não teremos a negação desta frase, que é, A terra não é um planeta. Exemplo Considerando as proposições simples dadas no Exemplo 1.10, dentre outras, podemos construir as seguintes proposições compostas: 1) O gato é pequeno e o cachorro é bravo. 2) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo. 3) Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gato não é pequeno. 4) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo. 5) O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo. 9

10 6) Se x 2 = 1, então x = 1 ou x = 1. 7) y = 0 se, e somente se, y = 0. 8) Se você está com fome, então coma um sanduíche. 9) Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais. 10) Você não tem nada a dizer ou está mentindo. 11) Eu queria um bolo e algo menos calórico. Exemplo Observe as seguintes proposições compostas e extraia delas as proposições simples. 1) A lua é quadrada ou a neve é branca. (a) A lua é quadrada. (simples) (b) A neve é branca. (simples) 2) Se o inferno ficar frio então eu me caso com você. (a) O inferno fica frio. (simples) (b) Eu me caso com você. (simples) 3) Se o meu carro pifar e o meu amigo for a festa, então eu fico em casa. (a) O meu carro pifa. (simples) (b) Meu amigo vai a festa. (simples) (c) Eu fico em casa. (simples) 4) Aplico a prova se, e somente se, os alunos aparecerem e estivem todos de branco. (a) Aplico a prova. (simples) (b) Os alunos aparecem. (simples) (c) Todos estão de branco. (simples) 5) Eu vou casar ou comprar uma bicicleta. (a) Eu vou casar. (simples) (b) Eu vou comprar uma bicicleta. (simples) 6) Vou viajar se, e somente se, o meu gato latir. (a) Vou viajar. (simples) (b) Meu gato late. (simples) 10

11 Exercícios Propostos Extraia das proposições compostas dadas, as proposições simples. Na seqüência, com essas mesmas proposições simples, construa novas proposições compostas, diferentes das já dadas é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia joga video game. 3. π é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é Trabalho durante o jogo ou vou dormir. 5. O gato é pequeno e o cachorro é bravo. 6. O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo. 7. Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gato não é pequeno. 8. Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo. 9. O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo. 10. Se x 2 = 1, então x = 1 ou x = y = 0 se, e somente se, y = Não é verdade que não esta chovendo. 13. Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado. 14. Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança milionária, então fico milionário. 15. Se você está com fome, então coma um sanduíche. 16. Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais. 17. Você não tem nada a dizer ou está mentindo. 18. Eu queria um bolo e algo menos calórico. 11

12 Na lógica proposicional não trabalhamos realmente com frases, mas sim com variáveis proposicionais que representam as proposições. Sendo assim, a menos que digamos o contrário, usaremos letras minúsculas, tais como p, q, r,... para representar proposições simples, e letras maiúsculas P, Q, R,... para representar proposições compostas. Por exemplo, p: A lua é quadrada. (simples) Q: Se o meu carro não funcionar, então vou ficar em casa. (composta) Da mesma forma que usamos letras maiúsculas e minúsculas para representar uma proposição, usamos alguns símbolos especiais, chamados de conectivos lógicos ou operadores lógicos, para representar os conectivos e, ou, não, Se..., então e se, e somente se, os quais são apresentados na sequência. Definição O conectivo não é representado pelo símbolo. Sendo assim, a negação de uma proposição p é a proposição p (lêse: não p). Exemplo Observe que o conectivo lógico age apenas sobre uma única proposição. p: A terra é um planeta. p: A terra não é um planeta. Definição O conectivo e é representado pelo símbolo. Com o conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p q (lê-se: p e q) chamada conjunção. Exemplo Observe que ao contrário do conectivo lógico, o conectivo lógico age sobre duas proposições. p: A terra é uma estrela. q: O gato é um animal. p q: A terra é uma estrela e o gato é um animal. Definição O conectivo ou é representado pelo símbolo. Com o conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p q (lê-se: p ou q) chamada disjunção. Exemplo Observe que, assim como o conectivo, o conectivo age sobre duas proposições. p: A terra é uma estrela. 12

13 q: O gato é um animal. p q: A terra é uma estrela ou o gato é um animal. Definição O conectivo se..., então é representado pelo símbolo, Com o conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p q (lê-se: Se p, então q) chamada implicação ou condicional. Exemplo Observe que este conectivo também age sobre duas proposições. p: A terra é uma estrela. q: O gato é um animal. p q: Se a terra é uma estrela, então o gato é um animal. Definição O conectivo se, e somente se é representado pelo símbolo. Com o conectivo lógico obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p q (lê-se: p se, e somente se, q) chamada dupla implicação ou bicondicional. Exemplo Observe que este conectivo também age sobre duas proposições. p: A terra é uma estrela. q: O gato é um animal. p q: A terra é uma estrela se, e somente se, o gato é um animal. Além das variáveis proposicionais e dos conectivos lógicos, usamos um símbolo auxiliar, a saber os parênteses ( ), para evitar ambiguidades e delimitar o alcance de cada conectivo. Considere a proposição: p q r. Sem uma regra definida, podemos colocar os parênteses nesta proposição de duas formas diferentes. Vejamos: (p q) r ou p (q r) Note que estas duas proposições são distintas e que a colocação de parênteses, sem uma regra de uso definida, delimita o alcance de cada conectivo, porém, pode não eliminar a ambiguidade. Sendo assim, para uma melhor organização e evitar ambiguidades, os parênteses serão usados seguindo a seguinte ordem dos conectivos: 13

14 Temos ainda a possibilidade de haver mais de uma ocorrência, consecutivas, do mesmo conectivo, e neste caso adotaremos a convenção pela direita, ou seja, se temos a proposição p q r t h colocamos primeiro os parênteses no último conectivo a direita, depois no penúltimo e assim por diante, ou seja, a proposição acima deve ser entendida como (p (q (r (t h)))) Exemplo Se temos a proposição p q r p q colocamos os parênteses obedecendo a order dos conectivos apresentada anteriormente e, dessa forma, obtemos: (((p q) ( r)) (p ( q))) Exemplo Escreva as seguintes proposições em linguagem simbólica, colocando apropriadamente os parênteses. 1) Se o cachorro latir e o gato miar, então a lua é uma estrela. Sendo p: o cachorro late, q: o gato mia e r: a lua é uma estrela, vem que: (p q) r 2) O cachorro late e se o gato miar, então a lua é uma estrela. Sendo p, q e r representando as proposições como no item anterior, vem que: p (q r) 3) Se o cachorro não late ou o gato mia, então a lua não é uma estrela. Sendo p, q e r como antes, vem que: (( p) q) ( r) 4) O cachorro late ou o gato mia se, e somente se, a lua é uma estrela. Em linguagem proposicional temos: (p q) r 14

15 Exercícios Propostos 1. Coloque apropriadamente os parênteses nas proposições a seguir. (a) p q q r (b) p q h r s (c) g f q h r s (d) p r q r (e) q p q (f) p q p (g) p q r (h) p q r 2. Escreva em linguagem simbólica as seguintes proposições. (a) 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3. (b) Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia joga video game. (c) π é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2. (d) Não é verdade que não esta chovendo. (e) Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado. (f) Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança, então fico milionário. (g) Se não sei dirigir, então não tenho CNH. (h) O gato é pequeno e o cachorro é bravo. (i) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo. (j) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo. (k) Se x 2 = 1, então x = 1 ou x = 1. (l) y = 0 se, e somente se, y = 0. 15

16 1.2 Tabelas Verdade A Tabela Verdade é um instrumento eficiente usado em lógica para determinar se uma expressão é verdadeira ou falsa, válida ou invalida. Definição Por subproposições entendemos o conjunto formado por todas as proposições que ocorrem na proposição P, observando a precedência entre os conectivos. Exemplo Determine o conjunto de subproposições da proposição ((p q) r) Solução. Na proposição dada temos que o conectivo precede o conectivo, que por sua vez precede o conectivo. Ou seja, para determinar os possíveis valores verdade de ((p q) r) antes precisamos determinar os possíveis valores verdade de (p q) r. E para determinar os possíveis valores verdade de (p q) r, primeiro precisamos determinar os possíveis valores verdade de p q. No entanto, antes de tudo, é necessário apresentar os possíveis valores verdade de p, q e r. Portanto, concluímos que a proposição ((p q) r) possui o seguinte conjunto de subproposições: {p, q, r, p q, (p q) r, ((p q) r)}. Definição Tabela Verdade é o conjunto de todas as possibilidades combinatórias entre valores verdade de diversas variáveis lógicas, as quais se encontram em apenas duas situações, verdadeiro (V) ou Falso (F), e um conjunto de conectivos lógicos. A Definição 1.28 nós diz que a Tabela Verdade de uma proposição P determina quais são os possíveis valores verdade da proposição P, considerando os possíveis valores verdade das subproposições contidas na proposição P. Neste sentido, a Tabela Verdade de uma proposição P é formada por linhas e colunas, onde o número de linhas é determinado pelo número de proposições simples contidas na proposição P, e o número de colunas é determinado pelo número de subproposições da proposição P. Em outras palavras, a Tabela Verdade da proposição P consiste: 1. De uma linha em que estão contidas todas as proposições simples e demais subproposições da proposição P. Por exemplo, suponha que a proposição P seja ((p q) r). Como vimos no Exemplo 1.27, o conjunto de subproposições desta proposição é: {p, q, r, p q, (p q) r, ((p q) r)}. 16

17 Tabela 1.1: Primeira linha da Tabela Verdade. p q r p q (p q) r ((p q) r) Consequentemente, como a proposição dada possui 6 subproposições, a sua Tabela Verdade possui 6 colunas e a primeira linha desta tabela é dada por: 2. De L linhas em que estão todos os possíveis valores verdade, V ou F, que as proposições simples contidas em P possam assumir. O número destas linhas é L = 2 n, sendo n o número de proposições simples contidas em P. No exemplo acima, a fórmula ((p q) r) contém 3 proposições simples p, q e r e, portanto, a Tabela Verdade dessa proposição vai conter L = 2 3 = 8 linhas, que representam as possibilidades combinatórias entre os valores verdade de p, q e r. A saber: Tabela 1.2: Possibilidades combinatórias entre os valores verdade de p, q e r. p q r p q (p q) r ((p q) r) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Observe que na Tabela Verdade 1.2 existem algumas colunas não preenchidas. Tais colunas serão preenchidas de acordo com a Tabela Verdade do principal conectivo lógico envolvido em cada uma das co- 17

18 lunas. Por exemplo, na quarta coluna o principal conectivo lógico é a conjunção, cujos valores verdade dependem dos valores verdade das proposições simples p e q. Agora na quinta coluna, o principal conectivo lógico é a implicação, pois este é precedido pelo conectivo lógico. Note ainda que os possíveis valores verdade desta coluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores verdade da proposição p q, os quais neste momento já foram determinados na quarta coluna. Finalmente, na última coluna o principal conectivo lógico é a negação, pois este é precedido pelos conectivos lógicos e, e os valores verdade desta última coluna depende unicamente dos valores verdade de (p q) r, os quais, neste momento, já foram determinados na quinta coluna. Na seqüência apresentaremos as definições das Tabelas Verdade de cada um dos conectivos lógicos apresentados anteriormente. Fique atento às referidas definições e as estude com calma, pois, elas formam a base para a construção da Tabela Verdade de qualquer proposição composta. Definição A proposição p é a negação da proposição p, de maneira que se p é verdadeira então p é falsa, e vice-versa. Tabela 1.3: Tabela Verdade da Negação. p V F p F V Definição A conjunção p q será verdadeira somente quando as duas proposições p e q forem verdadeiras. Tabela 1.4: Tabela Verdade da Conjunção. p q p q F F F V F F F V F V V V 18

19 Definição A disjunção p q será verdadeira quando pelo menos uma das proposições p e q for verdadeira, isto é, ela só será falsa quando as duas proposições p e q forem falsas. Tabela 1.5: Tabela Verdade da Disjunção. p q p q V V V V F V F V V F F F Definição A implicação p q será falsa somente quando a proposição p for verdadeira e a proposição q for falsa. Tabela 1.6: Tabela Verdade da Implicação. p q p q V V V V F F F V V F F V Definição A dupla implicação p q será verdadeira se as proposições p e q tiverem o mesmo valor verdade, isto é, ou ambas verdadeiras, ou ambas falsas. Exemplo Determine os possíveis valores verdade das proposições a seguir, ou seja, construa sua Tabela Verdade. 1. (p q) r Temos que a proposição em questão possui três proposições simples, p, q e r, e o seu conjunto de subproposições é {p, q, r, p q, (p q) r} 19

20 Tabela 1.7: Tabela Verdade da Dupla Implicação. p q p q V V V V F F F V F F F V Logo, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 2 3 = 8 linhas, a saber: Tabela 1.8: Tabela Verdade da proposição (p q) r. p q r p q (p q) r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Observe que na quarta coluna da Tabela 1.8 o principal conectivo lógico é a conjunção, cujos valores verdade dependem dos valores verdade das proposições simples p e q. Assim, a quarta coluna da tabela é construída com base na Tabela Verdade da conjunção (Definição 1.30), observando a primeira e a segunda coluna da mesma tabela. Na quinta coluna o principal conectivo lógico é a implicação, pois este é precedido pelo conectivo lógico. Esta quinta coluna da tabela é construída com base na Tabela Verdade da implicação (Definição 1.32), observando a 20

21 Tabela 1.9: Tabela Verdade da proposição (p q) r. p q r p q (p q) r V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V quarta e a terceira coluna, pois os possíveis valores verdade desta coluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores verdade da proposição p q. 2. q p Neste caso a proposição possui duas proposições simples, p e q, e o seu conjunto de subproposições é {p, q, p, q, q p} Portanto, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 2 2 = 4 linhas, a saber: Tabela 1.10: Tabela Verdade da proposição q p. p q q p q p V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V 21

22 Nesta tabela, o principal conectivo na terceira e na quarta coluna é a negação, portanto, são construídas com base na Tabela Verdade da negação (Definição 1.29), observando a segunda e a primeira coluna, respectivamente. Já na última coluna, o principal conectivo é, e é construída com base na Tabela Verdade da implicação (Definição 1.32), observando a terceira e a quarta coluna. 3. p q A proposição possui o seguinte conjunto de subproposições: {p, q, p, p q} Portanto, sua Tabela Verdade é dada por: Tabela 1.11: Tabela Verdade da proposição p q. p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V Note que a terceira e a quarta coluna da tabela são construídas com base nas Tabela Verdade da negação e disjunção (Definições 1.29 e 1.31), respectivamente. 22

23 Exercícios Propostos Quando achar necessário coloque apropriadamente os parênteses e construa as Tabelas Verdade das seguintes proposições: 1. (p r) (q r) 2. p (p q) 3. q (p q) 4. (p q) ( p) 5. p (q r) 6. p (p q) q 7. q (p q) p 8. (p q) (q r) (p r) 9. (p q) p q 10. p q p 11. p p q 12. (p (q r)) q p r 13. (p r) (q r) (p q) r 14. (p q) (p q) (q p) 15. p (q r) (p q) (p r) 16. p (q r) (p q) (p r) 17. p (q r) (p q) (p r) 18. p (q r) (p q) (p r) 23

24 1.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia Definição Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando seus possíveis valores verdade são verdadeiros e falsos, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. Ou seja, a última coluna da sua Tabela Verdade, a qual determina seus possíveis valores verdade, tem os valores verdade V e F. Exemplo As proposições compostas apresentadas no Exemplo 1.34 são todas uma contingência. De fato, observe que a última coluna de cada uma das respectivas Tabelas Verdade tem os valores verdade V e F. Definição Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando seus possíveis valores verdade são sempre verdadeiros, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade, só tem o valor verdade V. Exemplo As proposições p p, p (p q) q, q (p q) p e (p q) p q são tautologias. De fato, basta observar que a última coluna de cada uma das Tabelas Verdade das proposições, apresentadas a seguir, só tem o valor verdade V. Tabela 1.12: Tabela Verdade da proposição p p. p p p p V F V F V V Tabela 1.13: Tabela Verdade da proposição p (p q) q. p q p q p (p q) p (p q) q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V 24

25 Tabela 1.14: Tabela Verdade da proposição q (p q) p. p q p q p q q (p q) q (p q) p V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Tabela 1.15: Tabela Verdade da proposição (p q) p q. p q p q p q (p q) p q (p q) p q V V F F V F F V V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V 25

26 Definição 1.39 (Contra-Tautologia). Dizemos que uma proposição composta é uma contra-tautologia quando seus possíveis valores verdade são sempre falsos, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade, só tem o valor verdade F. Exemplo As proposições p p, (p q) p, (p q) (q p) são contra-tautologia. De fato, observe que a última coluna de cada uma das respectivas Tabelas Verdade, a qual determina seus possíveis valores verdade, só tem o valor verdade F. Tabela 1.16: Tabela Verdade da proposição p p. p p p p V F F F V F Tabela 1.17: Tabela Verdade da proposição (p q) p. p q p q (p q) (p q) p V V V F F V F V F F F V V F F F F F V F Tabela 1.18: Tabela Verdade da proposição (p q) (q p). p q p q q p (p q) (p q) (q p) V V V V F F V F F F V F F V F F V F F F F F V F 26

27 1.4 Implicação e Equivalência Tautológica Definição A proposição P implica tautologicamente a proposição Q, e indicamos por P Q se, e somente se, a fórmula P Q é uma tautologia. Exemplo Dadas as proposições P : p (p q) e Q : q, vimos no Exemplo 1.38 que P Q é uma tautologia, ou seja, P Q. Logo, P implica tautologicamente a proposição Q. 2. No mesmo Exemplo 1.38 temos que q (p q) p é uma tautologia, o que nos leva a concluir que P implica tautologicamente a proposição Q, sendo P : q (p q) e Q : p. 3. Considere as proposições P : (p q) p e Q : q e verifiquemos se P Q. Para isto basta verificar, com o uso da Tabela Verdade, se P Q é uma tautologia. Veja Tabela Definição Duas proposições P e Q são tautologicamente equivalentes, e indicamos por P Q, se, e somente se, a proposição P Q é uma tautologia. Exemplo É fácil ver que as implicações p q e q p são equivalentes, ou seja, p q q p. Certamente, construindo a sua Tabela Verdade vemos que a proposição p q q p é uma tautologia, como se vê na Tabela Verifiquemos que proposição p q é equivalente a proposição p q. Para isto basta verificar que a proposição p q p q é uma tautologia. O que de fato acontece como mostra a Tabela Verdade a seguir. Tabela 1.19: Tabela Verdade da proposição p q p q. p q p p p p q p q p q V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V 27

28 Tabela 1.20: Tabela Verdade da proposição (p q) p q. p q p q p p q (p q) p (p q) p q V V V F V F V V F V F V F V F V V V V V V F F F V F F V Tabela 1.21: Tabela Verdade da proposição p q q p. p q p q q p q p p q q p V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V 28

29 Exercícios Propostos 1. Verifique as seguintes implicações tautológicas: (a) Modus Ponens: p (p q) q (b) Modus Tollens: q (p q) p (c) Silogismo Hipotético: (p q) (q r) (p r) (d) Silogismo Disjuntivo: (p q) p q (e) Simplificação: p q p (f) Adição: p p q (g) Eliminação: (p (q r)) q p r (h) Prova por Casos: (p r) (q r) (p q) r (i) Negação: ( p) p (j) Contraposição: p q q p (k) Troca de Premissas: p (q r) q (p r) (l) Idempotente para :: p p p (m) Idempotente para : p p p (n) Associativa para : (p q) r p (q r) (o) Associativa para : (p q) r p (q r) (p) Lei de De Morgan: (p q) p q (q) Lei de De Morgan: (p q) p q (r) Definição Implicação: p q p q (s) Comutativa para : p q q p (t) Comutativa para : p q q p 29

30 2. Verifique as seguintes equivalências tautológicas: (a) Comutativa para : p q q p (b) Comutativa para : p q q p (c) Associativa para : (p q) r p (q r) (d) Associativa para : (p q) r p (q r) (e) Idempotente para : p p p (f) Idempotente para : p p p (g) Absorção: p (p r) p (h) Absorção: p (p r) p (i) Distributivas para : p (q r) (p q) (p r) (j) Distributivas para : p (q r) (p q) (p r) (k) Distributivas para : p (q r) (p q) (p r) (l) Distributivas para : p (q r) (p q) (p r) (m) Lei de De Morgan: (p q) p q (n) Lei de De Morgan: (p q) p q (o) Definição Implicação: p q p q (p) Definição Implicação: p q (p q) (q) Definição Bicondicional: p q (p q) (q p) (r) Definição Bicondicional: p q ( p q) ( q p) (s) Negação: ( p) p (t) Contraposição: p q q p (u) Troca de Premissas: p (q r) q (p r) (v) Exportação ( ) e Importação ( ): (p q) r p (q r) 30