No que se refere Geometria, de acordo com os PCN (1998), ela tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino

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1 O Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Geometria através de Resolução de Problemas Resumo Marlene Aparecida do Prado Com este trabalho apresentamos o projeto de uma pesquisa de mestrado em andamento e que pretende investigar quais possibilidades o Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas oferece para o ensino da Geometria. Essa metodologia de ensino considera o problema como ponto de partida e orientação para aprendizagem. A pesquisa é de natureza qualitativa e a metodologia utilizada será a Engenharia Didática, que é uma forma particular de organizar os procedimentos metodológicos de pesquisas desenvolvidas no contexto de sala de aula. Será desenvolvida aplicando atividades de Resolução de Problemas com alunos de sétima série do Ensino Fundamental. Os conteúdos matemáticos serão Teoremas de Tales e Teorema de Pitágoras. Palavras-chave: Resolução de Problemas. Geometria. Ensino-Aprendizagem-Avaliação. Introdução Com este trabalho apresentamos o projeto de uma pesquisa de mestrado em andamento e que pretende investigar quais possibilidades o Ensino-Aprendizagem- Avaliação através da Resolução de Problemas oferece para o ensino da Geometria. Este trabalho esta estruturado da seguinte maneira: a primeira seção apresenta os objetivos, a pergunta geral e as questões parciais de pesquisa. A seguir, fornecemos justificativas pessoais e oficiais para o seu desenvolvimento. Na terceira seção apresentamos a fundamentação teórica. A metodologia é explicada numa quarta seção e, finalmente, registramos algumas considerações finais e as referências. Objetivos Investigar quais possibilidades o Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas oferece para o ensino da Geometria. Para isso elaboramos a seguinte questão de pesquisa: A Geometria ensinada através da Resolução de Problemas possibilita construção de novos conhecimentos pelo aluno? A fim de responder à questão anterior elaboramos as seguintes questões parciais referentes aos conteúdos específicos escolhidos para esta pesquisa Como o ensino-aprendizagem-avaliação da Geometria através de Resolução de Problemas pode ser introduzido nas aulas de matemática? Como alunos de 7ª série constroem conhecimento sobre Teorema de Tales através da Resolução de Problemas?

2 Como alunos de 7ª série constroem conhecimento sobre Teorema de Pitágoras através da Resolução de Problemas? Os conhecimentos propostos sobre os conteúdos trabalhados durante o desenvolvimento dessa proposta foram realmente construídos pelo aluno? Justificativa Ao longo do meu trabalho docente venho percebendo a dificuldade com que nós, professores, trabalhamos com a Geometria e Resolução de Problemas por termos uma formação totalmente algébrica. Muitas vezes, o professor se apóia no livro didático para superar suas dificuldades e esclarecer suas dúvidas. Outras vezes se insere em experiências de formação continuada a fim de aperfeiçoar sua prática. Os PCN (1998) dizem que, Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações, educadores matemáticos apontam a Resolução de Problemas como ponto de partida da atividade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução. Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. A prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações. (BRASIL,1998,p.39) Essas orientações oficiais sugerem que a Resolução de Problemas precisa ser melhor trabalhada em sala de aula, mas para isso precisa também ser melhor compreendida. A pesquisa em Resolução de Problemas mostra que, embora este seja um tema muito freqüente na Educação Matemática, ainda há muitas questões sobre ele a serem discutidas e analisadas. Um retrato parcial do que essas pesquisas trazem será apresentada na próxima seção.

3 No que se refere Geometria, de acordo com os PCN (1998), ela tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Em que pese seu abandono, ela desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e construir demonstrações. Com relação às pesquisas em Educação Matemática, realizadas nos últimos tempos, constata-se que é necessário repensar o ensino da Geometria para que a aprendizagem seja significativa, pois ainda há dificuldades com o seu ensino. Com a presente pesquisa pretendo aprofundar um pouco mais os conhecimentos na área da Educação Matemática, pois acredito que o Ensino da Geometria através da Resolução de Problemas poderá suprir uma deficiência da formação inicial que, muitas vezes, não dá ênfase à Geometria. Ao mesmo tempo essa pesquisa poderá propiciar melhor compreensão de como ensinar matemática sem enfatizar a repetição e a mecanização, estimulando atitudes de pensar, refletir, analisar e efetivamente compreender os conteúdos. Fundamentação Teórica. Para começarmos a falar sobre Resolução de Problemas é necessário que analisemos concepções sobre esse tema, pois Essa abordagem conduz a reflexões sobre o que é um problema e qual é a função da Resolução de Problemas na Educação Matemática. (ALLEVATO, 2005, p.37). A autora analisou a literatura relativa à Resolução de Problemas e indica que, além de analisar as diferentes concepções sobre o que é um problema, também analisa as diferentes concepções sobre qual é o objetivo da Resolução de Problemas no ensino de matemática. Onuchic (1999) explicita sua compreensão sobre o que é um problema: "[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver" (p.215). E esclarece que "o problema não é um exercício no qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou uma determinada técnica operatória [...]" (p.215). Destacamos três tipos de concepções sobre o ensino de Resolução de Problemas: Ensino de matemática sobre Resolução de Problemas.

4 O principal representante dessa concepção é George Polya (1980), que em agosto de 1944, apresentou uma série de justificativas para o trabalho com Resolução de Problemas no ensino de matemática. Alguns autores utilizam a Resoluções de Problemas como um novo conteúdo a ser ensinado e recomendam roteiros de como proceder para resolver problemas matemáticos. Ensino de matemática para a Resolução de Problemas. Nesta concepção os professores costumam utilizar os problemas matemáticos para apresentar aplicações de certos conteúdos matemáticos. Por isso costumam primeiro apresentar uma parte teórica dos conteúdos matemáticos e depois propõem problemas sobre aquele conteúdo. Ensino de matemática através da Resolução de Problemas. É uma forma de ensinar matemáticas onde habilidades e conceitos devem ser aprendidos no contexto da Resolução de Problemas, ou seja, o problema é o ponto de partida. Vale ressaltar que ensinar através da Resolução de Problemas engloba as outras duas concepções, que podem ocorrer em conjunto. Adotaremos a concepção do Ensino de matemática através da Resolução de Problemas, por acreditarmos que: O Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas é diferente daquele em que regras de como fazer são privilegiadas.[...] Trata-se de um trabalho onde um problema é ponto de partida e orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através de sua resolução. Professor e alunos, juntos, desenvolvem esse trabalho e a aprendizagem se realiza de modo colaborativo em sala de aula.(allevato; ONUCHIC, 2008,p.5) (tradução nossa) Onuchic (1999) recomenda que o ensino de Matemática deve ocorrer em um ambiente caracterizado pela investigação, e que essa deve ser orientada pela Resolução de Problemas. Segundo esse enfoque, o ponto de partida das atividades matemáticas deixa de ser a definição e passa a ser o problema, de forma que "a Resolução de Problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas como orientação para a aprendizagem." (p.215) Pode-se conceber a Matemática como instrumento para a solução de problemas práticos, que se desenvolve para muito além deles, ganhando a dimensão de idéias gerais para novas aplicações fora do contexto que deu origem a elas.

5 As investigações geométricas, em particular, irão contribuir para perceber aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. Abordando a partir de problemas de interesse do aluno os conteúdos irá despertar no aluno a vontade de aprender a Geometria. Esse aprendizado tem a intenção de levar de forma diferente o trabalho com a Geometria, deixando o aluno usar o seu raciocínio lógico, os conhecimentos prévios de que dispõe e estimulando a sua criatividade. Uma condição fundamental para o ensino e aprendizagem da matemática é desenvolver a capacidade de aprender, oferecendo um conjunto mais rico de materiais, técnicas e sistemas que visem a contribuir significativamente para a incorporação de habilidades, para aprendizagem de conteúdos e para a compreensão de conceitos. Utilizando a classificação de Vygotsky (1998), podemos dizer que os conceitos geométricos são frutos de instrução específica feita pela escola, na forma de um sistema de idéias inter-relacionadas. Diferem, portanto, dos conceitos cotidianos ou espontâneos, que podem ser adquiridos fora do contexto escolar. Os conceitos cotidianos dizem respeito às relações da palavra com os objetos a que se referem; porém os científicos referem-se às relações das palavras com outras palavras, pois não há como compreender tais conceitos sem ligá-los a outros. Portanto, para desempenhar seu papel de mediador entre o conhecimento matemático e o aluno, o professor precisa ter um sólido conhecimento dos conceitos e procedimentos dessa área, e uma concepção de Matemática como ciência que não trata de verdades infalíveis e imutáveis, mas como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos conhecimentos. Transformar o saber matemático acumulado em saberes escolares passíveis de serem ensinados e aprendidos exige que esse conhecimento seja transformado, pois a obra e o pensamento do matemático teórico geralmente são difíceis de serem comunicados diretamente aos alunos. Essa consideração implica rever a idéia, que persiste na escola, de ver nos objetos de ensino cópias fiéis dos objetos da ciência. O significado da atividade matemática para o aluno também resulta das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos e também entre estes e as demais áreas do conhecimento e as situações do cotidiano. (PCN 1998) Vale ressaltar que esse significado também depende do modo como o ensino, essencialmente da responsabilidade do professor, é realizado em sala de aula.

6 A ação docente, para Vygotsky (2000), se resume que o professor é o mediador da aprendizagem do aluno, facilitando-lhe o domínio e a apropriação dos diferentes instrumentos culturais. Mas a ação docente somente terá sentido se for realizada no plano da Zona de Desenvolvimento Proximal. Isto é, o professor constituise na pessoa mais competente que precisa ajudar o aluno na Resolução de Problemas que estão fora do seu alcance, desenvolvendo estratégias para que pouco a pouco possa resolvê-las de modo independente. A função da Escola é fazer com que os conceitos espontâneos, informais, que as crianças adquirem na convivência social, evoluam para o nível dos conceitos científicos, sistemáticos e formais, adquiridos pelo ensino. Apoiadas nessas idéias é que consideramos relevante analisar de modo mais fundamentado as experiências de ensino e em nosso caso específico a metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de matemática através da Resolução de Problemas, particularmente a Geometria. Metodologia Uma pesquisa é sempre, de alguma forma, um relato de um longo trabalho empreendido por um sujeito cujo olhar vasculha lugares muitas vezes já visitados. Nada de absolutamente original, portanto, mas um modo diferente de olhar e pensar determinada realidade a partir de uma experiência e de uma apropriação do conhecimento que são pessoais. Os procedimentos utilizados em uma pesquisa moldam o tipo de pergunta que é feito, a interrogação de pesquisa e a visão de conhecimento também constituem e definem os procedimentos. Quando se fala de pesquisa, está se falando de uma forma de conhecer o mundo que se materializa fundamentalmente através dos procedimentos conhecidos como qualitativos, que entende que o conhecimento não é isento de valores, de intenção e da história de vida do pesquisador, e muito menos das condições sóciopolíticas do momento. Desse modo consideramos que essa abordagem é a que melhor atende ao objetivo dessa pesquisa que é Investigar quais possibilidades o Ensino-Aprendizagem- Avaliação através da Resolução de Problemas oferece para o ensino da Geometria. A metodologia utilizada nesta pesquisa será a Engenharia Didática. A Engenharia Didática é uma das abordagens tratadas na Didática da Matemática que se caracteriza como uma forma particular de organizar os procedimentos metodológicos de pesquisas desenvolvidas no contexto de sala de aula. Ao se desenvolver uma pesquisa no campo da educação matemática tendo principio metodológico, articula-se a

7 construção do saber matemático a uma prática reflexiva investigativa. Diante de uma seqüência didática experimental a pesquisa será baseada em realizações didáticas em sala de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de uma seqüência de ensino. A Engenharia Didática se constitui em uma forma de sistematizar a aplicação de um determinado método na pesquisa didática (Artigue, 1996) e, ainda, possibilita o enfrentamento de problemas práticos para os quais não existe teoria prévia. Nela, considera-se um conteúdo do sistema de ensino, que no presente projeto será a Geometria com os conteúdos de Teorema de Tales e o Teorema de Pitágoras cuja aprendizagem parece, por algum motivo, pouco satisfatória e faz-se uma análise com a intenção de propor mudanças, para uma possível aprendizagem mais satisfatória. Diante da necessidade de se repensar o ensino de matemática voltado aos alunos do ensino fundamental e propor uma nova abordagem metodológica para o uso dos professores em sala de aula é que a Engenharia Didática se apresenta como uma das vertentes tratadas na tendência de ensino da Didática da Matemática que possibilita a construção do saber matemático consciente a partir de uma pratica investigativa desenvolvida sobre a ação educativa do professor. O uso da Engenharia Didática, enquanto abordagem metodológica no ensino de matemática ou em outra área qualquer do conhecimento perpassa por quatro fases: análise preliminar, concepção e analise a priori, aplicação de uma seqüência didática e, por ultimo, é feita uma análise a posteriori da seqüência aplicada, seguida de uma possível validação. Na análise preliminar é feito um levantamento sobre tudo o que envolve o objeto matemático em estudo. São feitas considerações a respeito do quadro teórico didático geral e sobre os conhecimentos didáticos já adquiridos sobre o assunto em questão. Faz-se uma análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino; analisa-se como vem sendo desenvolvido o ensino atual do referido assunto e seus efeitos, faz-se uma análise da concepção dos alunos, das dificuldades e obstáculos que apresentam diante do saber apresentado e também se observa os entraves didáticos pedagógicos que dificultam o processo de ensino e aprendizagem daquele conteúdo. Lembramos que os conteúdos desta pesquisa serão Teoremas de Tales e Teorema de Pitágoras. Segundo Artigue (1996) o objetivo da fase concepção e análise a priori é determinar de que forma permitem as escolhas efetuadas controlar os comportamentos

8 dos alunos e o sentido de cada um destes comportamentos. Esta fase fundamenta-se em hipóteses, e são estas hipóteses cuja validação está, a princípio, no confronto entre a análise a priori e a posteriori. Nessa fase da pesquisa que iremos desenvolver serão elaboradas as atividades de Resolução de Problemas que os alunos realizarão em sala de aula. Já na fase da experimentação ocorre a aplicação da seqüência didática e são observadas as atitudes e também as produções dos alunos. Os dados são coletados por meio de relatórios, questionários, anotações do pesquisador, entrevistas, gravações em áudio ou vídeo, e outros recursos. No desenvolvimento da nossa pesquisa está fase ocorrerá de setembro a novembro deste ano. Depois da fase de experimentação analisam-se as produções dos alunos, as observações feitas em relação ao comportamento deles durante a aplicação da seqüência didática e todas as observações colhidas durante a experimentação. Há o confronto da análise a priori e da análise a posteriori, buscando validar ou refutar as hipóteses levantadas. É no confronto destas analises que são elaboradas a descrição e a predição do provável comportamento do aluno. Segundo Artigue (1996) é nesse confronto que a metodologia da Engenharia Didática se diferencia de outras metodologias na área da didática. Conclusões finais Neste projeto apresentei as linhas gerais da pesquisa esperamos que com esta pesquisa possamos compreender melhor e contribuir com a aprendizagem da geometria por parte dos alunos e com a prática do professor nessa área do Ensino. Referências ALLEVATO,N.S.G. Associando o computador à Resolução de Problemas Fechados: Análise de uma Experiência f. Tese (doutorado em Educação Matemática)- Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho, Rio Claro. ALLEVATO N.S.G., ONUCHIC L.R. Problem Solving as a Methodology of Work for Mathematics Teaching in Classroom, ICME, Disponivel em acesso em 6 jun.2008 ARTIGUE, M. Engenharia Didáctica. In: Direção de BRUN,J. (Dir).Didáctica das Matemáticas, Instituto Piaget,1996.p

9 BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais - 5 a. a 8 a. séries: Matemática. Brasília, ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.(Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, cap.12, p ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensinoaprendizagem de matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org). Educação Matemática - pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, p POLYA, G. On Solving Mathamatical Problems in High School. In: KRULIK, S.; REYS, R. E.(Ed.).Problem Solving in School Mathematics. Reston: CTM,Yearbook, p.1-2. VYGOTSKY, L.S.A Formação social da mente. Tradução de Jeferson Luiz de Carvalho. São Paulo: Martins Fontes, 2000). VYGOTSKY, L.S. Pensamento e linguagem. Tradução de Jeferson Luiz de Carvalho. São Paulo: Martins Fontes, 1998.