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1 2 o Teste/ o Exame e Janeiro e 209: 8h00 Duração o teste: h30 Duração o exame: 3h00 Mestrao em Eng. Eletrotécnica e Computaores (MEEC Electromagnetismo e Óptica o emestre e Prof. Jorge Romão (Responsável Prof. Luís Alves Prof. António ilvestre Prof. Miguel Nebot Prof. Nuno Leonaro Prof. Davi Resenes Durante a realização o teste/exame não é permitio o uso e telemóveis e calculaoras. Ientifique claramente toas as folhas o teste/exame. Inicie a resolução e caa um os problemas numa nova página. O 2 o teste consiste nos problemas 3 e 4. NOTA: Este ocumento apresenta a solução abreviaa, não incluino toos os passos e justificações que evem aparecer na resolução e que são cotaos Problema [5 valores Consiere um anel e raio R, carregao uniformemente com carga Q > 0, situao num plano paralelo ao plano xy e com centro no ponto z 0 > 0 o eixo os z, conforme inicao na figura. Detalhano os cálculos: z a [.0 Mostre que o potencial eletrostático num ponto P = (0, 0, z o eixo os z é ao por, (z = Q 4πɛ 0 R2 + (z z 0 2 x Q z 0 R y olução: a Temos e integrar sobre a istribuição e carga no anel. O elemento e arco l tem carga elementar q = λ l one λ = Q 2πR. Para um ponto P = (0, 0, z sobre o eixo toos os pontos o anel se encontram há mesma istância = R 2 + (z z 0 2. Portanto o potencial será (z = λ l 4πɛ 0 anel = λ 4πɛ 0 anel = λ 2πR 4πɛ 0 R2 + (z z 0 = 2 l R2 + (z z 0 2 = Q 4πɛ 0 R2 + (z z 0 2 λ 4πɛ 0 R2 + (z z 0 2 anel l Para as alíneas seguintes consiere que se junta ao primeiro um outro anel com o mesmo raio R, carregao com carga Q e colocao paralelamente e tal forma que o centro se encontra no eixo os z na posição z 0.

2 b [.0 Qual o potencial o conjunto assim formao? b Pelo princípio a sobreposição evemos ter (z = Q 4πɛ 0 R2 + (z z 0 Q 2 4πɛ 0 R2 + (z + z 0 2 c [.0 Determine as componentes E x, E y e E z o campo eléctrico no eixo e simetria. Justifique a sua resposta. c O potencial foi eterminao so para x = y = 0, isto é (0, 0, z. Portanto não poemos usar o potencial para eterminar as componentes E x, E y. No entanto, evio à simetria azimutal o problema, sobre o eixo e simetria estas componentes são nulas, para caa elemento e carga haverá sempre outro que cancela as componentes no plano perpenicular ao eixo e simetria. Portanto E x = E y = 0. Para E z temos [ E z = z (z = Q z z 0 4πɛ 0 (R 2 + (z z 0 2 z + z 0 3/2 (R 2 + (z + z 0 2 3/2 [.0 Qual o trabalho efectuao para trazer uma carga pontual, q > 0, o infinito até à origem o sistema? Por efinição e energia electrostática esse trabalho é ao pelo prouto a carga q pelo potencial em z = 0. Portanto W = q(0 = 0 e [.0 Consiere agora que z z 0, R. Determine o termo ominante o potencial a granes istâncias. Interprete o resultao em termos a carga total e o momento ipolar a istribuição. Nota: O seguinte resultao poerá ser útil (válio para z z 0, R e Usano a expansão aa no enunciao temos R2 + (z z 0 2 z ± z 0 z 2 (z = Q 4πɛ 0 R2 + (z z 0 Q 2 4πɛ 0 R2 + (z + z 0 2 Q [ 4πɛ 0 z + z ( 0 z 2 z z 0 z 2 = Q 2z 0 4πɛ 0 z 2 Para uma istribuição arbitrária e carga evemos ter a granes istâncias (x, y, z = Q total 4πɛ 0 r + 4πɛ 0 p u r r 2 + em que o primeiro termo é o carga total e o seguno o o ipolo. Para um ponto sobre o eixo os z temos u r = u z e r = z, pelo que everíamos ter Comparano as expressões vemos que (z = Q total 4πɛ 0 z + 4πɛ 0 p z z 2 + Q total = Q Q = 0 isto é a epenência com o inverso a istância anula-se, pois a carga total é nula, e que p z = Q 2z 0 De facto por razões e simetria, sobre o eixo o momento ipolar tem só componente p z, pelo que p = Q 2z 0 u z irigio a istribuição e carga negativa para a istribuição e carga positiva.

3 Problema 2 [5 valores Consiere um cabo coaxial. O conutor interior e raio r é maciço, e o conutor exterior, e raio r 2 é uma película metálica e espessura esprezável. O espaço entre os conutores, entre os raios r e r 2, está preenchio por material ieléctrico, linear, homogéneo e isótropo e permitiviae ε. Na figura encontra-se representaa (para efeitos e visualização uma secção e altura h este conjunto e altura infinita. O conutor interior tem uma carga por uniae e comprimento λ e o conutor exterior está ligao à terra. a [.0 Determine o campo E em toos os pontos o espaço, isto é, para 0 < r <. b [.0 Determine as cargas e polarização na superfície interior o ieléctrico (r = r. r 2 r ǫ c [.5 Determine o potencial em toos os pontos o espaço, 0 < r <. Faça um gráfico aproximao a variação o potencial com r. h [.5 Determine a energia armazenaa por uniae e comprimento o cabo coaxial. Use este resultao para eterminar a pressão Pfrag replacements exercia sobre a película metálica explicitano o seu sentio. Nota: Recore que a pressão sobre um objeto é igual à força normal por uniae e área, exercia sobre esse objeto. ǫ 0 ǫ 0 a Dentro o conutor interior em equilíbrio electrostático o campo eléctrico é nulo. Dentro o ieléctico por razões e simetria o campo é raial e irigio seguno a ireção e r. As linhas e campo vão terminar no conutor exterior originano aí uma ensiae e carga por uniae e comprimento e λ (qualquer execesso e carga que existisse no conutor exterior inicialmente teria sio conuzia para a terra, ficano λ quano se atinge o equilíbrio. Estamos portanto em conições e usar a lei e Gauss generalizaa. r ( D n = Qint amos utilizar como superfície e Gauss superfícies cilinricas com o mesmo eixo que o cabo coaxial e com raio r e altura l. Temos sucessivamente 0 < r < r : Conutor em equilíbrio electrostático E = 0 r < r < r 2 : Campo raial e constante sobre a superfície lateral o cilinro. r ( D n =Qint D 2πrl = λl D = λ 2π r u r E = λ 2πɛ r u r r > r 2 : Campo raial e constante sobre a superfície lateral o cilinro mas carga interior nula. r ( D n =Qint D 2πrl = 0 D =0 E = 0

4 b O vector Polarização é para r < r < r 2 P = D ɛ0 E = ɛ ɛ 0 ɛ D = ɛ ɛ 0 ɛ λ 2π r u r As cargas e polarização em r = r são (a normal exterior ao ieléctrico em r = r é n ext = u r σ (r = P next = P(r = ɛ ɛ 0 ɛ c O potencial é efinio em relação a um ponto e referência rref ( r = ( r ref + E l r λ < 0 2π r O conutor exterior está ligao à terra, (r 2 = 0, pelo que tomamos o ponto r = r 2 como referência, ( r = r2 Como o campo E = 0 para r < r e r > r 2 o potencial é constante nessas regiões. Começano e fora para entro, e escolheno um caminho na ireção raial (o integral é inepenente o caminho r E l r > r 2 ((r 2 = 0 (r = 0 r < r < r 2 (r = r2 r E r = r2 r λ 2πɛ r r = λ 2πɛ ln r 2 r 0 < r < r : O potencial é constante e igual ao potencial em r = r, ou seja (r = O gráfico, em uniaes arbitrárias, para r 2 = 2r, é λ 2πɛ ln r 2 r (r r r A maneira mais fácil é usar a expressão e Maxwell para a energia electrostática U E = 2 ( E D Como os campos só são não nulos para r < r < r 2 tomemos como volume uma altura h o cabo coaxial. Então usano coorenaas cilínricas obtemos U E = h 2π r2 z ϕ ( E Drr r = 2 2πh λ λ r2 2πɛ 2π r r r = λ2 4πɛ h ln r 2 r

5 e portanto a energia por uniae e comprimento é U E h = λ2 4πɛ ln r 2 r A força sobre o conutor exterior para uma altura h é F r = r U E(r r=r2 = λ2 4πɛ h r 2 seno portanto uma força atrativa. A pressão é a força por uniae e área, portanto no conutor exterior obtemos, P = F r 2πr 2 h = λ2 8π 2 ɛ r 2 2 Problema 3 [5 valores (2 o Teste Consiere um fio rectilíneo percorrio por uma corrente estacionária I e colocao sobre o eixo os y um referencial. No plano xy encontra-se um circuito em U com resistência R que é fechao por uma barra que se move com velociae v = v 0 u y constante, conforme inicao na figura. Consiere que o comprimento o fio é muito maior que + l para poer usar a aproximação o fio infinito. a [.0 Calcule o campo B na região o circuito com a barra. b [.5 Determine a corrente inuzia no circuito explicitano o seu sentio. Relacione esse sentio com o sinal a lei e Lenz. z l O R I v y c [.0 Mostre que para manter a barra em movimento com a velociae v 0 constante é preciso aplicar uma força Fmec à barra. Determine essa força. x y(t [.5 Mostre que a potência mecânica que é necessário fornecer para manter a barra em movimento com velociae constante é igual à potência issipaa por efeito e Joule na resistência. a As linhas o campo B criao por um fio infinito são circunferências. Em toos os pontos essa circunferência o B é constante (só poe epener a istância ao fio. Estamos assim em conições e usar a lei e Ampère B l = µ0 I one escolhemos o contorno coinciir com uma circunferência e raio r. Obtemos então ( B l e B constante sobre B 2πr = µ0 I ou µ 0 I B = 2π r u ϕ Usano agora o referencial a figura, na região o circuito, (plano xy temos b amos primeiro calcular a força electromotriz µ 0 I B = 2π x u z E = Φ t

6 one Φ(t é o fluxo que atravessa o circuito com a barra em movimento. Para eterminar o fluxo temos e escolher a normal. amos escolher a normal contrária ao campo B isto é n = uz. Então Φ = y(t ( B n = y = µ 0I + l y(t ln 2π 0 +l x µ 0I 2π x Usano y t = v 0 obtemos E = Φ t = µ 0I 2π v 0 ln + l e para a corrente inuzia I in = E R = µ 0I v 0 2π R ln + l > 0 Como a corrente inuzia é positiva, quer izer que o seu sentio real coincie com o arbitrao, isto é no sentio contrário ao os ponteiros o relógio. Esta corrente inuzia vai criar um campo B no sentio contrário ao campo original tentano contrariar o aumento o fluxo no circuito, e acoro com a lei e Lenz. c Os quatro laos a espira rectangular vão estar sujeitos a forças por estarem a ser percorrios pela corrente I in numa região com B = 0. De facto a força elementar sobre um elemento e corrente é F = Il B. No entanto, só a barra é móvel e portanto só estamos interssaos nessa força. Como na posição a barra temos Integrano sobre o comprimento a barra, F = Iin µ 0 I 2π l = x u x, µ 0 I B = 2π x u z µ 0 I x F = Iin 2π x u y +l x x u µ 0 I y = I in 2π ln + l u y Esta força opõe-se ao movimento a barra (uma consequência a lei e Lenz e para manter a barra em movimento uniforme vai ser preciso aplicar uma força mecânica igual e e sinal contrário, isto é µ 0 I Fmec = I in 2π ln + l u y O trabalho elementar realizao por uma força F num eslocamento l é W = F l pela que a potência, será Portanto a potência mecânica será P = W t = F l t = F v Usano agora o valor a corrente inuzia, P mec = µ 0 I Fmec v = I in 2π ln + l v 0 I in = µ 0I 2π v 0 ln + l R obtemos P mec = RI 2 in = P J

7 isto é a potência mecânica fornecia é igual à potência issipaa por efeito e Joule no circuito. Problema 4 [5 valores (2 o Teste Consiere uma ona plana monocromática que se propaga num meio não magnético, (µ = µ 0, com permitiviae ɛ = 6 9 ɛ 0. Conforme inicao na figura, esta ona incie na superfície e separação (z = 0 o meio com o vazio com um ângulo e inciência igual ao ângulo e Brewster, isto é, θ i = θ ib seno o plano e inciência o plano xz representao na figura. abe-se que a percentagem e energia transmitia é nestas conições 00%. z vazio vazio n 2 = n k x θ ib E abeno que o campo E a ona é ao por E x = βe 0 cos [ωt k (αx + βz E y =... = αe 0 cos [ωt k (αx + βz a [.0 Determine o seno o ângulo e inciência, sin(θ ib. E z a Começamos por eterminar o ínice e refração o meio one a ona se propaga. Temos n = c v = µ ɛ 6 = µ 0 ɛ 0 9 = 4 3 O ângulo e Brewster ocorre quano θ ib + θ r = π 2, e portanto usano a lei e nell-descartes ou seja n sin(θ ib = n 2 sin(π/2 θ ib = n 2 cos(θ ib tan(θ ib = n 2 n = 3 4 abeno a tangente poemos eterminar o seno e o coseno (os ângulos estão no primeiro quarante e portanto cos(θ ib 2 = + tan(θ ib 2 = 6 25, sin(θ i B 2 = cos(θ ib 2 = 9 25 sin(θ ib = 3 5, cos(θ i B = 4 5 b [.0 Determine as contantes α e β e mostre que a ona é transversal. b As componentes o vector e ona são e portanto a irecção e propagação é k x = k α, ky = 0, k z = k β n = k k = α u x + β u z, α 2 + β 2 =

8 Da figura resulta então α = sin(θ ib = 3 5, β = cos(θ i B = 4 5 A ona é transversal para qualquer valor e α e β e E y. De facto (n y = 0 n E =nx E x + n z E z =αβe 0 cos [ωt k (αx + βz βαe 0 cos [ωt k (αx + βz =0 c [.0 Nas conições o problema etermine a componente E y e a polarização a ona. c Diz-se que a percentagem e energia transmitia é 00%. Isto quer izer que a ona tem polarização paralela ao plano e inciência pois seno o ângulo e inciência o ângulo e Brewster não há, nestas conições, ona reflectia. Assim o campo E só tem componentes Ex e E z iferentes e zero e portanto E y = 0 e não eterminou o valor e E y para as alíneas seguintes consiere que E y = 0. [.0 O campo H a ona inciente. O campo H é ao por H = Z n E one Z = one se usou Z 0 = 20π Ω. Obtemos portanto µ ɛ = Z 0 n = 90π Ω H = n E Z = u x u y u z Z α 0 β βe 0 cos [ 0 αe 0 cos [ = Z ( α 2 + β 2 E 0 cos [ u y = Z E 0 cos [ u y = H 0 cos [ u y one (E 0 em /m H 0 = E 0 = Z 90π E 0 (A/m e [.0 O valor méio o móulo o vector e Poynting a ona inciente. e Temos Usano = E H = E 2 0 Z cos 2 [ ωt k (αx + βz n cos 2 [ωt = 2 obtemos = E0 2 (W/m 2 2 Z

9 Algumas Primitivas x (x 2 + b 3/2 = b xx x2 + b = x 2 + b x x2 + b x x(x + a = a ln( x x + a xx (x 2 + b 3/2 = x2 + b x (x x2 + b = ln + x 2 + b Para o cálculo analítico e integrais poe ser consultao o enereço web: Coorenaas cartesianas (x, y, z Coorenaas polares (r, θ l = x u x + y u y + z u z = x y = x y z ( F F = x, F y, F z A A x = x + A y y + A z z A = ( x, y, z, (A x, A y, A z Coorenaas cilínricas (r, θ, z l = r u r + r θ u θ = r r θ Coorenaas esféricas (r, θ, φ l = r u r + r θ u θ + z u z = r r θ z ( F F = r, F r θ, F z A (r A r = + A θ r r r θ + A z z ( A A z = r θ A θ u r + z ( Ar z A z r u θ + ( (r A θ r r r A r u z θ l = r u r + r θ u θ + r senθ φ u φ = r 2 r senθ θ φ ( F F = r, F r θ, rsenθ A = r 2 [ A = Teorema a Divergência r rsenθ F φ (r 2 A r + rsenθ (senθa φ θ θ (senθa θ + (senθa θ φ ( Aφ rsenθ φ u r + r A = [ A r senθ φ (ra φ r A n u θ + [ (raθ r r A r u φ θ Teorema a tokes A = A l Ientiaes vectoriais ( A B = B ( A A ( B ( A = 0 ( A = ( A 2 A

10 Formulário e Electromagnetismo e Óptica (208 Electrostática q E = 4πε 0 r 2 u r = N.m 2.C 2 4πε 0 E l = 0 E = 0 D n = ρ liv D = ρliv P n = ρ pol ρ pol = P σ pol = P next Re f P = E l P E = D = P + ε0 E D = ε 0 ( + χ E E = ε E Q = C [ U E = 2 q i i i u E = 2 εe2 U E = u E Fs = ± U E s u s Corrente eléctrica estacionária J = Nq v J = σc E I = J n p = J E J n = ρ t ρ J = t Onas electromagnéticas Magnetostática µ B = 0 I l u r 4π r 2 µ 0 4π = 0 7 H/m F = I l B B n = 0 B = 0 H l = J n H = J B = µ0 ( M + H B = µ0 ( + χ m H = µ H M l = JM n JM = M J M = M next Interacção e partículas e campos F = q ( E + v B Campos variáveis e inução E l = t B E = t Φ i = L i I i + M ij I j U M = [ 2 Φ i I i i u M = B 2 2 µ U M = u M B n Fs = ± U M s u s H l = J n + D n t Óptica H = J + D t = E H n = κ κ = E E B B E B = v v = εµ u = u E + u M I = n n senθ = n 2 senθ 2 tgθ B = n 2 n interferência entre fenas senθ max = mλ senθ min = mλ + λ m (m N e par ifracção asenθ min = mλ F.Barao, L.F.Menes Dep. e Física, IT