ESTATÍSTICA PARA A QUALIDADE

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1 ESTATÍSTICA PARA A QUALIDADE

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3 ESTATÍSTICA PARA A QUALIDADE 2ª edição SONIA VIEIRA

4 2012, Elsevier Editora Ltda. Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei n o 9.610, de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográ cos, gravação ou quaisquer outros. Coordenador de produção: Silvia Lima Copidesque: Ivone Teixeira Revisão: Wilton Fernandes Palha Editoração Eletrônica: SBNigri Artes e Textos Ltda. Elsevier Editora Ltda. Conhecimento sem Fronteiras Rua Sete de Setembro, o andar Centro Rio de Janeiro RJ Brasil Rua Quintana, o andar Brooklin São Paulo SP Brasil Serviço de Atendimento ao Cliente sac@elsevier.com.br ISBN Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão. Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publicação. CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ V718e 2. ed Vieira, Sonia, Estatística para a qualidade / Sonia Vieira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, ISBN Indústria de serviços Controle de qualidade Métodos estatísticos. 2. Qualidade dos produtos Métodos estatísticos. I. Título. CDD: CDU: 005.6

5 Prefácio Este livro dá ênfase à estatística, mas é orientado para quem utiliza conhecimentos dessa ciência como ferramenta de trabalho no controle da qualidade. Cobre, portanto, boa parte da matéria, pois explica desde princípios básicos como as ferramentas estatísticas para o controle da qualidade até conceitos mais avançados como razão de capacidade do processo e análise do sistema de medição. O livro apresenta vários exemplos de aplicação em diversas situações. Isto porque o controle estatístico dos processos, numa fábrica, não pode ser preocupação apenas dos engenheiros de produção deve começar no chão da fábrica. É esta estratégia que garante qualidade, eficiência e produtividade. Aprender estatística é, portanto, dever de todos os envolvidos num processo. Muitas pessoas têm me encorajado a escrever, mas ficam aqui registrados meus maiores agradecimentos ao Professor Ronaldo S. Wada, da UNI- MEP, ao Professor Gabriel Adrian Sarries da ESALQ-USP, à Professora Lucila Chebel Labaki, da FEC - Unicamp e ao Professor Osvaldo S. Nakao, da Escola Politécnica-USP. Também devo agradecimentos à Editora Campus- Elsevier, pela confiança que tem depositado em meu trabalho.

6 Introdução Os produtos devem ter qualidade para satisfazer as exigências dos consumidores. É consumidor quem compra para usar, seja um automóvel ou uma caixa de fósforos. Também é consumidor quem compra no atacado para vender no varejo, quem compra matéria-prima para transformar em produto. Consomem-se, também, serviços. Portanto, é consumidor quem compra uma entrada de teatro, um bilhete de metrô, um tratamento odontológico. Tradicionalmente, dizemos que um produto tem qualidade quando é adequado para o uso. O consumidor percebe a qualidade por característicos que dependem do tipo de produto. Garvin (1987) 1 considera que a qualidade de um produto pode ser julgada por característicos de: Desempenho (o produto faz o que promete?). Consumidores em potencial analisam o desempenho do produto para verificar se confere com o que lhes foi dito, na propaganda ou por vendedores. Por exemplo, o automóvel realmente não tem ruídos internos? Confi abilidade (quão frequentemente o produto falha?). Produtos que têm certa complexidade demandam reparos durante sua vida útil. Mas com que frequência? Você sabe que uma motocicleta exige, ocasionalmente, reparos, mas se esses reparos forem muito frequentes a motocicleta não é confiável. Durabilidade (quanto tempo o produto vai durar?). Os consumidores buscam produtos duráveis. Então, quem compra esmalte para pintar o portão de sua casa, quer um produto resistente às agressões do tempo, ou seja, durável. 1 Garvin, D. A. Competing in the eight dimensions of quality. Harvard Business Review, Sept.-Oct., v. 87, n. 6, p Apud: Montgomery, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, 2009.

7 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Estética (o produto é bonito?). O apelo visual é levado em conta em muitos produtos. Assim, fatores como estilo, forma, cor, malea bilidade são considerados na compra de roupas e fatores como gosto, cor, embalagem na compra de alimentos. Características adicionais (o produto oferece vantagens?). Os consumidores em geral associam qualidade aos produtos que apresentam mais característicos do que os concorrentes. Logo, uma cadeia de lanchonetes que ofereça brindes, além de lanches, pode ver aumentada sua clientela. Qualidade observada (qual é a reputação do produto?). Os consumidores confiam na própria experiência com o produto ou em informações que considerem confiáveis. Então, se você ou um amigo faz viagens regulares por uma companhia aérea que tem preços acessíveis, cumpre o horário, não perde nem danifica a bagagem, não há por que trocar essa companhia pela concorrente. Conformidade com o padrão (o produto foi feito como manda o padrão?). Achamos que o produto tem qualidade quando está de acordo com as características requeridas. Por exemplo, os novos pneus se ajustam adequadamente à sua bicicleta? Também é importante distinguir qualidade do projeto de qualidade de conformação. Vamos entender primeiro o que é qualidade do projeto. Todos os bens e todos os serviços são produzidos segundo um projeto. Os projetos têm diferentes graus de qualidade. Essa variação é intencional. Em princípio, um automóvel é simples meio de transporte, mas existem grandes diferenças de tamanho, desempenho e aparência entre eles. Essas diferenças são determinadas pela qualidade do projeto. É a qualidade do projeto que faz o produto ser de luxo ou popular, executivo ou turista, 5 estrelas ou 3 estrelas etc. Toda melhoria na qualidade do projeto aumenta o custo de produção e, consequentemente, o preço do produto. A qualidade de conformação mostra se o produto atende às especificações do projeto. Todo projeto estabelece especificações. Por exemplo, a embalagem de qualquer produto comercializado obedece às especificações quanto ao material que deverá ser utilizado, ao formato, às medidas, à cor etc. Se 2

8 Introdução o projeto de uma embalagem especificar que essa embalagem é uma caixa com 20,0 cm de altura, dizemos que o valor nominal de altura é 20,0 cm. Mas o projeto deve especificar, também, os limites de tolerância. Então, a especificação poderia ser, por exemplo, 20,00 ± 0,5 cm, indicando que são aceitáveis alturas na faixa de 19,5 até 20,5 cm. Essa é a faixa de tolerância. Então, no exemplo: Valor nominal, que se indica por VN = 20,0 cm Limite inferior de especificação, que se indica por LIE = 19,5 cm Limite superior de especificação, que se indica por LSE = 20,5 cm Se o produto não atender às especificações, é dito não conforme. Um tipo específico de falha é chamado de não conformidade. O produto não conforme não é, necessariamente, inadequado para o uso. Por exemplo, um sabonete pode ter menor quantidade de perfume do que o limite inferior de especificação, mas, mesmo assim, ser adequado para uso. Um produto só é considerado com defeito se tem não conformidades suficientemente sérias a ponto de impedir o uso. Embora todo fabricante tenha a intenção de fabricar produtos com as especificações exigidas, isso nem sempre acontece. A razão é a variabilidade. Duas lâminas de barbear não são exatamente iguais, ainda que sejam do mesmo tipo e feitas para o mesmo aparelho. Por causa da variabilidade, a definição qualidade é adequação para o uso é tida como tradicional. A definição moderna 2 é a que se segue: Qualidade é inversamente proporcional à variabilidade. De acordo com essa definição, a qualidade do produto aumenta quando a variabilidade de um característico importante de qualidade diminui. Nos processos de produção, a variabilidade está associada ao desperdício. Considere, por exemplo, um fabricante de tampas plásticas para indústrias de água e refrigerantes. O diâmetro da tampa tem valor especificado. Se esse característico, que é crítico, apresentar grande variabilidade, muitas tampas serão descartadas. Está caracterizado o desperdício. 2 Montgomery, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, 2009, p. 6. 3

9 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER A variabilidade dos característicos de qualidade não pode ser eliminada, mas pode ser conhecida e controlada. No entanto, a variabilidade só pode ser descrita em termos estatísticos. Por essa razão, a estatística tem enorme importância nos esforços que são feitos para a melhoria da qualidade. Melhoria na qualidade signi ca redução da variabilidade. 4

10 PARTE 1 Sete Ferramentas Estatísticas para o Controle da Qualidade As sete ferramentas estatísticas para o controle da qualidade são um conjunto de técnicas gráficas que permitem resolver boa parte dos problemas estatísticos que surgem no decorrer da análise de dados quando a intenção é manter a qualidade. Essas ferramentas são, de fato, indispensáveis e apresentam a vantagem de serem facilmente aprendidas por pessoal sem treinamento formal em estatística. São elas: Folha de verificação: é uma tabela ou planilha estruturada para o registro de dados e o cálculo de algumas estatísticas. Estratificação: é a técnica de classificar itens em grupos com atributos semelhantes e relevantes para a coleta de dados e análise. Diagrama de Pareto: é um gráfico de barras construído para mostrar as causas de variação por ordem de importância. Histograma: mostra, graficamente, a forma da distribuição de fre quências de uma variável, evidenciando a dispersão e a centralização. Diagrama de causa e efeito ou diagrama de Ishikawa: ajuda a identificar as causas possíveis para um problema e organiza ideias soltas em categorias.

11 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Gráfico de controle: monitora como um processo se comporta ao longo do tempo. Diagrama de dispersão: é uma gráfico feito com um par de variáveis para buscar uma possível correlação entre elas. A denominação sete ferramentas estatísticas de qualidade surgiu no Japão, logo após o final da Segunda Guerra Mundial. As empresas precisavam capacitar mão de obra para o controle da qualidade, mas não era possível ensinar estatística para todos os trabalhadores. Concentraram, então, esforços no treinamento de pessoas para desenhar gráficos que, embora simples, resolvessem a maior parte dos problemas. E isso se comprovou verdadeiro. 6

12 PARTE 2 Estatística Básica Quem lê este livro, muito provavelmente, já teve contato com a estatística. Então, já deve ter aprendido a apresentar dados em tabelas e gráficos, a organizar distribuições de frequências e calcular algumas estatísticas bem conhecidas, como médias e porcentagens. Talvez já tenha ouvido falar da curva de Gauss e dos conceitos de probabilidade. De qualquer forma, esta parte do livro busca reafirmar conceitos e definições. Então, são tratados aqui os seguintes tópicos: Medidas de tendência central: dão o ponto em torno do qual os dados se distribuem. Medidas de dispersão ou variabilidade: medem a variabilidade dos dados. Probabilidade: é o conceito básico para entendimento da lógica da estatística. Distribuição binomial: é a fundamentação teórica dos gráficos de controle para número e proporção de itens com defeito. Distribuição de Poisson: é a fundamentação teórica dos gráficos de controle para número de defeitos por peça. Distribuição normal: é a fundamentação teórica dos gráficos de controle para variáveis, capacidade do processo, aferição.

13 PARTE 3 Gráficos de Controle e Sistemas de Medição O controle e a melhoria da qualidade envolvem um conjunto de atividades para garantir que produtos e serviços apresentem as exigências cabíveis e, ainda, que estejam em constante melhoria. Como a variabilidade é a grande vilã da qualidade, é imprescindível algum conhecimento de técnicas estatísticas para identificar e controlar a variabilidade. Vamos tratar, nesta parte do livro, os gráficos de controle (os mais simples já foram vistos na Parte I), a razão de capacidade do processo e questões de medição. Gráficos de controle constituem forma objetiva e disciplinada de proceder ao controle estatístico do processo. Quando o gráfico indica processo sob controle, as estatísticas obtidas podem ser usadas para monitorar o desempenho futuro do processo. Se o processo estiver fora de controle, uma boa análise dos gráficos ajuda a achar as causas de variação que possam ser eliminadas, de forma a trazer o processo de volta ao estado de controle. A capacidade do processo em estado de controle estatístico pode ser medida pela razão de capacidade do processo, que compara a variação inerente ao processo com a faixa de tolerância. A grande maioria dos itens produzidos (outputs) deve estar dentro dos limites de especificação. Finalmente, na análise de um processo deve ser levada em conta a variabilidade introduzida pelo sistema de medição. O sistema de medição

14 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER deve produzir medidas confiáveis. Para avaliar a viabilidade de um sistema de medição, é usual fazer um estudo R&R (repetibilidade e reprodutibilidade das medições). 136

15 Capítulo 1 Folha de verificação Os processos 1 são conjuntos de atividades relacionadas entre si para transformar entradas (inputs) em saídas (outputs). O controle de qualidade exige a análise de dados com a finalidade de: inspecionar, para aceitar ou rejeitar um produto; monitorar, ou seja, acompanhar o desempenho do processo; controlar, para diminuir o desperdício. Para que os dados possam ser analisados, é preciso que tenham sido corretamente registrados. Só assim o uso dos dados se torna fácil e imediato. Para registrar dados, usa-se uma ferramenta: a folha de verifi cação Para que serve uma folha de verificação? A folha de verificação é uma ferramenta preciosa no controle de qualidade porque torna a coleta de dados rápida e automática. Economiza tempo, evita as anotações rascunhadas e os desenhos malfeitos. Na indústria, as folhas de verificação são usadas para, por exemplo: Registrar problemas de qualidade (não conformidades, reclamações, necessidade de reparos), problemas de segurança (acidentes de trabalho, quebra de equipamento, furtos). Estabelecer a localização de defeitos no produto final. Levantar as causas dos defeitos. Estudar a distribuição de uma variável. Monitorar um processo de fabricação. 1 Veja a definição de processo em Fiesp: Glossário qualidade: Acesso em 20 de janeiro de 2011.

16 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 1.1: Importância da folha de verificação Um supervisor precisa monitorar a dimensão das peças produzidas por seis operadores que operam três máquinas nos seis dias da semana. A tarefa de anotar a dimensão de peças produzidas em condições diferentes (operador, máquina, dia da semana) fica mais fácil se o supervisor receber uma folha de verificação, isto é, uma planilha previamente preparada para o registro da dimensão de amostras de quatro peças, a cada hora, por exemplo Como se desenha uma folha de verificação? Decida o que deve ser observado. No Exemplo 1.1: deve ser observada a dimensão das peças produzidas, indicando operador, máquina, dia da semana. Decida quantos dados devem ser coletados (tamanho da amostra e frequência da amostragem). Decida quando (o horário) os dados devem ser coletados. Verifique se há tempo para registrar todos os dados. Desenhe a planilha de maneira que haja espaço suficiente para o registro dos dados. Coloque nomes nas linhas e nas colunas. Deixe espaço para registrar o local em que os dados foram coletados (seção, por exemplo), a data da coleta dos dados e o nome do responsável por esse trabalho. Faça um teste, isto é, experimente usar a folha de verificação que você desenhou em condições reais. São dadas, em seguida, algumas sugestões de desenho para folhas de verificação com diferentes finalidades. 8

17 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 1 Folha de verificação EXEMPLO 1.2: Para levantar a proporção de itens com defeito Em um processo de produção, são tomados todos os dias de 100 a 150 itens ao acaso, para inspeção. A folha de verificação deve ter espaço para anotar: 1) o número (n) de itens inspecionados no dia; 2) o número (d) de itens com defeito; 3) o resultado do cálculo da proporção (p) de itens com defeito no total inspecionado no dia. Veja a Figura 1.1. Figura 1.1 Folha de veri cação: Itens com defeito FOLHA DE VERIFICAÇÃO: ITENS COM DEFEITO Peça ou produto Seção Operador Máquina Anotador Data Horário do registro n d p EXEMPLO 1.3: Para inspecionar o tipo de defeito Para investigar não conformidades no acabamento de determinada peça, deve ser feita uma folha de verificação. Tendo essa folha, o inspetor faz um traço na linha que descreve o defeito, toda vez que encontrar esse tipo de defeito na peça que inspeciona. Se forem examinadas cinco peças por operador e por máquina a cada duas horas, fica fácil determinar se um tipo de defeito depende do operador ou da máquina (Figura 1.2). 9

18 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 1.2 Folha de veri cação: defeitos de acabamento FOLHA DE VERIFICAÇÃO: DEFEITOS DE ACABAMENTO Operador Hora Máquina Data Turno Anotado por N o da peça Saliência Aspereza Risco Mancha Cor Outro Total EXEMPLO 1.4: Para inspecionar a localização de defeitos no produto final Produtos fabricados em série podem apresentar defeitos externos. Fica mais fácil detectar a causa desses defeitos quando se conhece o local em que eles ocorrem com maior frequência. Para fazer a inspeção, usam-se folhas de verificação que apresentem um croqui do produto. O inspetor apenas marca, no croqui, o tipo de defeito no local em que ocorre, usando um código preestabelecido (Figura 1.3). Figura 1.3 Folha de veri cação EXEMPLO 1.5: Para levantar as causas dos defeitos Os defeitos podem ser explicados por diferentes causas, como desajuste da máquina, desgaste da ferramenta, mudança de método, inexperiência do operador, dia da semana, horário da produção, matéria-prima. Para fazer um levantamento das causas dos defeitos, é preciso organizar as causas prováveis 10

19 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 1 Folha de verificação na folha de verificação. Neste exemplo, a intenção é verificar se o tipo de defeito depende da máquina, do operador e/ou do dia da semana em que o item foi produzido (Figura 1.4). Figura 1.4 Folha de veri cação para veri car causas de defeitos FOLHA DE VERIFICAÇÃO PARA VERIFICAR CAUSAS DE DEFEITOS Peça Seção Data de início Anotado por Símbolo Máquina Operador 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 A B C 2 A B C 3 A B C Tipo de defeito X quebra / risco 0 mancha ~~ ruga * outro EXEMPLO 1.6: Para estudar a distribuição de uma variável A monitoração da variabilidade da dimensão de uma peça fica mais fácil se for feita de maneira planejada. Veja a folha de verificação: basta fazer um traço em determinada linha toda vez que uma medida se enquadrar nessa linha (Figura 1.5). Figura 1.5 Folha de veri cação para estudar distribuição FOLHA DE VERIFICAÇÃO PARA ESTUDAR DISTRIBUIÇÃO Operador Turno Data Máquina Seção Anotador Dimensão Contagem Total Menos de 10,050 De 10,050 a 10,055 De 10,055 a 10,060 De 10,060 a 10,065 De 10,065 a 10,070 De 10,070 a 10,075 De 10,075 a 10,080 10,080 ou mais Total 11

20 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 1.7: Para monitorar um processo de fabricação Para monitorar a variação do comprimento de determinada peça você pode, por exemplo, coletar, a cada hora, uma amostra de quatro peças. Os dados devem ser organizados em uma folha de verificação (Figura 1.6). Figura 1.6 Folha de veri cação para monitorar um processo de fabricação FOLHA DE VERIFICAÇÃO PARA MONITORAÇÃO Operador Turno Data Máquina Seção Anotador Medidas Amostra x 1 x 2 x 3 x 4 Média Amplitude As folhas de verificação também podem ser usadas para estabelecer a qualidade de serviços. Veja o Exemplo 1.8. EXEMPLO 1.8: Para monitorar um serviço Um chefe de departamento considerou que sua secretária ficava muito tempo ao telefone. 2 Desenhou então uma folha de verificação para verificar os motivos das chamadas durante uma semana (Figura 1.7). Figura 1.7 Folha de veri cação para monitorar um serviço FOLHA DE VERIFICAÇÃO PARA MONITORAÇÃO Motivo 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a Total Engano Pedido de informação O próprio chefe Chamadas pessoais Total 2 Tague, N.R. The quality tool box. 2. ed. ASQ Quality Press,

21 1.3. O que é checklist? Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 1 Folha de verificação Checklist significa, literalmente, folha de verificação, mas no Brasil a palavra é usada para indicar a série de itens que devem ser verificados antes de determinado procedimento. Por exemplo, a segurança das viagens aéreas é garantida por checklists: alguns itens devem ser verificados antes do voo, outros antes do pouso. Existem checklists para a prática médica, que obedecem às diretrizes da boa prática clínica. Um checklist também pode ser usado em nossas atividades de rotina. Assim, uma dona de casa pode fazer uma lista de compras (checklist) antes de ir ao supermercado e verificar se adquiriu todos os itens de que necessitava, antes de enfrentar o caixa Resumo Neste capítulo você aprendeu que as folhas de verificação facilitam a coleta e a análise dos dados e viu diversas sugestões para desenhá-las. É importante manter anotações bem-feitas. Folha de veri cação é uma tabela ou planilha estruturada para o registro de dados e o cálculo de algumas estatísticas Exercícios 1. Faça uma folha de verificação para registrar os erros de digitação que podem ser cometidos em um trabalho escolar. 2. Construa uma folha de verificação para registrar as regiões do corpo humano atingidas em acidentes de trabalho. 3. Faça uma folha de verificação para registrar a distribuição do comprimento de peças produzidas que têm, como limites de especificação, 8 e 9 mm. 4. Desenhe uma folha de verificação, usando um croqui, para registrar defeitos em um guarda-chuva. 5. Faça uma folha de verificação para registrar a taxa de ocupação de um hotel durante um mês. 13

22 Capítulo 2 Estratificação Produtos fabricados por diferentes máquinas podem apresentar reais diferenças entre si. Então, se você pretende estudar a variação de determinada característica de qualidade num produto fabricado por diferentes máquinas e for razoável acreditar que as máquinas são uma causa de variação, é preciso tomar amostras da produção de cada máquina para posterior comparação. É o que se entende por estratifi cação. Veja a Figura 2.1. Figura 2.1 Estrati cação 2.1. Por que se faz estratificação? Quando produtos fabricados com material proveniente de diferentes origens (como diferentes fornecedores) ou sob condições diversas (como, por exemplo, diferentes máquinas ou diferentes operadores) são reunidos em um só conjunto, pode ficar impossível entender a variação.

23 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 2 Estratificação Na inspeção, na monitoração ou no controle estatístico da qualidade é preciso identificar todas as possíveis causas de variação de cada característico de qualidade. Na indústria, são entendidas como possíveis causas de variação: Máquinas Métodos de processamento Operadores Turnos Dias da semana Hora do dia Fornecedores Matéria-prima 2.2. Quando se faz a estratificação? A estratificação deve ser feita: Antes da coleta de dados, para que todas as possíveis causas de variação sejam registradas. Na análise dos dados, sempre que os dados tenham provindo de diferentes origens ou diferentes condições que possam ter efeito sobre um característico de qualidade. EXEMPLO 2.1: Estratificação antes da coleta dos dados Considere uma cooperativa de café 3 que recebe café em grão de diversos locais. A classificação do café por tipo é feita com base na contagem de grãos defeituosos e de impurezas. Para isso, amostras de 300 g de café beneficiado são recolhidas e acondicionadas em embalagens apropriadas, por local de produção, por exemplo. Cada amostra é espalhada sobre uma folha de cartolina preta em mesa com boa iluminação. Os defeitos como grãos imperfeitos, verdes, chochos, quebrados ou brocados e as impurezas como cascas, paus, pedras são separados e contados. Pode haver diferença entre produtos de diferentes origens. Então, qualquer característico de qualidade 3 Thomaziello, R.A. A classifi cação do café. Acesso em 29 de outubro de

24 Renata Machado Estatística para a Qualidade ELSEVIER de interesse como tipo de café, no exemplo deve ser estabelecido para cada estrato no exemplo, local de produção. Os estratos devem ser identificados para a análise dos dados. Só assim o analista pode julgar se os estratos realmente têm algum efeito sobre o característico de qualidade. Então, se você apresentar dados em diagramas de dispersão, gráficos de controle, histogramas, deve usar estilos ou cores diferentes para distinguir dados provenientes de diferentes estratos e fazer a necessária legenda. Veja um exemplo. EXEMPLO 2.2: Estratificação para análise dos dados Um engenheiro de produção 4 desenhou um diagrama de dispersão para verificar se a pureza do produto estava relacionada com a contaminação de ferro, mas o gráfico não mostrou qualquer relação. Ele então considerou que o motivo de o diagrama não mostrar a possível relação entre as duas variáveis poderia ser pelo fato de os dados terem provindo de reatores diferentes. Redesenhou o gráfico, usando estilos diferentes para identificar os dados de cada reator. A relação entre pureza do produto e a contaminação de ferro ficou visível para os reatores 2 e 3. A dispersão dos dados de pureza provenientes do reator 1 não parece ser explicada pela contaminação de ferro (Figura 2.2). Figura 2.2 Estrati cação 4 Tague, N.R. The Quality Toolbox. 2. ed. ASQ Quality Press, p

25 2.3. Estratificação em serviços Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 2 Estratificação A necessidade de estratificação reconhecida na indústria também é essencial em qualidade de serviços. Nesses casos, os dados são anotados em uma planilha. EXEMPLO 2.3: Estratificação em serviços O gerente de um hotel quer levantar dados sobre satisfação do cliente. Dos clientes que responderam ao questionário, 70% disseram estar satisfeitos com os serviços. Mas há 30% de clientes insatisfeitos. Será que os dois grupos de clientes os satisfeitos e os insatisfeitos têm a mesma composição por idade, gênero, rendimento etc.? Estaria ocorrendo uma indesejável discriminação? Só a comparação de dados considerando os diferentes estratos (idade, gênero, rendimento) pode revelar se um tipo de cliente (estrato) está insatisfeito Resumo Neste capítulo você aprendeu que a estratificação é essencial para a análise correta dos dados. É preciso localizar as causas de variação como uma máquina desajustada, um operador sem treino, uma diferença importante no ambiente de trabalho como, por exemplo, um aumento indesejável de temperatura, e assim por diante. Estrati cação é a técnica de classi car itens em grupos semelhantes para a coleta e análise de dados Exercícios 1. Descreva o tipo de estratificação que pode ser usado para estudar causas de acidentes de trabalho. 2. Descreva o tipo de estratificação que pode ser usado para estudar faltas ao trabalho. 3. Descreva o tipo de estratificação que pode ser usado para estudar erros no comprimento de uma peça. 17

26 Renata Machado Estatística para a Qualidade ELSEVIER 4. Descreva o tipo de estratificação que pode ser usado para estudar erros no trabalho de uma equipe de costureiras. 5. Descreva o tipo de estratificação que pode ser usado para estudar o conhecimento técnico de engenheiros civis que trabalham 2-15 anos na área. 18

27 Capítulo 3 Diagrama de Pareto O desperdício constitui a grande preocupação de quem procura gerir a qualidade. Por que ocorrem perdas? A experiência tem mostrado que são poucas as causas de grande parte das perdas. 5 Então, o primeiro passo na gestão da qualidade é identificar as causas que determinam a maioria das perdas. O segundo passo é eliminar essas causas para diminuir o desperdício. Mas de que tipo são as perdas? Na indústria, são consideradas perdas: Produção de itens com defeito e/ou falha, necessidade de reparo e/ou retrabalho. Despesas extraordinárias. Acidentes de trabalho, quebra de equipamento, furto. Falta de estoque, demora de entrega, erros na entrega. Como se estabelece a ordem em que as perdas devem ser sanadas? Existe uma ferramenta para isso: é o diagrama de Pareto Para que serve um diagrama de Pareto? O diagrama de Pareto apresenta a distribuição das perdas, por ordem de frequência. O analista pode, então, estudar primeiramente as perdas 5 Para deixar claro que são poucas as causas que determinam a maioria das perdas, cunhou-se a expressão poucas são vitais, a maioria é trivial. É comum dizer que, na análise de um diagrama de Pareto, usa-se o princípio de Pareto, também conhecido como regra do 80/20. Isso porque muitos acreditam que 80% dos problemas são explicados por cerca de 20% das causas de variação. 6 Esse diagrama também é usado para priorizar causas de outros tipos de fracasso e não somente perdas e para priorizar causas de sucesso como, por exemplo, aumento de venda de determinado produto.

28 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER que ocorrem com maior frequência. O diagrama de Pareto estabelece, portanto, prioridades, porque estabelece a ordem em que as perdas devam ser sanadas. Para fazer o diagrama: Determine o tipo de perda que você quer investigar como, por exemplo, peças com defeitos. Especifique o que você quer investigar. No caso do exemplo, podem ser investigados em peças com defeito: tipo de defeito, localização do defeito, causas do defeito. Estabeleça, antes de começar a coleta de dados, o período de tempo em que isso será feito. Organize uma folha de verificação com as categorias do que você decidiu investigar. No caso do exemplo, se você decidiu investigar tipos de defeitos, escreva os tipos conhecidos em uma folha de verificação como mostra o Exemplo 1.3 do Capítulo 1. Preencha a folha de verificação. Faça as contagens, organize as categorias por ordem decrescente de frequência. Se algumas categorias tiverem frequência muito baixa, agrupe todas elas numa única categoria, sob a denominação Outros, 7 e coloque essa categoria na última linha da tabela. Calcule o total. EXEMPLO 3.1: Pareto para defeitos em produtos Na Tabela 3.1 são apresentados os tipos de defeitos encontrados em um produto. Note que a categoria Outros fica na última linha, apesar de ter frequência maior do que as anteriores. 7 A frequência de Outros pode ser maior do que a da categoria anterior. Isso se explica pelo fato de essa categoria agrupar várias outras. No entanto, se a frequência de Outros for muito alta, você provavelmente agrupou categorias que deveriam estar separadas. 20

29 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 3 Diagrama de Pareto Tabela 3.1 Distribuição dos tipos de defeitos encontrados Tipo de defeito Frequência Saliências 19 Asperezas 18 Riscos 12 Manchas 10 Cor 10 Outros 11 Total 80 Calcule as frequências, as frequências relativas, as frequências acumuladas e as frequências relativas acumuladas. Para obter a frequência acumulada, some a frequência da categoria com as frequências das categorias anteriores. EXEMPLO 3.2: Cálculo das frequências acumuladas Veja a Tabela 3.1 novamente. Para riscos, por exemplo, a frequência acumulada é = 49 e a frequência relativa acumulada é 23,8 + 22,5 + 15,0= 61,3. Tipo de defeito Tabela 3.2 Distribuição dos tipos de defeitos encontrados Frequência Frequência relativa (%) Frequência acumulada Frequência relativa acumulada (%) Saliências 19 23, ,8 Asperezas 18 22, ,3 Riscos 12 15, ,3 Manchas 10 12, ,8 Cor 10 12, ,3 Outros 11 13, ,0 Total ,0 O diagrama de Pareto também é bastante usado em serviços. É excelente ferramenta para analisar problemas de faltas de funcionários, de de- 21

30 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER sistências de consultas, de reclamações em hotéis, de entregas erradas de mercadorias etc. EXEMPLO 3.3: Pareto para erros em serviços Numa empresa que vende seus produtos por telefone, há funcionários para registrar os dados dos clientes. Os erros cometidos nesses registros são tabelados para análise. Veja a Tabela 3.3. Tabela 3.3 Distribuição de erros de registros Erro Frequência Frequência relativa (%) Frequência acumulada Frequência relativa acumulada (%) Nome do comprador 57 37, ,0 Endereço incompleto 52 33, ,8 N o do produto 20 13, ,8 Hora da entrega 15 9, ,5 Outros 10 6, ,0 Total , Como se desenha o diagrama de Pareto? Trace um eixo horizontal. Divida esse eixo em tantas partes iguais quantas são as categorias listadas na tabela. Trace um eixo vertical e escreva nele as frequências. Trace barras verticais, justapostas, com alturas iguais às frequências das respectivas categorias. Desenhe as barras por ordem decrescente das frequências, ou seja, da mais alta para a mais baixa. Só a categoria Outros deve ser deixada em último lugar (à direita), independentemente da altura. Complete a figura colocando título, data e nome do responsável pela coleta de dados. EXEMPLO 3.4: Desenhos de diagramas de Pareto Veja a Figura 3.1, feita com os dados do Exemplo 3.1 e a Figura 3.2, feita com os dados do Exemplo

31 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 3 Diagrama de Pareto Figura 3.1 Diagrama de Pareto para tipo de defeito Figura 3.2 Diagrama de Pareto para erros de registros dos dados de compradores Como se desenha a curva de Pareto? Desenhe o diagrama de Pareto deixando espaço na parte superior. Para cada categoria, marque um ponto com abscissa igual ao extremo direito da base da categoria e ordenada igual à frequência acumulada (ou frequência relativa acumulada da categoria). Ligue os pontos. EXEMPLO 3.5: Desenho da curva de Pareto Veja a Figura 3.3, feita com os dados do Exemplo 3.1. Note que mais de 60% dos defeitos são saliências, asperezas e riscos. 23

32 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 3.3 Diagrama e curva de Pareto para tipos de defeito 3.3. Como se analisa o diagrama de Pareto? Lembre-se de que o diagrama de Pareto deve estabelecer prioridades, isto é, mostrar a ordem de frequência com que os problemas aparecem para que sejam resolvidos nessa ordem. Usualmente se ganha mais trabalhando nas barras mais altas (ou seja, procurando resolver os problemas que ocorrem com maior frequência) e não nas mais baixas. No entanto, se determinado problema tem solução simples, mesmo que ocorra com baixa frequência, elimine-o de imediato: é uma experiência, e ajuda a manter o moral da equipe. Alguns autores consideram que se deve usar a regra dos 80/20, isto é, devem ser resolvidos os problemas até que se atinja a marca dos 80%. Mas importante é verificar e testar diversas estratificações. Nem sempre o problema é abordado de maneira correta logo de início. EXEMPLO 3.6: Diagrama de Pareto por estrato Na Figura 3.4 são apresentados três diagramas. Note que as estratificações feitas nos dois primeiros por operador e por partida não mostraram onde estava o problema. A terceira classificação por máquina localizou o problema. 24

33 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 3 Diagrama de Pareto Figura 3.4 Itens com defeito É importante, porém, notar que problemas que aparecem com maior frequência nem sempre são os mais importantes (por exemplo, um defeito que aparece com frequência nem sempre impede o uso do produto). Então estude o problema sob vários pontos de vista. Às vezes, interessa sanar os problemas que têm custo mais elevado para a solução e não aqueles que ocorrem com maior frequência. Contraponha dois diagramas de Pareto: um mostrando a frequência dos problemas e outro mostrando o custo para a solução de cada problema. Decida, depois, como estabelecer as prioridades. EXEMPLO 3.7: Diagrama de Pareto para frequência e para custo Veja os dados apresentados na Tabela 3.4 e na Figura 3.5. Ocorrem mais reclamações do tipo A, mas as do tipo C custam mais caro. É um problema de gerência decidir que problema resolver primeiro se o mais caro ou o mais frequente, mas os diagramas de Pareto exibem essas duas opções. Tabela 3.4 Frequência e custo das reclamações Reclamação Frequência Custo A B C D

34 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 3.5 Frequência e custo das reclamações Quebre grandes problemas ou grandes causas em problemas ou causas específicas. Depois que você identificou um problema ou uma causa como a mais importante, verifique se pode ser feita uma subdivisão em aspectos mais específicos. Por exemplo, se você identificou que a causa da baixa velocidade do automóvel está no motor, discrimine as partes do motor para saber em que parte está o problema. Quando os dados permitem, faça o diagrama de Pareto com colunas empilhadas. Você pode descobrir, por exemplo, que a matéria-prima de determinado fornecedor determina a produção de maior quantidade de itens com defeitos. EXEMPLO 3.8: Pareto para comparação de fornecedores A Tabela 3.5 apresenta os tipos de defeitos encontrados em peças fabricadas com matéria-prima obtida de dois fornecedores. O diagrama de Pareto empilhado mostra que a matéria-prima do fornecedor A determina a maior parte dos defeitos. Tabela 3.5 Distribuição das peças segundo o tipo de defeitos e o fornecedor Frequência Tipo de defeito Fornecedor A Fornecedor B A C E 20 6 D 12 6 B 7 3 Total 26

35 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 3 Diagrama de Pareto Figura 3.6 Distribuição das peças segundo o tipo de defeito e o fornecedor 3.4. Resumo Do que vimos, é fácil entender que o diagrama de Pareto é uma técnica simples para identificar os problemas que devam ser resolvidos prioritariamente. Em geral, o diagrama de Pareto é usado para ordenar os problemas de acordo com a frequência com que ocorrem, mas também podem ser feitos diagramas de Pareto para ordenar os problemas de acordo com o custo de solução ou com a importância prática no uso do produto. O diagrama de Pareto é um grá co de barras que evidencia a ordem em que devem ser buscadas as soluções de problemas Exercícios 1. Faça um diagrama de Pareto para mostrar que, numa empresa, na produção do operador A havia 8 itens com defeito; do operador B, 11; do operador C, 10; do operador D, 11; do operador E, 9; do operador F, Faça um diagrama de Pareto para mostrar que, na mesma empresa e para o mesmos itens descritos no exercício anterior, havia 10 itens com defeito na produção da máquina A; 40, da máquina B; e 8 da máquina C. 3. Compare os diagramas dos exercícios 1 e 2. Se os operadores fazem rodízio nas máquinas e você estivesse procurando a causa do defeito, concluiria que a causa da maior parte dos defeitos é uma máquina ou um operador? 27

36 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 4. A Tabela 3.6 apresenta a frequência e o custo da recuperação de cada livro com defeito, segundo o tipo de defeito, em 45 dos livros produzidos em determinado dia por uma gráfica. Faça um diagrama de Pareto para frequência e outro para custo. Compare os diagramas. Tabela 3.6 Frequência e custo de recuperação de livros com defeitos Tipo de defeitos Frequência Custo por unidade Páginas em branco 5 0,15 Páginas rasgadas 2 0,15 Má plasti cação 8 3 Mau re lamento 10 6 Amarrotado 20 13,5 Total Os defeitos de transistores podem ser divididos em cinco classes. Numa amostra de 24 transistores foram observados 52 defeitos, distribuídos como mostra a Tabela 3.7. Desenhe o diagrama e a curva de Pareto. Tabela 3.7 Transistores com defeito Defeito Número Não funciona 22 Amperagem incorreta 16 Torto 3 Defeitos externos 9 Tamanho incorreto 2 6. As reclamações no Procon em determinado ano sobre compras feitas pela Internet foram assim enquadradas: 18% das reclamações sobre remessas de pedidos em endereços errados, 22% por erro no produto pedido, 28% por não entrega do produto, 18% por erro na quantidade pedida, além de algumas outras reclamações. Faça uma tabela de distribuição de frequências e um diagrama de Pareto. 7. Faça um diagrama de Pareto com os dados apresentados na Tabela 3.8. Use a regra do 80/20 para dizer o que é realmente essencial. 28

37 Causa do sucesso Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 3 Diagrama de Pareto Tabela 3.8 Principal causa do sucesso de uma empresa, segundo pequenos empresários Frequência Presença de um bom administrador 528 0,44 Bom conhecimento do mercado 312 0,26 Dinheiro próprio 204 0,17 Perseverança do dono 84 0,07 Aproveitamento das oportunidades 60 0,05 Capacidade de correr riscos 12 0,01 Frequência relativa Total ,00 29

38 Capítulo 4 Histograma Quanto maior for o número de dados, maior é a quantidade de informação. Mas tabelas com grande número de dados não dão ao leitor ideia do fenômeno. Por essa razão, os dados desde que em grande número são apresentados em tabelas de distribuição de frequências e, graficamente, em histogramas. O histograma é uma das ferramentas estatísticas usadas no controle da qualidade Para que serve um histograma? Um histograma tem diversas finalidades: Mostrar a forma da distribuição e especialmente estabelecer se medidas de determinado item têm distribuição aparentemente normal. 8 Verificar se o processo está centrado no valor nominal. Estudar a dispersão do processo Como se desenha um histograma? Os dados (no mínimo, 50) devem estar organizados em uma tabela de distribuição de frequências com intervalos de classe de mesmo tamanho. 9 Para fazer o desenho: Trace um eixo horizontal. Marque os intervalos de classe nesse eixo, mas adote uma escala conveniente. Se houver intenção de comparar diversos histogramas, adote a mesma escala para todos. 8 Veja o que é distribuição normal no Capítulo Podem ser organizadas tabelas de distribuição de frequências com classes de tamanhos diferentes, mas não há interesse nesse tipo de tabela na área de qualidade. De qualquer modo, é importante saber que, nesses casos, para desenhar o histograma, o procedimento seria outro.

39 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 4 Histograma Trace um eixo vertical para apresentar as frequências, mas deixe entre o eixo e o extremo da primeira classe uma distância igual a pelo menos um intervalo de classe. Desenhe retângulos. As bases são dadas pelos intervalos de classe, e as alturas pelas respectivas frequências. Coloque título e legenda com a data em que os dados foram obtidos e o nome do responsável pela coleta dos dados. EXEMPLO 4.1: Histograma para o diâmetro interno de uma peça Usando a folha de verificação apresentada no Exemplo 1.6 do Capítulo 1, foi obtida a distribuição de frequências dada na Tabela 4.1. Tabela 4.1 Distribuição de frequências para o diâmetro interno de uma peça Classe Ponto médio Frequência Frequência relativa (%) 10,050 I 10,055 10, ,055 I 10,060 10, ,060 I 10,065 10, ,065 I 10,070 10, ,070 I 10,075 10, ,075 I 10,080 10, Total Figura 4.1 Diâmetro interno de uma peça 31

40 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 4.3. Como se analisa o histograma? Para analisar o processo usando um histograma, é preciso que os dados tenham sido coletados enquanto o processo operava normalmente. Se algo incomum aconteceu, os dados não são válidos para generalizações. Feito o histograma, observe a forma, procurando entender o padrão de distribuição dos dados. Veja algumas formas possíveis. Distribuição normal: A Figura 4.2 mostra um padrão bastante conhecido de histograma, que se aproxima da distribuição normal. 10 A média dos dados está no centro da figura. As frequências mais altas ficam no centro do gráfico, que é simétrico: os dados caem igualmente dos dois lados. Essa forma de histograma é bastante comum para processos industriais. Figura 4.2 Histograma com padrão de distribuição normal Distribuição assimétrica: A distribuição dos dados fica assimétrica, quando o limite inferior (ou o limite superior) do processo é controlado, ou seja, quando não podem ocorrer valores abaixo (ou acima) de determinado limite. A Figura 4.3 apresenta um histograma com assimetria positiva. O pico da distribuição fica fora do centro da figura e a cauda à direita é alongada. A média dos dados está, portanto, à esquerda do centro da figura. Um exemplo seria o de histograma feito para apresentar a distribuição do número de chamadas telefônicas por dia numa empresa: como não podem ocorrer valores menores do que zero, a distribuição teria assimetria positiva. 10 Veja o que é distribuição normal no Capítulo

41 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 4 Histograma Figura 4.3 Histograma com assimetria positiva Quando o limite superior do processo é controlado ou não podem ocorrer valores acima de certo limite, a assimetria é negativa. Veja a Figura 4.4: a média dos dados está localizada à direita do centro da figura, e a cauda à esquerda é alongada. Isso acontece, por exemplo, quando você estuda a pureza de um produto: os valores não ultrapassam 100%. Figura 4.4 Histograma com assimetria negativa Distribuição em platô: Quando ocorrem muitos picos com frequências quase iguais, a figura final se assemelha a um platô. A Figura 4.5 mostra um histograma em platô. Essa forma pode ocorrer, por exemplo, quando são medidos característicos de qualidade em produtos fabricados com material comprado de diversos fornecedores. Figura 4.5 Histograma em platô 33

42 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Distribuição com dois picos ou bimodal: Quando duas distribuições com médias bem diferentes se misturam, o histograma apresenta frequências baixas no centro da figura e dois picos ou duas modas, fora do centro. Essa forma ocorre, por exemplo, quando produtos de dois turnos de trabalho são misturados. É preciso estratificar. Veja a Figura 4.6. Figura 4.6 Histograma com dois picos 4.4. Como se usa o histograma para estudar as especificações do processo? Veja a Figura 4.7. Os limites de especificação inferior e superior estão indicados por LIE e LSE, respectivamente. Note que existem espaços entre os limites e a figura, isto é, existe folga. Então, é baixa a probabilidade de ocorrer valor fora dos limites de especificação. Se o histograma que você desenhou tem essa configuração, procure manter a situação. Figura 4.7 Processo com folga 34

43 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 4 Histograma Cuidado, porém, com as seguintes situações: Processo sem folga: Se o começo e o fim do histograma estiverem sobre os limites de especificação, convém diminuir a variabilidade. Quando não existe folga, isto é, uma margem de segurança, qualquer ação que aumente a variabilidade do processo determina a ocorrência de valores fora dos limites de especificação. Veja agora a Figura 4.8. Figura 4.8 Processo sem folga Processo não centrado: Se o histograma não estiver no centro dos limites de especificação, ou seja, o processo for não centrado, estão ocorrendo muitos refugos. É preciso centralizar o processo. Veja a Figura 4.9. Figura 4.9 Processo com muitas perdas 35

44 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Processo com muitas perdas: A Figura 4.10 mostra um histograma que ultrapassa os limites de especificação. Nesse caso, é preciso reduzir a variabilidade para diminuir a quantidade de perdas. Figura 4.10 Processo com muitas perdas Grande dispersão dos dados: Os histogramas mostram o grau de dispersão da variável. Veja a Figura O histograma à esquerda mostra pouca dispersão, mas o histograma à direita mostra grande dispersão. Lembre-se de que, conforme foi definido na Introdução deste livro, melhoria na qualidade significa redução da variabilidade. Então é melhor que você tenha obtido, para seus dados, um histograma como o que está à esquerda, na Figura Figura 4.11 Histogramas com dispersões diferentes 4.5. Resumo Você aprendeu que histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos; as bases são dadas pelos intervalos de classe, e as alturas pelas 36

45 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 4 Histograma respectivas frequências. O histograma revela a quantidade de variação que todo processo traz dentro de si. Então, ao analisar um histograma, note, especificamente: a forma, que deve ser simétrica, a menos que exista razão para a assimetria; a centralização, que deve estar no valor nominal; a dispersão, que deve ser pequena. Um histograma mostra, gra camente, a forma da distribuição de uma variável, evidenciando a centralização e a dispersão Exercícios 1. Apresente a distribuição das notas finais de 50 alunos, dada na Tabela 4.2, apresente essa distribuição em histograma. Trace uma linha vertical para separar aprovados de não aprovados. Calcule a proporção de não aprovados e apresente essa proporção na legenda da figura. Tabela 4.2 Distribuição das notas nais de 50 alunos Classe Ponto médio Frequência 0 I 1 0,5 1 1 I 2 1,5 0 2 I 3 2,5 2 3 I 4 3,5 1 4 I 5 4,5 2 5 I 6 5, I 7 6, I 8 7, I 9 8,5 5 9 I 10 9, Os limites de especificação para o comprimento de uma peça são 20 e 21 mm. Uma amostra de 40 peças, tomada no mês de agosto, forneceu os valores apresentados na Tabela 4.3. Outra amostra de 50 peças, tomada no mês de setembro, forneceu os valores apresentados na Tabela 4.4. Faça um histograma para cada amostra. Trace os limites de especificação. Compare e discuta. 37

46 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Obs.: Para que os histogramas possam ser comparados coloque, no eixo das ordenadas, as frequências relativas. Tabela 4.3 Comprimento, em milímetros, de uma peça (amostra tomada em agosto) 20,32 20,73 20,49 20,62 20,51 20,59 20,60 20,35 20,65 20,78 20,64 20,62 20,27 20,56 20,52 20,49 20,26 20,57 20,59 20,50 20,47 20,53 20,47 20,60 20,57 20,61 20,38 20,60 20,41 20,55 20,53 20,59 20,58 20,21 20,77 20,38 20,46 20,83 20,58 20,52 Tabela 4.4 Comprimento, em milímetros, de uma peça (amostra tomada em setembro) 20,14 20,77 20,16 19,99 20,12 20,25 20,3 20,14 20,14 20,25 20,43 20,51 20,16 20,41 20,65 20,23 20,18 20,38 20,22 20,25 20,18 20,38 20,25 20,49 20,35 20,25 20,4 20,29 20,27 20,62 20,58 20,19 20,72 20,72 20,25 20,11 20,49 20,4 20,31 20,2 20,16 20,48 20,64 20,18 20,52 20,6 20,53 20,6 19,95 20,4 3. O diâmetro de uma peça, medido em 60 peças diferentes, tem os valores apresentados na Tabela 4.5. Construa uma tabela de distribuição de frequências e um histograma. Tabela 4.5 Diâmetro de uma peça 88,28 88,24 88,39 88,01 88,14 88,19 87,58 87,90 88,03 88,25 88,04 87,82 87,99 87,69 88,09 88,09 88,14 87,96 87,89 87,93 87,80 88,03 87,70 88,06 88,04 88,26 88,13 88,18 88,30 87,96 88,14 87,72 88,22 87,79 87,91 87,85 88,10 87,59 88,15 87,82 88,14 88,22 88,07 88,09 88,08 88,04 87,98 87,96 87,83 88,30 88,30 88,19 87,63 87,92 87,77 88,12 88,18 88,18 87,95 88,14 38

47 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 4 Histograma 4. Dada a tabela de distribuição de frequências na Tabela 4.6, faça um histograma e calcule a média. Se a média do processo deve ser igual a 3, o que você recomendaria? Tabela 4.6 Tabela de distribuição de frequências Classe Ponto médio Frequência 0,5 I 1, ,5 I 2, ,5 I 3, ,5 I 4, ,5 I 5, Dada a distribuição de frequências 11 da Tabela 4.7, calcule as frequências relativas. Depois, desenhe um histograma com as frequências relativas. Tabela 4.7 Tabela de distribuição de frequências Classe Ponto médio 170 I I I I I I I I I A tensão da energia elétrica recebida em uma sala de máquinas tem variabilidade. Construa um histograma com os dados que estão na Tabela 4.8 para estudar a distribuição da variável. Tabela 4.8 Tensão em volts da energia elétrica recebida em uma sala de máquinas Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 2. ed. Nova York: Wiley p

48 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 7. É dado o tempo de uso, 12 em horas, de computadores domésticos por pessoas com 12 anos ou mais, durante um mês. Faça uma tabela de distribuição de frequências e desenhe um histograma. Comente o que mostra o gráfico sobre uso de computadores em casa. Tabela 4.9 Tempo de uso de computadores domésticos, em horas, por pessoas com 12 anos ou mais, durante uma semana 10,8 4,7 3,1 0,7 4,1 3,3 3,5 5,4 3,7 3,4 7,2 3,9 5,7 12,1 4,1 7,1 11,1 14,8 3,0 5,9 6,1 3,7 4,4 12,9 8,8 10,3 4,1 2,0 6,1 10,4 5,7 3,1 9,2 9,5 5,6 6,2 3,9 4,8 1,6 1,5 5,9 6,1 4,0 2,8 4,3 7,6 4,2 3,1 5,7 4,1 8. É dado o tempo, em horas, decorrido até a falha de um componente eletrônico submetido a determinado teste. 13 Para acelerar a ocorrência de falha, os componentes foram testados em temperaturas elevadas. Os dados estão na Tabela Desenhe um histograma. Tabela 4.10 Tempo decorrido em horas até a falha do componente eletrônico submetido a teste Vieira, S. Estatística Básica. São Paulo: Cencage, Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 2. ed. Nova York: Wiley, p

49 Capítulo 5 Diagrama de causa e efeito As causas de problemas nos processos de produção devem ser buscadas e sanadas de imediato. Para identificar as causas que não são óbvias, a ferramenta de que o analista dispõe é o diagrama de causa e efeito. Criar esse diagrama não é tarefa fácil. Mas o sucesso 14 no controle estatístico do processo depende, em grande parte, do sucesso que se tem no uso do diagrama de causa e efeito, também conhecido como diagrama de Ishikawa, nome do estatístico que o propôs. Antes, porém, de aprender como se faz o diagrama de causa e efeito, convém observar a Figura 5.1, para entender o objetivo do traçado. Note o aspecto de espinha de peixe nome também usado para o diagrama de causa e efeito. Figura 5.1 Esquema do diagrama de causa e efeito 5.1. Para que serve um diagrama de causa e efeito? Para buscar as causas de um problema. Para organizar ideias quando as sugestões da equipe são múltiplas e variadas. 14 KUME, H. Statistical methods for quality improvement. Tóquio, The Association for Overseas Technical Scholarship

50 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 5.2. Como se faz um diagrama de causa e efeito? Identifique o problema que você quer investigar. Forme uma equipe para fazer a análise. Use a técnica de brainstorming 15 para levantar as causas possíveis do problema sob investigação. Tenha em mãos transparências para retroprojetor, fl ip-chart ou um quadro onde possa escrever. Desenhe um eixo e, à direita e no final desse eixo, desenhe um retângulo. Escreva o problema dentro do retângulo, como mostra a Figura 5.2. Figura 5.2 Iniciando o diagrama de causa e efeito Pergunte à equipe as causas possíveis do problema. Na indústria são primeiramente buscadas as chamadas causas primárias, listadas a seguir, porque delas decorre a maioria dos problemas: Métodos Máquinas Mão de obra Material Medidas Meio ambiente Escreva as causas primárias em retângulos. Ligue os retângulos ao eixo principal, já traçado, como mostra a Figura 5.3. Figura 5.3 Construindo o diagrama de causa e efeito 15 Brainstorming (a tradução literal é tempestade cerebral ), traduzido para o português como tempestade de ideias, é mais que uma técnica de dinâmica de grupo. Antes, é uma forma de explorar a potencialidade criativa de um grupo, a serviço de objetivos prefixados. 42

51 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 5 Diagrama de causa e efeito Busque as causas secundárias dentro de cada causa primária. Pergunte: Por que o produto está não conforme? Se alguém der opinião, escreva a sugestão no ramo apropriado. Pergunte e escreva, sem discutir. Enquanto o grupo faz sugestões, focalize sua atenção nos lugares do gráfico em que as ideias são poucas. Insista em buscar sugestões para preencher todos os espaços. Figura 5.4 Diagrama de causa e efeito Nem sempre é fácil identificar as causas de um problema de qualidade. Mas problemas ocorrem devido à variabilidade do processo. Por que o processo variou? Procure identificar as causas de variação e ao fazer um diagrama de causa e efeito, tome os seguintes cuidados: Defina o problema que você pretende investigar de forma precisa, isto é, evite termos abstratos e ideias muito genéricas. Use vocabulário simples e direto. Convide para a reunião de brainstorming todas as pessoas envolvidas no processo. Com essa atitude, você aumenta a probabilidade de identificar as causas do problema. Resuma as sugestões em poucas palavras. Concentre-se nas causas passíveis de serem sanadas. Se as causas de um problema não podem ser removidas, não há o que fazer. 43

52 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER As causas comuns ou causas primárias dos problemas 16 que ocorrem na indústria são material, métodos, máquinas, mão de obra, medidas e meio ambiente. Como todas essas palavras começam com a letra M, o diagrama de causa e efeito também é conhecido como 6M. Em serviços, as causas primárias de problemas são, na maioria das vezes, originadas de equipamentos, políticas, procedimentos e pessoal O diagrama de causa e efeito é objetivo? Após a sessão de brainstorming e feito o diagrama de causa e efeito, é necessário verificar, objetivamente, se as causas apontadas realmente ocorrem e com que frequência. Também pode ser preciso verificar, objetivamente, se o problema está relacionado a determinada causa. 17 Se essa verificação não for feita, o desenho do diagrama terá sido mero exercício intelectual, sem qualquer aplicação prática. Mas, para conferir as sugestões, são necessárias outras ferramentas. Um exemplo de combinação particularmente útil do diagrama de Pareto e do diagrama de causa e efeito é dado em seguida. 18 Perdia-se muito um produto por defeitos de fabricação. Então, durante dois meses consecutivos, todos os produtos com defeitos foram classificados segundo o tipo de defeito que apresentavam. O resultado desse trabalho está apresentado na Figura 5.5: é fácil ver que o defeito mais comum é a dimensão da peça. 16 Parece mais bem identificar as causas do problema, mas algumas vezes é melhor levantar os fatores que trarão a solução. 17 Veja o diagrama de dispersão, no Capítulo O exemplo é de Kume, Statistical methods for quality improvement. Tóquio, The Association for Overseas Technical Scholarship

53 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 5 Diagrama de causa e efeito Figura 5.5 Diagrama de Pareto para itens não conformes Foram então levantadas as causas que poderiam afetar a variação da dimensão da peça. Isso permitiu desenhar o diagrama de causa e efeito apresentado na Figura 5.6. Figura 5.6 Diagrama de causa e efeito De acordo com a equipe, e como mostra a Figura 5.6, a dimensão da peça pode ser afetada por diversas causas. Mas qual é a importância de cada uma delas? Essa questão pode ser respondida com um diagrama de Pareto. Foi então preciso examinar cada peça que apresentava dimensão errada para que se pudesse identificar a razão do defeito. 45

54 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Os dados obtidos foram apresentados em uma tabela usando essas causas como categorias. Note o cuidado de estabelecer uma categoria com o nome Indefinido, agrupando-se nela as peças com dimensão errada devido à causa desconhecida. Chegou-se, assim, ao diagrama de Pareto apresentado na Figura 5.7. É fácil ver que o mau ajuste da máquina foi a causa da maior parte das perdas. Figura 5.7 Diagrama de Pareto para causas dos defeitos Feito o necessário reajuste, foram obtidos novos dados sobre tipo de defeitos e construído novo diagrama de Pareto. Esse novo diagrama, colocado ao lado do anterior na Figura 5.8, mostra que o reajuste da máquina levou a uma diminuição das perdas. Figura 5.8 Comparação de dois diagramas de Pareto 46

55 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 5 Diagrama de causa e efeito 5.4. Resumo Você aprendeu que o diagrama de causa e efeito é uma ferramenta usada no controle estatístico da qualidade para buscar as causas de determinado problema. É uma ferramenta poderosa porque a construção de um diagrama de causa e efeito é uma experiência para a equipe e tende a fazer com que as pessoas se envolvam na busca de soluções, em lugar de apenas reclamar. O diagrama de causa e efeito ajuda a identi car as possíveis causas de um problema. É uma forma rápida de organizar ideias soltas em categorias Exercícios 1. Faça um diagrama de causa e efeito para diminuir o gasto em combustível de um automóvel. 2. Faça um diagrama de causa e efeito visando melhorar a qualidade de uma aula. 3. Um carro bate em uma árvore. Construa um diagrama de causa e efeito para estabelecer as causas possíveis do acidente. 4. Faça um diagrama de causa e efeito com a finalidade de fazer um time de futebol ganhar o jogo. 47

56 Capítulo 6 Gráfico de controle O gráfi co de controle, também chamado carta de controle, é utilizado para estudar a variabilidade de um característico de qualidade ao longo do tempo. O aspecto do gráfico de controle é típico. Há três linhas paralelas: a central, que representa a média do característico de qualidade no processo; a superior, que representa o limite superior de controle (LSC); a inferior, que representa o limite inferior de controle (LIC). Os pontos representam amostras tomadas em momentos diferentes. São unidos por segmentos de reta, para bem mostrar a variabilidade do característico de qualidade. Veja na Figura 6.1 as linhas que representam média, LSC e LIC. Figura 6.1 Típico grá co de controle 6.1. Para que serve um gráfico de controle? É importante entender que os dados gerados por qualquer processo de produção apresentam variabilidade. A variabilidade típica do processo é

57 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle explicada por diferentes causas, todas naturais e próprias do processo. São as chamadas causas comuns de variação. O processo está sob controle quando opera sob o efeito de causas comuns de variação. Nesses casos, o característico de qualidade em estudo varia dentro dos limites de controle. Podem ocorrer, no entanto, quebra de ferramenta, cansaço do operador, desajuste de máquina, aumento da temperatura, além de outros problemas. Tais ocorrências fazem aumentar a variabilidade do processo, o que pode levar à produção de itens não conformes. Isso significa que, no gráfico de controle, aparecerão pontos fora dos limites de controle ou em configurações atípicas, mostrando que ocorreu uma causa especial de variação, ou seja, a interferência de algo incomum. O gráfico de controle serve, então, para: Mostrar a variabilidade típica do processo. Verificar se o processo está sob controle. Monitorar o processo de tal modo que causas especiais de variação sejam identificadas e corrigidas, quando possível, logo que ocorram. Verificar se as melhorias feitas determinaram menor variabilidade do processo Como se sabe que o processo está fora de controle? O gráfico de controle exibe uma faixa de variação determinada pelos limites de controle superior (LSC) e inferior (LIC). Esses limites indicam quanta variação é típica do processo. Os limites de controle LIC e LSC apresentados neste capítulo são conhecidos como 3-sigma. É usual definir limites de controle que sejam múltiplos de sigma, letra grega que indica o desvio padrão. 19 Os limites 3-sigma são muito usados porque, na prática, dão bons resultados. O processo está sob controle quando: Todos os pontos do gráfico de controle estão dentro dos limites de controle. A disposição dos pontos dentro dos limites de controle é aleatória. 19 Veja desvio padrão na Seção

58 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 6.2 Processo sob controle O processo está fora de controle se apresentar: Pontos fora dos limites de controle. Mais de seis pontos consecutivos de um só lado da linha central. 10 de 11 pontos de um só lado da linha central. 12 de 14 pontos de um só lado da linha central. 16 de 20 pontos de um só lado da linha central. Figura 6.3 Processo fora de controle O processo também está fora de controle se apresentar: Periodicidade, ou seja, subidas e descidas em intervalos regulares de tempo, como mostra a Figura 6.4. A explicação para isso seria, por exemplo, a troca periódica de operadores ou de máquinas e/ 50

59 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle ou mudanças periódicas em uma condição de operação do processo (como temperatura, pressão ou voltagem). Figura 6.4 Grá co de controle para processo com periodicidade Tendência, isto é, os pontos se direcionam nitidamente para cima ou para baixo, como mostra a Figura 6.5. Em geral, a tendência no gráfico de controle é explicada pela deterioração gradual de um fator crítico do processo, como cansaço do operador ou desgaste de uma ferramenta. Nos processos químicos, a tendência é, em geral, explicada pela separação da mistura ou por deposição de elementos. Figura 6.5 Grá co de controle para processo com tendência 51

60 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Estratifi cação, isto é, mudança no nível de desempenho do processo, como mostra a Figura 6.6. A mudança é positiva se for explicada pela introdução de novas máquinas, de operadores mais bem treinados, de métodos mais adequados ou até mesmo de um programa de qualidade,que, em geral, traz motivação e por causa disso melhora o desempenho. No entanto, a estratificação pode ser produzida por erro, voluntário ou não, no registro de dados feitos pelos anotadores e, nesse caso, o processo está fora de controle. Figura 6.6 Grá co de controle para processo com estrati cação 6.3. Quais são os tipos de gráfico de controle? Existem gráficos de controle para atributos e gráficos de controle para variáveis. Os gráficos de controle para atributos monitoram a variação do número ou da proporção de itens não conformes que ocorrem num processo de produção ao longo do tempo. O mais conhecido e utilizado é o gráfico de controle np, que monitora a variação do número de itens não conformes em amostras de tamanho constante. Exemplo 6.1: Gráfico de controle para atributos Numa fábrica, o característico de qualidade escolhido para controlar a qualidade é o número de itens com defeito em amostras aleatórias de 100 peças, obtidas no final de cada dia de trabalho. Esse número pode ser monitorado ao longo do tempo um mês, por exemplo por meio de um gráfi co de controle np. 52

61 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle Os gráfi cos de controle para variáveis estudam o comportamento de característicos de qualidade como peso, comprimento, densidade, concentração. O mais conhecido é o gráfico de controle x R, que monitora a variação da média e da amplitude de um característico de qualidade ao longo do tempo. Exemplo 6.2: Gráfico de controle para variáveis Uma fábrica inspeciona uma amostra de quatro peças a cada hora para obter o comprimento, que é o característico escolhido para controlar a qualidade. As medidas podem ser monitoradas ao longo do tempo por meio de um gráfi co de controle x R Gráfico de controle np para atributos Cálculos necessários para construir o gráfi co de controle np O gráfico de controle np monitora a variação do número (np) de itens não conformes em amostras de tamanho constante (n). Para construir o gráfico: Organize a folha de verificação, como mostrado no Exemplo 1.2 do Capítulo 1. Escreva, na folha de verificação, o número (d i ) de itens não conformes em cada uma das m amostras coletadas. Calcule a proporção (p i ) de itens não conformes em cada amostra, por meio da fórmula: di pi ; n Calcule a média das proporções de itens não conformes: p m 1 p i Calcule os limites de controle, superior (LSC) e inferior (LIC), pelas fórmulas: LSC np 3 np(1 p) LIC np 3 np(1 p) 53

62 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Se o valor calculado para o limite inferior de controle for negativo, faça esse limite igual a zero. Os valores calculados para np, LSC e LIC podem ser arredondados para os inteiros mais próximos. Em inteiros, os resultados são mais bem compreendidos pelos operadores. Exemplo 6.3: Cálculos para construir o gráfico de controle np Foram tomadas m = 6 amostras de tamanho n = 100 a cada hora e meia, em um dia de trabalho. Os dados estão na Figura 6.7. O número de amostras é propositalmente pequeno para facilitar os cálculos, mas, na prática, só comece a desenhar um gráfico de controle quando tiver, no mínimo, 20 amostras (m > 20). Note que, na folha de verificação, deve haver espaço para escrever: o número (n) de itens inspecionados nas amostras; o número (d) de itens não conformes; a proporção (p) de itens não conformes. Figura 6.7 Folha de veri cação: itens com defeito FOLHA DE VERIFICAÇÃO: ITENS COM DEFEITO Peça ou produto Seção Operador Máquina Anotador Hora do registro n Data p 8h00min ,05 9h30min ,02 11h00min ,07 13h30min ,03 15h00min ,06 17h30min ,02 Total Calcule: 0,05 + 0,02 + 0,07 + 0,03 + 0,06 + 0,02 0,25 p = = = 0,

63 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle Ou, partindo dos totais: p = = 0, np = 100 0,04167 = 4,167 LSC = 100 0, ,04167(1 0,04167) = 10,16 LIC = 100 0, ,04167(1 0,04167) = 1,828 < 0 Então: LIC = 0. Se você optou por fornecer resultados em números inteiros: np = 4, LSC = 10 LIC = Como se desenha o gráfi co de controle np? Para desenhar o gráfico de controle np: Trace o sistema de eixos cartesianos. No eixo horizontal coloque números que identifiquem as amostras. No eixo vertical coloque o número de itens não conformes obtido em cada amostra. Faça um ponto para representar cada par de valores (a amostra e o número de não conformes). Una os pontos por segmentos de reta. Trace três linhas paralelas ao eixo horizontal: a do meio (cheia), com ordenada igual a np; a superior (tracejada), com ordenada igual ao LSC; a inferior (tracejada), com ordenada igual ao LIC. Coloque título no gráfico e uma legenda explicativa com a data em que os dados foram obtidos e o nome do responsável pela coleta dos dados. 55

64 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Exemplo 6.4: Desenho do gráfico de controle np Figura 6.8 Grá co de controle np para os dados do Exemplo Análise do gráfi co de controle np Para analisar um gráfico de controle, não bastam conhecimentos de estatística. É preciso familiaridade com o processo. De qualquer modo, algumas sugestões ajudam: Se o desenho de gráficos de controle estiver em fase de implantação, o processo pode estar fora de controle. Para fazer o primeiro gráfico, colete pelo menos 20 amostras e procure controlar o processo, eliminando as causas especiais de variação. Recalcule os limites de controle quando tiver pelo menos 20 pontos obtidos em um período de processo sob controle. Se o desenho de gráficos de controle estiver implantado, procure sempre por sinais de processo fora de controle. Se achar, faça uma marcação no próprio gráfico e investigue o ocorrido. Documente o que achou e como resolveu o problema Gráfico de controle x R para variáveis Os gráficos de controle para variáveis são feitos aos pares: o primeiro monitora a média (a posição central do processo); o segundo, que é colocado logo abaixo do primeiro, monitora a amplitude (a variabilidade).

65 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle Cálculos necessários para construir o gráfi co de controle x R Organize uma folha de verificação, como mostra a Figura 1.6 do Capítulo 1. Meça o característico de qualidade em cada um dos n itens das m amostras e escreva os resultados na folha de verificação. Calcule a média das médias das m amostras: x 1 x 2... x m x m Calcule a média das amplitudes das m amostras: R 1 R 2... Rm R m Calcule os limites de controle, superior (LSC) e inferior (LIC), para a média x por meio das fórmulas: em que: x é a média das médias; LSC = x + A 2 R LIC = x A 2 R R é a média das amplitudes; A 2 é um valor obtido em tabelas estatísticas (veja a Tabela 2 do Apêndice) e depende do tamanho das amostras. Calcule o limite superior de controle (LSC) para R por meio da fórmula: em que: LSC = D 4 R R é a média das amplitudes; D 4 é um valor obtido em tabelas estatísticas (veja a Tabela 2 do Apêndice) e depende do tamanho das amostras. Calcule o limite inferior de controle (LIC) para R por meio da por meio da fórmula em que: LIC = D 3 R R é a média das amplitudes; 57

66 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER D 3 é um valor obtido em tabelas estatísticas (veja a Tabela 2 do Apêndice) e depende do tamanho das amostras. Se as amostras tiverem seis unidades ou menos, faça: LIC = 0 Exemplo 6.5: Cálculos para construir um gráfico de controle x R Foram tomadas m = 5 amostras de n = 4 peças a cada hora, em um dia de trabalho. O mesmo característico de qualidade foi medido em cada uma das quatro peças, nas seis amostras. Os dados estão na folha de verificação apresentada em seguida. O número de amostras é propositalmente pequeno para facilitar os cálculos, mas, na prática, só comece a desenhar gráficos de controle quando tiver no mínimo 20 amostras (m > 20). Figura 6.9 Folha de veri cação FOLHA DE VERIFICAÇÃO Operador Turno Máquina Seção Peças Amostra Média Amplitude Data Anotador Calcule: x = = = R = = = 4,4 5 5 LSC = ,729 4,4 = 83,21 LIC x LSC LIC x R R = 80 0,729 4,4 = 76,79 = 2,282 4,4 = 10,04 = 0 58

67 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle Como se desenha o gráfi co de controle x R? Para desenhar o gráfico de controle x: Trace o sistema de eixos cartesianos. Escreva os números que identificam as amostras no eixo horizontal. Escreva as médias das amostras no eixo vertical. Faça um ponto para representar cada par de valores (o número da amostra e sua média). Una os pontos por segmentos de reta. Trace três linhas paralelas ao eixo horizontal: a do meio (cheia), com ordenada igual a x; a superior (tracejada), com ordenada igual ao LSC; a inferior (tracejada), com ordenada igual ao LIC. Para desenhar o gráfico de controle R: Trace o sistema de eixos cartesianos, logo abaixo do gráfico de controle feito para x. Escreva os números que identificam as amostras no eixo horizontal, mas na mesma escala do gráfico x. Escreva as amplitudes das amostras no eixo vertical. Faça um ponto para representar cada par de valores (o número da amostra e sua amplitude). Una os pontos por segmentos de reta. Trace três linhas paralelas ao eixo horizontal: a do meio (cheia), com ordenada igual a R; a superior (tracejada), com ordenada igual ao LSC; a inferior (tracejada), com ordenada igual ao LIC. Complete o gráfico com título e legenda com a data em que os dados foram obtidos e o nome do responsável pela coleta dos dados. 59

68 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Exemplo 6.6: Desenho do gráfico de controle x R Figura 6.10 Grá co de controle x R para os dados do Exemplo Análise do gráfi co de controle x R Para analisar um gráfico de controle x R não bastam conhecimentos de estatística. É preciso conhecer o processo. De qualquer modo, algumas sugestões ajudam. Cerca de 2/3 dos pontos devem cair dentro do terço médio da região situada entre os limites de controle, tanto no de x como no de R. Se uma quantidade substancialmente maior que 2/3 dos pontos ficar junto do valor central, pode parecer que a produção está mais uniforme. Mas convém verificar se não houve erro de cálculo no desenho dos limites de controle ou, até mesmo, se os dados amostrados não foram corrigidos pelo inspetor ou pelos operadores.

69 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle Lembre-se de que amplitude mede variabilidade dentro de amostras. Então é importante que o gráfico de controle R esteja sob controle, indicando que a variabilidade dentro de amostras está controlada. Mas, na análise do gráfico de controle x R, você vai se deparar com uma das seguintes situações: R sob controle, x sob controle, revelando bom desempenho do processo. R sob controle, x fora de controle, revelando que, em alguns momentos, o desempenho do processo foi afetado por uma causa especial de variação. Procure identificar essa causa, que pode ser, por exemplo, a introdução de uma nova máquina, de novos operadores ou de material de novo fornecedor. R fora de controle, x sob controle, revelando que, em alguns momentos, a variação dentro de amostras não foi apenas casual. Procure a causa especial de variação dentro das amostras com valor não usual de R. R fora de controle, x fora de controle, mostrando que é preciso reestudar o processo. Algumas causas de variação foram, provavelmente, negligenciadas. Comece eliminando as causas especiais de variação que atuaram dentro das amostras. Se você controlar R, é possível que x seja automaticamente controlado. As causas especiais de variação colocam o processo fora de controle. Devem, portanto, ser cuidadosamente investigadas e quando identificadas imediatamente corrigidas. Também devem ser adotadas ações preventivas que evitem recorrência, quando isso for possível Subgrupos racionais Lembre-se de que o gráfico de controle R monitora a variação dentro de amostras. Essa é a variação em um dado momento. Portanto, itens que formam uma amostra devem ser similares porque representam a produção de dado momento e num dado momento a variação deve ser necessariamente pequena. O gráfico de controle x monitora a variação entre amostras. Essa é a variação ao longo do tempo. Amostras obtidas ao longo do tempo devem mostrar se o processo teve algum tipo de deslocamento. 61

70 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Fica agora mais fácil entender que cada amostra deve ser obtida sob as mesmas condições de trabalho para: Minimizar a probabilidade de obter diferenças dentro de amostras. Maximizar a probabilidade de achar diferenças entre amostras. As amostras obtidas com esses critérios são conhecidas como subgrupos racionais. Para obter subgrupos racionais, você tanto pode tomar amostras consecutivas como amostras aleatórias em dado intervalo. As amostras consecutivas 20 são formadas por unidades produzidas ao mesmo tempo (ou tão juntamente quanto possível). As amostras aleatórias em dado intervalo são constituídas por unidades tomadas ao acaso, num curto intervalo de tempo. EXEMPLO 6.7: Subgrupos racionais Considere que o diâmetro de uma peça foi escolhido como característico de qualidade num processo de fabricação e que esse diâmetro é afetado pelos seguintes fatores: material usado; ajuste da máquina; habilidade do operador. Se cada partida do material durar 15 dias e a máquina for ajustada toda manhã, cada amostra deve ser tomada: da produção de um mesmo dia; da produção de um mesmo operador. A variação dos diâmetros das peças dentro de cada amostra é aleatória porque não pode ser explicada por nenhuma das causas de variação identificadas (material usado, ajuste da máquina e habilidade do operador), mas a variação dos diâmetros das peças entre amostras se ocorrer deve ser explicada por um ou mais desses fatores. 20 Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Control. 2. ed. Nova York: Wiley, p

71 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle 6.4. Quantas unidades são necessárias para desenhar gráficos de controle? Antes de desenhar o gráfico de controle, é preciso estabelecer o tamanho das amostras, os limites de controle e a frequência de amostragem. Por exemplo, para fazer o gráfico do Exemplo 6.6, foi especificado amostras de tamanho n = 4, limites de 3-sigma e frequência de amostragem a cada hora. 21 Para se chegar a tudo isso, são necessárias considerações da área de estatística, mas também é preciso considerar o custo da amostragem, o custo de produzir itens com defeitos, o custo da monitoração. Para construir um gráfico de controle np: Colete de 20 a 25 amostras de tamanho constante. 22 Quando o valor de p (proporção de itens com defeito) é muito pequeno, um critério para determinar o tamanho da amostra é escolher um valor de n suficientemente grande para que seja boa a chance de encontrar pelo menos um item não conforme em 90% das amostras. 23 Para desenhar um gráfico x R, em geral, é possível escolher uma das estratégias: tomar amostras pequenas e frequentes; tomar amostras grandes e pouco frequentes. Se a produção de um item não conforme significa grande perda em dinheiro, tome amostras pequenas e frequentes (n = 4 ou n = 5). A razão é evidente: se o tempo decorrido entre duas tomadas de amostra for grande, serão produzidos muitos itens não conformes antes de se detectar que o processo está fora de controle. As indústrias usam, preferencialmente, amostras pequenas e frequentes. São mais comuns as indústrias que coletam amostras de tamanho 5 a 21 O número de amostras (m = 5) foi propositalmente pequeno, para evitar trabalho de cálculo. Na prática não se tomam apenas cinco amostras. 22 Se as amostras forem de tamanhos diferentes, faça o gráfico de controle p mostrado no Capí tulo Se p for muito pequeno (1%, por exemplo), corre-se o risco de um único item não conforme indicar que o processo está fora de controle. Veja na Seção deste livro como se calcula o tamanho da amostra. 63

72 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER cada meia hora do que as indústrias que coletam amostras de tamanho 20 a cada duas horas. Se a taxa de produção for alta, tome amostras frequentes de tamanho moderado. Indústrias que produzem 50 mil unidades por hora devem amostrar com mais frequência do que indústrias que produzem 500 unidades por hora e a menos que a inspeção de cada item seja muito cara indústrias com taxa alta de produção devem tomar amostras de tamanho 10 (em lugar de amostras de tamanho 5), a cada meia hora. Mas não desenhe gráfico x R para amostras com mais de 10 elementos. 24 De qualquer forma, para construir um gráfico x R é usual: Coletar de 20 a 25 amostras de tamanho 4 ou 5, isto é, cerca de 100 dados. Manter o número de amostras em torno de 20, mesmo que as amostras sejam de tamanho moderado (7, 8, 9 10 itens) Avaliação do tamanho das amostras Você pode avaliar se está trabalhando com tamanho e frequência de amostragem adequados por meio do comprimento médio de sequência (average run length, ARL). Basicamente, ARL é o número médio de pontos colocados no gráfico até que um ponto indique a condição de fora de controle. Se o processo estiver sob controle, então: ARL 1 p em que p é a probabilidade de um ponto cair fora do limite de controle. Para um gráfico de controle com limite de 3-sigma, a probabilidade 25 de que um ponto caia fora do limite se o processo estiver sob controle é p = 0,0027. Nesse caso, o comprimento médio de sequência é: 1 ARL 370 0,0027 Logo, se o processo que está estudando estiver sob controle, você deve esperar, em média, um ponto fora dos limites a cada 370 amostras. Se isso estiver acontecendo, o processo está operando bem e a amostragem foi adequada. 24 Se n > 10, faça gráficos x s, apresentados no Capítulo Veja o cálculo dessa probabilidade, feito usando a distribuição normal, no Capítulo 11 deste livro. 64

73 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle 6.5. Resumo Neste capítulo você aprendeu que os gráficos de controle têm aspecto típico: uma linha central que representa a média e duas linhas paralelas que são os limites de controle, superior (LSC) e inferior (LIC). Esses limites mostram a variabilidade típica do processo. O processo está sob controle quando os dados se distribuem aleatoriamente dentro dos limites de controle. O grá co de controle é usado para monitorar como um processo se comporta ao longo do tempo. O processo pode estar sob controle ou fora de controle Exercícios 1. Identifique o gráfico de controle indicado para estudar: a porcentagem de álcool em 200 ml de cerveja; o peso bruto de sacos de 50 kg de cimento; o número de fusíveis com defeito por grosa; o tempo de vida de lâmpadas; a espessura de chapas de aço. 2. Faça um gráfico de controle np para os dados apresentados na Tabela 6.1. Tabela 6.1 Tamanho das amostras (n) e número de itens com defeito (d) Amostras n d Faça um gráfico de controle x R para os dados apresentados na Tabela 6.2. Tabela 6.2 Comprimento em milímetros de quatro itens em cada uma de cinco amostras Amostras

74 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 4. Faça um gráfico de controle np para os seguintes números de itens não conformes obtidos em sete amostras, cada uma delas com 100 itens: 10, 15, 18, 12, 15, 8 e Um característico de qualidade é monitorado com gráficos de controle x R. O tamanho da amostra é sete. Para cada amostra são calculados x i e R i. Foram obtidas 35 amostras e calculados Σ x i = 7805 e Σ R i = Calcule a média das médias, a média das amplitudes e os respectivos limites de controle para os dois gráficos de controle. 6. Numa empresa são inspecionados 50 itens por dia para obter a proporção de não conformes. Os dados estão na Tabela 6.3. Faça um gráfico de controle. Ocorreu algum ponto fora dos limites? Tabela 6.3 Tamanho das amostras (n) e número de itens com defeito (d) Amostras n d O valor nominal para a média de peso líquido do frasco de um detergente é de 500 g. Foram pesados cinco frascos de cada partida comprada por um supermercado. Ache a média e a amplitude de cada amostra. Faça um gráfico de controle. Tabela 6.4 Peso em gramas de cinco itens em cada uma das dez amostras Amostras Sucos de laranja são vendidos em latinhas de 230 ml. 26 Essas latas são feitas em máquinas. Por simples inspeção, é possível dizer, mesmo quando as latas ainda estão vazias, se poderá escorrer suco quando elas forem cheias e seladas. Para fazer um gráfico de controle, foram selecionadas 26 Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 2. ed. Nova York: Wiley, p

75 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 6 Gráfico de controle 30 amostras de 50 latas a cada meia hora de uma máquina de operação contínua. Os dados estão na Tabela 6.5. Faça o gráfico. Note que as amostras 15 e 23 estão fora dos limites de controle. Imagine que se verificou que os dados da amostra 15 foram obtidos logo depois que se colocou na máquina uma nova partida de material, o que pode ter aumentado o número de latas não conformes, e a amostra 23 foi obtida quando um operador menos experiente operava a máquina. Calcule novos limites, sem essas amostras. Tabela 6.5 Número (d) e proporção (p) de latas não conformes em amostras de tamanho n = 50 N o da amostra d p , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,12 0,

76 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 9. Uma rede de abastecimento de energia elétrica de alta voltagem tem um valor nominal de 350 volts. 27 Uma amostra de quatro unidades é selecionada a cada dia e testada. Os dados apresentados na Tabela 6.6 dão a diferença entre a leitura feita em cada unidade e o valor nominal, multiplicada por 10, isto é: x = (leitura 350) 10 Faça o gráfico de controle x R. O processo está sob controle? Tabela 6.6 Dados sobre voltagem N o da amostra x 1 x 2 x 3 x Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, p

77 Capítulo 7 Diagrama de dispersão Às vezes, é preciso saber se duas variáveis numéricas estão relacionadas. Na indústria, pode haver interesse em estabelecer se dois característicos de qualidade estão correlacionados ou se, na verdade, ambos são afetados por uma terceira variável. Após uma sessão de brainstorming e o desenho de um diagrama de causa e efeito, pode ser necessário verificar, objetivamente, se determinado problema está relacionado a determinada causa. Para identificar uma possível relação entre duas variáveis, pode ser usada uma ferramenta: o diagrama de dispersão Como se desenha um diagrama de dispersão? Para desenhar um diagrama de dispersão: Colete pelo menos 30 pares de dados das duas variáveis (genericamente designadas por X e Y) que pretende estudar. Trace um sistema de eixos cartesianos e apresente uma variável em cada eixo. Escreva os nomes das variáveis nos respectivos eixos. Depois, faça de 3 a 10 graduações em cada eixo. Faça um ponto para representar cada par de valores. Se dois ou mais pontos coincidirem, desenhe tantos círculos em torno desse ponto quantas são as vezes que ele se repete ou desenhe pontos que coincidem bem juntos. Complete o gráfico com título e legenda com a data em que os dados foram obtidos e o nome do responsável pela coleta dos dados.

78 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 7.1: Relação entre duas variáveis Na Tabela 7.1 são dados o tempo de armazenamento e o teor de vitamina C em goiabas submetidas à liofilização (processo de secagem realizado a baixa pressão e a baixa temperatura). 28 Os dados estão em diagrama de dispersão na Figura 7.1. O teor de vitamina C diminui em função do tempo de armazenamento. Tabela 7.1 Teor de vitamina C em goiaba lio lizada em função do tempo de armazenamento Tempo de Teor de vitamina C (em mg/100g) armazenamento (em dias) Figura 7.1 Teor de vitamina C em goiaba lio lizada em função do tempo de armazenamento 28 Dados fornecidos pelo professor João Nogueira, do Departamento de Tecnologia de Alimentos, ESALQ-USP. 70

79 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 7 Diagrama de dispersão 7.2. Como se analisa um diagrama de dispersão? Para analisar um diagrama de dispersão, é preciso considerar: 1. A direção dos pontos: Se X e Y crescem no mesmo sentido, existe correlação positiva entre as variáveis. Veja o diagrama de dispersão na Figura 7.2, acima e à esquerda. Se X e Y variam em sentidos contrários, existe correlação negativa entre as variáveis. Veja o diagrama de dispersão na Figura 7.2, acima e à direita. Se X cresce e Y varia ao acaso, não existe correlação entre as variá veis ou o que é o mesmo a correlação entre elas é nula. Veja o diagrama de dispersão na Figura 7.2, embaixo e no centro. Figura 7.2 Correlação positiva, negativa e nula 2. A dispersão dos pontos: O diagrama de dispersão também dá ideia do grau (ou tamanho) de correlação entre as variáveis. 71

80 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Quanto menor é a dispersão dos pontos, tanto maior será o grau de correlação entre as variáveis. Veja o diagrama de dispersão à esquerda na Figura 7.3: a correlação entre as variáveis é forte. Quanto maior é a dispersão dos pontos, tanto menor será o grau de correlação entre as variáveis. Veja o diagrama de dispersão à direita na Figura 7.3: a correlação entre as variáveis é fraca. Figura 7.3 Correlação forte e correlação fraca 7.3. Como se interpreta a correlação? A correlação entre duas variáveis nem sempre signifi ca uma relação de causa e efeito. Pode haver uma terceira variável, não estudada, que determina tanto os aumentos em X como os aumentos (ou diminuições) em Y. Nesses casos, dizemos que a correlação entre as variáveis é espúria. EXEMPLO 7.2: Correlação espúria É provável que exista correlação positiva entre o número de jornais vendidos por dia nas cidades e o número de habitantes que usam óculos. Será que ler jornais faz mal para a vista? Ora, a correlação entre essas variáveis, se existir, é espúria. Pessoas que leem jornais e pessoas que usam óculos aumentam em número quando aumenta a população. A correlação entre duas variáveis pode não aparecer porque os dados foram observados num intervalo muito pequeno. Se o diagrama não mostrar a relação entre as variáveis, verifique se foram observados valores de Y para um 72

81 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 7 Diagrama de dispersão intervalo suficientemente grande de X. Veja a Figura 7.4: o diagrama mostra correlação positiva entre as variáveis, mas se tivessem sido observados apenas os pontos em destaque seria lógico concluir que as variáveis não têm correlação. Figura 7.4 Correlação positiva (no destaque: correlação nula) A correlação entre duas variáveis pode não aparecer ou dar a impressão errada se os dados foram desenhados sem a devida estratifi cação. Veja a Figura 7.5: o diagrama à esquerda mostra correlação positiva entre as variáveis. No entanto, no diagrama à direita, em que amostras provenientes de três estratos diferentes estão separadas, vê-se claramente que a correlação entre as variáveis é negativa. Figura 7.5 Correlação positiva à esquerda e correlação negativa à direita, em cada estrato Se os eixos não estiverem bem dimensionados, a correlação pode ser interpretada de maneira errada. Para garantir evidência da correlação entre duas variáveis, o diagrama de dispersão deve ter o aspecto de um quadrado. Observe a Figura 7.6. É clara a correlação no diagrama à esquerda, o que não acontece no diagrama à direita, embora os dois diagramas exibam o mesmo conjunto de dados. 73

82 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 7.6 A importância do dimensionamento correto dos eixos Finalmente, no diagrama de dispersão, observe se existem pontos longe do conjunto principal. A ocorrência de pontos discrepantes (outliers) é, em geral, explicada por erros de medida ou por mudanças nas condições de operação. O estudo das condições que determinaram o aparecimento de pontos discrepantes sempre traz informação útil ou até mesmo inesperada. 29 Feito o diagrama de dispersão, convém verificar se existe um ou mais pontos discrepantes. Tais pontos devem ser descartados da análise, mas devem merecer atenção. Figura 7.7 Um valor discrepante 7.4. Resumo Neste capítulo você aprendeu que os diagramas de dispersão servem para estudar relações entre variáveis. Se as variáveis estão correlacionadas, os pontos se aproximam de uma reta ou de uma curva. O diagrama de dispersão é um grá co feito para buscar uma possível correlação entre duas variáveis. 29 KUME, H. Statistical methods for quality improvement. Tóquio: The Association for Overseas Technical Scholarship,

83 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 7 Diagrama de dispersão 7.5. Exercícios 1. Mesmo sem dispor de dados, indique e justifique o tipo de correlação (positiva, negativa ou nula) e o grau (perfeita, forte, fraca) entre as variáveis: a) número de vendedores na loja e volume de vendas feitas por dia; b) raio e perímetro de uma circunferência; c) reclamações de clientes e qualidade do produto. 2. É dado o número de itens descartados em duas linhas de produção, durante oito dias do mesmo mês de março. Faça um diagrama de dispersão. Olhando o gráfico, você acha que existe correlação entre as variáveis? Tabela 7.2 Número de itens descartados em duas linhas de produção Dia X Y 1/mar 2 1 2/mar 3 2 3/mar 4 3 4/mar 4 1 5/mar 2 3 8/mar 3 4 9/mar /mar 2 3 Obs.: O número de dados é propositalmente pequeno para evitar muito trabalho. 3. O alongamento de uma mola é função da carga aplicada. Com os dados apresentados em seguida, faça um diagrama de dispersão. Discuta se o alongamento é função da carga. Tabela 7.3 Carga e alongamento de uma mola Carga (kg) Alongamento (cm) 1,0 0,5 1,5 0,7 2,0 1,1 2,5 1,3 3,0 1,5 3,5 1,8 4,0 2,0 4,5 2,3 5,0 2,5 5,5 2,8 6,0 3,0 Obs.: O número de dados é propositalmente pequeno para evitar muito trabalho. 75

84 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 4. Os resultados experimentais apresentados na Tabela 7.4 foram obtidos com a finalidade de estabelecer se há correlação entre as duas variáveis. Desenhe um diagrama de dispersão. Discuta se a produção é função da temperatura. Tabela 7.4 Produção de um processo químico e temperatura Produção Temperatura (ºF) 20, , , , , ,9 190 Obs.: O número de dados é propositalmente pequeno para evitar muito trabalho. 5. Uma companhia tem interesse em determinar a relação entre o número de dias despendido no treinamento de seus funcionários em determinada tarefa e o desempenho deles, medido por um teste padrão. Os gerentes coletaram, então, os dados apresentados na Tabela Faça um gráfico e comente. Tabela 7.5 Escore no teste de desempenho em função dos dias de treinamento Dias de treinamento Escore 1,0 41 1,5 60 2,0 72 2,5 91 3, A Tabela 7.6 apresenta o tempo, em meses, em que seis pessoas estão trabalhando na inspeção de carros e o número de carros que elas inspecionaram em uma tarde de trabalho. 31 Existe correlação entre as variáveis? 30 Pelosi, M.K.; Sandifer,T.M. Doing statistics for business. New York: Wiley, p Vieira, S. Estatística básica. São Paulo: Cencage,

85 Parte 1 Sete Ferramentas Estatísticas... Capítulo 7 Diagrama de dispersão Tabela 7.6 Número de carros inspecionados segundo o tempo de serviço, em meses, de seis pessoas Tempo de serviço Carros inspecionados

86 Capítulo 8 Medidas de tendência central e de dispersão para amostras Para entender as características gerais de um conjunto de dados, as pessoas preferem olhar figuras. 1 Daí a importância das sete ferramentas estatísticas para a qualidade, descritas na Parte I deste livro. Muitas vezes, porém, é preciso fornecer um resumo dos dados. Isso pode ser feito por meio de medidas de tendência central e de medidas de variabilidade. Neste capítulo são definidas as seguintes medidas de tendência central: média, mediana e moda; e as seguintes medidas de variabilidade: amplitude, variância, desvio padrão e erro padrão da média Medidas de tendência central Média aritmética A média 2 ou, mais corretamente, média aritmética de um conjunto de dados é obtida somando todos os dados e dividindo o resultado pelo número deles. Somade todos os dados Média Número de dados Para calcular a média, existe uma fórmula. Os valores assumidos pela variável em estudo são indicados pela letra x. Os índices distinguem um valor do outro. Então, o i-ésimo valor observado é indicado por x i. A média, que se indica por x (lê-se x traço ou x barra), é dada pela soma x 1 + x x n, dividida por n. Escrevemos: 3 1 Já disse alguém: Uma imagem vale mais que mil palavras. 2 A média aritmética é normalmente referida apenas como média. No entanto, o certo é média aritmética porque existe média ponderada, média harmônica, média geométrica. n 3 O símbolo x i(lê-se somatório de x i, i de 1 a n) indica que todos os valores de x i devem ser i 1 somados, desde o primeiro (x 1 ) até o n-ésimo (x n ).

87 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 8 Medidas de tendência central e de dispersão... x n i 1 Para simplificar, muitas vezes se escreve apenas Σx. A fórmula da média fica, então: n x x x n i Média ponderada Por definição, a média ponderada de x 1, x 2,, x n, usando os fatores de ponderação f 1, f 2,, f n, é x xf i f i i EXEMPLO 8.1: Média ponderada de preços Durante a semana, uma loja de conveniência vendeu 10 unidades do mesmo produto por diferentes preços: 5 unidades por 10 reais; 3 unidades por 11 reais; 2 unidades por 9 reais. Para calcular o preço médio pelo qual foi vendido o produto, você deve primeiramente organizar os dados numa tabela de distribuição de frequências, como a Tabela 8.1. Tabela 8.1 Número de unidades vendidas segundo o preço Preço (x i ) Unidades vendidas (f i ) x i f i Total f i =10 x i f i =101 81

88 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Depois você deve multiplicar cada preço praticado (x) pela frequência (f ) com que foi praticado. Obtém, então: x = = = 10, Mediana A mediana é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. EXEMPLO 8.2: Mediana de número ímpar de dados Dados: 2, 7, 3, 8, 9. Para obter a mediana é preciso, primeiramente, escrever os números em ordem crescente: 2, 3, 7, 8, 9. A mediana é 7 porque esse número ocupa a posição central dos dados ordenados, ou seja, 7 é precedido por dois números menores (2 e 3) e seguido por dois números maiores (8 e 9). Se o número de dados for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores que ocupam a posição central dos dados ordenados. EXEMPLO 8.3: Mediana de número par de dados Dados: 8, 1, 7, 0, 6, 4, Para obter a mediana é preciso, primeiramente, escrever os números em ordem crescente: 0, 1, 4, 6, 7, 8. A mediana é a média aritmética dos valores que ocupam a posição central dos dados ordenados, isto é, é a média aritmética de 4 e 6. Então, a mediana é 5. 82

89 Moda Parte 2 Estatística Básica Capítulo 8 Medidas de tendência central e de dispersão... A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Exemplo 8.4: Moda Dados 7, 8, 9, 5, 3, 7, 1, 0, 7, 2, a moda é 7 porque é o valor que ocorre maior número de vezes. Um conjunto de números pode não ter moda porque nenhum valor se repete maior número de vezes ou ter duas ou mais modas. Exemplo 8.5: Conjunto de dados sem moda Não tem moda o conjunto de dados 1, 2, 3, 4, 5 Exemplo 8.6: Conjunto de dados com duas modas O conjunto de dados 7, 7, 8, 9, 3, 4, 3, 1 tem duas modas, 7 e 3. É, portanto, bimodal Medidas de variabilidade Amplitude Existem várias formas de medir a variabilidade de dados numéricos, mas a mais fácil é calcular a amplitude, que é a diferença entre o maior e o menor valor. Indica-se a amplitude por R. amplitude = máximo mínimo Exemplo 8.7: Amplitudes para diâmetro de peças Os diâmetros internos de 20 peças produzidas por duas máquinas estão apresentados na Tabela 8.2. Em média, as duas máquinas produzem peças com o 83

90 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER mesmo diâmetro, isto é, 10,060 mm, mas a variabilidade é diferente. A produção da máquina B tem maior variabilidade, como mostram as amplitudes. Tabela 8.2 Diâmetro interno, em milímetros, de peças produzidas por duas máquinas Máquina A Máquina B 10,061 10,078 10,055 10,078 10,062 10,053 10,065 10,062 10,056 10,069 10,064 10,002 10,058 10,065 10,057 10,063 10,066 10,056 10,056 10,074 Para a máquina A, a amplitude é: R A = 10,066 10,055 = 0,011 Para a máquina B, a amplitude é: R B = 10,078 10,002 = 0, Variância A amplitude é muito usada como medida de variabilidade porque é fácil de calcular e de interpretar, mas não mede bem a dispersão. No cálculo da amplitude são usados apenas os dois valores extremos, isto é, o máximo e o mínimo. Então, a amplitude só deve ser usada como medida de variabilidade quando as amostras são muito pequenas (de 3 a 6 unidades, não mais). Para amostras maiores, é razoável buscar uma medida de dispersão que considere, em seu cálculo, todos os valores observados. Quando se usa a média como medida de tendência central, recomenda-se calcular uma medida de variabilidade baseada nos desvios em relação à média. Desvio em relação à média é a diferença entre o valor observado e a média do conjunto. Mas é importante saber que a soma dos desvios negativos, em valor absoluto, é igual à soma dos desvios positivos. É exatamente por isso que a média é uma medida de tendência central. 84

91 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 8 Medidas de tendência central e de dispersão... Exemplo 8.8: Desvios em relação à média Um hotel pediu a seus hóspedes que dessem uma nota, de 0 a 5, aos diversos setores. As notas dadas por 11 respondentes ao setor de recepção são as que seguem: 4; 2; 2; 5; 4; 5; 2; 1; 2; 2; 4. A média dos dados é 3. Os desvios das notas em relação à média são: 1; -1; -1; 2; 1; 2; -1; -2; -1; -1; 1. A soma dos desvios, negativos e positivos, é obrigatoriamente igual a 0. Verifique = 0 Qualquer que seja o conjunto de dados, a soma dos desvios em relação à média é sempre igual a zero porque valores positivos e negativos se anulam. Por essa razão, não tem sentido propor a média dos desvios como medida de variabilidade. Mas os desvios podem ser usados para construir uma medida de dispersão, desde que os sinais sejam eliminados. Para eliminar os sinais negativos, cada desvio é elevado ao quadrado. Depois, somam-se os quadrados. Como os quadrados de números negativos são positivos, toda soma de quadrados é positiva ou, no mínimo, zero. 4 Para medir a dispersão dos dados em torno da média, calculamos a variância, definida como a soma dos quadrados dos desvios, dividida por n. Indica-se a variância obtida dessa forma por ˆ 2 (lê-se sigma estimado ao quadrado), isto é: 2 ( x x) 2 ˆ = n Prova-se, porém, que para ter propriedades estatísticas desejáveis é preciso que esse valor seja multiplicado pelo fator de correção: n n 1 4 A soma de quadrados dos desvios só é nula quando todos os desvios são iguais a zero. 85

92 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER A variância é, então, definida pela soma de quadrados dos desvios, dividida pelo número de dados menos 1, ou seja, por n 1. Os estatísticos chamam o valor n 1 de número de graus de liberdade. A variância, obtida por essa nova definição, é indicada por s 2. Escrevemos: ( x x) 2 s n 1 2 EXEMPLO 8.9: Cálculo da variância São dados os valores 5; 6; 7; 8; 9. A média é 7. Calcule a variância. Tabela 8.3 Cálculos intermediários para obtenção da variância x x x (x x) = = = = = 2 4 Soma 0 10 Agora, fica fácil obter: 2 ( x x) 2 10 s 2,5 n Desvio padrão A variância é obtida a partir da soma de quadrados dos desvios. Então, a unidade de medida da variância é igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados estão em metros, a variância fica em metros quadrados. Para resolver esse problema, os estatísticos definiram o desvio padrão como a raiz quadrada com sinal positivo da variância. O desvio padrão é indicado por s. 86

93 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 8 Medidas de tendência central e de dispersão... Exemplo 8.10: Comparação de desvios padrões Veja a Tabela 8.4. Observe que as notas dos alunos têm variabilidades diferentes: as notas de Pedro têm a menor variabilidade; as notas de Paulo têm variabilidade maior do que as notas de Pedro; as notas de Carlos têm a maior variabilidade. Como o desvio padrão é uma medida de variabilidade, é lógico esperar que o seu valor aumente quando a variabilidade aumenta. Note que é o que acontece. Tabela 8.4 Notas de três alunos em quatro provas Aluno Notas Média Desvio padrão Pedro 4; 6; 4; 6 5 1,15 Paulo 9; 1; 5; 5 5 3,27 Carlos 9; 1; 2; 8 5 4, Outra forma de calcular o desvio padrão O desvio padrão mede bem a dispersão de um conjunto de dados, mas o cálculo é difícil quando se pensa em chão de fábrica. Então, pode ser calculada a amplitude R e depois obtido o desvio padrão 5 por meio da fórmula: R ˆ d O valor de d 2, que depende do tamanho da amostra, é encontrado na Tabela 2 do Apêndice. 6 Esse método de calcular o desvio padrão fornece boas estimativas para amostras de pequeno tamanho (n = 4, 5 ou 6), mas perde a eficiência se n > 10. De qualquer forma, é essa relação entre a 2 5 A relação é válida desde que a variável tenha distribuição normal. 6 Na folha de verificação pode ser dado espaço para escrever o valor calculado de R e, em seguida, o valor de R dividido por d 2, cujo valor pode estar escrito porque depende apenas do tamanho das amostras. 87

94 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER amplitude e o desvio padrão de uma amostra que permite fazer gráficos de controle x R. Exemplo 8.11: Cálculo do desvio padrão São dados os valores 90; 92; 88; 91; 89. Calcule a variância. Tabela 8.5 Cálculos intermediários para obtenção da variância x x x (x x) = = = = = Para calcular o desvio padrão, é preciso obter, primeiro, a variância: O desvio padrão é: s 2 = = = 2, s 2,5 1,58 Para estimar o desvio padrão dos mesmos dados partindo do valor de R, é preciso calcular a amplitude R = = 4 e procurar na Tabela 2 do Apêndice o valor de d 2 para n = 5. Esse valor é 2,326. Então, a estimativa do desvio padrão é 4 ˆ 1,720 2, Erro padrão da média Imagine uma população constituída pelos números 3, 6 e 9. Imagine que serão retiradas, dessa população, amostras de tamanho 2 com reposição, isto é, será retirado um número, esse número retornará à população e outro será retirado. O procedimento será repetido indefinidamente. Embora a quantidade de amostras seja teoricamente infinita, cada amostra terá de 88

95 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 8 Medidas de tendência central e de dispersão... ser, obrigatoriamente, constituída como uma das amostras descritas na Tabela 8.6. Observe as médias dessas amostras. Elas se distribuem em torno da média da população, que é Tabela 8.6 Amostras de tamanho 2 que podem ser retiradas com reposição da população 3, 6 e 9 Amostra Média 3 e e 6 4,6 3 e e 3 4,5 6 e e 9 7,5 9 e e 6 7,5 9 e 9 9 Para medir a dispersão das médias das amostras em torno da média da população, calcula-se a variância da média, definida por 2 2 ( x j ) x m em que x j representa a média da j-ésima amostra e m é o número de amostras diferentes. Tem-se, então: (3 6) (4,5 6)... (9 6) x = 3 9 Quando temos uma só amostra, não podemos calcular a variância da média, mas podemos obter uma estimativa usando a fórmula 2 2 s sx n Por definição, erro padrão da média é a raiz quadrada, com sinal positivo de s x 2, isto é: s sx n 89

96 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Do exposto, pode-se concluir que o erro padrão da média é uma medida da dispersão das médias de todas as amostras possíveis (que, na prática, são desconhecidas) em torno da média da população (que, na prática, também é desconhecida) Graus de liberdade Lembre-se da população descrita na seção anterior, isto é, a população constituída pelos números 3, 6 e 9, da qual se pretende tirar amostras com reposição de tamanho 2. A média da população é e a variância 2, que se obtém dividindo a soma dos quadrados dos desvios pelo número de elementos da população, é (3 6) (6 6) (9 6) 6 3 Na Tabela 8.7 estão as médias e as variâncias de todas as amostras diferentes entre si, mas de tamanho 2, que podem ser retiradas com reposição dessa população. Tabela 8.7 Médias e variâncias das amostras possíveis de tamanho 2 da população constituída pelos números 3, 6 e 9 Amostras x s 2 3 e e 6 4,5 4,5 3 e e 3 4,5 4,5 6 e e 9 7,5 4,5 9 e e 6 7,5 4,5 9 e A média das médias das amostras possíveis é 3 4,5 6 4,5 6 7,5 6 7,5 9 x

97 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 8 Medidas de tendência central e de dispersão... A média das variâncias é ^ 2 0 4,5 18 4,5 0 4,5 18 4, É importante notar que a média das médias das amostras possíveis é igual a e a média das variâncias das amostras possíveis é igual a 2. Está, então, aí a explicação para os graus de liberdade : quando se calcula a variância dividindo a soma dos quadrados dos desvios por n 1 e não por n, a média das variâncias de todas as amostras possíveis fica igual à variância da população. Diz-se que s 2 é um estimador não tendencioso de Exercícios 1. Os resultados obtidos em cinco arremessos de um dado foram: 2, 4, 4, 4 e 6. Calcule a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o erro padrão da média. 2. Calcule a média, a amplitude e o desvio padrão de uma amostra de cinco peças, que forneceu os seguintes comprimentos, em milímetros: 200,1; 200,5; 200,3; 200,2; 200,4. 3. Oito amostras do mesmo produto foram enviadas para oito laboratórios diferentes. Cada laboratório fez uma determinação da porcentagem de K 2 O no produto, que era, na verdade, 10,5%. Calcule a média e a variância. Qual laboratório errou mais? 10,8; 11,2; 10,5; 11,0; 10,9; 11,1; 10,8; 10,7. 4. Calcule a média, a mediana e a moda dos seguintes conjuntos de dados: a) 8; 3; 0; 6; 8. d) 0; -2; 3; -1; 5. b) 8; 16; 2; 8; 6. e) 2;-1; 0; 1; 2; 1; 9. c) 4; 16; 10; 6; 20; Em um processo de fabricação foram recolhidas duas amostras, cada uma com cinco peças. Tomou-se uma medida em cada peça amostrada. Os dados estão apresentados na Tabela 8.8. Calcule: a) a média e a variância de cada amostra; b) a média das médias e a média das variâncias; c) a média e a variância de todos os dados; 91

98 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tabela 8.8 Medidas em cada peça de duas amostras Amostras Na Tabela 8.9 estão os números de itens não conformes em amostras de tamanho 100, tomadas de quatro máquinas diferentes em 20 dias. Calcule o número médio de itens não conformes por máquina e a média geral. Calcule a amplitude de itens não conformes por máquina e a média dessas amplitudes. Tabela 8.9 Número de itens não conformes em amostras de tamanho 100, segundo a máquina e o dia Máquina Dia

99 Capítulo 9 Noções sobre probabilidade Quando você joga uma moeda com um amigo para saber quem paga o cafezinho, está diante da teoria das probabilidades. É incerto quem pagará a conta, mas você pagar ou não pagar é igualmente possível. Afinal, a probabilidade de sair cara quando se joga uma moeda é ½ e o resultado só depende do acaso Conceitos básicos Vamos usar o exemplo do jogo de moedas para colocar alguns conceitos. Ensaio ou tentativa é todo procedimento que envolva probabilidades. Então, jogar uma moeda é um ensaio ou uma tentativa. Espaço amostral é a lista com todos os resultados possíveis de um ensaio. No jogo de uma moeda, o espaço amostral é cara e coroa. Evento é cada resultado possível de um ensaio. No jogo de moeda, os eventos possíveis são dois: um é cara, o outro é coroa Probabilidade Imagine n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis. Considere que m desses eventos têm determinado atributo. Por definição, 7 a probabilidade de ocorrer evento com esse atributo é m n 7 A definição de probabilidade aqui apresentada serve para os propósitos deste livro, mas não é rigorosamente válida. Note que, para definir probabilidade, foi preciso pressupor que os eventos ocorriam com igual probabilidade.

100 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Usamos o símbolo P(A) para indicar a probabilidade de ocorrer o evento A. EXEMPLO 9.1: Cálculo de probabilidade Você vai jogar um dado. Qual é a probabilidade de ocorrer o número 6? No jogo de dados, o espaço amostral é Os seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas ou mais faces não podem ocorrer ao mesmo tempo. Se o dado for bem balanceado, os seis eventos são igualmente prováveis. Como só um dos seis eventos possíveis tem o atributo desejado, de ser 6, a probabilidade pedida é: P(6) = 1 6 0, 1667 A probabilidade varia entre 0 e 1. Se a probabilidade do evento for zero, o evento é impossível. Se a probabilidade do evento for 1, o evento é certo. Quanto mais perto de zero estiver o valor da probabilidade, mais improvável é ocorrer o evento. Do mesmo modo, quanto mais perto de 1 estiver o valor da probabilidade, mais provável é ocorrer o evento. Probabilidade é, portanto, uma medida da incerteza. EXEMPLO 9.2: Evento certo e evento impossível A probabilidade de ocorrer número menor do que 8, no lançamento de um dado é 1 (evento certo). A probabilidade de ocorrer número maior do que 8 é zero (evento impossível). 94

101 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 9 Noções sobre probabilidade É comum expressar probabilidade em porcentagem. Para isso, basta multiplicar a razão m/n por 100. Então, é comum dizer que a probabilidade de sair cara quando se lança uma moeda é 50% (embora, a rigor, seja ½) Eventos independentes Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não é modificada pela ocorrência do outro. EXEMPLO 9.3: Eventos independentes Um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de ocorrer Cara na moeda? Cara na moeda, sabendo-se que ocorreu face 6 no dado? A Tabela 9.1 apresenta o espaço amostral para o jogo simultâneo de um dado e uma moeda. Tabela 9.1 Eventos possíveis no jogo de um dado e uma moeda Moeda Dado Cara Coroa 1 Cara; 1 Coroa; 1 2 Cara; 2 Coroa; 2 3 Cara; 3 Coroa; 3 4 Cara; 4 Coroa; 4 5 Cara; 5 Coroa; 5 6 Cara; 6 Coroa; 6 Dos 12 eventos possíveis e igualmente prováveis apresentados na Tabela 9.1, seis correspondem à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda é: P(cara) = ,

102 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Para obter a probabilidade de sair cara na moeda sabendo que saiu 6 no dado, observe a última linha da Tabela 9.1. Dos dois eventos que correspondem à saída de 6 no dado, um corresponde à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda sabendo que ocorreu 6 no dado, é: P(cara) = 1 2 =0,5 A probabilidade de sair cara na moeda não foi modifi cada por sair 6 no dado. Dizemos, então, que esses eventos são independentes Eventos dependentes Dois eventos são dependentes quando a probabilidade de ocorrer um deles modifica a probabilidade de ocorrência do outro. A probabilidade de ocorrer B dado que A já tenha ocorrido é denominada probabilidade condicional do evento B em relação ao evento A. Indica-se a probabilidade condicional de A sob a condição de ter ocorrido B por P (A B) e se lê probabilidade de A dado B. EXEMPLO 9.4: Cálculo da probabilidade condicional Um dado foi jogado. Qual é a probabilidade de ter ocorrido 5? ter ocorrido 5, sabendo que ocorreu face com número ímpar? Para responder à primeira pergunta, lembre-se de que, no jogo de dados, o espaço amostral é: Dos seis eventos possíveis mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, um tem o atributo desejado. Segue-se, então, que a probabilidade de ocorrer a face 5 é: 96

103 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 9 Noções sobre probabilidade P(5) = 1 0, Para obter a probabilidade de ter ocorrido 5, sabendo que ocorreu face com número ímpar, é preciso construir o espaço amostral: A probabilidade de ter ocorrido 5 é: P(5 ímpar) = 1 3 = 0,3333 A probabilidade de sair 5 no jogo de dados foi modifi cada por ter sido dada uma condição ter saído número ímpar Regras da multiplicação Regra 1 da multiplicação: eventos independentes Se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A multiplicada pela probabilidade de ocorrer B. Escreve-se: P(A e B) = P(A) P(B) EXEMPLO 9.5: Ocorrência conjunta de eventos independentes Uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? A probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é: P(cara) = 1 2 =0,5 97

104 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER O fato de ter ocorrido cara na primeira jogada não modifi ca a probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são independentes). Então, a probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada é: P(cara) = 1 2 =0,5 Para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas (isto é, na primeira e segunda), faz-se o produto: P(cara e cara) = 1 1 = 1 = 0, Regra 2 da multiplicação: eventos dependentes Se A e B são eventos dependentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade (condicional) de ocorrer B, dado que A ocorreu. Escreve-se: P(A e B) = P(A) P(B A) EXEMPLO 9.6: Ocorrência conjunta de eventos dependentes Uma urna contém duas bolas brancas e duas bolas cinza. Duas bolas são retiradas da urna ao acaso, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade de as duas serem brancas? A probabilidade de a primeira bola ser branca é: P(branca) = 2 0,5 4 = 98

105 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 9 Noções sobre probabilidade A probabilidade de a segunda bola ser branca depende do que aconteceu quando se fez a primeira retirada. Se, na primeira retirada, saiu bola branca, a probabilidade de a segunda bola retirada também ser branca é: P(branca branca) = 1 0,333 3 Para se obter a probabilidade de as duas bolas retiradas serem brancas, faz-se o produto: P(branca e branca) = 2 1 = 2 = 0, Regra da soma Regra 1 da soma: eventos mutuamente exclusivos Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é, A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B. Escreve-se: P(A ou B) = P(A) + P(B) EXEMPLO 9.7: Eventos mutuamente exclusivos Uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha. Uma bola é retirada da urna ao acaso. Qual é a probabilidade de ter saído bola azul ou vermelha? A probabilidade de sair bola azul é P(azul) = 1 =0,

106 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER A probabilidade de sair bola vermelha é P(vermelha) = 1 =0,25 4 A probabilidade de sair bola azul ou bola vermelha é dada pela soma das probabilidades: P(azul ou vermelha) = = =0, Regra 2 da soma: eventos não mutuamente exclusivos Se A e B podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, se A e B não são mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A e B. Escreve-se: P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Na fórmula, P(A e B) refere-se à sobreposição de A e B. EXEMPLO 9.8: Eventos não mutuamente exclusivos Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás? Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás é dada pela soma Essa resposta estaria errada porque o ás de espadas é tanto ás como espadas. Então, o ás de espadas teria sido contado duas vezes como ás e como espadas. A probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás é dada por P(ás ou espadas) = = = = 0,

107 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 9 Noções sobre probabilidade 9.7. Exercícios 1. No jogo de par ou ímpar, qual é a probabilidade de ocorrer par? Qual é a probabilidade de ocorrer valor maior do que 5? 2. Se 10% das lâmpadas produzidas por uma indústria são não conformes, qual é a probabilidade de nenhuma de três lâmpadas, tomadas ao acaso da produção dessa indústria, ser não conforme? 3. Você recebeu 10 produtos sem defeitos, quatro com defeitos menores e dois com defeitos maiores. Se tomar dois produtos ao acaso, qual é a probabilidade de: a) ambos serem sem defeitos? b) pelo menos um ser sem defeito? c) nenhum ter defeito maior? 4. Uma sala tem dois computadores que podem estar ou não em uso. Dadas as probabilidades apresentadas na tabela a seguir, pergunta-se: o fato de o computador 2 estar em uso depende de o computador 1 estar em uso? Computador 2 Em uso Computador 1 Não Em uso 0,15 0,45 Não 0,10 0,30 5. Em um jogo de moedas, o jogador ganha se tirar duas caras consecutivas. Sabe-se que um jogador jogou uma moeda duas vezes e saiu cara em uma das jogadas. Qual é a probabilidade de o jogador ter ganhado? 6. Uma pessoa vai para o trabalho todo dia pela mesma rua, que tem quatro semáforos. 8 Seja X (X = 0, 1, 2, 3, 4) o número de sinais vermelhos que podem ser encontrados nesse percurso. A pessoa verifica que: P (0) = 0,05 P (1) = 0,25 P (2) = 0,36 P (3) = 0,26 P (4) = 0,08 Ache a probabilidade de, em determinado dia, essa pessoa encontrar: a) pelo menos dois sinais vermelhos; b) menos de dois sinais vermelhos. 8 Hodges Jr., J.L. e Lehmann, E.L. Basic Concepts of Probability and Statistics. San Francisco: Holden-Day, p

108 Capítulo 10 Distribuições discretas Quando alguém toma uma amostra aleatória de n unidades de determinado produto para inspeção, não pode prever, de antemão, o número de unidades com defeitos. Esse número varia ao acaso. Seja X o número de unidades com defeitos numa inspeção de n produtos. Então, X é uma variável aleatória. As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. A variável aleatória discreta assume finitos valores (por exemplo, só número inteiro) em um dado intervalo. Exemplo 10.1: Variável aleatória discreta Dez unidades são selecionadas ao acaso numa linha de produção. Essas unidades são inspecionadas e é anotado o número de produtos com defeito. Esse número, que indicaremos por X, é uma variável aleatória discreta porque X só pode assumir valores inteiros entre zero e 10. A variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor em um dado intervalo. Exemplo 10.2: Variável aleatória contínua Foi obtida uma amostra aleatória de cinco unidades de um produto. Essas unidades foram pesadas e os resultados foram organizados em um gráfico. O peso do produto é uma variável aleatória contínua porque a exatidão dos resultados depende apenas da qualidade da balança.

109 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 10 Distribuições discretas O que é distribuição de probabilidades? Distribuição de probabilidades é um modelo matemático que estabelece a relação entre o valor da variável aleatória e a probabilidade de ocorrência desse valor na população. Exemplo 10.3: Distribuição de probabilidades A distribuição da variável que representa o número de caras quando se joga uma moeda duas vezes é apresentada na Tabela Tabela 10.1 Distribuição de probabilidades para o jogo de duas moedas Evento Número de caras Probabilidade Coroa-coroa 0 0,25 Coroa-Cara 1 0,5 Cara-Coroa Cara-Cara 2 0,25 Figura 10.1 Distribuição de probabilidades para o jogo de duas moedas Quando a variável aleatória é discreta, a distribuição de probabilidades também é discreta. Uma distribuição aleatória discreta é constituída por todos os valores que podem ser assumidos pela variável aleatória e suas respectivas probabilidades. A soma das probabilidades associada a todos os valores que podem ser assumidos pela variável aleatória é, obrigatoriamente, igual a

110 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Distribuição binomial Quando alguém vai retirar um produto ao acaso numa linha de produção para inspeção, não pode antecipar se esse produto será conforme ou não conforme, mas a pessoa sabe que só são possíveis um desses dois resultados. Podem ser feitas muitas e muitas retiradas. Se o processo estiver sob controle, a retirada de um produto não conforme não depende do resultado obtido anteriormente. Em todas as retiradas, a probabilidade de produto não conforme é sempre a mesma, ou seja, os resultados são independentes entre si Função de distribuição Vamos definir uma variável aleatória X que represente o número de vezes que ocorre um de dois eventos possíveis em uma série de n tentativas. Na indústria, essa variável usualmente representa o número de itens não conformes encontrados em uma amostra aleatória de n itens. Os valores que podem ser assumidos pela variável aleatória X numa sequência de n tentativas com as respectivas probabilidades constituem uma distribuição binomial, desde que sejam satisfeitas as seguintes condições: O resultado de um ensaio não depende do resultado dos outros. Em cada ensaio são possíveis dois eventos, que ocorrem com probabilidades p (o evento de interesse) e q = 1 p (o evento que não interessa). As probabilidades para qualquer um dos dois eventos permanecem constantes em todos os ensaios. Exemplo 10.4: Variáveis com distribuição binomial Número de itens não conformes em n itens inspecionados num processo sob controle. Número de caras que podem ocorrer em n arremessos de uma moeda. 104

111 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 10 Distribuições discretas Existe uma função que gera a probabilidade de ocorrer X vezes o evento de interesse em n tentativas quando X tem distribuição binomial. Essa função, apresentada em seguida, é denominada função da distribuição binomial. n Px ( ) x pq x ( n x ) em que x = 0, 1, 2, 3,...n. Na função: n x é a combinação9 de n, x a x; p é a probabilidade de ocorrer o evento de interesse; q = 1 p é a probabilidade de ocorrer o evento contrário. Exemplo 10.5: Cálculo de probabilidade na distribuição binomial Para entender como se calculam probabilidades por meio da função da distribuição binomial, imagine que você queira saber a probabilidade de ocorrerem duas caras em quatro arremessos de uma moeda. Essa probabilidade é obtida por meio da função: Como n = 4, p = ½ e q = ½: n Px ( ) x pq x ( n x ) P(2) = ! 1 1 = 2!(4 2)! = = 0,375 ou 37,5% Veja a revisão sobre análise combinatória dada em seguida. 105

112 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Rápida revisão sobre análise combinatória Seja n um número inteiro e positivo maior do que zero. Por definição, o fatorial de n, que se indica por n!, é: n! = n(n 1)(n 2)... 1 Como exemplo, considere n = 5. O fatorial de 5 é: 5! = = 120 O fatorial de zero é, por definição, igual a 1, isto é: 0! = 1 O desenvolvimento de um fatorial pode ser interrompido antes de atingir o número 1, desde que o símbolo que indica o fatorial seja colocado logo após o último número. Por exemplo, pode-se escrever: 8! = ! porque 5! = Dado um conjunto de n elementos em que n > 0 e dado o número x n, por definição a combinação de n, x a x, que se indica por n é: x n n! x x!( n x)! Exemplo 10.6: Combinação A combinação de 5, 3 a 3, é: 5 5! 5 4 3! = = = !(5 3)! 3!2 1 É interessante observar que, para todo n: n n! n( n 1)! a) = = = n 1 1!( n 1)! ( n 1)! 106

113 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 10 Distribuições discretas n n! n! b) 1 n n!( n n)! n!0! n n! n! c) 1 0 0!( n 0)! n! Exemplo 10.7: Mais cálculo de probabilidade A probabilidade de ocorrer um item não conforme (o evento de interesse) em um processo de produção é 20% (p = 0,2). Se for coletada uma amostra de 10 itens (10 ensaios), qual é a probabilidade de três itens dessa amostra serem não conformes? n = 10 x = 3 p = 0,2 q = 1 p = 0, P(3) (0,2) (0,8) 3 10! 3 7 (0,2) (0,8) 3!(10 3)! (0, 2) (0,8) 0,201 ou 20,1% Média e variância na distribuição binomial Numa distribuição binomial, a média, que é indicada por μ (lê-se mi), é obtida por meio da fórmula: μ = np Exemplo 10.8: Média na distribuição binomial A probabilidade de ocorrer um item não conforme (o evento de interesse) em um processo de produção é 1% (p = 0,01). Para amostras de 200 itens, qual é a média de itens não conformes? 107

114 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER n = 200 p = 0,01 μ = 200 0,01 = 2 A variância de uma distribuição binomial, indicada por 2 (lê-se sigma ao quadrado) é dada pela fórmula: 2 = npq Exemplo 10.9: Variância na distribuição binomial A probabilidade de ocorrer um item não conforme (o evento de interesse) em um processo de produção é 1% (p = 0,01). Para amostras de 200 itens, qual é a variância de itens não conformes? n = 200 p = 0,01 q = 1 0,01 = 0,99 2 = 200 0,01 0,99 = 1, Distribuição de Poisson Muitas vezes fazemos contagens que dão resultados aleatórios. A variável que representa o resultado dessas contagens tem distribuição que se aproxima da distribuição de Poisson. São exemplos: o número de chamadas telefônicas erradas em dado intervalo de tempo, o número de erros nas páginas de um livro, o número de ligações clandestinas ( gatos ) num trecho de rede elétrica, o número de defeitos em um produto acabado. A distribuição de Poisson é, portanto, bastante usada no controle estatístico da qualidade. Para gerar a probabilidade de ocorrer um evento X vezes, quando X tem distribuição de Poisson, existe uma função, dada em seguida, denominada função da distribuição de Poisson. para x = 0,1,2,n. 108 P ( x) e x x!

115 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 10 Distribuições discretas No controle da qualidade, uma aplicação típica da distribuição de Poisson é para o estudo de não conformidades que podem ocorrer numa unidade do produto. Na distribuição de Poisson, a média e a variância são iguais, isto é, μ = 2. Esses parâmetros (média e variância) são representados na função de Poisson por (lê-se lâmbda). Exemplo 10.10: Cálculo de probabilidade na distribuição de Poisson Suponha que o número de defeitos por unidade na interconexão de circuitos integrados tenha distribuição de Poisson com parâmetro = 2. Nessas condições, qual é a probabilidade de que um circuito integrado escolhido ao acaso não tenha defeito? P(0) e e 0,1353 ou 13,53% 0! Exercícios 1. Qual é a probabilidade de saírem duas caras e três coroas quando se jogam cinco moedas ao mesmo tempo? 2. Um exame é constituído de 10 testes do tipo certo e errado. Qual é a probabilidade de um aluno, que nada sabe sobre a matéria, acertar sete dos 10 testes? 3. Suponha que, em um voo, os motores do avião falhem independentemente e com probabilidade 0,1. Suponha, ainda, que um avião voe se pelo menos metade de seus motores não falha. Nessas condições, você prefere viajar em um bimotor ou em um quadrimotor? 4. Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e nas mesmas condições de saúde. A companhia sabe, por meio de estatísticas atuariais, que depois de 30 anos, para qualquer dessas pessoas a probabilidade de estar viva é 2/3. Qual é a probabilidade de, 30 anos depois: a) todas as cinco pessoas estarem vivas? b) pelo menos três pessoas estarem vivas? 5. Um aluno responde ao acaso uma prova que consiste em 10 questões de múltipla escolha. Cada questão tem quatro alternativas, das quais apenas uma é correta. Calcule a média e a variância do número das questões respondidas corretamente. 109

116 Capítulo 11 Distribuição normal A distribuição normal, também conhecida como curva normal ou distribuição de Gauss, é a mais conhecida das distribuições. A razão é simples: essa distribuição tem enorme uso em teoria estatística. Grande parte das medidas feitas em áreas tão diversas como engenharia, biologia, química ou agronomia tem distribuição aproximadamente normal. Algumas características da curva normal são bem conhecidas: a variável aleatória pode assumir qualquer valor real; a área total sob a curva vale 1 porque essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória assumir qualquer valor real; a média, a mediana e a moda coincidem e estão no centro da distribuição; o gráfico tem aspecto típico: é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média. Veja a Figura 11.1; Figura 11.1 Grá co da distribuição normal como a curva é simétrica em torno da média, 50% dos valores são iguais ou maiores do que a média e 50% dos valores são iguais ou menores do que a média;

117 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 11 Distribuição normal a configuração da curva é dada por dois parâmetros: a média e a variância 2. Mudando a média, muda a posição da distribuição, como mostra a Figura Mudando a variância, muda a dispersão da distribuição, como mostra a Figura Figura 11.2 Duas distribuições normais com médias diferentes e mesma variância Figura 11.3 Duas distribuições normais com a mesma média e variâncias diferentes Regra empírica A grande vantagem de pressupor que uma variável tem distribuição normal é o fato de porque a distribuição é conhecida ser possível calcular as probabilidades relacionadas a essa variável. Essas probabilidades são dadas pelas áreas sob a curva. Na distribuição normal: 68,26% dos valores da variável estão entre ( ) e ( + ). Veja a Figura 11.4; 111

118 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 11.4 Distribuição normal: 68,26% das observações estão entre a média ± 1 desvio padrão 95,44% dos valores da variável estão entre ( 2 ) e ( + 2 ). Veja a Figura 11.5; Figura 11.5 Distribuição normal: 95,44% das observações estão entre a média ± 2 desvios padrões 99,74% dos valores da variável estão entre ( 3 ) e ( + 3 ). Veja a Figura Figura 11.6 Distribuição normal: 99,74% das observações estão entre a média ± 3 desvios padrões 112

119 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 11 Distribuição normal Nenhuma distribuição de dados reais tem todas as características da distribuição normal. Mas, se você puder pressupor que a variável que estuda tem distribuição normal ou aproximadamente normal, pode considerar, aplicando a chamada regra empírica, que, aproximadamente: 68% (praticamente 2/3) das observações ficarão entre e + ; 95% das observações ficarão entre 2 e + 2 ; 99,7% das observações ficarão entre 3 e + 3. Exemplo 11.1: Aplicando a regra empírica: Os diâmetros internos de 100 cilindros produzidos por uma máquina têm média igual a 8,1 cm e desvio padrão igual a 0,1 cm. Pressupondo que o diâmetro interno da peça tenha distribuição normal, podemos considerar que: 68% de todas as observações possíveis ficarão entre 8,0 e 8,2, ou seja, 8,1 ± 0,1; 95% de todas as observações possíveis ficarão entre 7,9 e 8,3, ou seja, 8,1 ± 2 0,1; 99,7% de todas as observações possíveis ficarão entre 7,8 e 8,4, ou seja, 8,1 ± 3 0, Distribuição normal reduzida ou padronizada Denomina-se distribuição normal reduzida ou padronizada a distribuição normal de média zero e variância 1. A variável com distribuição normal reduzida é usualmente indicada por Z. As probabilidades associadas à distribuição normal reduzida são facilmente obtidas em tabelas. Daí o interesse em estudar esse tipo particular de distribuição. 113

120 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 11.2: Obtendo a probabilidade de 0 < Z < 1,25 na distribuição normal reduzida Observe a Figura Como a área total sob a curva vale 1 e a curva é simétrica em torno da média zero, a probabilidade de ocorrer valor maior do que zero é 0,5. Mas qual será a probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25? Figura 11.7 Probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25 A probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25 corresponde à área hachurada na Figura Essa probabilidade é encontrada na tabela de distribuição normal reduzida dada neste livro, no Apêndice. Para mostrar como se usa esse tipo de tabela, parte dela foi reproduzida nesta seção, na Tabela Veja como se usa essa tabela: Na primeira coluna da Tabela 11.1 você acha o algarismo 1,2 (para facilitar, destacado em negrito). Na primeira linha da Tabela 11.1 está o dígito 5 (também em negrito). O algarismo 1,2 (na primeira coluna) compõe com o algarismo 5 (na primeira linha) o número 1,25. No cruzamento da linha onde está 1,2 com a coluna onde está 5 você encontra 0,3944 (também em negrito). Essa é a probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25, que corresponde à área hachurada na Figura

121 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 11 Distribuição normal Tabela 11.1 Tabela de distribuição normal reduzida (parte) Em negrito: probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1, ,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0, ,4115 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 EXEMPLO 11.3: Obtendo a probabilidade de Z 1,25 na distribuição normal reduzida Considere outro problema. Qual é a probabilidade de ocorrer valor igual ou maior que 1,25? Essa probabilidade corresponde à área com hachuras na Figura Figura 11.8 Probabilidade de ocorrer valor maior que 1,25 115

122 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Veja: a probabilidade de ocorrer valor maior do que zero é 0,5; a probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25 (área pontilhada na Figura 11.8 e já calculada no Exemplo 11.2 é 0,3944. Então a probabilidade de ocorrer valor igual ou maior do que 1,25 é 0,5 0,3944 = 0,1056 ou 10,56%. EXEMPLO 11.4: Obtendo a probabilidade de Z 0,51 na distribuição normal reduzida Qual é a probabilidade de ocorrer valor de Z igual ou menor do que 0,51? Essa probabilidade corresponde à área hachurada na Figura Note que a área em branco entre zero e 0,51 é igual à área pontilhada entre zero e 0,51. Mas quanto vale essa área? Figura 11.9 Probabilidade de ocorrer Z < 0,51 Procure, na primeira coluna da tabela de distribuição normal reduzida, o valor 0,5 e, na primeira linha, o valor 1, para compor o número z = 0,51. No cruzamento entre a linha encabeçada pelo valor 0,5 e a coluna encabeçada pelo valor 1 está 0,1950, que é a probabilidade de ocorrer valor entre zero e 0,51. Observe novamente a Figura 11.9: a probabilidade de ocorrer valor menor do que 0,51 é igual à probabilidade de ocorrer valor maior do que 0,

123 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 11 Distribuição normal Como a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média zero é 0,5, a probabilidade de ocorrer Z < 0,51 é: 0,5 0,1950 = 0,3050 ou 30,50% Cálculo das probabilidades sob a distribuição normal Para calcular probabilidades associadas à distribuição normal, usa-se um artifício. Se X tem distribuição normal com média e desvio padrão, a variável Z X tem distribuição normal reduzida. Fica então fácil obter as probabilidades associadas a qualquer distribuição normal: basta reduzir a distribuição e obter as probabilidades na tabela de distribuição normal reduzida, como mostrado na Seção EXEMPLO 11.5: Obtendo a probabilidade de X > 2,00375 na distribuição normal O diâmetro externo de roldanas produzidas por uma máquina tem distribuição aproximadamente normal com média 2,000 polegadas e desvio padrão 0,003 polegada. Qual é a probabilidade de uma roldana apresentar diâmetro externo entre 2,000 e 2,00375? Figura Probabilidade de ocorrer diâmetro interno entre 2,000 e 2,

124 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER A probabilidade pedida corresponde à área escura na Figura Como o diâmetro externo das roldanas tem distribuição normal de média = 2,000 e desvio padrão = 0,003, a variável X 2,000 Z 0,003 tem distribuição normal reduzida. Nessa distribuição, a média é zero e o valor x = 2,00375 corresponde a: 2, ,000 0,00375 z 1, 25 0,003 0,003 A área com hachuras na Figura corresponde à com hachuras na Figura 11.7 do Exemplo Portanto, a probabilidade de X assumir valor entre 2,000 e 2,00375 corresponde à probabilidade de Z assumir valor entre zero e z = 1,25 que, como se viu no Exemplo 11.2, é 0,3944 ou 39,44%. A probabilidade de X assumir valor igual ou maior do 2,00375 é: 0,5 0,3944 = 0,1056 ou 10,56%. EXEMPLO 11.6: Obtendo a probabilidade de X 1,99847 na distribuição normal O diâmetro externo de roldanas produzidas por uma máquina tem distribuição aproximadamente normal, com média 2,000 polegadas e desvio padrão 0,003 polegada. Qual é a probabilidade de uma roldana apresentar diâmetro externo menor do que 1,99847? Essa probabilidade corresponde à área com hachuras na Figura Figura Probabilidade de peça com diâmetro menor do que 1,

125 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 11 Distribuição normal Para resolver o problema, é preciso reduzir o valor x = 1, Obtém-se, então, 1, ,0000 z 0,51 0,003 A probabilidade pedida corresponde à probabilidade de Z assumir valor menor do que z = 0,51 que, como se viu na Seção 11.2, é 0,3050 ou 30,50% Teorema do limite central O teorema do limite central afirma que a soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas é aproximadamente normal, desde que n seja sufi cientemente grande. Se essas variáveis tiverem distribuição aproximadamente normal, a soma delas é aproximadamente normal para n > 30. Considera-se, porém, que a aproximação é provavelmente boa para n > 16 e, na prática, admite-se a aproximação da normal para n > 4. Nos problemas de controle de qualidade, se a variável em análise for contínua (peso, comprimento, diâmetro, densidade etc.), é razoável pressupor que tenha distribuição aproximadamente normal. 10 Considera-se, então, com base no teorema do limite central, que médias de amostras de tamanho 4 ou mais têm distribuição aproximadamente normal. Você pode, portanto, fazer gráficos de controle como exposto no Capítulo 13 porque a condição de distribuição aproximadamente normal é, em geral, satisfeita. Mas há um adendo importante: a média de n variáveis aleatórias independentes com distribuição aproximadamente normal tem distribuição aproximadamente normal de média μ e desvio padrão e desvio padrão / n. Classicamente, esse valor é referido na literatura como erro padrão da média. 10 É possível testar a hipótese de que a distribuição é normal. Há vários testes para isso, mas prefira o teste de Shapiro Wilks, que tem melhores qualidades estatísticas. 119

126 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Exercícios 1. A resistência de resistores tem distribuição normal com média μ = 100 ohms e desvio padrão = 2 ohms. Qual é a porcentagem de resistores com resistência: a) entre 98 e 102 ohms? b) maior do que 95 ohms? 2. Um produto pesa, em média, 8 g, com desvio padrão de 0,5 g. Pressupondo distribuição normal, qual é a probabilidade de uma unidade desse produto pesar: a) menos do que 8g? b) menos do que 7g? 3. Determinada marca de lâmpada tem vida média de h e desvio padrão de 150 h. Você tem quatro dessas lâmpadas, mas usará uma lâmpada de cada vez, substituindo-a prontamente quando queimar. Pressupondo distribuição normal, qual é a probabilidade de você ter luz por: a) mais do que h? b) menos do que h? 4. Uma máquina de empacotar determinado produto apresenta variações de peso com desvio padrão de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos de 400 g? 5. Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso com desvio padrão de 3 kg. Se a máquina estiver regulada para um peso médio de 60 kg, qual é a probabilidade de sacos: a) com menos de 55 kg? b) com mais de 65 kg? 6. Uma lâmpada dura, em média, 300 dias, com desvio padrão de 50 dias. Pressupondo que a duração da lâmpada tenha distribuição normal, qual é a probabilidade de uma lâmpada durar pelo menos 365 dias? 7. Numa estrada de rodagem 11 foi colocado um radar para medir a velocidade dos carros. Se a velocidade média nesse ponto é de 90 km/h, com desvio padrão de 10 km/h, qual é a probabilidade de um carro, tomado ao acaso, estar rodando a mais de 100 km/h? 8. O tempo para montagem de um carro, 12 numa fábrica, é uma variável com distribuição normal de média 20 horas e desvio padrão de duas horas. Qual é a probabilidade de, nessa fábrica, ser montado um carro: a) em menos de 19,5 h? b) num período de tempo entre 20 e 22 horas? 11 Acesso em 22 de março de Acesso em 22 de março de

127 Capítulo 12 Teste de Hipóteses Procedimento usual para um teste de hipóteses Processo é a série de ações ou de operações que transformam inputs (matéria-prima) em outputs (produtos). Os processos produtivos utilizam, portanto, uma série de operações feitas por pessoas e por máquinas, para converter a matéria-prima em produto acabado. São exemplos desses processos a produção de papel, a produção de lápis, a produção de cerâmica, a produção de cerveja. Todo processo gera grande quantidade de dados numéricos, que precisam ser analisados. No mais das vezes, porém, é impossível analisar todos os dados. Então se examina parte dos dados, ou seja, uma amostra. Com base nos resultados da amostra, estabelecem-se conclusões para todo o universo. EXEMPLO 12.1: Inspeção de produto Imagine uma empresa que envase água mineral e produza garrafas com 300 ml de água por dia. É preciso monitoramento do produto acabado. Vamos entender a produção diária como um universo de dados. Um inspetor retira uma amostra desse universo e observa o padrão de qualidade do produto (por exemplo, verifica o estado do vasilhame, o lacre e o rótulo). É claro que o inspetor precisa comparar as observações feitas com parâmetros previamente estabelecidos, para aceitar ou não o universo (toda a produção do dia). Mas é com base nos resultados da amostra que o inspetor conclui para todo o universo. Não são, porém, apenas indústrias que geram grande quantidade de dados. Em serviços e negócios também surge enorme volume de dados,

128 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER usado para a avaliação do desempenho da organização. Assim, são constantemente analisados o desempenho dos bancos, o volume de vendas de diferentes produtos, a qualidade de serviços em hospitais. Para generalizar os resultados obtidos por meio de amostra para o universo de onde essa amostra foi retirada, aplicam-se testes estatísticos e calculam-se intervalos de confi ança. Vamos entender por que isso precisa ser feito. Imagine que um fabricante de lâmpadas elétricas quer saber se seu produto atende às especificações de determinado mercado, que exige lâmpadas com tempo médio de vida útil de horas e desvio padrão não maior do que 300 horas. O fabricante toma, então, 100 lâmpadas aleatoriamente da sua produção e verifica que essas lâmpadas tiveram tempo médio de vida útil de horas. Diante desse resultado, o fabricante se pergunta: Sem muito risco de estar errado, posso dizer que o tempo médio de vida útil das minhas lâmpadas é horas? Para responder esta pergunta, é preciso aplicar um teste estatístico. Os testes estatísticos não dão provas definitivas, mas fornecem probabilidades que ajudam a achar a resposta com a maior probabilidade de acerto. Para mostrar a lógica dos testes estatísticos, vamos pensar sobre a pergunta do fabricante de lâmpadas. É fácil calcular a diferença entre a média obtida na amostra (média de horas) e a média pretendida no processo, ou seja, o valor nominal (2.400 horas): = 80 Há duas explicações possíveis para o fato de a média da amostra ter valor menor do que o nominal, ou seja, de a diferença encontrada ser 80: 1. a primeira explicação é a de que a diferença ocorreu por acaso porque o fabricante produz lâmpadas que têm, em média, vida útil de horas; 2. a segunda explicação é a de que a diferença de fato existe, ou seja, a média de vida útil das lâmpadas do fabricante é menor do que horas. Para decidir por uma das explicações, o caminho é o seguinte: 1. Primeiro consideramos que a média de vida útil de lâmpadas produzidas pelo fabricante é horas. Esta é uma hipótese, que os 122

129 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 12 Teste de Hipóteses estatísticos chamam de hipótese da nulidade (nulidade, porque diz que não há diferença entre o tempo médio de vida útil das lâmpadas do fabricante e o valor nominal). 2. Se a hipótese da nulidade for verdadeira, quão provável é obter uma diferença entre a média da amostra (2.320 horas) e o valor nominal (2.400 horas) tão grande ou maior do que a observada? Essa probabilidade chama-se p-valor. 3. O procedimento do teste consiste em calcular o p-valor e com base no resultado decidir: a) rejeitar a hipótese da nulidade se o p-valor for pequeno (porque é pouco provável obter diferença tão grande ou maior do que a observada se a hipótese da nulidade for verdadeira); b) não rejeitar a hipótese da nulidade se o p-valor for grande (porque é altamente provável obter diferença tão grande ou maior do que a observada se a hipótese da nulidade for falsa) Como se calcula o p-valor? Vamos resolver o problema do fabricante das lâmpadas porque, no caso desse problema, basta conhecer a distribuição normal que vimos no Capítulo 11. Estabelecemos, primeiro, a hipótese da nulidade, de que a média de vida útil de lâmpadas produzidas pelo fabricante é horas. Depois, nos perguntamos: quão provável é obter uma diferença entre a média da amostra (2.320 horas) e o valor nominal (2.400 horas) tão grande ou maior do que a observada se a hipótese da nulidade for verdadeira? Vamos responder a pergunta, mas para isso é preciso pressupor que a vida útil das lâmpadas elétricas tem distribuição aproximadamente normal com média horas e desvio padrão igual 300 horas (estamos considerando verdadeira a hipótese da nulidade). Sob essa hipótese, qual é a probabilidade de 100 lâmpadas elétricas durarem, em média, horas ou menos? Essa probabilidade corresponde à área escura na Figura

130 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 12.1 Probabilidade de Z < 2,67 Para obter a probabilidade pedida, é preciso reduzir a variável que, no exemplo, são médias de 100 lâmpadas. Lembre, então, o teorema do limite central que vimos na Seção 11.4 do Capítulo 11, com o respectivo adendo. 13 Vamos reduzir a variável, mas, para calcular a variável reduzida, devemos calcular o erro padrão da média. Como = 300 e n =100, segue-se que o erro padrão da média é: x 100 Com a redução de variáveis (médias de 100 lâmpadas), o valor nominal (2.400 horas) passa a ser zero e o valor reduzido de é: z 2,67 30 A probabilidade de Z assumir valor igual ou menor do que z = 2,67 é igual à probabilidade de Z assumir valor igual ou maior do que z = 2,67. Na tabela de distribuição normal reduzida encontramos, associado ao valor z = 2,67, a probabilidade é 0,4962. Esta é a probabilidade de Z assumir valor entre o zero e 2,67, que corresponde à área com hachuras na Figura Então, a probabilidade de Z assumir valor igual ou maior do que z = 2,67 é: 13 A soma de n variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com distribuição aproximadamente normal é aproximadamente normal, se n > 4. Se as variáveis têm média μ e variância 2, a média dessas n variáveis tem distribuição normal de média μ e variância 2 /n. 124

131 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 12 Teste de Hipóteses 0,5000 0,4962 = 0,0038. Este é o p-valor que é a probabilidade de ocorrer média de vida útil de 100 lâmpadas igual ou menor do que o encontrado. Como é muito pequeno, consideramos que a hipótese da nulidade de que a vida útil de lâmpadas é igual a 2.400horas deva ser rejeitada. Em termos mais práticos, o que isso significa? Dizer ao fabricante de lâmpadas elétricas que o tempo médio de vida útil das lâmpadas que fabrica é inferior à exigência do mercado. O risco de erro nessa afi rmativa é 0,38%. Este exemplo continuará em discussão, mas por enquanto é preciso deixar claro que calcular o p-valor é, em geral, difícil. Hoje se usam computadores e programas prontos para fazer os cálculos. Não pense, porém, que ficou fácil aplicar um teste estatístico e obter o p-valor. É preciso, primeiro, escolher o teste que será utilizado o que depende do tipo de variável em análise. Depois, é preciso verificar se variável em análise atende às pressuposições exigidas para a aplicação do teste. De qualquer forma, você deve estar se perguntando: de quanto deve ser o p-valor para rejeitar a hipótese da nulidade? Por tradição (não há nenhuma razão teórica para isso), o p-valor é considerado pequeno na literatura e, portanto, H 0 deve ser rejeitada quando: a) é menor do que 0,05. Escreve-se p < 0,05. Diz-se, então, que o resultado é signifi cante e a hipótese da nulidade é rejeitada. Ou, então, b) é menor do que 0,01. Escreve-se p < 0,01. Diz-se que os resultados são altamente signifi cantes. A hipótese da nulidade é rejeitada Erros de decisão Vamos ver outro exemplo, embora similar ao anterior. Um fabricante de baterias para telefones celulares suspeita que o novo modelo que fabrica tem vida média menor do que a do modelo que fabricava anteriormente. No modelo antigo, a vida média era de 300 minutos de conversação, com desvio padrão de 40 minutos. Uma amostra de 64 baterias do novo modelo resultou em tempo médio de 295 minutos. O fabricante tem razão na suspeita? 125

132 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Há duas explicações possíveis para o fato de a média da amostra ter valor menor do que a média histórica: 1. A primeira explicação é a de que a diferença ocorreu por acaso porque o novo modelo tem, de fato, tempo médio de vida de 300 minutos. É a hipótese da nulidade, que indicamos por H 0 (lê-se agá- -zero). 2. A segunda explicação é a de que a diferença ocorreu porque o tempo médio de vida do novo modelo de bateria é menor do que 300 minutos. É a chamada hipótese alternativa, que indicamos por H 1 (lê-se agá-um). Só uma das hipóteses pode ser verdadeira. Para decidir por uma delas, aplicamos um teste que consiste em rejeitar a hipótese da nulidade se o p-valor for pequeno. Para calcular o p-valor, perguntamos: quão provável é obter uma diferença entre a média da amostra (295 minutos) e a média histórica (300 minutos) tão grande ou maior do que a observada se hipótese da nulidade for verdadeira? Para responder a pergunta, pressupomos que o tempo de vida útil de baterias para telefones celulares tem distribuição aproximadamente normal com média igual a 300 minutos e desvio padrão igual 40 minutos (estamos considerando verdadeira a hipótese da nulidade). Sob essa hipótese, qual é a probabilidade de 64 baterias durarem, em média, 295 minutos ou menos? Essa probabilidade corresponde à área escura na Figura Figura 12.2 Probabilidade de z < 1 Para obter a probabilidade pedida, é preciso reduzir a variável e para isso é preciso obter o erro padrão da média: 126

133 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 12 Teste de Hipóteses x Com a redução de variáveis (médias de 64 baterias), a média histórica (300 minutos) passa a ser zero e o valor reduzido de 290 minutos é: z , 00 5 A probabilidade de Z assumir valor igual ou menor do que z = 1,00 é igual à probabilidade de Z assumir valor igual ou maior do que z = 1,00. Na tabela de distribuição normal reduzida encontramos, associado ao valor z = 1,00, a probabilidade é 0,3413. Esta é a probabilidade de z assumir valor entre o zero e 1,00, que corresponde à área com hachuras na Figura A probabilidade de z assumir valor igual ou maior do que z =1,00 é: 0,5000 0,3413 = 0,1587. Este é o p-valor. Como esse valor é grande (maior do que 0,05), consideramos que a hipótese da nulidade não deva ser rejeitada. Em termos mais práticos, o que isso significa? Dizer ao fabricante de baterias que o tempo médio de vida do novo modelo que fabrica não é inferior ao tempo médio de vida do modelo antigo. Podemos estar errados nesta afirmativa? Vamos discutir isso um pouco mais Erro tipo I e erro tipo II Vamos voltar ao exemplo do fabricante de lâmpadas elétricas que quer saber se seu produto atende às especificações de determinado mercado, que exige lâmpadas com tempo médio de vida útil de horas e desvio padrão não maior do que 300 horas. Para isso, o fabricante deve obter uma amostra aleatória da sua produção e obter o tempo médio de vida dessas lâmpadas. Diante do resultado, é razoável que o fabricante pergunte: Sem muito risco de estar errado, posso dizer que o tempo médio de vida útil das minhas lâmpadas é horas? Para responder esta pergunta, aplicamos um teste estatístico. Os testes estatísticos não dão provas definitivas, mas fornecem o p-valor. Com base no p-valor, rejeitamos ou não a hipótese da nulidade. Veja o Esquema

134 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Esquema 12.1: Teste de hipóteses Será que sempre tomamos a decisão correta? Veja o Esquema Denomina-se erro tipo I ao erro de rejeitar H 0, quando H 0 é verdadeira. Denomina-se erro tipo II ao erro de não rejeitar H 0, quando H 0 é falsa. Esquema 12.2: Decisões com base em hipóteses Estado da natureza Decisão Certo ou errado? A hipótese da nulidade é verdadeira A hipótese da nulidade é falsa 1. Não rejeitar H 0 1. Certo 2. Rejeitar H 0 2. Erro tipo I 1. Não rejeitar H 0 1. Erro tipo II 2. Rejeitar H 0 2. Certo Em termos do exemplo do fabricante de lâmpadas elétricas, veja o Esquema 12.3, que reproduz as seguintes afirmativas: Esquema 12.3: Decisões possíveis no exemplo das lâmpadas elétricas Estado da natureza Decisão Certo ou errado? Tempo médio de vida útil de h Tempo médio de vida útil inferior a h 1. Não rejeitar H 0 ou 1. Certo 2. Rejeitar H 0 2. Erro tipo I 1. Não rejeitar H 0 ou 1. Erro tipo II 2. Rejeitar H 0 2. Certo 128

135 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 12 Teste de Hipóteses EXEMPLO 12.2: Decisão e erro Este exemplo é recorrente na literatura de Estatística. Um réu está sendo julgado. Quais são as hipóteses possíveis? H 0 : O réu é inocente do ato que o acusam. H 1 : O réu é culpado do ato que o acusam. Construídas as hipóteses, passa-se à análise dos dados para tomar decisão por uma das hipóteses. Quais são as decisões possíveis? Considerar o réu culpado, ou seja, rejeitar H 0. Considerar o réu inocente, ou seja, não rejeitar H 0. As decisões são tomadas com base em conhecimento de parte dos fatos. Então a decisão tomada pode estar errada. Quais são os erros associados às decisões possíveis? Dizer que o réu é culpado, quando é inocente, ou seja, erro tipo I. Dizer que o réu é inocente, quando é culpado, ou seja, erro tipo II Nível de significância e poder do teste Nível de significância Para aplicar um teste estatístico, consideramos verdadeira a hipótese da nulidade e calculamos o p-valor (a probabilidade de ocorrer uma diferença tão grande ou maior do que a observada). Quando o p-valor é pequeno, rejeitamos a hipótese da nulidade. Mas essa conclusão pode estar errada porque quando a hipótese da nulidade é verdadeira um resultado igual ou maior do que o obtido pode acontecer devido à variabilidade, ou seja, por simples acaso (a probabilidade de isso acontecer é o p-valor). Em teoria, no entanto, a probabilidade de rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira deve ser estabelecida antes de aplicar o teste. Essa probabilidade se chama nível de signifi cância do teste, e se indica por (lê-se alfa). Quando você lê p < 0,05, isso significa que a hipótese da nulidade será rejeitada ao nível de signifi cância de 5%. Em outras palavras: 129

136 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Se a hipótese da nulidade for verdadeira, a probabilidade de ser rejeitada (e se cometer erro) é de 5%. Mas os programas de computador fornecem o p-valor. A interpretação do p-valor 14 não é intuitiva. Então, tenha sempre em mente 15 que: p-valor é a probabilidade de obter uma diferença entre a média da amostra e o valor nominal tão grande ou maior do que a obtida por simples acaso, porque essa diferença, na realidade, não existe. Em outras palavras: p-valor é a probabilidade de estar errado quando se afi rma que a média dos itens produzidos no processo não é igual ao valor nominal. Se você comparar as médias de desempenho de itens produzidos por duas máquinas e encontrar p-valor de 3%, pode considerar: Mesmo que não haja diferença entre as médias dos itens produzidos por diferentes máquinas, 3% dos ensaios mostrarão diferença entre médias pelo menos tão grande como a observada por puro acaso. Talvez você se sinta tentado a dizer: Se a diferença encontrada ocorre por acaso com probabilidade de 3%, a probabilidade de essa diferença ser real é 97%. Mas isso está errado! Um p-valor de 3% significa somente isto: Sob a hipótese da nulidade, 3% dos ensaios mostrarão diferença entre médias pelo menos tão grande como a observada. Logo, 97% dos ensaios mostrarão diferença entre médias menor do que a observada. O p-valor mostra tão somente quão raro é observar diferença entre médias tão grande ou maior do que a encontrada se hipótese da nulidade for verdadeira. Não informa a probabilidade de essa hipótese ser verdadeira. O pesquisador deve resolver mediante o resultado que obteve se a hipótese da nulidade parece improvável o bastante para que ele corra o risco de dizer que essa hipótese deve ser rejeitada. 14 Esta seção está totalmente baseada na argumentação apresentada por Motulsky, H. Intuitive Statistics. New York, Oxford University Press Glantz,S. A. Primer of Biostatistics. 2. ed. New York: McGraw, p

137 Poder do teste Parte 2 Estatística Básica Capítulo 12 Teste de Hipóteses Vamos voltar ao exemplo do fabricante de lâmpadas elétricas. Lembre-se das duas hipóteses. O erro tipo II consiste em aceitar H 0 quando H 0 é falsa. No caso do exemplo, erro tipo II seria dizer que as lâmpadas elétricas têm tempo médio de vida útil de horas, quando isso é falso. Indica-se a probabilidade de aceitar H 0 quando H 0 é falsa por (lê-se beta). Mas em Estatística se dá mais valor à informação de que não se cometeu erro tipo II, ou seja, se dá mais valor à probabilidade 1 que é a probabilidade de o teste rejeitar H 0 quando H 0 é falsa. É o que se chama poder do teste. No caso do exemplo, poder do teste seria dizer que as lâmpadas elétricas têm tempo médio de vida útil menor do que horas (rejeitar H 0 ) quando isso acontece (H 0 é falsa). Poder do teste é, portanto, a probabilidade de o teste mostrar, com base nos dados de uma amostra, diferença estatisticamente significante entre médias (ou outro parâmetro), quando essa diferença realmente existe. Em outras palavras: Poder do teste estatístico é a probabilidade de o teste rejeitar a hipótese da nulidade quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou, ainda: Poder do teste é a probabilidade de o teste detectar, com base na amostra, uma diferença que realmente existe na população. Vários fatores afetam o poder de um teste estatístico. Vamos mencionar alguns, imaginando que você esteja aplicando sempre o mesmo teste. 16 Em primeiro lugar, o poder do teste depende da grandeza da diferença: os testes estatísticos têm mais poder para detectar uma diferença de 40% do que uma diferença de 2%. Segundo, o poder do teste depende do nível de signifi cância adotado. Quando você adota o nível de signifi cância de 5% está dizendo que a hipótese da nulidade será rejeitada se p < 0,05. Se você diminuir o nível de significância para 1%, estará diminuindo a probabilidade de rejeitar a hipótese da nulidade seja ou não verdadeira e, consequentemente, está diminuindo o poder do teste. 16 Alguns testes têm mais poder do que outros, quando aplicados ao mesmo conjunto de dados. 131

138 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Terceiro, o poder do teste depende do tamanho da amostra. A confiança na informação aumenta quando aumenta a quantidade de dados disponíveis. Se a amostra for pequena, o teste estatístico não tem poder para rejeitar H 0. Não há como comparar grupos e fazer inferência para toda a população com base em amostras de pequeno tamanho de três voluntários, por exemplo Algumas considerações importantes Com base nos dados de uma amostra os estatísticos fazem inferência estatística, isto é, calculam a probabilidade (p-valor) de obter uma diferença tão grande ou maior do que a observada quando a intervenção (no exemplo, introduzir uma mudança no processo de produção para diminuir custos) não tem efeito. Se o p-valor for pequeno, os estatísticos decidem que a intervenção não tem efeito. No entanto, os estatísticos não podem ter certeza (100% de confiança) de que a decisão tomada com base na amostra esteja correta para o todo. Sabem, apenas, a probabilidade (o p-valor) de essa decisão estar errada. Quando se calcula o tamanho da amostra, é comum adotar embora não haja qualquer justificativa teórica para isso nível de significância de 5% e poder de teste de 80%. Isto significa que você admite 5% de probabilidade de estar errado quando diz que há diferença entre médias (porque a diferença não existe) e 80% de probabilidade de acertar quando essa diferença realmente existe. Finalmente, diante da suspeita de um problema de qualidade, é preciso decidir. A decisão tomada pode estar errada? Sem dúvida, mas o importante é aprender a avaliar riscos de erros e seus custos. Veja alguns exemplos. EXEMPLO 12.3: Erro tipo I (porque H 0 está certa) Existe suspeita de problema, mas tudo está como deveria estar, ou seja, H 0 está correta, embora ninguém saiba isso. Com base em uma amostra, você toma uma decisão. Veja bem: Você acerta se: 132

139 Parte 2 Estatística Básica Capítulo 12 Teste de Hipóteses Aceitar o lote (porque é um bom lote). Considerar o processo sob controle (porque está sob controle). Aceitar a mudança que diminui custos (porque não altera o produto). Você comete erro tipo I (falso alarma) se: Não aceitar o lote (e é um bom lote). Considerar o processo fora de controle (processo está sob controle). Não aceitar a mudança que diminui custos (embora não altere o produto). EXEMPLO 12.4: Erro tipo II (porque H 1 está certa) Existe suspeita de problema, e o problema realmente existe, ou seja, H 1 está correta, embora ninguém saiba isso. Com base em uma amostra, você toma uma decisão. Veja bem: Você acerta se: Recusar o lote (porque o lote é ruim). Considerar o processo fora de controle (porque o processo está fora de controle). Recusar a mudança que diminui custos (porque altera o produto). Você comete erro tipo II se: Aceitar o lote (e é um bom lote). Considerar o processo sob controle (processo está fora de controle). Aceitar a mudança que diminui custos (e alterar o produto) Intervalos de confiança Os dados coletados nas empresas permitem obter estatísticas que bem descrevem a amostra. Algumas estatísticas como médias e porcentagens são usadas nos gráficos de controle e são, portanto, muito conhecidas. Mas os gráficos de controle fornecem, também, os limites de controle. Quando você vê limites de controle de 95% de confi ança, o que isso significa? 133

140 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Se o processo estiver sob controle, espera-se que 95% das amostras tomadas da mesma forma, da mesma produção e no mesmo período de tempo estejam dentro dos limites de controle. Mas 5% das amostras cairão fora do intervalo delimitado pelos limites de controle. Se o processo estiver, realmente, sob controle e você rejeitar uma amostra porque está fora dos limites estará cometendo erro tipo I. Existe certa correspondência entre intervalos de confiança e testes estatísticos, que é mais direta no caso de médias. E se o processo estiver fora de controle? Para detectar essa situação, é preciso esperar mais tempo do que apenas uma amostra fora dos limites de controle. Sabe-se que se forem obtidas muitas e muitas amostras e forem calculados os intervalos de 95% de confiança, 5% das amostras coletadas cairão fora dos limites de controle Exercícios 1. Uma empresa que empacota macarrão alega que seus pacotes têm um peso líquido de 300g com desvio padrão de 20g. Uma amostra de 16 pacotes forneceu média de 290g. Como você aplica um teste de hipóteses? 2. Um fabricante de cerveja alega que a quantidade do produto em garrafas retornáveis tem valor nominal de 600 ml e desvio padrão de 8 ml. Uma cadeia de supermercados suspeita que a quantidade envasada seja menor. Uma amostra de 16 garrafas produziu média de 597 ml de cerveja. Há fundamento estatístico na suspeita do supermercado? 3. Resultado significante quer dizer: A pesquisa é de boa qualidade. O pesquisador aceitou a hipótese da nulidade com probabilidade de 0,5. A probabilidade de o estudo ser verdadeiro é maior do que 5%. A probabilidade de o pesquisador ter obtido o resultado que obteve por acaso é 0, A margem inferior de um intervalo de confiança pode ser zero? Pode ser negativo? Existe intervalo de 100% de confiança? 5. Uma indústria de produtos alimentícios fez um ensaio para verificar o efeito de um aditivo sobre pão de forma, para melhorar o sabor. Será feito um teste estatístico para comparar os resultados. Quais são as hipóteses em teste? 134

141 Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Muitos característicos de qualidade são classificações. O produto é inspecionado e classificado em conforme (se atende à especificação) ou com defeito (se tem não conformidades suficientemente sérias a ponto de ser inadequado para uso). O exemplo clássico é o da lâmpada que acende ou não acende. Outras vezes, contam-se defeitos em cada unidade amostrada. Um exemplo conhecido é o das placas de circuito impresso ou PCB: é feita uma contagem do número de defeitos em cada placa produzida. Os característicos de qualidade que resultam de contagens são chamados atributos. Existem vários tipos de gráficos de controle para atributos. Todos têm indicação precisa. Veja as indicações: O gráfico de controle np monitora o número de itens não conformes em amostras de tamanho constante. O gráfico de controle p monitora a proporção de itens não conformes em amostras de tamanho constante ou variável. O gráfico de controle c monitora o número de defeitos (ou não conformidades) em unidades de tamanho constante. O gráfico de controle u monitora o número médio de defeitos (ou não conformidades) em unidades de tamanho constante ou variável. Alguns exemplos ajudam a entender as indicações. Se, a cada hora, você tomar uma amostra de n parafusos para contar o número de não conformes, tanto pode desenhar um gráfico de controle np como um gráfico de controle p.

142 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Se, ao final de cada turno, você contar o número de peças produzidas e o número de não conformes, deve desenhar um gráfico de controle p para amostras de tamanho variável porque é bastante provável haver variação no número de peças que são produzidas em cada turno. Se você inspecionar geladeiras para contar o número de defeitos de acabamento em cada unidade, faça um gráfico de controle c. Se você amostrar rolos de tecido para inspecionar o número de defeitos por rolo, trace o gráfico de controle u porque os rolos de tecido provavelmente não terão o mesmo tamanho Gráfico de controle para a proporção de não conformes Gráfico de controle para a proporção de não conformes em amostras de mesmo tamanho Imagine que foram tomadas m amostras de n itens numa linha de produção. Depois, foram contados o número de itens não conformes em cada amostra. Por definição, a proposição de itens não conformes em cada amostra é a razão entre o número d i (i = 1, 2, 3, m) de itens não conformes e o número n de itens inspecionados em cada amostra, isto é, d p i i n. EXEMPLO 13.1: Proporção de itens não conformes em amostras de tamanho constante Foram tomadas m = 6 amostras de tamanho n = 100 a cada hora e meia, em um dia de trabalho. Os dados estão na folha de verificação dada em seguida. O número de amostras é propositalmente pequeno para facilitar os cálculos, mas, na prática, tome, no mínimo, 20 amostras (m 20). 138

143 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Figura 13.1 Folha de veri cação: itens com defeito FOLHA DE VERIFICAÇÃO: ITENS COM DEFEITO Peça Seção Operador Máquina Dia Anotador Hora do registro n d p 8h00min ,05 9h30min ,02 11h00min ,07 13h30min ,03 15h00min ,06 17h30min ,02 O gráfico de controle p monitora a variação da proporção de itens não conformes ou com defeitos, ao longo do tempo. Os limites de controle para os gráfico de controle p podem ser obtidos: dos próprios dados e nesses casos são limites de controle experimentais; da administração ou dos projetistas, que fixam os limites de controle com base no conhecimento do processo. Para traçar um gráfico de controle p com limites experimentais, siga os passos: a) organize a folha de verificação para registrar o número de itens não conformes em m amostras de tamanho n; b) escreva, na folha de verificação, o número d i de itens não conformes em cada amostra; c) calcule a proporção de itens não conformes em cada amostra, isto é, calcule di pi ; n d) calcule a proporção média de itens não conformes nas m amostras: p m 1 p i 139

144 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER e) calcule os limites superior (LSC) e inferior (LIC) de controle usando as fórmulas: (1 ) LSC p 3 p p n (1 ) LIC p 3 p p n Se o valor calculado para LIC for negativo, faça LIC = 0. EXEMPLO 13.2: Cálculos para um gráfico de controle p Os dados apresentados no Exemplo estão reapresentados na folha de verificação dada na figura Figura 13.2 Folha de veri cação: itens com defeito FOLHA DE VERIFICAÇÃO: ITENS COM DEFEITO Peça Seção Operador Máquina Dia Anotador Hora do registro n d p 8h00min ,05 9h30min ,02 11h00min ,07 13h30min ,03 15h00min ,06 17h30min ,02 Soma Para calcular o p = = 0, , ,9583 LSC = 0, = 0, , = 0, ,05995 = 0,10162 LIC = 0, ,05995 < 0 Donde LIC =

145 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Para desenhar o gráfico de controle p: a) trace o sistema de eixos cartesianos; b) apresente os números das amostras no eixo horizontal; c) apresente as proporções de itens não conformes no eixo vertical; d) faça corresponder um ponto para cada par de valores; e) una os pontos por segmentos de reta; f) trace três linhas horizontais, paralelas ao eixo: a do meio (cheia) com ordenada igual a p e as outras duas (tracejadas) com ordenadas iguais a LSC e LIC. EXEMPLO 13.3: Desenho de um gráfico de controle p Veja o gráfico de controle p apresentado na Figura 13.3, feito com os dados do Exemplo Os pontos caem dentro dos limites de controle e têm comportamento aleatório. O processo está sob controle. Figura 13.3 Grá co de controle p para os dados apresentados no Exemplo 13.2 Se o gráfico indicar que o processo está sob controle, pode ser usado 1 para monitorar novas amostras do mesmo processo. Portanto, se você continuar coletando amostras de mesmo tamanho, não calcule novo valor central e novos limites de controle. Apenas coloque os novos pontos no gráfico que já tem. 1 É preciso m > 20. No exemplo, o número de amostras é muito pequeno para facilitar o cálculo. 141

146 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 13.4: Novos dados para o gráfico de controle p O gráfico do Exemplo 13.3 mostrou processo sob controle. Imagine agora que, em outro dia, foram coletadas quatro novas amostras, que forneceram os valores apresentados na folha de verificação dada em seguida. Não recalcule p. Coloque os novos valores de p i no gráfico, como mostra a folha de verificação dada na Figura Observe que o processo continua sob controle. Figura 13.4 Folha de veri cação: novas amostras FOLHA DE VERIFICAÇÃO: ITENS COM DEFEITO Peça Seção Operador Máquina Dia Anotador Hora do registro n d p 8h30min ,03 10h30min ,05 14h30min ,08 16h00min ,03 Figura 13.5 Grá co de controle p 142

147 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Nos casos em que a administração ou os projetistas arbitram o valor de p, dizemos que os limites de controle são estabelecidos a priori. Para fazer o gráfico de controle nos casos em que o valor de p é estabelecido a priori, siga os seguintes passos: e a) organize uma folha de verificação para registrar dados de m amostras de tamanho n; b) escreva, na folha de verificação, o número (d i ) de itens não conformes em cada amostra; c) calcule a proporção de itens não conformes em cada amostra: di pi n d) estabeleça o valor arbitrado para p como valor central; e) calcule os limites superior (LSC) e inferior (LIC) de controle usando as fórmulas: (1 ) 3 p LSC p p n p(1 p) LIC p 3. n Se o valor calculado para LIC for negativo, faça LIC = 0. EXEMPLO 13.5: Gráfico de controle com valor de p estabelecido a priori Para desenhar o gráfico de controle, foram coletados os dados apresentados na folha de verificação da Figura A administração informou que a proporção de itens com defeito é 5%. Embora seja usual fazer referência ao valor de uma proporção em porcentagem, para os cálculos o valor de p deve ficar, obrigatoriamente, entre zero e 1, isto é, 0 p 1. No caso, p = 0,

148 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 13.6 Folha de veri cação: p estabelecido a priori FOLHA DE VERIFICAÇÃO: ITENS COM DEFEITO Peça Seção Operador Máquina Dia Anotador Hora do registro n d p 8h00min ,07 9h30min ,03 11h00min ,05 13h30min ,09 15h00min ,03 17h30min ,06 Como: p 0,05 0,05 0,95 LSC 0, ,05 0, ,1154 LIC 0,05 0, Figura 13.7 Grá co de controle p (p = 0,05) 144

149 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Os exemplos apresentados até aqui 2 mostram processos sob controle. Assim, o Exemplo 13.2 explica que se pretendia fazer um gráfico de controle p, mas o valor de p não era conhecido. Foram então calculados os limites experimentais de controle com base em uma estimativa de p. O gráfico indicou processo sob controle. Os limites passaram a ser usados para novas amostras. Se o processo estivesse fora de controle, seria recomendável desenhar o gráfico mas recalcular os limites de controle quando houvesse pelo menos 20 pontos obtidos em período de processo sob controle. Os processos geralmente operam sob controle por períodos longos de tempo. No entanto, nenhum processo fica para sempre sob controle e, eventualmente, ocorrem causas especiais de variação que deixam o processo fora de controle. A consequência dessa ocorrência é, muitas vezes, a produção de muitos itens não conformes. Portanto, é preciso atenção para sinais que indiquem que o processo tende a uma situação de fora de controle. Pontos fora dos limites de controle devem ser avaliados, para saber por que as amostras que eles representam são tão diferentes das demais. Pergunte-se: Teria mudado o operador? Uma máquina teria sido mal ajustada? A matéria-prima teria vindo de outro fornecedor? Teria havido mudança nas condições de operação do processo? O sistema de medida teria sido modificado? Os limites de controle ou o ponto marcado foram mal calculados? Procure a causa especial que fez com que os pontos caíssem fora dos limites de controle. Faça uma marcação no próprio gráfico e comece uma investigação. Se achar a causa especial para explicar por que um ponto ficou fora dos limites, descarte a amostra. Documente o que achou e como resolveu o problema. Depois de descartados todos os pontos que caíram fora dos limites de controle devido a causas especiais, refaça o gráfico. 3 Você pode, então, usar esse novo gráfico para colocar novas amostras. 2 Inclusive os exemplos do Capítulo 6. 3 Alguns pontos, que estavam dentro dos limites no primeiro gráfico, podem ficar fora dos limites no segundo gráfico. Isso acontece porque os limites do segundo gráfico são mais apertados. Nesse caso, procure a causa especial para cada ponto fora dos limites nesse segundo gráfico, descarte e faça um terceiro gráfico. Repita o procedimento tantas vezes quantas for necessário. 145

150 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER O procedimento exposto aqui é razoável, desde que você ache uma causa especial para explicar cada ponto fora dos limites de controle. Mas você pode não achar a causa especial que fez com que um ou mais pontos caíssem fora dos limites. Nesse caso, você terá de optar por uma das alternativas: Descarte o ponto fora dos limites com base no argumento de que existe uma causa especial de variação, mesmo que desconhecida, para explicar todo ponto fora dos limites. Mantenha o ponto; se o número de amostras for grande, um ou dois pontos fora dos limites não farão muita diferença Gráfico de controle para a proporção de defeitos em amostras de tamanho variável Muitas vezes, o gráfico de controle é feito com base em toda a produção de um período. As amostras têm, então, tamanho variável porque as quantidades produzidas variam de um período para outro. EXEMPLO 13.6: Proporção de não conformes em amostras de tamanho variável Foram coletados os dados apresentados na folha de verificação dada na Figura Note que os tamanhos das amostras são diferentes. Figura 13.8 Folha de veri cação: amostras de tamanho variável FOLHA DE VERIFICAÇÃO: ITENS COM DEFEITO Peça Seção Operador Máquina Dia Anotador Hora do registro n d p 8h00min ,03 9h30min ,01 11h00min ,05 13h30min ,02 15h00min ,04 17h30min , ,

151 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Para fazer um gráfico de controle, nesses casos, você pode adotar um dos procedimentos, que serão descritos em seguida: a) calcular limites de controle para cada amostra; b) usar o tamanho médio das amostras; c) padronizar a variável Gráfi co de controle com limites de controle para cada amostra Para fazer o gráfico, siga os seguintes passos: a) calcule a média ponderada da proporção de itens não conformes nas m amostras: p np n b) calcule o limite superior e o limite inferior de controle de cada amostra, isto é, calcule: d n LSC p 3 s LIC p 3 i p(1 p) n p(1 p) n i i EXEMPLO 13.7: Gráfico de controle com limites de controle para cada amostra Desenhe um gráfico de controle para os dados apresentados na folha de verificação da Figura 13.8 do Exemplo p 0, p(1 p) 0,0355(1 0,0355) 0,0342 Os limites de controle são apresentados na Tabela 13.1 e o gráfico de controle na Figura

152 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tabela 13.1 Limites para o grá co de controle Amostra n d p 3 p(1 p) n i LSC LIC ,03 0,0320 0,0675 0, ,01 0,0320 0,0675 0, ,05 0,0310 0,0665 0, ,02 0,0296 0,0652 0, ,04 0,0308 0,0663 0, ,06 0,0296 0,0652 0,00585 Total Figura 13.9 Grá co de controle usando limites para cada amostra Gráfi co de controle com o tamanho médio das amostras Para fazer o gráfico de controle para a proporção de itens não conformes com o tamanho médio das amostras, siga os seguintes passos: a) calcule a média ponderada da proporção de itens não conformes nas m amostras pela fórmula: d p ; n 148 b) calcule o tamanho médio 4 das amostras, aplicando a fórmula: n m 4 Como o resultado desse cálculo nem sempre é um número inteiro, alguns autores recomendam usar, como tamanho médio das amostras, o inteiro mais próximo da média. Os programas de computador, em geral, usam o procedimento mostrado no exemplo. n i ;

153 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos c) calcule os limites superior e inferior de controle por meio das fórmulas: (1 ) LSC 3 p p p n (1 ) LIC 3 p p p n EXEMPLO 13.8: Gráfico de controle com o tamanho médio das amostras Desenhe um gráfico de controle com o tamanho médio das amostras, para os dados apresentados no Exemplo n = = 324, p = = 0, ,0342 LSC = 0, ,17 = 0,0663 0,0342 LIC = 0, ,17 = 0,00469 Figura Grá co de controle usando o tamanho médio das amostras 149

154 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Gráfi co de controle com a variável padronizada Nesse procedimento, não se faz o gráfico com a proporção de não conformes, mas com a variável z pi p p(1 p) n que tem média zero e variância 1. Para fazer o gráfico de controle com a variável padronizada, siga os passos: 1. calcule, para cada amostra, a variável padronizada; 2. trace o sistema de eixos cartesianos; 3. escreva o número das amostras no eixo das abscissas e os valores da variável padronizada no eixo das ordenadas; 4. trace três linhas paralelas ao eixo das abscissas: a do meio (cheia), que é o valor central com ordenada igual a zero, e as outras (tracejadas), que são os valores dos limites superior e inferior de controle, com ordenadas +3 e -3. EXEMPLO 13.9: Gráfico de controle com a variável padronizada O gráfico de controle com a variável padronizada para os dados do Exemplo 13.6 é apresentado na Figura Figura Grá co de controle usando a variável padronizada. 150

155 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Quando as amostras têm tamanhos diferentes, parece mais lógico estabelecer limites de controle para cada amostra, separadamente. O problema é que o gráfico fica aparentemente complicado e nem sempre é compreendido pelos operadores. O uso do tamanho médio das amostras facilita, mas não é a solução ideal porque, se um ponto ficar muito perto de um dos limites de controle calculado com o tamanho médio das amostras, pode estar, na verdade, fora do limite de controle calculado corretamente. Fazer um gráfico com a variável padronizada seria a melhor opção, mas é difícil para os operadores porque o valor de p desaparece, isto é, passase a usar a variável padronizada z, que não tem significado físico. A melhor solução talvez seja a de manter dois gráficos de controle: um com o tamanho médio das amostras, para os operadores, outro com a variável padronizada, para uso dos engenheiros Gráfico de controle para o número de não conformes em amostras de mesmo tamanho O gráfico de controle para o número de não conformes, isto é, o gráfico de controle np apresentado no Capítulo 6 pode ser substituído pelo gráfico de controle p apresentado neste capítulo, desde que as amostras tenham, todas, o mesmo tamanho. Note que o gráfico apresentado na Figura 6.1 é perfeitamente igual ao do Exemplo Os operadores acham mais fácil interpretar o gráfico de controle np, principalmente quando o valor central e os limites de controle são dados em números inteiros. É fácil entender a seguinte informação: O processo está sob controle quando as amostras de 200 itens têm, no máximo, 20 com defeito e, no mínimo, dois. O operador fica, então, ciente de que o processo está fora de controle quando encontra, por exemplo, 21 itens com defeito numa amostra de 200. Mas por que se ensina a desenhar o gráfico de controle p? Quando as amostras têm tamanhos diferentes, só se pode fazer o gráfico de controle p. 151

156 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tamanho das amostras As amostras devem ser grandes o bastante para que possam ser encontrados itens não conformes. Caso contrário, corre-se o risco de um único item não conforme indicar que o processo está fora de controle. Veja dois critérios que podem ser usados para estimar o tamanho das amostras. Primeiro critério: o valor de n deve ser sufi cientemente grande para que, em 90 de cada 100 amostras, seja encontrado pelo menos um item não conforme. Em outras palavras, apenas 10% das amostras não terão itens não conformes. Demonstração: Seja D o número de itens não conformes em amostras de tamanho n. Então, 10% (ou seja, 0,10) das amostras terão D = 0. Escrevemos: P(D = 0) = 0,10 A variável D tem distribuição binomial. Logo, n PD p p p 0 0 n n ( 0) (1 ) (1 ) Como os primeiros membros das duas equações anteriores são iguais, isto é, nas duas P (D = 0), segue-se que os segundos membros também são iguais. Logo, podemos escrever: (1 p) n = 0,10 Aplicando logaritmos, temos que: n log(1 p) = log 0,10 = 1 Então, o tamanho da amostra pode ser obtido pela fómula: n 1 log (1 p) Foi preciso, para obter o tamanho das amostras por esse critério, ter uma estimativa preliminar de p, isto é, a proporção de itens não conformes no processo. Essa estimativa pode ser dada pelos projetistas, pela administração, por gráficos de controle preliminares desenhados ainda sem a devida determinação do tamanho da amostra. 152

157 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos EXEMPLO 13.10: Cálculo do tamanho da amostra Conhecimentos históricos sobre determinado processo indicam que 1% dos itens é não conforme. Para fazer o controle estatístico do processo, é preciso calcular o tamanho das amostras. Então, se a proporção de itens não conformes no processo for estimada em 1%, isto é, se p = 0,01, segue-se que (1 p) = 1 0,01 = 0,99 Aplicando-se a fórmula que acabamos de ver 1 1 n 229,1053 log (0,99) -0,00436 Portanto, para p = 0,01, as amostras devem ter tamanho n = 230. Segundo critério: o valor de n deve ser sufi cientemente grande para que o limite inferior de controle seja positivo, isto é, p(1 p) LIC p 3 0 n Para que a desigualdade permaneça, é preciso que: 2 (1 p) n 3 p EXEMPLO 13.11: Cálculo do tamanho da amostra Conhecimentos da administração sobre determinado processo indicam que 5% dos itens produzidos serão não conformes. Para calcular o tamanho das amostras, considerando que a proporção de itens não conformes no processo foi estimada em 5%, isto é, p = 0,05, devemos fazer: 2 (1 0,05) n > 3 0,05 Como 2 1 0,05 3 = 171, 0,05 segue-se que, devem ser tomadas amostras de tamanho n >

158 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Gráfico de controle para número de defeitos por unidade Nem toda unidade produzida satisfaz todas as especificações. As empresas que fabricam softwares, por exemplo, sabem que é preciso proceder à revisão formal do produto, ao final de cada fase do projeto, para corrigir possíveis erros Gráfico de controle para número de defeitos em unidades de mesmo tamanho Uma unidade pode sair da linha de produção com um ou mais defeitos. Para monitorar o número médio de defeitos por unidade, usa-se o gráfi co de controle c. Para desenhar esse gráfico: a) organize uma folha de verificação para registrar o número (c i ) de defeitos em cada uma das m unidades que devem ser monitoradas; b) escreva, na folha de verificação, o número de defeitos em cada uma das m unidades inspecionadas; c) calcule o número médio de defeitos usando a fórmula: c m d) calcule os limites superior e inferior de controle: c i LSC = c + 3 LIC = c 3 Se o valor calculado para LIC for negativo, faça LIC = 0. c c EXEMPLO 13.12: Gráfico de controle c Foram contados os defeitos de acabamento em oito unidades produzidas. Os resultados estão na folha de verificação dada na Figura

159 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Figura Folha de veri cação para defeitos de acabamento FOLHA DE VERIFICAÇÃO PARA DEFEITOS DE ACABAMENTO Operador Máquina Data Turno Seção Peça N o de defeitos Soma 108 Anotador Podemos obter: c = = 13,5 8 LSC = 13, ,5 = 13,5 + 11,02 = 24,52 LIC = 13,5 11,02 = 2,48 Para desenhar o gráfico de controle c: a) trace o sistema de eixos cartesianos; b) no eixo horizontal, apresente os números das amostras; c) no eixo vertical, apresente o número de defeitos por unidade produzida; d) faça um ponto para representar cada par de valores; e) una os pontos por segmentos de reta; f) trace três linhas paralelas: a do meio (cheia) com ordenada igual a c e as outras duas (tracejadas) com ordenadas iguais aos limites superior e inferior de controle; g) coloque título e legenda. 155

160 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 13.13: Desenho de um gráfico de controle c Veja o gráfico de controle c apresentado na Figura 13.13, feito com os dados do Exemplo Figura Grá co de controle c Os limites de controle deste exemplo são experimentais, pois foram obtidos com base nos dados das amostras. Existe um ponto fora dos limites de controle. Então, é preciso achar a causa especial dessa ocorrência. Imagine que esse ponto corresponda a uma unidade vistoriada por um inspetor recém- -contratado, que não reconheceu alguns defeitos presentes. Então, é razoável excluir essa unidade e estimar novos limites de controle. A nova estimativa de c é: c ,29 7 e os novos limites de controle são: LSC 15, ,29 15,29 11,7 27,02 LIC 15,29 11,73 3,56 156

161 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos O novo gráfico de controle está apresentado na Figura Figura Grá co de controle c (novos limites) Se o valor para c (número médio de defeitos por unidade) foi estabelecido a priori, por ser conhecido ou porque foi especificado pela administração, o gráfico de controle fica definido por: LSC c 3 c Linha central = c LIC = c 3 Se o valor calculado para o LIC for negativo, faça LIC = 0. c EXEMPLO 13.14: Gráfico de controle com valor de c estabelecido a priori A administração informou que o número médio de defeitos por unidade é c = 16. Fica assim o gráfico de controle: LSC = = 28 Linha central = 16 LIC = = 4 157

162 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Nos Exemplos e 13.14, a unidade de inspeção era uma unidade do produto. Mas isso nem sempre acontece. A unidade de inspeção pode ser constituída por 5, 10 ou mais unidades do produto. Nesses casos, adota-se o mesmo procedimento para traçar o gráfico de controle c muda apenas a unidade, que passa a ser, por exemplo, 5 unidades do produto Sistema de deméritos Em produtos complexos, como computadores e automóveis, ocorrem defeitos dos mais variados tipos. Nem todos os defeitos são igualmente importantes. Alguns comprometem o uso do produto, enquanto outros não são sequer percebidos pelo consumidor. Por essa razão, é razoável classificar defeitos de acordo com a severidade. Essa classificação chama-se sistema de deméritos. Um sistema de deméritos é o seguinte: a) defeitos muito sérios ou de classe A: a unidade produzida não pode ser usada. Se usada, quebra e não tem conserto fácil. Pode machucar as pessoas ou causar danos materiais; b) defeitos sérios ou de classe B: a unidade produzida pode falhar. Tem pouca duração ou alto custo de manutenção; c) defeitos moderadamente sérios ou de classe C: a unidade pode, eventualmente, falhar ou podem existir defeitos grandes no acabamento, na aparência ou na qualidade do trabalho; d) defeitos menores ou de classe D: a unidade produzida não vai falhar, mas existem pequenos defeitos no acabamento, na aparência ou na qualidade do trabalho. O demérito de cada unidade inspecionada é a soma ponderada do número de defeitos de cada classe. Uma sugestão é calcular o demérito de uma unidade inspecionada pela fórmula: D = 100c A + 50c B + 10c C + c D em que 100, 50, 10 e 1 são fatores de ponderação e c A, c B, c C c D representam o número de defeitos de classe A, B, C e D, respectivamente. Como os fatores de ponderação são arbitrários, podem, evidentemente, ser modificados. Se você optar por monitorar deméritos, use o gráfico de controle c, mas c será o número de deméritos não o número de defeitos por unidade. É claro que a folha de verificação deverá ser reformulada. 158

163 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Gráfico de controle para o número médio de defeitos por unidade de tamanho variável Algumas vezes, a inspeção é feita sobre 100% da produção. Por exemplo, pode ser feita a inspeção de todo um rolo de papel ou todo um rolo de tecido. Nesses casos, as amostras não têm tamanho constante. Recomenda- -se, então, fazer o gráfico de controle u, que monitora o número médio de defeitos por unidade. Para fazer o gráfico de controle u, siga os seguintes passos: a) organize uma folha de verificação para registrar o tamanho de cada amostra e o número de defeitos por amostra; b) estabeleça a unidade e calcule o número (n i ) de unidades em cada amostra; c) calcule o número médio de defeitos (u i ) por unidade em cada amostra; d) divida o número total de defeitos pelo número total de unidades para obter o número médio de defeitos por unidade (u); e) calcule o limite superior de controle para cada amostra pela fórmula: LSC u 3 i u n i f) calcule o limite inferior de controle para cada amostra pela fórmula: LIC u 3 i u n i EXEMPLO 13.15: Gráfico de controle u Na folha de verificação da Figura são apresentados o número de defeitos por rolo de tecido e o tamanho, em metros ao quadrado, de cada rolo amostrado. Desenhe um gráfico de controle. 159

164 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura Folha de veri cação para defeitos por rolo de tecido FOLHA DE VERIFICAÇÃO PARA DEFEITOS POR ROLO DE TECIDO Operador Turno Data Máquina Seção Anotador Rolo Tamanho do rolo (m 2 ) N o de defeitos Vamos estabelecer que a unidade seja 50 m 2 de tecido. Para obter o número de unidades por rolo (n i ), divida o tamanho do rolo por 50 m 2. Os resultados estão na Tabela Para obter o número de defeitos por unidade (u i ), divida o número de defeitos por rolo pelo número de unidades do rolo. Veja os resultados na Tabela Tabela 13.2 Número de unidades por rolo (n i ) e número de defeitos por unidade (u i ), segundo a amostra Amostra N o de unidades por rolo (n i ) , ,5 N o de defeitos por unidade (u i ) 1,4 1,54 0,74 1,75 1,58 1,84 A Tabela 13.3 apresenta o número médio de defeitos em cada unidade e os limites de controle calculados para cada ponto. O gráfico de controle está na Figura Tabela 13.3 Número de defeitos por unidade e limites de controle Amostra u i LSC LIC 1 1,40 2,68 0,34 2 1,54 2,53 0,49 3 0,74 2,71 0,31 4 1,75 2,57 0,45 5 1,58 2,57 0,45 6 1,84 2,55 0,47 160

165 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos A linha central do gráfico de controle é dada pelo número médio de defeitos por unidade, que é: u , ,5 69 Figura Grá co de controle para os dados da Tabela 13.3 No gráfico de controle u apresentado na Figura 13.16, os limites de controle variam com o tamanho da amostra. Para simplificar o gráfico e usar um só limite superior e um só limite inferior de controle pode ser adotado um dos seguintes procedimentos: a) calcular os limites de controle usando o tamanho médio da amostra, isto é: n n i ; m b) fazer um gráfico de controle com a variável padronizada: ui u zi ; u n i 161

166 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Aplicações do gráfico de controle para atributos em serviços Os gráficos de controle foram propostos para melhorar a qualidade de bens de capital (produtos utilizados para fabricar outros, como máquinas e equipamentos) e bens de consumo (aqueles que podem ser comprados pelas pessoas, como roupas, automóveis, brinquedos). Entretanto, a proporção de itens não conformes também deve ser controlada em serviços como distribuição de água e esgoto, distribuição de energia elétrica, transporte público, comercialização de alimentos, serviços de saúde, serviços bancários etc. Nos correios, por exemplo, pode ser controlada a proporção de cartas não entregues por erro de postagem, nos bancos pode ser controlada a proporção de cheques sem fundo. O número de defeitos por unidade também deve ser controlado em serviços, mas convém mudar o termo defeito por erro. Pode-se então controlar o número de erros numa página impressa de jornal ou o número de erros em tomadas radiográficas Exercícios 1. Faça um gráfico de controle p para os dados apresentados no Exercício 2 do Capítulo Faça um gráfico de controle p para os dados apresentados na Tabela Descarte os pontos fora dos limites de controle e refaça a gráfico. Repita o procedimento até que todos os pontos fiquem dentro dos limites de controle. Tabela 13.4 Número de itens com defeito em amostras de tamanho 100 Amostra n d

167 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos 3. Os dados apresentados na Tabela 13.5 são o resultado da inspeção de todas as unidades de microcomputador produzidas em 10 dias. 5 O processo está sob controle? Tabela 13.5 Número de computadores inspecionados, número de não conformes segundo o dia de fabricação Dia N o inspecionado N o não conforme O número de defeitos por unidade produzida é dado na Tabela O processo está sob controle? Tabela 13.6 Número de defeitos por unidade produzida Unidade N o de defeitos Os números de não conformidades na inspeção final da montagem manual de discos de freio para automóveis 6 estão na Tabela Faça o gráfico de controle. 5 Montgomery, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley p Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, p

168 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tabela 13.7 Número de não conformidades na inspeção nal da montagem manual de discos de freio para automóveis Dia N o de unidades N o de defeitos O número de interruptores com defeito 7 em amostras de tamanho 150 é dado na Tabela Construa um gráfico de controle para a fração de não conformes. O processo está sob controle? Se não estiver, imagine que foram identificadas as causas dos pontos fora de controle. Elimine esses pontos e recalcule os limites de controle. Tabela 13.8 Número de interruptores não conformes N o da amostra N o de não conformes N o da amostra N o de não conformes Faça um gráfico de controle para a fração de não conformes de peças de plástico fabricadas por moldagem por injeção. 8 As amostras são de tamanho 100. Os dados estão na Tabela Idem. p Ibidem, p

169 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 13 Gráficos de controle para atributos Tabela 13.9 Número de peças não conformes em amostras de tamanho 100 N o da amostra N o de peças não conformes

170 Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Os característicos de qualidade expressos em termos de medidas numéricas como peso, volume, comprimento são chamados variá veis. Quando se trabalha com variáveis, é usual monitorar, além da média, uma medida de variabilidade. Este capítulo apresenta gráficos que monitoram, além da média, uma das seguintes medidas de variabilidade: amplitude, desvio padrão ou amplitude móvel. Veja a indicação desses gráficos: O gráfico de controle x R monitora a variação da média e da amplitude. Só deve ser usado quando as amostras são pequenas e de mesmo tamanho. É, de longe, o gráfico mais conhecido e mais usado na prática. O gráfico de controle x s monitora a variação da média e do desvio padrão. Deve ser usado quando as amostras são de tamanho moderado (n > 10) ou quando têm tamanhos variáveis, situações em que o gráfico de controle x R não se aplica. O gráfico de controle para medidas individuais monitora a variação da média e da amplitude móvel de amostras com um só elemento (n = 1). Exemplos ajudam a entender as indicações: Se você anotar todo dia o valor recebido por todas as vendas feitas no varejo por sua loja e tomar os dados de cada semana como amostra, ao final do ano terá 52 amostras, cada amostra relativa a uma semana. Como cada semana tem seis dias, no final do ano você terá 52 amostras, cada uma com seis observações. Então, tanto pode desenhar um gráfico de controle x R como um gráfico de controle x s.

171 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Se você anotar todo dia o valor recebido por todas as vendas feitas no varejo por sua loja, ao final do mês pode desenhar um gráfico de controle para medidas individuais e monitorar assim a variação da média e da amplitude móvel Gráfico de controle x R O gráfico de controle x R foi apresentado na Seção 6.4. A necessidade de revisão dos limites dos gráficos de controle foi discutida tanto na Seção como na Seção Nesta seção serão feitas mais algumas observações. Se os pontos apresentarem distribuição aleatória e caírem dentro dos limites, o processo está sob controle. Você pode, então, usar o gráfico para monitorar novas amostras. Mas não deve usar o mesmo gráfico indefinidamente. É preciso fazer, periodicamente, uma revisão. Alguns analistas sugerem uma revisão por mês, outros sugerem uma revisão por semana, mesmo que o processo esteja sob controle. Se ocorrerem pontos fora dos limites, seja no gráfico de controle x ou no gráfico de controle R, convém buscar a causa especial de variação para, posteriormente, eliminar tais pontos e calcular novas médias e novos limites. Mas saiba que, se o valor de R for recalculado, os dois gráficos de controle ficarão mais apertados pelo fato de o valor de R servir tanto para calcular os limites do gráfico de controle R como para calcular os limites do gráfico de controle x. EXEMPLO 14.1: Recálculo dos limites de controle Foram tomadas m = 6 amostras de n = 4 peças a cada hora, em um dia de trabalho. O mesmo característico de qualidade foi medido nas seis amostras, em cada uma das quatro peças. Os dados estão na Figura Para facilitar os cálculos, o número de amostras é muito pequeno. Na prática, comece com no mínimo 20 amostras (m 20). 167

172 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Figura 14.1 Folha de veri cação FOLHA DE VERIFICAÇÃO Operador Turno Máquina Seção Amostra Peças Média Amplitude Data Anotador x = = R = = 5 6 Para n = 4 amostras, você acha, na Tabela 2 do Apêndice, A 2 = 0,729. Então, os limites de controle para x são: LSC = x + A2R = ,729 5 = 84,64 LIC = x A2 R = 81 0,729 5 = 77,36 Para n = 4 amostras, você acha, na Tabela 2 do Apêndice, D 4 = 2,282 e D 3 = 0. Então, os limites de controle para R são: LSC = DR 4 = 2,282 5 = 11,4 LIC = DR 3 = 0 168

173 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Mesmo sem desenhar o gráfico, é fácil ver que as amplitudes das seis amostras estão dentro dos limites de controle calculados, que são 0 e 11,41, mas a média da sexta amostra (86) está fora dos limites calculados, que são 77,36 e 84,64. Imagine que foi estudada a condição em que as peças dessa amostra foram produzidas e se verificou que, nesse momento, a temperatura estava muito alta. A amostra pode, então, ser descartada. O gráfico de controle para as cinco amostras restantes está na Seção Gráfico de controle x s Embora os gráficos de controle x R sejam, de longe, os mais usados, existem situações em que é preciso optar pelo gráfico de controle x s. Esses gráficos devem ser usados quando: 1. o tamanho das amostras for relativamente grande como, por exemplo, n = 12; 2. as amostras tiverem tamanhos diferentes Gráfico de controle x s para amostras de mesmo tamanho Para construir o gráfico de controle x s, siga os passos: a) organize uma folha de verificação para registrar as medidas do característico de qualidade nos n itens das m amostras; b) escreva as medidas na folha de verificação; c) calcule a média e o desvio padrão do característico de qualidade para cada uma das m amostras; d) calcule a média das médias das m amostras; x x + x + + x m m = ; e) calcule a média dos desvios padrões 9 das m amostras; s s s s m m ; 9 Seria mais correto usar, como valor central, o desvio padrão obtido pela extração da raiz quadrada da média das variâncias ponderadas pelos graus de liberdade das amostras, mas isso em geral não é feito pelos programas de computador. 169

174 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER f) calcule os limites superior e inferior de controle para x, por meio das fórmulas: LSC = x + A3 s LIC = x + A s O valor de A 3 é encontrado na Tabela 2 do Apêndice, em função do tamanho n das amostras. 3 g) calcule os limites superior e inferior de controle para c, por meio das fórmulas: LSC Bs 4 LIC Bs Os valores de B 3 e de B 4 são dados na Tabela 2 do Apêndice, em função do tamanho das amostras. 3 EXEMPLO 14.2: Cálculo do gráfico de controle x s Foram tomadas m = 5 amostras de n = 4 peças a cada hora, em um dia de trabalho. O mesmo característico de qualidade foi medido nas quatro peças das seis amostras. Os dados estão na Figura O número de amostras é propositalmente pequeno para facilitar os cálculos, mas, na prática, comece com pelo menos 20 amostras (m 20). Figura 14.2 Folha de veri cação FOLHA DE VERIFICAÇÃO Operador Turno Máquina Seção Data Anotador Peça Amostra Média Desvio padrão 2,160 1,414 2,944 1,633 1,

175 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis x = = , , ,414 s = = 1,913 5 Para n = 4, a Tabela 2 do Apêndice dá A 3 = 1,628. Então, os limites de controle para x são: LSC = ,628 1,913 = 83,11 LIC = 80 1,628 1,913 = 76,89 Para n = 4, a Tabela 2 do Apêndice dá B 3 = 0 e B 4 = 2,266. Então, os limites de controle para s são: LSCs = 2,266 1,913 = 4,335 LIC = 0 s Figura 14.3 Grá co de controle x s. 171

176 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Gráfico de controle x s para amostras de diferentes tamanhos Às vezes, as amostras têm tamanhos diferentes porque um ou mais itens não foram medidos ou porque algumas medidas foram perdidas. EXEMPLO 14.3: Amostras com tamanhos diferentes Foram coletados os dados apresentados na Figura Note que os tamanhos das amostras são diferentes. Figura 14.4 Folha de veri cação FOLHA DE VERIFICAÇÃO Operador Turno Máquina Seção Data Anotador Amostra Peça Média Desvio padrão 2,160 1,732 2,944 2,000 1,414 Quando as amostras têm tamanhos diferentes, para fazer o gráfico de controle x s você pode: usar o tamanho médio das amostras; calcular limites de controle para cada amostra; padronizar a variável. Vamos mostrar aqui apenas como se faz o gráfico de controle x s com o tamanho médio das amostras porque: é mais fácil de fazer; é bem compreendido pelos operadores; se os tamanhos das amostras não forem muito diferentes, funciona bem na prática. 172

177 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Gráfi co de controle com o tamanho médio das amostras Para fazer o gráfico de controle x s com o tamanho médio das amostras, siga os passos: a) calcule a média ponderada das médias das amostras: x nx 1 1+ nx nmx = n + n n 1 2 m m ; b) calcule a média dos desvios padrões: 10 s1 s2... sm s ; m c) calcule o tamanho médio das amostras: n i n ; m d) calcule os limites superior e inferior de controle para a média das médias: LSC = x + A 3 s LIC = x A 3 s O valor de A 3 depende do tamanho da amostra e é dado na Tabela 2 do Apêndice. e) calcule os limites superior e inferior de controle para a média dos desvios padrões: LSC = B 4 s LIC = B 3 s Os valores de B 3 e B 4 dependem do tamanho da amostra e são dados na Tabela 2 do Apêndice. 10 O correto seria usar, como valor central, o desvio padrão obtido pela extração da raiz quadrada da média das variâncias ponderadas pelos graus de liberdade das amostras. 173

178 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 14.4: Gráfico de controle x s para amostras de tamanho variável Para os dados apresentados na Figura 14.4: x = = = n = = 3,6 5 2, , ,414 s = = 2,05 5 LSCx = ,758 2,05 = 83,60 LIC = 80 1,758 2,05 = 76,40 s em que 1,758 é o valor de A 3 para n = 3,6, obtido por interpolação aritmética entre 2,568 (para n = 3) e 2,266 (para n = 4). LICs = 2,387 2,05 = 4,89 em que 2,387 é o valor de B 4 para n = 3,6, obtido por interpolação aritmética. LICs = 0 Figura 14.5 Grá co de controle A média dos tamanhos das amostras não é, em geral, um número inteiro. Por essa razão, costuma-se apresentar a moda 11 dos tamanhos das amostras em lugar do tamanho médio. Por exemplo, se foram tomadas 20 amostras e 11 Moda é o valor mais frequente ou, no caso, o tamanho mais comum das amostras. 174

179 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis 15 tinham tamanho 5, quatro tinham tamanho 4 e uma tinha tamanho 3, a moda é 5. No Exemplo 14.4, o tamanho médio é n = 3,6, que foi aproximado para o inteiro mais próximo (n = 4), mas poderia ter sido usada a moda que, no caso, tem o mesmo valor Gráfico de controle para medidas individuais Em algumas situações, para controlar o processo, são tomadas amostras de um só item, isto é, são tomadas amostras de tamanho n = 1. Isso acontece quando toda unidade produzida é analisada. Para fazer o gráfico de controle, nesses casos, estima-se a variabilidade por meio da amplitude móvel (MR) de duas observações sucessivas. Amplitude móvel é o valor absoluto da diferença entre uma observação e a anterior. Não se define amplitude móvel para a primeira observação. Então, para o gráfico: a) calcule a média das amostras; b) calcule a amplitude móvel de cada amostra pela fórmula: MR xi xi 1 c) calcule a média das amplitudes móveis MR2 MR3... MR m MR m 1 d) calcule os limites superior e inferior de controle para a média: MR LSC x 3 d MR LIC x 3 d 2 2 O valor d 2 é encontrado na Tabela 2 do Apêndice e refere-se a n = 2, porque a amplitude móvel foi calculada com base em dois valores. 175

180 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER e) calcule os limites superior e inferior de controle para a amplitude: LSC = D 4 MR LIC = D 3 MR Os valores D 3 e D 4 são encontrados na Tabela 2 do Apêndice. EXEMPLO 14.5: Gráfico de controle para medidas individuais Foram coletados os dados apresentados na Figura Note os tamanhos das amostras. Figura 14.6 Folha de veri cação FOLHA DE VERIFICAÇÃO Operador Turno Data Máquina Seção Anotador Amostra Medidas Temos que: x MR 3,5 6 Os limites de controle para a média são: 3,5 LSC = = 41,308 1,128 3,5 LIC = 32 3 = 22,691 1,128 E os limites de controle para a amplitude móvel são: LSC = 3,267 3,5 = 11,435 LIC = 0 176

181 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Figura 14.7 Grá co de controle Fundamentação estatística dos gráficos de controle Para entender a fundamentação estatística dos gráficos de controle, imagine que o característico de qualidade é uma variável aleatória com distribuição normal de média μ e desvio padrão. Para monitorar a variação da média desse característico, são tomadas amostras de n itens a cada meia hora. Se o processo estiver sob controle, a probabilidade de a variável reduzida x z n cair entre 3 e +3 é 99,73%. Veja a Figura Podem, portanto, ser tomados como limites de controle para as médias das amostras os extremos do intervalo. 177

182 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 3 n Figura 14.8 Probabilidade de 3 z 3 na distribuição normal reduzida Na prática, μ e são desconhecidos. Para estimar esses valores, tomam-se 20 a 25 amostras de tamanhos 4, 5 ou 6. Cada amostra fornece uma média e uma amplitude. Para estimar μ, calcula-se a média das médias das amostras: x x + x + + x = m m Para estimar, calcula-se a média das amplitudes das amostras R = R + R + + R m m Aplica-se, então, a fórmula: R ˆ = d em que d 2 é um valor que depende apenas do tamanho da amostra e é dado na Tabela 2 do Apêndice

183 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Usando x e s como estimadores de μ e, respectivamente, o gráfico de controle para x fica definido como segue: 3 LSC = x + R d2 n Linha central = x 3 LIC = x R d2 n É importante notar que a quantidade A 2 3 d n depende apenas do valor de n. Então, os valores de A 2 podem ser tabelados. O gráfico de controle para x, como mostrado na Seção 6.3, pode ser calculado como segue: LSC = x + A 2 R Linha central = x LIC = x A 2 R Do exposto, é lógico concluir que os gráficos de controle descrevem exatamente o que se entende por controle estatístico. Se o processo está sob controle, praticamente todos os pontos caem dentro dos limites. Os gráficos de controle de outras estatísticas como R, np, p usam, basicamente, a mesma fundamentação teórica. Os limites de controle definidos aqui são conhecidos como 3-sigma. Espera-se que o gráfico de controle x contenha 99,73% das médias das amostras. Portanto, espera-se que 0,27% das médias amostrais caiam fora dos limites, mesmo que o processo esteja sob controle. Isso significa se a distribuição das médias for normal 12 probabilidade de perdas por milhão. Se a distribuição for apenas aproximadamente normal, como em geral acontece, a probabilidade de perdas é bem maior. 12 Para testar a normalidade dos dados, é recomendado o teste de Shapiro Wilk. Shapiro, S.S.; Wilk, M.B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52 (3-4):

184 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Os limites 3-sigma são muito usados porque, na prática, dão bons resultados. Em geral, escolhem-se limites que sejam múltiplos do desvio padrão. 13 Alguns analistas sugerem usar não apenas um, mas dois limites de controle, isto é: os externos, 3s, seriam limites de ação; os internos, 2s, seriam limites de advertência. Usando dois limites de controle, a recomendação é a que segue: Se um ponto cair fora dos limites 3s, procure a causa especial dessa ocorrência e tome uma providência; Se muitos pontos caírem entre 2s e 3s, vigie porque o processo não deve estar operando normalmente. Mas você pode, também, usar três limites: 1-sigma, 2-sigma e 3-sigma. Veja o gráfico da Figura A sugestão de usar três limites, bastante antiga, 14 é bem conhecida e tem suas vantagens porque garante que operadores e engenheiros interpretem gráficos de controle com os mesmos critérios. Figura 14.9 Grá co de controle com três limites 13 O cálculo dos limites de controle usando múltiplos do desvio padrão ficou conhecido como sistema americano. Também existe o sistema inglês, que usa limites de probabilidade para calcular os limites de controle. 14 Western Electric Company (1956). Statistical Quality Control Handbook (1. ed.). Indianapolis, Indiana: Western Electric Co., p. 24, Apud Montgomery, D.C., p

185 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Capacidade do processo Os projetos de produção fornecem não somente as medidas que o produto ou a peça devem ter, mas também o intervalo em que essas medidas podem variar. Esses valores são as especifi cações do projeto. Tipicamente, são especificados: a) o valor nominal (VN), isto é, o valor que determinada medida deve ter; b) o limite superior de especifi cação (LSE), isto é, o limite superior do intervalo em que essa medida pode variar; c) o limite inferior de especifi cação (LIE), isto é, o limite inferior do intervalo em que essa medida pode variar. A diferença entre o limite superior de especificação e o limite inferior de especificação é a tolerância do projeto. Alguns conceitos são básicos: 1. Não existe relação matemática ou estatística entre limite de controle e limite de especifi cação. Os limites de controle são função da variabilidade do processo, medida pela amplitude ou pelo desvio padrão. Os limites de especificação são estabelecidos no projeto pelos engenheiros, pela administração ou pelo cliente. 2. Todo processo novo precisa de ajustes e regulagens. Quando todas as causas especiais de variação estão controladas, isto é, quando a variabilidade só pode ser explicada por causas comuns, diz-se que o processo atingiu o estado de controle estatístico. 3. Os limites μ ± 3 são conhecidos como limites naturais de tolerância. O limite natural de tolerância superior (LNTS) e o limite natural de tolerância inferior (LNTI) são definidos como LNTS = μ + 3 LNTI = μ 3 4. Capacidade do processo é o intervalo de seis sigma (6 ). Conhecendo a capacidade do processo, conhecemos o intervalo dentro 181

186 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER do qual o processo está produzindo. Mas como o valor de é, em geral, desconhecido, a capacidade do processo é dada por uma estimativa de obtida dos dados. Seis sigma é, na prática, um intervalo baseado numa estimativa (que indicaremos daqui em diante por 6 ˆ, como é usual na literatura da área). 5. Só se estuda a capacidade do processo que está em estado de controle estatístico. Então, admitindo esse estado, não se fazem ajustes, regulagens ou outras correções. É claro que pode ocorrer o desgaste de máquinas e de ferramentas, mas não se considera o efeito de desgastes no estudo da capacidade do processo Análise do processo usando o histograma Histogramas 15 são de fácil compreensão e fornecem boa visão do desempenho de processos. Por essa razão, são bastante usados na prática. Para analisar um processo usando um histograma, você pode seguir os passos: a) colete uma amostra de pelo menos 100 itens produzidos e meça neles o característico de qualidade; b) organize uma tabela de distribuição de frequências e desenhe o histograma; c) analise o histograma quanto à forma e à dispersão; d) coloque os limites de especificação (LSE e LIE) no gráfico; e) calcule a média e o desvio padrão; f) verifique se a média do processo (x) coincide ou tem valor próximo do valor nominal (VN); g) calcule a capacidade do processo ( 6 ˆ); h) compare a capacidade do processo ( 6 ˆ) com a tolerância do projeto (LSE LIE). EXEMPLO 14.6: Análise do processo por histograma Reveja o Exemplo Imagine que o projeto estabeleça que 15 Veja como se faz um histograma no Capítulo

187 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis A tolerância do projeto é: VN = 80 LSE = 88 LIE = 75 LSE LIE = = 13 Os dados do Exemplo 14.1, excluída a sexta amostra, foram organizados em uma tabela de distribuição de frequências e apresentados em um histograma para análise. Na prática, para fazer um histograma, colete 100 dados ou mais. Mas veja a Tabela 14.1 e a Figura Tabela 14.1 Distribuição de frequências para os dados do Exemplo 14.1 (excluída a sexta amostra) Classe Frequência 76 I I I I I 86 2 Total 20 Figura Histograma para a distribuição de frequências da Tabela 14.1 A média e o desvio padrão do processo, excluída a sexta amostra, são: x = 80 R 4,4 ˆ 2,137 d 2,

188 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER A capacidade do processo é: 6 ˆ = 6 2,137 = 12,822 Pode-se, então, afirmar que: os dados estão entre os limites de especificação (LSE = 88 e LIE = 75), mas muito próximos deles (valor máximo = 86, valor mínimo = 76) não existe folga; a média do processo (x = 80) é menor do que o valor nominal (VN = 81,5); então, o processo não está centrado histograma assimétrico; a capacidade do processo ( 6 ˆ = 12,822) está muito próxima da tolerância do projeto (LSE LIE = = 13), o que não é desejável. Então, é preciso: a) ajustar a média do processo x para mais perto de VN = 81,5; b) diminuir a variabilidade Análise do processo usando a distribuição normal Se você tomar m amostras de tamanho n, pode calcular a média e a amplitude de cada amostra. Depois, pode calcular a média das médias, que estima a média μ do processo: e a média das amplitudes: x + x + + x x = m m R + R + + R R = m m A estimativa do desvio padrão do processo é dada por: R ˆ d 2 184

189 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis O valor de d 2 é dado na Tabela 2 do Apêndice para amostras de tamanho n 10. Seja X a variável aleatória com distribuição normal de média μ e desvio padrão que representa o característico de qualidade em estudo. 16 Sejam LSE e LIE os limites de especificação superior e inferior, respectivamente. Veja a Figura Figura Proporção de perdas Como x e s estimam μ e, respectivamente, para obter a probabilidade de ocorrer item maior do que LSE, calcule: LSE x z ˆ Usando a Tabela 1 do Apêndice, você acha a proporção de itens perdidos por serem maiores do que LSE. Procedendo de forma análoga, acha a proporção de itens perdidos por serem menores do que LIE. Somando os dois resultados, obtém a proporção de perdas do processo. EXEMPLO 14.7: Análise do processo pela distribuição normal Reveja o Exemplo Lembre-se de que, no Exemplo 14.6, foi estabelecido: VN = 80 LSE = 88 LIE = Existem testes estatísticos para verificar a hipótese de que a distribuição é normal. Na prática, tendo 25 amostras de tamanho 4 ou 5, é razoável pressupor que a distribuição das médias é normal, com base no teorema do limite central. Em caso de dúvida, procure um consultor de estatística. 185

190 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Com base nos dados, excluída a sexta amostra, temos: x = 80 R = 4,4 4,4 ˆ = = 2,137 2,059 Pressupondo distribuição normal, para obter a proporção de perdas do processo, calcule: z s ,74 2,137 A probabilidade de ocorrer valor de z maior ou igual a 3,74 é, de acordo com a Tabela 1 do Apêndice, igual a zero. Agora, calcule: z i ,137 2,34 A probabilidade de ocorrer valor de z menor do que 2,34, de acordo com a Tabela 1 do Apêndice, é 0,5 0,4904 = 0,0096 ou 0,96% As perdas no processo são da ordem de 0 + 0,96% = 0,96 Isso significa ppm (partes por milhão), o que é volume alto para perdas Razão de capacidade do processo A razão de capacidade 17 do processo é definida como: 18 LSE LIE PCR 6 17 Em inglês, capability, que também se traduz por capabilidade do processo. 18 PCR significa process capacity ratio ou razão de capacidade do processo. Os japoneses indicam o PCR por Cp. 186

191 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis em que LSE e LIE são os limites superior e inferior de especificação, respectivamente. Como o desvio padrão do processo é, em geral, desconhecido, substitui-se por sua estimativa. ˆ PCR LSE A definição do PCR tem uma aplicação prática importante, pois o seu inverso, isto é, 6 ˆ LIE 1 P = 100 PCR ˆ é a porcentagem do intervalo de especificação usado pelo processo. EXEMPLO 14.8: Razão de capacidade do processo Reveja o Exemplo Lembre que, no Exemplo 14.6, foi estabelecido: VN = 80 LSE = 88 LIE = 75 Com base nos dados apresentados, excluindo a sexta amostra, tem-se que x = 80 R = 4,4 4,4 ˆ = = 2,137 2,059 ˆ LSE LIE PCR = = = = 1,014 6 ˆ 6 2,137 12,822 1 P = 100 = 98,6% 1,014 ou seja, 98,6% do intervalo de especificação está sendo usado pelo processo. 187

192 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER É desejável que a capacidade do processo, 6, seja proporcionalmente bem menor do que a tolerância (LSE LIE). Isso significa que, num processo capaz: PCR deve ter valor maior do que 1. P deve ser bem menor do que 100%. EXEMPLO 14.9: Processo pouco capaz Reveja o Exemplo Nesse exemplo, 6 ˆ = 12,822 está muito próximo de LSE LIE = 13. Logo, o PCR tem valor próximo de 1 (em um processo capaz, o PCR seria bem maior) e o valor de P está próximo de 100% (em um processo capaz, o valor de P seria bem menor). Como definido aqui, a razão da capacidade do processo pressupõe que tanto o limite superior como o limite inferior de especificação do processo estejam estabelecidos. Em alguns processos, porém, a especificação é unilateral, isto é, existe apenas um dos limites. Nesses casos, a razão da capacidade do processo quando só existe limite superior de especificação fica assim definida: PCR s LSE 3 Quando só existe limite inferior de especificação, a razão da capacidade do processo fica assim definida: PCR i LIE 3 Substituindo-se μ e por suas estimativas, obtém-se PCR s e PCR i. EXEMPLO 14.10: Razão da capacidade do processo, especificação unilateral A resistência à compressão de determinado material deve ser, no mínimo, de 170 mega Pascal, isto é, LIE = 170. No processo de fabricação foram toma- 188

193 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis das 20 amostras de tamanho n = 5, que forneceram estimativas da média do processo (x = 200) e do desvio padrão (s = 8). Então: ˆ PCRi = = = 1, Para saber se a razão de capacidade do processo que você está estudando é adequada, compare o resultado do seu cálculo com as diretrizes recomendadas para valores mínimos de PCR, dados na Tabela Mas note que esses valores são mínimos. Hoje, muitas empresas adotam critérios mais restritivos para avaliar processos. Tabela 14.2 Valores mínimos recomendados para a razão de capacidade do processo Especi cação Processo Variável Bilaterais Unilateral Existente Crítica para a segurança 1,50 1,45 Não crítica 1,33 1,25 Novo Crítica para a segurança 1,67 1,60 Não crítica 1,50 1,45 Fonte: Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, 2009, p EXEMPLO 14.11: Julgando a capacidade do processo Reveja o Exemplo 14.9: PCR = 1,014 P = 98,6%. O processo não é capaz. Agora, reveja o Exemplo 14.8: se o processo já existia, isto é, se já se fabricava o material, pode-se admitir o valor de 1,25 para o PCR desde que a resistência à compressão não seja crítica para a segurança. 189

194 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Razão de capacidade do processo para processo não centrado A razão de capacidade do processo não leva em consideração a localização do valor nominal porque é a razão entre a diferença das especificações e a dispersão do processo, medida em desvio padrão. Para entender por que essa observação é importante, observe a Figura As duas distribuições têm PCR = 1,25. No entanto, o processo B opera com capacidade menor do que o processo A porque não está centrado no valor nominal, que é o ponto médio entre LIE e LSE. Figura Dois processos: A (superior) e B (inferior) Foi então definida uma nova razão de capacidade do processo que leva em conta o centro do processo, isto é, foi definido PCR k = min(pcr s, PCR i ) Para bem entender essa definição, considere o limite de especificação que está mais próximo da média do processo. Então, o PCR k é essa parte do PCR. PCR = min (PCR s, PCR i ) LSE LIE min( PCR s, PCRi )

195 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis O PCR k é igual ao PCR quando o processo está centrado no valor nominal, mas menor do que o PCR se o processo estiver deslocado. Portanto, a grandeza do PCR k em relação ao PCR mostra quando o processo está não centrado. EXEMPLO 14.12: Razão da capacidade do processo para processo não centrado Reveja o Exemplo Desprezando a sexta amostra: x = 80 4,4 ˆ = = 2,137 2,069 Para esse processo, LSE = 88 e LIE = 75. Tem-se, então, que: ˆ PCR = = 1, ,137 ˆ PCRs = = 1, ,137 ˆ PCRI = = 0, ,137 PCR ˆ = min(pcr ˆ,PCR ˆ ) = 0,780 k s I Como já foi discutido quando se fez o histograma no Exemplo 14.6, o processo está não centrado. A diferença entre PCR ˆ 1,014 e PCR ˆ k 0,780 mostra isso. O valor de PCR ˆ k permite uma avaliação empírica do processo. Assim: a) PCR ˆ k 2,0: processo excelente, altamente confiável; os operadores têm perfeito controle do processo e podem fazer a inspeção; b) 1, 33 PCR ˆ k 2,0: processo capaz, relativamente confiável; é preciso monitorar para evitar deterioração; c) 1, 00 PCR ˆ k 1,3: processo relativamente incapaz e pouco confiável; exige controle contínuo; d) PCR ˆ k 1,00: processo totalmente incapaz; não tem condições de manter as especificações; exige controle de 100% da produção. 191

196 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Uma observação importante Neste livro, para estudar a razão de capacidade do processo, estimouse o desvio padrão coerentemente com o gráfico de controle x R, isto é, estima-se o desvio padrão pela fórmula: R ˆ d No entanto, se você usar o gráfico de controle x s, o desvio padrão estimado será: s 2 1 = = 2 ( x x) n 1 Para o Exemplo 14.12, você obterá: s = 2,555 PCR ˆ = 0,8480 P = 1,179 PCR ˆ s = 1,044 PCR ˆ I = 0,652 PCR ˆ = 0,652 k 2,555 Dada à possibilidade de existir duas maneiras de estimar o desvio padrão, quando usar um programa para computador, verifique qual é o estimador de s antes de concluir que seus cálculos estão errados Exercícios 1. Na Tabela 14.3 são apresentadas as médias (x) e as amplitudes (R) de 24 amostras de cinco peças, obtidas em um processo de produção de rolamentos. 19 Foi medido o diâmetro interno de cada peça, mas só foram registrados os três últimos decimais (então 34,5 seria 0,50345). a) faça um gráfico x R; se necessário, faça a revisão dos limites de controle; b) calcule a porcentagem de não conformes, considerando que as especificações são 0,5030 ± 0, Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, p

197 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 14 Gráficos de controle para variáveis Tabela 14.3 Médias e amplitudes do diâmetro interno de rolamentos, obtidas de 24 amostras de 5 peças N o da amostra x R N o da amostra x R 1 34, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Foram coletadas m = 50 amostras de tamanho n = 6 de um processo de manufatura, em que o característico de interesse tem distribuição normal. Depois, foram calculados médias e s desvios padrões e obtidos: x = 1000 e s = 75. a) calcule os limites do gráfico de controle x s; b) se o processo tem especificações 19,0 ± 4,0, qual é a sua conclusão sobre a porcentagem de perdas?; c) calcule o PCR. 3. Foi feito o teste de dureza Rockwell em 15 corpos de prova de uma liga metálica proveniente de novo fornecedor. Os dados obtidos estão na Tabela Faça um gráfico de controle. Tabela 14.4 Dureza Rockwell medida em 15 corpos de prova N o da amostra Dureza N o da amostra Dureza

198 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 4. Com os dados apresentados na Tabela 14.5: a) faça um gráfico de controle x s; b) como a amostra número 5 está fora dos limites de controle e supondo que houve uma causa especial para isso, retire essa amostra e refaça o gráfico; c) a especificação é VN = 84,1, LSE = 84,2 e LIE = 84,0. Quanto vale o PCR? Tabela 14.5 Dados obtidos em m = 4 amostras de n = 5 peças Nota: Os valores são a parte decimal. Então 15 é, na verdade, 84, Para desenhar um gráfico de controle 20 para um importante característico de qualidade, foram calculadas a média e a amplitude de 35 amostras, todas com tamanho 7. Depois, foram calculadas: 35 1 x i 35 R i 1 = 7805 = a) ache a média das medias e a média das amplitudes; b) ache a média e o desvio padrão do processo; c) se o característico de qualidade tem distribuição normal e as especificações são 220 ± 35, o processo está produzindo dentro das especificações? Qual é a fração de não conformes? 20 Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, p

199 Capítulo 15 Sistemas de medição Para melhorar a qualidade de um produto, é preciso conhecer as causas de variação que interferem no processo de produção porque, afinal, a qualidade é inversamente proporcional à variabilidade. 21 Mas a variabilidade das medidas de um produto é explicada não somente pela variação das medidas do próprio produto, mas também pelos erros de medição. Erro de medida é a diferença entre o valor efetivamente medido e o valor verdadeiro ou valor de referência (em certas áreas, também denominado padrão). Quando medimos, em geral acreditamos que tomamos a medida correta, mas as medições estão sujeitas à variabilidade, mesmo que os sistemas de medição sejam sofisticados. Por exemplo, se você medir de novo o diâmetro de 10 roldanas que tomou como amostra para fazer um gráfico de controle x R, provavelmente obterá resultados ligeiramente diferentes. Um aspecto importante na implantação do controle estatístico de processo é, portanto, contar com um sistema de medição com capacidade adequada. Mas a análise do sistema de medição (Measurement System Analysis MSA) exige o conhecimento das seguintes estatísticas: exatidão, estabilidade, repetibilidade e reprodutibilidade. Vamos começar definindo esses termos. 21 Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, p. 6.

200 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Estatísticas do sistema de medição Para entender o que é exatidão, primeiro imagine que você conhece o valor verdadeiro ou seja, a medida correta de um item. Você pode, então, obter grande número de medidas desse item pelo sistema de medição que pretende conhecer e calcular a média x das medidas feitas. A diferença entre x e o valor verdadeiro da medida é o critério de qualidade denominado exatidão. Quanto mais próximo estiver x do valor verdadeiro da medida, mais exato é o sistema de medição. Exatidão refere-se, portanto, à perfeita correção de um sistema de medição. Na prática, o valor verdadeiro é obtido por um padrão-ouro ou por técnica reconhecida de medição. Por exemplo, é fato conhecido que, para verificar a exatidão de uma balança de laboratório, é preciso pesar várias vezes (em geral, 10 vezes) um padrão ou referência de, digamos, 10 g. Se a média das pesagens for 10 g, a balança terá exatidão. A exatidão é também chamada viés ou tendência, e dicionários especializados dão a seguinte definição para viés: Viés (bias) é a diferença entre o valor verdadeiro ou valor de referência e a média obtida de medidas feitas com as mesmas características no mesmo item. 22 EXEMPLO 15.1: Exatidão ou tendência Um colorímetro 23 será usado para medir a cor de diversas substâncias em pó. Uma amostra de cor branca, que tem valor 100 foi usada como padrão. Um técnico de laboratório mediu 10 vezes a cor da amostra branca e obteve os resultados apresentados na Tabela A média é x = 99,55 O viés (ou bias ), dado pela diferença entre a média e o valor de referência, é: bias = x VR = 99, = 0,45 22 Automotive Industry Action Group:

201 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição Tabela 15.1 Leituras da cor de uma amostra branca Número Cor 1 100,0 2 99,5 3 99, ,3 5 99,1 6 98, ,5 8 99,5 9 99, ,1 Vamos entender agora o que é estabilidade, porque você só pode proceder à análise do sistema de medição (MAS) depois de verificar que o sistema é estável. Isso significa que o sistema de medição deve estar em estado de controle estatístico, ou seja, ser consistente e previsível. Para verificar a estabilidade, o ideal seria fazer, rotineiramente, várias medições de um mesmo padrão. Mas, como isso raramente é possível, para verificar a estabilidade você pode coletar peças da sua produção. As medidas dessas peças devem ser variadas, isto é, as peças devem ter medidas que cubram toda a variabilidade que possa ser encontrada na sua produção. Depois, você deve obter o valor de referência para cada peça. Escolha então um operador para medir cada peça diversas vezes, mas apresente as peças ao operador em ordem aleatória. Para analisar os resultados, siga os passos: 1. Calcule o viés de cada medida feita em cada peça. 2. Calcule a média dos vieses para cada amostra. 3. Faça um diagrama de dispersão. No eixo horizontal, coloque os valores de referência. 4. No eixo vertical coloque os vieses. Coloque também a média dos vieses de cada peça, mas adote um estilo diferente para o marcador dos pontos (viés e média). 5. Olhe o gráfico e veja se a reta está alinhada com o eixo horizontal. 24 Se isso acontecer, as medidas têm estabilidade. 24 Você pode, também, ajustar a reta aos dados e testar se o coeficiente angular é igual a zero. Se você não rejeitar essa hipótese, pode concluir pela estabilidade. 197

202 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER EXEMPLO 15.2: Estabilidade Um supervisor queria verificar a estabilidade de um novo sistema de medição. Para isso, coletou cinco peças com medidas que cobriam toda a gama de medidas da sua produção e determinou um valor de referência para cada peça. Pediu então para um operador medir cada peça 10 vezes, mas as apresentou em ordem aleatória. Os resultados são apresentados na Tabela Tabela 15.2 Medidas repetidas 10 vezes em cada uma de cinco peças Ordem da medição Peça ,7 10,1 10,8 12,6 14,1 2 7,5 8,9 10,7 12,7 14,3 3 7,4 9,2 10,9 12,8 14,5 4 7,5 10,0 10,9 12,7 14,3 5 7,7 8,8 11,0 12,8 14,4 6 7,3 8,9 11,1 12,8 14,5 7 7,5 8,9 11,0 12,8 14,5 8 7,5 8,9 11,1 12,7 14,5 9 7,4 8,9 11,4 12,8 14,6 10 7,4 9,0 11,3 12,5 14,2 Valor de referência Para analisar os resultados, ache o viés de cada medida subtraindo o valor de referência de cada uma delas. Por exemplo, a primeira medida feita para a primeira peça resultou em 7,7. Como o valor de referência é 7, o viés dessa medida para essa peça é: 7,7 7 = 0,7 Os vieses para todas as medições e as médias dos vieses por peça estão na Tabela Tabela 15.3 Vieses para todas as medições e as respectivas médias Ordem da medição Peça ,7 1,1-0,2-0,4-0,9 2 0,5-0,1-0,3-0,3-0,7 3 0,4 0,2-0,1-0,2 --0,5 4 0,5 1,0-0,1-0,3-0,7 5 0,7-0,2 0,0-0,2-0,6 6 0,3-0,1 0,1-0,2-0,5 7 0,5-0,1 0,0-0,2-0,5 8 0,5-0,1 0,1-0,3-0,5 9 0,4-0,1 0,4-0,2-0,4 10 0,4 0,0 0,3-0,5-0,8 Média 0,49 0,16 0,02-0,28-0,61 198

203 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição Faça um diagrama de dispersão: no eixo horizontal, coloque os valores de referência, e no eixo vertical coloque os vieses. Coloque também o viés médio, mas adote um estilo diferente para o marcador dos pontos (viés e média). Olhe o gráfico e veja se a reta está alinhada com o eixo horizontal. Você pode, também, ajustar a reta aos dados e testar se o coeficiente angular é igual a zero. No exemplo, não existe estabilidade: peças menores apresentaram viés positivo e peças maiores apresentaram viés negativo, ou seja, peças pequenas foram superdimensionadas e peças grandes foram subdimensionadas. Figura 15.1 Reta de regressão para viés contra valor de referência. A estabilidade mede, portanto, a mudança na exatidão ao longo do tempo. Se não ocorrem mudanças, o instrumento de medida é estável. Diz- -se, também, que existe linearidade porque as medidas feitas em tempos diferentes se alinham ao longo de uma reta. Dicionários especializados 25 dão a seguinte definição para linearidade: Linearidade é a diferença da exatidão (bias) em toda a faixa de medição do sistema. Importante é medir a amostra regularmente com as demais amostras. Tudo deve ser feito para garantir que as causas de variação que possam interferir no sistema de medição estejam constantemente vigiadas o que garante a estabilidade das medições. 25 Automotive Industry Action Group: 199

204 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER A repetibilidade, também conhecida como precisão ou precisão inerente ao instrumento de medida (ou ao operador), refere-se à variação das medidas feitas repetidamente com o mesmo instrumento de medida e pelo mesmo operador, usando o mesmo procedimento, no mesmo item. 26 De acordo com o Instituto Americano de Padrões e Tecnologia 27 (National Institute of Standards and Technology, NIST): A repetibilidade de um sistema de medição deve ser obtida usando o mesmo operador, o mesmo procedimento, no mesmo local e num período curto de tempo. 28 Para medir a repetibilidade, calcula-se o desvio padrão. O sistema de medição (seja manual, com operador ou automatizado) terá tanto mais repetibilidade quanto menor for o s rep. EXEMPLO 15.3: Repetibilidade Reveja o Exemplo Para obter a repetibilidade do colorímetro, calcula-se o desvio padrão. Mas é preciso calcular, primeiro, a variância. Veja os cálculos intermediários na Tabela x x 2 s n 1 Tabela 15.4 Cálculos intermediários para o cálculo da variância Número Cor (x) x x (x x) ,0 0,45 0, ,5-0,05 0, ,4-0,15 0, ,3 0,75 0, ,1-0,45 0, ,9-0,65 0, ,5 0,95 0, ,5-0,05 0, ,2-0,35 0, ,1-0,45 0,2025 Soma 995,5 0,00 2, A repetibilidade pode, portanto, referir-se à variação nas medidas devida ao instrumento de medição (gage) ou à variação nas medidas devida ao operador (pessoa). 27 Acesse 28 Latham, A. How do I Calculate Repeatability? -calculate-repeatabitity_html. 200

205 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição 2 2,645 s 0, s 0,2939 0,5421 A repetibilidade, ou a precisão inerente do aparelho, só pode ser julgada em comparação com outro valor por exemplo, a repetibilidade de outro aparelho (veja o Exemplo 15.4) ou a média, por meio do coeficiente de variação (CV). 29 Reprodutibilidade refere-se aos operadores, 30 ou seja, é a variação que pode ser esperada quando há mais de um operador ou mais de um instrumento fazendo as medições. A reprodutibilidade dos operadores é tanto maior quanto menores forem as diferenças entre as médias das medidas feitas por eles nos mesmos itens. 31 EXEMPLO 15.4: Reprodutibilidade Reveja o Exemplo Imagine que outro técnico do mesmo laboratório tenha medido 10 vezes a cor da amostra branca no mesmo colorímetro, obtendo os resultados apresentados na Tabela Para facilitar a comparação, os dados da Tabela 15.1 estão repetidos na Tabela Tabela 15.5 Leituras da cor de uma amostra branca, por dois técnicos Número Técnico A Técnico B 1 100,0 100,0 2 99,5 100,5 3 99,4 100, ,3 101,3 5 99,1 100,1 6 98,9 99, ,5 101,5 8 99,5 100,5 9 99,2 100, ,1 100,1 Média 99,55 100,45 Desvio padrão 0,5421 0, Veja como calcular o CV em Vieira, S. Análise de variância. São Paulo: Atlas, Na verdade, reprodutibibilidade refere-se à variação que se espera por mudança de condições, seja a mudança que pode ser esperada quando se muda o operador ou o instrumento, ou a época, ou o ambiente. 31 Veja 201

206 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Os desvios padrões das medidas feitas pelos dois técnicos são iguais, o que significa que os dois técnicos têm a mesma repetibilidade. No entanto, para o técnico A o viés (bias) é -0,45 e para o técnico B o viés (bias) é 0,45, ou seja, a reprodutibilidade não é perfeita. Parece, pois, lógico dizer que, nesse caso, a variabilidade total do sistema de medição aumenta se forem utilizados dois técnicos, em lugar de um Estudo da capacidade de medição Na prática, não se obtém repetibilidade e reprodutibilidade como definido. Para obter a repetibilidade do operador ou do instrumento de medida, o que se faz é proceder à medição de várias peças certo número de vezes com o mesmo operador e com o mesmo instrumento. Se o mesmo operador fizer duas medidas em 20 peças para testar a repetibilidade do instrumento de medida, você pode desenhar um gráfico de controle x R. Esse gráfico não tem a finalidade de verificar se o processo está sob controle. A interpretação do gráfico de controle x R, nesse caso, é diferente porque o que você quer saber é a capacidade de medição do instrumento. Pontos fora dos limites de controle no gráfico x indicam apenas que as peças têm tamanhos diferentes. Aliás, convém fornecer peças com tamanhos diferentes, para verificar se o instrumento discrimina medidas diferentes. Mas não deve haver pontos fora dos limites de controle no gráfico R porque se espera que medidas feitas na mesma peça tenham a menor variabilidade possível, indicando repetibilidade. Pontos fora dos limites de controle no gráfico R indicam que o operador teve dificuldades em usar o instrumento ou o instrumento não tem qualidade. EXEMPLO 15.5: Calculando a repetibilidade Na Tabela 15.6 são dadas as medidas de 20 peças, repetidas duas vezes pelo mesmo operador, e na Figura 15.2 é dado o gráfico de controle x R. 202

207 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição Tabela 15.6 Duas medidas em 20 peças, tomadas pelo mesmo operador N o da peça 1 a medida 2 a medida Média Amplitude , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 0 x = 22,3 R = 1 Fonte: Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, p Figura 15.2 Grá co de controle X R para duas medidas em 20 peças, tomadas pelo mesmo operador 203

208 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER O desvio padrão dos erros de medida, s erro uma vez que os erros referem-se a um operador pode ser estimado por meio da amplitude: s erro R d 2 O valor de d 2 deve ser procurado em tabelas (veja a Tabela 2 do Apêndice) e depende do tamanho da amostra. Os erros de medida têm distribuição aproximadamente normal. Espera-se, ainda, que os erros de medida tenham média zero (as medições teriam exatidão) e boa precisão (s erro seria pequeno). De qualquer forma, 97,73% dos erros de medida devem estar entre 3 ± s erro. Veja a Figura Figura 15.3 Distribuição esperada dos erros de medida Do que foi visto, é fácil entender que s erro é uma boa estimativa da capacidade de medição. Por essa razão, é bastante comum calcular a razão da capacidade de medição, indicada por P/T, que é a precisão em relação à tolerância. P 6 serro T LSE LIE De acordo com a AIAG, o sistema de medição é aceitável se P T 0,1 204

209 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição ou 10% (se a razão for multiplicada por 100). Se o valor de P/T estiver entre 10% e 30%, pode ser aceitável. No entanto, o sistema de medição é inaceitável se P/T for maior do que 30%. EXEMPLO 15.6: Calculando a razão da capacidade de medição Reveja o Exemplo Para esse exemplo: s erro R 1 0,887 d 2 1,128 O valor d 2 foi obtido na Tabela 2 do Apêndice para n = 2 porque foram feitas duas medições em cada peça. Considere que o limite superior de especificação é 35 e o limite inferior de especificação é 15. A razão da capacidade de medição é dada por P T 6 0,887 5,322 = = = 0,2661 ou 26,61% o que significa que o sistema de medição é aceitável Estudo de R&R Várias questões devem ser resolvidas antes de iniciar o estudo de repetibilidade e reprodutibilidade, conhecido como estudo R&R. A primeira questão é estabelecer o número de operadores que vão fazer as medições. Esse número, que indicaremos por k, deve ser maior do que 2. Depois, é preciso estabelecer o número de repetições ou ensaios, ou seja, o número de vezes que cada peça será medida. Esse número, aqui indicado por r, deve ser igual ou maior do que 2. Também é preciso estabelecer o número de peças que serão utilizadas, uma vez que, na prática, não é razoável e nem sempre é possível medir a mesma peça muitas vezes. Esse número, que indicaremos por n, deve ser igual ou maior do que 5. É aconselhável ter k n > 15 para maior confiança nos resultados. 205

210 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Uma recomendação bastante conhecida (AIAG) 32 e indicada por 3/3/10, é a seguinte: Número de operadores (operators): k = 3 Número de repetições ou ensaios (trials): r = 3 Número de peças (parts): n = 10 Todo o procedimento deve ser aleatório. Os operadores devem ser selecionados ao acaso. Também não é correto pegar 10 peças na linha de produção: é preciso selecionar peças ao acaso, que bem representem a variação do processo. Mas qual é a variação do processo? Veja a amplitude R ou os limites de especificação. Escolha peças com tamanhos diferentes, para testar a capacidade de medição. O gráfico de controle do Exemplo 15.5 mostra peças com tamanhos variados. As peças selecionadas para o estudo R&R devem ser fornecidas aos operadores em ordem aleatória. Comece com o operador A. Registre os resultados obtidos por A e chame o operador B. Continue o processo até completar todo o trabalho planejado. Nunca mostre os resultados obtidos por um dos operadores para os demais. Se sua empresa produz ou analisa líquidos, resinas, gazes, não há, propriamente, um item produzido no qual você possa fazer sucessivas medições. Por exemplo, os laboratórios de análises químicas trabalham com amostras, entendendo-se por amostra uma porção representativa de material que deve ser analisado seja uma amostra de sangue, seja uma amostra de gasolina. Em geral, é impossível analisar a mesma amostra, digamos de sangue, um número suficiente de vezes porque a análise pode despender certo tempo e a amostra pode se deteriorar no período, ou o próprio processo de medição pode esgotar a unidade. O que pode ser feito? Cada amostra é dividida em duas ou três, para análise. Se forem feitas duas determinações na mesma amostra, dizemos que a análise foi feita em duplicata. Se forem feitas três determinações, dizemos que a análise foi feita em triplicata. 32 Automotive Industry Action Group: Acesso em 23 de março de

211 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição Estudo de R&R pelo método da média e da amplitude Um aspecto importante na implantação do controle estatístico de processo é a capacidade adequada do sistema de medição. É, pois, recomendável delinear estudos para pesquisar os dois componentes importantes do erro de medida: a repetibilidade e a reprodutibilidade. A variância do erro de medida (gauge) é a soma de um componente de variância relativo à repetibilidade e um componente de variância devido à reprodutibilidade: 2 erro = 2 repetibilidade + 2 reprodutibilidade O método da média e da amplitude para o estudo R&R permite que o erro de medida (gauge) seja separado em variação devida a repetibilidade e variação devida a reprodutibilidade. Para mostrar como isso é feito, vamos utilizar um exemplo. Imagine que você queira determinar se um paquímetro é capaz de medir o diâmetro de determinada peça. Você escolheu, portanto, o característico de qualidade cujo sistema de medição quer estudar. Escolha, então, ao acaso, três operadores que chamaremos de A, B e C (k = 3) para medirem três vezes (r = 3) cinco peças (n = 5) escolhidas ao acaso, desde que elas tenham a variação típica do processo. Os resultados das medições são apresentados na Tabela Tabela 15.7 Três medidas (repetições) em cinco peças, feitas por três operadores Operador Repetição Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5 1 3,29 2,44 4,34 3,47 2,2 A B C 2 3,41 2,32 4,17 3,5 2,08 3 3,64 2,42 4,27 3,64 2,16 1 3,08 2,53 4,19 3,01 2,44 2 3,25 1,78 3,94 4,03 1,8 3 3,07 2,32 4,34 3,2 1,72 1 3,04 1,62 3,88 3,14 1,54 2 2,89 1,87 4,09 3,2 1,93 3 2,85 2,04 3,67 3,11 1,55 Para fazer o estudo R&R, isto é, o estudo de repetibilidade e reprodutibilidade, lembre-se de que repetibilidade é variação dentro de opera- 207

212 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER dor. Mede, portanto, a variação que um operador (também poderia ser um equipamento) apresenta quando mede a mesma peça nas mesmas condições, mais de uma vez. Em inglês, se diz equipment variation e se abrevia por EV. Para obter a repetibilidade (EV): Calcule para cada um dos operadores (são k = 3 operadores) a média e a amplitude das medidas feitas em cada peça (são n = 5 peças). Calcule para cada operador (são k = 3 operadores) a média das médias e a média das amplitudes obtidas no item anterior. Você obtém as três médias e as três amplitudes que estão em negrito na Tabela Calcule a média das amplitudes obtidas pelos três operadores. Essas médias de amplitudes estão em negrito na Tabela R R R R R 1,860 0,6140 0, ,3673 Calcule a estimativa da repetibilidade dada pelo desvio padrão 33 por meio da fórmula: s repet R d 2 Note que, para este exemplo, o valor de d 2 foi obtido na Tabela 2 do Apêndice para amostra de tamanho 3 porque cada amplitude (veja a Tabela 15.8) foi calculada com base em três valores. 0,367 srepet 0,217 1,693 A repetibilidade, que estamos indicando por s repet, é 0,217. Os programas de computador usando o método da média e da amplitude (Average and Range Method) forneceriam repetibilidade = 0, Veja o Capítulo 6 deste livro. 208

213 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição Tabela 15.8 Cálculo de médias e amplitudes dos dados apresentados na Tabela 15.7 para o estudo R&R Operador Repetição Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5 Média 1 3,29 2,44 4,34 3,47 2,2 A B C 2 3,41 2,32 4,17 3,5 2,08 3 3,64 2,42 4,27 3,64 2,16 Média 3,447 2,393 4,260 3,537 2,147 3,1567 Amplitude 0,35 0,12 0,17 0,17 0,12 0, ,08 2,53 4,19 3,01 2,44 2 3,25 1,78 3,94 4,03 1,8 3 3,07 2,32 4,34 3,2 1,72 Média 3,133 2,210 4,157 3,413 1,987 2,9800 Amplitude 0,18 0,75 0,4 1,02 0,72 0, ,04 1,62 3,88 3,14 1,54 2 2,89 1,87 4,09 3,2 1,93 3 2,85 2,04 3,67 3,11 1,55 Média 2,927 1,843 3,880 3,150 1,673 2,6947 Amplitude 0,19 0,42 0,42 0,09 0,39 0,3020 Fonte: William McNeese, BPI Consulting, -systems-part-4-gage-rr 18 de março de Reprodutibilidade é a variação entre operadores. Mede a variação entre as médias das medições feitas por diferentes operadores, medindo as mesmas peças nas mesmas condições diversas vezes. Em inglês, se diz appraiser variation e se abrevia por AV. Veja como se faz o cálculo da reprodutibilidade: Calcule a diferença entre a maior e a menor média obtidas pelos operadores. Essas médias de médias estão em negrito na Tabela A maior média foi obtida pelo operador A (3,1567) e a menor média pelo operador C (2,6947). R x = x max x min R x = 3,1567 2,6947 = 0,4620 Calcule: s reprod x 2 2 R s k rn 2 repet 209

214 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade 2 2 0,4620 0,217 sreprod 1, ELSEVIER 2 0,2418 0, ,0554 0,235 Neste caso, o valor de k 2 foi obtido na Tabela 3 do Apêndice para três operadores. A reprodutibilidade, que estamos indicando por s reprod, é 0,235. Os programas de computador usando o método da média e da amplitude (Average and Range Method) forneceriam AV = 0,235. Temos agora as estimativas dos dois componentes de erro de medida: desvio padrão da repetibilidade (precisão dentro de operadores) e desvio padrão da reprodutibilidade (precisão entre operadores). Sabemos que: Logo: s s s 0,217 0, erro repet reprod serro 0,0471 0,0552 0,1023 serro 0,1023 0,320 O erro de medida, que estamos indicando por s erro, é 0,320. Nos programas de computador, estaria GRR = 0,320, ou seja, o gauge R&R é 0, Cálculo da variação de peças e da variação total Além de obter o estudo R&R, muitos analistas querem obter, também, a variação devida às peças e, por conseguinte, a variação total. Lembre-se de que a recomendação, para um estudo R&R, é obter aleatoriamente peças que tenham variabilidade do característico de qualidade,e assim determinar, efetivamente, se o operador sabe medir. Vamos então obter a variação entre as médias das peças medidas por diferentes operadores nas 210

215 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição mesmas condições diversas vezes. Em inglês, se diz part variation e se abrevia por PV. Veja como se faz: Calcule a diferença entre a maior e a menor média de peças. Elas estão em negrito na Tabela A maior média é da peça 3 (4,099) e a menor média é da peça 5 (1,936). Calcule: R peças xmax x min Rpeças = 4,099 1,936 = 2,163 speças = k3 Rpeças speças = 0,4030 2,163 = 0,872 O valor de k 3 foi obtido na Tabela 4 do Apêndice para cinco peças. A variação entre peças, que estamos indicando por s peças, é 0,872. Nos programas de computador, estaria PV = 0,872. Tabela 15.9 Cálculo de médias e amplitudes dos dados apresentados na Tabela 15.7 para o cálculo da variação da peças Operador Repetição Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5 A 1 3,29 2,44 4,34 3,47 2,20 2 3,41 2,32 4,17 3,50 2,08 3 3,64 2,42 4,27 3,64 2,16 B 1 3,08 2,53 4,19 3,01 2,44 2 3,25 1,78 3,94 4,03 1,80 3 3,07 2,32 4,34 3,20 1,72 C 1 3,04 1,62 3,88 3,14 1,54 2 2,89 1,87 4,09 3,20 1,93 3 2,85 2,04 3,67 3,11 1,55 Média 3,169 2,149 4,099 3,367 1,936 A variância total, que indicaremos por s 2, é dada pela variância do erro de medida somada à variância de peças. Temos, então: erro s peças s s 211

216 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER O erro total, que indicaremos por s e, como em inglês é chamada de total variation, é indicada por TV, é dado por: s s s 2 2 erro peças s 0,319 0,319 0,872 0,872 0,9285 Vamos agora construir a Tabela 15.10, para apresentar os valores obtidos. Tabela Valores obtidos no estudo dos erros Contribuição Erro Erro de medida (GRR) 0,319 Repetibilidade (EV) 0,217 Reprodutibilidade (AV) 0,235 Erro devido a peças (PV) 0,872 Erro total 0,9285 Para saber se o sistema de medição é adequado, você deve comparar os resultados que obteve em seus cálculos com algum valor. Mas qual será esse valor? O que você pode fazer é dividir o valor do erro de cada contribuição pelo erro total e multiplicar por 100, como mostra a Tabela Mas não espere que a soma dessas porcentagens seja 100. De qualquer modo, primeiro examine o valor de GRR%: GRR% menor do que 10%: o sistema de medição é aceitável. GRR% de 10-30%: o sistema de medição pode ser aceitável, dependendo da aplicação. GRR% maior do que 30%: o sistema de medição precisa de melhoria. Se GRR% >10%, veja os valores de EV% e de AV%. Você precisa dar mais treinamento se o erro devido à reprodutibilidade for alto, e mudar o instrumento de medição, se o erro devido à repetibilidade for alto. Neste exemplo, GRR% é superior a 30%. Logo, o sistema de medição precisa ser melhorado. 212

217 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição Tabela Valores obtidos no estudo dos erros e respectivas porcentagens Contribuição Erro Percentual Erro de medida (GRR) 0,319 34,3% Repetibilidade (EV) 0,217 23,3% Reprodutibilidade (AV) 0,235 25,3% Erro devido a peças (PV) 0,872 93,9% Erro total 0, Estudo de R&R por análise de variância O erro total da medição R&R (s R&R ) em inglês, total gauge R&R é obtido pela combinação da variação estimada da repetibilidade com a variação estimada da reprodutibilidade. 34 A variação total do sistema de medição (em inglês, total measurement system variation) é a soma da variação do erro total da medição R&R (s R&R ) com a variação peça a peça s peça (em inglês, part-to-part variation), ou seja, com a variação própria das peças. O método da média e da amplitude para o estudo R&R é trabalhoso. Mas esses cálculos são feitos usando os muitos programas para computador que existem no mercado. É preferível, então, introduzir o método da análise de variância (ANOVA), que tem melhores qualidades estatísticas. Os dados obtidos para o estudo da variação total do sistema de medição são submetidos a uma análise de variância em um modelo com duas classificações e efeitos aleatórios (em inglês, two-way random effects model). Não será mostrado aqui como se faz essa análise, 35 mas apenas os resultados de um exemplo. EXEMPLO 15.7: Fazendo a análise de variância Para mostrar os resultados de uma análise de variância, usaremos os dados apresentados na Tabela Foram selecionados três operadores, que mediram três vezes cinco peças. A análise de variância está na Tabela Automotive Industry Action Group (AIAG). Measurement Systems Analysis. 3 ed. Detroit: MI, Veja Vieira, S. Análise de variância (ANOVA). São Paulo: Atlas,

218 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tabela Medidas de três operadores, que mediram três vezes cinco peças Operador 1 Operador 2 Operador 3 N o da peça Teste 1 Teste 2 Teste 3 Teste 1 Teste 2 Teste 3 Teste 1 Teste 2 Teste Fonte: Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, 2009, p Tabela Análise de variância para os dados da Tabela Causas de variação GL QM F Valor p Peças ,33 0,0000 Operadores 2 39,267 19,633 0,0048 Peças operadores 18 48,511 2,6951 0,0000 Resíduo 60 30,667 0,5111 Total ,4 Os resultados apresentados na Tabela indicam diferença significante entre peças e entre operadores, e a interação é significante. Não serão dadas aqui as fórmulas de cálculo para o estudo da variação total do sistema de medição, com base na análise de variância. 36 Podem ser obtidos, com mais precisão, os erros descritos na seção anterior. São dadas aqui apenas algumas informações para os usuários do Minitab, que tem rotinas para a análise do sistema de medição (Measurement System Analysis MSA). 36 Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. ed. Nova York: Wiley, p

219 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 15 Sistemas de medição Se a interação não for significante e o valor p for maior do que 0,25 (um valor arbitrário), entenda o resultado como evidência de que a interação é zero. Ajuste o modelo reduzido (some interação e resíduo). O Minitab já faz isso, mas fornece os dois resultados. Vale o modelo reduzido, cujos quadrados médios são usados nos cálculos posteriores Exercícios 1. Para verificar a exatidão de uma balança de laboratório, foi pedido a um técnico que pesasse 10 vezes um padrão (ou referência) de 10 g, sem que ele soubesse o peso. O padrão era misturado com outros materiais para pesagem. Os pesos obtidos foram 10,05; 10,02; 9,85; 10,00; 10,06; 10,03; 9,95; 10,05; 9,95; 9,95. A balança tem exatidão? 2. Numa torrefação de café, o empacotamento é feito por máquinas eletrônicas em pacotes de 250 g. A faixa de tolerância é de ±10 g. Para verificar a estabilidade das medições, cinco pacotes com pesos que variavam dentro da faixa de tolerância foram pesados nove vezes. As pesagens estão na Tabela Faça um diagrama de dispersão. O que você acha? Tabela Medidas repetidas nove vezes em cada um de cinco pacotes Ordem da medição Pacote Valor de referência Três operadores mediram várias vezes a mesma peça. 37 Qual deles tem a maior repetibilidade? 37 Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 2. ed. Nova York: Wiley, p

220 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tabela Medidas repetidas por três operadores em 20 peças Operador A Operador B Operador C Medida Medida Medida N o da peça 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a Cinco peças são selecionadas 38 de um processo de manufatura para cada um dos dois avaliadores que normalmente fazem as medições do processo (em mm). Cada medição foi repetida três vezes para cada uma das peças em sequência aleatória. A Tabela apresenta as medições. Faça a análise de R&R. Tabela Medidas repetidas por dois operadores em cinco peças Operador Repetição Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça A B Acesse 216

221 Capítulo 16 Exemplos de aplicação Este capítulo apresenta consultas recebidas pela autora. São, portanto, exemplos de problemas reais enfrentados por pessoal que trabalha com estatística em qualidade. Nem todo o conhecimento necessário para a resolução dos problemas está apresentado neste livro, mas é sempre possível procurar outros livros ou um consultor de estatística Gráfico de controle para a proporção de não conformes Consulta da empresa A qualidade das soldas inoxidáveis é estudada por meio de exame radiográfico. Foram anotados, durante um ano, o número de tomadas radiográficas e o número de soldas reprovadas por mês. Os dados estão na Tabela Tabela 16.1 Número de radiogra as e de reprovações radiográ cas em solda inoxidável, segundo o mês Mês Número de radiogra as Número de reprovações Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Pergunta: que tipo de gráfico de controle deve ser feito e que conclusões são possíveis?

222 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Resposta da consultora Deve ser feito um gráfi co de controle para a proporção de não conformes, isto é, um gráfico de controle p para amostras com diferentes tamanhos. A Figura 16.1 apresenta o gráfico de controle feito com o tamanho médio das amostras. Figura 16.1 Grá co de controle p para os dados da Tabela 16.1 (usando o tamanho médio das amostras) O processo está fora de controle: a proporção de reprovações radiográficas está fora dos limites de controle em fevereiro, muito próxima do LSC em abril e muito próxima do LIC em agosto. No entanto, o exame do gráfico de controle sugere uma redução substancial na proporção de reprovações de junho a dezembro. Deve existir uma causa especial para esse deslocamento. Parece ter havido uma intervenção e, como consequência, melhoria da qualidade. Foi então desenhado um gráfico de controle p para esse período. Veja a Figura 16.2: o processo está sob controle. Figura 16.2 Grá co de controle p para os dados de junho a dezembro, da Tabela 16.1 (usando o tamanho médio das amostras) Compare as Figuras 16.1 e 16.2: a média, de p = 0,025 (com todos os pontos), mudou para p = 0,0167 (de junho a dezembro). A sugestão é 218

223 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 16 Exemplos de aplicação procurar manter o processo sob controle usando os limites de controle dados na Figura Um gráfico de controle x R Consulta da empresa No processo de fabricação do cubo da polia (um componente da bomba de água dos automóveis) tomam-se amostras de tamanho 5 a cada hora. Os diâmetros são medidos e os resultados são colocados numa folha de verificação. Os dados de 25 amostras tomadas durante o processo de fabricação do cubo de determinada polia tinham, todos, parte inteira igual a 25. Então, na Tabela 16.2 estão apenas os valores da parte decimal das medidas feitas. Tabela 16.2 Diâmetro do cubo da polia Amostra x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x R , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8 6 Pergunta: o processo está sob controle? 219

224 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Resposta da consultora Os valores apresentados na Tabela 16.2 são a parte decimal das medidas dos diâmetros, cuja parte inteira é 25. Para os dados apresentados na Tabela 16.2, tem-se que: x = 875,325 R = 3,840 Os limites de controle para x são: LSC = x + A 2 R = 875, ,577 3,840 = 877,568 LIC = x + A 2 R = 875,325 0,577 3,840 = 873,136 Os limites de controle para R são: LSC = D 4 R = 2,115 3,840 = 8,122 LIC = D 3 R = 0 O gráfico de controle x R está apresentado na Figura Figura 16.3 Grá co x R para um diâmetro do cubo da polia 220

225 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 16 Exemplos de aplicação Observe o gráfico das amplitudes: da 16 a amostra em diante, as amplitudes e as oscilações aumentaram. Tanto o gráfico de controle x como o gráfico de controle R exibem pontos fora dos limites de controle a partir da 16 a amostra. Deve então ser buscada, com empenho, a causa especial de variação. No entanto, bastou examinar a folha de verificação enviada pela empresa para notar que havia mudado a grafia a partir da 16 a amostra, o que sugere haver mudado o anotador. A mudança no comportamento dos pontos pode estar associada ao anotador que, talvez, seja também o operador. Para avaliar os fatos, é preciso familiaridade com o processo, mas é razoável levantar duas hipóteses, e a decisão por uma delas demanda mais informações: a) o processo com x = 25,875 estava sob controle até a 15 a amostra, ou seja, até a mudança do anotador (e, talvez, do operador); b) os dados até a 15 a amostra foram anotados de maneira incorreta Gráficos de controle x R para dados de peças fabricadas por quatro máquinas Consulta da empresa Foram obtidas amostras de tamanho 5 da produção de quatro máquinas. Os dados estão na Tabela Tabela 16.3 Valores de um característico de qualidade Máquina Amostra x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x R 1 17,9 18, ,1 18,9 18,36 1, ,9 16,1 17,4 19,1 18,9 18,08 3, ,4 18,6 17,1 17,4 16,9 17,68 1, ,4 18,3 16,9 17,1 17,3 17,80 2, , ,1 18,9 17,9 18,36 1, ,7 19,4 18,9 17,9 17,3 18,44 2, ,1 18,1 17,4 17,6 18,3 18,10 1, , ,9 17,3 18,34 2, ,6 18,6 19,5 18,2 17,8 18,74 1, ,2 19,7 16,6 18,9 17,6 18,00 3, ,7 17,9 18,6 18,1 18,9 18,04 2, ,4 18,7 18,6 17,9 17,6 18,44 1,80 Continua 221

226 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tabela 15.3 Continuação 1 19,5 17,9 18,5 18,9 19,3 18,82 1, ,6 18,5 19,2 17,7 18,00 2, ,4 19,8 18,5 18,8 19,4 18,78 2, ,7 18,9 19,1 17,7 18,28 1, ,2 17, ,5 17,72 2, ,5 17,5 19, ,3 17,52 3, ,3 17,2 16,9 19,3 17,4 17,62 2, , ,2 18,2 19,7 18,78 3, ,8 18,9 17,4 18,5 19,7 18,26 2, ,1 18, ,7 17,8 18,06 1, ,5 18,4 16,5 18,2 19,3 18,18 2, ,7 17,9 19,6 18,6 18,7 18,70 1, ,8 18,4 17, ,8 17,98 1, ,1 19,9 17, ,14 2, ,8 18,8 18,2 19,6 18,1 18,30 2, ,9 16,5 17,8 16,8 17,3 17,26 1, , ,1 16,3 19,3 17,46 3, ,7 16, ,3 18,1 17,72 2, ,6 17,7 17, ,82 2, ,6 18,5 18,3 17, ,36 1, ,3 17,5 17,1 16,6 17,5 17,20 0, ,3 16, ,7 16,8 17,22 2, ,8 18,5 16,8 17,1 17,9 17,62 1, ,5 16,4 17,4 20,3 18,32 3, ,1 19,9 19,7 18, ,72 2, ,7 18,8 16,8 17,5 17,1 17,58 2, ,3 16,9 18,4 17,1 19,8 17,90 2, ,1 19,9 16,7 17,5 17,7 17,78 3, , ,3 19,8 18,6 18,26 2, ,7 17,6 17,9 17,2 16,4 17,56 2, ,2 19,2 18,4 16,8 19,3 18,38 2, ,5 18, ,5 17,8 17,58 2, ,1 17,9 17,4 17,5 17,4 17,46 0, ,3 17,4 18,6 16,9 17,5 17,74 1, ,9 20, ,5 17,6 19,08 2, ,2 16,8 16,7 17,5 18,9 17,42 2,20 Pergunta: é possível construir um único gráfico de controle e como isso pode ser feito? 222

227 Resposta da consultora Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 16 Exemplos de aplicação As estatísticas necessárias para a construção dos quatro gráficos de controle x R estão apresentados na Tabela O processo de fabricação está sob controle para todas as máquinas. Tabela 16.4 Valor central e limites de controle para x e para R, segundo a máquina Estatísticas Máquina LSC 19,381 19,645 19,076 19,315 x 18,198 18,227 17,783 17,955 LIC 17,016 16,809 16,490 16,595 LSC 4,335 5,198 4,740 4,987 R 2,050 2,458 2,242 2,358 LIC Pode ser feito um gráfico de controle x R com os dados das quatro máquinas. A média x é a média das médias apresentadas das quatro máquinas, e a média R é a média das amplitudes médias das quatro máquinas. Então: 18, , , ,955 x = = 18, , , , ,358 R = = 2,277 4 Os limites de controle para x são e LSC = x + A 2 R LIC = x + A 2 R em que x = 18,041, A 2 é um valor encontrado na Tabela 2 do Apêndice em função do tamanho das amostras (n = 5) e R = 2,227. Portanto: LSC = 18, ,577 2,277 = 19,355 LIC = 18,041 0,577 2,277 = 16,

228 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Os limites de controle para R são LSC = D 4 R = 2,114 2,277 = 4,814 LIC = 0 A média e os pontos referentes à máquina 3 estão um pouco abaixo dos outros. Pode ser simples questão de regulagem. De qualquer modo, o processo está sob controle e os limites de controle podem ser mantidos para novas amostras até nova revisão. Foi então feita uma análise de variância 39 com um critério de classificação para verificar se existe diferença entre médias de máquinas. Depois, foi aplicado o teste de Tukey. O resultado da análise de variância está na Tabela Essa análise estatística mostra diferença entre máquinas (o valor de F é signifi cante). O teste de Tukey, ao nível de 5% de significância, mostra que as medidas das peças fabricadas pelas máquinas 2 e 3 são, em média, estatisticamente diferentes. Para melhor analisar esse resultado, seria necessário conhecer o valor nominal, que não foi fornecido pela empresa. Tabela 16.5 Análise de variância para os dados da Tabela 16.3 Causas de variação G.L. S.Q. Q.M. F Valor p Máquinas 3 7,981 2,66 2,89 0,0362 Resíduo ,839 0,9188 Total , A variância de uma soma de variáveis independentes Consulta da empresa No processo de extração do ouro, o minério é separado em duas partes: concentrado e rejeito. Portanto, de certa quantidade M de minério são obtidas uma quantidade C de concentrado e uma quantidade R de rejeito. Podemos escrever: 224 M = C + R 39 Para comparar mais de duas médias, aplicam-se a análise de variância e os testes de comparações múltiplas. Veja o assunto em: VIEIRA, S. Análise de variância (Anova). São Paulo: Atlas, 2006.

229 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 16 Exemplos de aplicação São feitas determinações do teor de ouro, tanto no minério como no concentrado. Pergunta: É possível, a partir das variâncias das determinações do teor de ouro no minério e no concentrado, obter a variância do teor de ouro no rejeito? Resposta da consultora Sabemos que todas as determinações têm erro de medida. Os erros de medidas são estudados por meio de variância e desvio padrão. Seja m o teor de ouro no minério, c o teor de ouro no concentrado e r o teor de ouro no rejeito. Então, a quantidade Mm de ouro no minério é dividida em duas partes, isto é, Segue-se daí que Mm = Cc + Rr Mm Cc r R M C m c M C m C Mas, como R = M C, tem-se que Mm Cc r M C M C m c M C m C É razoável considerar que os erros de medida das quantidades M e C são desprezíveis em relação aos erros de medida dos teores de ouro. Desprezando as variâncias de M e C e, pressupondo que m e c são variáveis independentes, podemos obter a variância do teor de ouro no rejeito: 2 2 M C Vr () Vm ( ) Vc () 2 2 ( M C) ( M C) 225

230 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER O uso da variável padronizada para a classificacão de examinados Consulta do banco A avaliação dos estagiários do banco é feita, primeiramente, pelos supervisores de estágio, que pertencem a diferentes seções e diferentes agências. Cada supervisor orienta um grupo de estagiários e, terminado o estágio, confere uma nota a cada um deles. Depois, as notas são reunidas para a classificação final e única dos estagiários. Pergunta: foi proposto classificar os estagiários não pela nota, mas pela nota padronizada isso é válido? Resposta da consultora É mais fácil entender a resposta por meio de um exemplo. Para simplificar, imagine que são quatro os supervisores, identificados na Tabela 16.6 por nomes, e são 20 os estagiários, identificados na Tabela 16.6 por letras. Os estagiários foram distribuídos pelos quatro supervisores. As notas dadas por esses supervisores estão apresentadas na Tabela Tabela 16.6 Notas dos estagiários, segundo o supervisor Estatísticas Supervisor Lúcia Pedro Luís Carla Estagiário Nota Estagiário Nota Estagiário Nota Estagiário Nota A 3 F 1 L 6 Q 9 B 5 G 4 M 6 R 8 C 3 H 8 N 5 S 8 D 6 I 3 O 7 T 7,5 E 3 J 4 P 6 U 7,5 Média Desvio padrão 1,414 2,550 0,707 0,612 A variável padronizada é definida por x ˆ z ˆ 226

231 Parte 3 Gráficos de Controle... Capítulo 16 Exemplos de aplicação Veja os valores das notas padronizadas na Tabela Tabela 16.7 Notas padronizadas dos estagiários, segundo o supervisor Estatísticas Supervisor Lúcia Pedro Luís Carla Estagiário Nota Estagiário Nota Estagiário Nota Estagiário Nota A -0,707 F -1,177 L 0 Q 1,633 B 0,707 G 0,000 M 0 R 0,000 C -0,707 H 1,569 N -1,414 S 0,000 D 1,414 I -0,392 O 1,414 T -0,816 E -0,707 J 0,000 P 0 U -0,816 Média Desvio padrão 1,000 1,000 1,000 1,000 Veja agora na Tabela 16.8 como muda a classificação dos estagiários, quando se usa não a nota, mas a nota padronizada. Tabela 16.8 Classi cação dos estagiários, segundo a nota obtida e a nota padronizada Estagiário Nota obtida Classi cação Estagiário Nota padronizada Classi cação Q 9 1 o Q 1,63 1 o H 8 2 o H 1,57 2 o R 8 2 o O 1,41 3 o S 8 2 o A 1,10 4 o T 7,5 3 o D 1,10 4 o U 7,5 3 o G 0,00 5 o O 7 4 o J 0,00 5 o A 6 5 o L 0,00 5 o D 6 5 o M 0,00 5 o L 6 5 o P 0,00 5 o M 6 5 o R 0,00 5 o P 6 5 o S 0,00 5 o B 5 6 o I -0,39 6 o C 5 6 o B -0,73 7 o E 5 6 o C -0,73 7 o N 5 6 o E -0,73 7 o G 4 7 o T -0,82 8 o J 4 7 o U -0,82 8 o I 3 8 o F -1,18 9 o F 1 9 o N -1,41 10 o 227

232 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER A nota padronizada tira o efeito do examinador, pois todos passam a dar notas com a mesma média e a mesma variância. Mas é necessário pressupor que os grupos são iguais. Isso, porém, só seria verdade se o número de estagiários fosse muito grande e os grupos (por supervisor) fossem formados ao acaso. No caso de grupos pequenos, formados por processo não aleatório, o estagiário melhor, em um grupo bom, ficaria prejudicado. Veja, por exemplo, os estagiários R e S. A Tabela 16.8 mostra que eles estavam em segundo lugar, e passaram para o quinto lugar com a nota padronizada. Isso aconteceu porque o grupo deles (da supervisora Carla) teve média mais alta. O estagiário bom em um grupo bom fica prejudicado. Um grupo acima da média passa a ter média igual à dos outros, e o estagiário melhor, que tem um desvio grande e positivo em relação à média do grupo, teria esse desvio reduzido. Já o estagiário que estivesse num grupo em que o supervisor atribui notas com pouquíssima variação e tivesse uma nota melhor, mas não necessariamente alta, seria beneficiado porque a diferença de sua nota com a média seria dividida por um número pequeno. Veja, por exemplo, as classificações de A. Notas diferentes obtidas por estagiários diferentes julgados por pessoas diferentes com critérios diferentes não são comparáveis. A estatística não ajuda. 228

233 Apêndice A Tabela 1 Distribuição normal reduzida P (0 < Z < z) Último dígito ,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0517 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2422 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4279 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4658 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4686 0,4693 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4003 0,4808 0,4812 0,4817 2, ,4826 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0, , 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

234 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER Tabela 2 Fatores para a construção de um gráfi co de controle para variáveis Para médias Para desvios padrões Para amplitudes Tamanho da amostra A2 A3 B3 B4 D2 D3 D4 2 1,880 2, ,267 1, , ,023 1, ,568 1, , ,729 1, ,266 2, , ,577 1, ,089 2, , ,483 1,287 0,030 1,970 2, , ,419 1,182 0,118 1,882 2,704 0,076 1, ,373 1,099 0,185 1,815 2,847 0,136 1, ,337 1,032 0,239 1,761 2,97 0,184 1, ,308 0,975 0,284 1,716 3,078 0,223 1, ,285 0,927 0,321 1,679 3,173 0,256 1, ,266 0,886 0,354 1,646 3,258 0,283 1, ,249 0,850 0,382 1,618 3,336 0,307 1, ,235 0,817 0,406 1,594 3,407 0,328 1, ,223 0,789 0,428 1,572 3,472 0,347 1, ,212 0,763 0,448 1,552 3,532 0,363 1, ,203 0,739 0,466 1,534 3,588 0,378 1, ,194 0,718 0,482 1,518 3,64 0,391 1, ,187 0,698 0,497 1,503 3,689 0,403 1, ,180 0,680 0,510 1,490 3,735 0,415 1, ,173 0,663 0,523 1,477 3,778 0,425 1, ,167 0,647 0,534 1,466 3,819 0,434 1, ,162 0,633 0,545 1,455 3,858 0,443 1, ,157 0,619 0,555 1,445 3,895 0,451 1, ,153 0,606 0,565 1,435 3,931 0,459 1,541 Fonte: Montgomery, D.C. Introduction to Statistical Quality Control. 2. ed. Nova York: Wiley, Tabela 3 Valores de k 2 para números diferentes de operadores Operadores k 2 2 1,41 3 1,91 4 2,24 Fonte: Tague, N.R. The Quality Toolbox. 2. ed. Milwaukee: ASQ Quality Press, p Tabela 4 Valores de k 3 para números diferentes de peças Peças k 3 2 0, , , , , , , , ,3146 Fonte: Acessado em 18 de março de

235 Respostas aos exercícios Capítulo 2 1. Por departamento, por tipo de serviço, por parte do corpo acidentada, por turno etc. 2. Por dia da semana, por turno, por idade, por motivo alegado da falta, por tipo de serviço etc. 3. Classicamente, 6M: máquina, método, mão de obra, material, meio ambiente, medidas. 4. Dia da semana, horário, tipo de serviço, meio ambiente (iluminação, temperatura), época do ano (final de ano, início de férias) etc. 5. Tempo efetivo de serviço na área, locais de trabalho, cursos de especialização etc. Capítulo Diagrama de Pareto para frequência de defeitos segundo o operador Diagrama de Pareto para frequência de defeitos segundo a máquina 3. A causa da maior parte dos defeitos é a máquina B.

236 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 4. Os dois diagramas foram feitos na horizontal para facilitar a leitura dos tipos de defeitos. É fácil ver que livro amarrotado é o defeito mais frequente e, também de mais alto custo para recuperação. 5. Transistores com defeito 6. Reclamações no PROCON sobre compras feitas pela Internet Reclamação Porcentagem Produto não entregue 28 Entregue produto errado 22 Entregue quantidade errada 18 Erro de endereço 18 Outras 14 Total

237 Respostas aos exercícios Reclamações no PROCON sobre compras feitas pela Internet 7. A tabela dada em seguida apresenta as categorias por ordem de frequência e fornece as frequências acumuladas. Como as três primeiras categorias já se ultrapassam os 80%, a ideia é de que o sucesso fica possível com essas condições presentes. Principal causa do sucesso de uma empresa, segundo pequenos empresários Causa do sucesso Frequência Frequência relativa Frequência acumulada Presença de um bom administrador 528 0,44 0,44 Bom conhecimento do mercado 312 0,26 0,70 Dinheiro próprio 204 0,17 0,87 Perseverança do dono 84 0,07 0,94 Aproveitamento das oportunidades 60 0,05 0,99 Capacidade de correr riscos 12 0,01 1 Total Capítulo 4 1. A proporção de reprovação é 12%. 2. Veja a distribuição de frequências: Distribuição de frequências Frequência Percentual Classe Agosto Setembro Agosto Setembro Menos de 20, ,0% 4,0% 20,00 I 20, ,0% 0,0% 20,10 I 20, ,0% 24,0% 20,20 I 20, ,5% 22,0% 20,30 I 20, ,0% 10,0% 20,40 I 20, ,0% 16,0% 20,50 I 20, ,5% 8,0% 20,60 I 20, ,0% 10,0% 20,70 I 20, ,5% 6,0% 20,80 I 20, ,5% 0,0% 20,90 I 21, ,0% 0,0% Total ,0% 100,0% 233

238 Sonia Vieira Estatística para a Qualidade ELSEVIER 3. Veja a distribuição de frequências: Distribuição de frequências Classe Frequência 87,50 I 87, ,60 I 87, ,70 I 87, ,80 I 87, ,90 I 88, ,00 I 87, ,10 I 87, ,20 I 87, ,30 I 87,40 1 Total A média é x = 2,75; reajuste. 5. Veja a distribuição de frequências: Distribuição de frequências Classe Ponto médio Percentual 170 I ,0% 190 I ,0% 210 I ,0% 230 I ,0% 250 I ,0% 270 I ,0% 290 I ,0% 310 I ,0% 330 I ,0% Total ,0% 6. Veja a distribuição de frequências: Distribuição de frequências Classe Frequência 108 I I I I I I Total

239 Respostas aos exercícios 7. Tempo de uso de computadores domésticos, em horas, por pessoas com 12 anos ou mais, durante uma semana. Classe Frequência Percentual De 0-3 horas 5 10% De 3-6 horas 28 56% De 6-9 horas 8 16% De 9-12 horas 6 12% De horas 3 6% Total % 8. Tempo decorrido em horas até a falha de componente eletrônico submetido a teste Classe Frequência 115 I I I I I I I I e mais 1 Total 40 Capítulo 6 1. a) x R; b) x R; c) np; d) x R; e) x R. 2. LSC = 32,73; np = 20,00; LIC = 7,27. Em números inteiros: LSC = 33; np = 20; LIC = Para x: LSC = 28,55; x = 23,60; LIC = 18,65. Para R: LSC = 15,52; R = 6,80; LIC =