Lógica e Raciocínio. Raciocínio Dedutivo. Universidade da Madeira.

Transcrição

1 Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira Raciocínio Dedutivo 1

2 O presente powerpoint foi inspirado na aula do Professor Fernando Martínez Manrique da Universidade de Granada, Espanha. (agradecemos o consentimento do professor de disponibilizar este material). Como todas as outras artes, a ciência da dedução e análise só pode ser adquirida por meio de um demorado e paciente estudo, e a vida não é tão longa que permita a um mortal aperfeiçoar-se ao máximo nesse campo. Sherlock Holmes Em Estudio em Vermelho (A. Conan Doyle) 2

3 O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica Foi roubado uma importante quantia de dinheiro. O criminoso (ou criminosos) fugiu/fugiram num carro. Scotland Yard decide interrogar aos três suspeitos, Andy, Bill e Carl, e consegue determinar os factos seguintes: (i) No roubo no está implicada nenhuma outra pessoa salvo A, B o C. (ii) C nunca trabalha sem levar a A (e eventualmente a outros) como cúmplice. (iii) B no sabe conduzir. O Andy é culpado ou Inocente? (PENSEM NOS PROXIMOS 10 minutos) O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica Nos jogos como este nos é pedido que deduzamos a informação pedida a partir da informação dada. Neste caso a informação pedida é determinar se A é culpado. Vamos ver um par de formas de razoar para tentar resolver o jogo: 3

4 O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica 1) Suponhamos que A é inocente 2) Dado que C nunca trabalha sem A, se A é inocente, então C também deve ser inocente 3) Dado que o criminoso fugiu de carro e B não sabe dirigir, então B não pôde cometer o roubo sozinho: teve que ir ou com A ou com C. Então se A e C são inocentes, B é também inocente. 4) Então, se A é inocente, então concluímos que B e C são também inocentes. Mas sabemos que um deles é culpado. 5) Portanto, não pode ser que A seja inocente O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica 1) Temos 3 possibilidades: A, B o C. 2) Se foi A, A é culpado. 3) Se foi C, ele fê-lo com A, então A também será culpado neste caso. 4) Se foi B, ele fê-lo com A ou com C: -se foi com A, A é culpado. -si foi com C, então (por 3) fê-lo com A, então A também será culpado neste caso. 5) Por tanto, A é culpado em qualquer caso 4

5 O que é uma dedução? Numa dedução progredimos a partir da informação conhecida até atingir certa informação desconhecida que interessa-nos obter. A informação conhecida actua como as premissas dum argumento, e as desconhecidas como a conclusão. O que caracteriza que uma dedução esteja bem feita é que cada passo que demos seja seguro: isto é cada nova informação deve seguir-se das anteriores. O que é uma dedução?: Regras É possível capturar por meio de regras os passos mas típicos que efectuamos quando levamos a cabo uma dedução. Se uma regra está bem escolhida, vã-nos conduzir desde um certo enunciado E a outro E que é consequência lógica de E. O processo pelo qual passamos de E a E é uma inferência lógica e a regra utilizada é uma regra de inferência. 5

6 O que é uma dedução?: Regras Há regras que tentam capturar a forma natural de proceder quando raciocinamos. Para isto vamos tomar um conjunto de regras da chamada dedução Natural. A ideia é recolher e sistematizar as regras informais que aplicamos em raciocínios (por exemplo, em raciocínios como o do exemplo) O que é uma dedução?: Regras Vamos ver um conjunto de regras de inferência básicas o primitivas para a dedução natural. Dado que temos 5 conectivos, vamos definir duas regras relacionadas com cada uma delas, uma de introdução e uma de eliminação da conectiva. Vamos apresenta-las de modo informal para depois formalizar. 6

7 Introdução do (E) Premissas O assassino é canhoto. O assassino usa uma Colt 45. Conclusão O assassino é canhoto e usa uma Colt 45. Introdução do (E) p q p q 7

8 Eliminação do (E) Premissa O assassino é loiro e mede mais de 1,80m. Conclusões O assassino é loiro. O assassino mede mais de 1,80m. Eliminação do (E) p q p q 8

9 Eliminação do ~ (não) Premissa Não é o caso que o assassino não seja estrangeiro. Conclusão O assassino é estrangeiro Dupla Negação ~ ~~p p 9

10 Introdução do (Ou) Premissa O assassino mede 1,80m Conclusões O assassino mede 1,80m ou passa feiras no Porto Santo O assassino passa feiras no Porto Santo ou mede 1,80m Introdução do (Ou) p p q p q p 10

11 Eliminação do (Ou) Premissas O assassino fugiu de comboio ou de autocarro. Se fugiu de comboio, então foi a Espanha Se fugiu de autocarro, então foi a Espanha Conclusão O assassino foi a Espanha Eliminação do (Ou) p q p s q s s 11

12 Eliminação do (Então /Condicional) Premissas Se João é o assassino, Matias é o cúmplice. João é o assassino Conclusão Matias é o cúmplice. Eliminação do (Então /Condicional) p q p q Chamado Modus Ponens 12

13 Introdução do (Bicondicional) Premissas Se a vitima foi decapitada, então a cabeça não ficou ligada ao corpo. Se a cabeça não ficou ligada ao corpo, então a vitima foi decapitada. Conclusão A vitima foi decapitada se e somente se a cabeça não ficou ligada ao corpo. Introdução do (Bicondicional) p q q p p q 13

14 Eliminação do (Bicondicional) Premissa O corpo esta a feder se e somente se a vitima leva vários dias morta. Conclusões Se o corpo esta a feder então a vitima leva vários dias morta. Se a vitima leva vários dias morta então o corpo esta a feder. Eliminação do (Bicondicional) p q p q q p 14

15 Premissas e Suposições As premissas correspondem á informação que foi-nos dada inicialmente (os dados do problema ou formulas iniciais). Por vezes temos que introduzir informação hipotética para começar um raciocínio: é isto que chamamos suposição. Equivale as ocasiones nas que raciocinamos começando assim: Suponhamos que... Há 2 regras de inferência baseadas no uso de suposições: Premissas e Suposições Cuidado! As inferências feitas dentro da suposição são valem assumindo as suposições. Exemplo: Todo peixe respira na agua. Suponhamos que sou um peixe. Então posso respirar na agua. 15

16 Introdução do (Então /Condicional) (suposição) Assumamos que chovia na noite do crime... (inferimos a partir do suposto) As pisadas do assassino desapareceram Conclusão Se chovia na noite do crime, então as pisadas do assassino desapareceram Introdução do (Então /Condicional) p q p q 16

17 Introdução do ~ (suposição) Assumamos que o assassino matou-me. Os mortos não falam, então não estou a falar. Ao contar este exemplo estou a falar. Ou seja, estou a falar e não estou a falar Conclusão O assassino não matou-me. Introdução do ~ p q ~ q (contradição!) ~p chamada redução ao absurdo 17

18 Regras derivadas As regras de inferência primitivas são suficientes para fazer todas as derivações que queremos. Porém, existem sequencias de passos que se repetem muito frequentemente e podem ser abreviados em forma de regra. Estas regras derivam-se das primitivas, mas facilitam as demonstrações. Regras de simetria p q q p p q q p p q q p 18

19 Modus Tollens Premissas Se o assassino entrou pela janela, então a janela estava aberta. A janela não estava aberta Conclusão O assassino não entrou pela janela Modus Tollens p q ~ q ~ p 19

20 Silogismo Disyuntivo o Tollendo Ponens Premissa O assassino é português ou inglês. O assassino não é português. Conclusão O assassino é inglês. Silogismo Disyuntivo o Tollendo Ponens p q ~ p q 20

21 Silogismo Hipotético Premissa Se o assassino fugiu, então foi de carro Se o assassino foi de carro, então viajou a Paris Conclusão Se o assassino fugiu, então viajou a Paris Silogismo Hipotético p q q r p r 21

22 Equivalências vistas anteriormente p (q r) (p q) ( p r) distributividade p (q r) (p q) ( p r) distributividade ~ (p q) ~ p ~ q Lei de De Morgan ~ (p q) ~ p ~ q Lei de De Morgan p q ~ p q disjunção material etc Derivação e Dedução Normalmente interessa-nos saber se una fórmula q pode obter-se a partir de outras p 1, p 2,...,p n Neste caso o que temos que construir é uma derivação desde p 1, p 2,...,p n até q de forma tal que a cada passo aplicamos uma regra de inferência. Se conseguimos obter q, diremos que temos deduzido q a partir de p 1, p 2,...,p n. 22

23 Procedimento de dedução 1. Determina-se quais são as premissas e escrevese cada premissa numa linha numerada começando pelo Determina-se qual é a conclusão. Isto é o que queremos demonstrar. 3. Aplicam-se as regras de inferência nas premissas, obtendo novas fórmulas que vamos numerando. 4. A dedução acaba quando chegamos a uma linha fora de toda barra de hipóteses que contém o que queremos demonstrar. 23