Critérios de Divisibilidade: estudo por meio de uma Seqüência Didática.

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1 Critérios de Divisibilidade: estudo por meio de uma Seqüência Didática. Juliana de Lima Gregorutti (Mestranda PUC/SP) Orientadora: Barbara Lutaif Bianchini (PUC/SP) Introdução Por meio da aplicação de uma seqüência didática, temos o objetivo de analisar a maneira que os alunos da 3ª série do Ensino Fundamental ciclo I apreendem os critérios de divisibilidade de números naturais, partindo da manipulação de uma atividade lúdica em ambiente computacional, passando para a resolução de uma situação adidática, vislumbrando que os alunos construam o conhecimento matemático abstrato. Enfatizamos que para a consolidação dessa aprendizagem, há a importância de o professor ter conhecimento de sua área específica e seu público-alvo, para tornar esse conhecimento acessível aos diferentes olhares existentes na sala de aula. No decorrer deste trabalho será apresentada, primeiramente, a problemática do tema, que engloba: a questão de pesquisa, os procedimentos metodológicos e o quadro teórico. Os elementos acima citados irão nortear o trabalho e esquadrinhar os próximos passos, que tratam da apresentação e análise prévia da atividade; essa análise é elaborada à luz das teorias e artigos descritos em nosso quadro teórico. Após efetuarmos a análise prévia da seqüência adidática, iremos aplicá-la para o nosso público alvo. Com os protocolos de resolução em mãos vamos analisar os resultados da atividade, confrontando-os com a nossa análise prévia, estabelecendo relações de

2 diferenças e semelhanças entre tais. E, por fim, relatamos as considerações finais, que são conclusões que conseguimos analisar ao buscar respostas para a nossa questão de pesquisa. 1.Problemática Desde o início da minha prática docente, sempre me deparei com as dificuldades que certos alunos possuem no algoritmo da divisão, em que não conseguem criar um mecanismo para resolver as diferentes situações aritméticas que se deparam. Este fato motivou-nos a estudar um conceito relacionado com a divisão, que são os critérios de divisibilidade, no qual pretendemos analisar como os alunos constroem seus conhecimentos acerca dos critérios de divisibilidade. Acreditamos que tais conhecimentos servirão de alicerce para uma sólida construção de mecanismos do algoritmo da divisão, possibilitando que o aluno prossiga com seus estudos. De acordo com os pressupostos de Blanton (2007), a construção do conhecimento da álgebra nas séries iniciais dá oportunidade do aluno generalizar propriedades matemáticas (como operações que afetam os números e desenvolver relações de igualdade), os estudantes por meio de habilidades aritméticas desenvolvem as generalizações de operações. Tendo como aspecto fundamental dessa álgebra precoce o entendimento do conceito de operações e relações, as crianças desenvolvem importantes hábitos de pensar, como uma linguagem algébrica (com significados da língua natural). Adquirem formas de raciocínio de indução e dedução, bem como descrever, simbolizar e justificar propriedades numéricas e operações; ou seja, desenvolve fundamentos matemáticos que possibilitem aprofundar seus estudos, visando um aluno mais bem preparado para estudos posteriores. No entanto, um ponto que Moreira e David (2005) salientam em seu artigo é que durante o processo de escolarização, após a passagem do Ensino Fundamental I para o Ensino Fundamental II, o aluno irá ampliar seu conhecimento numérico, partindo do conjunto dos números naturais, para os inteiros, em seguida para os racionais e até os reais.

3 Mas, nesta transição o aluno carrega inúmeros erros conceituais, em relação ao conjunto dos números naturais, que irá carregar até as séries finais, pois por se tratar de um tema complexo, não deve ser esgotado nas séries iniciais, mas retomados a partir da 5 série. [...]acreditamos que a separação acentuada existente entre a formação do docente desse ciclo e a do professor que leciona nos outros ciclos do ensino básico é equivocada, pois pode contribuir para intensificar a descontinuidade do processo de transição das séries iniciais para a quinta série e seguintes. (MOREIRA e DAVID, 2005, p.52). Assim, pretendemos ressaltar a importância de trabalhar as propriedades e conceitos matemáticos significamente, para obter uma real compreensão por parte dos alunos. E, como os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) (BRASIL, 1997) também apontam, sobre o trabalho de um currículo em espiral, ou seja, devendo retomar os assuntos durante toda escolarização, sem esgotá-los em um ciclo. Nesse sentido outras pesquisas como a dissertação de Rama (2005), que apresenta uma análise de três coleções de livros didáticos dos Ensino Fundamental e Médio, abordando o conjunto dos números inteiros, especificamente a divisibilidade dos números inteiros; pode revelar-nos que a abordagem apresentada pelos livros didáticos do assunto Critérios de Divisibilidade, fazem o aluno decorar regras ou induzem o aluno as respostas, sem deixá-lo refletir sobre a situação. No caso do estudo de Critério de Divisibilidade, o que ocorre é o assunto ser esgotado entre as 4 ou 5 séries, através de atividades que impõe o uso de regras, sem real entendimento do mesmo por parte dos alunos Questão de pesquisa A partir do acima exposto, pretendemos elaborar uma seqüência didática envolvendo os Critérios de Divisibilidade. Para tanto, precisamos refletir sobre quais as características devemos priorizar ao elaborar uma seqüência didática, com momentos em sala de aula e momentos em ambiente computacional, visando que o aluno compreenda os critérios de divisibilidade? Como os alunos de 3º série do Ensino Fundamental I mobilizam seus

4 conhecimentos, para compreensão dos Critérios de Divisibilidade? 1.2- Procedimentos Metodológicos Durante a elaboração deste escrito, deparamo-nos com diversos temas interessantes e atrativos, mas optamos pelo assunto: Critérios de Divisibilidade, e visando responder à questão de pesquisa proposta neste trabalho, a partir deste capítulo enfocaremos a pesquisa na análise da atividade proposta, destacando os seguintes tópicos: O objetivo da atividade proposta, elencando as possíveis maneiras de resolvê-la, e as possíveis dificuldades apresentadas pelos alunos; Os conhecimentos prévios necessários para o desenvolvimento da atividade, e os conhecimentos visados que se construam com a realização da atividade; Identificar as etapas da resolução, à luz do nosso quadro teórico; Aplicação da atividade proposta para alunos de 3º série do Ensino Fundamental I; Análise da resolução da atividade, confrontando os dados da análise prévia e análise posterior, para possível validação da pesquisa. Para essa aprendizagem se validar, deve-se descobrir estratégias, recursos para fazer com que o aluno queira aprender, em outras palavras, deve fornecer estímulos para que o aluno se sinta motivado a aprender. Visando embasar a metodologia dessa pesquisa, utilizaremos os princípios da Engenharia Didática de Michele Artigue (1995, apud Machado 2004). Segundo a autora esta metodologia se caracteriza por um esquema experimental baseado nas realizações didáticas em sala de aula, ou seja, sobre a concepção, realização, observação e análise de seqüências de ensino permitindo uma validação interna, a partir das análises prévias e posteriores Quadro teórico Para elaboração deste trabalho utilizamos os princípios da Teoria das Situações de Brousseau (1986, apud Almouloud, 2007), a qual descreve que para iniciar as dialéticas o

5 professor faz a devolução do problema do aluno, transferindo a responsabilidade da construção do conhecimento para o próprio aluno, desta forma, as atividades devem ser estruturadas de forma a admitir as fases: Dialéticas Ação: Busca autônoma da solução Formulação: Troca de estratégias precisa de um parceiro para dialogar Validação: Verifica se sua formulação funciona Para maior compreensão dessa dialética, Margolinas (1995, apud Almouloud, 2007), propôs análises ascendentes e descendentes do papel do professor e do aluno, visando valorizar a situação didática. De modo sucinto, na análise descendente observamos o papel do professor, que irá construir sua aula, passando por processos de reflexão e planejamento da atividade. Na sala de aula o professor faz a devolução do problema para o aluno, e passa a comportar-se como um observador, e mediador do conhecimento. A partir desse ponto inicia-se a análise ascendente, em que se observa o papel do aluno, que primeiramente faz contato com o problema proposto, através da devolução do problema feita pelo professor; em seguida, os alunos tomam para si o problema e iniciam sua resolução, em que irão levantar hipóteses e discuti-las coletivamente e logo irão validar seus conhecimentos, ao atingir este ponto o aluno compreendeu o conhecimento que lhe foi proposto, e professor e aluno encontram-se na situação didática. E, por fim, não poderíamos deixar de citar os PCN Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), pois julgamos que atualmente a grande maioria dos professores, ao construírem seu planejamento anual de ensino, se espelham nas orientações destes. Sobre o tema deste trabalho, os PCN (1997) enunciam que os conceitos de múltiplos e divisores de um número inteiro, devem ser vistos como a ampliação de conhecimentos construídos nos ciclos anteriores, vinculando com demais conceitos como os números primos.

6 As próximas etapas da pesquisa consistem em: elaborar a seqüência aplicá-la e analisar os resultados. Referências ALMOULOUD, S.A. A Teoria das Situações didáticas -Editora da UF de Paraná, ALMOULOUD, S.A. Estruturação do milieu adidático - Editora da UF de Paraná, BLANTON, M.; SCHIFTER, D.; INGE, V.; LOFGREN, P.; WILLIS,C.; DAVIS, F.; CONFREY, J. Algebra gateway to a Technological Future - Mathematical Association of America, 2007, p. 7 a 14 BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática Brasília: MEC/SEF, Disponível em: - acessado 11/06/2008 GROENWALD, C. L. O.; SAUER, L. O.; FRANKE, R. F. Desenvolvendo o pensamento aritmético utilizando os conceitos da Teoria dos Números. Revista de Ciências Naturais e Exatas - Vol. 7, jan/jun, p.93 a 102, ULBRA/RS, MACHADO, S. D. C. Educação Matemática: uma nova introdução PUC/SP, São Paulo, p.233 a 249, MIZUKAMI, M.G.N. Aprendizagem da docência: algumas contribuições de L.S. Shulman Revista Educação, São Paulo, v.29, n.2, MOREIRA, P. C.; DAVID, M.M.M.S. O conhecimento matemático do professor: formação e prática docente na escola básica. Revista Brasileira de Educação, nº 28, jan/fev/mar/abr TARDIF, M. Saberes docente e formação profissional. Petrópolis, R.J., Vozes, RAMA, A. J. Números Inteiros nos Ensinos Fundamental e Médio. PUC/SP, São Paulo, 2005.

7 RIBEIRO, R. M. - O papel da reflexão sobre a prática no contexto da formação continuada de professores de Matemática São Paulo, 2005.