ATIVIDADES COM GEOPLANOS

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1 ATIVIDADES COM GEOPLANOS Darlysson Wesley da Silva Universidade Federal de Sergipe João Paulo Attie Universidade Federal de Sergipe Resumo: Este minicurso traz uma série de atividades e sugestões destinadas aos professores de Ensino Médio e Fundamental, com a utilização de um material concreto e manipulável denominado Geoplano. Serão descritos os vários tipos de Geoplano e discutidas suas potencialidades e limites, sendo que a dinâmica do minicurso compreende também a construção do próprio instrumento com material de baixo custo. No trabalho será mostrado que o Geoplano pode auxiliar a exploração de temas ligados à geometria, tais como simetria ou áreas, e à álgebra, tais como análise combinatória. Palavras-chave: Geoplano; Educação Matemática; Materiais Didáticos. Introdução O licenciando em Matemática pode ter seus padrões e conceitos desafiados, especialmente nas situações em que a pesquisa e a aprendizagem se completam. Este minicurso surgiu de uma situação destas, em que era necessário ao estudante investigar materiais didáticos para serem utilizados no Ensino de Matemática. A partir dessa busca, pudemos experimentar situações que nos estimularam a procurar conhecimentos, testar ajustes, alcançar resultados, elaborar métodos independentes e nova visualização do processo de ensinar (e de aprender). Conforme destacam o PCNEM (1999) e o PCNEF(1998), o ensino da matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também, à contextualização sociocultural. Para a manipulação dos conteúdos, o professor deverá assumir um papel de guia. Deverá orientar os alunos nos trabalhos com materiais concretos ou manipuláveis, manuseando as observações que acontecerem e dando prioridade à qualidade do processo Anais do 1

2 no qual auxiliará a apropriação da descoberta de relações através de percepções, ações e abstrações. A comunicação com os alunos deverá ser clara e versátil, fazendo com que o aluno sempre exponha suas idéias e seja esclarecido de maneira sempre transparente. Segundo Rocha (2007), um dos primeiros trabalhos sobre Geoplano foi realizado pelo Dr. Caleb Gattegno, em A partir deste, muitos outros pesquisadores em matemática passaram a utilizar esse material como uma importante ferramenta para o ensino de Geometria plana elementar, para o ensino de frações, dentre outros. Ainda de acordo com a autora, Sabbatiello afirma que, o geoplano é um modelo matemático que permite traduzir ou sugerir ideais matemáticos (SABATIELLO, apud ROCHA, 2007). Além disso, consideramos ser possível afirmar que muitas das dificuldades que nossos alunos possuem no processo da aprendizagem de geometria, podem ser debitadas ao tipo de material normalmente utilizado em sala de aula (livros didáticos). O material apresentado aqui é um recurso a mais para auxiliar nesse aspecto, pois, com sua utilização, visualizamos de maneira mais clara formas geométricas que, muitas vezes, não se encontram nas mesmas posições em que elas são costumeiramente apresentadas em sala de aula. Existem vários tipos de Geoplano. Eles são, em sua maioria, formados por uma base de madeira onde são cravados pregos, formando uma malha, que pode ter diversas texturas, acompanhado por faixas ou barbantes (de preferência coloridos) que desenharão as figuras, podendo ser complementados por papel ponteado, quadriculado, isométrico ou triangular. A denominação dada ao Geoplano está diretamente ligada à apresentação da malha. Por exemplo, se a malha for formada por quadrados, o geoplano é denominado quadricular; se formada por triângulos eqüiláteros, temos o geoplano isométrico e se for formada por circunferências concêntricas, será chamado de geoplano circular. Objetivo Com estas atividades, pretendemos introduzir ou consolidar o uso do geoplano para o auxílio do ensino de matemática. A nosso ver, isso pode fazer com que o professor Anais do 2

3 possua um maior repertório de atividades e possa desenvolver um melhor ensino em relação a uma série de assuntos, associando-os aos geoplano, sendo eles abordados tanto em séries iniciais quanto ao ensino médio. Especificando melhor, pretendemos ajudar no desenvolvimento da percepção visual de formas geométricas planas, na comparação e na execução de ampliações e reduções de formas e figuras, nos trabalhos com perímetros, áreas, lados e vértices. Além disso, consideramos o material como um importante auxílio para a compreensão de que o eixo de simetria divide a figura em partes semelhantes, entre outras associações possíveis. Metodologia A atividade deverá ser realizada em grupo ou individualmente. Serão apresentados os vários tipos de geoplano, com uma conseqüente discussão de suas potencialidades e limites. Serão expostas algumas atividades, tanto para utilização nas séries iniciais de Ensino Fundamental, como nas séries do Ensino Fundamental II e do Ensino Médio. Se houver possibilidade, estimularemos que os participantes do minicurso construam seus próprios instrumentos. Em seguida, será solicitado que os participantes executem algumas das atividades sugeridas para que, ao final, possa haver uma discussão e análise da utilização do material. Apresentaremos no minicurso alguns exercícios que podem ser trabalhados em sala de aula, na abordagem de conteúdos dos Ensinos Fundamentais e Médios, cabendo ao professor a diversificação de seu uso. Os temas que relacionamos pra o trabalho são os seguintes: polígonos, simetria, área, perímetro, frações, coordenadas cartesianas, seqüências e fatoração, onde o professor pode utilizar-se do Geoplano na demonstração das atividades e recorrer ao recobrimento de malhas, pelos alunos, caso não seja possível utilizar o próprio Geoplano, conseguindo assim uma forma que consideramos interessante e instigante de aprender matemática. Anais do 3

4 Podemos observar nas figuras abaixo alguns tipos de geoplano: a) Geoplano Oval b) Geoplano Quadrado c) Geoplano Circular d) Geoplano Trelissado Anais do 4

5 e) Materias basicos necessários para a contrução de um Geoplano Para o geoplano quadrado, foi desenvolvida um resultado que fornece o cálculo da área de uma região poligonal. Este teorema foi enunciado pelo matemático Georg Alexander Pick em Pick nasceu em Viena de Áustria em 1859 e faleceu em 1943 durante a II Guerra Mundial.Essa fórmula chamada de Fórmula de Pick traz um dado importante para o cálculo de área de polígonos com os vértices sobre a malha. A fórmula é dado por: A = i + (b/2) : 1, onde i indica os pontos que estão situados no interior da região poligonal e b indica os pontos que estao situados sobre os lados da região poligonal. Anais do 5

6 Atividades Sugeridas 1- Ensino Infantil e Ensino Fundamental: Para algumas séries iniciais e do ensino fundamental, o professor poderá identificar algumas formas geométricas, suas áreas, perímetros e ângulos, podendo fazer algumas comparações entre elas. Utilizando um elástico, poderá mostrar como são formadas as figuras dentro do geoplano, a quantidade de pregos usados para a formação das devidas figuras e suas relações. É possível também ilustrar os diversos sistemas de numeração, tendo como exemplo os romanos, babilônicos, entre outros. Poderá ainda apresentá-lo a fórmula de Pick, capaz de ajudar no cálculo das áreas das figuras formadas e poderá também identificar as devidas simetrias Figuras Geométricas Identifique a quantidade de lados e arestas que formam as figuras e classifique-as: Anais do 6

7 Construa no geoplano abaixo alguns polígonos e calcule a suas áreas e perímetros: Analise as figuras abaixo e crie alguma relação da figura original com outra figura geométrica. Anais do 7

8 1.2- Ângulos Analise os ângulos formados abaixo e identifique quais ângulos são semelhantes: Dado o Geoplano abaixo construa ângulos e classifique-os em agudos, retos, obtusos. Anais do 8

9 1.3 Sistema de Numeração No Geoplano abaixo escreva os números, que estão representados em romanos, no sistema indo-arábico. Anais do 9

10 1.3.2 Identificando os números romanos abaixo, efetue as operações e forneça o resultado em romanos. 1.4 Simetria Analisando as figuras abaixo, trace o eixo de simetria de cada uma delas 1.5 Fórmula de Pick Anais do 10

11 Calcule a área das figuras no geoplano abaixo pela fórmula de Pick. 2- Ensino Fundamental II e Ensino Médio Já para as séries finais do ensino fundamental e ensino médio, o professor poderá surpreender o aluno e mostrar a ele como alguns assuntos podem ser vistos no geoplano, tais como Seqüências, Teorema de Pitágoras e Análise Combinatória, entre outros. Anais do 11

12 2.1- Teorema de Pitágoras Use o geoplano abaixo para demonstrar o teorema de pitágoras: Anais do 12

13 2.2- Seqüências Observe as figuras e identifique a razão da sequência abaixo: Anais do 13

14 Observe a sequência no geoplano e construa o 4º e o 5º elementos. Anais do 14

15 2.3- Análise Combinatória Dado as figuras no geoplano abaixo de quantas maneiras diferentes podemos sair do vétice A para o vértice B, sem voltar e movientar-se apenas para a vertical ou para horizontal? Represente os resultados obtidos anteriormentes em forma de uma fórmula da análise combinatória Represente os seguintes resultados de análises combinatórias no geoplano: a) C5,2 b) C6,4 2.4 Outros Geoplanos Anais do 15

16 2.4.1 Observe os vários outros tipos de geoplano, Geoplano Circular, Trelissado, Geoplano Oval, elabore algumas outras atividades envolvendo esse geoplanos e debata-os com os alunos. a) b) Anais do 16

17 c) Referências BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental. Secretaria de Educação Fundamental, Brasília. MEC/SEF, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Secretaria de Educação Fundamental, Brasília. MEC/SEF, IMENES, Luis M.; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos (3ª e 4ª ciclos). Ed Scipione. São Paulo SERRAZINA, Lurdes; Matos, José M. O Geoplano na Sala de Aula. Associação de Professores de Matemática (APM) BITTAR, M & FREITAS, J.L.M. Fundamentos e metodologia de matemática para ciclos iniciais do ensino fundamental. 2 Ed. Campo Grande, MS: UFMS, MACHADO, R.M. Explorando o Geoplano. Anais da II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. < >, acesso em 17/11/2009. II Bienal SBM. Salvador, ROCHA, C. A., PESSOA, G., PEREIRA, J.A.A e SILVA FILHO, J.M. O Uso do Geoplano para Ensino de Geometria: Uma Abordagem Através das Malhas Quadriculadas. Anais do I. < Anais do 17

18 acesso em 17/11/2009. IX ENEM. Belo Horizonte, LEIVAS, J.C.P. Geoplano. Fundação Universidade Federal do Rio Grande. < acesso em 17/11/2009. Anais do 18