Um algoritmo de particionamento recursivo para o problema de empacotamento de retângulos em retângulos

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1 Um algoritmo de particionamento recursivo para o problema de empacotamento de retângulos em retângulos Ernesto Julián Goldberg Birgin 1, Rafael Durbano obato e Reinaldo Morabito 3 1 Universidade de São Paulo (USP) egbirgin@ime.usp.br Universidade de São Paulo (USP) lobato@ime.usp.br 3 Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) morabito@power.ufscar.br 1. Introdução Este trabalho trata do problema de arranjar, ortogonalmente e sem sobreposições, o número máximo de retângulos idênticos de dimensões (l, w) em um grande retângulo de dimensões (, W ). Este problema de empacotamento bidimensional também é conhecido como o problema de carregamento de palete do produtor, já que ele aparece no carregamento de caixas idênticas em paletes, assim como no carregamento de caminhões ou trens [1]. Neste trabalho, apresentamos uma abordagem de particionamento recursivo eciente que combina versões melhoradas da heurística de cinco-blocos recursiva proposta em [10,11] e a abordagem para empacotamento de retângulos em grandes retângulos e em peças em forma de apresentada em [9] (ver também [4]). Provamos alguns resultados teóricos e desenvolvemos algumas estratégias relacionadas à heurística de cinco-blocos recursiva que nos permitem reduzir o número de subproblemas resolvidos pelo método. A respeito da abordagem, são descritas duas novas maneiras de dividir uma peça em forma de em outras duas peças em forma de, que não foram consideradas em [9]. Além disso, o uso dos chamados raster points [14] é incorporado na abordagem de particionamento recursivo combinada. Este trabalho é organizado da seguinte forma. Na Seção, denimos o problema, discutimos algumas de suas propriedades e introduzimos a abordagem de particionamento recursivo combinada. Nas Seções 3 e 4, descrevemos as melhorias na heurística de cincoblocos recursiva e na abordagem, respectivamente. Também introduzimos novos resultados teóricos e estratégias relacionadas que melhoram o desempenho desses algoritmos. Finalmente, algumas conclusões são apresentadas na Seção 6.. Propriedades do problema e a abordagem recursiva combinada i, y Como mencionado, o problema consiste em empacotar caixas retangulares de comprimento l e largura w em um palete retangular de comprimento e largura W. As caixas têm uma orientação horizontal xada, devem ser colocadas ortogonalmente (isto é, com cada um de seus lados paralelo a um dos lados do palete) e apenas rotações de 90 graus são permitidas. O objetivo é encontrar um padrão (não-guilhotinado) de empacotamento bidimensional com o número máximo de caixas empacotadas. Sem perda de generalidade, podemos supor que, W, l e w são inteiros e que W w l w. Assim, uma instância do problema é determinada pela quádrupla (, W, l, w). Este problema de empacotamento pode ser classicado como /B/O/C de acordo com a tipologia de problemas de corte e empacotamento de Dyckho [8], e como two-dimensional, rectangular Identical Item Packing Problem (IIPP) baseado na tipologia de Waescher et al [15]. Dado um palete (, W ), supomos que o canto inferior esquerdo do palete coincide com a origem do R. Um empacotamento de N caixas para o problema (, W, l, w) é representado por um conjunto de N triplas (x i, y i, o i ), i = 1,..., N, onde (x i, y i ) corresponde à coordenada do canto inferior esquerdo da i-ésima caixa, e o i = horizontal signica que a i-ésima caixa não está rotacionada, enquanto que o i = vertical signica que ela está rotacionada de 90 graus. Claramente, as caixas não podem se sobrepor e precisam estar dentro do palete. Seja (x i, o i), i = 1,..., N, um empacotamento para o problema (, W, l, w). ins et al. (003) mostraram que existe um outro empacotamento (x i, y i, o i), i = 1,..., N, tal que x i e y i, i = 1,..., N, são combinações cônicas inteiras de l e w, isto é, (x i, y i ) S S W, i = 1,..., N, onde S = {x Z + x = r l + s w, 0 x w, r, s Z +}, S W = {y Z + y = t l + u w, 0 y W w, t, u Z +}. No teorema a seguir, mostramos que existe um outro empacotamento (x i, y i, o i ), i = 1,..., N, tal que (x i, y i ) R R W, i = 1,..., N, onde e R = { ˆx S ˆx S } {0}, R W = { W ŷ SW ŷ S W } {0}, x S = max{x S x x} e ỹ SW = max{y S W y ỹ}. (1)

2 R e R W são conhecidos como os conjuntos de raster points para (, l, w) e (W, l, w), respectivamente. Teorema 1. Seja (x i, y i, o i), i = 1,..., N, um empacotamento para o problema (, W, l, w). Existe um empacotamento (x i, y i, o i ), i = 1,..., N, tal que (x i, y i ) R R W, i = 1,..., N. A Figura 1 ilustra a grade de pontos gerada pelos conjuntos S e S W e pelos conjuntos R e R W para o problema (, W, l, w) = (8, 0, 7, 4). ser gerados pelo segundo. Se isso ocorrer, os limitantes inferior e superior armazenados pelo primeiro algoritmo são usados pelo segundo e, portanto, se a solução ótima já foi encontrada, o subproblema não é resolvido novamente. Por outro lado, o Algoritmo- calcula limitantes inferiores para os subproblemas em forma de, particionando-os em dois retângulos (em duas maneiras diferentes) e somando os limitantes inferiores para os retângulos gerados. Tendo a informação armazenada pelo primeiro algoritmo, temos melhores limitantes inferiores para os retângulos do que aqueles fornecidos pelo empacotamento homogêneo. 3. Renamentos da heurística de cinco-blocos recursiva (a) S S W (b) R R W Figure 1. Grade de pontos para (, W, l, w) = (8, 0, 7, 4). Um corolário do Teorema 1 é que pode-se supor, sem perda de generalidade, que R e W R W. Portanto, o problema (, W, l, w) é equivalente ao problema ( R, W RW, l, w). Se R < W RW, então, por convenção, consideramos também o problema equivalente ( W RW, R, l, w). O processo de converter um problema (ou subproblema) em um outro problema equivalente tal que as dimensões do palete são raster points e a primeira dimensão é maior ou igual a segunda dimensão é chamado de normalização. O processo de normalização é útil para detectar problemas equivalentes e resolver apenas um deles. Um processo análogo pode ser aplicado também no empacotamento de retângulos em peças em forma de ; ver [9] para maiores detalhes. Um outro corolário do Teorema 1 é que o método precisa procurar por um empacotamento ótimo apenas tentando colocar as caixas com seu canto inferior esquerdo no conjunto R R W. A abordagem de particionamento recursivo apresentada neste trabalho consiste na combinação de implementações ecientes da heurística de cincoblocos recursiva apresentada em [10] e do Algoritmo- introduzido em [9]. O método de cinco-blocos recursivo é executado primeiro e, se um certicado de otimalidade não é fornecido pelo método, o Algoritmo- é executado. Além disso, toda informação obtida pelo primeiro algoritmo é usado pelo segundo. Em particular, as informações são usadas de pelo menos duas formas. Por um lado, subproblemas gerados pelo primeiro algoritmo também podem A heurística de cinco-blocos recursiva [10] é, basicamente, uma aplicação recursiva do método apresentado em [5]. O algoritmo divide o retângulo em cinco (ou menos) retângulos menores através de um corte não-guilhotinado de primeira ordem; ver Figura. Como mostrado nessa gura, um corte não guilhotinado de primeira-ordem é representado por uma quádrupla (x 1, x, y 1, y ). Cada retângulo menor é cortado recursivamente, a menos que uma solução ótima seja encontrada, ou o limite da profundidade da recursão (denido pelo usuário) seja alcançado. Uma solução ótima pode ser detectada através de uma igualdade dos limitantes inferior e superior conhecidos para o número de caixas que podem ser empacotadas. Uma implementação eciente do método visa reduzir ao mínimo, sem perda de generalidade, o número de quádruplas (x 1, x, y 1, y ) necessárias para gerar todos os possíveis cortes nãoguilhotinados de primeira ordem de um dado retângulo. Isso também depende do desenvolvimento de uma estratégia eciente para evitar resolver o mesmo subproblema (ou um equivalente) mais de uma vez. No restante desta seção, descrevemos as estratégias desenvolvidas para melhorar o algoritmo introduzido em [10]. As duas primeiras melhorias consistem no uso dos raster points e do limitante superior de [3]. Os raster points são incorporados em conexão com a estrutura de dados descrita em [4]. Esta combinação nos permitirá chegar em uma utilização eciente dos raster points. Em [6], é mencionado que o limitante superior (introduzido por Barnes) é melhor do que o limitante trivial, dado pela razão entre a área do retângulo e a área da caixa, em torno de 4.% dos casos. Nossos experimentos conrmam esse resultado. Entretanto, calculando o limitante de Barnes apenas

3 y y 1 (0, 0) W 1 W 4 x 1 x (0, 0) (a) (b) Figure. Corte não-guilhotinado de primeira ordem. (a) Um corte não guilhotinado de primeira ordem pode ser denido por uma quádrupla (x 1, x, y 1, y ) tal que 0 x 1 x e 0 y 1 y W. (b) Ele determina cinco subretângulos ( 1, W 1 ),..., ( 5, W 5 ) tais que 1 = x 1, W 1 = W y 1, = x 1, W = W y, 3 = x x 1, W 3 = y y 1, 4 = x, W 4 = y 1, 5 = x 1 e W 5 = y. uma vez para cada subproblema e armazenando-o para ser usado posteriormente torna o seu uso muito vantajoso. Um controle da profundidade da recursão é incorporado para evitar múltiplas resoluções de um mesmo subproblema. Os testes feitos em [10] consistem em, dado um subproblema, resolvê-lo novamente se a profundidade atual é menor do que a profundidade relacionada à sua solução armazenada, já que uma recursão mais profunda poderia potencialmente encontrar uma solução melhor. Na presente implementação, também armazenamos a informação a respeito da inuência do limite de recursão no processo de calcular a solução do subproblema atualmente armazenada. Se tal processo não foi afetado pelo limite de recursão, o subproblema nunca é resolvido novamente. Analisaremos, agora, algumas simetrias. Cortes não-guilhotinados de primeira ordem degenerados, no qual um retângulo é dividido em exatamente três ou quatro subretângulos, podem ser eliminados. Esta eliminação é baseada no fato de que esses cortes podem ser gerados por dois ou três cortes guilhotinados consecutivos. Então, sem perda de generalidade, é possível considerar apenas cortes guilhotinados e não-guilhotinados de primeira ordem que geram exatamente cinco retângulos. Estamos interessados em simetrias para os cortes guilhotinados e para os cortes não-guilhotinados de primeira ordem não degenerados. Dizemos que dois cortes são simétricos ou equivalentes se eles geram o mesmo conjunto de subproblemas normalizados. O lema a seguir é usado mais tarde para provar que cortes guilhotinados verticais precisam ser considerados apenas na primeira metade do retângulo, já que qualquer corte guilhotinado vertical na segunda metade é equivalente (ou simétrico) W W 5 a um corte vertical guilhotinado na primeira metade. ema 1. Para todo x R, x S S = x. Simetrias em cortes guilhotinados verticais Seja (x 1, x, y 1, y ) R R W uma quádrupla que representa um corte não guilhotinado vertical. Sem perda de generalidade, podemos supor que y 1 = y = 0 e x 1 = x = x. Armamos que é suciente gerar apenas cortes guilhotinados verticais com x 1 (0, / ]. Teorema. Cada corte guilhotinado vertical (x 1, x, y 1, y ) R R W tal que y 1 = y = 0, x 1 = x = x, x > / é equivalente a um corte guilhotinado vertical (x 1, x, y 1, y ) R R W tal que y 1 = y = 0, x 1 = x = x, x /. x x R R 1 R x Figure 3. Corte guilhotinado vertical (x 1, x, y 1, y ) com x 1 = x = x e y 1 = y = 0. R 1 e R são os subretângulos normalizados gerados pelo corte. R 1 = ( 1, W 1) = (x, W ) e R = (, W ) = ( x R, W ). O caso de cortes guilhotinados horizontais é análogo. Um corolário do Teorema é que o método precisa considerar apenas cortes guilhotinados (x 1, x, y 1, y ) R R W tais que: 1. y 1 = y = 0 e 0 < x 1 = x = x / ; e. x 1 = x = 0 e 0 < y 1 = y = y W/. Simetrias em cortes não-guilhotinados de primeira ordem não degenerados Analisaremos agora as simetrias nos cortes nãoguilhotinados de primeira ordem não degenerados. Para fazer isso, dividiremos o palete em quatro regiões chamadas A, B, C e D (ver Figura 4). De agora em diante, até o m desta seção, usaremos o termo corte para nos referirmos a um corte nãoguilhotinado de primeira ordem não degenerado.

4 Chamaremos de p o centro do Subretângulo 3, o subretângulo central de um corte (ver Figura (b)). As simetrias são analisadas considerando a posição de p. Armamos que um corte com p int D é equivalente a um corte com p int A; ver Figura 4. (Analogamente, um corte com p int C é equivalente a um corte com p int B.) A mesma armação é também feita para um corte com p {(x, y) x = / e y [W/, W ]}, que é equivalente a um corte com p {(x, y) x = / e y [0, W/]}. y y 1 (b) W x 1 x B A W (a) y y 1 D C x 1 x Figure 4. (a) As quatro regiões usadas para analisar as simetrias dos cortes não-guilhotinados de primeira ordem não degenerados. (b) Um corte não-guilhotinado de primeira ordem não degenerado gerado por (x 1, x, y 1, y ) R R W com o centro do Subretângulo 3 na região D. (c) Um corte nãoguilhotinado de primeira ordem não degenerado gerado por x 1 = x S, x = x 1 S, y 1 = W y SW e y = W y 1 SW. O último corte tem o centro do Subretângulo 3 na região A e é equivalente ao primeiro corte. Teorema 3. Cada corte não-guilhotinado de primeira ordem não degenerado com o centro do Subretângulo 3 na região F = C D {(x, y) x = / e y [W/, W ]} é equivalente a um corte não-guilhotinado de primeira ordem não degenerado com o centro do Subretângulo 3 na região E = A B {(x, y) x = / e y [0, W/]}. Note que o corte original, bem como o seu corte equivalente, é determinado pela quádrupla de raster points. (c) 4. Renamentos da abordagem Assim como na abordagem recursiva da heurística cinco-blocos, combinamos o Algoritmo- com os raster points. Seu uso é direto e a implementação também usa a estrutura de dados descrita em [4]. Agora, mostraremos duas novas maneiras de dividir uma peça em forma de em duas peças em W forma de que não foram consideradas em [9]. Seguindo a notação de [9], a peça em forma de representada pela quádrupla (X, Y, x, y), com X x e Y y, é denotada por (X, Y, x, y) e denida como o fechamento topológico do retângulo cuja diagonal vai de (0, 0) até (X, Y ) menos o retângulo cuja diagonal vai de (x, y) até (X, Y ). Além disso, a divisão de uma peça em forma de em duas peças em forma de pode ser determinada por um par (x, y ). As duas novas subdivisões, chamadas B 8 e B 9, são dadas por: B 8 : x [0, x] 1 (x, Y, x, Y y ) y [y, Y ] (X x, y, x x, y) B 9 : x [x, X] 1 (x, Y y, x, y y ) y [0, y] (X, y, X x, y ) Um dos assuntos chave dos algoritmos analisados no presente trabalho está relacionado com o armazenamento de informação dos subproblemas que já foram considerados pelo método. Em particular, armazenamos um limitante inferior e um limitante superior para o valor ótimo (eles podem ser iguais e, neste caso, a solução é ótima). Também guardamos se o limitante inferior corresponde a um empacotamento homogêneo (vertical ou horizontal) ou qual é o particionamento que leva ao limitante inferior. A quantidade importante é o número de todos os possíveis subproblemas, e não o número real de subproblemas gerados, que é muito menor do que o primeiro. Em [4], foi mostrado empiricamente que menos de % de todos os possíveis subproblemas é de fato gerado pelo Algoritmo-. O resultado mais importante relacionado a este assunto é que subproblemas de subproblemas são subproblemas do problema original. É válido armar isso para subproblemas gerados na heurística de cinco-blocos recursiva assim como na abordagem. Em outras palavras, todos os subretângulos (ˆ, Ŵ ) e peças em forma de ( ˆX, Ŷ, ˆx, ŷ) geradas através dos métodos são tais que ˆ, ˆX, ˆx R, o conjunto de raster points associado a (, l, w) (onde é a dimensão do problema original), e Ŵ, Ŷ, ŷ R W, o conjunto de raster points associado a (W, l, w) (onde W é a dimensão do problema original). Como conseqüência, o número de todos os possíveis subproblemas é O( R R W ) na heurística de cinco-blocos recursiva e O( R R W ) na abordagem. Considere o conjunto de raster points R S (onde S é uma dimensão do palete, podendo ser ou W) como um conjunto ordenado (com os elemento em ordem crescente). Considere agora um vetor u de dimensão S. Se s é o i-ésimo elemento de R S, então u s = i. Posições de u que não correspondem a um elemento em R S não são denidas. Usando

5 este tipo de indexação, é possível mapear, em tempo constante, um par de raster points (ˆ, Ŵ ) ou uma quádrupla de raster points ( ˆX, Ŷ, ˆx, ŷ) em índices (I ˆ, IŴ ) e (I ˆX, JŶ, iˆx, jŷ), respectivamente. Em outras palavras, temos um modo fácil de associar cada possível subproblema a um par ou a uma quádrupla de índices [4]. No caso da heurística de cinco-blocos recursiva, desde que a quantidade R R W não seja tão grande, podemos simplesmente usar uma matriz bidimensional de dimensões R por R W para guardar a informação relacionada a cada subproblema (ˆ, Ŵ ) na posição (I ˆ, IŴ ). No caso da abordagem, se a quantidade R R W está disponível (i.e., se o computador tem memória su- ciente), uma matriz de quatro dimensões pode ser usada. Caso contrário, procedemos como segue. Se R R W está disponível, uma matriz tridimensional é usada, na qual o elemento (I, J, i) é uma árvore binária de busca balanceada com chave j. Se R R W não está disponível, mas R R W está, consideramos uma matriz bidimensional na qual o elemento (I, J) é uma árvore binária de busca balanceada com chave (i, j). Para provar que subproblemas de subproblemas são subproblemas do problema original, precisamos mostrar que todos os subretângulos (ˆ, Ŵ ) e peças em forma de ( ˆX, Ŷ, ˆx, ŷ) geradas pelos métodos são tais que ˆ, ˆX, ˆx R e Ŵ, Ŷ, ŷ R W. Pelo modo como ambos os métodos estão denidos, eles são: (i) raster points por si próprios; (ii) raster points por construção e pela denição de raster points; ou (iii) o raster point da diferença de dois raster points. Os dois primeiros casos são triviais. O teorema a seguir prova que a diferença normalizada de dois raster points é um raster point. Em particular, o resultado é um pouco mais geral, já que o segundo elemento pode ser uma combinação cônica inteira ao invés de um raster point. Teorema 4. Sejam x R e y S tais que x y. Então, x y S = x y R R. 5. Experimentos numéricos Nesta seção apresentamos resultados computacionais obtidos com a abordagem combinada de particionamento recursivo (que chamaremos de Abordagem de Particionamento Recursivo). O algoritmo foi escrito em linguagem C/C++. Todos os experimentos foram rodados em um.4ghz Intel Core Quad Q6600 com 4.0GB de memória RAM e Sistema Operacional inux. A opção -O3 de compilação foi adotada. Para avaliar o desempenho do algoritmo, inicialmente usamos cinco conjuntos de dados de carregamento de palete da literatura: Cover IA: 874 instâncias satisfazendo 1 W 3, 1 l w 4 e 1 W lw < 51; Cover IIA: instâncias satisfazendo 1 W., 1 l w 4 e 51 W lw < 101; Cover IB: 787 instâncias satisfazendo 1 W, 1 l w 4 e 1 W lw < 51; Cover IIB: instâncias satisfazendo 1 W, 1 l w 4 e 51 W lw < 101; Cover IIIB: instâncias satisfazendo 1 W, 1 l w 4 e 101 W lw < 151. A geração dos conjuntos de problemas foi introduzida em [7]. Cada instância em um conjunto é uma instância representativa de uma classe de equivalências de problemas contendo innitos elementos. Cover IA e IIA foram usados extensivamente na literatura de problemas de carregamento de palete [,13,14]. Cover IB, IIB e IIIB foram gerados recentemente e apresentados em [1]. Algoritmo- com raster points Tempo (em segundos) Total Média Mín. Máx. Cover IA Cover IB Cover IIA Cover IIB Cover IIIB Algoritmo- sem raster points Tempo (em segundos) Total Média Mín. Máx. Cover IA Cover IB Cover IIA Cover IIB Cover IIIB Table 1. Comparação entre as versões do Algoritmo- com e sem raster points. A Tabela 1 compara o desempenho do Algoritmo- sem raster points, ou seja, com a utilização dos

6 conjuntos de combinações cônicas inteiras, e com raster points. O teste do Algoritmo- sem raster points com o conjunto Cover IIIB não foi feito, devido ao grande tempo que seria necessário. Note que para a resoluções de todos os problemas de Cover IIB já foram necessários mais de 3 dias. A Tabela compara os tempos de execução do Algoritmo- com raster points e da Abordagem de Particionamento Recursivo. Note que a redução dos tempos de execução é substancial. Algoritmo- com raster points Tempo de execução (em segundos) Total Média Mín Máx Cover IA Cover IB Cover IIA Cover IIB Cover IIIB Abordagem de Particionamento Recursivo Tempo de execução (em segundos) Total Média Mín Máx Cover IA Cover IB Cover IIA Cover IIB Cover IIIB Table. Comparação do desempenho do Algoritmo- com raster points e da Abordagem de Particionamento Recursivo. 6. Conclusões e trabalhos futuros Os resultados teóricos apresentados nos permitiram desenvolver algoritmos mais ecientes. Em particular, com relação à heurística de cinco-blocos recursiva, os resultados obtidos na análise de simetrias permitem reduzir o número de subproblemas resolvidos pelo método. Com relação ao Algoritmo-, introduzimos duas novas formas de dividir uma peça em forma de em duas outras peças em forma de, que não foram consideradas em [9]. Além disso, a estrutura de dados apresentada para armazenar informações dos subproblemas permitiu resolver problemas maiores. A utilização dos raster points e do limitante superior de Barnes [3] também proporcionaram melhorias signicativas dos métodos. O renamento e a integração dos métodos descritos em [10] e em [9], juntamente com alguns detalhes de implementação, nos permitiram desenvolver uma abordagem de particionamento recursivo muito eciente para resolver instâncias difíceis de carregamento de palete. Em particular, a abordagem combinada foi capaz de melhorar 116 instâncias do Cover IIIB, se comparada com o método descrito em [1]. Os métodos apresentados são para a resolução de problemas de empacotamento com caixas de tamanhos idênticos. Pretendemos agora estender o método para a resolução de problemas que envolvem caixas de tamanhos variados. Uma versão preliminar do algoritmo já foi implementada. A Figura 6 mostra um dos problemas resolvido pelo método com o objetivo de minimizar a área não ocupada por caixas. Instância (11, 66, 15, 4) Instância (89, 76, 9, 5) com 133 caixas. com 150 caixas. Figure 5. Ten randomly selected improved solutions out of the one hundred sixteen improved solutions found by the Recursive Partitioning Algorithm for problems in Cover IIIB [1]. A Abordagem de Particionamento Recursivo resolveu otimamente instâncias de Cover IIIB - as soluções das outras 970 não tinham certicado de otimalidade. Apenas 177 instâncias tiveram suas soluções melhoradas com respeito às soluções obtidas usando o Algoritmo Cinco-blocos. Vale a pena mencionar que para 116 instâncias das 98016, a Abordagem de Particionamento Recursivo melhorou as soluções encontradas pelo algoritmo de busca tabu em [1]. A Figura 5 mostra duas dessas soluções melhoradas. Figure 6. Problema de empacotamento com três tipos de caixas: (, W ) = (587, 33), (l 1, w 1) = (76, 44), (l, w ) = (47, 34) e (l 3, w 3) = (5, 30). References [1] R. Alvarez-Valdes, F. Parreno, and J. M. Tamarit, A tabu search algorithm for the pallet loading problem, OR Spectrum 7 (005), [] A. Amaral and A. etchford, Analysis of upper bounds for the pallet loading problem, European Journal of Operational Research 13 (001),

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