Antena de banda ultra-larga para aplicações espaciais em ondas milimétricas

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1 UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA Instituto Superior Técnico Antena de banda ultra-larga para aplicações espaciais em ondas milimétricas Gonçalo Perdigão, nº Hugo Carmo, nº (i) Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1. RELATÓRIO DE PROGRESSO DE TRABALHO FINAL DE CURSO 164/2002/M Prof. Orientador: Prof. Carlos Fernandes Fevereiro de 2003

2 Agradecimentos Trabalho realizado no âmbito do Projecto POSI/CPS/34860/1999, com orientação do Prof. Carlos Fernandes. ii

3 Resumo O relatório de progresso do trabalho final de curso tem como objectivo fazer um ponto da situação no que diz respeito ao processo de evolução do projecto, às tarefas já realizadas e aos resultados para já conhecidos. O objectivo do trabalho é construir uma antena de banda larga baseada no conceito de lentes dieléctricas, com um diagrama de radiação do tipo Gaussiano e uma superfície de onda de fase constante plana, à saída. Analisam-se antenas independentes da frequência, como antenas espirais e log-periódicas, como candidatas a uma versão final, com resultados para já satisfatórios na banda dos 40 aos 80 GHz, bem como a sua integração em potenciais estruturas finais já conhecidas. Conclui-se que a estrutura a realizar deve ser constituída pela associação de duas lentes dieléctricas, dada a impossibilidade de satisfazer todos os requisitos com um único grau de liberdade. O trabalho fornece também uma base teórica para as principais questões relacionadas com o tema, bem como uma contextualização do mesmo e uma referência às tarefas a realizar até encontrar uma solução optimizada para a versão final da antena. Palavras Chave Lentes dieléctricas, ondas milimétricas, comunicação espacial, antenas de banda larga, antenas impressas iii

4 Índice Agradecimentos... i Resumo... iii Palavras Chave... iii Lista de Figuras... v Lista de Tabelas... vii Lista de Programas... viii 1. Introdução Enquadramento Geral Objectivo Antenas a Utilizar Estrutura a Utilizar Estrutura do Relatório Teoria das Lentes Utilização de Lentes Dieléctricas Estudos Preliminares Lentes para Focagem de Fase Lentes para Focagem de Amplitude Lentes de Focagem de Fase vs Focagem de Amplitude Relação entre a Lente de Fase e a Lente Obtida a partir do seu DR Comparação entre o DR de uma Lente de Fase e uma Curva Gaussiana Antenas Independentes da Frequência Antenas Espirais Antenas Log-periódicas Planeamento e Próximos Passos Anexo A. Construção de Lentes Dieléctricas Anexo B. Interface entre Dois Meios Semi-ilimitados e Lei de Snell-Descartes Anexo C. Método de Runge-Kutta Anexo D. Variação da Constante Dieléctrica com a Frequência Anexo E. Reflexões Internas em Lentes Anexo F. Método dos Momentos Anexo G. Software Utilizado Referências iv

5 Lista de Figuras Figura 1.1 Exemplo de uma estrutura auto-complementar (extraído de [4])... 3 Figura 1.2 Geometrias das antenas estudadas. a) Espiral. b) Log-periódica. (Extraído de [6])... 3 Figura 1.3 Esquema da estrutura da antena... 4 Figura 1.4 Exemplo de uma antena log-periódica acoplada a uma lente de silicone (extraído de [7])... 4 Figura 1.5 Exemplo de estrutura da antena impressa... 5 Figura 2.1 Lente dieléctrica com alimentação por guia metálico (extraído de [P1])... 6 Figura 2.2 Esquema de uma lente dielétrica alimentada por um guia metálico (extraído de [18])... 7 Figura 2.3 Geometria da associação de duas lentes (extraído de [18])... 7 Figura 2.4 Parâmetros para a descrição do campo no exterior da lente (extraído de[17])... 9 Figura 3.1 Perfis das lentes sec 2 obtidas com alterações em θ max e ρ Figura 3.2 Variação do campo eléctrico com θ max Figura 3.3 Variação do campo eléctrico com a frequência de alimentação Figura 3.4 DR introduzido a partir de um ficheiro externo Figura 3.5 Perfil de lente obtida a partir de alimentação pré-definida simétrica em relação a x e a partir de alimentação assimétrica (ficheiro externo) Figura 3.6 Campo eléctrico total com lente obtida a partir de alimentação pré-definida simétrica em relação a x e com lente obtida a partir de alimentação assimétrica (ficheiro externo) Figura 3.7 Perfil da lente obtida a partir de alimentação predefinida e a partir de ficheiro externo Figura 3.8 Campo eléctrico total em função de θ, variações com utilização de ficheiro externo Figura 3.9 Campo eléctrico total em função de θ, variações com utilização de ficheiro externo (ampliado) Figura 3.10 a) Descrição do mecanismo de geração de uma superfície de onda de fase constante(extraído de[24]); b) Efeito de focagem numa lente elíptica alimentada por uma fenda (extraído de[12]) Figura 3.11 Lente elíptica em tamanho real para F = 50mm. a) Representação tridimensional; b) Corte segundo o plano de maior perímetro Figura 3.12 a) Variação do perfil da lente para diferentes valores do plano z = F [mm] e para ε=2,5: Castanho F=80, Amarelo F=70, Verde F=60, Vermelho F=50, Azul F=40 b) Variação do perfil da lente para diferentes valores de ε 1 e z =F=50 mm: Castanho ε 1 =5, Azul - ε 1 = 3,8, Verde -ε 1 =2,8, Vermelho ε 1 =2,5, Amarelo ε 1 =1,5, Roxo ε 1 =1, Figura 3.13 Lente da Tabela 3.4. a) Perfil ; b) Representação tri-dimensional [mm] Figura 3.14 Superfície de fase constante para 20 raios Figura 3.15 Comparação entre as lentes. a) Perfis: Azul Lente de amplitude; Vermelho Lente de fase; b) Campos eléctricos totais: Preto Lente de amplitude; Vermelho Lente de fase Figura 3.16 Detalhe do campo eléctrico total para ambas as lentes com correcção do número de pontos v

6 Figura 3.17 Comparação de perfil. a) Com o raio das lentes igual. Azul Lente de fase; Vermelho Lente de amplitude. b) Altura das lentes igual. Azul Lente de amplitude; Vermelho Lente de fase Figura 3.18 Comparação entre os DR alvo, para raios iguais e para alturas iguais Figura 3.19 Detalhe da Figura 3.18 para a gama de 0 a 30 db Figura 3.20 Melhoria devida ao aumento das dimensões da lente Figura 3.21 Comparação entre o DR alvo e três curvas Gaussianas de variância, respectivamente 0,5 Vermelho; 0,3 Azul e 1,0 Verde Figura 3.22 Aproximação inicial da Gaussiana Figura 4.1 Espiral de dois braços, constituídos por placas metálicas (extraído de [3]) Figura 4.2 Esquema da espiral constituída por dois fios condutores Figura 4.3 DR da espiral constituída por dois fios condutores, para f=60 GHz Figura 4.4 Esquema da espiral com placas metálicas. a) Visão geral. b) Pormenor da alimentação Figura 4.5 Pormenores das diferentes configurações usadas para a alimentação. a) Alimentação no extremo interno. b) Alimentação ao meio. c) Alimentação no extremo externo Figura 4.6 Variação da impedância de entrada com a frequência, com a alimentação no extremo interno da espiral e ε r = Figura 4.7 Variação da impedância de entrada com a frequência, com a alimentação no extremo interno da espiral. a) ε r = 2.5. b) ε r = 5. c) ε r = Figura 4.8 Variação da impedância de entrada com a frequência, para ε r = 5. a) alimentação no extremo interno da placa metálica. b) alimentação no meio da placa metálica. c) alimentação no extremo externo da placa metálica Figura 4.9 Esquema da espiral alimentada a partir de um plano de terra Figura 4.10 DR da espiral com plano de terra (f=60ghz) Figura 4.11 Variação da impedância de entrada da espiral com plano de terra, com a frequência (ε r =1) Figura 4.12 Esquema da espiral alimentada a partir de um plano de terra. a) Vista geral. b) Vista de topo Figura 4.13 DR da espiral com plano de terra aumentado (f=60ghz) Figura 4.14 Exemplos de geometrias log-periódicas. a) Circular. b) Quadrada. c) Cónica. d) Piramidal (extraído de [6]) Figura 4.15 Configuração típica de uma antena log-periódica (extraído de [3]) Figura A.1 Relação entre o raio e o peso de uma lente esférica para três materiais Figura A.2 Detalhe da relação entre o raio e o peso de uma lente esférica para três materiais Figura B.1 Parâmetros relativos à interface entre dois meios (extraído de[24]) Figura B.2 Parâmetros relativos à Lei de Snell Descartes (extraído de[24]) Figura E.1 Reflexões internas numa lente elíptica (extraído de[12]) Figura E.2 Comparação entre o DR obtido considerando e não considerando as reflexões internas (extraído de[1]) Figura G.1 Relação entre ficheiros e aplicações vi

7 Lista de Tabelas Tabela 3.1 Características das lentes sec 2 obtidas com alterações de θ max e de ρ Tabela 3.2 Características da alimentação das lentes sec 2 obtidas com alterações em θ max e ρ Tabela 3.3 Características da lente obtida a partir de ficheiro externo Tabela 3.4 Características da lente dieléctrica para obtenção de DR Gaussiano Tabela 3.5 Características da alimentação da lente descrita na Tabela Tabela 3.6 Características da lente de fase Tabela 3.7 Características da lente de amplitude Tabela 3.8 Características da lente de amplitude com altura igual Tabela 4.1 Características da espiral com placas metálicas Tabela 4.2 Características da espiral alimentada a partir de um plano de terra Tabela 4.3 Características do plano de terra utilizado na alimentação da espiral Tabela 4.4 Características da espiral alimentada a partir de um plano de terra Tabela 5.1 Planeamento inicial. Azul tarefas agendadas. Vermelho tarefas cumpridas. 36 Tabela A.1 Permitividade relativa de alguns materiais Tabela A.2 Densidade de alguns materiais Tabela A.3 Peso das lentes analisadas vii

8 Lista de Programas [P1] LENS 2.5D [P2] Ray_trace [P3] WIPL-D [P4] LensCalc [P5] Graf_vb [P6] KH3D [P7] Ab_Campo viii

9 2. Introdução 2.1. Enquadramento Geral Na última metade do século XX assistiu-se a uma grande revolução ao nível dos sistemas de telecomunicações. Foram criadas novas fronteiras e a barreira terrestre foi ultrapassada passando a comunicação espacial a funcionar como o elo de ligação interplanetário. O recurso a satélites e a novas tecnologias surge como uma forma de reduzir as limitações intrínsecas ao espaço e ao tempo existentes até então e como um suporte para um maior volume e diversidade de informação entre a população do nosso planeta. Inicialmente, a comunicação espacial estava reservada exclusivamente para fins governamentais, militares e experimentais. Neste momento surge como uma indústria que movimenta milhões de euros e emprega não só cientistas e engenheiros, mas também gestores, economistas, analistas, fornecedores de dados e serviços e todo o tipo de pessoas que trabalham em qualquer outra indústria global. Com o passar dos tempos surgem não só novos métodos e técnicas, mas também novas aplicações. Aumenta, assim, a necessidade de recorrer a elevadas taxas de transferência de dados e, consequentemente, de sistemas que forneçam uma elevada largura de banda. Uma vez que o espectro electromagnético se encontra ocupado (reservado) até às frequências na banda J (limite superior de 20 GHz), torna-se necessário recorrer a uma gama mais elevada de frequências. As ondas milimétricas e sub-milimétricas, com frequências acima dos 30 GHz, surgem como uma alternativa viável. A motivação para a utilização de ondas milimétricas não se prende apenas com este facto. Existem diversas aplicações onde este tipo de frequências se torna imprescindível, como, por exemplo, aplicações nas áreas da detecção remota ou radioastronomia, onde se verifica uma crescente necessidade de receptores de baixo ruído na banda de frequências entre 30 GHz e 3 THz [1]. Outra das vantagens em usar esta gama espectral, nomeadamente a banda dos 60 GHz, está associada aos elevados valores da atenuação com a distância apresentados pelos gases atmosféricos, o que facilita o isolamento entre células, em sistemas de comunicações móveis. As antenas surgem como um elemento fulcral num sistema de telecomunicações. A capacidade de originarem diferentes tipos de DR, funcionarem em diferentes ambientes e poderem ser modeladas para diversas aplicações torna-as alvo de um interesse crescente nos últimos tempos. Em frequências muito elevadas (acima dos 3 GHz) são usualmente utilizadas antenas de abertura, tais como reflectores, cornetas e lentes. Actualmente, estas frequências suportam a comunicação entre satélites, comunicações móveis e por radar, a detecção remota e, experimentalmente, as comunicações móveis em banda-larga. 1

10 2.2. Objectivo Este projecto enquadra-se no âmbito de uma colaboração com a Agência Espacial Europeia (ESA), na qual o Instituto de Telecomunicações (IT) pretende estudar a viabilidade do desenvolvimento de uma antena de banda ultra-larga (da ordem de 100%) para aplicações espaciais em ondas sub-milimétricas. Esta antena deverá ter um diagrama de radiação (DR) do tipo Gaussiano e uma superfície plana de onda de fase constante, à saída. Vai ser usado o conceito de lentes dieléctricas, assunto em que o IT desenvolveu competência nos últimos anos. Na aplicação final, estas lentes serão feitas do mesmo material das bolachas semicondutoras que contêm os circuitos electrónicos, para garantir, na fase de fabrico, a integração total da antena com a electrónica do receptor. Para além de estudos de simulação, serão construídos e testados protótipos de antenas escaladas para operar em 60 GHz, sendo este um modelo à escala, uma vez que, na prática, é pretendida uma antena para a banda GHz [2], cuja impossibilidade de construção se deve às evidentes limitações de fabrico, λ(f=500ghz)=0,6 mm Antenas a Utilizar Pretende-se que a antena a realizar tenha uma largura de banda da ordem dos 100%. Como tal, é necessário que as suas características, quer de radiação, quer de impedância de entrada se mantenham constantes para uma determinada gama de frequências. Uma determinada antena cumpre este requisito se a sua forma for totalmente definida por ângulos. Para obter o comportamento pretendido é necessário que a corrente eléctrica na estrutura diminua com o aumento da distância ao ponto de alimentação. Desta forma, a partir de um determinado ponto da estrutura, a corrente é desprezável. Assim, o limite inferior da frequência é aquele para o qual a corrente na extremidade da antena é desprezável. O limite superior é aquele para o qual a alimentação deixa de poder ser considerada como um ponto. Usualmente, para uma linha de transmissão, deixa-se de considerar a alimentação como um ponto quando a sua dimensão (largura) é superior a λ/8, onde λ é o comprimento de onda correspondente à maior frequência em causa. [3] Apesar de todos os cuidados com a geometria da antena que já foram referidos, não é garantido um comportamento completamente uniforme ao longo da frequência, nomeadamente em relação à impedância de entrada. No caso de antenas planares, para eliminar possíveis variações desse parâmetro, podem utilizar-se geometrias autocomplementares. Entende-se que uma estrutura possui geometria auto-complementar, quando a forma da área metálica coincide com a forma da área aberta. [4] Um exemplo de uma destas estruturas é ilustrado na Figura

11 Figura 2.1 Exemplo de uma estrutura auto-complementar (extraído de [4]) Uma antena com geometria auto-complementar possui uma impedância de entrada constante e igual a metade da impedância intrínseca do espaço, ou seja, Z 0 /2 [5]. Existem vários tipos de antenas com as características referidas. Dados os requisitos do presente trabalho, apenas as antenas planares podem ser utilizadas. Assim, iremos considerar dois tipos de antenas: antena espiral e antena log-periódica. Podemos ver exemplos destas geometrias na Figura 2.2. a) b) Figura 2.2 Geometrias das antenas estudadas. a) Espiral. b) Log-periódica. (Extraído de [6]) 3

12 2.4. Estrutura a Utilizar Pretende-se utilizar uma estrutura composta por uma antena impressa de banda larga acoplada a uma lente dieléctrica. Este tipo de estrutura é ilustrado na Figura 2.3. Existem já algumas aplicações para as quais foram utilizadas estruturas deste tipo. Em [7] é feita a exposição de um receptor a ser instalado no telescópio de ondas sub-milimétricas da estação Amundsen/Scott do Pólo Sul, e que utiliza uma configuração deste tipo, Figura 2.4. Esta antena foi concebida para funcionar na banda 1,25-1,5 THz. Foi medida uma largura do lóbulo principal a 3dB de 3,4º, para 1,56 THz e de 2,15º, para 2,24 THZ [7]. Lente Dieléctrica R Antena de Alimentação Bolachas semicondutoras Extensão Figura 2.3 Esquema da estrutura da antena Figura 2.4 Exemplo de uma antena log-periódica acoplada a uma lente de silicone (extraído de [7]) Filipovic [8] mostrou teoricamente e comprovou experimentalmente que, para valores de extensão/r entre 0,32 e 0,35 se consegue uma eficiência de acoplamento Gaussiana de 50-60%. Esta eficiência pode ser aumentada com a utilização de uma camada de adaptação de λ/4 [8]. Estes resultados são utilizados em [9] para realizar uma antena de banda larga, centrada nos 760 GHz, constituída por uma antena log-periódica e por uma lente hemisférica. O DR desta estrutura apresenta uma largura do lóbulo principal a 3 db de cerca de 5º. No presente trabalho não será possível utilizar camadas de adaptação, uma vez que estas só se utilizam para valores de largura de banda inferiores aos exigidos. 4

13 Relativamente à antena impressa, esta deverá ser constituída pelo plano da antena propriamente dita (patch), uma camada de material dieléctrico e um plano de terra. A alimentação poderá ser feita através de uma linha microstrip ou de um cabo coaxial. No caso de um cabo coaxial, este deverá ser ligado entre o plano de terra e a antena. Contudo, na configuração que, à partida, se tenciona utilizar, pretende-se que a alimentação seja feita através de acoplamento por fenda. Esta ficará inserida no plano de terra que estará assente noutra camada de dieléctrico. Por baixo desta, existirá um plano de alimentação que será eventualmente constituído por uma linha microstrip. Este tipo de estrutura multi-camada permite obter uma maior largura de banda, relativamente à estrutura constituída apenas por uma camada dieléctrica. Por outro lado, o acoplamento por fenda permite obter um melhor comportamento da impedância ao longo de uma banda de frequências.[10] Figura 2.5 Exemplo de estrutura da antena impressa 2.5. Estrutura do Relatório Nesta introdução procedeu-se à contextualização do trabalho e à apresentação do objectivo. Nos capítulos seguintes proceder-se-á a uma exposição dos diversos estudos realizados até ao momento e que visam a escolha de uma configuração final para a antena. Serão então apresentadas algumas conclusões e será feito um ponto da situação relativamente ao planeamento inicialmente definido. Por fim, enumeram-se as próximas acções que são definidas pelo caminho a seguir, rumo ao objectivo proposto. 5

14 3. Teoria das Lentes O recurso a lentes dieléctricas é, em parte, devido à sua capacidade de manipular as características de radiação de uma fonte. As lentes surgem como uma solução bastante atractiva pela sua simplicidade, flexibilidade, eficácia e capacidade de responder às actuais exigências de uma comunicação em ondas milimétricas. As antenas para comunicações espaciais, em particular, devem ser leves e mecanicamente simples, exibindo uma reduzida polarização cruzada para permitir a reutilização de frequências através do recurso a duas polarizações ortogonais. Por vezes, têm que facilitar a existência de DR complexos e evitar lóbulos secundários. Estas exigências são satisfeitas por antenas dieléctricas para uma largura de banda da ordem dos 20% [11]. Maiores larguras de banda podem ser alcançadas através da manipulação do elemento radiador principal. Grande parte da atenção dada, recentemente, a este género de estruturas é também devida à capacidade de integração com componentes electrónicos de altas frequências, tais como, díodos de detecção, osciladores locais ou misturadores. [12] Uma lente é definida por um dieléctrico sólido e homogéneo modelado de forma a transformar um DR de entrada num DR de saída desejado, Anexo A. A lente está associada a uma fonte de entrada, que pode estar embebida na própria lente, e que usualmente é um guia de ondas, circular ou rectangular, a funcionar no modo fundamental, um cabo coaxial ou uma antena impressa, nos seus diversos tipos. Na Figura 3.1 apresenta-se uma lente dielétrica. Figura 3.1 Lente dieléctrica com alimentação por guia metálico (extraído de [P1]) A Figura 3.2 ilustra um esquema genérico do recurso a uma lente dieléctrica. Uma superfície tri-dimensional é alimentada por um guia metálico ou cabo coaxial que pode estar ou não centrado com o eixo de rotação da lente (γ pode ser diferente de zero). A lente não tem que apresentar, necessariamente, simetria de revolução, no entanto, um DR alvo simétrico terá que ser gerado, como é de esperar, por uma lente simétrica. Para cada onda incidente proveniente de um ângulo η, que pode variar de zero até η max a estrutura responde com uma onda de características diferentes e transmitida com base num ângulo θ. A cada onda transmitida (t) está associada uma onda reflectida (r). Este fenómeno, de grande interesse, está aprofundado no Anexo B. A uma lente está associado um perfil único. Desta forma, temos apenas um grau de liberdade para controlar o DR de saída da lente, ou seja, apenas podemos interferir na fase, ganho ou amplitude, sendo impossível a manipulação de duas destas grandezas em simultâneo. 6

15 Figura 3.2 Esquema de uma lente dielétrica alimentada por um guia metálico (extraído de [18]) A associação de duas ou mais lentes, de diferentes materiais dieléctricos é uma das formas de controlar um maior número de parâmetros de saída e, deste modo, ter mais graus de liberdade. Para controlar a fase e a amplitude, por exemplo, seriam necessárias duas lentes e um cálculo de perfil que tivesse em consideração a interacção entre ambas. A situação está ilustrada na Figura 3.3. O cálculo da lente interior (ε r1 ) tem como DR de entrada a fonte externa, enquanto que o cálculo da lente exterior (ε r2 ) tem como DR de entrada o DR de saída da lente interior. Figura 3.3 Geometria da associação de duas lentes (extraído de [18]) O comportamento das ondas na lente pode ser aproximadamente descrito pelas leis da óptica geométrica. Esta aproximação só seria totalmente válida no caso limite da lente ter dimensões infinitas, mas pode ser considerada aceitável para relações da dimensão lente/comprimento de onda superiores a valores compreendidos no intervalo [15, 25] [13]. Desta forma, as ondas electromagnéticas podem ser consideradas como um conjunto de raios que se propagam em linha recta. A lei de Snell (2.1), Anexo B, passa então a ter um papel fulcral no desenvolvimento do campo electromagnético. n sen( θ ) = n sen( θ ) ( 3.1) 2 t 1 i É ainda importante salientar que a óptica geométrica não tem em linha de conta os efeitos da difracção, pelo que deverá ser utilizada uma pequena correcção numa segunda fase do processo de determinação de perfil baseada na óptica física. 7

16 Definindo U ( η ) como o DR da fonte que ilumina a lente, G( θ ) como o DR alvo e T como o quociente entre a potência transmitida e a incidente na superfície da lente (transmissividade), temos que [13]: U( η) T sen( η) dη = k G( θ) sen( θ) dθ ( 3.2) onde o parâmetro k surge como uma constante de normalização a determinar a partir do balanço de potência dentro e fora da estrutura [13]: k = η 0 Máx θ 0 U( η) T sen( η) dη Máx G( θ ) sen( θ) dθ ( 3.3) A Lei de Snell pode então ser apresentada como: [ ε i t r ] N = 0 ( 3.4) o que nos auxilia no cálculo da transformação θ ( η ), que é baseada na determinação do cálculo de cada raio transmitido (t ) para cada raio incidente (i ). Somos assim conduzidos a um sistema de equações diferenciais cuja solução nos fornece θ ( η ) e r( η ) (perfil da lente): dθ T U( η) sen( η) = dη K G( θ) sen( θ) dr r sen( θ η) = dη ε r cos( θ η) ( 3.5) A solução é obtida recorrendo às fórmulas de Runge-Kutta de 2ª ordem, Anexo C. Os parâmetros máximos devem ser obtidos tendo como base as especificações da antena. O cálculo do campo electromagnético no exterior da lente é obtido recorrendo à óptica física e dado por [13]: e jkr jkρ R1 EP ( ) = j [ Zn ( HP ( ') R1) + ( n EP ( '))] Re 1 ds 2λR S ( 3.6) Os parâmetros referidos estão ilustrados na Figura 3.4. Onde P é um ponto que se situa na superfície da lente, E(P ) e H(P ) são os campos nessa mesma superfície, R 1 é a distância da origem da lente a um ponto aleatório exterior (P), ρ é a distância do centro da lente ao ponto P e S simboliza a superfície a integrar em questão. 8

17 Figura 3.4 Parâmetros para a descrição do campo no exterior da lente (extraído de[17]) As lentes mostram ser uma solução simples e acessível para as mais sofisticadas aplicações do momento em comunicações com ondas milimétricas. 9

18 4. Utilização de Lentes Dieléctricas Neste capítulo vão ser descritos alguns dos estudos realizados sobre lentes dieléctricas e a forma como podem ser utilizadas no projecto em causa. Inicialmente faz-se uma análise preliminar para lentes com um DR tipo sec 2 e um estudo relativo à variação da frequência, do ângulo θ max e da diferença entre a alimentação através de um ficheiro interno e externo. De seguida faz-se uma distinção entre lentes optimizadas para a obtenção de uma superfície de onda de fase constante e lentes optimizadas para a obtenção de um DR, à saída, com uma distribuição específica e de característica Gaussiana. São também analisados e comparados os DR provenientes de ambas as situações. Em seguida, é feita uma análise comparativa entre as diferentes lentes, que nos permite concluir sobre a impossibilidade de manipular a fase e a amplitude com o recurso a uma única lente dieléctrica de um material homogéneo Estudos Preliminares Definindo uma lente inicial com as características apresentadas na Tabela 4.1, para a Lente 1, e aumentando o ângulo θ max, tendo o cuidado de diminuir ρ 0, para que a Lente 2 e 3 fiquem com dimensões próximas da inicial, obtêm-se lentes com as características indicadas na Tabela 4.1 e com os perfis ilustrados na Figura 4.1. O tipo de alimentação usada é definida internamente por [P1] e corresponde a um guia de ondas circular cujas características se encontram discriminadas na Tabela 4.2. Observando os DR obtidos para cada caso, Figura 4.2, verifica-se que um aumento do ângulo máximo da lente implica um aumento do campo eléctrico total para ângulos superiores a θ max. Para outros ângulos, o comportamento do campo eléctrico mantém-se, não se registando grandes alterações no ripple. Tabela 4.1 Características das lentes sec 2 obtidas com alterações de θ max e de ρ 0 Lente θ max [º] θ max [º] ρ 0 [mm] ε r

19 Lente 1 Lente 2 Lente 3 Figura 4.1 Perfis das lentes sec 2 obtidas com alterações em θ max e ρ 0 Tabela 4.2 Características da alimentação das lentes sec 2 obtidas com alterações em θ max e ρ 0 Modo f [GHz] Raio do Guia [mm] Polarização Γ [db] TE Circular direita Lente 1 Lente 2 Lente 3 Figura 4.2 Variação do campo eléctrico com θ max Partindo da Lente 1, obtida anteriormente, verifica-se que um aumento da frequência de alimentação implica um aumento do campo eléctrico para ângulos inferiores a θ max e uma diminuição para ângulos superiores, Figura 4.3. Diminuindo a frequência, verifica-se o efeito contrário. 11

20 f=54ghz f=60ghz f=66ghz Figura 4.3 Variação do campo eléctrico com a frequência de alimentação O programa utilizado para realizar as simulações com lentes, [P1], utiliza uma alimentação pré-definida, através de um guia de ondas circular, com um DR simétrico em relação ao eixo dos x. Na realidade tal não acontece, uma vez que um guia de ondas radia preferencialmente para a frente. Assim, foram feitos testes para um DR mais próximo da realidade, Figura 4.4. Os dados relativos a este diagrama foram introduzidos no programa a partir de um ficheiro externo. Partindo das características da Lente 1, mas com esta alimentação, obtém-se um perfil semelhante ao da referida lente, Figura 4.5. O DR resultante também não apresenta alterações significativas, Figura 4.6. Tal deve-se ao facto de θ max =90º e o que acontece para valores superiores de θ não ser relevante. E total θ [º] Figura 4.4 DR introduzido a partir de um ficheiro externo 12

21 Lente 1 Lente obtida com o ficheiro externo Figura 4.5 Perfil de lente obtida a partir de alimentação pré-definida simétrica em relação a x e a partir de alimentação assimétrica (ficheiro externo) Lente 1 Lente obtida com o ficheiro externo Figura 4.6 Campo eléctrico total com lente obtida a partir de alimentação pré-definida simétrica em relação a x e com lente obtida a partir de alimentação assimétrica (ficheiro externo) Procedendo da mesma maneira, mas para uma lente com as características da Tabela 4.3, obtêm-se os perfis da Figura 4.7. Como se pode observar não existem alterações significativas. Contudo, após análise do DR, Figura 4.8, conclui-se que o aumento de θ max provoca um aumento do campo para ângulos acima de 90º. Contudo, este aumento é menos acentuado quando se utiliza o ficheiro externo, o que é facilmente compreensível tendo em conta a forma do DR da alimentação que apresenta uma intensidade muito menor para ângulos superiores a 90º do que para inferiores. Tendo agora em conta o gráfico da Figura

22 verifica-se que o aumento do ângulo θ max diminui o ripple, sendo esta melhoria mais significativa para o diagrama obtido a partir do ficheiro externo, pelas razões já referidas. Tabela 4.3 Características da lente obtida a partir de ficheiro externo θ max [º] θ max [º] ρ 0 [mm] ε r Lente obtida com alimentação pré-definida Lente obtida com o ficheiro externo Figura 4.7 Perfil da lente obtida a partir de alimentação predefinida e a partir de ficheiro externo Lente obtida com alimentação predefinida Lente obtida com o ficheiro externo Lente obtida com o ficheiro externo e θ max = 90º Figura 4.8 Campo eléctrico total em função de θ, variações com utilização de ficheiro externo 14

23 Lente obtida com alimentação pré-definida Lente obtida com o ficheiro externo Lente obtida com o ficheiro externo e θ max = 90º Figura 4.9 Campo eléctrico total em função de θ, variações com utilização de ficheiro externo (ampliado) Conclui-se então que um aumento de θ max melhora o DR apenas quando se utiliza uma alimentação não simétrica, a partir de um ficheiro externo ao programa utilizado. As melhorias verificam-se numa maior atenuação para ângulos superiores a 90º e numa diminuição do ripple para ângulos inferiores a θ max. Um aumento na frequência da alimentação provoca uma diminuição do campo eléctrico para ângulos superiores a θ max e um aumento para ângulos inferiores Lentes para Focagem de Fase Um dos objectivos finais da antena é obter, à saída, uma superfície plana de propagação de ondas de fase constante. Como tal, foram analisadas estruturas baseadas em lentes dieléctricas que o tornassem viável. É imprescindível o recurso à óptica geométrica como meio de criar tal estrutura, tal como foi retratado no capítulo anterior. Tendo em conta a Figura 4.10 a), o tempo levado a percorrer o caminho entre o ponto principal de radiação F o e o plano L deve ser constante para uma onda (generalizada como raio) que se propague segundo qualquer direcção no interior da lente. 15

24 a) b) Figura 4.10 a) Descrição do mecanismo de geração de uma superfície de onda de fase constante(extraído de[24]); b) Efeito de focagem numa lente elíptica alimentada por uma fenda (extraído de[12]) Na Figura 4.10 está assinalado um raio incidente a preto e um conjunto de raios reflectidos e transmitidos, a vermelho. Qualquer raio com origem no foco F o e incidente na zona assinalada na figura a vermelho será reflectido para o foco F e transmitido para o plano L. Qualquer número de raios, dentro destas condições, chegarão ao mesmo tempo a esse plano, constituindo assim uma superfície de onda de fase constante. Desta forma, o perfil r( θ ) será dado por (3.1) [14]: r( θ ) = L ( ε 1) 1 1 ε cos( θ ) (3.1) onde ε1 é a permitividade dieléctrica do meio, Anexo D. A equação (3.1) define uma elipse, como seria de esperar, dado ser a figura geométrica que reúne as condições exigidas. O formato elíptico da lente fornece, desta forma, à estrutura uma elevada capacidade de focagem devido ao tipo de perfil e à relação entre os dois meios. No entanto, a interface da lente origina reflexões internas (assinaladas a vermelho na Figura 4.10) que podem influenciar a impedância de entrada e as características de radiação da antena. Este é um aspecto crítico, no desenvolvimento de lentes dieléctricas, e está melhor retratado no Anexo E. A representação de uma lente deste tipo, para L = 50 mm e 1 ε = 2,5 (real puro) está representada na Figura 4.11, [P1]. 16

25 a) b) Figura 4.11 Lente elíptica em tamanho real para F = 50mm. a) Representação tri-dimensional; b) Corte segundo o plano de maior perímetro É, neste ponto, relevante analisar o que acontece quando variamos o valor da permitividade dieléctrica do meio para um valor de L constante e vice-versa. Os resultados estão apresentados na Figura 4.12, em coordenadas polares. Através da Figura 4.12 a) podemos concluir que quanto maior é a exigência em termos do plano onde as ondas se devem encontrar com uma fase constante maior será, necessariamente, a altura da lente. É de salientar que o valor da altura da lente corresponde sempre, por razões de definição da própria elipse, ao valor do plano de fase constante. No que diz respeito à Figura 4.12 b), é evidente que quanto menor é o valor de ε menor é também a dimensão da elipse em causa. No limite em que ε tende para zero não existirá lente, dado não fazer sentido existir uma distinção entre os dois meios. É ainda interessante notar que ao fazer tender a constante dieléctrica para infinito fazemos aproximar a elipse a uma circunferência, facto que seria de esperar, por razões geométricas. a) b) Figura 4.12 a) Variação do perfil da lente para diferentes valores do plano z = F [mm] e para ε=2,5: Castanho F=80, Amarelo F=70, Verde F=60, Vermelho F=50, Azul F=40 b) Variação do perfil da lente para diferentes valores de ε 1 e z =F=50 mm: Castanho ε 1 =5, Azul - ε 1 = 3,8, Verde -ε 1 =2,8, Vermelho ε 1 =2,5, Amarelo ε 1 =1,5, Roxo ε 1 =1,05 17

26 4.3. Lentes para Focagem de Amplitude Sendo nosso objectivo que a amplitude do DR de saída da lente tenha uma distribuição normal (Gaussiana) vamos, neste ponto, representar uma lente com essas características [P1]. A lente foi obtida pelo processo habitual, no entanto, ao contrário do que aconteceu na lente de fase onde a superfície foi gerada a partir de um perfil pré determinado (3.1), nesta situação, a lente foi gerada a partir de um DR alvo (desejado), G( θ ), baseado numa curva Gaussiana de média nula e variância unitária, tal como descrito em (3.2). 1 G( θ ) e 2π 2 x 2 (3.2) Para uma lente com as características descritas na Tabela 4.4 e alimentada por um guia circular com as características descritas na Tabela 4.5 obtivemos uma lente como a ilustrada na Figura Tabela 4.4 Características da lente dieléctrica para obtenção de DR Gaussiano θ max [º] θ max [º] ρ 0 [mm] ε r ,65 2,53 Tabela 4.5 Características da alimentação da lente descrita na Tabela 4.4 Modo f [GHz] Raio do Guia [mm] Polarização Γ [db] TE 11 62,5 1,5 Circular direita -60,0 a) b) Figura 4.13 Lente da Tabela 4.4. a) Perfil ; b) Representação tri-dimensional [mm] 18

27 A lente gerada está preparada para um varrimento do ângulo θ de 0º a 120º, este facto mostrase de elevado interesse dado que possibilita a diminuição das perdas na lente. A fonte de radiação fica desta forma totalmente inserida na lente e parte desta rodeia-a evitando as alterações bruscas de meio. O raio inicial desta lente é inferior a 45 mm, no entanto este é o valor do raio para um valor de θ igual a 90º. A diferença obtida entre o perfil de uma lente para focagem de fase e uma lente como a analisada neste ponto leva-nos a prever que não é viável a construção de uma lente (com um único dieléctrico homogéneo) capaz de satisfazer ambos os requisitos. Mais à frente, será feita uma análise mais detalhada desta situação. Como era de esperar, uma lente como a simulada não permite obter uma superfície plana de onda de fase constante, visto que o seu perfil é diferente do perfil elíptico obtido para uma lente para focagem de fase. Esta diferença está claramente assinalada na superfície de fase constante obtida para a lente simulada, na Figura 4.14 [P4]. Figura 4.14 Superfície de fase constante para 20 raios Como é fácil de constatar a superfície de fase constante está longe de ser plana Lentes de Focagem de Fase vs Focagem de Amplitude Interessa, neste ponto, analisar e comparar os DR obtidos por uma lente de focagem de fase e por uma lente de focagem de amplitude. Os resultados obtidos, para uma alimentação com as características assinaladas na Tabela 4.5 são, como seria de esperar, diferentes devido às já referidas diferenças existentes no perfil das lentes. Os perfis obtidos para duas lentes com as características especificadas nas Tabela 4.6Tabela 4.7 estão ilustradas na Figura 4.15 a). Tabela 4.6 Características da lente de fase F [mm] ρ 0 [mm] ε r 121,1 45 2,53 19

28 Tabela 4.7 Características da lente de amplitude θ max [º] θ max [º] ρ 0 [mm] ε r ,53 Os DR obtidos estão ilustrados na Figura 4.15 b) e na Figura a) b) Figura 4.15 Comparação entre as lentes. a) Perfis: Azul Lente de amplitude; Vermelho Lente de fase; b) Campos eléctricos totais: Preto Lente de amplitude; Vermelho Lente de fase Figura 4.16 Detalhe do campo eléctrico total para ambas as lentes com correcção do número de pontos. 20

29 Se tivermos em linha de conta a diferença entre perfis, ilustrada na Figura 4.15 a) e a diferença dos DR, ilustrados na Figura 4.15 b), podemos constatar que a principal discrepância ocorre na definição da lente no domínio de 0 a 40º Relação entre a Lente de Fase e a Lente Obtida a partir do seu DR. Um primeiro olhar sobre a questão leva-nos a acreditar que as lentes em causa teriam um perfil igual, no entanto, isto só se verifica na totalidade no limite da óptica geométrica. Através do DR de E total obtido para uma lente de fase, foi gerada uma nova lente projectada para ter essa mesma distribuição de campo à saída. Esta lente pode ser realizada de duas formas. Uma é obrigando a sua altura a ser igual à da lente inicial, outra é a de obrigar os raios iniciais a coincidirem. O primeiro método é mais vantajoso dado que a zona de maior interesse da lente é a zona do topo (devido às condições de radiação). Recorrendo a uma lente de fase baseada na Tabela 4.6 e a uma lente de amplitude como a descrita na Tabela 4.8 obtiveram-se os perfis das lentes ilustrados na Figura a) b) Figura 4.17 Comparação de perfil. a) Com o raio das lentes igual. Azul Lente de fase; Vermelho Lente de amplitude. b) Altura das lentes igual. Azul Lente de amplitude; Vermelho Lente de fase 21

30 Tabela 4.8 Características da lente de amplitude com altura igual θ max [º] θ max [º] ρ 0 [mm] ε r ,6 2,53 O DR para o campo E total obtido está registado nas Figura 4.18 e Figura É de salientar que, no caso em que as lentes têm um raio inicial igual, as suas alturas diferem de 18 mm, enquanto que, quando obrigamos as lentes a terem uma altura igual os seus raios iniciais diferem de 7,6 mm. Figura 4.18 Comparação entre os DR alvo, para raios iguais e para alturas iguais Figura 4.19 Detalhe da Figura 4.18 para a gama de 0 a 30 db Para ambos os casos o DR obtido é diferente do DR alvo. Esta diferença é devida ao cálculo das lentes se basear na óptica geométrica. Seria de esperar que uma lente projectada para o mesmo fim, mas com maiores dimensões, apresentasse resultados mais próximos dos 22

31 pretendidos. Foi testada uma lente proporcional às anteriores com dimensões 3 vezes superiores e que apresentou resultados mais satisfatórios, tal como ilustrado na Figura Figura 4.20 Melhoria devida ao aumento das dimensões da lente No limite das dimensões infinitas da lente teríamos um DR saída igual ao DR alvo Comparação entre o DR de uma Lente de Fase e uma Curva Gaussiana Nos pontos anteriores falámos já da dificuldade de, recorrendo a uma lente com um único ε r, controlarmos tanto a fase como a amplitude do DR de saída. Vamos, neste ponto, confirmar que não é possível aproximar uma curva Gaussiana ao DR de saída de uma lente de fase. O ponto de partida é uma lente com as características indicadas na Tabela 4.6. A Figura 4.21 representa a comparação do DR da lente com três Gaussianas de variância igual a 0,5;0,3 e 1,0, respectivamente. Tal como se pode verificar a adaptação das curvas ao diagrama não é rigorosa. De facto, é impossível encontrar uma curva Gaussiana para responder à inclinação do DR em todo o seu domínio. Como o contradomínio de interesse do DR é aproximadamente igual ao intervalo [-30,0] [db] podemos focar a nossa atenção nesse mesmo intervalo e tentar encontrar a curva que melhor se adapte. 23

32 Figura 4.21 Comparação entre o DR alvo e três curvas Gaussianas de variância, respectivamente 0,5 Vermelho; 0,3 Azul e 1,0 Verde. A curva encontrada corresponde a uma Gaussiana de média nula e variância 0,01, que foi escalonada de modo a adaptar-se às escalas utilizadas no DR. Mais uma vez não foi possível encontrar uma curva que respondesse de forma rigorosa ao diagrama em questão. No entanto, para os valores iniciais do ângulo de varrimento a aproximação é satisfatória, tal como se pode ver na Figura Figura 4.22 Aproximação inicial da Gaussiana 24

33 5. Antenas Independentes da Frequência 5.1. Antenas Espirais Pelo princípio de Rumsey, a impedância e o DR de uma antena será independente da frequência se a forma da antena for definida apenas em termos de ângulos [4]. É este o caso de uma antena espiral, logo espera-se que o seu comportamento seja uniforme ao longo de uma banda de frequências. Existem várias configurações possíveis para uma antena espiral. Uma das mais comuns será a que é composta por duas placas metálicas (braços). Pelo princípio de Babinet [3], espera-se que esta antena, Figura 5.1, tenha uma impedância de entrada de Z c = Z 0 /2, o que para espaço livre fica Z c = 60π Ω. Resultados experimentais verificaram que Z c era cerca de 164 Ω. Esta diferença explica-se pelo facto de o comprimento dos braços da antena ser finito, pela espessura da placa ser também finita e pelas condições de alimentação não ideais. [3] Figura 5.1 Espiral de dois braços, constituídos por placas metálicas (extraído de [3]) O DR desta antena é simétrico relativamente ao plano da antena, sendo composto por dois lóbulos principais. Variações na frequência provocam uma rotação deste diagrama de cerca de 10º. Este efeito pode ser reduzido se a espiral for construída com os braços mais juntos. Para frequências baixas, a onda radiada apresenta polarização linear, tornando-se elíptica e, depois, circular, à medida que a frequência aumenta. [3] O tamanho da antena determina o seu comportamento para frequências baixas e o número de voltas é escolhido para que a circunferência exterior seja maior que o maior comprimento de onda que se pretende utilizar. Existem, no entanto, outras configurações possíveis para uma antena espiral, como por exemplo a antena espiral em fenda (slot). A principal vantagem deste tipo de antenas (relativamente às espirais impressas constituídas por placas metálicas, como visto anteriormente) é o facto de suportarem a utilização de cavidades reflectoras muito finas que produzem um diagrama unidireccional e um aumento de 3dB no ganho. Este tipo de 25

34 configuração é conhecido por cavidade por trás (cavity-backed). A largura de banda da antena pode ser alargada aumentando o número de voltas ou a razão de expansão. [16] São agora analisados alguns aspectos relativos a antenas espirais. As simulações efectuadas têm como objectivo a consciencialização do efeito de determinados parâmetros no comportamento da antena, bem como a obtenção de alguns resultados que irão ser importantes na escolha da sua configuração final. Começou-se então por verificar o DR de uma espiral constituída por dois fios condutores, isolada em espaço livre. A configuração utilizada é ilustrada na Figura 5.2. O DR obtido para esta antena, a 60 GHz apresenta simetria relativamente ao plano da antena, como se esperava - Figura 5.3. Verifica-se também a sua simetria relativamente a determinados planos verticais. Como se pretende ter uma antena impressa, foram efectuados testes para espirais constituídas por placas metálicas. Um aspecto focado foi a impedância de entrada da espiral, uma vez que se pretende que seja constante ao longo da banda de frequências. Para este efeito foi simulada uma espiral, Figura 5.4, com as características indicadas na Tabela 5.1. A alimentação da antena foi realizada através de um fio condutor que liga os dois braços da espiral e cuja espessura é muito inferior às suas dimensões, para que a corrente que o atravessa seja desprezável. A alimentação foi então ligada entre o meio do fio e um dos braços. Um outro aspecto importante é a zona do braço da espiral onde se coloca alimentação. Assim, foram testadas três configurações: alimentação na extremidade interna do braço, no meio e na extremidade externa, Figura 5.5. Figura 5.2 Esquema da espiral constituída por dois fios condutores 26

35 Figura 5.3 DR da espiral constituída por dois fios condutores, para f=60 GHz L e L i R e R i a) b) Figura 5.4 Esquema da espiral com placas metálicas. a) Visão geral. b) Pormenor da alimentação Tabela 5.1 Características da espiral com placas metálicas N.º de Voltas Raio Interno (R i ) [m] Raio Externo (R e ) [m] Largura Interna da Placa (L i ) [m] Largura Externa da Placa (L e ) [m]

36 a) b) c) Figura 5.5 Pormenores das diferentes configurações usadas para a alimentação. a) Alimentação no extremo interno. b) Alimentação ao meio. c) Alimentação no extremo externo Como podemos verificar pelo gráfico da Figura 5.6, a parte real da impedância de entrada da antena mantém-se aproximadamente constante na banda de frequências GHz. Tal já não acontece com a sua parte imaginária que aumenta de uma forma aproximadamente linear, com a frequência. Uma vez que a simulação foi feita em condições ideais (espessura da placa de dimensão nula e alimentação ideal), exceptuando o comprimento da espiral infinito, o valor obtido para a parte real da impedância de entrada foi Z c Z 0 /2 = 60π Ω. Quando se aumenta o valor de ε r do meio, verifica-se que a monotonia da impedância ao longo da frequência se mantém. Contudo, o valor da parte imaginária aumenta e o valor da parte real diminui, uma vez que Z 0 também diminui com o aumento de ε r, gráficos da Figura 5.7. Alterando o ponto de alimentação, o comportamento da impedância ao longo da frequência mantém-se constante, bem como o valor da sua parte real, gráficos da Figura 5.8. No entanto, o valor da parte imaginária aumenta quando se coloca o ponto de alimentação ao centro e depois no extremo externo da placa metálica. 28

37 Figura 5.6 Variação da impedância de entrada com a frequência, com a alimentação no extremo interno da espiral e ε r = 1 a) b) c) Figura 5.7 Variação da impedância de entrada com a frequência, com a alimentação no extremo interno da espiral. a) ε r = 2.5. b) ε r = 5. c) ε r = 10 29

38 a) b) c) Figura 5.8 Variação da impedância de entrada com a frequência, para ε r = 5. a) alimentação no extremo interno da placa metálica. b) alimentação no meio da placa metálica. c) alimentação no extremo externo da placa metálica De forma a caminhar no sentido de uma configuração próxima da que será eventualmente escolhida para implementação, segue-se a análise de uma antena espiral alimentada a partir de um plano de terra, Figura 5.9. Os parâmetros para a construção da geometria da espiral e do plano de terra apresentam-se nas Tabela 5.2 e Tabela 5.3, respectivamente. Uma desvantagem desta configuração é o facto de não apresentar uma geometria simétrica como a anterior. Assim, também o seu DR não é simétrico em relação a nenhum plano, Figura O comportamento da impedância ao longo da frequência também é prejudicado com a introdução do plano de terra, uma vez que a parte real da impedância de entrada já não se mantém constante, gráfico da Figura Quando se opta por uma espiral diferente, Figura 5.12 e Tabela 5.4, e mantendo quer o plano de terra quer a sua distância à espiral, não se registam grandes alterações no comportamento da impedância de entrada ao longo da frequência. Apenas o seu valor é diferente do obtido anteriormente. Aumentando a dimensão do plano de terra, L p, para L p = m,, obtém-se um DR com um menor nível de lóbulos secundários, Figura

39 L p Figura 5.9 Esquema da espiral alimentada a partir de um plano de terra Tabela 5.2 Características da espiral alimentada a partir de um plano de terra N.º de Voltas Raio Interno (R i ) [m] Raio Externo (R e ) [m] Largura Interna da Placa (L i ) [m] Largura Externa da Placa (L e ) [m] Tabela 5.3 Características do plano de terra utilizado na alimentação da espiral Forma Dimensões Distância à Lado (L p ) [m] Espiral [m] Quadrado Figura 5.10 DR da espiral com plano de terra (f=60ghz) 31

40 Figura 5.11 Variação da impedância de entrada da espiral com plano de terra, com a frequência (ε r =1) a) b) Figura 5.12 Esquema da espiral alimentada a partir de um plano de terra. a) Vista geral. b) Vista de topo Tabela 5.4 Características da espiral alimentada a partir de um plano de terra N.º de Voltas Raio Interno (R i ) [m] Raio Externo (R e ) [m] Largura Interna da Placa (L i ) [m] Largura Externa da Placa (L e ) [m]

41 Figura 5.13 DR da espiral com plano de terra aumentado (f=60ghz) 5.2. Antenas Log-periódicas Por antena independendente da frequência entende-se uma antena cujas características se mantêm constantes ao longo da frequência. É este o caso das antenas log-periódicas. Na realidade o seu comportamento não é completamente independente da frequência, mas sim periódico com o logaritmo desta. Daí o seu nome. [6] A geometria de uma antena log-periódica pode ser obtida a partir da junção de múltiplas células. As dimensões de cada célula estão relacionadas com as da célula adjacente, por um factor que se mantém constante ao longo de toda a estrutura. Assim, se D n representar uma qualquer dimensão de uma determinada célula e D n+1 representar a dimensão correspondente na célula adjacente, temos D D n n+1 = τ (5.1) onde τ é o factor mencionado. [6] Na Figura 5.14 ilustram-se alguns exemplos deste tipo de geometrias. Uma configuração típica de uma antena log-periódica é apresentada na Figura

42 Figura 5.14 Exemplos de geometrias log-periódicas. a) Circular. b) Quadrada. c) Cónica. d) Piramidal (extraído de [6]) Figura 5.15 Configuração típica de uma antena log-periódica (extraído de [3]) 34

43 Ao já referido factor τ dá-se o nome de razão geométrica. No caso da Figura 5.15, Rn τ = (5.2) R n+1 A razão geométrica define o período de operação, f1 τ =, f1 > f2 f 2 A definição da geometria da antena fica completa com os ângulos α e β e com o parâmetro rn χ = (5.4) R n+1 Este tipo de antenas possui um comportamento semelhante a outras antenas ditas independentes da frequência, como as espirais, com a diferença de apresentarem uma polarização linear e não circular [1]. Estas antenas são geralmente usadas com uma geometria auto-complementar. Para este tipo de geometria, a impedância de entrada da antena será Z c =Z 0 /2, independentemente da frequência [5]. O factor geométrico τ influencia a largura do lóbulo principal desta antena. Assim, quanto menor for τ, menor será a largura do lóbulo principal. Por outro lado, a banda de frequências para a qual a largura do lóbulo principal se mantém constante também diminui com τ. Valores de τ inferiores a 0.25 produzem campos com elevada polarização cruzada. [6] Na maioria das aplicações pretende-se que a antena seja unidireccional. Uma antena logperiódica planar pode-se tornar unidireccional se se colocar uma cavidade absorvente num dos lados do plano de terra. Para cavidades suficientemente grandes a impedância e o DR do hemisfério oposto mantêm-se inalterados. Uma desvantagem é o facto de o ganho ser 3dB inferior, relativamente a uma antena unidireccional com o mesmo DR. À data da escrita deste relatório estão a ser realizados testes e simulações com estruturas baseadas em antenas log-periódicas. Os resultados não são ainda assinaláveis, no entanto, esta parece ser uma solução a ter em linha de conta e que foi já utilizada em alguns casos de sucesso. (5.3) 35

44 6. Planeamento e Próximos Passos Numa fase inicial do projecto procedemos a uma pesquisa bibliográfica sobre os diversos assuntos que seriam discutidos e analisados com especial incidência sobre as lentes dieléctricas, tema que teve uma atenção reforçada nesta fase do trabalho. Foi feita uma pesquisa no campo das várias hipóteses de alimentação e configuração da antena, tendo sempre em linha de conta a interacção lente/alimentação e as restrições que daí advêm. O passo seguinte foi a familiarização com o conjunto de programas que serão utilizados ao longo do trabalho, Anexo G. A atenção repartiu-se entre a exploração do pacote que permite analisar e configurar as lentes dieléctricas [P1] associado aos programas para cálculo do campo electromagnético [P6], das correntes eléctricas e magnéticas na superfície das lentes [P7] e da superfície de onda de fase constante [P4] e, também, o programa para manipulação de estruturas electromagnéticas [P3], como meio de simulação das diversas configurações de antenas. Após a familiarização com os programas em causa e um exaustivo conjunto de testes e simulações no campo das lentes dieléctricas, foram analisadas algumas estruturas para possível alimentação da lente, nomeadamente, antenas independentes na frequência, tais como espirais (de diversos tipos) e antenas log-periódicas, estas últimas ainda estão numa fase de desenvolvimento. Desta forma, o trabalho realizado até à data está de acordo com o previamente estabelecido, na reunião inicial, tal como ilustrado na Tabela 6.1. Tabela 6.1 Planeamento inicial. Azul tarefas agendadas. Vermelho tarefas cumpridas Tarefas 1. Revisão da Literatura 2. Familiarização com WIPL-D 3. Familiarização com software Lens2.5D 4. Escolha de configs de alimentadores primár. 5. Optimização de fonte primaria 6. Optimização da transmissão através da lente 7. Construção de protótipos e ensaio 8. Relatórios S O N D J F M A M J J A O projecto foi alvo de uma reunião semanal onde se: Debatiam os trabalhos propostos na semana anterior; Recebiam informações acerca de diversa bibliografia; Esclareciam diversas questões relacionadas com o trabalho; Agendavam tarefas para a semana seguinte próximas acções; Os sumários destas reuniões apresentam-se, de seguida, com uma descrição mais detalhada do trabalho realizado em cada semana e do trabalho agendado para a semana seguinte. 36

45 24/09/02 Reunião de arranque. Introdução ao problema das lentes. Indicações sobre bibliografia a consultar. Próximas acções: Ler bibliografia fornecida. Iniciar a pesquisa bibliográfica. Familiarizar com WIPL-D 04/10/02 Conversa geral sobre WIPL-D, GRAF_VB e SHADE. Elaboração do plano de trabalhos. Próximas acções: Continuar a pesquisa bibliográfica. Testar no WIPL-D o funcionamento de um dipolo convencional, e um dipolo com braços cónicos. Fazer estudo de frequência. 18/10/02 Esclarecimento de duvidas sobre WIPL-D. Apresentação do programa Lens 2.5D. Próximas acções: Continuar a pesquisa bibliográfica. Testar no WIPL-D o funcionamento de um dipolo carregado. Iniciar teste de Lens 2.5D. 25/10/02 Apresentação do ambiente de trabalho LensCalc. A demonstração não correu bem em virtude de avaria. Foi dada documentação sobre o LensCalc, KH3D, e LENS3D. Próximas acções: Testar ambiente LensCalc. Continuar teste de Lens 2.5D. 08/11/02 Dúvidas sobre LensCalc. Discussão sobre uso do Lenscalc para projecto das lentes focadas. Próximas acções: Projectar uma lente focada e testá-la com o Lens 2.5D. Testar a evolução do DR de uma lente Sec 2 com o ângulo θ. 14/11/02 Discussão sobre resultados dos testes do Lens2.5D. Dúvidas sobre cálculo da lente focada. Próximas acções: Continuar o cálculo da lente elíptica, e o teste do Lens 2.5D em função da frequência e do ângulo θ. 25/11/02 Discussão sobre resultados dos testes do Lens2.5D. Identificação e resolução do problema que surgiu com o cálculo do campo sobre a "lente focada" usando o AbCampo3D.exe. Próximas acções: Aumentar o número de pontos no cálculo das lentes csc 2. Experimentar usar o ficheiro externo para definição do campo da fonte. Obter DR da lente focada (inverter o perfil). 29/11/02 Análise dos resultados obtidos com variação de frequência, θ max, em lentes sec 2. Análise de resultados da lente focada. Próximas acções: Lentes focadas: calcular uma lente com especificação de amplitude do tipo Gaussiano, e comparar com o resultado obtido a partir da especificação da fase. Lentes csc 2 : experimentar usar o ficheiro externo para definição do campo da fonte. Estudar a influência do valor de ρ. Repetir o estudo de frequência das lentes csc 2, mas mantendo o perfil constante. 37

46 06/12/02 Análise dos resultados obtidos para lente focada, dimensionada com base na amplitude. Dúvidas sobre utilização do ficheiro externo para definir a excitação. Calcular a superfície de fase constante, usando o Ray_trace. Próximas acções: Continuação de estudo de lentes focadas: calcular uma lente com especificação de amplitude do tipo Gaussiano, e comparar com o resultado obtido a partir da especificação da fase. Lentes csc 2 : experimentar usar o ficheiro externo para definição do campo da fonte. Estudar a influência do valor de ρ. Repetir o estudo de frequência das lentes csc2, mas mantendo o perfil constante. 13/12/02 Análise dos resultados obtidos para lente focada, dimensionada com base na amplitude. Análise da superfície de fase constante, usando o Ray_trace. Justificação da "falta" da componente "E_phi". Próximas acções: Continuação de estudo de lentes focadas: obter DR da lente dimensionada com base na fase, e comparar com o resultado obtido a partir da especificação de amplitude. No caso de especificação da amplitude, explorar até onde se pode reduzir a largura de feixe da Gaussiana. Começar a dar uma vista de olhos ao WIPL, para fazer espirais planas. 20/12/02 Análise dos novos resultados obtidos para lente focada, dimensionada com base na fase. Análise da superfície de fase constante, usando o Ray_trace. Análise dos resultados de uma espiral de fios calculada pelo WIPL. Próximas acções: Correcção da alimentação da espiral no modelo do WIPL. Analisar espiral de dois braços, alimentados por um gerador intercalado entre os dois braços. Continuação do estudo de lentes focadas: usar o DR obtido para a lente focada "pela fase", como "target" para calcular lente "pela amplitude". 03/01/03 Análise de resultados da espiral de dois braços, alimentados por um gerador intercalado entre os dois braços. Análise de resultados de lentes focadas: usando o DR obtido para a lente focada "pela fase", como "target" para calcular lente "pela amplitude". Próximas acções: Estudo de frequência das espirais. Verificar se os DR das lentes baseadas em espec. de amplitude convergem para os diagramas com espec. de fase por aumento da dimensão da lente. 10/01/03 Análise dos resultados relativos ao aumento da dimensão da lente. Resultados do ajuste da Gaussiana. Próximas acções: Continuar a testar espirais, estudando a dependência com os vários parâmetros. 24/01/03 Análise de resultados de espirais impressas, sem substrato, e uma delas com plano de terra. Introdução ao projecto da ESA. Próximas acções: Corrigir altura da espiral com plano de terra. Procurar referência bibliográfica sugerida no Projecto da ESA. Começar a sondar bibliografia sobre acoplamento de antenas impressas por fendas. 38

47 31/01/03 Resolução de dúvida sobre a alimentação de espirais no WIPL. Análise de algumas referências novas. Espreitar os dieléctricos na página da Emerson & Cumming. Próximas acções: Refazer a simulação da espiral no WIPL. 07/02/03 Análise dos resultados das espirais e log-periódicas. Próximas acções: Refazer a simulação da log-periódica no WIPL. O objectivo seguinte será encontrar a melhor forma de alimentar a antena bem como definir uma estrutura para a própria antena. Neste momento surgem algumas hipóteses que estão já a ser testadas. Devido aos elevados requisitos em termos de largura de banda, a antena terá que ser independente na frequência, e uma antena em espiral ou uma antena log-periódica são fortes candidatas à versão final. Quanto à alimentação, vão ser analisadas hipóteses relacionadas com fendas. A excitação da fenda pode vir a ser feita por cabo coaxial, cavidade ressonante ou cortando-a convenientemente na parede de um guia de ondas [15]. A partir do momento em que a estrutura esteja definida será então feita uma optimização tanto da alimentação como da lente, de forma a obtermos as características mais próximas das exigidas que forem possíveis. O passo final será a construção de um protótipo e a realização de simulações e testes de modo a possibilitar a correcção de alguns parâmetros para uma versão final. 39

48 Anexo A. Construção de Lentes Dieléctricas A fresagem e a moldagem são as duas técnicas de construção de lentes dieléctricas correntemente utilizadas. A primeira baseia-se na obtenção da estrutura, de perfil prédeterminado, através do desgaste ou corte do material dieléctrico em questão. É feita com um utensílio de aço frese, de formas variadas. É uma técnica largamente utilizada não só para este fim mas para a obtenção de diversas peças que exigem grande precisão, como por exemplo, as rodas dentadas de um relógio. A moldagem, técnica que surgiu posteriormente, utiliza, ao contrário da fresagem, um dieléctrico em estado líquido normalmente uma resina proveniente da interacção química de duas substâncias. Com base no perfil da lente é construído um molde, em alumínio, de três peças (parte superior e inferior da lente e zona de alimentação), o dieléctrico é então depositado no molde e, após um período de estabilização química e secagem, a lente pode ser retirada e adaptada à alimentação. Uma das vantagens deste método é a possibilidade de embeber o sistema de alimentação na lente [17], com o intuito de diminuir as reflexões internas junto da fonte primária. O material de que a lente é constituída surge como uma questão fundamental. Depende da aplicação da lente, da frequência de trabalho e da técnica de fabrico utilizada e deve ter em conta aspectos como a reflexão interna na lente e a dissipação por perdas [18]. Não é usual encontrar referência a valores da permitividade dieléctrica para frequências extremamente elevadas (EHF) banda dos 30 aos 300 GHz e a extrapolação a partir de valores para menores frequências pode não ser suficientemente apurada. Existem, contudo, alguns métodos de medida que podem ser utilizados para facilitar o cálculo destes valores e que já foram comprovados como válidos [19]. Outro factor a ter em conta é a resistência mecânica do material. Consoante essa resistência a lente é colada ou aparafusada à estrutura de alimentação. A Tabela A.1 [20] tem informação acerca da constante dieléctrica de alguns materiais, para uma determinada frequência. Tabela A.1 Permitividade relativa de alguns materiais Material Permitividade relativa Frequência [Hz] Parafina 2,15 60 Poliestireno 2,5 2,6 60 Ebonite 2, Quartzo fundido 3, Poliuretano 4, Pyrex 4, Porcelana 5,5 7, Mica 6,0 8, Dióxido de Titânio Titanato de Bário A informação da Tabela A.1 varia com diversos parâmetros, tais como, a temperatura e a pressão e é relativa à constante dieléctrica do ar, a 0º C e uma pressão de 1 atm, que é de 1,

49 Em EHF as dimensões de uma lente têm comprimentos máximos que rondam os 15 cm e o seu peso não se torna um factor limitativo, Figura A.2. No entanto, para valores mais baixos de frequência o seu comprimento aumenta de forma a que o seu peso e dimensões se possam tornar insustentáveis para fabrico e utilização. A título de exemplo, para um dieléctrico artificial feito de pequenas esferas de raio a e constante dieléctrica ε 2 uniformemente distribuída, com densidade de N esferas por unidade de volume num meio de constante dieléctrica ε 1, a constante dieléctrica efectiva é dada por [21]: ε eff 1+ 2α C = ε1 1 αc (A.1) onde C = ε 2 1 ε (A.2) e α é a fracção de volume ocupada pelas esferas, e dado por: α = 4 3 πna 3 (A.3) Se a densidade dos materiais for, respectivamente, ρ 1 e ρ 2 então a densidade efectiva será dada por: ρ = (1 α) ρ + αρ eff 1 2 (A.4) Para uma lente esférica o peso será então: 2ππ R 2 P = eff r sen( ) drd d ρ θ θ ϕ (A.5) ou, mais simplesmente, P 2π 3 3 = R ρeff, onde R é o raio da lente. Os resultados estão particularizados para o caso de uma lente esférica mas podiam ser generalizados para qualquer tipo de lente, bastando, para tal, alterar o espaço de integração de acordo com o respectivo perfil. Para os materiais descritos na Tabela A.2, os gráficos das Figura A.1 e Figura A.2 ilustram a variação do peso em função do raio da lente. Tabela A.2 Densidade de alguns materiais Material Densidade [kg m -3 ] Poliuretano 160 Poliestireno 1050 Quartzo fundido

50 Figura A.1 Relação entre o raio e o peso de uma lente esférica para três materiais Figura A.2 Detalhe da relação entre o raio e o peso de uma lente esférica para três materiais 42

51 Para uma lente de perfil elíptico, teríamos que recorrer a uma mudança de variáveis de integração e à consideração do respectivo Jacobiano da transformação. Desta forma teríamos para o volume V: V= 2 rdrd d V Ou seja: V= Logo: θ ρ senθ π /2r( θ ) 2π 2 rsen π 3 r ( θ ) V= 2 π senθ dθ θ 0 θ drdθdρ A integração numérica para lentes de altura F=50 mm e F=121 mm (casos analisados na Secção 3.2) origina: Tabela A.3 Peso das lentes analisadas Material ε r Peso [g], F=50mm Peso [g], F=121mm Poliuretano 4 15,7 222,6 Poliestireno 2,5 69,9 991,0 Tal como foi referido, para esta situação, o peso da lente não se torna um factor limitativo para a antena. 43

52 Anexo B. Interface entre Dois Meios Semi-ilimitados e Lei de Snell-Descartes Vamos focar a nossa atenção no problema da interface entre dois meios semi-ilimitados, situação que se assemelha à interface entre a lente dieléctrica e o ar. Quando uma onda electromagnética incide na fronteira entre dois meios diferenciados origina, em princípio, uma onda reflectida que se continua a propagar no meio de incidência e uma onda refractada, ou transmitida, que se passa a propagar no segundo meio. Numa interface côncava, como a de uma lente elíptica, o factor de reflexão proveniente da relação entre as componentes do campo incidente para uma superfície plana, deve ser multiplicado por um factor de divergência do meio, superior à unidade [22], no intuito de introduzir uma correcção relativa à modelação do espaço. Para o nosso caso, o problema é explicado pela Lei de Snell-Descartes. A explicação é simples e baseia-se no princípio de Fermat [23], que diz que um raio de luz segue sempre o caminho entre dois pontos que corresponde a um tempo mínimo. De facto, se estivéssemos perante um único meio, o caminho entre dois pontos P 1 e P 2 seria uma recta, no entanto, para meios distintos, existe uma infinidade de caminhos possíveis de seleccionar. O raio irá então escolher aquele que dê origem a um caminho mais rápido, problema que pode ser resolvido por cálculo variacional. Figura B.1 Parâmetros relativos à interface entre dois meios (extraído de[24]) Como ilustrado na Figura B.1 o tempo que o raio leva a percorrer a distância de P 1 a P 2 é dado por: t d d a + x ( l x) + b v v v v = + = + (B.1) Como queremos encontrar o extremo desta função, que corresponderá a um ponto de optimização do percurso, devemos diferenciar a equação (B.1) em ordem ao espaço e igualar a zero, originando: 44

53 xa ( + x) ( l x)[( l x) + b] v v 2 2 1/ /2 = (B.2) 1 2 Rearranjando e recorrendo a algumas noções trigonométricas chegamos a: sen( θ1) sen( θ 2) = v v 1 2 (B.3) Pela conhecida definição de índice de refracção, ni luz no vácuo chegamos à Lei de Snell-Descartes: n sen( θ ) = n sen( θ ) c v i, onde c corresponde à velocidade da (B.4) A Figura B.2 ilustra de forma mais simplificada esta relação. Figura B.2 Parâmetros relativos à Lei de Snell Descartes (extraído de[24]) 45

54 Anexo C. Método de Runge-Kutta Faz-se, neste anexo, uma breve descrição matemática do método de resolução de sistemas de equações diferenciais pelas fórmulas de Runge-Kutta, processo este utilizado nos programas em causa, para cálculo do perfil de uma lente dieléctrica. Enquanto que para a resolução de equações diferenciais ordinárias existem diversas técnicas analíticas, a única solução prática para equações complexas é o recurso a métodos numéricos (Milne 1970, Jeffreys and Jeffreys 1988). O mais popular destes métodos é precisamente o de Runge-Kutta, concorrente com outros igualmente interessantes como o método da colocação ou o de Galerkin.[24] O método de Runge-Kutta é a fórmula escondida atrás de muitos dos simuladores das diversas áreas de engenharia, em especial, na mecânica e electrónica. Uma variável Considerando o problema: x' = f(t,x) (C.1) com condição inicial x(0)=x 0. Supondo que x n é o valor da variável em t n. O método de Runge-Kutta através de x n e t n calcula uma aproximação para x n+1. Recorre a uma média ponderada de valores aproximados de f(t,x) em diversos instantes no intervalo (t n,t n +h). A fórmula é dada por: x n+1 = x n + (h/6)(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) (C.2) onde k 1 = f(t n, x n ) k 2 = f(t n + h/2, x n + (h/2)k 1 ) k 3 = f(t n + h/2, x n + (h/2)k 2 ) k 4 = f(t n + h, x n + h k 3 ) (C.3) A simulação inicia-se com x 0 e dá origem a x 1 usando as expressões (C.3). Com x 1 podemos obter x 2 e assim sucessivamente. O algoritmo é conhecido por ser muito rigoroso e com um comportamento aceitável na maioria dos casos.[25] Duas variáveis O método pode ser facilmente estendido a um conjunto de equações diferenciais de duas variáveis. As expressões utilizadas são em tudo semelhantes às anteriores, mas todas as variáveis, excepto o tempo, são vectores. Para dar uma ideia do seu funcionamento, ilustra-se um exemplo com a extensão do vector, ou seja, a escrita detalhada de todas as componentes em questão. 46

55 Supondo que há apenas duas variáveis, x e y e duas equações diferenciais (na prática o que sucede no nosso caso) x' = f(t,x,y) y' = g(t,x,y) (C.4) (C.5) Temos novamente que x n é o valor de x passado um tempo t n, e o mesmo para y n. As novas fórmulas de Runge-Kutta são agora dadas por: x n+1 = x n +(h/6)(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) y n+1 = y n + (h/6)(j 1 + 2j 2 + 2j 3 + j 4 ) (C.6) (C.7) onde k 1 = f(t n, x n, y n ) j 1 = g(t n, x n, y n ) k 2 = f(t n + h/2, x n + (h/2)k 1, y n + (h/2)j 1 ) j 2 = g(t n + h/2, x n + (h/2)k 1, y n + (h/2)j 1 ) k 3 = f(t n + h/2, x n + (h/2)k 2, y n + (h/2)j 2 ) j 3 = g(t n + h/2, x n + (h/2)k 2, y n + (h/2)j 2 ) k 4 = f(t n + h, x n + h k 3, y n + h j 3 ) j 4 = g(t n + h, x n + h k 3, y n + h j 3 ) (C.8) Com valores de arranque x 0 e y 0 as fórmulas permitem obter x 1 e y 1. O processo repete-se a partir deste ponto, encontrando os sucessivos valores. Múltiplas variáveis Para m variáveis x, y, z,... Necessitamos de transformar o sistema num conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, tais que: x' = f(t, x, y, z,...) y' = g(t, x, y, z,...) z' = h(t, x, y, z,...)... (C.9) Teremos tantas equações, quantas as variáveis. O processo é em tudo idêntico aos anteriores. 47

56 Anexo D. Variação da Constante Dieléctrica com a Frequência Parece um pouco contraditório falar de uma constante como função de uma variável. De facto, trata-se de um resquício da interpretação original incorrecta do electromagnetismo, dado que a chamada constante dieléctrica é, em geral, uma função complexa, dependente da frequência [26]. Para o caso mais simples do meio ser linear, isotrópico, não magnético e sem acoplamento magnetoelétrico, cada electrão dentro de um dieléctrico, está sujeito a uma força F, tal que: F = Fe + Fa + Fm (D.1) onde temos, respectivamente, Fe = qe, força eléctrica (D.2) Fa = m0 γ v() t, força de atrito (D.3) F m = k r() t, força elástica ou de mola (D.4) m Os parâmetros mencionados são os habitualmente utilizados na teoria física. Substituindo em (D.1) o desenvolvimento de cada uma das forças em questão e notando que dv F = m0 (D.5) dt e que: w 0 = k m m 0 (D.6) alcançamos sem dificuldade a equação diferencial de segunda ordem (D.7) que descreve o movimento dos electrões ligados no dieléctrico. 2 dr dr 2 q γ ω 2 0 rt dt dt m0 + + () = Et () (D.7) As oscilações dos electrões no dieléctrico geram uma polarização induzida, que pode ser descrita como: P= N qr b (D.8) onde Nb é o número de electrões ligados por unidade de volume. A solução forçada de (D.7), mais interessante para o nosso caso, pode ser obtida recorrendo ao método dos pares de Fourier. Definindo a susceptibilidade eléctrica como: 48

57 Pw ( ) = ε χ( wew ) ( ) 0 (D.9) Vem que: χ( w) = 2 qn b ε m ( w w iγ w) (D.10) e passa-se a definir a constante dieléctrica como 2 qn b ε( w) = 1 + χ( w) = 1+ ε m ( w w iγ w) (D.11) Em geral, temos [27]: ε(0) = 1 + χ( w = 0) ε( ) = 1 (D.12) (D.13) Uma análise do material em causa que permita conhecer o número de electrões ligados por unidade de volume bem como a sua constante elástica possibilita um estudo sobre a variação da constante dieléctrica com a frequência para um caso específico. Experimentalmente observou-se que para uma gama de frequências entre os 40 GHz e os 60 GHz (utilizada no nosso caso), essa variação não tem um peso significativo na performance da antena, influenciando apenas a segunda casa decimal da medida. 49

58 Anexo E. Reflexões Internas em Lentes Uma das lacunas que surge quando se recorre ao uso de lentes dieléctricas é o efeito indesejado das reflexões internas. O perfil de uma lente, em particular quando optimizado para gerar uma superfície de onda de fase constante, origina reflexões internas que podem afectar de forma significativa a impedância de entrada da estrutura, bem como, as próprias características de radiação da antena. Este aspecto constitui um ponto crítico no desenvolvimento e desenho de lentes para antenas. O problema torna-se mais complexo quando as variações de frequência originam diferentes variações nas reflexões internas e consequentemente diferentes alterações ao nível da impedância de entrada. O problema não é trivial dado que o foco da elipse, onde se coloca a alimentação, constitui um ponto de dupla reflexão, como ilustrado na Figura E.1. [12] Figura E.1 Reflexões internas numa lente elíptica (extraído de[12]) A presença deste ponto crítico (F 1 ) causa algumas reticências relativamente ao recurso à óptica geométrica como forma de prevenir a distribuição do campo electromagnético no interior da lente. Desta forma, a óptica física torna-se imprescindível e mandatária como forma de calcular as correntes associadas tanto aos raios reflectidos simples como aos duplos (é sabido que a partir da segunda ordem de reflexão o efeito dos raios pode ser desprezado). Comparando o DR de lentes dieléctricas elípticas integradas tendo e não tendo em conta os efeitos das reflexões internas, concluí-se que o lóbulo principal, bem como os primeiros lóbulos secundários, não têm alterações significativas. No entanto, para valores mais elevados do ângulo de varrimento θ a influência dos raios torna-se relevante, o que resulta numa interpretação incorrecta do DR final, para o caso em que as reflexões internas não são tomadas em linha de conta. [28] Para reduzir o problema das reflexões internas (a cerca de 5% em termos de potência) é usual recorrer a uma película de substrato que realiza uma adaptação na fronteira lente-espaço livre, ou para valores mais elevados da permitividade dieléctrica da lente (>4), a um adaptador de λ/4. Um factor a ter em conta diz respeito à largura de banda da antena em questão. De facto, o comportamento da estrutura mostra-se diferente para diferentes frequências [1], o que sugere que uma antena com uma elevada largura de banda não possa ser adaptada pelos métodos referidos. Estes métodos são optimizados para uma frequência única e permitem obter níveis aceitáveis apenas para uma banda de frequências reduzida. 50